О гомологических свойствах нильпотентных алгебр Ли и лиевых функторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Романовский Владислав Романович

• Романовский Владислав Романович
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Романовский Владислав Романович

Содержание

1. Введение

1.1. Теорема Кёртиса о связности

1.2. Гомологии алгебр Ли над кольцами

1.3. Кручение в гомологиях свободных нильпотентных алгебр Ли

1.4. Цели и задачи диссертационной работы

1.5. Методы

1.6. Научная новизна

1.7. Теоретическая и практическая значимость

1.8. Степень достоверности, публикации и апробация результатов

1.9. Личный вклад

1.10. Благодарности

1.11. Основные научные результаты

1.12. Положения, выносимые на защиту

2. Простое доказательство теоремы Кёртиса о связности для лиевых степеней

2.1. Градуированный комплекс Шевалле-Эйленберга

2.2. Связность функторов

2п

2.3. Связность L

3. Гомологии алгебр Ли над коммутативными кольцами

3.1. Напоминание бар конструкции

3.2. Спектральная последовательность Шевалле-Эйленберга

3.3. Относительная чистота

3.4. Комплексы Кошуля

3.5. Относительные Tor гомологии

3.6. Относительные симплициальные гомологии

3.7. Вторые гомологии и формула Хопфа

3.8. Приложение: свойство ПБВ

4. Гомологии свободных нильпотентных колец Ли

4.1. Методы вычислений

4.2. 3-кручение

4.3. Приложение 47 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О гомологических свойствах нильпотентных алгебр Ли и лиевых функторов»

1. Введение

Работа посвящена изучению гомологических свойств алгебр Ли и лиевых функторов. Текст разделён на три главы. В первой главе мы приводим простое доказательство теоремы Кёр-тиса о связности, которая утверждает, что если применить функтор n-ой лиевой степени к связной свободной симплициальной абелевой группе, то её связность повысится на [log2 n |. Доказательство этой теоремы было одним из наиболее технически сложных этапов в доказательстве сходимости нестабильной спектральной последовательности Адамса. Таким образом, первая глава нашей работы позволяет существенно упростить это доказательство. Упрощение доказательства происходит благодаря тому, что мы отказываемся от использования разложения Кёртиса лиевых степеней, изучение которых составляло наиболее технически сложную часть в доказательстве Кёртиса. Вместо этого мы пользуемся комплексом Шевалле-Эйленберга для свободных алгебр Ли. Во второй главе мы рассматриваем пять типов гомологий алгебр Ли над коммутативными кольцами, которые, как известно, эквивалентны над полями. Однако мы показываем, что они неэквивалентны над произвольными коммутативными кольцами, и даже над Z, и изучаем связи между ними. В частности, было доказано, что все пять типов гомологий естественно изоморфны, когда алгебра Ли является плоским модулем. В третьей главе изложены результаты вычислений целочисленных гомо-логий свободных нильпотентных алгебр Ли в системе вычислительной алгебры GAP. Наше внимание было сосредоточено на возникновении неожиданного кручения в этих гомологиях, аналогичного тому, которое возникает для 4-порождённых свободных нильпотентных групп ступени 2. Главный результат заключается в том, что даже для двух образующих в четвёртых целочисленных гомологиях возникает кручение, когда ступень нильпотентности равна 5. Причём возникает 7-кручение, и не возникает никакого другого кручения. Все результаты представленной работы опубликованы в 2020-2021 годах в [28], [27] и [42]. Далее мы расскажем подробнее про каждую главу.

1.1. Теорема Кёртиса о связности.

В первой главе рассматриваются функторы лиевых степеней Ln ■ Mod(k) — Mod(k) и исследуется вопрос об их связности. В [13] Кёртис построил спектральную последовательность, которая сходится к гомотопическим группам п*(Х) односвязного пространства X. Она была описана на языке симплициальных групп. Эта спектральная последовательность была начальной версией нестабильной спектральной последовательности Адамса (см. [11, §9], [6]). Напомним, что симплициальная группа G, называется n-связной, если n^G,) = 0 для всех i ^ n. Для группы G мы обозначаем через Yn(G) n-ый член нижнего центрального ряда, который определяется по рекурсии Yi(G) = G и Yn+i(G) = [yn(G),G]. Если группа понятна из контекста, мы используем упрощенное обозначение Yn ■= Yn(G). Чтобы доказать сходимость этой спектральной последовательности, Кёртис доказал теорему, которую мы называем "Теоремой Кёртиса о связности для нижнего центрального ряда". Она может быть сформулирована следующим образом.

Теорема 1.1. ([13]) Если G. — k-связная свободная симплициальная группа с k ^ 0, то симплициальная группа yn(G.) k + [log2 nl-связна.

Кёртис приводит трудное доказательство, использующее тонкие вычисления на порождающих в свободных группах. Позднее Ректор [40] описал mod-p аналог этой спектральной последовательности, где нижний центральный ряд заменён mod-p нижним центральным рядом. После Квиллен [39] нашёл более концептуальный способ доказать теорему о связности для mod-p нижнего центрального ряда, используя симплициальные проконечные группы.

Этого результата было достаточно, чтобы доказать сходимость шоё-р версии спектральной последовательности. Квиллен свёл эту теорему о связности к предшествовавшему результату Кёртиса, который мы называем "Теоремой Кёртиса о связности для степеней Ли". Обозначим Ьп ■ АЬ — АЬ функтор п-ой лиевой степени. Тогда теорему можно сформулировать следующим образом.

Теорема 1.2. ([12]) Если Л, — к-связная свободная абелева симплициальная группа, то симплициальная абелева группа Ьп(Л,) к + |"^2 п~\-связна.

Доказательство Кёртиса этой теоремы довольно сложно и занимает большую часть статьи (см. [12, §4 - §7]). Он использует так называемое "разложение лиевых степеней" в меньшие функторы. Разложение является своего рода фильтрацией на функторе Ьп (см. [12, §4]). Цель первой главы данной работы — представить более простое доказательство этой теоремы без использования этого разложения. Вместо этого мы используем комплекс Шевалле-Эйленберга для свободной алгебры Ли. Мы также обобщаем утверждение на случай модулей над произвольным коммутативным кольцом.

Пусть к — коммутативное кольцо. Назовём функтор Т ■ Мо^к) — Мо^к) и-связным, если для любого к ^ 0 и любого к-связного свободного симплициального модуля Л, сим-плициальный модуль Т(Л,) является к + п-связным. В этих терминах автором доказано следующее утверждение.

Теорема 1.3. Функтор лиевой степени Ьп ■ Мо^к) — Мо^к) является |"^2 п\-связным.

Мы также отмечаем, что эта оценка связности Ьп является наилучшей для п = 2т. Это вытекает как простое следствие описания гомотопических групп 2-ограниченных степеней Ли на языке лямбда-алгебр, приведённом в [11] и [6] (см. также [35], [32]). Следующий результат принадлежит нашему соавтору А. В. Семенову, получен в [28] и включён в диссертацию для полноты изложения.

2«.

Предложение 1.4. Если к = Z или к = ^/2, то функтор Ь ■ Мо^к) — Мо^к) не

является п + 1-связным.

Заметим, что наше доказательство основной теоремы довольно элементарно. Однако предложение является следствием некоторого нетривиального результата о лямбда-алгебрах.

Предположим, что 0 — алгебра Ли, свободная как модуль над коммутативным кольцом к. Под комплексом Шевалле-Эйленберга алгебры 0 мы имеем в виду комплекс, компоненты которого являются внешними степенями Лгд и гомологии которого являются гомологи-ями алгебры Ли с тривиальными коэффициентами Я*(д). Мы рассматриваем свободную алгебру Ли как функтор из категории свободных модулей в категорию алгебр Ли. Свободная алгебра Ли имеет естественную градуировку, компоненты которой — это лиевы степени Ь*(Л) = еп^Ьп(Л). Здесь мы рассматриваем лиевы степени как функторы из категории свободных модулей Ьп ■ РМо^к) — Мо^к). Градуировка на свободной алгебре Ли индуцирует градуировку на комплексе Шевалле-Эйленберга, компоненты которой дают точные последовательности функторов из категории свободных модулей:

0 — Л2 — Ь2 — 0 0 — Л3 — Ы 9 Ь2 — Ь3 — 0 0 — Л4 — Л2 9 Ь2 — (Ы 9 Ь3) е Л2Ь2 — Ь4 — 0, где г-ая компонента п-ого комплекса может быть описана как

Лк1 Ь1 9 Лк2 Ь2 9 ... 9 Лкп Ьп

е

к! + ...+кп=г к1-1+к2'2+...+к„-п=п

(см. Следствие 2.2), и Лк°Ls обозначает композицию функтора лиевой степени и функтора внешней степени. Мы пользуемся этими комплексами для проведения индукции в доказательстве основного результата.

Все результаты первой главы опубликованы в [28].

1.2. Гомологии алгебр Ли над кольцами.

Вторая глава посвящена изучению гомологий алгебр Ли. Здесь рассматривается пять способов определения гомологий алгебр Ли, а именно, как Tor гомологии, Относительные Tor гомологии, гомологии Шевалле-Эйленберга, Симплициальные гомологии и Относительные симплициальные гомологии. Мы изучаем связь между пятью различными определениями гомологий алгебр Ли, которые эквивалентны над полями, но оказываются неэквивалентны над коммутативными кольцами. Например, если мы рассмотрим g = Z/2 как абеле-ву алгебру Ли над Z, старшие гомологии комплекса Шевалле-Эйленберга зануляются, но Tor^n+^Z, Z) = Z/2 для всякого n Ф 0. О других подходах к схожим вопросам см. [15], [36],

[44], [38].

Пусть g — алгебра Ли над коммутативным кольцом k, а Ug — её универсальная обёртывающая алгебра. Мы рассматриваем следующие варианты гомологий g.

(1) Tor гомологии определяются с помощью функтора Tor:

HT(g) = TorUg(k, k).

(2) Относительные Tor гомологии определяются с помощью функтора относительный Tor:

HRT(g) = Tor(U g,k)(k, k).

(3) Гомологии Шевалле-Эйленберга определяются как

HCE(g) = H*(CE.(g)),

где CE.(g) — комплекс Шевалле-Эйленберга g.

(4) Симплициальные гомологии определены как комонадные производные функторы (см.

s

[4]) функтора абелианизации ab ■ Lie — Mod относительно комонады G свободно-забывающего сопряжения категории алгебр Ли с категорией множеств Sets ^ Lie.

HS+i(g) = L® ab(g).

Производный функтор может быть эквивалентно определён как производный функтор по Тирни-Вогелю [46] или по Квиллену [9, Гл. XIII], но здесь мы предпочитаем язык комонадных производных функторов.

(5) Относительные симплициальные гомологии определены схожим образом с симпли-циальными гомологиями, но вместо комонады G мы рассматриваем комонаду G другого сопряжения, сопряжения категории алгебр Ли с категорией k-модулей Mod ^ Lie

HR+i(g) = L® ab(g).

Мы доказываем, что при определённых условиях некоторые определения эквивалентны. А именно, мы доказываем следующие две теоремы.

Теорема (Теорема 3.46). Если k — любое коммутативное кольцо, и g — плоский модуль над k, то все эти типы гомологий естественно изоморфны

H (g) = HT(g) = HCE(g) = HRT(g) = HRS (g).

Отметим, что когомологическая версия изоморфизма HS(g) = HT(g) для плоских алгебр Ли g была доказана Квилленом [38, Предл. 3.7].

Теорема (Теорема 3.45, Теорема 3.50). Если к — область главных идеалов, и 0 — произвольная алгебра Ли над к, то существуют естественные изоморфизмы

Я^б) - Я*Т(0) -

и естественные изоморфизмы всех типов вторых гомологии

Я!(0) * Я2Т(0) - Я2СЕ(0) - Я2КТ(0) - Я2К5(0).

Две теоремы, приведённые выше, не принадлежат автору диссертации полностью и являются плодом совместного труда автора и соавторов.

Соавторами А. А. Зайковским и Ф. Ю. Павутницким приведён пример алгебры Ли 0 над Z, такой что

Яз (0) - , ЯзТ(0) - №)4,

ЯзСЕ(0) = ЯзКТ(0) = ЯзК5(0) = 0

(Предложение 3.19). Автором получен пример, такой что

ЯзСЕ(0) / Яз%)

(Предложение 3.47). Эти примеры показывают, что единственная возможность для изоморфизма среди пяти типов гомологий — это изоморфизм между Я*Т(0) и Я^(0). Однако мы не верим, что они изоморфны и оставляем это в качестве гипотезы.

Гипотеза. Существует коммутативное кольцо к, такое что функторы Я * и Я* не изоморфны.

Самая трудная часть в этих примерах состояла в вычислении симплициальных гомологий Я35 для некоторых алгебр Ли над Z. Чтобы сделать это, мы строим спектральную последовательность, которую называем спектральной последовательностью Шевалле-Эйленберга. Мы рассматриваем производные версии комплекса Ше-валле-Эйленберга

ЬтСБ.(0) ■ ----» ЬтЛп(0) —» ЬтЛп-1(0) —» ...,

где ЬтЛп(-) = ЬтЛп(-, 0) это несмещённый производный функтор в смысле Дольда-Пуппе (см. [16]) функтора внешней степени. Гомологии ЬтСЕ,(0) обозначаем Я^т^). Модули

Яп,т(0) называем производными гомологиями Шевалле-Эйленберга. Следующий результат получен нашим соавтором А. А. Зайковским и включён в текст диссертации для полноты изложения.

Теорема (Теорема 3.11). Для всякой алгебры Ли 0 над любым коммутативным кольцом к существует спектральная последовательность, сходящаяся от производных гомологии Шевалле-Эйленберга к симплициальным гомологиям

Яп,т(0) ^ Яп+т(0).

Важный инструмент в нашей работе — это комплекс Кошуля к-модуля, который может быть построен как связь между функторами симметрических степеней и внешних степеней:

(1.1) 0 — ЛпМ —----> ^М 9 Лп-*М —----> 5пМ — 0.

Эти комплексы получаются из общей конструкции комплекса Кошуля в коммутативной алгебре (см. детали в разделе 3.4). Известно, что если М — плоский к-модуль, то эти комплексы ацикличны [26]. Автором получена следующая теорема.

Теорема (Теорема 3.33). Пусть М — модуль над коммутативным кольцом к и п Ф 1 натуральное число. Предположим, что одно из следующих свойств выполнено:

(1) к — область главных идеалов;

(2) М — плоский модуль;

(3) п ■ 1к обратим в к.

Тогда комплекс Кошуля (1.1) чисто ацикличен (см. [17]). Кроме того, в случае (3) он стягиваем.

Мы также приводим пример коммутативного кольца к и модуля М, таких что все эти комплексы не ацикличны. Кроме того, мы приводим пример к и М, таких что отображение

2

ЛМ — М ® М, а л Ь ^ а ® Ь — Ь ® а

не инъективно (Следствие 3.35).

-г-г 2

В Приложении мы показываем, что если для к-модуля М отображение Л М — М ® М не инъективно, то алгебра Ли 0 = М Ф Л2М, где [а, Ь] = а л Ь для а, Ь е М и [а, — ] = 0 = [ —, а]

2 -г-г

для а е Л2М, не удовлетворяет свойству Пуанкаре-Биркгофа-Витта. Эти примеры связаны с примерами алгебр Ли, построенными Коном [10] и Ширшовым [48].

Результаты второй главы опубликованы в [27].

1.3. Кручение в гомологиях свободных нильпотентных алгебр Ли.

Результаты третьей главы принадлежат автору и опубликованы в [42]. В третьей главе исследуется вопрос о наличии кручения в гомологиях свободных нильпотентных кольцах Ли малых ступеней. Кольцом Ли мы называем алгебру Ли над Z. Помимо самого факта наличия кручения, интересным оказывается тот факт, что кручение возникает непоследовательно. Например, в свободном нильпотентном кольце Ли на двух порождающих первое кручение возникает на пятой ступени нильпотентности, и это оказывается 7-кручением. А именно, имеет место изоморфизм

Я4(Ь(а,Ь)/7б) = Ф Z/7,

где ¿(а, Ь) — это свободное двухпорожденное кольцо Ли, и 76 — шестой член его нижнего центрального ряда.

Если зафиксировать ступень нильпотентности и варьировать число порождающих, то первое кручение в кольце Ли ступени нильпотентности 2 возникает на четырёх порождающих, и это оказывается 3-кручением. Все кручения были обнаружены с помощью компьютерных вычислений, однако для 3-кручения приводится и чисто теоретическое доказательство.

Напомним, что группа О называется нильпотентной ступени N, если 'ум+1 (С) = 1. Например, абелевы группы — это нильпотентные группы ступени 1. Свободная нильпотентная группа ступени N — это факторгруппа свободной группы по 7м+1. Соответствующие понятия для колец Ли определяются аналогично. Когда группа О понятна из контекста, будем писать 7„ вместо 7га(С).

Гомологии свободных нильпотентных групп и алгебр Ли представляют большой интерес (см. [25], [24]). Гомологии конечно порождённых абелевых групп хорошо известны: если А свободная абелева группа, то п-ая группа гомологий выражается как её п-ая внешняя степень Яга(А) = ЛПА. Таким образом, мы получаем Нга^т) = Z(nи следовательно, гомологии свободных абелевых групп свободны. Но совсем по-другому дело обстоит с гомологиями конечно порождённых нильпотентных групп. Даже для случая свободных нильпотентных групп ступени 2 они не известны полностью. Неожиданностью для исследователей оказался тот факт, что в четвёртых гомологиях 4-порождённой свободной нильпотентной группы ступени 2 возникает 3-кручение ([31], смотри также [47])

Z/3 ^ Я4(^(а,Ь,М)/7а).

Это было неожиданно потому, что гомологии свободных в том или ином смысле объектов обычно свободны от каких-либо соотношений и не имеют кручения. Кроме того, известно, что во вторых и третьих гомологиях свободных нильпотентных групп нет кручения. Так же

его нет и в четвёртых гомологиях, если число образующих меньше четырёх, а класс нильпотентности равен двум. Ещё одной неожиданностью оказалось то, что возникло именно 3-кручение, а не 2-кручение. В подобных вопросах обычно кручения возникают последовательно от меньших к большим. Например, в соответствии со знаменитым результатом Серра, р-кручение в гомотопических группах 2) впервые возникает при n = 2р [43].

Это 3-кручение в четвёртых гомологиях возникает, когда количество образующих больше или равно 4, но кручения нет, когда количество образующих равно двум или трём, если мы рассматриваем свободные нильпотентные группы ступени 2. Остаётся открытым вопрос, есть ли кручение в гомологиях свободных нильпотентных групп от двух или трёх образующих, если мы рассматриваем нильпотентные группы большей ступени.

Хорошо известно, что теория гомологий колец Ли во многом похожа на теорию гомологий групп. Более того, в [47] построен изоморфизм целочисленных гомологий

Hra(G) = H„(G),

где G — свободная нильпотентная группа ступени 2, а G — свободное нильпотентное кольцо Ли ступени 2 с тем же числом свободных образующих. Преимуществом колец Ли является то, что их гомологии гораздо проще для вычислений. Поэтому мы решили заняться поиском кручения в гомологиях свободных нильпотентных колец Ли с малым числом образующих.

Первый раздел посвящён созданию алгоритма для вычисления целочисленных гомологий свободных нильпотентных колец Ли и вычислению H4(L(x!,... , )/yn+i) c помощью вычислительной системы GAP. Здесь мы через L(xi,... ) обозначаем свободное кольцо Ли, порождённое х1,... , . Наиболее интересным результатом является следующая теорема.

Теорема. Четвёртые гомологии 2-порождённого свободного нильпотентного кольца Ли ступени 5 имеют 7-кручение и не имеют никакого другого кручения. Более того, имеет, место изоморфизм

H4(L(a,b)/76) = Z85 е Z/7.

Причём вторые и третьи гомологии этого кольца не имеют кручения, а также нет кручения в четвёртых гомологиях, если ступень нильпотентности меньше пяти.

Более того, мы явно доказываем (без использования компьютера) следующий факт.

Теорема. (Теорема 4.1) Пусть N = L(a, b, c, d)/Y3 — 4-порождённое нильпотентное кольцо Ли ступени 2. Рассмотрим элемент,

а = a л [b, c] Л [b, d] Л [c, d] e Л4Ж

Тогда а представляет ненулевое 3-кручение в гомологиях H4(N).

Таким образом, мы показываем, что для колец Ли ступени нильпотентности пять достаточно всего двух образующих, чтобы возникло кручение. Этот результат нам кажется ещё более интересным, чем результат о 3-кручении в случае групп, потому что кручение возникает ещё более непоследовательно. Первым возникло не 2-кручение, не 3-кручение и даже не 5-кручение, а 7-кручение.

Также мы получили аналог теоремы про 3-кручение для нильпотентных групп в случае колец Ли, т.е. в H4(L(x1,x2,..., )/y3) при r > 4 есть 3-кручение. Более того, нам удается явно выписать элемент, порождающий кручение. Явное доказательство этого утверждения содержится в разделе 3. Кроме того, обнаруживается 2-кручение в H4(L(a, b, c)/y4), для которого также выписывается порождающий. Для группы H4(L(x1,... , )/yn+i) результаты нашей работы коротко могут быть представлены следующей таблицей.

N = 2 N = 3 N = 4 N = 5

г = 2 0 й7 й16 й85 0 й/7

г = 3 й3 й171 0 (й/2)3 - -

г = 4 й84 0 (й/3)4 - - -

1.4. Цели и задачи диссертационной работы.

Целью работы является исследование свойств гомологий алгебр Ли и функторов лиевых степеней. В частности, мы задаёмся вопросом об эквивалентности различных подходов к определению гомологий алгебр Ли над кольцами. Помимо этого, целью работы был поиск кручений в гомологиях свободных нильпотентных алгебр Ли. Наконец, мы хотели привести простое доказательство связности функтора лиевой степени.

1.5. Методы.

В первой главе для доказательства основной теоремы мы используем комплекс Шевалле-Эйленберга для свободных алгебр Ли. Во второй главе комплекс Шевалле-Эйленберга также играет ключевую роль в определении одного из типов гомологий. Кроме того, во второй главе мы активно используем теорию производных функторов, спектральные последовательности, комплекс Кошуля. В третьей главе основным инструментом служат компьютерные вычисления, которые, в свою очередь, снова опираются на комплекс Шевалле-Эйленберга.

1.6. Научная новизна.

Помимо Теоремы 2.9 все основные результаты диссертации являются новыми. Для Теоремы 2.9 приведено концептуально новое доказательство.

1.7. Теоретическая и практическая значимость.

Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в различных областях теории гомологий алгебр Ли.

1.8. Степень достоверности, публикации и апробация результатов.

Все полученные в этой диссертационной работе результаты являются математически достоверными фактами. Материалы диссертации опубликованы в статьях [28, 27, 42] в рецензируемых журналах, которые входят в список рекомендованных ВАК.

Результаты диссертации были доложены на защите выпускной квалификационной работы по окончании аспирантуры Математико-механического факультета СПбГУ (Санкт-Петербург, июнь 2024 г.).

1.9. Личный вклад.

Результаты работы [42] получены соискателем единолично. В совместной работе [28] автору принадлежит основная теорема о связности функтора лиевой степени. Наконец, в работе четырёх авторов [27] соискателю принадлежит часть основного результата, утверждающего изоморфизм различных типов гомологий над кольцами, построение одного из ключевых примеров, показывающего неэквивалентность гомологий Шевалле-Эйленберга и относительных симплициальных гомологий, и исследование ацикличности комплекса Кошуля.

1.10. Благодарности.

Автор выражает безмерную благодарность своему научному руководителю, Иванову Сергею Олеговичу, за постановку задач, консультации и неоценимую помощь в написании этой работы. Также автор благодарит всех своих соавторов, без них эта работа не была бы написана.

1.11. Основные научные результаты.

Работа посвящена изучению гомологических свойств алгебр Ли и лиевых функторов. Текст разделён на три главы.

• Простое доказательство теоремы Кёртиса о связности функторов лиевых степеней. См. раздел 3 работы [28].

Приведено простое доказательство теоремы Кёртиса о связности, которая утверждает следующее:

Теорема (Теорема 2.9) Функтор лиевой степени Ьп ■ Мо^к) — Мо^к) является п|-связным.

Доказательство этой теоремы было одним из наиболее технически сложных этапов в доказательстве сходимости нестабильной спектральной последовательности Адамса. Таким образом, первая глава диссертации позволяет существенно упростить это доказательство. Упрощение доказательства происходит благодаря отказу от использования разложения Кёртиса лиевых степеней, изучение которых составляло наиболее технически сложную часть в доказательстве Кёртиса. Вместо этого используется комплекс Шевалле-Эйленберга для свободных алгебр Ли.

• О гомологиях алгебр Ли над коммутативными кольцами. См. разделы 7, 8 работы [27].

Во второй главе рассматривается пять типов гомологий алгебр Ли над коммутативными кольцами, которые, как известно, эквивалентны над полями. Однако мы показываем, что они неэквивалентны над произвольными коммутативными кольцами, даже над Z, и изучаем связи между ними. В частности, мы доказываем следующее.

Теорема (Теорема 3.45, Теорема 3.50). Если к — область главных идеалов, и 0 — произвольная алгебра Ли над к, то существуют естественные изоморфизмы

ЯСЕ(0) - Я*Т(0) - яГ(0)

и естественные изоморфизмы всех типов вторых гомологий

Я! (0) - Я2Т(0) - Я2СЕ(0) - Я2%) - Я*(0) - .

[г,

Теорема (Теорема 3.46). Пусть к — коммутативное кольцо и 0 — плоская алгебра Ли над к. Тогда все рассматриваемые версии гомологий естественно изоморфны,

я1 (0) - Я!(0) - ЯСЕ(0) - Я*Т(0) - Я*5(0).

Две теоремы, приведённые выше, не принадлежат автору диссертации полностью и являются плодом совместного труда автора и соавторов.

Автору принадлежат результаты, приведённые ниже. Например, показано, что

ЯзСЕ(0) / Я3*5(0)

(Предложение 3.47). Кроме того, получена

Теорема (Теорема 3.33). Пусть М — модуль над коммутативным кольцом к и п Ф 1 — натуральное число. Предположим, что одно из следующих свойств выполнено:

(1) к — область главных идеалов;

(2) М — плоский модуль;

(3) п • 1к обратим в к.

Тогда комплекс Кошуля (1.1) чисто ацикличен (см. [17]). Кроме того, в случае (3) он стягиваем.

Мы также приводим пример коммутативного кольца k и модуля М, таких что комплекс Кошуля не ацикличен. Кроме того, мы приводим пример k и М, таких что отображение

о

ЛМ ^ М ® М, а л b ^ а ® b - b ® а

не инъективно (Следствие 3.35).

• Кручения в гомологиях свободных нильпотентных колец Ли. См. введение работы [42].

В третьей главе изложены результаты вычислений целочисленных гомологий свободных нильпотентных алгебр Ли в системе вычислительной алгебры GAP, код программы находится в открытом доступе на странице https://github.com/vrromanovskii/GAP-code/blob/ master/test%20(2).g. Наше внимание было сосредоточено на возникновении неожиданного кручения в этих гомологиях, аналогичного тому, которое возникает для 4-порождённых свободных нильпотентных групп ступени 2. Один из наиболее интересных результатов третьей главы заключается в том, что даже для двух образующих в четвёртых целочисленных гомологиях возникает кручение, когда ступень нильпотентности равна 5. Причём возникает 7-кручение, и не возникает никакого другого кручения. Помимо этого, мы доказываем следующее.

Теорема. (Теорема 4.1) Пусть N = L(a, b, c, d)/73 — 4-порождённое нильпот,ент,ное кольцо Ли ступени 2. Рассмотрим элемент,

а = а л [b, c] л [b, d] л [c, d] e A4N.

Тогда а представляет ненулевое 3-кручение в гомологиях H4(N).

Для группы H4(L(x,... , )/yn+i) результаты нашей работы коротко могут быть представлены следующей таблицей.

N = 2 N = 3 N = 4 N = 5

r = 2 0 Z7 Zib Z85 0 Z/7

r = 3 Z3 Zi7i 0 (Z/2)3 - -

r = 4 Z84 0 (Z/3)4 - - -

1.12. Положения, выносимые на защиту.

• Простое доказательство теоремы Кёртиса о связности функторов лиевых степеней.

• Изоморфизм различных типов гомологий алгебр Ли над областью главных идеалов. Неэквивалентность различных типов гомологий алгебр Ли над кольцами. Ацикличность комплекса Кошуля.

• Кручения в свободных нильпотентных кольцах Ли.

2. Простое доказательство теоремы Кёртиса о связности для лиевых

степеней

2.1. Градуированный комплекс Шевалле-Эйленберга.

Далее в тексте работы к будет означать коммутативное кольцо. Все алгебры, модули, симплициальные модули, тензорные произведения и внешние степени предполагаются над к.

Пусть д — алгебра Ли, свободная как модуль. Если мы тензорно перемножим резольвенту Шевалле-Эйленберга V, (д) (см. [9, XIII §7-8]) на тривиальный модуль к, то получим комплекс С,(д) = к в^д V,(д), который называем комплексом Шевалле-Эйленберга. Его компоненты — это внешние степени алгебры Ли С(д) = Лгд, а дифференциал задан формулой

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Романовский Владислав Романович, 2026 год

Список литературы

[1] Adams, W. An Introduction to Grobner Bases/W. W. Adams, P. Loustaunau — American Mathematical Soc.,

1994. — Vol. 3. — P. 289.

[2] Bahturin, Y. Identical relations in Lie algebras/Y. Bahturin — Walter de Gruyter GmbH & Co KG, 2021. — Vol. 68. — P. 542. — URL: https://doi.org/10.1515/9783110566659

[3] Barr, M. Acyclic models and triples/M. Barr, J. Beck//Proceedings of the Conference on Categorical Algebra, 1965. — P. 336—343. — URL: https://doi.org/10.1007/978-3-642-99902-4_16

[4] Barr, M. Homology and standard constructions/M. Barr, J. Beck//Seminar on Triples and Categorical Homology Theory, 1969. — Vol. 80. — P. 245—335. — URL:https://doi.org/10.1007/BFb0083087

[5] Barr, M. Contractible simplicial objects/M. Barr, J. F. Kennison, R. Raphael//Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae, 2019. — Vol. 60. — №. 4. — P. 473—495. — URL:http://doi.org/10.14712/ 1213-7243.2019.023

[6] Bousfield, A. K. The mod-p lower central series and the Adams spectral sequence/A. K. Bousfield, E. B. Curtis, D. M. Kan, D. G. Quillen, D. L. Rector, J. W. Schlesinger//Topology, 1966. — Vol. 5. — №. 4. — P. 331—342. — URL:https://doi.org/10.1016/0040-9383(66)90024-3

[7] Breen, L. On the functorial homology of abelian groups/L. Breen//Journal of Pure and Applied Algebra, 1999.

— Vol. 142. — №. 3. — P. 199—237. — URL:https://doi.org/10.1016/S0022-4049(98)00140-6

[8] Breen, L. Derived functors of nonadditive functors and homotopy theory/L. Breen, R. Mikhailov//Algebraic & Geometric Topology, 2011. — Vol. 11. — №. 1. — P. 327—415. — URL:https://doi.org/10.2140/agt. 2011.11.327

[9] Cartan, H. Homological algebra/H. Cartan, S. Eilenberg — Princeton university press, 1999. — Vol. 28. — P. 408 — URL:https://doi.org/10.1515/9781400883844

[10] Cohn, P. M. A remark on the Birkhoff-Witt theorem/P. M. Cohn //Journal of the London Mathematical Society, 1963. — Vol. 1. — №. 1. — P. 197-203. — URL:https://doi.org/10.1112/jlms/s1-38.1.197

[11] Curtis, E. B. Simplicial homotopy theory/E. B. Curtis//Advances in Mathematics, 1971. — Vol. 6. — №. 2. — P. 107-209. — URL:https://doi.org/10.1016/0001-8708(71)90015-6

[12] Curtis, E. B. Lower central series of semi-simplicial complexes/E. B. Curtis//Topology, 1963. — Vol. 2. — №. 1-2. — P. 159-171. — URL:https://doi.org/10.1016/0040- 9383(63)90030- 2

[13] Curtis, E. B. Some relations between homotopy and homology/E. B. Curtis//Annals of Mathematics, 1965.

— Vol. 82. — №. 3. — P. 386-413. — URL:https://doi.org/10.2307/1970703

[14] Dauns, J. Modules and rings/J. Dauns — Cambridge university press, 1994. — P. 464 — URL:https://doi. org/10.1017/cbo9780511529962

[15] Dixmier, J. Homologie des anneaux de Lie/J. Dixmier//Annales scientifiques de l'Ecole Normale Superieure, 1957. — Vol. 74. — №. 1. — P. 25-83. — URL:https://doi.org/10.24033/asens.1053

[16] Dold, A. Homologie nicht-additiver Funktoren. Anwendungen/A. Dold, D. Puppe//Annales de l'institut Fourier, 1961. — Vol. 11. — P. 201-312. — URL:https:doi.org/10.5802/aif.114

[17] Emmanouil, I. On pure acyclic complexes/I. Emmanouil//Journal of Algebra, 2016. — Vol. 465. — P. 190-213.

— URL:https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2016.07.009

[18] Farinati, M. The homology of free racks and quandles/M. Farinati, J. A. Guccione, J. J Guccione//Communications in Algebra, 2014. — Vol. 42. — №. 8. — P. 3593-3606. — URL:https://doi. org/10.1080/00927872.2013.790392

[19] Fenn, R. The rack space/R. Fenn, C. Rourke, B. Sanderson//Transactions of the American Mathematical Society, 2007. — Vol. 359. — №. 2. — P. 701-740. — URL:https://doi.org/10.2307/20161600

[20] Fenn, R. Trunks and classifying spaces/R. Fenn, C. Rourke, B. Sanderson//Applied categorical structures,

1995. — Vol. 3. — P. 321-356. — URL:https://doi.org/10.1007/BF00872903

[21] Fuchs, L. Infinite abelian groups/L. Fuchs — Academic press, 1970. — Vol. 1. — P. 289.

[22] Grinberg, D. Poincare-Birkhoff-Witt type results for inclusions of Lie algebras/D. Grinberg — Master's thesis, Massachusetts Institute of Technology, Boston, MA, 2011. — P. 137. — URL:https://www.cip.ifi.lmu.de/ ~grinberg/algebra/pbw.pdf

[23] Higgins, P. J. Baer invariants and the Birkhoff-Witt theorem/P. J. Higgins//Journal of Algebra, 1969. — Vol. 11. — №. 4. — P. 469-482. — URL:https://doi.org/10.1016/0021-8693(69)90086-6

[24] Huebschmann, J. Cohomology of nilpotent groups of class 2/J. Huebschmann//Journal of Algebra, 1989. — Vol. 126. — №. 2. — P. 400-450. — URL:https://doi.org/10.1016/0021-8693(89)90311-6

[25] Igusa, K. Links, pictures and the homology of nilpotent groups/K. Igusa, K. E. Orr//Topology, 2001. — Vol. 40. — №. 6. — P. 1125-1166. — URL:https://doi.org/10.1016/S0040-9383(00)00002-1

[26] Illusie, L. Complexe cotangent et deformations I./L. Illusie//Lecture Notes in Mathematics — Springer, 2006.

— Vol. 239. — P. 360. — URL:https://doi.org/10.1007/BFb0059052

[27] Ivanov, S. O. On homology of Lie algebras over commutative rings/S. O. Ivanov, F. Pavutnitskiy, V. Romanovskii, A. Zaikovskii//Journal of Algebra, 2021. — Vol. 586. — P. 99-139. — URL:https://doi.org/ 10.1016/j.jalgebra.2021.06.019

[28] Ivanov, S. O. A simple proof of curtis' connectivity theorem for Lie powers/S. O. Ivanov, V. Romanovskii, A. Semenov//Homology, Homotopy and Applications, 2020. — Vol. 22. — №. 2. — P. 251-258. — URL:https: //doi.org/10.4310/hha.2020.v22.n2.a15

[29] Jean, F. Foncteurs derives de l'algebre symetrique: application au calcul de certains groupes d'homologie fonctorielle des espaces K (B, n)/F. Jean — Ph. D. thesis — 2002. — P. 141. — URL:https://www.sudoc.fr/ 076634612

[30] Lam, T. Y. Lectures on modules and rings/T. Y. Lam — Springer Science & Business Media, 2012. — Vol. 189.— P. 557 — URL:https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0525-8

[31] Lambe, L. Cohomology of principal G-bundles over a torus when H(BG; R) is polynomial/L. Lambe//Bull. Soc. Math. de Belg., 1986. — Vol. 38. — P. 247-264.

[32] Leibowitz, D. The E1 term of the lower central series spectral sequence for the homotopy of spaces/D. Leibowitz

— Brandeis University, Ph. D. thesis — 1972.

[33] Mac Lane, S. Categories for the working mathematician/S. Mac Lane — Springer Science & Business Media, 1978. — Vol. 5. — P. 318. — URL:https://doi.org/10.1007/978-1-4757-4721-8

[34] Mac Lane, S. Homology/S. Mac Lane — Springer Science & Business Media, 1995. — P. 422. — URL:https: //doi.org/10.1007/978-3-642-62029-4

[35] Mikhailov, R. Homotopy theory of Lie functors/R. Mikhailov//arXiv preprint, 2018. — P. 50. — URL:https: //doi.org/10.48550/arXiv.1808.00681

[36] Pirashvili, T. Algebra cohomology over a commutative algebra revisited/T. Pirashvili//arXiv preprint, 2003.

— P. 9.— URL:https://doi.org/10.48550/arXiv.math/0309184

[37] Quillen, D. G. Homotopical algebra/D. G. Quillen — Springer, 1967. — Vol. 43. — P. 160. — URL:https: //doi.org/10.1007/BFb0097438

[38] Quillen, D. G. On the (co-) homology of commutative rings/D. G. Quillen//Proc. Symp. Pure Math, 1970. — Vol. 17. — №. 2. — P. 65-87. — URL:https://doi.org/10.1090/pspum/017/0257068

[39] Quillen, D. G. An application of simplicial profinite groups/D. G. Quillen//Commentarii Mathematici Helvetici, 1969. — Vol. 44. — №. 1. — P. 45-60. — URL:https://doi.org/10.1007/BF02564511

[40] Rector, D. L. An unstable Adams spectral sequence/D. L. Rector — Massachusetts Institute of Technology, Ph. D. thesis — 1966. — P. 12. — URL:https://hdl.handle.net/1721.1/139704

[41] Reutenauer, C. Free lie algebras/C. Reutenauer — Oxford University Press, 1993. — P. 286. — URL:https: //doi.org/10.1093/oso/9780198536796.001.0001

[42] Romanovskii, V. R. Homology of Free Nilpotent Lie Rings/V. R. Romanovskii//Journal of Mathematical Sciences, 2020. — Vol. 247. — №. 4. — P. 632-639. — URL:https://doi.org/10.1007/s10958-020-04825-x

[43] Serre, J. P. Homologie singuliere des espaces fibres/J. P. Serre//Annals of Mathematics, 1951. — Vol. 54. — №. 3. — P. 425-505. — URL:https://doi.org/10.2307/1969485

[44] Shukla, U. Cohomologie des algebres associatives/U. Shukla//Annales scientifiques de l'Ecole normale superieure, 1961. — Vol. 78. — №. 2. — P. 163-209. — URL:https://doi.org/10.24033/asens.1100

[45] Szymik, M. Quandle cohomology is a Quillen cohomology/M. Szymik//Transactions of the American Mathematical Society, 2019. — Vol. 371. — №. 8. — P. 5823-5839. — URL:https://doi.org/10.1090/tran/ 7616

[46] Tierney, M. Simplicial resolutions and derived functors/M. Tierney, W. Vogel//Mathematische Zeitschrift, 1969. — Vol. 111. — P. 1-14. — URL:https://doi.org/10.1007/BF01110914

[47] Кузьмин, Ю. В. О гомологиях свободной нильпотентной группы класса 2/Ю. В. Кузьмин, Ю. С. Семе-нов//Математический сборник, 1998. — Т. 189. — №. 4. — С. 49-82. — URL:https://doi.org/10.4213/ sm308

[48] Ширшов, А. И. О представлении лиевых колец в ассоциативных кольцах/А. И. Ширшов//Успехи математических наук, 1953. — Т. 8. — №. 5(57). — С. 173-175.

[49] Ширшов, А. И. Подалгебры свободных лиевых алгебр/А. И. Ширшов//Математический сборник, 1953.

— Т. 33. — №. 2. — С. 441-452.