О некоторых численных алгоритмах решения приближенных и полных уравнений Навье-Стокса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Игнатьева, Ирина Викторовна

• Игнатьева, Ирина Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Игнатьева, Ирина Викторовна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава I. Влияние аппроксимационной вязкости на решение уравнения с малым параметром

1.1. Разностная схема экспоненциальной подгонки на неравномерной сетке для уравнения с малым параметром

1.2. Построение неравномерной сетки в задачах с

погранслоем

1.3.О плохой обусловленности разностных уравнений в случае знакопеременного коэффициента при первой

производной

Глава II. Уравнения пограничного слоя с малым

параметром

2.1.Метод экспоненциальной подгонки для нелинейного

уравнения параболического типа с малым параметром

2.2 Конечно-разностные схемы для расчёта уравнений

Прандтля

Глава III. Разностная схема экспоненциальной подгонки для решения стационарных задач внутренней гидродинамики

3.1.УравненияНавье-Стоксав переменных тш у/. Постановка краевой задачи

3.2.Схема экспоненциальной подгонки для уравнений Навье-Стокса

3.3.Решение уравнения для функции тока у

Приложение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О некоторых численных алгоритмах решения приближенных и полных уравнений Навье-Стокса»

ВВЕДЕНИЕ

При обтекании тел потоком вязкой жидкости область течения, как правило, имеет две ярко выраженные подобласти - зона пограничного слоя и зона отрывных течений [1-3]. По-видимому, Прандтль впервые обратил на это внимание и сформулировал теорию пограничного слоя. В основе этой теории лежит то, что вблизи границы обтекаемого тела формируется течение, которое математически описывается системой приближённых уравнений Навье-Стокса, которая получила название - уравнения пограничного слоя Прандтля. Характерной особенностью течений газа и жидкости в таких пограничных слоях является то, что в этой подобласти происходит изменение решения от нуля до максимального значения -скорости набегающего на тело потока. Математический аппарат анализа уравнений пограничного слоя Прандтля показал, что они относятся к классу уравнений с малым параметром при старшей производной. Асимптотические методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений с малым параметром достаточно полно изложены в монографиях [4-7]. При численном решении подобного класса уравнений при малых значениях параметра возникают вопросы точности полученных решений, поскольку аппроксимационная вязкость численного метода вносит свои коррективы в исходное решение. В связи с чем возникает необходимость создания численных алгоритмов равномерно сходящихся по малому параметру [8]. Такие численные методы предельно эффективны в том смысле, что они имеют хорошие свойства сходимости не только для малых, но и для средних и больших значений параметров, и, следовательно, могут служить полезным дополнением к пакетам стандартных программ решения дифференциальных уравнений. Равномерные численные методы

обладают двумя важными свойствами: применимостью на грубой сетке и сходимостью алгоритмов без специальных требований к величине шага сетки. В этом состоит их принципиальное отличие от многих других классических методов, требующих достаточного измельчения сетки. В настоящее время созданию и обоснованию таких разностных схем уделяется достаточно много внимания, как среди российских [8-20], так и среди зарубежных учёных [19-20]. Итак, при создании численного алгоритма решения уравнений Прандтля или уравнений Навье-Стокса необходимо учитывать факт влияния величины аппроксимационной вязкости разностной схемы на численное решение. Отметим, что стационарные уравнения Прандтля в силу параболичности не могут моделировать характер течения газа или жидкости с вихреобразованием. Это заложено в самом выводе уравнений пограничного слоя. Поэтому для моделирования потока газа с вихревыми структурами нужно использовать полные уравнения Навье-Стокса, которые являются нелинейными и относятся также к классу уравнений с малым параметром. Как будет показано в работе, разностные аналоги этих уравнений при некоторых условиях могут быть ещё и е -плохо обусловленными.

Потоки с вихревыми структурами являются одними из самых наблюдаемых явлений в природе, в частности, при обтекании тел потоком вязкой жидкости. В одних случаях такие течения нежелательны, так как отрыв потока связан с увеличением сопротивления течения. Однако имеются задачи, в которых вихревая структура потока является желательной. Например, в камерах сгорания газотурбинных двигателей создаются специальные устройства, которые в определённой её части способствуют завихрению потока с целью устойчивости горения газовых смесей. Механизм отрыва потока объясняется воздействием на частицы

жидкости вязких напряжений и положительного градиента давления: из-за вязкости кинетическая энергия потока около тела частично рассеивается, превращаясь в тепло, и частицы жидкости не могут больше полностью противостоять существующему в жидкости положительному градиент}' давления. В точках потока, где вязкое касательное напряжение равно нулю происходит отрыв потока в поперечном по отношению к телу направлению и происходит локальное образование вихревых структур.

В целом структуру отрывного потока условно можно разделить на следующие характерные области: отрыва, смешения и присоединения (см.рис. 1).

Рис.1

Так, в области отрыва 1 происходит начало отрыва потока от обтекаемой поверхности, а в области смешения 2 оторвавшийся пограничный слой «смешивается» с внешним потоком и возникают возвратные течения. Далее, в области присоединения 3 оторвавшийся поток присоединяется к обтекаемой поверхности, что сопровождается разделением его на основное и возвратное течение. В области же возвратного течения 4 существуют циркуляционные течения. Если в установившемся режиме циркулирует постоянная масса газа, то такая область называется закрытой областью возвратного течения. В открытой же области возвратного течения также существуют

циркуляционные течения, но они сопровождаются частичным уносом массы газа из неё.

Рассмотрим теперь более подробно процесс отрыва потока в задаче обтекания криволинейного профиля дозвуковым потоком

Рис.2

На переднем участке профиль скорости потока от точки полного торможения О до некоторой точки В возрастает, и, следовательно,

давление понижается

ГдР

~Г<0)

ах

\ на участке, у задней кромке, скорость,

др ^

наоборот, уменьшается; а давление увеличивается > ■ При

ускоренном движении потока и отрицательном градиенте давления касательные напряжения будут больше, чем при равномерном движении. В той части зоны, где течение медленнее, и градиент давления положителен, касательные напряжения уменьшаются. Поэтому на поверхности обтекаемого тела существует точка, в которой напряжение трения равно 0, и за этой точкой становится отрицательным. Механическая энергия частиц жидкости вблизи стенки мала, и их способность к движению в направлении возрастания давления ограничена. С точки зрения микроструктуры потока явление отрыва можно обосновать так. В некоторый момент

времени запас энергии у частиц жидкости вблизи твёрдой границы пограничного слоя становится исчерпанным ввиду необратимого процесса перехода части энергии в теплоту (из-за работы сил трения). Запас энергии становится недостаточным для преодоления положительного градиента давления. Сначала частицы жидкость вблизи поверхности претерпевает торможение, а затем изменяют направление своего движения. При появлении возвратных течений происходит отрыв пограничного слоя от обтекаемой поверхности, т.е.

на поверхности существует точка отрыва , в которой

'дУ?

= 0. В

я

\ду)

точке отрыва В исчезает вязкая сила, так как формула напряжения трения выражающаяся зависимостью тст = ¡А

ст

Среди численных методов решения как внутренних, так и внешних задач аэрогидромеханики особое место принадлежит методу конечных разностей, которые с успехом используются при решении различных задач гидроаэродинамики [21-66]. Вопросам разработки и обоснования алгоритмов решения как приближённых, так и полных уравнений Навье-Стокса, а также уравнениям математической физики посвящены работы ведущих учёных России: академиков

A.А,Дородницына, Н.Н.Яненко, С.Н.Бахвалова, О.М.Белоцерковского, АФ.Сидорова, Ю.И.Шокина; членов-корреспондентов - К.И.Бабенко,

B.В.Русанова, В.М.Фомина; профессоров - Л.А. Чудова, В.В.Щенникова, АИ.Толстых, В.М.Ковени, В.И.Полежаева, В.М.Пасконова, А.Н.Крайко, Г.Г.Тирекого, Б.Л.Рождественского, В.Д.Иванова, В.П.Шапеева, Д.В.Маклакова и других. Библиографии работ по численным методам решения уравнений математической физики имеются в [72-83]. С обзором же работ по численным методам

решения полных уравнений Навье-Стокса также можно познакомиться в монографиях [63-71].

Отметим, что многообразие задач газовой динамики не позволяет с определённостью указать классы разностных схем, которые бы являлись эффективными во всех случаях. Так, например, для решения нестационарных уравнений газовой динамики альтернатива использования явных и неявных разностных схем не очевидна. При решении стационарных задач неявные схемы оказываются более экономичными, поскольку итерационный шаг выбирается у них из условия наиболее быстрой сходимости. Поэтому для таких задач в 70-е годы интенсивно развивались неявные факторизованные разностные схемы [22-51]. Так, в работе [33] решение двумерной задачи сводится к последовательному решению одномерных систем по аналогии со схемой переменных направлений Дугласа и Писмена-Речфорда [71]. При этом инерционные и вязкие члены в уравнениях количества движения вынесены на верхний, а давление на нижний слой по времени. Разностная схема, предлагаемая в работе [33] для решения уравнений Навье-Стокса, имеет на целом шаге порядок аппроксимации о(г,А,2 и является условно устойчивой.

Разностные схемы, основанные на расщеплении по физическим процессам уравнений Навье-Стокса, записанных как в дивергентном, так и не дивергентном виде, рассмотрены в работах [20-33, 37-39]. Предлагаемые в этих работах схемы обладают свойством полной аппроксимации, являются безусловно устойчивыми, имеют порядок аппроксимации о(гД2 и реализуются скалярными прогонками. Созданию численных алгоритмов для решения многомерных уравнений Навье-Стокса в переменных и, V и Р , основанных на методе релаксации и расщепления, посвящены работы [58-59, 63]. Последовательное применение процесса расщепления операторов по

пространственным направлениям или физическим процессам позволяет для многомерных задач математической физики численно находить решение с помощью скалярных и векторных прогонок [6364, 74, 80].

Погрешность аппроксимации разностного алгоритма зависит как от порядка точности схемы, так и от построения расчётных сеток в исходной области. Введение неравномерных подвижных сеток, сгущающихся в подобластях с большими градиентами при численном решении дифференциальных уравнений и уравнений Навье-Стокса посвящены работы [84-86]. Так, в [85] основное внимание уделяется конструированию и обоснованию неявных разностных схем третьего порядка точности, пригодных, в частности, для расчётов течений вязких жидкостей и газов. Автором этой работы рассматриваются вопросы использования адаптирующихся разностных сеток, в которых сгущение узлов в областях с большими градиентами осуществлялось автоматически в процессе решения. Это сгущение основывается на преобразовании одной из пространственных координат, зависящих от той искомой функции, которая быстро меняется в направлении этой координаты. Наличие сгущающейся сетки в области больших градиентов позволяет проводить моделирование течений жидкости уравнений Навье-Стокса при больших значениях чисел Рейнольдса.

В [43-44] предложена для численного решения двумерных уравнений Навье-Стокса разностная схема расщепления по координатам. Расщепляющий оператор действует не на приращение искомых функций А*1 = /п+1 - /", а на разность приращений искомых функций = Д"+1 -А", что уменьшает, по мнению авторов, ошибку, вызываемую расщеплением. Схема имеет порядок аппроксимации + ¿22) и реализуется векторными прогонками. В [84] предложен

способ построения неравномерной сетки, согласованный с решением на основе вариационного принципа, который формулируется как задача нахождения минимума функционала, зависящего от преобразованных координат, искомых функций и их градиентов. Решение исходной задачи определялось из совместного нахождения уравнений сохранения и минимума функционала. Исходный функционал строится таким образом, чтобы удовлетворить некоторым априорным требованиям на сетку: концентрации узлов сетки в области больших градиентов, близости к лагранжевой сетке, малости деформации сетки или минимизации в некоторой норме ошибки аппроксимации. Обзор методов по построению структурных сеток имеется в работе [86].

Цель работы состоит в разработке и обосновании конечно-разностных алгоритмов для численного решения приближённых и полных уравнений Навье-Стокса, являющимися эффективными в том смысле, что они должны иметь хорошие свойства сходимости не только для малых, но и для средних и больших значениях числа Рейнольдса, а также обладать свойствами - применимостью на грубой сетке и сходимостью алгоритмов без специальных требований к величине шага сетки.

Основные научные результаты и их новизна

К научным результатам, полученным впервые, относятся следующие:

1. Построены и обоснованы эффективные конечно-разностные методы решения уравнений Прандтля, основанные на идее экспоненциальной подгонки как на равномерной, так и на неравномерной сетках.

2. Построен и обоснован конечно-разностный метод экспоненциальной подгонки на равномерной и неравномерной сетках

для решения двумерных уравнений Навье-Стокса в переменных со и ¥ •

3. Проведён анализ влияния типа линеаризации на г -обусловленность разностных систем.

4. Численно проведён анализ структуры потока течения жидкости для некоторых задачах внутренней аэрогидродинамики.

Практическая значимость исследования На основе предложенных численных алгоритмов решения приближённых и полных уравнений Навье-Сткокса возможно численное моделирование следующих практических задач:

а) внешней аэрогидродинамики - численное моделирование задач обтекания на базе уравнений пограничного слоя;

б) внутренней аэрогидродинамики - численное моделирование стационарных течений вязкого газа или жидкости в задачах химической, нефтяной и авиамоторостроении на базе полных двумерных уравнений Навье-Стокса.

Апробация работы Основные результаты диссертационной работы докладывались на V межреспубликанских туполевских чтениях студентов «Актуальные проблемы авиастроения» (Казань Д992г.), на Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении. Модель-проект-95» (КазаньД995 г.), на Международной научно-технической конференции «Механика машиностроения» (Набережные Челны, 1995 г.), на IV encoutro regional de matematica aplicada e computional. AN AIS-1996.(Brazil), на Второй республиканской конференции молодых учёных и специалистов (Казань, 1996г.), на научной конференции «Динамика сплошных сред со свободными границами».(Чебоксары, 1996г.), на I

Международной конференции «Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении». (Казань, 1997г.), на итоговых научных конференциях Казанского государственного технического университета в 1993-1997г.г.

В настоящей работе автор защищает:

а) конечно-разностный алгоритм экспоненциальной подгонки решения краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром;

б) конечно-разностный алгоритм экспоненциальной подгонки решение уравнений Прандтля и двумерных стационарных уравнений Навье-Стокса;

в) построение стационарных адаптирующих сеток.

Структура и объём работы Работа состоит из введения, трёх глав и приложения, списка использованной литературы. Работа изложена на 114 страницах машинописного текста, содержит _9_ рисунков, 11 таблиц, 6_графиков.

Краткое содержание диссертации Во введении обосновывается актуальность темы, формируется цель работы, приводится краткий обзор содержания диссертационной работы.

В первой главе предложена разностная схема экспоненциальной подгонки для решения уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной для первой краевой задачи на неравномерной сетке, доказана монотонность, равномерная сходимость схемы. Проведён математический анализ построения разностных методов решения уравнений с малым параметром при старшей производной, когда коэффициент при первой производной меняет знак. Для численного решения возникающих в этом случае

плохо обусловленных разностных уравнений предложены алгоритмы масштабирования и модификация классической прогонки. В этой же главе описан метод построения неравномерной сетки, сгущающейся в погранслойных областях в зависимости от значения малого параметра.

Вторая глава посвящена вопросу построения на неравномерной сетке монотонных разностных схем экспоненциальной подгонки для численного решения приближённых уравнений Навье-Стокса (уравнений Прандтля), позволяющих корректно проводить расчёты при малых значения малого параметра е«1 (больших числах Рейнольдса). Проведён анализ влияния аппроксимационной вязкости на решение в зависимости от порядка аппроксимации разностной схемы. Сформулированы теоремы о монотонности и устойчивости разностных схем экспоненциальной подгонки, а так же обусловленности систем разностных уравнений в зависимости от линеаризации нелинейного члена для подобных уравнений. Как правило, в области определения решения задач класса с малым параметром при старшей производной существуют подобласти вблизи стенки с большими градиентами и поэтому проблема построения разностных схем для параболических уравнений Прандтля является наиболее важной в вычислительной гидродинамике.

В третьей главе рассмотрен вопрос численного моделирования внутренних задач гидроаэродинамики на базе уравнений Навье-Стокса. Для численного решения подобных задач предложены разностные схемы экспоненциальной подгонки для уравнения переноса (так как эти уравнения относятся к классу уравнений с малым параметром) и классические схемы на неравномерной сетке для нахождения решения второго уравнения исходной системы (уравнения Пуассона). Доказаны условия монотонности исходных

разностных схем. Численная реализация разностных уравнений осуществлена с помощью схем расщепления, а именно скалярной прогонкой. Расчётов некоторых модельных задач внутренней гидродинамики приведены в приложении.

В приложении приведены описания расчётов, подтверждающие работоспособность и хорошее совпадение результатов, полученных по предложенным схемам с известными точными решениями для ряда тестовых задач, описаны методы и алгоритмы решения некоторых задач гидроаэродинамики, проиллюстрированы результаты.

Работа выполнена на кафедре высшей математики Казанского государственного технического университета им. А.Н.Туполева.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Игнатьева И.В. Комплекс программ по решению жёстких и нежёстких обыкновенных дифференциальных уравнений и его использование.// В тез.докладов научно-технич. конференции КАИ по итогам работы за 1992-1993 гг. Казань, 1994 г.С.207.

2. Игнатьева И.В. О численном моделировании отрывных течений в плоском канале.// Сб. тезисов докладов Международной научно-технической конф. «Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении. Модель-проект-95». Казань. КГТУ. 1995. С.55-57.

3. Игнатьева И.В. Математическое моделирование процессов тепломассообмена в пористой влагосодержащей среде при воздействии на её поверхность концентрированным потоком энергии.// Сб. тезисов докладов Международной научно-технической конференции «Механика машиностроения». Наб.Челны. КамПИ, 1995 г. С.60.

4. Игнатьев В.Н., Игнатьева И.В. Математический анализ модели и расчёта отрывных течений в канале с уступом.// В сб.статей

«Динамики сплошных сред со свободными границами». Чебоксары, 1996г. С.126-137.

5. Ignantiev V.N., Ignatieva I.V. Simulacao numérica dos fluxos com desprendimiento da corrente para problemas de dinamica dos fluidos.// IV encontro regional de matematica aplicada e computacional. ANAIS-1996, P.135-136.

6. Игнатьев B.H., Игнатьева И.В. Об одной схеме расчёта отрывных течений в канале энергоустановок.// В сб.трудов Второй республиканской конференции молодых учёных и специалистов. Казань, 1996. Тезисы доклада. С.75.

7. Игнатьева И.В. Применение численной схемы повышенной точности в цилиндрических координатах для моделирования отрывных течений./'/ В тез.докладов юбилейной научной и научно-методической конференции, посвящённой 65-летию КГТУ им.А.Н.Туполева, Казань, 1997 г.С.43.

8. Игнатьева И.В. Об одном численном методе решения приближённых уравнений Навье-Сткса.// В сб. трудов I международной конференции «Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении». Казань, 1997 г.С.110-115.

9. Игнатьева И.В. Метод экспоненциальной подгонки для решения полных уравнений Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости.// В сб. трудов I международной конференции «Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении». Казань, 1997 г. С. 116119.

10. Игнатьев В.Н., Тимофеев В.И., Игнатьева И.В., Таксеитов P.P. Численное моделирование внутренних задач аэродинамики на основе

схемы П-разбиения. /У Деп. в ВНТИЦ № 01940008176, инв.№ 02.96.0007875 (1996г.).

П.Игнатьев В.Н., Игнатьева И.В. Отчёт «Математическое моделирование в ламинарных и турбулентных движениях газов и жидкостей на основе решений схемы П- разбиения потока». // Деп. В ВНТИЦ, № 01940004364, инв. № 02.97.0002594 (1997г.).

17

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Игнатьева, Ирина Викторовна, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Шлихгинг Г. Теория пограничного слоя. -М.: Наука, 1969. С.742.

2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. -М.: Наука, 1973. С.64.

3. Седов Л.И. Механика сплошных сред. -М.: Наука, 1973, т.1-2. С.535.

4. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкостей. -М.: Мир, 1967г. С.310.

5. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. -М.: Мир,1972.С.274.

6. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. -М.: Наука, 1989. С.334.

7. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. //УМН.-1957. Т.12. № 5. С.3-122.

8. Ильин A.M. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной. //Математические заметки, 1969, вып.2.С.237-283.

9. Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличие пограничного слоя. //ЖВМ и МФ.-1969. Т.9. №34. С.841-859.

10. Боглаев Ю.П. Итерационный метод прогонки приближённого решения нелинейных сингулярно возмущённых краевых задач. //ДАН СССР, 1977. Т.228, №6. С.1241-1244.

И. Гущин В.А., Щенников В.В. Об одной монотонной разностной схеме второго порядка точности. //ЖВМ и МФ. 1974, т.14, №З.С.789-792.

12. Емельянов К.В. Усечённая разностная схема для линейной сингулярно возмущённой краевой задачи. //ДАН, т.262, №5. С. 10521055.

13. Алексеевский M.B. Разностная схема высокого порядка точности для сингулярно возмущённой краевой задачи. //ДУ, 1981, т. XVII, №7. С.1171-1192.

14. Лисейкин В.Д., Яненко H.H. О равномерно сходящихся алгоритмах численного решения обыкновенного дифференциального уравнения

и и ТЧ

второго порядка с малым параметром при старшей производной. - В сб.: Численные методы механики сплошной среды. 1981, т. 12, №2. С.45-56.

15. Шишкин Г.И. Численное решение эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных. I. Равномерная относительно параметра сходимость приближённого решения. -В кн.: Численные методы механики сплошной среды. -Новосибирск, 1979, т. 10, №4.С. 107-124.

16. Шишкин Г.И. Численное решение эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных. II .Аппроксимация производных. В кн.: Численные методы механики сплошной среды. -Новосибирск, 1979, т. 10, №5.0.127-143.

17. Шишкин Г.И. Разностная схема для сингулярно возмущённого дифференциального уравнения. -В сб.: Численные методы механики сплошной среды. 1982, т,13, №2.0.147-164.

18. Слепцов А.Г., Шокин Ю.И. Адаптивный проекционно-сеточный метод для эллиптических задач. //ЖВМ и МФ. 1997, т.37, №5. С.572-586.

19. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. -М.: Мир, 1983.С. 198.

20. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущённые краевые задачи. М.: Мир, 1988. С.247.

21. Allen D., N de G.Southweel R.V. Relaxation Methods applied to determine the Motion in Two Dimension of Vicous Fluid puts a Fixed Cylinder. -J.Mech. and Appl. Math., 1955. P.125-145.

22. Брайловская И.Ю.,Кускова T.B., Чудов Л.А. Разностные методы решения уравнений Навье-Стокса (обзор). -В кн.: Вычисл. методы и программирование. -М.:МГУ, 1968, вып.Х1. С.3-18.

23. Люлька В.А., Щенников В.В. Численное решение уравнений Навье-Стокса. -В кн.: Сб. теорет. работ по гидродинамике. -М.: ВЦ СО АН СССР,1970. С.107-149.

24. Тейлор Т.Д., Ндефо Э. Расчет течений вязкой жидкости в канале при помощи метода расщепления. В кн.: Числ. Методы в механ. Жидкостей. -М.: Мир, 1973. С.218-229.

25. Белоцерковский О.М., Гущин В.А., Щенников В.В. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости. // ЖВМ и МФ. -1975. Т.15. № 1. С. 197-207.

26. Харлоу Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики. В кн.: Вычисл. методы в гидродинамике. -М.: Мир, 1967. С.316-342.

27. Hirt C.W. Heuristic stability theory for finity-diiference equations. //J.Comput.Phys., 1968. №2, №4.P.339-355.

28. Dannis S.C., Chang Gau-Zu. Numerical colutions for steady flow past a circular cylinder at Re number to 100. //J.Fluid Mech., 1970, №2, №3. P.471-489.

29. Harlow F.N., Hirt C.W. Recent extensions to Euterian methods for numerical fluid dynamics.// ЖВМ и МФ, 1972, т. 12, № З.Р.656-672.

30. Гущин В.А. Метод расщепления решения задач динамики неоднородной вязкой несжимаемой жидкости. //ЖВМ и МФ. -1981. Т21. №4. С.1003-1017.

31. Полежаев В.И. Численное решение системы одномерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа. // Изв. АН СССР. Сер. Механ. жидк. и газа, 1966, №6.С. 33-44.

32. Полежаев В.И. О влиянии сжимаемости на течение и перенос тепла при естественной конвекции. // Изв. АН СССР. Сер. Механ. жидк. и газа, 1968, №6.С. 97-102.

33. Кацкова В.Н., Крайко А.Н. Расчёт плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений при наличии необратимых процессов. //ПМТФ, 1963, №4. С.116-118.

34. Грязнов В.Л., Полежаев В.И. Численное решение нестационарных уравнений Навье-Стокса для турбулентного режима естественной конвекции. //Препринт №81, Москва, 1977 (В надзаг. Институт проблем механики АН СССР). С. 18.

35. Бунэ A.B., Грязнов В.Л., Дубовик К.Г.,Полежаев В.Н. Методика и комплекс программ численного моделирования гидродинамических процессов на основе нестационарных уравнений Навье-Стокса. //Препринт №173, Москва, 1981 (В надзаг. Институт проблем механики АН СССР). С.22

36. Толстых А.И. О методе численного решения уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа в широком диапазоне чисел Рейнольдса. //ДАН СССР, 1973,т.210,№6.С.48-51.

37. Березин Ю.А., Ковеня В.М., Яненко H.H. Об одной неявной схеме расчёта течения вязкого теплопроводного газа. В кн.: Численные методы механики сплошной среды. -Новосибирск, 1972, т.З, №4.С. 318.

38. Бим P.M., Уорминг Г.Ф., Неявная факторизированная разностная схема для уравнений Навье-Стокса течения сжимаемого газа. //Ракетная техника и космонавтика, 1977, т. 16, №4.С. 145-156.

39. Ковеня В.М. Численный метод решения стационарных уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа. В кн.: Численные методы механики сплошной среды. -Новосибирск, 1970, т.1, №3.C.75~83.

40. Ковеня В.М. Численный метод решения уравнений газовой динамики и Навье-Стокса. // ДАН СССРД979,т.247,№1.С.29-33.

41. Щербак С.Б. Об одном методе расчёта нестационарных пространственных задач конвекции и горения газов. В кн.: Численные методы механики сплошной среды. -Новосибирск, 1982, т. 13, №3.0.122-134.

42. Лапин Ю.В.,Стрелец М.Х., Шур М.Л. Численное моделирование процессов в резонаторе непрерывного химического HF - лазера на основе уравнений Навье-Стокса. //ФГВ. -1982.№5. С.89-96.

43. Махвиладзе Г.М.,Щербак С.Б. Численный метод исследования нестационарных пространственных движений сжимаемого газа. //ИФЖ. -1980. Т.38. № 3. С.528-537.

44. Махвиладзе Г.М., Николаева И.П., Численное моделирование развития очага горения в закрытом сосуде в условиях естественной конвекции. //ФГВ. -1982. №5. С.39-46.

45. Стрелец М.Х. О численном моделировании существенно дозвуковых течений газов и газовых смесей при наличии значительных изменений плотности. В кн.: Динамика неоднородных и сжимаемых сред. -Ленинград, изд.ЛГУ,1984.С.67-79.

46. Рогов Б.В., Соколова И.А. Уравнения вязких течений в гладких каналах переменного сечения. //ДАН РАН .-1994.Т.345, №5.С.615-619.

47. Федорченко А. Т. О расширении модели течения несжимаемой жидкости.//ДАН РАН.-1995.Т.341, №4.С.481-484.

48. Егоров И.В., Иванов Д.В. Моделирование внутренних отрывных течений с учётом химической неравновесности. //ЖВМ и МФ. -1997. Т.37. №6. С.751-758.

49. Егоров И.В., Иванов Д.В. Применение полностью неявных монотонных схем для моделирования плоских внутренних течений. // ЖВМ и МФ. -1996. Т.36. №12. С.91-107.

50. Башкии В.А., Егоров И.В., Иванов Д.В. Применения метода Ньютона к расчёту внутренних сверхзвуковых отрывных течений. // Прикл.механ. и техн.физика.-1997, №2. С.49-60.

51. Гущин В.А., Матюшин П.В. Численное моделирование пространственных отрывных течений около сферы. // ЖВМ и МФ. -1997. Т.37. №9. С.112-1137.

52. Денисов Е.Е. Математическое моделирование динамики жидкости с использованием теории графов. // ММ.-1996. Т.8, № 2.С.51-61

53. Антонов М.А. и др. Численное моделирование пульсаций давления в 3-х мерных выемках. // ММ.-1996. Т.8, № 5.С.76-83.

54. Толстых А.И., Широкова Д.А. О разностных схемах с компактной аппроксимацией пятого порядка для пространственных течений вязкого газа. //ЖВМ и МФ .-1996.Т.36,.№4. С. 71-85.

55. Кармышев В.Б. и др. Ускорение сходимости метода глобальных итераций решений упрощенных уравнений Навье-Стокса. //ЖВМ и МФ. -1996.Т.36. №7. С. 150-163.

56. Рогов Б.В., Соколова И.А. Квазиодномерная модель течения в гладких каналах переменного сечения. //УМН. -1996.Т.8. №7.С.З-92.

57. Гуров Д.Б., Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Численное моделирование жидкости в каверне на основе квазигидродинамической системы уравнений. //ММ .-1996.Т.8. №7.С.ЗЗ-45 .

58. Вабишевич П.Н., Павлов А.Н., Чурбанов А.Г. Методы расчёта нестационарных несжимаемых течений в естественных переменных на неравномерных сетках.//УМН. -1996.Т.8. №7.С. 81-140.

59. Бахвалов Н.С., Кобельков Г.М., Чижонков Е.В. Эффективные численные решения уравнений Навье-Стокса. Численное моделирование в аэродинамике. -М.: Наука. 1986. С.32-45.

60. Пономарёв С.Г., Рождественский Б.Л. Стойкое прямое численное моделирование турбулентных течений в плоском канале при различных внешних условиях.// MM. -1996.Т.8. №10. С.43-62.

61. Рябенький B.C., Торгашов В.А. Безытерационный способ решения неявной разностной схемы для уравнений Навье-Стокса в переменных: от у/. .//УМН. -1996.Т.8. №8.С. 85-126.

62. Сёмин Л.Г., Слепцов А.Г., Шапеев В.П. Метод коллокаций -наименьших квадратов для уравнений Стокса. //Журнал вычислительной технологии, Новосибирск. Т.1, №2, 1996. С.90-98.

63. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. -Новосибирск : Наука, 1981. С.ЗОЗ.

64. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. -М.: Мир, 1980. С.616.

65. Белоцерковский О.В., Давыдов Ю.М. Методы крупных частиц в газовой динамике. Вычислительный эксперимент. -М.: Наука , 1982. С.587.

66. Толстых А.И. Компактные разностные схемы повышенной точности в задачах аэрогидродинамики. -М.: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1985. С.71.

67. Госмен А.Д., Пан В.М., Рангел А.К., Сполдинг Д.Б., Вольфштейн М. Численные методы исследования течений вязкой жидкости. -М.: Мир, 1972. С.323.

68. Пасконов В.М. и др. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. -М.: Наука, 1984. С.285.

69. Численные методы в механике жидкостей / Под ред. О.М.Белоцерковского. -М.: Мир, 1973. С.304.

70. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. -М.: Наука, 1984.С.518.

71. Дорфман Л.А. Численные методы в газодинамике турбомашин. -Л.: Энергия, 1974. С.270.

72. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. -М.: Наука, 1971. С.552.

73. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. -М.: Наука, 1973.С.400.

74. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики . -М.: Наука, 1980.С.534.

75. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. -М.: Мир, 1972.С.688.

76. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений. -М.: Наука, 1978.С.655.

77. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. -Новосибирск .: Наука, 1967.С. 196.

78. Шокин Ю.И., Яненко H.H. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. -Новосибирск.: Наука, 1985.С.363.

79. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -М.: Наука, 1963.С.734.

80. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978.С.588.

81. Коновалов А.Н. Введение в вычислительные методы линейной алгебры. -Новосибирск, изд. НГУ, 1983.С.84.

82. Стренг Г. Линейная алгебра и её применения. М.: Мир, 1980. С.328.

83. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977. С.42.

84. Данаев Н.Т., Лисейкин В.Д., Яненко H.H. О методе подвижных координат в газовой динамике. -В кн.: Некоторые проблемы вычислительной математики и математической физики. -М.: Наука, 1975.С.107-115.

85. Толстых А.И. О сгущении узлов разностных сеток и о применении схем повышенной точности при решении уравнений Навье-Стокса. //ЖВМиМФ. -1978. Т. 18. № 1.

86. Лисейкин В.Д. Обзор методов построения структурных сеток.//ЖВМ ИМФ.-1996. Т.36, №1. С.3-42.

87. Kellog R.B., Tsan A. Analysis of some difference approximations for a singular perturbation problem without turning point. //Math.of Comput., 1978, v.32, №114.

88. Dorr F. An Example of flX-Conditioning in the numerical Solution of Singular Perturbation Problems. //Mathematics of computation, 1971, v.25, №114.P.271-283.

89. Фрязинов И.В. О разностных схемах для уравнения Пуассона в полярной, цилиндрической и сферической системах координат. //ЖВМ и МФ. -1971. Т. 11. № 5. С.1219-1228.

90. Бакирова М.И., Фрязинов И.В. Об итерационном методе переменных направлений для разностного уравнения Пуассона в криволинейных ортогональных координатах. //ЖВМ и МФ. -1973. Т. 13. № 4. С.907-922.

91. Бахвалов Н.С., Орехов М.Ю. О быстрых способах решения уравнения Пуассона. //ЖВМ и МФ.-1983. Т.22. №6.

92. Nakamura I. Steady ware behind a sphere. //Phys.Fluids. 1976. V.19. P.5-8.

93. Pao H.P., Kao T.W. Vortex structure in the ware of a sphere . // Phys.Fluids. 1977. V.20, №2.P.5-8.

88.Taneda S. Visual observations of flow past a sphere at Reynolds numbers between 104 and 105. // J.Fluid Mech. 1978, V.85.P.187-192.

89. Tirsky G.A. Up-to-date gasdynamic models of hypersonic aerodynamic and heat transfer with real gas properties. //Ann.Rev.Fluid Mech. 1993. V.25. №1.P.151-81.

90. Harten A., Lax P.D., van Leer B. On upstream differencing and Godunov-tupe schemes for hyperbolic conservation lows.// SIAM Rev. 1983. v.25. №1.P. 35-61.

91. Harten A. Higt resolution schemes for hyperbolic conservation laws. // J.Comput.Phys. 1983 .v.49. P.357-393.

92. Хасменгер Я., Нейтаанмяки П. Конечно-элементная аппроксимация для оптимального проектирования форм: теория и приложение. -М.Мир, 1992. С.458.

93. Хог Э., Чой JL, Кошков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций. -М.: Мир, 1988. С.312.

94. Гадыльшин P.P. О возмущении спектра лапласиана при смене типа граничных условиях на малой части границ. // ЖВМ и МФ. -1996.Т.36. №7. С.77.

95. Форсайт Д., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических исследований. -М.: Мир, 1980.С.277.

96. Андерсон А., Таннехил Дж., Плетчер.Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. -М.: Мир, 1990.С.477.

97. Олейник О.А. О построении решений системы уравнений пограничного слоя методом прямых. // ДАН СССР.-1967, 174:6. С.1288-1291.

98. Shay W.A. Development of second order approximation for the Navier-Stokes equations. // Comput. And Fluids. 1981, 9, № 3. P.278-298.

99. Захаров В.Д., Иванов М.Я., Курочкина Н.Я. Расчёт течения вязкой жидкости в каверне по неявной дивергентной разностной схеме четвёртого порядка аппрксимации. - В кн.: «Численные динамики вязкой жидкости». Новосибирск,1983.С.147-152.

100. Pan F., Acrivos A. Stedy flows in rectangular cavities. // J. Fluid Mechanics, 28, pt.4,1967, 643-655.

101. Burggraf О. R. Analytical and numerical studies of the structure of separated flows. I I J. Fluid Mechanics, 24, pt.l, 1966, 113-151.

102. Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, P. Плетчер . Вычислительная гидромеханика и теплообмен. -М.: Мир, 1990. С.477.