Новые точные решения в матричных и статистических моделях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Шакиров, Шамиль Ринатович

• Шакиров, Шамиль Ринатович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шакиров, Шамиль Ринатович

1 Введение

1.1 Общая характеристика.

1.2 Цель диссертационной работы.

1.3 Результаты и положения, выносимые на защиту.

1.4 Научная новизна и практическая ценность.

1.5 Апробация диссертации.

1.6 Публикации автора по теме диссертации

1.7 Структура и содержание диссертации.

1.8 Благодарности.

2 Точные корреляционные функции в Эрмитовой модели

2.1 Эрмитова матричная модель.

2.1.1 Общие свойства эрмитовой модели.

2.1.2 Условия Вирасоро.

2.1.3 Интегрируемость.

2.1.4 1-точечные корреляторы.

2.1.5 2-точечные корреляторы.

2.2 Корреляционные функции.

2.3 Корреляционные функции типа Харера-Цагира.

2.3.1 1-точечная функция.

2.3.2 2-точечная функция.

2.3.3 3-точечная функция.

2.4 Экспоненциальные корреляционные функции.

2.4.1 Рекурсивные соотношения.

2.4.2 Детерминантная формула.

2.4.3 Ортогональные полиномы.

2.4.4 Локальная мера.

2.4.5 1,2,3-точечные функции при фиксированном N.

2.4.6 Универсальные 1,2,3-точечные функции.

2.5 Стандартные корреляционные функции.

2.5.1 Разложение по роду.

2.5.2 1-точечная функция.

2.5.3 2-точечная функция.

3 Средняя энергия 2мерного Дайсоновского газа

3.1 Двумерный Дайсоновский газ.

3.2 Статсумма.

3.3 Средняя энергия.

3.4 Термодинамическое разложение средней энергии.

4 Вычисление потенциала в модели Гурвица

4.1 Модель Гурвица.

4.2 Приближенный матричный интеграл.

4.3 Поправки.

4.4 Точный матричный интеграл.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Новые точные решения в матричных и статистических моделях»

1.1 Общая характеристика

Диссертация посвящена построению и изучению точных решений в статистических моделях. Рассматриваются системы (статистические ансамбли) из N частиц, которые взаимодействуют друг с другом с заданной потенциальной энергией взаимодействия и(х\,., х^), где XI,., ждг - координаты частиц. Физически интересными величинами в таких моделях являются любые статистические средние вида с нормировочной постоянной

Cjv J dXl.J dxN е^ь.-.,^) (2) такие, как среднее положение частиц дисперсия ^х— ^х^ , средняя энергия (и и т.д. Как правило, точное вычисление средних (также называемых корреляторами) является сложной задачей: для этого не существует универсальных математических методов, за исключением тех простейших случаев, когда потенциал U(xi,., хn) квадратичен (Гауссов). По этой причине для изучения статистических средних применяются различные приближения: например, термодинамический предел (предел больших N) или квазиклассическое приближение (предел малых Тг для U (->• U/h).

В некоторых случаях, используя специфические для конкретной модели методики и приемы, удается вычислить точно некоторый коррелятор или целое семейство корреляторов. Такие точные решения, естественно, позволяют получить о модели больше информации, нежели любые приближенные, и в этом состоит их ценность. Кроме этого, точные вычисления статистических интегралов вида (1) могут содержать в себе новые математические идеи и поэтому представляют интерес также с точки зрения чистой математики.

В настоящей диссертации с использованием оригинальных методик получен ряд точных решений в нескольких статистических моделях, в основном относящихся к классу так называемых матричных моделей. В таких моделях координаты частиц интерпретируются как собственные значения некоторой матрицы, а потенциал взаимодействия следует из естественной меры интегрирования на пространстве матриц и, как правило, является попарным логарифмическим отталкиванием.

Простейшим и в то же время репрезентативным примером таких моделей является Эрмитова матричная модель, в которой основной динамической величиной является N х N Эрмитова матрица ф, а наблюдаемые величины представляют из себя 31/(М)-инвариантные статистические средние от следов степеней этой матрицы:

1;г ф11. ^ ф1т ) = ~ [ ^ ф*. ^ у(ф) йф (3)

Сдг ]

NxN где V - произвольный потенциал. Как легко показать, при переходе от матричной переменной ф к ее собственным значениям ,., хк эта модель принимает вид статистической системы из N частиц на прямой с координатами Х\,. которые помещены в общий потенциал У{х) и попарно отталкиваются друг от друга по логарифмическому закону: и(х 1,.,Хп) = + -Х]\2 (4) г 1<]

Впервые модели такого типа изучались еще в работах Е.Вигнера и Ф.Дайсона, которых интересовало применение таких моделей к вычислению распределения уровней энергии атомных ядер. Впоследствии выяснилось, что матричные модели обладают целым рядом других приложений, подчас весьма далеких от исходной задачи о спектрах ядер: квантовый эффект Холла, проблемы лапласовского роста [1], квантовая гравитация [2,3], теория струн [4,5] интегрируемые системы [6,7] и суперсимметричные теории поля [8,10,11] в физике , теория чисел и комбинаторика графов на двумерных поверхностях [12] в математике - вот лишь некоторые из этих приложений.

Далеко не во всех из этих приложений достаточно использования стандартных приближенных методов; часто оказывается, что необходимая детальная информация о свойствах конкретной модели не может быть получена в рамках известных приближений. Прогресс в точном (не приближенном) вычислении корреляторов в матричных и статистических моделях, таким образом, может стимулировать продвижение в целом ряде областей современной физики и математики. Это является одним из факторов, обосновывающих актуальность выбора темы диссертации и полученных в ходе исследования результатов.

Наконец, построение и изучение точных решений актуально еще и потому, что они позволяют вычислить физически интересные асимптотики, которые трудно или вообще невозможно вычислить приближенными методами. Иллюстрацией этого феномена является статистическая модель двумерного Дайсоновского газа [13-15]: система из N частиц на плоскости с координатами (жь ух)., (х^, у^) и потенциальной энергией и{Х1,У1,. ,хм,ум) = - (х2{ + у2) + ^ 1оё [(а* - х^2 + {Уг - у,)2]• (5) г Кз

Одной из физически интересных величин в модели является средняя кулоновская энергия:

Е» = (т, 10§ К3* - + ^ - ^ ■ (6)

Используя стандартные термодинамические методы, можно получить лидирующую асимптотику при числе частиц стремящемся к бесконечности

1 о /V2

- — + ., (7) однако последовательное вычисление 1/И поправок к данному термодинамическому результату представляет существенные трудности. В настоящей диссертации мы строим Е^ как точное решение конечно-разностного уравнения в гипергеометрических функциях. Полученное точное решение позволяет вычислить поправки до любого порядка малости по 1/А^, подтверждая таким образом ценность данного подхода в конкретных приложениях и общую актуальность выбора темы диссертации.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Шакиров, Шамиль Ринатович

5 Заключение

Точное вычисление статистических средних (корреляторов) в различных моделях представляет интерес как с точки зрения физики (связанный с часто встречающейся необходимостью получить детальную информацию о модели, которую трудно или невозможно извлечь из приближенных результатов) так и с математической точки зрения (связанный с отсутствием хорошо разработанных методов в этой области). В настоящей диссертации проведены точные вычисления в рамках трех конкретных моделей: Эрмитовой матричной модели, двумерного Дайсоновского газа и модели Гурвица. Точные 1,2 и 3-точечные корреляционные функции в Эрмитовой модели, вычисленные без применения петлевого разложения и/или предела больших ЛГ, оказались элементарными и выражающимися через единственную тригонометрическую функцию - арктангенс. Точное решение, полученное для средней энергии двумерного Дайсоновского газа и верное при любом конечном N, позволило вычислить термодинамическую асимптотику этой величины и установить, что ее разложение при больших N идет по полуцелым степеням . Наконец, полученное для модели Гурвица интегральное представление открывает новые возможности для исследования этой модели физическими методами, а также широкое поле для обобщения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шакиров, Шамиль Ринатович, 2011 год

1. A.Zabrodin, Random matrices and Laplacian growth, arXiv:0907.4929

2. V.Kazakov, The appearance of matter fields from quantum fluctuations of 2D-gravity, Mod.Phys.Lett. A4 (1989) 2125;

3. E.Brezin and V.Kazakov, Exactly Solvable Field Theories Of Closed Strings, Phys. Lett. B236 (1990) 144;

4. D.Gross and A.Migdal, A Nonperturhative Treatment Of Two-Dimensional Quantum Gravity, Nucl.Phys. B340 (1990) 333;

5. A.Levin and A.Morozov, On the Foundations of the Random Approach to Quantum Gravity, Phys.Lett. 243B (1990) 207-214;

6. J. Ambjorn, J. Jurkiewicz, and Yu. M. Makeenko, Multiloop correlators for two-dimensional quantum gravity, Physics Letters В., 251 (1990), 517-524; P.Ginsparg, Matrix Models of 2d Gravity, hep-th/9112013;

7. A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Generalized matrix models as conformai field theories: Discrete case, Phys.Lett. В 265 (1991) 99-107;

8. C.F. Kristjansen, Random Geometries in Quantum Gravity, Doctoral Thesis, The Niels Bohr Institute, University of Copenhagen, 1993, hep-th/9310020;

9. P.Di Francesco, 2D Quantum Gravity, Matrix Models and Graph Combinatorics, math-ph/0406013

10. A.M.Polyakov, Mod.Phys.Lett., A2 (1987) 893-898

11. V.Knizhnik, A.Polyakov, A.Zamolodchikov, Mod.Phys.Lett., A3 (1988) 819

12. A.Morozov, String Theory, What is it?, Sov. Phys. Usp. 35 (1992) 671-714

13. V.Knizhnik, Multiloop amplitudes in the theory of quantum strings and complex geometry, Usp.Fiz.Nauk 159 (1989) 401-453 (Sov.Phys.Usp. 32 (1989) 945-971);

14. A.Gorsky, A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, RG Equations from Whitham Hierarchy, Nucl.Phys. B527 (1998) 690-716, hep-th/9802007;

15. H.Braden, A.Mironov and A.Morozov, QCD, Wick's Theorem for KdV r-functions and the String Equation, Phys.Lett. B514 (2001) 293-298, hep-th/0105169

16. A.Morozov, Integrability and Matrix Models, Phys.Usp. 37(1994) 1-55, hep-th/9303139; Matrix Models as Integrable Systems, hep-th/9502091;

17. A.Mironov, Matrix Models vs. Matrix Integrals, Theor.Math.Phys. 146 (2006) 63-72, hep-th/0506158

18. A.Gerasimov, A.Marshakov, A.Mironov, A.Morozov and A.Orlov, Nucl.Phys. B357 (1991) 565-618;

19. A.Morozov, Phys.Usp.(UFN) 35 (1992) 671-714; 37 (1994) 1, hep-th/9303139; hep-th/9502091; hep-th/0502010;

20. A.Mironov, Int.J.Mod.Phys. A9 (1994) 4355, hep-th/9312212; Phys.Part.Nucl. 33 (2002) 537; hep-th/9409190

21. E.Martinec, Phys.Lett., B367 (1996) 91-96;

22. A.Gorsky, S.Gukov and A.Mironov, Nucl.Phys., B517 (1998) 409-461; Nucl.Phys., B518 (1998) 689;

23. H.W.Braden, A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Nucl.Phys., B573 (2000) 553 hep-th/9906240; Phys.Lett., B448 (1999) 195, hep-th/9812078; Nucl.Phys., B573 (2000) 553, hep-th/9906240;

24. A.Gorsky and A.Mironov, Nucl.Phys., B550 (1999) 513, hep-th/9902030; hep-th/0011197 A.Mironov and A.Morozov, hep-th/0001168

25. A. Marshakov, Seiberg-Witten Theory and Integrable Systems, World Scientific, Singapore, 19991.tegrability: The Seiberg-Witten and Whitham Equations, Eds. H. Braden and I. Krichever (Gordon and Breach, 2000)

26. E.Martinec and N.Warner, Nucl.Phys., 459 (1996) 97; A.Gorsky, A.Marshakov, Phys.Lett., B374 (1996) 218-224;

27. H.Itoyama and A.Morozov, Nucl.Phys., B477 (1996) 855-877, hep-th/9511126; Nucl.Phys., B491 (1997) 529-573, hep-th/9512161, hep-th/9601168;

28. E.D'Hoker, I.M.Krichever and D.H.Phong, Nucl.Phys., B489 (1997) 179-210; Nucl.Phys., B489 (1997) 211-222;

29. N.Nekrasov, Nucl.Phys., B531 (1998) 323-344, hep-th/9609219; A.Marshakov, A.Mironov, Nucl.Phys., B518 (1998) 59-91; A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett., B475 (2000) 71;

30. H.Braden and A.Marshakov, Nucl.Phys. B595 (2001) 417-466; hep-th/0009060; N.Nekrasov and S.Shatashvili, Nucl.Phys. Proc.Suppl. B192-193 (2009) 91-112, arXiv:0901.4744; arXiv:0901.4748

31. J.Schwarz, Superconformal Chern-Simons Theories, JHEP 0411 (2004) 078, hep-th/0411077;

32. A.Basu and J.A.Harvey, The M2-M5 Brane System and a Generalized Nahm's Equation, Nucl.Phys. B713 (2005) 136-150, hep-th/0412310;

33. A.Gustavsson, Algebraic Structures on Parallel M2-branes, arXiv: 0709.1260; Self dual Strings and Loop Space Nahm Equations, arXiv: 0802.3456;

34. S.Mukhi and C.Papageorgakis, M2 to D2, arXiv: 0803.3218;

35. M.Bandres, A.Lipstein and J.Schwarz, N=8 Superconformal Chem-Simons Theories, arXiv: 0803.3242;

36. A.Morozov, On the Problem of Multiple M2 Branes, JHEP 08 05 (2008) 076, arXiv:0804.0913;

37. J.Gomis, G.Milanesi, and J.G.Russo, Bagger-Lambert Theory for General Lie Algebras, arXiv:0805.1012 v2;

38. S.Benvenuti, D.Rodriguez-Gomez, E.Tonni and H.Verlinde, N=8 superconformal gauge theories and M2 branes, arXiv:0805.1087;

39. P.-M.Ho, Y.Imamura and Y.Matsuo, M2 to D2 revisited, arXiv:0805.1202; A.Morozov, From Simplified BLG Action to the First-Quantized M-Theory, JETP Lett. 87 (2008) 659-662, arXiv:0805.1703;

40. Aharony, O.Bergman, D.L.Jafferis and J.Maldacena, N=6 superconformal Chern-Simons-matter theories, M2-branes and their gravity duals, JHEP 0810 (2008) 091, arXiv:0806.1218;

41. A.Bandos and P.K.Townsend, Light-cone M5 and multiple M2-branes, Class.Quant.Grav. 25 (2008) 245003, arXiv:0806.4777; SDiff Gauge Theory and the M2 Condensate, JHEP 0902 (2009) 013, arXiv:0808.1583;

42. J.Gomis, D.Rodriguez-Gomez, M. Van Raamsdonk and H.Verlinde, A Massive Study of M2-brane Proposals, JHEP 0809 (2008) 113, arXiv:0807.1074;

43. J.A.Minahan, W.Schulgin and K.Zarembo, Two loop integrability for Chem-Simons theories with N=6 super symmetry, arXiv:0901.1142

44. F.David, A Model of Random Surfaces with Nontrivial Critical Behavior, Nucl. Phys. B257 FS14] (1985) 45, 543;

45. J. Ambjorn, B. Durhuus and J. Frohlich, Diseases of Triangulated Random Surface Models, and Possible Cures, Nucl. Phys. B257 FS14. (1985) 433;

46. Analytical and Numerical Study of the Model of Dynamically Triangulated Random Surfaces, Nucl. Phys. B275 FS17. (1986) 641-,

47. Alvarez-Gaume, Random surfaces, statistical mechanics, and string theory, Lausanne lectures, 1990;

48. P. Di Francesco and C. Itzykson, A Generating Function for Fatgraphs, Annales Poincare Phys.Theor. 59 (1993) 117-140, hep-th/9212108

49. A.Zabrodin and P. Wiegmann, Large N expansion for the 2D Dyson gas, J.Phys.A39 (2006) 8933-8964, arXiv:hep-th/0601009

50. P. Di Francesco, M. Gaudin, C. Itzykson and F. Lesage, Laughlin's wave functions, Coulomb gases and expansions of the discriminant, Int. J.Mod.Phys. A9 (1994) 4257-4352, arXiv:hep-th/9401163

51. J.M. Caillol, D. Levesque, J.J.Weis, J.P. Hansen, J.Stat. Phys. 28 (1982) 325; S.W. de Leeuw, J.W. Perram, Physica A113 (1982) 546;

52. P. Choquard, J. Clerouin, Phys. Rev. Lett. 50 (1983) 2086;

53. A. Alastuey, B. Jancovici, J. Physique 42 (1981) 1;

54. B. Jancovici, Phys. Rev. Lett. 46 (1981) 386;

55. A. Alastuey, Annales de Physique 11 (1986) 653

56. A.Hurwitz, Uber Riemann'sche Flachen mit gegebenen Verzweigungpunkten, Math. Ann. 39 (1891) 1-61; Uber die Anzal der Riemann'sche Flachen mit gegebenen Verzweigungpunkten, Math.Ann. bf 55 (1902) 51-60

57. R. Vakil, Enumerative geometry of curves via degeneration methods, Harvard Ph.D. thesis (1997);

58. S.Natanzon and V.Turaev, A compactification of Hurwitz space, Topology, 38 (1999) 889914;

59. A.Givental, Gromov-Witten invariants and quantization of quadratic hamiltonians, math/0108100;

60. S.Lando, Ramified coverings of the two-dimensional sphere and intersection theory in spaces of meromorphic functions on algebraic curves, Russ.Math.Surv., 57 (2002) 463533;

61. T.Graber and R.Vakil, Hodge integrals and Hirwitz numbers via virtual localization, Compositio Math., 135 (2003) 25-36;

62. A.Mironov and A.Morozov, Virasoro constraints for Kontsevich-Hurwitz partition function, JHEP 0902 (2009) 024, arXiv:0807.2843

63. A.Okounkov, Toda equations for Hurwitz numbers, Math.Res.Lett. 7 (2000) 447-453; A.Okounkov and R.Pandharipande, Gromov- Witten theory, Hurwitz theory, and completed cycles, Ann. of Math. 163 (2006) 517, math.AG/0204305

64. E.Wigner, Characteristic Vectors of Bordered Matrices with Infinite Dimensions, Ann.Math. 62 (1955) 548; On the Distribution of the Roots of Certain Symmetric Matrices, Ann. of Math. 67 (1958) 325-328;

65. F.Dyson, J.Math.Phys. 3 (1962) 140, 157,166, 1191, 1199; F.Dyson and M. Mehta, J. Math. Phys. 4, 701 (1963)

66. A.Alexandrov, A.Mironov and A.Morozov, Partition functions of matrix models as the first special functions of string theory. I: Finite size Hermitean 1-matrix model, Int. J.Mod.Phys. A19 (2004) 4127, hep-th/0310113;

67. E.Brezin, C.Itzykson, G.Parisi and J.-B.Zuber, Comm. Math. Phys. 59 (1978) 35; D.Bessis, C.Itzykson and J.-B.Zuber, Adv. Appl. Math. 1 (1980) 109 ;

68. M.-L. Mehta, A method of integration over matrix variables, Comm. Math. Phys. 791981) 327; Random Matrices, 2nd edition, Acad. Press., N.Y., 1991;

69. J.Ambjorn, L.Chekhov, C.F.Kristjansen and Yu.Makeenko, Matrix Model Calculationsbeyond the Spherical Limit, Nucl.Phys. B404(1993) 127-172, Erratum B449 (1995) 681,hep-th/9302014;

70. B.Eynard, Large Random Matrices: Eigenvalue Distribution, hep-th/9401165; L. Chekhov and C. Kristjansen, Hermitian Matrix Model with Plaquette Interaction, Nucl.Phys. B479 (1996) 683-696, hep-th/9605013;

71. M.Fukuma, H.Kawai and R.Nakayama, Int.J.Mod.Phys. A6 (1991) 1385; R.Digkgraaf, E.Verlinde and H.Verlinde, Nucl.Phys. B348 (1991) 565; A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett. B252(1990) 47-52;

72. F.David, Loop Equations and Nonperturbative Effects in Two-Dimensional Quantum

73. Gravity, Mod.Phys.Lett. A5 (1990) 1019;

74. J.Ambjorn and Yu.Makeenko, Mod.Phys.Lett. A5 (1990) 1753;

75. H.Itoyama and Y.Matsuo, Phys.Lett. B255 (1991) 202;

76. A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, From Virasoro Constraints in Kontsevich's Model to W-constraints in 2-matrix Models, Mod. Phys. Lett. A7 (1992) 1345-1360, hep-th/9201010;

77. A.Mironov and A.Morozov, Virasoro constraints for Kontsevich-Hurwitz partition function, JHEP 0902 (2009) 024, arXiv:0807.2843

78. A. Gerasimov, A. Marshakov, A. Mironov, A. Morozov, and A. Orlov, Matrix Models of Two-Dimensional Gravity and Toda Theory, Nucl. Phys. B357 (1991) 565-61824. 0.1.Bogoyavlensky, Comm. Math. Phys., 51 (1976) 201-209

79. M.Olshanetsky and A.Perelomov, Phys.Rep., 94 (1983) 313-404; Invent. Math., 54 (1979)261.269; Theor.Math.Phys., 45 (1980) 3-18 B.Kostant, Adv. Math., 34 (1979) 195-338

80. A.Gerasimov, S.Kharchev, A.Marshakov, A.Mironov, A.Morozov and M.Olshanetsky, Int.J.Mod. Phys. A12 (1997) 2523-2584, hep-th/9601161

81. J. Harer, D. Zagier, The Euler Characteristic of the Moduli Space of Curves, Inv. Math. 85 (1986) 457-485

82. C. Itzykson, J.-B. Zubcr; Matrix integration and combinatorics of modular groups, Comm. Math. Phys. 134 (1990) 197-207;

83. B. Lass, Demonstration combinatoire de laformule de Harer-Zagier, C. R. Acad. Sci. Paris, Se'rie, I, 333, No.3 (2001), 155-160;

84. S.K. Lando, A.K. Zvonkine, Graphs on Surfaces and Their Applications, Springer (2003); I. P. Goulden and A. Nica, A direct bisection for the Harer-Zagier formula, J. Comb. Theory, A, 111, No. 2 (2005), 224-238

85. E.Akhmedov and Sh.Shakirov, Gluing of Surfaces with Polygonal Boundaries, arXiv:0712.2448

86. A. Zvonkin, Matrix integrals and map enumeration: an accessible introduction, Combinatorics and Physics (Marseilles 1995), Math. Comput. Model. 26 (1997) 281-304

87. P. Forrester, N. Snaith and J. Verbaarschot, Developments in Random Matrix Theory, J. Phys. A36 2859-3645, cond-mat/0303207

88. A.Morozov, Challenges of matrix models, hep-th/0502010;

89. M. Kontsevich, Intersection theory on the moduli space of curves, Funk. Anal. Prilozh., 25:2 (1991) 50-57; Intersection theory on the moduli space of curves and the Airy function, Comm.Math.Phys. 147 (1992) 1-23;

90. A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, On the Equivalence of Topological and Quantum 2d Gravity, Phys.Lett. 274B (1992) 280-288, hep-th/9201011;

91. P. Di Francesco, C. Itzykson and J.-B.Zuber, Polynomial averages in the Kontsevich model, Comm.Math.Phys. 151 (1993) 193-219, hep-th/9206090;

92. A.Mironov, A.Morozov and G.Semenoff, Unitary matrix integrals in the framework of Generalized Kontsevich Model. I. Brezin-Gross-Witten Model, Int.J.Mod.Phys. All (1996) 5031-5080, hep-th/9404005;

93. A.Alexandrov, A.Mironov, A.Morozov and P.Putrov, Partition Functions of Matrix Models as the First Special Functions of String Theory. II. Kontsevich Model, arXiv:0811.2825;

94. M. Aganagic, R. Dijkgraaf, A. Klemm, M. Marino and C. Vafa, Topological strings and integrable hierarchies, arXiv:hep-th/0312085;

95. M. Aganagic, R. Dijkgraaf, A. Klemm, M. Marino, and C. Vafa, Topological strings and integrable hierarchies, hep-th/0312085;

96. Jaume Gomis, Anton Kapustin, Two-Dimensional Unoriented Strings And Matrix Models, JHEP 0406 (2004) 002, hep-th/0310195;

97. A. Kapustin, Gauge theory, topological strings, and S-duality, JHEP0409:034,2004, hep-th/0404041; Topological strings on noncommutative manifolds, hep-th/0310057, Int.J.Geom.Meth.Mod.Phys. 1 (2004) 49-81;

98. A. Kapustin, L. Rozansky, On the relation between open and closed topological strings, Commun.Math.Phys. 252 (2004) 393-414, hep-th/0405232;

99. M. Temurhan, Random matrices in topological string theory, Doctoral Thesis, University of Amsterdam, 2005

100. K. Demeterfi, N.Deo, S.Jain and C.-I Tan, Phys.Rev. D42 (1990) 4105-4122; J. Jurkiewicz, Phys.Lett. 245 (1990) 178;

101. C. Crnkovicz and G.Moore, Phys.Lett. B257 (1991) 322;

102. G. Akemann and J.Ambjorn, J.Phys. A29 (1996) L555-L560, cond-mat/9606129; G.Akemann, Higher genus correlators for the Hermitian matrix model with multiple cuts, Nucl.Phys. B482 (1996) 403-430, hep-th/9606004

103. Chekhov and A.Mironov, Matrix models vs. Seiberg-Witten/Whitham theories, Phys.Lett. B552 (2003) 293-302, hep-th/0209085;

104. R.Dijkgraaf, S.Gukov, V.Kazakov and C.Vafa, Analysis of Gauged Matrix Models, Phys.Rev. D68 (2003) 045007, hep-th/0210238;

105. V.Kazakov and A.Marshakov, Complex Curve of the Two Matrix Model and its Tau-function, J.Phys. A36 (2003) 3107-3136, hep-th/0211236;

106. S.Naculich, H.Schnitzer and N. Wyllard, Matrix model approach to the N—2 U(N) gauge theory with matter in the fundamental representation, JHEP 0301 (2003) 015, hep-th/0211254;

107. B.Feng, Geometric Dual and Matrix Theory for SO/Sp Gauge Theories, Nucl.Phys. B661 (2003) 113-138, hep-th/0212010;

108. Bena, S.de Haro and R.Roiban, Generalized Yukawa couplings and Matrix Models, Nucl.Phys. B664 (2003) 45-58, hep-th/0212083;

109. Ch.Ann, Supersymmetric SO(N)/Sp(N) Gauge Theory from Matrix ModeLExact Mesonic Vacua, Phys.Lett. B560 (2003) 116-127, hep-th/0301011;

110. Chekhov, A.Marshakov, A.Mironov and D.Vasiliev, DV and WDVV, hep-th/0301071; Complex Geometry of Matrix Models, Proc. Steklov Inst.Math. 251 (2005) 254, hep-th/0506075;

111. M.Matone and L.Mazzucato, Branched Matrix Models and the Scales of Supersymmetric Gauge Theories, JHEP 0307 (2003) 015, hep-th/0305225;

112. R.Argurio, G.Ferretti and R.Heise, An Introduction to Supersymmetric Gauge Theories and Matrix Models, Int.J.Mod.Phys. A19 (2004) 2015-2078, hep-th/0311066;

113. M.Gomez-Reino, Exact Superpotentials, Theories with Flavor and Confining Vacua, JHEP 0406 (2004) 051, hep-th/0405242;

114. Sh.Aoyama, The Disc Amplitude of the Dijkgraaf-Vafa Theory: 1/N Expansion vs Complex Curve Analysis, JHEP 0510 (2005) 032, hep-th/0504162;

115. D.Berenstein and S.Pinansky, Counting conifolds and Dijkgraaf-Vafa matrix models for three matrices, hep-th/0602294

116. F. Cachazo, K. Intriligator and C. Vafa A Large N Duality via a Geometric Transition, Nucl.Phys. B603 (2001) 3-41, hep-th/0103067;

117. F.Cachazo and C.Vafa, N=1 and N=2 Geometry from Fluxes, hep-th/0206017; M.Matone and L.Mazzucato, Branched Matrix Models and the Scales of Supersymmetric Gauge Theories, JHEP 0307 (2003) 015, hep-th/0305225;

118. Chekhov and A.Mironov, Matrix models vs. Seiberg-Witten/Whitham theories, Phys.Lett. B552 (2003) 293-302, hep-th/0209085;

119. R.Dijkgraaf, S.Gukov, V.Kazakov and C.Vafa, Analysis of Gauged Matrix Models, Phys.Rev. D68 (2003) 045007, hep-th/0210238;

120. V.Kazakov and A.Marshakov, Complex Curve of the Two Matrix Model and its Tau-function, J.Phys. A36 (2003) 3107-3136, hep-th/0211236;

121. S.Naculich, H.Schnitzer and N. Wyllard, Matrix model approach to the N=2 U(N) gauge theory with matter in the fundamental representation, JHEP 0301 (2003) 015, hep-th/0211254;

122. B.Feng, Geometric Dual and Matrix Theory for SO/Sp Gauge Theories, Nucl.Phys. B661 (2003) 113-138, hep-th/0212010;

123. Bena, S.de Haro and R.Roiban, Generalized Yukawa couplings and Matrix Models, Nucl.Phys. B664 (2003) 45-58, hep-th/0212083;

124. Ch.Ann, Supersymmetric SO(N)/Sp(N) Gauge Theory from Matrix Model:Exact Mesonic Vacua, Phys.Lett. B560 (2003) 116-127, hep-th/0301011;

125. Chekhov, A.Marshakov, A.Mironov and D.Vasiliev, DV and WDVV, hep-th/0301071; Complex Geometry of Matrix Models, Proc. Steklov Inst.Math. 251 (2005) 254, hep-th/0506075;

126. M.Matone and L.Mazzucato, Branched Matrix Models and the Scales of Super symmetric Gauge Theories, JHEP 0307 (2003) 015, hep-th/0305225;

127. Sh.Aoyama, The Disc Amplitude of the Dijkgraaf-Vafa Theory: 1/N Expansion vs Complex Curve Analysis, JHEP 0510 (2005) 032, hep-th/0504162;

128. D.Berenstein and S.Pinansky, Counting conifolds and Dijkgraaf-Vafa matrix models for three matrices, hep-th/0602294

129. A.Morozov and Sh.Shakirov, Generation of Matrix Models by W-operators, JHEP, 0904 (2009) 064, arXiv: 0902.2627

130. A.Alexandrov, A.Mironov and A.Morozov, M-theory of matrix models, Theor.Math.Phys. 150 (2007) 179-192, hep-th/0605171; Instantons and merons in matrix models, Physica D 235 (2007) 126-167, hep-th/0608228;

131. N.Orantin, Symplectic invariants, Virasoro constraints and Givental decomposition ,arXiv:0808.0635

132. D.Bessis, A new method in the combinatorics of the topological expansion, Comm.Math.Phys. 69 (1979) 147;

133. A.Migdal, Loop equations and 1/N expansion, Phys.Rep. 102 (1983) 199; Yu.Makeenko, A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Continuum versus discrete Virasoro in one-matrix models, Nucl.Phys. B356 (1991) 574;

134. J. Ambjorn and C.F. Kristjansen, From l-matrix model to Kontsevich model, Mod.Phys.Lett. A8 (1993) 2875-2890, hep-th/9307063;

135. B.Eynard and N.Orantin, Topological expansion of the 2-matrix model correlation functions: diagrammatic rules for a residue formula, JHEP 0612 (2006) 026, math-ph/0504058;

136. Chekhov and B.Eynard, Hermitean matrix model free energy: Feynman graph technique for all genera, JHEP 0603 (2006) 014, hep-th/0504116; Matrix eigenvalue model: Feynman graph technique for all genera, JHEP 0612 (2006) 026, math-ph/0604014

137. B.Eynard and N.Orantin, Topological expansion of the 2-matrix model correlation functions: diagrammatic rules for a residue formula, JHEP 0612 (2006) 026, math-ph/0504058;

138. N.Orantin, Gaussian matrix model in an external field and non-intersecting Brownian motions, arXiv:0803.0705

139. M. L. Mehta, Randommatrices, Pure and Applied Mathematics Series 142 (2004);

140. B. Eynard and O. Marchal, Topological expansion of the Bethe ansatz, and non-commutative algebraic geometry, JHEP 0903 (2009) 094, arXiv:0809.3367; P. Desrosiers, Duality In Random Matrix Ensembles For All Beta, Nucl. Phys. B 817 (2009) 224

141. R. Dijkgraaf and C. Vafa, Toda Theories, Matrix Models, Topological Strings, and N=2 Gauge Systems, arXiv:0909.2453;

142. H.Itoyama, K.Maruyoshi and T.Oota, Notes on the Quiver Matrix Model and 2d~4d Conformal Connection, arXiv:0911.4244;

143. T. Eguchi and K. Maruyoshi, Penner Type Matrix Model and Seiberg-Witten Theory, arXiv:0911.4797;

144. R. Schiappa and N. Wyllard, An Ar threesome: Matrix models, 2d CFTs and 4d N=2 gauge theories, arXiv:0911.5337;

145. A.Mironov, A.Morozov and Sh.Shakirov, Matrix Model Conjecture for Exact BS Periods and Nekrasov Functions, arXiv:0911.5721;

146. A.Mironov, A.Morozov and Sh.Shakirov, Conformal Blocks as Dotsenko-Fateev Integral Discriminants, arXiv: 1001:0563

147. L.Alday, D.Gaiotto and Y.Tachikawa, Lett.Math.Phys. 91 (2010) 167-197, arXiv:0906.3219

148. N.Drukker, D.Morrison and T.Okuda, JHEP 0909 (2009) 031, arXiv:0907.2593; Andrey Mironov, Sergey Mironov, Alexei Morozov and Andrey Morozov, arXiv:0908.2064; S.Iguri and C.Nunez, JHEP 11 (2009) 090 , arXiv:0908.3460;

149. D.Nanopoulos and D.Xie, arXiv:0908.4409; JHEP 1003 (2010) 043, arXiv:0911.1990; arXiv: 1005.1350; arXiv: 1006.3486;

150. Alday, D.Gaiotto, S.Gukov, Y.Tachikawa and H.Verlinde, JHEP 1001 (2010) 113, arXiv:0909.0945;

151. N.Drukker, J.Gomis, T.Okuda and J.Teschner, JHEP 1002 (2010) 057, arXiv:0909.1105; A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, JHEP 11 (2009) 048, arXiv:0909.3338; JHEP 0912 (2009) 038, arXiv:0909.3412;

152. G.Bonelli and A.Tanzini, arXiv:0909.4031; J.-F.Wu and Y.Zhou, arXiv:0911.1922;

153. G.Giribet, JHEP 01 (2010) 097, arXiv:0912.1930;

154. N.Nekrasov and E.Witten, arXiv: 1002.0888

155. Wei He and Yan-Gang Miao, arXiv: 1006.1214; arXiv: 1006.5185; S.Kanno, Y.Matsuo and S.Shiba, arXiv:1007.0601;

156. K.Maruyoshi and M.Taki, arXiv: 1006.4505;

157. P. Wiegmann and A. Zabrodin, Large N expansion for normal and complex matrix ensembles, arXiv:hep-th/0309253

158. Y. Lutsyshyn and J. Boronat, in preparation

159. A.Zamolodchikov, Theor.Math.Phys. 63 (1985) 1205;

160. A.Marshakov and A.Morozov, A Note on W3-Algebra, Nucl.Phys. B339 (1990) 79-94; A. Morozov, On the Concept of Universal W Algebra, Nucl.Phys. B357 (1991) 619-631

161. Harish-Chandra, Am. J. Math. 79 (1957) 87

162. C.Itzykson and J.-B.Zuber, J.Math.Phys. 21 (1980) 411

163. J.Duistermaat and G.Heckman, Invent.Math. 69 (1982) 259

164. A. Hietamaki, A.Morozov, A.Niemi and K.Palo, Geometry of N=1/2 supersymmetry and the Atiyah-Singer index theorem, Phys.Lett. B263 (1991) 417-424;

165. Supersymplectic geometry of supersymmetric quantum field theories, Nucl.Phys. B377 (1992) 295-338;

166. M.Bowick, A.Morozov and D.Shevitz, Reduced unitary matrix models and the hierarchy of tau functions, NucLPhys. B354 (1991) 496-530;

167. A.Morozov, Pair Correlator in the Itzykson-Zuber Integral, Mod. Phys. Lett. A7 (1992) 3503-3508, hep-th/9209074;

168. S.Shatashvili, Correlation Functions in The Itzykson-Zuber Model, Comm.Math.Phys. 154 (1993) 421-432, hep-th/9209083;

169. A.Mironov, A.Morozov and G.Semenoff, Unitary matrix integrals in the framework of Generalized Kontsevich Model I. Brezin-Gross-Witten Model, Int.J.Mod.Phys. All (1996) 5031-5080, hep-th/9404005;

170. B.Eynard, A short note about Morozov's formula, math-ph/0406063;

171. A. Ferrer, B. Eynard, P. Di Francesco and J.-B. Zuber, Correlation Functions of Harish-Chandra Integrals over the Orthogonal and the Symplectic Groups, J.Stat.Phys. 129 (2009) 885-935, math-ph/0610049; /

172. M.Bergere and B. Eynard, Some properties of angular integrals, arXiv:0805.4482

173. A.Morozov and Sh.Shakirov, On equivalence of two Hurwitz matrix models, Mod.Phys.Lett.A24:2659-2666,2009, arXiv:0906.2573