О начально-краевых задачах для параболических систем в плоских областях с негладкими боковыми границами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Сахаров Сергей Игоревич

• Сахаров Сергей Игоревич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Сахаров Сергей Игоревич

Введение

Глава 1. Теоремы о единственности решения второй начально-краевой

задачи для параболических систем

§ 1. Предварительные сведения

§ 2. Единственность решения первой начально-краевой задачи для параболической системы в частном случае дифференцируемых коэффициентов 41 § 3. Единственность решения второй начально-краевой задачи для параболической системы в полуограниченной области

§ 4. Единственность решения второй начально-краевой задачи для параболической системы в ограниченной области

Глава 2. Свойства потенциала Пуассона и объемного потенциала

§ 5. Свойства потенциала Пуассона

§ 6. Свойства объемного потенциала

§ 7. Потенциал Пуассона и объемный потенциал в решении задачи Коши

для параболической системы

§ 8. Свойства следа потенциала Пуассона на негладкой кривой из класса

Дини-Гёльдера

§ 9. Свойства следа объемного потенциала на негладкой кривой из класса

Дини-Гёльдера

Глава 3. Начально-краевые задачи для параболических систем

§ 10. Начально-краевые задачи для однородных параболических систем с нулевыми начальными условиями в полуограниченной области в случае постоянных коэффициентов в граничных условиях

§ 11. О точности условий на характер непрерывности боковых границ областей и правых частей в граничных условиях

§ 12. Об эквивалентности условия (3.9) и условия Лопатинского

§ 13. Начально-краевые задачи для однородных параболических систем с нулевыми начальными условиями в полуограниченной области в случае переменных коэффициентов в граничных условиях

§ 14. Дробная производная произведения двух функций

§ 15. Начально-краевые задачи для неоднородных параболических систем

с ненулевыми начальными условиями в полуограниченной области . . . 137 § 16. Начально-краевые задачи для параболических систем в ограниченной области

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О начально-краевых задачах для параболических систем в плоских областях с негладкими боковыми границами»

Введение

Актуальность темы исследования. Тема диссертационной работы относится к области исследования начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений с частными производными параболического типа. В диссертации эти задачи рассматриваются в полуограниченных и ограниченных областях на плоскости с негладкими (допускающими «клювы») «боковыми» границами. Изучаются вопросы о существовании, единственности, характере гладкости и интегральных представлениях решений поставленных задач, а также об алгебраических условиях разрешимости этих задач.

Параболические системы моделируют, в частности, нестационарные процессы тепло- и массопереноса в многокомпонентных материалах, см. [1-8]. Негладкость «боковых» границ рассматриваемых областей моделирует, например, резкое изменение размеров металлических изделий при фазовых переходах, связанных с увеличением или уменьшением температуры при проведении различных технологических процессов или во время эксплуатации этих изделий, см. [9, с. 49-52].

Впервые параболические системы были введены в работе И.Г. Петровского [10], в которой было также положено начало исследованию задачи Коши для таких систем. В дальнейшем задачам для параболических систем были посвящены известные работы В. Погожельского [11,12], А. Пискорека [13,14], С.Д. Эйдельмана [15,16], В.А. Солонникова [17,18], А. Фридмана [19], М.Л. Расулова [20], С.Д. Ива-сишена [21,22], Г.И. Кресина, В.Г. Мазьи [23], Л.И. Камынина, Б.Н. Химченко [24] и многие другие (см., например, [25-32]).

Отдельный интерес представляет исследование классической разрешимости начально-краевых задач для параболических уравнений и систем в областях с негладкими «боковыми» границами. Начало таким исследованиям было положено в работе М. Жевре [33] для уравнения теплопроводности. Затем теория разрешимости начально-краевых задач для параболических уравнений любого порядка в нецилиндрических областях и для параболических систем с одной пространственной переменной развивалась в известных работах Л.И. Камынина [34-42], Е.А. Ба-дерко [43-51], М.Ф. Череповой [52-57], А.Н. Коненкова [58-60] и многих других, см., например, [30,32,61-71]. В большинстве этих работ использовался метод параболических потенциалов, что дало возможность авторам получить интегральные

представления для решений. Эти представления имеют самостоятельный интерес, т. к. сводят поставленные задачи к решению граничных интегральных уравнений и систем Вольтерры первого и второго рода. Тем самым авторы в своих работах создавали теоретическую основу для численного исследования поставленных параболических задач быстро развивающимся методом граничных элементов (методом граничных интегральных уравнений, см., например, [72-76]).

Актуальность темы диссертации обусловлена необходимостью дальнейшего развития метода потенциалов (метода граничных интегральных уравнений) для исследования однозначной классической разрешимости начально-краевых задач для параболических систем в областях с негладкими «боковыми» границами и представления решений таких задач в конструктивном виде.

Степень разработанности темы исследования. Хорошо известна теория задач для параболических систем общего вида В.А. Солонникова (см. [17; 18, с. 706]). Из этой теории, в частности, следует однозначная разрешимость в пространстве Гёльдера И2+а,1+а/2(0), а Е (0,1), начально-краевых задач для параболических систем второго порядка с гёльдеровыми коэффициентами в областях с гладкими «боковыми» границами из класса Н 1+«/2, при соответствующих условиях на характер гладкости данных в этих задачах.

Отдельный интерес начально-краевые задачи для параболических уравнений и систем представляют в случае областей с негладкими «боковыми» границами. В пионерской работе Жевре [33] с использованием метода потенциалов были впервые исследованы начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности с одной пространственной переменной в областях с негладкими «боковыми» границами из класса Жевре Н(1+а)/2, а Е (0,1).

В работах Л.И. Камынина [77-80] исследовалась гладкость тепловых потенциалов для уравнения теплопроводности со многими пространственными переменными в общем случае нецилиндрических поверхностей-носителей. Л.И. Камыниным в [34-39,81] была также построена систематическая теория параболических потенциалов и теория разрешимости начально-краевых задач для параболических уравнений второго порядка с одной пространственной переменной в областях с негладкими «боковыми» границами из классов Жевре а Е (0,1), и

Дини-Гёльдера Н1/2+-, где и— некоторый модуль непрерывности, удовлетворяющий условию Дини. Далее в работах Л.И. Камынина и Б.Н. Химченко [41,82] был исследован вопрос о единственности решения второй начально-краевой задачи для параболического уравнения второго порядка в нецилиндрических областях с негладкими «боковыми» границами и изучена связь указанного вопроса с характером негладкости этих границ.

Далее в работах Е.А. Бадерко [43-51] была развита теория однозначной разрешимости начально-краевых задач для параболических уравнений порядка 2р, р Е М, со многими пространственными переменными в нецилиндрических обла-

стях с негладкими «боковыми» границами. При этом в [44] (в случае п = 1) и в [47] (в случае п > 1) для получения интегрального представления решений поставленных задач были введены обобщенные потенциалы простого слоя, а также исследована их гладкость. Центральным моментом этой теории является метод, разработанный Е.А. Бадерко, который позволил установить однозначную разрешимость интегральных уравнений (систем уравнений) Вольтерры I и II рода, индуцированных граничными условиями поставленных задач, в случае многих пространственных переменных. Отметим также работы М.Ф. Череповой [52,53,83], в которых исследовалась разрешимость первой и второй начально-краевых задач, а также задачи Бицадзе-Самарского для параболического уравнения второго порядка с п пространственными переменными в нецилиндрических областях с негладкими «боковыми» границами. В работах В.Н. Шевелевой [66, 84, 85] с использованием метода, разработанного Е.А. Бадерко, исследована однозначная разрешимость задачи для параболического уравнения второго поряка с разрывными коэффициентами с условиями сопряжения на негладкой поверхности разрыва. В работах

A.Н. Коненкова [58-60] построена функция Грина первой начально-краевой задачи для параболического уравнения второго порядка в полуограниченной плоской области с негладкой «боковой» границей из класса Жевре, а также изучено поведение старших производных параболического потенциала простого слоя вблизи негладкой кривой-носителя плотности. В работе [71] А.Н. Коненков рассмотрел также первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности в конусе, вершина которого соответствует начальному или финальному моменту времени, получил оценки функции Грина и установил классы существования и единственности решений этой задачи.

Исследование начально-краевых задач для параболических уравнений порядка 2р продолжилось в работах М.Ф. Череповой [54-57], в которых рассматривался случай неограниченной по временной переменной £ области с негладкими «боковыми» границами. В этих работах доказаны теоремы о существовании и единственности решений начально-краевых задач из пространства функций, допускающих рост при £ ^ При этом предполагалось, что младшие коэффициенты и правая часть параболических уравнений допускают определенный рост вблизи параболической границы области, а старшие коэффициенты этих уравнений удовлетворяют лишь локальному условию Гёльдера в области.

Первая и вторая начально-краевые задачи в областях с негладкими «боковыми» границами из класса Н(1+а)/2 исследовались и в случае одномерных по переменной х параболических систем с гёльдеровыми коэффициентами. В работах

B.А. Тверитинова [63,64] доказана теорема о существовании решения из пространства Н 1+а'(1+а)/2(^), а е (0,1), второй начально-краевой задачи. В работах Е.А. Бадерко и М.Ф. Череповой [86, 87] установлена разрешимость первой начально-краевой задачи в случае однородной параболической системы и нулевого началь-

ного условия в пространстве С1,0(П) вектор-функций, непрерывных и ограниченных вместе со своей пространственной производной первого порядка вплоть до границы области, а также исследован характер гладкости полученного решения. Далее Е.А. Бадерко и М.Ф. Череповой в [88,89] были доказаны теоремы о единственности решений из пространства С1,0 (П) первой и второй начально-краевых задач для параболических систем с гёльдеровыми коэффициентами. В работе А.Н. Коненкова [90] получена теорема об однозначной разрешимости первой начально-краевой задачи для однородной параболической системы с гёльдеровыми коэффициентами, которые зависят только от х, в пространстве вектор-функций, непрерывных и ограниченных вплоть до границы области.

Систематическое исследование первой и второй начально-краевых задач продолжилось для более общего случая параболических систем с коэффициентами, удовлетворяющими двойному условию Дини, в областях с «боковыми» границами из класса Дини-Гёльдера. В работе М. Зейнеддин [65] доказана теорема о существовании решения из пространства С1,0 (П) второй начально-краевой задачи для

однородной параболической системы с нулевым начальным условием. Е.А. Бадерко и М.Ф. Череповой в [91-93] была установлена разрешимость в пространстве С1,0(П) первой и смешанной начально-краевых задач для однородных параболических систем с нулевыми начальными условиями. В работе М.Ф. Череповой и И.В. Женяковой [94] доказана теорема о существовании решения из пространства С1,0(П) первой начально-краевой задачи для неоднородной параболической

системы с нулевым начальным условием в полуограниченной области. Далее в [65,91,92,94] изучался характер гладкости полученных решений и их пространственных производных в зависимости от гладкости данных. Вопрос о единственности решений поставленных задач в этих работах не рассматривался. Отметим также публикации [32,67-70,95-97], в которых исследовались гладкие решения первой и второй начально-краевых задач для параболических уравнений и систем в областях с негладкими «боковыми» границами.

В большинстве цитированных выше работ, в которых изучались первая и вторая начально-краевые задачи для параболических уравнений и систем в областях с негладкими «боковыми» границами, использовался метод потенциалов (метод граничных интегральных уравнений). Это дало возможность авторам не только исследовать существование (и единственность в случае параболических систем с гёльдеровыми коэффициентами и областей с боковыми границами из класса Жев-ре) решений поставленных задач в тех или иных функциональных пространствах, но и получить интегральные представления решений.

Цели и задачи диссертационной работы. Целью диссертационной работы является исследование однозначной классической разрешимости начально-краевых задач для неоднородных параболических систем второго порядка с нену-

левыми начальными условиями в полуограниченных и ограниченных областях на плоскости с негладкими «боковыми» границами из класса Дини-Гёльдера, на которых для компонент искомых вектор-функций задаются граничные условия общего вида с переменными коэффициентами, и получение интегральных представлений решений поставленных задач. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи, последовательному решению которых посвящена работа автора.

1. Установить единственность в пространстве С1,0(П) классического решения второй начально-краевой задачи для параболической системы с коэффициентами, удовлетворяющими двойному условию Дини, в полуограниченной и ограниченной областях с «боковыми» границами из класса Дини-Гёльдера.

2. Изучить вопрос о существовании и единственности в пространстве С1,0 (П) классических решений начально-краевых задач для однородных параболических систем с нулевым начальным условием и с граничными условиями общего вида на негладких «боковых» границах областей. Исследовать алгебраические условия разрешимости поставленных задач. Получить интегральные представления решений.

3. Исследовать свойства потенциала Пуассона и объемного потенциала, а затем установить классическую разрешимость в пространстве С1,0 (П) начально-краевых задач для неоднородных параболических систем с ненулевым начальным условием и с граничными условиями общего вида на негладких «боковых» границах областей. Установить характер гладкости и получить интегральные представления решений.

Научная новизна. Все результаты, представленные автором в диссертационной работе, являются новыми и состоят в следующем.

1. Впервые установлена единственность в пространстве С1,0(П) решений начально-краевых задач для параболических систем с коэффициентами, удовлетворяющими двойному условию Дини, как в полуограниченных, так и в ограниченных областях с «боковыми» границами из класса Дини-Гёльдера, на которых для компонент искомых вектор-функций задаются граничные условия общего вида с переменными коэффициентами.

2. Впервые установлена классическая разрешимость в пространстве С1,0(П) начально-краевых задач для неоднородных параболических систем с коэффициентами, удовлетворяющими двойному условию Дини, с ненулевыми начальными условиями, в полуограниченных и ограниченных областях с «боковыми» границами из класса Дини-Гёльдера, на которых задаются граничные условия общего вида, при минимальных требованиях на характер гладкости правых частей граничных условий и начальных функций, а также на характер непрерывности «боковых» границ областей. Получены соответствующие оценки и интегральные представления решений.

3. Приведена новая формулировка алгебраического условия разрешимости по-

ставленных задач. Доказано, что условие разрешимости рассматриваемых задач в этой формулировке эквивалентно известному (см. [15, с. 360; 18, с. 700]) условию Лопатинского. Приведен пример, иллюстрирующий тот факт, что в случае граничных условий общего вида указанное выше условие может не выполняться. Кроме того, предложен алгоритм проверки выполнения этого условия в некоторых частных случаях.

4. Впервые доказаны теоремы об однозначной разрешимости в пространстве С[0,Т] систем граничных интегральных уравнений Вольтерры первого и второго рода, которые индуцируются граничными условиями общего вида с переменными коэффициентами.

5. Впервые в случае плотности К Е С 1(К) доказаны теоремы о свойствах потенциала Пуассона и его следа на негладкой кривой из класса Дини-Гёльдера.

6. Впервые доказана теорема о существовании единственного в пространстве С1,0(О) классического решения задачи Коши для параболических систем с коэффициентами, удовлетворяющими двойному условию Дини, принадлежащего пространству С 1,0(О). Дано интегральное представление решения.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа имеет преимущественно теоретический характер. Разработанная автором техника может быть использована в изучении многих вопросов, возникающих в теории классической разрешимости различных начально-краевых задач для параболических уравнений и систем. Например, могут быть получены новые результаты в исследовании задач для параболических систем с коэффициентами, разрывными на негладкой кривой раздела сред. Интегральные представления решений, полученные автором, могут служить теоретической основой для численного исследования рассматриваемых в диссертации задач методом граничных элементов (методом граничных интегральных уравнений). Кроме того, результаты диссертационной работы могут быть использованы при проектировании и разработке технологических процессов химико-термической обработки металлов.

Положения, выносимые на защиту.

1. Однозначная классическая разрешимость начально-краевых задач для неоднородных параболических систем с коэффициентами, удовлетворяющими двойному условию Дини, с ненулевыми начальными условиями в полуограниченной области с негладкой «боковой» границей из класса Дини-Гёльдера, на которой для компонент искомых вектор-функций задаются граничные условия общего вида с переменными коэффициентами, среди которых есть как условия первого рода, так и условия третьего рода. Оценки полученных решений. Алгебраические условия разрешимости поставленных задач.

2. Интегральные представления решений начально-краевых задач для параболических систем с коэффициентами, удовлетворяющими двойному условию Дини, в полуограниченной области с «боковой» границей из класса Дини-Гёльдера.

3. Однозначная классическая разрешимость начально-краевых задач для неоднородных параболических систем с коэффициентами, удовлетворяющими двойному условию Дини, с ненулевыми начальными условиями в ограниченной области с «боковыми» границами из класса Дини-Гёльдера, на которых для компонент искомых вектор-функций задаются граничные условия общего вида с переменными коэффициентами.

4. Интегральные представления решений начально-краевых задач для параболических систем с коэффициентами, удовлетворяющими двойному условию Дини, в ограниченной области с «боковыми» границами из класса Дини-Гёльдера.

Методология и методы исследования. В диссертации используются методы теории дифференциальных уравнений в частных производных, методы математического и функционального анализа, метод параболических потенциалов, метод граничных интегральных уравнений.

Степень достоверности. Достоверность полученных автором диссертации результатов обеспечивается строгостью математических доказательств и использованием апробированных научных методов.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации и отдельные ее части докладывались и обсуждались на следующих международных конференциях и научно-исследовательских семинарах:

1. XXIX Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов 2022» (МГУ имени М.В. Ломоносова, Россия, 11-22 апреля 2022 г.);

2. XXXV Международная Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения - XXXIII». (Воронеж, Россия, 3-9 мая 2022 г.);

3. XXXVI Международная Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения-XXXIV». (Воронеж, Россия, 3-9 мая 2023 г.);

4. Международная Воронежская математическая школа, посвященная памяти В.П. Маслова «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна -2024» (Воронеж, Россия, 26-30 января 2024 г.);

5. Международная научная конференция «Математика в созвездии наук» к юбилею академика В.А. Садовничего (Москва, Россия, 1-2 апреля 2024 г.);

6. Международная Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения - XXXVI» (Воронеж, Россия, 30 апреля - 4 мая 2025 г.);

7. Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная памяти выдающегося математика И.Г. Петровского (Москва, Россия, 19-24 мая 2025 г.).

8. Научно-исследовательский семинар «Интегральные уравнения» (руководи-

тель: проф. Е.А. Бадерко, Москва, механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова, неоднократно);

9. Научно-исследовательский семинар «Обратные задачи математической физики и естествознания» механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова ( руководители: акад. РАН В.А. Садовничий, проф. А.И. Прилепко, Москва, механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова, 2023 г.);

10. Научно-исследовательский семинар «Спектральная теория дифференциальных операторов и актуальные вопросы математической физики» ( руководитель: проф. И.С. Ломов, Москва, факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова, 2023, 2025 гг.);

11. Научно-исследовательский семинар «Методы решения задач математической физики» ( руководитель: проф. В.И. Власов, отдел вычислительных методов и математической физики ФИЦ ИУ РАН, 2025 г.);

12. Семинар МЭИ по дифференциальным уравнениям (руководители: проф. Ю.А. Дубинский, проф. А.А. Амосов, Москва, МЭИ, 2025 г.);

13. Научно-исследовательский семинар «Уравнения математической физики» ( руководитель: проф. Г.А. Чечкин, Москва, механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова, 2025 г.);

14. Научный семинар математического института РУДН по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (руководитель: проф. А.Л. Скубачевский, Москва, математический институт РУДН, 2025 г.).

15. Научный семинар кафедры высшей математики МФТИ (руководитель: проф. Е.С. Половинкин, Московская обл., г. Долгопрудный, Московский физико-технический институт.)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 научных статьях [132-140] в рецензируемых научных изданиях, входящих в базы цитирования Scopus, Web of Science и RSCI. Результаты совместных работ, включённые в диссертацию, получены автором лично.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы из 140 наименований. Общий объём диссертации составляет 169 страниц.

Краткое содержание диссертации

Постановка задач. Предварительно приведем сведения и введем обозначения, которые необходимы для формулировки результатов диссертации.

Следуя [99, с. 151], модулем непрерывности называем функцию ш : [0, ^ R, обладающую следующими свойствами:

ш(0) = 0, ш не убывает на [0,

ш полуаддитивна на [0, : ш(г1 + г2) < ш(г1) + ш(г2), г1, г2 е [0,

ш непрерывна на [0, Модуль непрерывности ш удовлетворяет условию Дини, если

г

ш(г) = J у-1ш(у)^у < г > 0, (0.1)

0

и двойному условию Дини, если

г У

ш(г) у^у/х-1да< +<»,*> 0. (0.2)

00

Через V обозначаем множество модулей непрерывности, которые удовлетворяют условию Дини (0.1), а через V2—множество модулей непрерывности, которые удовлетворяют двойному условию Дини (0.2). Если ш е V, то ш является модулем непрерывности, причем ш(г) < 2ш(г), г > 0.

Пример 0.1. (см. [99, с. 151]) Модулями непрерывности являются функции

) = Л г > 0,

при а е (0,1] и

!0, г = 0

11пг|-а, 0 < г < 2 11п2|-а, г > 1

при а > 0. При этом модуль непрерывности ш2а) при а > 2 удовлетворяет условию (0.2), при а е (1, 2] удовлетворяет только условию (0.1), а при а е (0,1] не удовлетворяет условию (0.1).

Пусть т Е М, Т > 0— фиксированные числа. Обозначим О = {(х,£) Е К2 : х Е К, £ Е (0,Т)}. Рассмотрим равномерно параболический по И.Г. Петровскому (см. [10]) оператор

2

Ьи = д^и — ^^ Ах(х,£)дХи, и = (и1,..., ит)т, (0.3)

к=0

где Ах — тхт-матрицы, элементами которых являются вещественнозначные функции а^х, = 1,... ,т, к = 0,1, 2, определенные в О, и выполнены условия:

(a) собственные числа дг, г = 1,... , т, матрицы А2 подчиняются неравенствам Явдг(х,£) > 6 для некоторого 6 > 0 и всех (х,£) Е О;

(b) функции а^х ограничены в О и справедливы оценки

(х, £)| < ^0(|Дх| + |Д£|1/2), (х, £), (х + Дх,£ + Д£) Е О, где Е Р2. Здесь и далее для произвольной функции и обозначаем Дж,гм(х,£) = и(х + Дх,£ + Д£) — и(х,£). Также в дальнейшем будут использоваться обозначения Дхи(х,£) = и(х + Дх,£) — и(х,£), Д^и(х,£) = и(х,£ + Д£) — и(х,£).

Пусть П С О—произвольная область. Введем следующие пространства: С0 (П)—пространство непрерывных и ограниченных в П (вектор-)функций и с нормой ||и;П||0 = вир |и(х,£)|;

(ж^)еП

С(П) = {и Е С0(П) : и(х, 0) = 0};

С1,0(П) = {и Е С0(П) : джи Е С0(П)}, 11и; ПЦ1,0 = Е ||д£и; П||0; _ _ к=0

С1,0(П) = {и Е С 1,0(П) : дкхи(х, 0) = 0, к = 0,1}.

Здесь и далее для произвольного числового вектора а (числовой матрицы А) под |а| (соответственно |А|) понимаем максимум из модулей его компонент (её элементов). Под значениями функций и их производных на границе произвольной области П понимаем их предельные значения «изнутри» П.

Сначала рассматриваются начально-краевые задачи для параболических систем в полуограниченной области. А именно, в полосе О выделяется полуограниченная область П = {(х,£) Е О : х > #(£)} с «боковой» границей 2 = {(х,£) Е П : х = #(£)}. Функция # удовлетворяет условию Дини-Гёльдера:

| Дг#(£)| < |Д£|1/2^1(|Д£|1/2), £,£ + Д£ Е [0,Т], (0.4)

где Е Р—некоторый модуль непрерывности. Заметим, что условие (0.4) допускает наличие «клювов» на кривой

г'

Т Е/у/

0 X

В частном случае, когда

ш1 (г) = , г > 0, а е (0,1), (0.5)

условие (0.4) называется условием Жевре.

Положим О0 = {(х,Ь) е О : х > д(0), Ь = 0}. Обозначим через С2,1 (О\(О0иЕ)) пространство (вектор-)функций и, непрерывных вместе со своими производными ди, дХи, к = 1, 2, в О \ (О0 и Е).

Пусть е N и {0}, г = 0,1, и ш0 + т1 = т. Пусть заданы ш0 х т-матрица В0(Ь) = ||Ь^0(Ь)|| и ш1 х т-матрицы В1 (Ь) = ||Ь^ 1 (Ь)||, В (Ь) = 1 (Ь)||, элементами которых являются функции, определенные на отрезке [0,Т].

Рассматривается следующая начально-краевая задача: найти (вектор-)функцию и е С2,1 (О \ (О0 и Е)) П С1,0(О), являющуюся решением системы

Еи(х, Ь) = /(х, Ь), (х, Ь) е О \ (О0 и Е), (0.6)

удовлетворяющую начальному условию

и(х, 0) = й(х), х > д(0), (0.7)

и граничным условиям

В (Ь)и(д (Ь),Ь) = ^0 (Ь), (0.8)

В(Ь)джи(д(Ь),Ь) + В(Ь)и(д(*),*)= ^ (Ь), Ь е [0,Т]. (0.9)

Замечание 0.2. В состав граничных условий (0.8), (0.9) для компонент искомой (вектор-)функции и входит ш0 граничных условий первого рода и ш1 граничных условий третьего рода, причем ш0 + ш1 = т.

Замечание 0.3. При В0(Ь) = Е, Ь е [0,Т], где Е—единичная матрица, задача (0.6)-(0.9)— это первая начально-краевая задача, а при В1 (Ь) = Е, В1 (Ь) = 0, Ь е [0, Т],—вторая начально-краевая задача.

В работе начально-краевые задачи для параболических систем исследуются также в ограниченной области. А именно, в полосе О выделяется ограниченная область П = {(х, £) Е О : д(1)(£) < х < д(2)(£)} с «боковыми» границами 2(^ = {(х,£) Е П : х = д(^(£)}, в = 1, 2. Функции д(в), в = 1, 2, удовлетворяют следующим условиям:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сахаров Сергей Игоревич, 2025 год

Литература

[1] Ворошнин Л.Г., Хусид Б.М. Диффузионный массоперенос в многокомпонентных системах. Минск: «Наука и техника», 1979. 255 с.

[2] Гуров К.П., Карташкин Б.А., Угасте Ю.Э. Взаимная диффузия в многофазных металлических системах. М.: «Наука». 1981. 350 с.

[3] Криштал М.А. Многокомпонентная диффузия в металлах. М.: «Металлургия», 1985. 177 с.

[4] Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: «Наука», 1987. 480 с.

[5] Князева А.Г. Перекрестные эффекты в твердых средах с диффузией // Прикл. механ. и техн. физ. 2003. Т. 44. № 3. С. 85-99.

[6] Дышин О.А. Разрешимость в гёльдеровых функциях задачи нестационарной фильтрации жидкости в трещиновато-пористом кольцевом пласте // Науч. труды НИПИ Нефтегаз ГНКАР. 2012. № 2. С. 74-81.

[7] Семенов М.Ю., Смирнов А.Е., Лашнев М.М., Ступников В.В. Математическая модель вакуумной нитроцементации теплостойкой стали ВКС-10 // Наука и образование [электронное науч.-техн. издание]. 2013. № 8. http://technomag.bmstu.ru/doc/569132.html.

[8] Семенов М.Ю. Методология разработки технологий химико-термической обработки на основе моделирования диффузионных процессов и анализа эксплуатационных свойств зубчатых передач. Дис. ... докт. техн. наук. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015.

[9] Гуляев А.П. Металловедение. М.: «Металлургия», 1986. 544 с.

[10] Петровский И.Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными в области неаналитических функций // Бюлл. МГУ. Секц. А. 1938. 1. № 7. С. 1-72.

[11] Pogorzelski W. Étude de la matrice des solution fondamentales du système parabolique d'equations aux derivees partielles // Ric. Mat. Vol. 1958. Vol. 7. P. 153-185.

[12] Pogorzelski W. Proprietes de solution du systeme parabolique d'equation aux derivees partielles // Math. Scand. 1958. Vol. 6. P. 237-262.

[13] Piskorek A. Proprietes limites de la derivee transversale du potentiel de simple couche relatif au systeme parabolique // Ric. Mat. Napoli. 1962. Vol. 44. P. 170191.

[14] Piskorek A. Étide de la continuite réguliere d'une integrale concernant la derivee transversale relative a un systeme parabolique // Ann. Pol. Math. 1964. Vol. 15. No. 3. P. 290-301.

[15] Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: «Наука», 1964. 444 с.

[16] Éidelman S.D., Zhitarashu N.V. Parabolic Boundary Value Problems. Basel; Boston; Berlin: Birkhauser, 1998. 300 p.

[17] Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида // Тр. Матем. ин-та В.А. Стеклова АН СССР. 1965. Т. 83. С. 3-163.

[18] Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: «Наука», 1967. 736 с.

[19] Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: «Мир», 1968. 428 с.

[20] Расулов М.Л. Применения метода контурного интеграла. М.: «Наука», 1975, 256 с.

[21] Ивасишен С.Д. Матрицы Грина граничных задач для параболических по И.Г. Петровскому систем общего вида. I // Матем. сб. 1981. Т. 114 (156). № 1. С. 110-166.

[22] Ивасишен С.Д. Матрицы Грина граничных задач для параболических по И.Г. Петровскому систем общего вида. II // Матем. сб. 1981. Т. 156. № 4. С. 523-565.

[23] Мазья В.Г., Кресин Г.И. О принципе максимума для сильно эллиптических и параболических систем второго порядка с постоянными коэффициентами // Матем. сб. 1984. Т. 125 (167). № 4 (12). С. 458-480.

[24] Камынин Л.И., Химченко Б.Н. Об априорных оценках решения I-ой краевой задачи для одного класса параболических систем второго порядка // Изв. РАН., Сер. матем. 2001. Т. 65. Вып. 4. С. 67-88.

[25] Дринь М.М. Операторы Грина параболических задач сопряжения. Дис. ... канд. физ.-матем. наук. Киев.: Киевский ордена Ленина и ордена Октябрьской революции государственный университет имени Т.Г. Шевченко, 1985.

[26] Arkhipova A. New a priori estimates for nondiagonal strongly nonlinear parabolic systems // Parabolic and Navier-Stokes Equations. Vol. 81. Banach Center Publications. 2008. P. 13-30.

[27] Boccia S. Schauder estimates for solutions of higher-order parabolic systems // Methods and applications of analysis. 2013. Vol. 20. No. 1. P. 47-68.

[28] Омуралиев А.С. Асимптотика решения системы линейных уравнений параболического типа с малым параметром // Дифферен. уравнения. 2019. Т. 55. № 6. С. 878-882.

[29] Егорова А.Ю., Коненков А.Н. Задача Коши для параболической системы с переменными коэффициентами в анизотропных пространствах Зигмунда // Дифференц. уравнения. 2024. Т. 60. № 10. С. 1325-1333.

[30] Бадерко Е.А., Федоров К.Д. Первая начально-краевая задача для параболических систем в полуограниченной области с криволинейной боковой границей // Журн. вычисл. мат. и матем. физ. 2025. Т. 65. № 1. С. 23-35.

[31] Егорова А.Ю., Коненков А.Н. Модельная первая краевая задача для параболической системы в пространствах Зигмунда // Дифференц. уравнения. 2025. Т. 61. № 5. С. 606-617.

[32] Фёдоров К.Д. О разрешимости первой начально-краевой задачи для параболических систем в плоской ограниченной области с негладкими боковыми границами // Дифференц. уравнения. 2025. Т. 61. № 6. С. 786-801.

[33] Jevrey M. Sur les equation aux derivees partielles du type parabolique // J. Math. Pur. Appl. 1913. Ser. 6. Vol. 9. № 4. P. 305-471.

[34] Камынин Л.И. К теории Жевре для параболических потенциалов. I // Диф-ференц. уравнения. 1971. Т. 7. № 2. С. 312-328.

[35] Камынин Л.И. К теории Жевре для параболических потенциалов. II // Диф-ференц. уравнения. 1971. Т. 7. № 4. С. 711-726.

[36] Камынин Л.И. К теории Жевре для параболических потенциалов. III // Диф-ференц. уравнения. 1971. Т. 7. № 8. С. 1473-1489.

[37] Камынин Л.И. К теории Жевре для параболических потенциалов. IV // Диф-ференц. уравнения. 1972. Т. 8. № 2. С. 318-332.

[38] Камынин Л.И. К теории Жевре для параболических потенциалов. V // Диф-ференц. уравнения. 1972. Т. 8. № 3. С. 494-509.

[39] Камынин Л.И. К теории Жевре для параболических потенциалов. VI // Диф-ференц. уравнения. 1972. Т. 8. № 6. С. 1015-1025.

[40] Камынин Л.И., Химченко Б.Н. О приложения принципа максимума к параболическим уравнениям 2-го порядка // ДАН СССР. 1972. Т. 204. № 3. С. 529-532.

[41] Камынин Л.И., Химченко Б.Н. Об аналогах теоремы Жиро для параболического уравнения 2-го порядка // Сиб. мат. журн. 1973. Т. 14. № 1. С. 86-110.

[42] Камынин Л.И., Химченко Б.Н. Принцип максимума и локальные оценки Липшица вблизи боковой границы для решений параболического уравнения 2-го порядка // Сиб. матем. журн. 1975. Т. 16, № 6. С. 1172-1187.

[43] Бадерко Е.А. Гладкость потенциалов для 2р-параболических уравнений и приложения их к решению краевых задач в криволинейных областях. Дис. ... канд. физ.-матем. наук. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 1974.

[44] Бадерко Е.А. О разрешимости граничных задач для параболических уравнений высокого порядка в областях с криволиненйными боковыми границами // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12. № 10. С. 1781-1792.

[45] Бадерко Е.А. О потенциалах для 2р-параболических уравнений // Диффе-ренц. уравнения. 1983. Т. 19. № 1. С. 9-18.

[46] Бадерко Е.А. О решении первой краевой задачи для параболических уравнений с помощью потенциала простого слоя // ДАН СССР. 1985. Т. 283. № 1. С. 11-13.

[47] Бадерко Е.А. О «почти» модельной краевой задаче для параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 1. С. 22-29.

[48] Бадерко Е.А. Краевые задачи для параболического уравнения и граничные интегральные уравнения // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 1. С. 17-23.

[49] Бадерко Е.А. О решении методом граничных интегральных уравнений краевых задач для линейных параболических уравнений произвольного порядка в нецилиндрических областях. Дис. ... докт. физ.-матем. наук. М.: МГУ имени М.В. Ломоносова, 1992.

[50] Бадерко Е.А. О единственности решений начально-краевых задач для параболических уравнений высокого порядка // Дифференц. уравнения. 1995.

Т. 31. № 1. С. 63-70.

[51] Baderko Е.А. Parabolic problems and boundary integral equations // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 1997. Vol. 20. № 5. P. 449-459.

[52] Черепова М.Ф. О задаче Бицадзе-Самарского для параболического уравнения // Вестн. Моск. ун-та. 1986. Сер. 1. Мат., мех. № 4. С. 74-76.

[53] Черепова М.Ф. Решение задачи Бицадзе-Самарского для параболического в нецилиндрической области. Дис. ... канд. физ.-матем. наук. М.: МГУ имени М.В. Ломоносова, 1987.

[54] Черепова М.Ф. О разрешимости краевых задач для параболического уравнения высокого порядка с растущими коэффициентами // Докл. РАН. 2006. Т. 411. № 2. С. 171-172.

[55] Черепова М.Ф. О разрешимости краевых задач для параболического уравнения с растущими вблизи границы коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 1. С. 110-121.

[56] Черепова М.Ф. Краевые задачи для параболического уравнения высокого порядка с растущими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 4. С. 507-516.

[57] Черепова М.Ф. Краевые задачи для параболических уравнений произвольного порядка в весовых пространствах Гёльдера. Дис. ... докт. физ.-матем. наук. М.: МЭИ, 2010.

[58] Коненков А.Н. О функции Грина первой краевой задачи для параболического уравнения в областях с криволинейными боковыми границами // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 8. С. 1148-1149.

[59] Коненков А.Н. О поведении вблизи границы пространственной производной параболического потенциала двойного слоя // Журн. вычисл. мат. и матем. физ. 1998. Т. 38. № 12. С. 2014-2028.

[60] Коненков А.Н. Некоторые свойства параболических и эллиптических потенциалов и их приложения. Дис. ... канд. физ.-матем. наук. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 1999.

[61] Baderko Е.А. Study of Dirichlet problem for a 2p-parabolic problem in a domain whose lateral surface is defined in Dini-Holder classes // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences. Ser. 1. Mathematique. 1978. Vol. 287. № 4. P. 221-224.

[62] Baderko Е.А. Minimal regularity of lateral boundaries in parabolic problems with one space variable // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences. Ser. 1. Mathematique. 1978. Vol. 287. № 12. P. 827-829.

[63] Тверитинов В.А. О второй краевой задаче для параболической системы с одной пространственной переменной // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 12. С. 2178-2179.

[64] Тверитинов В.А. Решение второй краевой задачи для параболической системы с одной пространственной переменной методом граничных интегральных уравнений // Деп. ВИНИТИ РАН. 15.11.89. № 6906-В89.

[65] Зейнеддин М. О потенциале простого слоя для параболической системы в классах Дини. Дис. ... канд. физ.-матем. наук. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 1992.

[66] Шевелева В.Н. Решение методом интегральных уравнений контактных задач для параболических уравнений. Дис. ... канд. физ.-матем. наук. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 1994.

[67] Baderko Е.А. Scauder estimates for oblique derivative problems // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences. Ser. 1. Mathematique. 1998. Vol. 326. № 12. С. 1377-1380.

[68] Семаан Х.Д. О решении второй краевой задачи для параболических систем на плоскости. Дис. ... канд. физ.-матем. наук. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 1999.

[69] Бадерко Е.А., Стасенко А.А. О гладком решении второй начально-краевой задачи для модельной параболической системы в полуограниченной негладкой области на плоскости // Журн. вычислит. матем. и мат. физики. 2022. Т. 62. № 3. С. 391-402.

[70] Фёдоров К.Д. Гладкое решение первой начально-краевой задачи для параболических систем в полуограниченной области с негладкой боковой границей на плоскости // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 10. С. 1400-1413.

[71] Коненков А.Н. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в вырождающихся по времени областях // Журн. вычисл. мат. и матем. физ. 2025. Т. 65. № 4. С. 460-470.

[72] Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: «Мир», 1984. 496 c.

[73] Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: «Мир», 1987. 524 с.

[74] Hackbush W. Integral equations. Theory and numerical treatment. Berlin: Birkhauser, 1995, 380 с.

[75] Кацикаделис Дж.Т. Граничные элементы. Теория и приложения. М.: «АСВ», 2007. 348 с.

[76] Hsiao G.C., Wendland W.L. Boundary Integral Equations. Applied Mathematical Sciences. Vol. 164. 2021.

[77] Камынин Л.И. О гладкости тепловых потенциалов // Дифференц. уравнения. 1965. Т. 1. № 6. С. 800-839.

[78] Камынин Л.И. О гладкости тепловых потенциалов II // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2. № 5. С. 647-687.

[79] Камынин Л.И. О гладкости тепловых потенциалов V. Тепловые потенциалы

vи w на поверхностях типа ^m+iT(i2+a)/2 и ^mi^j/?72 // Дифференц.

уравнения. 1968. Т. 4. № 2. С. 347-365. "

[80] Камынин Л.И. О гладкости тепловых потенциалов V. Тепловые потенциалы U, V и W на поверхностях типа Л^¿Т/Д«)^ и Л^З^^72, II // Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4. № 5. С. 881-895.'

[81] Камынин Л.И. О гладкости тепловых потенциалов в пространстве Дини-Гёльдера // Сиб. мат. журн. 1970. Т. 11. № 5. С. 1017-1045.

[82] Камынин Л.И., Химченко Б.Н. Теорема о косой производной для равномерно параболического уравнения 2-го порядка // Сиб. матем. журн. 1989. Т. 30.

№ 1. С. 114-122.

[83] Черепова М.Ф. Решение методом потенциала I-ой краевой задачи для параболического уравнения 2-го порядка в нецилиндрической области // Деп. в ВИНИТИ АН СССР. 11.01.85. № 361-85-Деп.

[84] Шевелева В.Н. Об одной задаче контактной теплопроводности // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. № 1. С. 172-174.

[85] Шевелева В.Н. Контактная теплопроводность с условиями сопряжения на элементарной поверхности // Деп. в ВИНИТИ 28.01.92. № 272-В92.

[86] Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Первая краевая задача для параболических систем в плоских областях с негладкими боковыми границами // Докл. РАН. 2014. Т. 458. № 4. C. 379-381.

[87] Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Потенциал простого слоя и первая краевая задача для параболической системы на плоскости // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 2. C. 198-208.

[88] Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Единственность решений начально-краевых задач для параболических систем в плоских ограниченных областях с негладкими боковыми границами // Докл. РАН. 2020. Т. 494. № 1. C. 5-8.

[89] Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. О единственности решений первой и второй начально-краевых задач для параболических систем в ограниченных областях на плоскости // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 8. C. 1039-1048.

[90] Коненков А.Н. Существование и единственность классического решения первой краевой задачи для параболических систем на плоскости // Дифференц. уравнения. 2023. Т. 59. С. 904-913.

[91] Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Задача Дирихле для параболических систем с Дини-непрерывными коэффициентами на плоскости // ДАН. 2017. Т. 476.

№ 1. С. 7-10.

[92] Baderko É.A., Cherepova M.F. Dirichlet problem for parabolic systems with Dini continuous coefficients // Applicable Analysis. 2021. Vol. 100. No. 13. P. 2900-2910.

[93] Baderko É.A., Cherepova M.F. Mixed problems for plane parabolic systems and boundary integral equations // J. Math. Sci. 2022. Vol. 260. No. 4. P. 418-433.

[94] Cherepova M.F., Zhenyakova I.V. Volume potential and intial-boundary value problems for parabolic systems with Dini continuous coefficients in the plane // J. Math. Sci. 2023. Vol. 274. No. 4. P. 567-582.

[95] Семаан Х.Д. О решений второй краевой задачи для параболических систем в областях на плоскости с негладкой боковой границей. Деп. ВИНИТИ РАН. 1999. № 567-В99.

[96] Фёдоров К.Д. О первой начально-краевой задаче для модельной параболической системы в области с криволинейными боковыми границами // Диффе-ренц. уравнения. 2021. Т. 57. № 12. С. 1623-1634.

[97] Baderko E.A., Cherepova M.F. Smooth solution to the second initial-boundary value problem for a parabolic system in a domain with nonsmooth lateral boundary // J. Math. Sci. 2023. Vol. 269. № 1. P. 1-17.

[98] Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. О единственности решения первой начально-краевой задачи для параболических систем с постоянными коэффициентами в полуограниченной области на плоскости // Дифференц. уравнения. 2019.

Т. 55. № 5. С. 673-682.

[99] Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: «Наука», 1977. 512 c.

[100] Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: «Наука и техника», 1987. 688 с.

[101] Зейнеддин М. Гладкость потенциала простого слоя для параболической системы второго порядка в классах Дини. Деп. ВИНИТИ РАН. 1992. № 1294-В92.

[102] Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // УМН. 1962. Т. 17. Вып. 3 (105). С. 3-146.

[103] Arnese G. Su alcune proprieta dell'integrale di Poisson relativo ad una equazione parabolica di ordine 2m a coefficienti non costanti // Ann. di Mat. Pura ed Appl. 1971. Vol. 91. № 1. P. 1-16.

[104] Eidelman S.D., Ivasyshen S.D., Kochubei A.N. Analityc Methods in the Theory of Differential and Pseudo-Differential Equations of Parabolic Type. Springer Basel AG, 2004. 387 P.

[105] Cherepova M.F. Zhenyakova I.V. The Cauchy problem for a multi-dimensional parabolic equation with Dini-continuous coefficients //J. Math. Sci. 2022. Vol. 264. № 5. P. 581-602.

[106] Бадерко Е.А., Федоров К.Д. О гладкости потенциала Пуассона для параболических систем второго порядка на плоскости // Дифференц. уравнения. 2023. Т. 59. № 12. С. 1606-1618.

[107] Бадерко E.A., Черепова М.Ф. О единственности решения задачи Коши для параболических систем // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 6. С. 822-830.

[108] Матийчук М.И., Эйдельман С.Д. О параболических системах с коэффициентами, удовлетворяющими условию Дини // Докл. АН СССР. 1965. Т. 165. № 3. С. 482-485.

[109] Матийчук М.И., Эйдельман С.Д. О фундаментальных решениях и задаче Ко-ши для параболических систем, коэффициенты которых удовлетворяют условию Дини // Труды семинара по функциональному анализу. Воронеж: Воронежский гос. ун-т. 1967. Т. 9. С. 54-83.

[110] Кружков С.Н. Об оценках старших производных для решений эллиптических и параболических уравнений с непрерывными коэффициентами // Матем. заметки. 1967. Т. 2. Вып. 5. С. 549-560.

[111] Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: «Физматгиз», 1960. 624 с.

[112] Камынин Л.И. О решении методом потенциалов основных краевых задач для одномерного параболического уравнения 2-го порядка // Сиб. мат. журн. 1974. Т. 15. № 4. С. 806-834.

[113] Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: URSS, «ЛЕНАНД», 2015. 238 с.

[114] Бадерко E.A., Черепова М.Ф. О единственности в классе Гёльдера решения первой начально-краевой задачи для параболических систем в ограниченной негладкой области на плоскости // Проблемы математического анализа. 2020. № 106. С. 3-15.

[115] Baderko E.A., Cherepova M.F. Smoothness in the Dini space of a single layer potential for a parabolic system in the plane //J. Math. Sci. 2018. Vol. 235. № 2. P. 154-167.

[116] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1. СПб., 2017. 608 с.

[117] Ostrowski A.M. Über die Stetigkeit von characteristischen Wurseln in Abhangigkeit von den Matrizenelementen // Jber. Deutsch. Math. Vercin. 1957. 60. No. 1. P. 40-42.

[118] Уилкинсон Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. 564 с.

[119] Baderko É.A. Cherepova M.F. Uniqueness theorem for parabolic Cauchy problem // Appl. Anal. 2016. Vol. 95. № 7. P. 1570-1580.

[120] Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: «Наука», 1967. 436 с.

[121] Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: «Наука», 1979. 320 с.

[122] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2. СПб.: «Лань», 2017. 800 с.

[123] Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Смешанная задача для параболической системы на плоскости и граничные интегральные уравнения // СМФН. 2018. Т. 64. № 1. С. 20-36.

[124] Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Volterra и их применениях к некоторым задачам математической физики // Бюлл. Моск. гос. ун-та. Секц. А. 1938. Т. 1. № 8. C. 1-25.

[125] Baderko É.A., Cherepova M.F. Bitsadze-Samarskii problem for parabolic systems with Dini continuous coefficients. Complex Variables and Élliptic Équations. 2019. Vol. 64. № 5. P. 753-765.

[126] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: «Наука», 1967. 576 с.

[127] Friedman A. Generalized functions and partial differential equations. Prentice-Hall., 1963.

[128] Богачев К.Ю. Практикум на ЭВМ. Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. М.: изд-во механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, 1998. 137 с.

[129] Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: «Мир», 1989. 656 с.

[130] Бейтемен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 1. М.: «Наука», 1965. 294 с.

[131] Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 3, часть 2. М.: «Наука», 1974. 672 с.

Публикации автора по теме диссертации

[132] Бадерко E.A., Сахаров С.И. Единственность решения первой начально-краевой задачи для параболической системы с дифференцируемыми коэффициентами в полуполосе с негладкой боковой границей // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 5. С. 625-634.

Английский перевод: Baderko E.A., Sakharov S.I. Uniqueness of the Solution of the First Initial-Boundary Value Problem for a Parabolic System with Differentiable Coefficients in a Half-Strip with Nonsmooth Lateral Boundary // Differ. Equations. 2021. Vol. 57. No. 5. P. 605-614.

[133] Бадерко Е.А., Сахаров С.И. Единственность решений начально-краевых задач для параболических систем с Дини-непрерывными коэффициентами в плоских областях // Докл. РАН. 2022. Т. 502. № 2. С. 26-29.

Английский перевод: Baderko E.A., Sakharov S.I. Uniqueness of Solutions of Initial-Boundary Value Problems for Parabolic Systems with Dini-Continuous Coefficients in Domains on the Plane // Dokl. Math. 2022. Vol. 15. No. 2. P. 71-74.

[134] Бадерко E.A., Сахаров С.И. Потенциал Пуассона в первой начально-краевой задаче для параболической системы в полуограниченной области на плоскости // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 10. С. 1333-1343.

Английский перевод: Baderko E.A., Sakharov S.I. Poisson Potential in the First Initial-Boundary Value Problem for a Parabolic System in a Semibounded Domain on the Plane // Differ. Equations. 2022. Vol. 58. No. 10. P. 1327-1337.

[135] Бадерко Е.А., Сахаров С.И. О единственности решений начально-краевых задач для параболических систем с Дини-непрерывными коэффициентами в полуограниченной области на плоскости // Журн. вычислит. матем. и мат. физики. 2023. Т. 63. № 4. С. 584-595.

Английский перевод: Baderko E.A., Sakharov S.I. Uniqueness of Solutions to Initial-Boundary Value Problems for Parabolic Systems with Dini-Continuous Coefficients in a Semibounded Domain on the Plane // Comput. Math. and Math. Phys. 2023. Vol. 63. No. 4. P. 584-595.

[136] Бадерко Е.А., Сахаров С.И. Об однозначной разрешимости начально-краевых задач для параболических систем в ограниченных плоских областях с негладкими боковыми границами // Дифференц. уравнения. 2023. Т. 59. № 5. С. 608-618.

Английский перевод: Baderko E.A., Sakharov S.I. On the Unique Solvability of Initial-Boundary Value Problems for Parabolic Systems in Bounded Plane Domains

with Nonsmooth Lateral Boundaries // Differ. Equations. 2023. Vol. 59. No. 5. P. 618-628.

[137] Сахаров С.И. Начально-краевые задачи для однородных параболических систем в полуограниченной плоской области и условие дополнительности // Диф-ференц. уравнения. 2023. Т. 59. № 12. С. 1641-1653.

Английский перевод: Sakharov S.I. Initial-Boundary Value Problems for Homogeneous Parabolic Systems in a Semibounded Plane Domain and Complementarity Condition // Differ. Equations. 2023. Vol. 59. No. 12. P. 16501663.

[138] Бадерко E.A., Сахаров С.И. Об однозначной разрешимости задачи Коши в классе C 1,0(D) для параболических систем на плоскости // Дифференц. уравнения. 2024. Т. 60. № 11. С. 1471-1483.

Английский перевод: Baderko E.A., Sakharov S.I. On the Unique Solvability of the Cauchy Problem in the Class C 1,0(D) for Parabolic Systems on the Plane // Differ. Equations. 2024. Vol. 60. No. 11. P. 1544-1556.

[139] Сахаров С.И. О начально-краевых задачах для параболических систем в полуограниченной плоской области с граничными условиями общего вида // Журн. вычислит. мат. и матем. физики. 2024. Т. 64. № 6. С. 1028-1041.

Английский перевод: Sakharov S.I. Initial-Boundary Value Problems for Parabolic Systems in a Semibounded Plane Domain with General Boundary Conditions // Comput. Math. and Math. Phys. 2024. Vol. 64. No. 6. P. 1274-1285.

[140] Сахаров С.И. Об однозначной разрешимости начально-краевых задач для параболических систем в полуограниченной плоской области с негладкой боковой границей // Журн. вычисл. мат. и матем. физ. 2025. Т. 65. № 6. С. 972-984.

Английский перевод: Sakharov S.I. On the Unique Solvability of Initial-Boundary Value Problems for Parabolic Systems in a Semibounded Plane Domain with a Nonsmooth Lateral Boundary // Comput. Math. and Math. Phys. 2025. Vol. 65. No. 6. P. 1354-1367.