Новые точно решаемые квантовые потенциальные модели в сфероидальных координатах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Пучков, Андрей Михайлович

• Пучков, Андрей Михайлович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Пучков, Андрей Михайлович

Оглавление

Введение

I Квантовая обобщенная задача двух кулоновских центров

Глава 1. Постановка задачи

1.1. Введение

1.2. Потенциал и его свойства

1.3. Разделение переменных и постановка краевых задач

1.4. Полный набор коммутирующих операторов

Глава 2. Решение краевых задач

2.1. Краевая задача для квазирадиального уравнения на всей оси. Обобщенное разложение Яффе

2.2. Степенные разложения для сфероидальных собственных функций

2.3. Устранимые особые точки. Аналог метода 1/Ж

2.4. Краевая задача для квазиуглового уравнения

Глава 3. Асимптотическое поведение решений квантовой

обобщеной задачи двух кулоновских центров

3.1. Квазиклассическое приближение (метод ВКБ)

3.2. Теория возмущений при Я ^ 0

3.3. Метод эталонного уравнения в случае близких точек

поворота при Я ^ го

Глава 4. Результаты численных расчетов

4.1. Спектр собственных значений А^к = А^к(р, а) и А^ = А^(р, Ь). Собственные функции квазирадиального уравнения

4.2. Структура энергетического спектра

II Точно решаемые квантовые модели, описывающие физические системы в сфероидальных координатах

Глава 5. Общие методические замечания

5.1. Введение

5.2. Ограничения на потенциалы для квантовых ям конечной глубины и сфероидальной формы

Глава 6. Потенциальные модели дважды

тяжелых барионов

Глава 7. Модели квантовых колец

7.1. Описание модели квантового кольца в виде бесконечно

глубокой потенциальной ямы

7.2. Результаты численных расчетов

7.3. Модели квантовых колец в виде потенциальных ям конечной глубины

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Новые точно решаемые квантовые потенциальные модели в сфероидальных координатах»

Введение

Актуальность темы исследования

В математическом описании физических явлений фундаментальную роль играют точно решаемые модели. Они позволяют выделить суть явления и задают направление поиска методов анализа более сложных и более реалистических ситуаций.

Квантовыми интегрируемыми моделями обычно называют квантовые га-мильтоновы системы, у которых существует полный набор операторов, коммутирующих друг с другом и с гамильтонианом. Такие модели являются точно решаемыми в том смысле, что спектр гамильтониана может быть описан достаточно явно как для моделей с конечным, так и с бесконечным числом степеней свободы. В 80-е годы двадцатого века Л.Д. Фаддеевым и его учениками был создан квантовый метод обратной задачи, с помощью которого удалось построить и найти точные решения для большого количества интегрируемых моделей квантовой механики, квантовой теории поля и статистической физики [1]. Многие результаты для этих моделей были получены задолго до создания квантового метода обратной задачи с помощью анзаца Бете. Однако до сих пор, квантовые задачи допускающие решение с помощью метода разделения переменных продолжают привлекать внимание теоретиков. Особое место среди них занимают задачи с координатным разделением переменных, как в квантом, так и в классическом случае. Их известно сравнительно немного: они уникальны. Однако их продолжают открывать и изучать, несмотря на то, что квантовый аналог теоремы Лиувилля до сих пор неизвестен.

Одной из таких замечательных задач является квантовая задача двух ку-лоновских центров - проблема eZ2), которая состоит в определении волновых функций и термов электрона, движущегося в поле двух неподвижных

зарядов и Z2, находящихся на расстоянии Я друг от друга. В решении рази 1 и

личных вопросов атомной физики, квантовой химии двухатомных молекул и теории столкновений она сыграла столь же фундаментальную роль, как задача об атоме водорода в проблеме электронной структуры сложных атомов. Еще в 30-е годы двадцатого века было показано, что уравнение Шредингера такой системы допускает разделение переменных в вытянутых сфероидальных координатах, а одномерные собственные функции представимы в виде рядов, коэффициенты которых связаны друг с другом трехчленными рекуррентными соотношениями [2]. В дальнейшем были разработаны алгоритмы, позволяющие рассчитывать термы с относительной точностью порядка 10-12,

а волновые функции ^ 10 10. Все это привело к тому, что стали рассматриваться всевозможные обобщ ения проблемы (Z1 eZ2) [ ].

Применение задачи двух кулоновских центров в теории рассеяния атомных столкновении основано на том, что из-за большой разницы в массах движение электронов и ядер можно рассматривать независимо. Иначе говоря, в рассмотрение вводятся E(R) — потенциальные кривые, или термы квазимолекулы, составленной из сталкивающихся атомов. Эти кривые являются аналитическими функциями межъядерного расстояния R, поэтому все термы одинаковой симметрии есть различные значения одной многозначной функции. Для того, чтобы перейти от одного значения этой функции к другому, достаточно обойти соответствующую точку ветвления на комплексной плоскости R. При медленных столкновениях (v ^ 1a.e.) основную роль играют такие точки ветвления вблизи вещественной оси. Сравнительно недавно, в восьмидесятые годы двадцатого века, в связи с потребностями физики термоядерного синтеза возникла необходимость исследования положения особых точек термов задачи двух кулоновских центров в более широкой комплексной плоскости межцентрового (межъядерного) расстояния R. Эта работа была начата Е. А. Соловьевым [4] и затем продолжена с соавторами (подробности см. ниже). Основной результат этой деятельности состоит в том, что были обнаружены различные типы «скрытых» квазипересечений термов и получены приближенные аналитические выражения, связывающие параметры квазипересечения с характеристиками квазимолекулы и её квантовыми числами. Эти приближенные выражения могут быть использованы при анализе очень сложных ситуаций в расчетах неупругих процессов.

Заметим, что в [3] и в [4] рассмотрение проводилось в вытянутых сфероидальных координатах, поскольку методика расчетов в этих работах была основана на использовании стандартных алгоритмов и аналитического продолжения с вещественной положительной полуоси R.

Вообще говоря, сфероидальные координаты бывают двух типов: вытянутые и сплюснутые. Хорошо известно, что уравнение Шредингера, в принципе, допускает разделение переменных и в том и в другом случае. Однако до сих пор при изучении квантовых интегрируемых систем предпочтение отдается вытянутым координатам. Вплоть до недавнего времени единственной работой, в которой использовалось разделение переменных в сплюснутых сфероидальных координатах была известная статья Рейнуотера (Rainwater) [5], где удалось объяснить магнитные моменты ядер поведением неспаренного нуклона.

В настоящей диссертационной работе рассматривается квантовая задача двух кулоновских центров в случае мнимого параметра межцентрового расстояния - iR и комплексно-сопряженных зарядов q1 + iq2, q1 — iq2, где R, q1 и

д2 - вещественные числа. Термин обобщённая в названии темы позаимствован из небесной механики и не имеет ничего общего с упоминаемыми выше обобщениями. Благодаря высокой симметрии потенциала соответствующее уравнение Шредингера допускает разделение переменных в сплюснутых сфероидальных координатах. Из-за того, что особенности потенциала сосредоточены на окружности, а не в точках как в проблеме е^2), появляется большое разнообразие в выборе граничных условий и в постановке краевых задач. Специально подчеркнем еще раз, что квантовая обобщенная задача двух кулоновских центров и в классическом пределе допускает разделение переменных в сплюснутых сфероидальных координатах.

Кроме мезоатомной физики и квантовой механики низких энергий, интерес к точно решаемым задачам с координатным разделением переменных традиционно испытывает и физика элементарных частиц и физика высоких энергий. До сих пор рассматриваются потенциальные модели мезонов и ба-рионов, в рамках которых вычисляются спектры масс и магнитные моменты. Особое место среди них занимают потенциальные модели барионов, содержащих два тяжелых кварка. Это связано стем, что массы тяжелых кварков определяют новую энергетическую шкалу, превышающую масштаб сильных взаимодействий ЛдсБ (в системе единиц Н = с = 1) :

МЛ^ » тд , rQQ' Лдсп < 1, Лдсп < МЛ^ , где шд—масса легкого кварка, а rQQ^ —расстояние между тяжелыми кварка-

Г~П Г* и и

ми. Таким образом, в теории появляется малый параметр, который можно использовать для применения теории возмущений [6]. Обычно, потенциальные модели дважды тяжелых барионов формулируются в декартовых, сферических [7, 8, 9]. или гиперсферических [10, 11] координатах. В работах [12, 13] рассматривалась модель с потенциалом двух кулоновских центров и сферически симметричным квадратичным потенциалом конфайнмента (потенциал гармонического осциллятора). Известно, что соответствующее уравнение Шредингера допускает разделение переменных в вытянутых сфероидальных координатах.

В работе [12] Д. У. Матрасулову удалось получить асимптотическую формулу для терма Ед(Я), которая справедлива в пределе Я ^ го. Для ее вывода был применен метод эталонного уравнения. Потом эта асимптотическая формула использовалась в работе [13] для вычисления термов легкого кварка Ед(Я) и расчета спектра масс дважды тяжелых барионов. Однако, несмотря на то, что результаты работы [13] удовлетворительно согласуются с другими расчетами, имеется целый ряд замечаний по поводу обоснованности применения данной модели. Во-первых, потенциал конфайнмента на больших рассто-

яниях r должен расти линейно, а не квадратично. Во-вторых, такие увеличенные в размерах (разбухшие) сферически-симметричные барионы никогда экспериментально не наблюдались. Скорее наоборот, в протон-протонных, протон-ядерных и ядро-ядерных столкновениях при высоких энергиях наблюдаются протяженные объекты - цветные струны [14, 15]. Таким образом возникает задача найти новую потенциальную модель для дважды тяжелых барионов с правильным асимптотическим поведением потенциала конфайн-мента и допускающую разделение переменных в уравнении Шредингера в вытянутых сфероидальных координатах.

Следующий тип потенциальных моделей, рассмотренных в диссертации будет связан с квантовыми кольцами и квантовыми точками. Это связано с тем, что создание этих нанообъектов, а также формирование из них сложных структур, стало одним из самых перспективных направлений прикладных исследований в области наноэлектроники. Известно, что на основе капельной эпитаксии были получены многочисленные концентрические нанокольца, кольца вокруг квантовой точки и другие, более сложные нанообъекты [16]. Развиваются методы создания регулярных двумерных и трёхмерных кольцевых наноструктур на основе наносферической литографии [17] - [20].

Однако, несмотря на явный прогресс в создании квантовых колец, в области их теоретического описания, даже в случае одночастичных состояний, исследователи сталкиваются с альтернативой: либо ограничиваться чрезмерно упрощёнными одномерными моделями [21] - [23], либо прибегать к весьма ресурсоёмким вычислительным методам для учета их трехмерной структуры [24], [25], [26]. Очевидно, что необходимо найти альтернативный подход, в котором, с одной стороны, будут рассматриваться модели, учитывающие (3D)—структуру квантовых колец, а с другой стороны - вычислительная сложность соответствующих моделей должна минимизироваться за счёт полного разделения переменных. В работе J. Even и S. Loualiche [27] изучалась модель квантового кольца в виде бесконечно глубокой потенциальной ямы, ограниченной параболоидами вращения. Существенный недостаток этой модели состоит в том, что при фиксированном объеме и радиусе кольца, она не допускает варьирование других параметров, определяющих форму ямы и тем самым не позволяет проследить влияние формы квантового кольца на структуру его спектра. В настоящей диссертационной работе будут рассмотрены потенциальные модели квантовых колец, допускающие разделение переменных в уравнении Шредингера в сплюснутых сфероидальных координатах и лишенные всех указанных недостатков.

Цели и задачи

Основная цель диссертации заключается в изучении новых квантовых моделей, допускающих разделение переменных в уравнении Шредингера в сфероидальных координатах.

Основные задачи диссертационной работы обусловлены целью исследования и заключаются в следующем:

• Рассмотреть квантовый аналог обобщенной задачи двух неподвижных центров. Разделить переменные в соответствующем уравнении Шредингера в сплюснутых сфероидальных координатах. Провести подробную классификацию краевых задач и выяснить их специфику.

• Построить численно устойчивые алгоритмы решения краевых задач. Выполнить численные расчеты и выяснить структуру энергетического спектра квантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров.

• Рассмотреть новую потенциальную модель для дважды тяжелых бари-онов с правильным асимптотическим поведением потенциала конфайн-мента, допускающую разделение переменных в вытянутых сфероидальных координатах. Провести в рамках этой модели численные расчеты для спектра масс некоторых частиц. Сравнить эти результаты с предсказаниями других моделей и с решеточными КХД расчетами.

• Рассмотреть модель квантового кольца в в виде потенциальной ямы сфероидальной формы и бесконечной глубины. Провести численные расчеты и выяснить структуру энергетического спектра этой модели.

Научная новизна работы состоит в том, что:

• Впервые квантовая задача двух кулоновских центров на расширенном пространстве (аналог римановой поверхности).

• Впервые краевая задача для квазирадиального уравнения в сплюснутых сфероидальных координатах при дополнительном условии квадратичной интегрируемости ставится на всей числовой оси.

• Предложены и теоретически обоснованы новые типы разложения в ряды для квадратично интегрируемых кулоновских сфероидальных функций на мнимой оси.

• Впервые установлена структура энергетического спектра квантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров.

• Впервые предложена точно решаемая модель для дважды тяжелых ба-рионов с правильным асимптотическим поведением потенциала конфай-нмента, в рамках которой были сделаны предсказания для масс некоторых дважды тяжелых барионов.

• Впервые рассмотрена модель квантового кольца в в виде потенциальной ямы сфероидальной формы и бесконечной глубины с помощью которой удалось изучить влияние формы кольца на структуру его энергетического спектра.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая значимость работы состоит в том, что в ней описан новый тип краевых задач и показан способ их решения.

Практическая значимость работы заключается в том, что ее результатами можно воспользоваться:

1) для получения простых асимптотических формул, описывающих спектр масс дважды тяжелых барионов, которые потом можно будет применить в различных монте-карловских генераторах моделирующих процессы множественного рождения частиц при сверхвысоких энергиях на коллайдерах ЬЫС и ИШС.

2) для моделирования одночастичных состояний в квантовых кольцах различной формы, что необходимо при разработке новых нанотехнологий производства квантовых колец.

Методология и методы исследования.

В работе активно применяются методы исчисления конечных разностей. В частности, для решения краевых задач используется представление собственных функций в виде рядов, коэффициенты которых связаны между собой трех, четырех и пятичленными рекуррентными соотношениями. Для доказательства сходимости этих рядов используются теоремы Пуанкаре и Перрона. Альтернативный подход к решению краевых задач состоит в использовании метода стрельбы в сочетании с методом половинного деления. Кроме того, для контроля численных расчетов применяются асимптотические методы: теория возмущений, метод эталонного уравнения и квазиклассическое приближение (метод ВКБ).

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, списка литературы и заключения. Главы собраны в две части по общности тематики. Первая часть содержит четыре главы, посвященных рассмотрению квантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров. Вторая часть содержит три главы, посвященных точно решаемым квантовым мо-

делям, описывающим физические системы в сфероидальных координатах. Полный объем диссертации составляет 122 страницы, включая 35 рисунков и 2 таблицы. Список литературы содержит 129 наименований.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируются основные задачи, научная новизна и практическая ценность работы, приводится краткое содержание отдельных частей.

Первая часть диссертации посвящена квантовой обобщенной задаче двух кулоновских центров. Классический аналог этой проблемы, известный в небесной механике под названием обобщенной задачи двух неподвижных центров, появился в 1961 году и используется до сих пор для расчета траекторий искусственных спутников. Существенное отличие квантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров от проблемы eZ2), состоит в том, что особенности ее потенциала расположены не в точках, как в проблеме

eZ2), а на окружности. Таким образом, после разделения переменных в обобщенной задаче возникает богатый выбор граничных условий и, соответственно, разнообразие краевых задач. Первая глава посвящена описанию свойств потенциала, подробной классификации всех возможных типов граничных условий и постановке краевых задач. Во второй главе обсуждается решение краевых задач, причем значительное место уделено ранее не исследованным краевым задачам для квазирадиального уравнения. В них, особые точки кулоновского сфероидального уравнения расположены сбоку от области изменения переменной, что создает проблему круга сходимости для представления собственных функций в виде рядов. В диссертации предложен способ решения этой проблемы. Приводится несколько типов представления собственных функций в виде рядов и проводится анализ их сходимости. Третья глава посвящена применению асимптотических методов в квантовой обобщенной задаче двух кулоновских центров. Это можно рассматривать как необходимый для контроля численных расчетов, альтернативный подход

к решению задачи. В рамках квазиклассического приближения и теории вози и 1 и

мущений найдены приближенные выражения для волновых функций и термов. В четвертой главе представлены результаты численных расчетов, на основе которых делаются заключения о структуре энергетического спектра квантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров.

Вторая часть диссертации посвящена точно решаемым квантовым моделям, описывающем реальные физические системы и допускающим разделение переменных в уравнении Шредингера в сфероидальных координатах. В пятой главе сформулированы ограничения на потенциалы квантовых ям

конечной глубины и сфероидальной формы, которые допускают разделение переменных в сфероидальных координатах. Шестая глава посвящена потенциальным моделям дважды тяжелых барионов. В ней описана новая точно решаемая модель с правильным асимптотическим поведением потенциала конфайнмента в рамках которой выполнены численные расчеты для спектра масс некоторых состояний. Проведено сравнение полученных результатов, как с расчетами других авторов, так и с экспериментальными данными. В седьмой главе рассмотрена точно решаемая модель квантового кольца в виде потенциальной ямы сфероидальной формы с бесконечно высокими стенками. Представлены результаты численных расчетов, анализ которых позволяет сделать выводы о влиянии формы кольца на структуру спектра одночастичных состояний. Обсуждается возможность использования потенциальных ям конечной глубины и сплюснутой сфероидальной формы для описания одночастичных состояний в квантовых кольцах. Показано, что для исследования этих моделей можно использовать результаты, полученные в первой части при решении квантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Исследована новая точно решаемая потенциальная модель, в которой квантовая задача двух кулоновских центров рассматривается с мнимым параметром межцентрового расстояния и комплексо-сопряженными зарядами. Описана специфики нового класса краевых задач.

2. Предложены и теоретически обоснованны новые типы разложения в ряды для квадратично интегрируемых кулоновских сфероидальных функций на мнимой оси.

3. Исследовано асимптотическое поведение собственных функций и термов квантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров при малых и больших значениях межцентрового параметра с помощью квазиклассического приближения и теории возмущений.

4. Установлена структура энергетического спектра квантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров.

5. Рассмотрена новая точно решаемая потенциальная модель для дважды тяжелых барионов с линейно растущим потенциалом конфайнмента. В рамках этой модели были вычислены массы некоторых дважды тяжелых барионов и проведено сравнение, как с расчетами других авторов, так и с экспериментальными данными.

6. Рассмотрена новая модель квантового кольца, в виде потенциальной ямы сфероидальной формы и бесконечной глубины. С помощью этой модели удалось изучить влияние формы кольца на структуру его спектра.

7. Предложен новый подход для моделирования одночастичных состояний в квантовых кольцах с использованием сфероидальных координат.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность полученных результатов обеспечивается согласованием численных и аналитических расчетов, совпадением предельных случаев с результатами других авторов, количественным и качественным соответствием с альтернативными подходами в широкой области изменения параметров.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры квантовой механики и кафедры вычислительной физики, а также лаборатории физики сверхвысоких энергий физического факультета СПбГУ и на международных конференциях:

• Days on Diffraction, Annual International Conference, Saint Petersburg, June 28-July 1 (2005) http://mph.phys.spbu.ru/dd05/index.html

• Days on Diffraction, Annual International Conference, Saint Petersburg, May 27-31 (2013)

http://www.pdmi.ras.ru/ dd/download/DD13 program.pdf

• Xlth International Conference on Quark Confinement and the Hadron Spectrum, Saint Petersburg, September 8-12 (2014) http://onlinereg.ru/ConfXI

• Days on Diffraction, Annual International Conference, Saint Petersburg, May 25-29 (2015)

http://www.pdmi.ras.ru/ dd/download/DD15 program.pdf

• XIIth International Conference Quark Confinement and the Hadron Spectrum, Thessaloniki, Greece, August 29 - September 3 (2016) https://indico.cern.ch/event/353906/contributions/2239066/

Вклад автора. Все основные результаты диссертации получены автором лично. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Идея

исследования квантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров принадлежит Ю. Н. Демкому, что нашло отражение в названии работы [A10]. В статьях [A1, A2] постановка задачи и обсуждение результатов осуществлялась при его непосредственном участии. В статьях [A1, A2, A4, A10] автором были произведены расчеты волновых функций и термов, а также анализ результатов. Вклад автора в статьи [A12], [A13] составляют идея постановки задачи и формулировка моделей.

Публикации

Основные результаты по теме диссертации изложены в следующих работах:

A1. А. М. Пучков, А. В. Кожедуб, Квазиклассическое приближение в

обобщённой задаче двух кулоновских центров, Вестн. С. Петерб. ун-та, Физика-Химия, Сер. 4, вып. 1, 105-112 (2002)

A2. А. М. Пучков, А. В. Кожедуб, Квантовая обобщённая задача двух кулоновских центров, Вестн. С. Петерб. ун-та, Физика-Химия, Сер. 4, вып. 3, 16-27 (2005)

A3. А. М. Пучков, Квадратично интегрируемые решения кулоновского сфероидального уравнения на мнимой оси, Вестн. С. Петерб. ун-та, Физика-Химия, Сер. 4, вып. 2, 88-94 (2006)

A4. А. М. Пучков, И. Б. Керницкий, Степенные разложения для квадратично интегрируемых кулоновских сфероидальных функций на мнимой оси, Вестн. С. Петерб. ун-та, Физика-Химия, Сер. 4, вып. 1, 116-124 (2008)

A5. A. M. Puchkov, A. V. Kozedub and E. O. Bodnia, Generalized quantum mechanical two-Coulomb-center problem (Demkov problem) Chinese Phys. B, 22, 090306 (2013) doi:10.1088/1674-1056/22/9/090306

A6. A. M. Puchkov, A. V. Kozhedub, Two potential quark models for double heavy baryons, AIP Conference Proceedings, 1701, 100014 (2016); doi: 10.1063/1.493872

A7. A. M. Puchkov, V. A. Roudnev, A. V. Kozhedub, Influence of the shape of a quantum ring on the structure of its energy spectrum, Proceedings of the International Conference DAYS on DIFFRACTION 2015, 103-106 (2015) doi:10.1109/DD.2015.7354873

Часть I

Квантовая обобщенная задача двух

кулоновских центров

Глава 1. Постановка задачи

1.1. Введение

Когда у автора есть серьезные претензии на новизну полученных результатов, а изучаемый вопрос и методы исследования имеют длительную историю, необходимо прежде всего указать место этой диссертации в историческом плане.

В классической небесной механике существует проблема трех тел, в которой изучается движение трех произвольных точечных масс, взаимно притягивающихся по закону Ньютона. Решение этой проблемы состоит в том, чтобы описать предшествующие и последующие движения тел по их координатам и скоростям в данный момент времени. В прошлом многие физики, математики и астрономы безуспешно пытались найти решение неограниченной задачи трех тел в замкнутой форме. Известно, что такого решения просто не существует. Еще в конце 19-го века Г. Э. Брунс и А. Пуанкаре доказали, что общее решение задачи трех тел нельзя выразить через алгебраические или однозначные трансцендентные функции координат и скоростей тел. Тем не менее, в некоторых случаях, ограниченная задача допускает точное решение. В частности, это справедливо по отношению к задаче двух неподвижных центров, когда изучается движение легкой, пассивно гравитирующей материальной точки, притягиваемой двумя тяжелыми, неподвижными точечными массами. Далее речь пойдет именно об этом частном случае проблемы трех тел.

Начнем наш исторический экскурс с того, что воздадим должное математическому гению Исаака Ньютона и отметим громадное влияние на развитие науки его трактата «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica» [29], опубликованного в 1687 году. Задача двух неподвижных центров, как ограниченная задача трех тел, впервые была поставлена и исследована там на примере движения Земли и Луны вокруг Солнца. Очень важно отметить, что эта проблема содержит два малых параметра, которые ее делают нетривиальной: отношение массы Луны М^ к массе Земли Мф

Ма

-—^ « 0.0123 « 1%

М0

и наклон лунной орбиты к орбите Земли ^ 5o. Ньютон заявил, что проблему очень трудно решить, Однако, ему удалось получить приближенное решение, которое согласуется с результатами наблюдений в пределах 8 %.

и и и

Следующий значительный шаг в решении этой задачи принадлежит дру-

гому гениальному математику - Леонарду Эйлеру. Одним из величайших достижений Эйлера стала разработка алгоритмического мышления. В своих работах по небесной механике он впервые применил так называемый метод разложения по степеням малого параметра. Другими словами, он заложил основы теории возмущений, которая была окончательно сформулирована в работах Лапласа и Пуанкаре. Задачей двух неподвижных центров Леонард Эйлер стал заниматься с 1753 года. Результаты исследований он опубликовал в двух работах в 1764 и в 1765 году [30]. Эти работы затем использовал гет-тингенский астроном И. Т. Майер при составлении лунных таблиц, которые были включены в морские альманахи и долгое время служили для определения долготы в открытом море [31]. Отметим также, что с идеями Л. Эйлера можно ознакомиться в его трактате «Новая теория движения Луны», который был переведен на русский язык академиком А. Н. Крыловым [32].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Пучков, Андрей Михайлович, 2016 год

Литература

1. Л. Д. Фаддеев, Новая жизнь полной интегрируемости, УФН, 183, № 5, 487 - 495 (2013)

2. И. В. Комаров, Л. И. Пономарев, С. Ю. Славянов, Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции (Наука, Москва, 1976)

3. K. Helfrich, H. Hartmann, Generalized quantum mechanical two-centre problems, I, General theory and results for some two-centre Coulomb problems, Theoret. Chim. Acta, (Berlin) 16, 263-277 (1970)

4. Е. А. Соловьев, Ионизация водородоподобного атома медленными ионами, ЖЭТФ, 81, 1681-1692 (1981)

5. J. Rainwater, Nuclear energy level argument for a spheroidal nuclear model, Phys. Rev., 79, 432-434 (1950)

6. А. В. Бережной, А. К. Лиходед, Барионы с двумя тяжелыми кварками, Ядерная физика, 79, № 2, 151-156, (2016)

7. S. Fleck, J. M. Richard, Baryons with Double Charm, Prog. Theor. Phys. 82, 760-774, (1989)

8. J. M. Richard, The nonrelativistic three-body problem for baryons, Phys. Rep., № 212, 1-76, (1992)

9. A. Majethiya, B. Patel and P. C. Vinodkumar, Quark-diquark model description for double charm baryons, Chinese. Phys. C, 34, 1399-1402, (2010)

10. M. M. Gianninia, E. Santopinto, A. Vassallo, Hypercentral constituent quark model and isospin dependence, Eur. Phys. J. A, 12, 447-452, (2001)

11. T. Yoshida, E. Hiyama, A. Hosaka, M. Oka, K. Sadato, Spectrum of heavy baryons in the quark model, Phys. Rev. D, 92, 114029 (2015), (Published 28 December 2015)

12. Д. У. Матрасулов, Волновые функции и энергетические уровни уравнения Шредингера с потенциалом, являющимся суммой потенциала двух кулоновских центров и потенциала гармонического осциллятора, ТМФ, 117, 3, 364-369 (1998)

13. D. U. Matrasulov, M. M. Musakhanov, T. Morii, Spectra of doubly heavy quark baryons, Phys. Rev. C, 61, 045204 (2000)

14. M. A. Braun, R. S. Kolevatov, C. Pajares, V. V. Vechernin, Correlations between multiplicities and average transverse momentum in the percolating colour strings approach, Eur. Phys. J. C, 32, 535-546 (2004)

15. M. A. Braun, J. Dias de Deus, A. S. Hirsch, C. Pajares, R. P. Scharenberg, B. K. Srivastava, De-Confinement and Clustering of Color Sources in Nuclear Collisions, Physics Reports, 599, 1-50 (2015) arXiv:1501.01524 [nucl-th]

16. Axel Lorke, Jorge M. Garcia, Ralf Blossey, Richard J. Luyken, Pierre M. Petroff, Self-Organized InGaAs Quantum Rings - Fabrication and Spectroscopy, Advances in Solid State Physics, 43, 125-138, (2003)

17. Jiang Wu, Zhiming M. Wang, Kyland Holmes, Euclydes Marega Jr., Zhihua Zhou, Handong Li, Yuriy I. Mazur, Gregory J. Salamo, Laterally aligned quantum rings: From one-dimensional chains to two-dimensional arrays, Applied Physics Letters, 100, 203117, (2012) ( doi: 10.1063/1.4719519 )

18. M. Winzer, M. Kleiber, N. Dix, R. Wiesendanger, Fabrication of nano-dot-and nano-ring-arrays by nanosphere lithography, Appl. Phys. A., 63, 617— 619, (1996)

19. Hiroshi Yabu, Bottom-Up Approach to Creating Three-Dimensional Nanoring Arrays Composed of Au Nanoparticles, Langmuir, 29 (4), 1005—1009, (2013) ( doi: 10.1021/la305028t )

20. Y. Li, G. T. Duan, G. Y. Liu, W. P. Cai, Physical processes-aided periodic micro/nanostructured arrays by colloidal template technique: fabrication and applications, Chem. Soc. Rev., 42, 3614-3627, (2013)

21. Lev I. Magarill, D. A. Romanov, Alexander V. Chaplik, Low-dimensional electrons in curvilinear nanostructures, Uspekhi Fizicheskikh Nauk, 170 (4), 325-341, (2000)

22. А. А. Брызгалов, Ф. И. Карманов, Управление туннелированием в системе двух концентрических квантовых колец с помощью магнитного поля, Вычислительные методы и программирование, 12, 262-274, (2011)

23. Е. В. Антропова, А. А. Брызгалов, Ф. И. Карманов, Уровни энергии и собственные волновые функции электронов систем квантовых колец в магнитном поле, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, Выпуск № 1 (30), 326—333, (2013)

24. Y. Li, O. Voskoboynikov, C. P. Lee, Computer simulation of electron energy states for three- dimensional InAs/GaAs semiconductor quantum rings / In:

Technical Proceedings of the 2002 International Conference on Modeling and Simulation of Microsystems, Nanotech, 1, 540-543, (2002)

25. I. Filikhin, E. Deyneka, H. Melikyan, B. Vlahovic, Electron states of semiconductor quantum ring with geometry and size variations, Molecular Simulation, 31, 11, 779-785, (2005)

26. J. Even, S. Loualiche, P. Miska, C. Platz, In-plane anisotropy of quantum elliptic heterostructures studied with symmetry-adapted Mathieu functions: an application to self-organized InAs quantum dots on InP, J. Phys.: Condens. Matter, 15, 8737-8752, (2003)

27. J. Even, S. Loualiche, Exact analytical solutions describing quantum dot, ring and wire wavefunctions, J. Phys. A.: Math. Gen., 37, 289-294, (2004)

28. J. Even, S. Loualiche, New analytical calculations of the resonance modes in lens-shaped cavities: applications to the calculations of the energy levels and electronic wavefunctions in quantum dots, J. Phys. A.: Math. Gen., 36, 11677-11686, (2003)

29. I. Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, (Royal Soc. Press, London,1687)

30. L. Euler, De motu corporis ad duo centra viricum fixa attracti, Novi Comment. Acad. Scient.Imperial.Petropolit., 10, 207 (1764); 11, 152 (1765)

31. А. П. Юшкевич, Леонард Эйлер (Знание, Москва, 1982)

32. Леонард Эйлер, Новая теория движения Луны. Перевод с латинского первой части книги первой и извлечений из части второй и третьей с примечаниями и пояснениями переводчика академика А. Н. Крылова (Изд-во АН СССР, Ленинград, 1984)

33. В. Г. Дeмин, Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения (Наука, Москва, 1968)

34. Г. Н. Дубошин, Небесная механика: Методы теории движения искусственных небесных тел (Наука, Москва, 1983)

35. Е. П. Аксенов, Е. А. Гребенников, В. Г. Демин, Общее решение задачи о движении искусственного спутника в нормальном поле притяжения Земли, (в сборнике «Искусственные спутники Земли», вып. 8, 64, 1961)

36. Е. П. Аксенов, Е. А. Гребенников, В. Г. Демин, Обобщенная задача двух неподвижных центров и ее применение в теории движения искусственных спутников Земли, Астроном. журнал, 40, № 2, 363-372 (1963)

37. Е. П. Аксенов, Е. А. Гребенников, В. Г. Демин, Применение обобщенной задачи двух неподвижных центров в теории движения искусственных спутников Земли, (в сборнике «Проблемы движения искусственных спутников Земли», Изд-во АН СССР, 92, 1963)

38. Е. П. Аксенов, Е. А. Гребенников, В. Г. Демин, Качественный анализ форм движения в задаче о движении искусственного спутника в нормальном поле притяжения Земли, (в сборнике «Искусственные спутники Земли», вып. 16, 173, 1963)

39. Е. П. Аксенов, Е. А. Гребенников, В. Г. Демин, Классификация ограниченных движений искусственных небесных тел, (в сборнике «Проблемы движения искусственных небесных тел», Изд-во АН СССР, 99, 1963); В. М. Алексеев, Обобщенная пространственная задача двух неподвижных центров. Классификация движений. Бюллетень ИТА, т. Х, № 4 (117), 241— 271, (1965)

40. Е. П. Аксенов, Е. А. Гребенников, В. Г. Демин, Об устойчивости некоторых классов орбит искусственных спутников Земли, (в сборнике «Искусственные спутники Земли», вып. 16, 163, 1963)

41. W. Pauli, Uber das Modell des Wasserstoffmolekulions, Ann. Phys., 68, 177240 (1922)

42. A. H. Wilson, A generalized spheroidal wave equation, Proc. Roy. Soc. London A, 118, 617-635 (1928)

43. A. H. Wilson, The ionized hydrogen molecule, Proc. Roy. Soc. London A, 118, 635-647 (1928)

44. E. Teller, Uber das Wasserstoffmolekulion, Z. Physik, 61, 458-480 (1930)

45. W.H.McGrea, R.A.Newing, Boundary conditions for the wave function, Proc. Lond. Math. Soc., 37, 520-534 (1933)

46. G. Jaffe, Zur Theorie des Wasserstoffmoleculion, Z. Physik, 87, 535-544 (1934)

47. W. G. Baber, H. R. Hasse, The Two Centre Problem in Wave Mechanics, Proc. Cambr. Phil. Soc., 31, 564-581 (1935)

48. S. K. Chakravarty, Quantization under two centres of force, I, The hydrogen molecular ion, Phil. Mag., 28, 423-434 (1939)

49. K. Helfrich, H. Hartmann, Uber einen Zusammenhang der nach Hylleraas and der nach Jaffe bestimmen Losungen der Schrodinger-Gleichung fur ein

Elektron im Feld zweiter Punktladungen, Theoret. Chim. Acta, (Berlin) 3, 21-30 (1965)

50. E. A. Hylleraas, Uber die Elektronenterme des Wasserstoffmolekulions, Z. Physik, 71, 739-763 (1931)

51. E. A. Hylleraas, Zur Konvergenzfrage gewisser Nahrungslosungen der «aussenen» Gleihung des Zweizentrenproblems, Z. Physik, 93, 582-588 (1935)

52. N. Svartholm, Uber die aussere Differentialgleichung des Zweizentrenproblems, Arkiv f. Math. Astron. och Fysik, 35, № 10, (1936)

53. D. R. Bates, R. T. S. Darling, S. C. Have, A. L. Stewart, Properties of the hydrogen molecular ion, III. Oscillator strengths of the 1sag — 2pnu, 2pau — 3dng and 2pnu — 3dngthansitions, Proc. Phys. Soc. London, A 66, 1113-1123

1953)

54. D. R. Bates, T. R. Carson, Exact wave functions of HeH2+, Proc. Roy. Soc. London, A 234, 207-217 (1956)

55. Л. И. Пономарев, Т. П. Пузынина, Задача двух центров в квантовой механике, ЖЭТФ, 52, 1273-1282 (1967)

56. Л. И. Пономарев, Т. П. Пузынина, Задача двух центров в квантовой механике, Таблицы термов, (Препринт ОИЯИ Р4-3175, Дубна, 1967)

57. Л. И. Пономарев, Т. П. Пузынина, Задача двух центров в квантовой механике, Математическая часть, ЖВМ и МФ, 8, 1256-1268 (1968)

58. Л. И. Пономарев, Т. П. Пузынина, Задача двух центров в квантовой механике, Алгоритм, (Препринт ОИЯИ Р4-5040, Дубна 1970)

59. Н. Ф. Трускова, Определение с заданной точностью собственных функ-

и /*' и и

ций и собственных значений задачи двух кулоновских центров квантовой механики, (Препринт ОИЯИ, Р11-10207, Дубна, 1976)

60. C. C. Герштейн, Переходы отрицательных мезонов от водорода к ядрам других элементов, ЖЭТФ, 43, 706-719 (1962)

61. Л. И. Пономарев, Конфигурационное взаимодействие термов в системе ZeZ, ЖЭТФ, 81, 1867-1844 (1968)

62. С. Ю. Овчинников, Е. А. Соловьев, К теории неадиабатических переходов в системе трёх заряженных частиц, ЖЭТФ, 921-932 (1986)

63. T. P. Grozdanov, E. A. Solov'ev, Charge exchange, excitation, and ionization via hidden avoided crossings, Phys. Rev. A, 42, 5, 2703-2717 (1990)

64. Е. А. Соловьев, Существенно многоуровневые задачи атомной физики в адиабатическом приближении: Дисс. д-ра физ-мат наук: (01.04.02., ЛГУ им. А.А.Жданова, Ленинград, 1986)

65. K. Heun, Math. Ann., 33, 161-179 (1889) [K. Гойн, К теории функций Римана второго порядка с четырьмя точками ветвления.

66. М. Д. О. Стретт, Функции Ляме, Матье и родственные им в физике и технике, (ОНТИ, Харьков-Киев, 1935)

67. J. Meixner, F. W. Schafke, Mathieusche Funktionen und Spharoidfunktionen mit Anwendungen auf physikalische und technische Probleme, (SpringerVerlag, Berlin - Gottingen - Heidelberg, 1954)

68. J. Meixner, F. W. Schafke, G. Wolf, Mathieu Functions and Spheroidal Functions and their Mathematical Foundation (further studies), in Lecture Notes in Mathematics, 837 (Springer-Verlag, Berlin, 1980)

69. Ф. М. Морс, Г. Фешбах, Методы теоретической физики, Том I и II, (Иностранная литература, Москва, 1958)

70. К. Фламмер, Таблицы волновых сфероидальных функций (ВЦ АН СССР, Москва, 1962)

71. Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, Томы 1-3, (Наука, Москва, 1967)

72. Heun's Differential Equations / Ed.: A. Ronveaux, Oxford; New York; Tokyo; Oxford University Press, (1995)

73. С. Ю. Славянов, В. Лай, Специальные функции. Единая теория, основанная на анализе особенностей (Невский диалект, Санкт-Петербург 2002)

74. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика: в 10 томах, Том III, «Квантовая механика (нерелятивистская теория)» Изд.-5-е стереотипное, (ФИЗМАТЛИТ, Москва, 2001)

75. А. М. Пучков, А. В. Кожедуб, Квазиклассическое приближение в обобщённой задаче двух кулоновских центров, Вестн. С. Петерб. ун-та, Физика-Химия, Сер. 4, вып. 1, 105-112 (2002)

76. С. П. Аллилуев, А. В. Матвиенко, Группа симметрии молекулярного иона водорода (системы с разделяющимися переменными), ЖЭТФ, 51, 18731879 (1966)

77. C. A. Coulson, A. Joseph, Constant of the motion for the two-centre Kepler problem, Int. J. Quant. Chem., 1, 337-347 (1967)

78. А. М. Пучков, А. В. Кожедуб, Квантовая обобщённая задача двух кулоновских центров, Вестн. С. Петерб. ун-та, Физика-Химия, Сер. 4, вып. 3, 16-27 (2005)

79. A. M. Puchkov, A. V. Kozedub and E. O. Bodnia, Generalized quantum mechanical two-Coulomb-center problem (Demkov problem) Chinese Phys. B, 22, 090306 (2013) doi:10.1088/1674-1056/22/9/090306

80. И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (Наука, Москва, 1971)

81. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, Изд. 4-е испр. и доп., Том 2, (Москва, 1959)

82. А. О. Гельфонд, Исчисление конечных разностей, Изд. 4-е стереотипное, (КомКнига, Москва, 2006)

83. Д. К. Фаддеев, Лекции по алгебре (Лань, СПб., Москва, Краснодар, 2004)

84. Н. С. Бахвалов, Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения), Том 1 (Наука, Москва, 1973)

85. Д. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеeва, Вычислительные методы линейной алгебры (Физматгиз, Москва. 1960)

86. В. Д. Мур, В. С. Попов, А. В. Сергеев, 1/N—разложение в квантовой механике, ЖЭТФ, 97, 32-46 (1990)

87. А. М. Пучков, Квадратично интегрируемые решения кулоновского сфероидального уравнения на мнимой оси, Вестн. С. Петерб. ун-та, Физика-Химия, Сер. 4, вып. 2, 88-94 (2006)

88. А. М. Пучков, И. Б. Керницкий, Степенные разложения для квадратично интегрируемых кулоновских сфероидальных функций на мнимой оси, Вестн. С. Петерб. ун-та, Физика-Химия, Сер. 4, вып. 1, 116-124 (2008)

89. Дж. Хединг, Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ) (Мир, Москва, 1965)

90. Н. Фрeман, П. У. Фрeман, ВКБ-приближение (Мир, Москва, 1967)

91. M. Willstatter, Betrachtungen uber das Wentzel-Brilliouinsche Naherungs-ferfahren in der Wellenmechanik insbesondere beim Wasserstoffmolekulion, Ann. der Phys., 10, 873-887 (1931)

92. E. M. Van Engers, H. A. Kramers, Zur Anvendung der Methode der Phasenintegrale auf das Wasserstoffmolekulion, Z. Phys., 82, 328-336 (1933)

93. E. Hellmig, Beitrag zur Berechnung der Terme des Wasserstoffmolekul-ions, Z. Phys., 104, 694-710 (1937)

94. C. C. Герштейн, Л. И. Пономарeв, Т. П. Пузынина, Квазиклассическое приближение в задаче двух центров, ЖЭТФ, 48, 632-643 (1965)

95. Л. И. Пономарeв, Лекции по квазиклассике, (Препринт ИТФ-67-73, Киев, 1967)

96. Л. И. Пономарeв, Применение метода ВКБ при асимптотическом решении уравнений, ДАН СССР, 162, Вып.5, 1023-1026 (1965)

97. P. M. Morse, E. C. G. Stueckelberg, Diatomic molecules according to the wave mechanics I: Electronic levels of the hydrogen molecular ion, Phys. Rev., 33, 932-947 (1929)

98. Г. Бете, Э. Солпитер, Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами, (Изд-во иностр. лит., Москва, 1960)

99. I. N. Levine, United atom treatment of H+, J. Chem. Phys., 41, № 7, 2044-2052 (1964)

100. C. A. Coulson, The Van der Waals force between a proton and a hydrogen atom, Proc. Roy. Soc. Edinburgh, A 61, 20-25 (1941)

101. C. A. Coulson, C. M. Gillam, The Van der Waals force between a proton and a hydrogen atom, II, Excited states, Proc. Roy. Soc. Edinburgh, A 62, 3, 360-368 (1946-1948)

102. C. Herring, Critique of the Heitler-London method of calculating spin couplings at large distances, Rev. Mod. Phys., 94, 631-645 (1962)

103. А. А. Овчинников, А. Д. Суханов, К вопросу о волновых функциях и электронных термах молекулярного иона водорода, ДАН СССР, 157, 5, 1092-1095 (1964)

104. Р. Я. Дамбург, Р. Х. Пропин, Об асимптотическом разложении электронных термов молекулярного иона водорода, Известия АН Латвийской ССР, сер. физ. и тех., вып. 1, 50-59 (1968)

105. Р. Я. Дамбург, Р. Х. Пропин, Об асимптотическом разложении термов задачи с двумя кулоновскими центрами, Известия АН Латвийской ССР, сер. физ. и тех., вып. 1, 19-23 (1971)

106. R. J. Damburg, R. Kh. Propin, Uber asymptotische Entwicklungen oblater Spharoidfunktionen und ihren Eigenwerte, J. reine angew. Math. 283, 28-36 (1968)

107. R. J. Damburg, R. Kh. Propin, On asymptotic expansions of electronic terms of the molecular ion, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 1, 681-691 (1968)

108. И. В. Комаров, С. Ю. Славянов, Волновые функции и электронные термы молекулярного иона при больших межъядерных расстояниях, ЖЭТФ, 52, 1368-1377 (1967)

109. I. V. Komarov, S. Yu. Slavyanov, The two Coulomb centers problems at large center separation, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 1, 1066-1072 (1968)

110. И. В. Комаров, С. Ю. Славянов, Движение заряженной частицы в поле двух удалённых кулоновских центров с различными зарядами, Вестник ЛГУ, Физика-Химия, 16, 30-38 (1969)

111. A. Зоммерфельд, Строение атома и спекты, том 1, математическое дополнение, с. 529 (Изд-во технико-теоретической литературы, Москва, 1956)

112. С. Ю. Славянов, Асимптотика задач Штурма-Лиувилля в случае близких точек поворота, Дифференциальные уравнения, 5, 313-325 (1969)

113. С. Ю. Славянов, Асимптотика решений одномерного уравнения Шрё-дингера (Изд-во ЛГУ, 1991)

114. С. Коэн, С. Ю. Славянов, Квазиклассическая асимптотика спектра для нижних состояний ангармонического осциллятора, Алгебра и анализ, 3, 132-138 (1992)

115. Б. Н. Захарьев, Дискретная и непрерывная квантовая механика, точно решаемые модели (уроки квантовой интуиции), ЭЧАЯ, 23, 5, 1387 (1992)

116. Б. Н. Захарьев, Уроки квантовой интуиции, (Издательский отдел ОИЯИ, Дубна, 1996)

117. В. В. Киселев, А. К. Лиходед, Барионы с двумя тяжелыми кварками, УФН, 172, 497-550, (2002)

118. [SELEX Collaboration] (Mattson, M. et al.), First observation of the doubly charmed baryon £+, Phys. Rev. Lett., 89, 112001, (2002) hep-ex/0208014 FERMILAB-PUB-02-183-E

119. [SELEX Collaboration] Confirmation of the double charm baryon (3520) via its decay to K-, Phys. Lett. B, 628, 18-24, (2005)

120. Tong Sheng-Ping, Ding Yi-Bing, Guo Xin-Heng, Jin Hong-Ying, Li Xue-Qian, Shen Peng-Nian, Zhang Rui, Spectra of the lightest baryons containing two heavy quarks in a potential model, Phys. Rev. D, 62, 054024, (2000)

121. A. M. Puchkov, A. V. Kozhedub, Two potential quark models for double heavy baryons, AIP Conference Proceedings, 1701, 100014 (2016);

doi: 10.1063/1.493872

122. T. Kawanai, S. Sasaki, Interquark Potential with Finite Quark Mass from Lattice QCD, Phys. Rev. Lett. 107, 091601 (2011)

123. Y. Namekawa et al. (PACS-CS Collaboration), Charmed baryons at the physical point in 2 + 1 flavor lattice QCD, Phys. Rev. D 87, 094512 (2013).

124. ГОСТ Р 55416-2013/IS0/TS 80004-1:2010 Нанотехнологии. Часть 1. Основные термины и определения. http://docs.cntd.ru/document/1200103381

125. C. Somaschini, S. Bietti, N. Koguchi, S. Sanguinetti, Coupled quantum dot-ring structures by droplet epitaxy, Nanotechnology, 22, № 18, 185602, (2011)

126. C. Somaschini, S. Bietti, S. Sanguinetti, N. Koguchi, A. Fedorov, M. Abbarchi, M. Gurioli, Fabrication of GaAs concentric multiple quantum rings by droplet epitaxy, IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering, 6, № 1, 012008, (2009) ( doi: 10.1088/1757-899X/6/1/012008 )

127. Ю. Д. Сибирмовский, И. С. Васильевский, А. Н. Виниченко, И. С. Еремин, Д. М. Жигунов, Н. И. Каргин, О. С. Коленцова, П. А. Мар-тюк, М. Н. Стриханов, Фотолюминесценция массивов квантовых колец GaAs/AlGaAs, Физика и техника полупроводников, 49, вып. 5, 652-657, (2015)

128. S. Viefers, P. Koskinen, P. Singha Deo, M. Manninen, Quantum rings for beginners: energy spectra and persistent currents, Physica E, 21, 1-35, (2004)

129. A. M. Puchkov, V. A. Roudnev, A. V. Kozhedub, Influence of the shape of a quantum ring on the structure of its energy spectrum, Proceedings of the International Conference DAYS on DIFFRACTION 2015, 103-106 (2015) doi:10.1109/DD.2015.7354873