О наименьших обобщенных числах Харди - Литтлвуда и Гольдбаха в прогрессиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Алауи Мхамеди Абделлах

• Алауи Мхамеди Абделлах
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Алауи Мхамеди Абделлах

Введение

Глава I. О наименьшем обобщенном числе Харди - Литтлвуда в арифметической прогрессии

§1. Обобщенные числа Харди - Литтлвуда при к =

§2. Обобщенные числа Харди - Литтлвуда при к = 1 и в случае многочлена.

§3. Обобщенные числа Харди - Литтлвуда в случае, когда к = 2.

§4. Обобщенные числа Харди - Литтлвуда при произвольном к.2S

Глава II. О наименьшем обобщенном числе Гольдбаха в арифметической прогрессии

Глава III. Об обобщенных числах Гольдбаха в коротких интервалах

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О наименьших обобщенных числах Харди - Литтлвуда и Гольдбаха в прогрессиях»

Настоящая диссертация относится к аддитивной теории чисел, здесь оценивается сверху величина наименьшего натурального числа ЛГ, пред-ставимого в виде а(р) + Ъ{п) = ЛГ, где N находится в арифметической прогрессии Их + 1,х = 0,1,., и функция а(р) является многочленом аргумент которого последовательные простые или натуральные числа с условием р < ЛГ, а функция Ь(п) равна либо [апк], где о; — вещественное иррациональное число и к — натуральное число; либо &(#) = [од], где при тех же самых числах а и д < N пробегает последовательные простые числа, кроме того, получена оценка короткого промежутка в окрестности числа N такого, что внутрь его попадает обобщенное гольдбахово число

Р + М

Эти задачи можно рассматривать с единой точки зрения, если обратиться к вещественной и />-адическим метрикам в соответствующих полях.

Эти задачи можно рассматривать как тернарные аддитивные проблемы теории чисел, возможность решения которых с помощью метода тригонометрических сумм была открыта И.М.Виноградовым [4].

Метод Виноградова в дальнейшем совершенствовался и уточнялся им самим, так и другими математиками. А.А.Карацуба предложил метод решения некоторых мультипликативных задач, используя "свойство тер-нарности" [12]. Общий метод решения этих задач получил название метода Рамануджана - Харди - Литтлвуда - Виноградова.

В настоящей диссертации мы также используем этот метод. Основное отличие от общего состоит в том, что здесь нам достаточно найти главный член асимптотики в рассматриваемых проблемах только в малой окрестности нуля, а на оставшемся множестве единичного отрезка тригонометрические суммы по модулю оцениваются сверху. Последнее обстоятельство позволяет получать более точный результат, чем в обычной проблеме Гольдбаха [15,25,45,51, 53.]

Отметим, что эффект равномерного распределения значений арифметической функции целая часть по всем возможным арифметическим прогрессиям впервые использовал в своей диссертации К.Буриев [31]. В последнее время Г.И.Архипов, К.Буриев и В.Н.Чубариков [22] воспользовались этим эффектом и явными формулами в теории дзета -функции Римана для оценки мощности особого множества в бинарных аддитивных задачах с простыми числами. Мы применяем методы последней работы [22] в третьий главе диссертации.

Перейдем к ее содержанию. Диссертация состоит из введения и трех глав.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Алауи Мхамеди Абделлах, 2000 год

1. Виноградов И. М., Основы теории чисел, Наука, М, 1982.

2. Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, Наука, М, 1980.

3. Виноградов И. М., Особые варианты метода тригонометрических сумм, Наука, М, 1976.

4. Виноградов И. М., Представление нечетного числа суммой трех простых чисел, Изв. ДАН СССР. Т.15 (1937), 291-294.

5. Виноградов И. М., К вопросу о числе целых точек в заданной области, Изв. АН СССР., сер. матем. 24 (1960), 777-786.

6. Виноградов И. М., Улучшение асимптотических формул для числа целых точек в области трех измерений, Изв. АН СССР., сер. матем. 19 (1955), 3-10.

7. Chen Jing-run, On the divisor problem for d%(n), Sei. Sínica 14 (1965), 19-29.

8. Chen Jing-run, liu Jian Min, The exceptional set of Goldbach numbers (III), Chinese quart. J. Math. 4 №1 (1989), 1-15.

9. H. Davenport, Multiplicative Number Theory (2nd ed.), Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1980.

10. Карацуба А. А., Основы аналитической теории чисел, Наука, М, 1983.

11. Карацуба А. А., Об одной задаче с простыми числами, Докл. АН СССР. сер. матем. 259 №6 (1981), 1291-1293.

12. Петечук М. М., Сумма значений функций делителей в арифметических прогрессиях с разностью, равной степени простого числа., Изв. АН СССР., сер. матем. Т.43 №4 (1979), 892-908.

13. Касселс Дж. В. С., Введение в теорию диофантовых приблежиний, Изд- иностр. лит., М., 1961.

14. Прахар К., Распределение простых чисел, Мир, М, 1967.

15. Prachar К., über die anwendung einer metode van Linnik, acta arith. 29 (1976), 367376.

16. Prachar K., Bemerkungen über Primzahlen in kursen Reihen, acta arith. XLIV (1984), 367-376.

17. Титчмарш E. К., Теория дзета-функции Римана, ИЛ, М, 1953.

18. Монтгомери X., Мультипликативная теория чисел, Мир, М, 1974.

19. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н., Теория кратных тригонометрических сумм, Наука, М, 1987.

20. Архипов Г. И., Чубариков В. Н., Три теоремы о тригонометрических суммах из анализа, Докл. РАН 14 (1993), 19-29.

21. Архипов Г. И., Буриев К., Чубариков В. Н., Тригонометрические суммы в бинарных аддитивных задачах с простыми числами, Матер, междунар. науч. чт. по аналической теории чисел и проложениям М.: МГУ, (1997), 12-13.

22. Архипов Г. И., Буриев К., Чубариков В. Н., О мощности особого множества в бинарных аддитивных задачах с простыми числами, Труды мат. инст. им. В.А. Стеклова Т.218 (1997), 28-57.

23. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н., Лекции по математическому анализу, Высшая школа, М, 1999.

24. Pan Chendong, Pan Chenbiao,, Goldbach Conjecture, science Press, Bejing (China), 1992.

25. Jutila M., On the last Goldbach's number in an arithmetical progression with a prime difference, annales universitatis turkuensis. 118:5 (1968).

26. Вороной Г. Ф., Sur un probleme du calcul des fonctions asymptotiques, Fur die reine und angewandte math. 126 (1903), 241-282.

27. Rankin R. A., Van der Corput's method and the theory of exponent paires, Quart. J. M. (Oxford) (2) 6 (1955), 147-153.

28. Yin Wen-lin, Piltz's divisor problem for k = 3, Science Record,New Ser. 3 (1959), 169-173.

29. Yuh Ming-I, Wu Fang, On the divisor problem for d^(n), Scientia Sinica 11 №8 (1962), 1055-1060.

30. Попов О. В., Арифметические приложения оценок сумм Г. Вейля от многочленов растущей степени, Диссертация на соиск. . канд. физ. матем. наук МГУ (1995).

31. Буриев К., Аддитивные задачи с простыми числами, Диссертация на соиск. . канд. физ. матем. наук МГУ. (1989), 1-108.

32. Буриев К., Об одной аддитивной задаче с простыми числами, ДАН Тадж ССР. Т.38, №11 (1987), 686-688.

33. Архипов Г.И., Житков А. Н., О проблеме Варинга с нецелыми показателями, Изв. АН СССР., сер. матем. 48 №6 (1984), 1138-1150.

34. Буриев К., Об исключительном множестве в проблеме Харди-Литтлвуда для нецелых степеней, Матем. заметки 46 (1989), 127-128.

35. Архипов Г. И., Чубариков В. Н., О некоторых формулах суммированния, Вестник МГУ сер.1 матем.мех. 5 (1987), 29-32.

36. Bombieri Е., Iwaniec Н., On the order of + it), Ann.sur Pisa Norm. Sc. 14(4) (1986), 449-472.

37. Bombieri E., Iwaniec H., Some mean value theorems for exponential sums, Ann.sur Pisa Norm. Sc. 14(4) (1986), 473-486.

38. Гриценко С. А., Об одной задаче И.М.Виноградова, Матем.заметки 39 (1986), 625640.

39. Graham S. W.,Kolesnik G., Van der Corput's Method for Exponential Sums, Cambridge University Press, M, 1991.

40. Ivic A., Riemann Zeta-function, Wiley,New-York, M, 1985.

41. Kratzel E., Lattice Points, Berlin, D.V.W., 1988.

42. Huxley M. N., Watt N., Exponential Sums and the Riemann Zeta-function, Proc. London Math. Soc. (3) 57 (1988), 1-24.

43. Watt N<, A Problem on Semicubical Powers, Acta Arith. 52 (1988), 119-140.

44. Watt N., Exponential Sums and the Riemann Zeta-function (2), London Math.Soc. 39 (1989), 385-404.

45. Wang Y., On Linnik method concerning the Goldbach's number, Sei Sinica 20 (1977), 16-30.

46. Xya Ло-кен., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, Мир, М, 1964.

47. Corput J. G. Van der, Zahlemtheoretische Abschatzungen, Math. Ann. 85 (1921), 53-79.

48. Corput J. G. Van der, Verschärfung der Abschatzubgen beim Teilerproblem, Math. Ann. 87 (1922), 39-65.

49. Corput J. G. Van der, Zum Teilerproblem, Math. Ann. 98 (1928), 697-716.

50. Weyl H., Uber die Gleichverteilung von Zahlen Mod. Ein., Math. Ann. 77 (1916), 313-352.

51. Линник Ю. В., Избранные труды, "наука", Л., 1980.

52. Тырина О. В., средние значения тригонометрических сумм, Диссертация на со-иск. . канд. физ. матем. наук МГУ. (1989).

53. Рахмонов 3. X., Распределение значении характеров Дирихле, Диссертация на соиск. . канд. физ. матем. наук МГУ. (1985), 1-78.