О некоторых свойствах решений волнового уравнения на геометрическом графе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Коровина, Олеся Вячеславовна

• Коровина, Олеся Вячеславовна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коровина, Олеся Вячеславовна

Введение

Глава

Основной объект исследования и постановка задачи

1.1 Понятие геометрического графа и основные определения.

1.2 Определение производной для функции, заданной на геометрическом графе.•.

1.3 Волновое уравнение на геометрическом графе с а-гладкими условиями трансмиссии.

Глава

Решение волнового уравнения на геометрическом графе при краевых условиях первого рода

2.1 Структура решения смешанной задачи для волнового уравнения на геометрическом графе.

2.1.1.Постановка задачи

2.1.2.Решение начально-краевой задачи (27)-(32) в форме Даламбера

2.2 Решение систем телеграфных уравнений на геометрическом графе в случае неискаженного сигнала.

2.2.1 Описание основного объекта исследования

2.2.2 Редукция к волновому уравнению на геометрическом графе.

Глава

Интегральное представление решения волнового уравнения на геометрическом графе при а-гладких условиях трансмиссии

3.1 Представление решения волнового уравнения на геометрическом графе при одной закрепленной граничной вершине.

3.2 Случай условий Неймана.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О некоторых свойствах решений волнового уравнения на геометрическом графе»

Настоящая работа посвящена исследованию волнового уравнения ихх(х, t) = иа(х, t) (х е Г \ J, t> 0)

1) с а-гладкими условиями трансмиссии h)u+(x, t)= 0 (ж е J, t> 0),

2) h€T(x) где Г - геометрический граф, J - множество внутренних вершин Г, Т{х) -множество допустимых единичных направлений в точке х , t) - правая производная функции и{ •, t) в точке х по вектору h, a(x,h) - заданные числа. Основная цель работы - получение конечного описания решения указанного уравнения с данными условиями трансмиссии через и{х\ 0) и щ(х; 0).

Несколько слов об истории исследований линейных дифференциальных уравнений на геометрических графах и месте настоящей работы в этих исследованиях.

Интенсивное изучение дифференциальных уравнений па геометрических графах (в других терминах - пространственных сетях, одномерных стратифицированных множествах, одномерных клеточных комплексах) началось около 30 лет назад. К подобным уравнениям приводит моделирование самых разных явлений: процессов в сетях волноводов (см., например, [33, 47, 46, 49]), деформаций и колебаний стержневых решёток (см., например, [28, 33, 48, 49]), деформаций упругих сеток (см., например, [33, 49]) и струнно-стерж-невых систем [1, 32], диффузии в сетях [7, 33, 49], распространения электрического потенциала в нейроне и нейронных сетях [42, 50, 51], бифуркаций вихревых течений в жидкости [44], гемодинамики (см., например, [29]), колебаний сложных молекул (см., например, [4, 30]), расчёт гидравлических сетей см., например, [6]); приводят к таким уравнениям и задачи вычислительного характера: например, задача о приближении спектра лапласиана и операторов более высокого порядка на триангулируемом римановом многообразии спектрами дифференциальных операторов на геометрических графах (см., например, [8, 9, 31, 48]).

Изучение волнового уравнения на геометрическом графе началось сравнительно недавно. Одной из первых работ в этом направлении можно считать монографию F. Ali-Mehmeti "Nonlinear waves in networks", вышедшую в 1994 году. В ней для частного случая графа, имеющего структуру креста, составленного из четырех одинаковых ребер, предъявлено решение волнового уравнения в форме Даламбера. На произвольном же конечном графе с привлечением теории полугрупп доказаны существование, единственность и регулярность решения задачи Котии для гиперболического уравнения общего вида.

Помимо исследования структуры и асимптотики спектра и оценок резольвенты, следует сказать о получении аналогов формулы Даламбера. Эти аналоги позволили для смешанной задачи с краевыми условиями первого и/или второго родов на геометрическом графе с соизмеримыми по длине рёбрами: 1) описать решение (а значит, и соответствующие операторные косинус-функции и синус-функции) в конечной форме, означающей квазипериодичность - см. [21, 34], 2) обосновать корректность начальной задачи [22], 3) создать эффективную вычислительную схему, основанную на теореме о среднем [38]. Аналог формулы Даламбера позволил также свести решение смешанной задачи (для, по-прежнему, волнового уравнения) на геометрическом графе с рёбрами, вообще говоря, несоизмеримыми, к системе (недиффе-реициальных) уравнений с конечным числом запаздываний [35]. Отметим здесь также работы [2]-[3], в которых метод Римана переносится на гиперболическис уравнения на геометрических графах. В случае волнового уравнения на геометрическом графе при условиях трансмиссии, описывающих 5- и 6'-взаимодействие в узлах сети, для некоторых классов геометрических графов, краевых условий и условий трансмиссии получены формулы, содержащие конечное число арифметических операций, элементарных функций, квадратур и простейших преобразований начальных данных, означающих сдвиг графика и его симметричное отображение (см. [23]-[25]).

Разумеется, при применении метода разделения переменных возникает спектральная задача типа Штурма-Лиувилля, которая изучалась многими авторами как за рубежом, так и у нас в стране (Nicaise S., Ali-Mehmeti F., von Below J., Покорный 10.В., Пенкин O.M., Завгородний М.Г., Прядиев В.Л., Юрко В.А. и др.)

Что касается описания решения через начальные данные в форме типа Даламбера, то такое описание получено для различных видов условий трансмиссии, начальных условий и краевых условий:

1) Боровских А.В., Копытиным А.В., Прядиевым B.JI. (см. [21, 34]): для условий трансмиссии

У^ а(х, h)u£(x, t) = 0 (х G J, t > 0), h£T(x) в которых а(х: К) > 0, причем, если х\ и хч - разные концы ребра, a h -вектор, определенный равенством я>2 — х\ =| Х2 — х\ | -h} то ai(xi, К) ~ — а(х2, —h); при этом данные авторы рассматривали случай щ(х, 0) = 0 при краевых условиях первого рода;

2) Cattaneo С., Fontana L. (см. [46]): для того же случая, что и в п. 1), но с краевыми условиями второго рода;

3) Найдюком Ф.О., Прядиевым B.JL, Ситником С.М. (см. [25, 26, 27]): для условий трансмиссии вида u£(x,t) = k(x)u(x,t) {xGj, t> 0), h£T(x)

ИЛИ u^(x,t) = m(x)utt(x,t) (xej, t> 0), heT{ x) где k(x) =| T(x) | или m(x) =| T(x) |, при щ(х, 0) = 0, причем только для некоторых частных случаев графа, обладающих некоторой симметрией;

4) Прядиевым B.JL, Прядиевой Е.В. (см. [37, 40]): для условий трансмиссии

Г и+(х, t) = k(x)utt(x, t) (х G J, t > 0), h€T(x) где k(x) =| T(x) I, ut(x, 0) = 0, при краевых условиях первого рода или при дГ = 0;

5) Глотовым Н.В., Прядиевым В.Л. (см. [5]): для условий трансмиссии

Т^ t) — ц(х)щ{х, t) (х G J, £ > 0),

ЫТ[х) где \i{x) =| T(x) |, при ut{x, 0) = 0 и краевых условиях первого рода или дГ = 0.

В свете вышеизложенного, изучение возможности получения конечного описания решения волнового уравнения на геометрическом графе с а-глад-кими условиями трансмиссии и анализ свойств этого решения представляется и актуальным, и естественным продолжением уже проведённых исследований для волнового уравнения на геометрическом графе. Настоящую работу можно рассматривать как один из шагов в этом направлении.

Основных целей две: 1) доказать явное представление классического решения волнового уравнения на геометрическом графе с а-гладкими условиями трансмиссии через начальные данные при однородных краевых условиях первого рода, второго рода, а также первого и второго родов, при минимальных требованиях на регулярность начальных данных, 2) для той же начально-краевой задачи, но при щ(х, 0) = 0, получить конечное представление ядра интегрального оператора, обращающего эту задачу относительно ихх(х, 0).

Перейдём к краткому описанию основных результатов диссертации.

В первой главе даётся подробное описание всех объектов исследования. Здесь же вводятся понятия, используемые в ходе исследования и осуществляется постановка основной задачи.

В пункте 1.1 определяется конечный и связный открытый геометрический граф Г в Мп. Ограничимся далее случаем прямолинейных рёбер геометрического графа, когда Г есть связное объединение конечного числа прямолинейных интервалов 71, 72, . , 7?n из Rn и некоторого множества их концов, в которое включены все тс концы, которые являются общими для хотя бы двух интервалов. Данные интервалы мы назовём рёбрами Г, а их концы, вошедшие в Г, - внутренними вершинами Г. Граничными вершинами Г называют концы рёбер, не вошедшие в Г. Их множество будем обозначать символом <9Г. Также предполагается, что ji П 7j = 0 при i j. Будем предполагать, что каждое ребро Г как-то сориентировано, т.е. каждому ребру 7 = (а; Ь) поставлен в соответствие вектор h7, являющийся одиним из двух единичных векторов, коллинеарных вектору Ъ — а. Также для каждого х Е Г (= Г U <ЭГ) определим множество

Т{х) =f {h G Rn I \h\ — 1 и (x + eh) e Г для достаточно малых е > 0}.

В пункте 1.2 для функции v : Г —» Ж определяется производная , ч def v v(x + eh) - v(x) vtix) = lim ---—,

11 4 ' £->0+ £ где ж G Г и h E T(x). Эту производную будем называть правой производной функции v в точке х по вектору h. Далее, если h £ то для достаточно малых £ > 0 выполнено также и включение h € Т(х + eh); поэтому можно определять и вторую правую производную функции v в точке ж по вектору /г: х def vt(x + eh) - vt{x) vt,, (ж) = lim —---s-^-A nn v ' £-^0+ £

Пусть, по-прежнему, v : Г —> R, и пусть ж€Г\17и/ге Т(ж). Пусть при этом в некоторой окрестности1 Ы точки х определена производная Vh функции v по вектору /г, определяемая в каждой точке у 6 равенством: \ def ,. у(у + eh) - v(y) vh{y) = lim---. о е

Если существует вторая производная г>/4/4(ж) =f (vh)h(x), то её договоримся обозначать символом v"(x) и называть второй производной функции v по ж; право на такое обозначение, не содержащее символа h, объясняется тем, что в рассмотренной ситуации Т(х) = {/г;—/г}, причём (v^h)h(x) = (г>/г)/г (ж). Если и : Г х (ti; t2) —► К. (где ti, ti £ R) и при некотором t € (£i; £2) функция и{ ■, t) имеет вторую производную в точке ж, то эту производную будем обозначать через uxx(x,t).

В пункте 1.3 осуществляется постановка задачи. Рассматривается волновое уравнение (1) при условиях трансмиссии (2). Основная цель - получение явного описания волнового уравнения с а - гладкими условиями трансмиссии, т.е. получения аналога формулы Даламбера для системы (1)-(2) при краевых условиях первого рода, второго рода, а также первого и второго родов. Говоря здесь "аналог формулы Даламбера", имеем в виду формулу, представляющую решение через начальные данные в виде суммы прямой и обратной волн. Вторая основная цель - это получить конечное представление ядра интегрального оператора, обращающего ту же задачу относительно ихх{ж, 0), при ut{ж, 0) - 0.

Вторая глава посвящена получению формулы решения системы (1)-(2)

Окрестность в Г понимается в смысле топологии, индуцированной на Г из R". при краевых условиях первого рода, второго рода, а также первого и второго рода.

Рассматривается волновое уравнение (1) при условиях трансмиссии (2). Предполагается, что а(х, К) — некоторые вещественные числа, такие, что ж, Л) ^ о (xej). keT(x)

Тогда без ограничения общности можно считать, что ot{x,h) = 1 (хе J). heT(x)

Для системы (1)-(2) будем рассматривать следующую начально-краевую задачу: u(x:t) = 0 {xeD,t^ 0), (3) ux{x,t) = 0 (xeN:t^0), (4) и(х,0) = (р(х) (:геГидГ), (5) lim ut(x, t)=if)(x) {x e Г U <9Г); (б) здесь D U N = дТ и D П N = 0. Под решением задачи будем понимать непрерывную функцию и : Г х [0; сю) —> R, удовлетворяющую соотношениям

1Н6).

Далее вводится в рассмотрение некоторое множество ориентированных ломаных, которое мы обозначим буквой Р. Ориентированную ломануто р с. вершинами € Г, г — 0, к, перенумерованными согласно ориентации р, отнесём ко множеству Р, если, и только если,

1) У (г = 1,к-1) [щ е J U дГ],

2) V(i = 0, к - 1) [щ ф di+i и (at-; аг+1) С Г \ J].

При этом мы допускаем, что некоторые звенья [щ] az-+i], в том числе соседние, могут совпадать или быть вложенными одно в другое. Точку ао будем называть началом ломаной р, а точку а^ — её концом. Длиной ломаной р назовём к-1 сумму длин её звеньев [af, a^+i], то есть ^ \щ+\ — щ\> г=О

Каждой паре (р, г), в которой р — ломаная из Р, a, i — номер её вершины, ш ■■= отличной от конца (т. е. г — 0, к — 1), поставим в соответствие число —1, если cii € <9Г

2 а((н,Ы(р)), если (i = 0)v((oi £ <9Г) Л ([a,i; af] П [a,; a7;+i] = (aj)) 2a(a,i, hi(p)) — 1, в остальных случаях где 1) hi(p) := |ai+i - az-|1(a;+i - Of), и 2) если a0 6 Г \ J, то a(a0, Л) := 1/2 для любого h £ T(aо). Положим

1 ifc-i i=0

Введём в рассмотрение оператор С(£), действующий в пространстве определённых на Г функций по правилу:

С(£)С](я) :=

Y^ РрС(ер), если х е Г и t > 0 peP(x,t)

0, если х Е <9Г и t > 0 '

С(ж), если жеГи<9Ги£ = 0 где P(x,t) есть множество всех ломаных из Р с началом в точке х и длины £, а ер, здесь и далее, обозначает конец р.

Показано, что без ограничения общности можно считать, что N = 0, и в этом предположении доказана приведенная ниже

Теорема 1. Пусть (риф непрерывны на Г; причём для любого ребра 7 сужения ip" |7 и ф' |7 функций <р" и ф' на это ребро равномерно непрерывны на нем. Пусть для любой х G J xej7 h,VeT(x)). (8)

Пусть также а(я,Л)у>+(аО = 0 ^ J), heT{x) а(х,}г)ф+(х) = 0 (xej), heT(x) ф) = ф{х) = = 0 (яг 6 Д he Т(х)).

Тогда решение задачи (1)-(6) существует, единственно и даётся формулой: u(x,t) - [C(t)<p](x) + (\с{тЩ{х)в,т.

J о

В пункте 2.2. рассматривается система телеграфных уравнений, которая возникает при моделировании распространения волн перенапряжения в электрической двухпроводной сети: vx{x,t) + L{x) ■ it(x,t) + R{x)- i(x, t) — 0 x ет \j, t > o), (9) ix(x,t) + C(x) • vt(x,t) + G(x) • v(x,t) = 0 где i(x,t) - сила тока (в соответствии с ориентацией ребер Г), v(x,t) - напряжение, L(x), R(x), C(rr), G{x) - характеристики электрической цепи (погонные плотности индуктивности, сопротивления провода, ёмкости и проводимости изоляции), которые будем предполагать постоянными на каждом ребре Г. Другими словами, если 7 ребро Г, то L |7= const, R |7= const, С |7= const, G |7= const. Кроме того, функции L, R, С и G будем считать положительными на Г \ J.

Помимо системы (9), функции v и г должны удовлетворять еще следующим условиям (условиям трансмиссии во внутренних вершинах Г): v( •, t) непрерывна в точках J (t > 0) (10) и a,h) lim i(a + eh,t) = 0 (aej,t> 0), (11) h£T{a) где (a -1- eh) € Г при достаточно малых е > 0, Х(а, К) = 1, если h = /г7, где 7 - ребро Г, которому принадлежит точка (а + eh) при достаточно малых е > 0, и А (а, /г) = — 1 в противном случае.

Что касается краевых условий, то будем предполагать их следующими: lim v(xi, t) = 0 {х е Д t > 0), (12)

Х\—>х lim г{хъ t) = 0 (xeN,t> 0), (13)

Xi~>х где D и N - подмножества 5Г такие, что D U N = <ЭГ, D П N = 0.

Решением краевой задачи (9)-(13) мы будем называть пару функций v и г, обладающих следующими свойствами:

1) v определена и непрерывна на Г х [0; +оо), vt определена и непрерывна на Г х (0; +оо), г определена и непрерывна на (Г\ J") х [0; +оо), a it определена и непрерывна на Г х (0; +оо);

2) если 7 - ребро Г, то сужение функции ц на 7 х (0; +оо) непрерывно доопределяемо на 7 х [0; +оо);

3) v и vt непрерывно доопределяемы на Г х [0; +оо);

4) если 7 - ребро Г, то сужения функций vx, i, ix на 7 х [0; +оо) непрерывно доопределяемы на 7 х [0; +оо);

5) на (Г \ J) х (0; +оо) существуют и равны друг другу itx и ixt, причём обе эти функции непрерывны на каждом связном и ограниченном множестве из (Г \ J) х (0; +оо);

6) v и i удовлетворяют равенствам (9)-(13).

Основной вопрос, который изучается в настоящем пункте - это описание решения задачи (9)-(13) через начальные функции: г>(ж,0) и г(гс,0). Пусть v(x, 0) = ф) (х £Г), (14)

Цх,0)=ф(х) (xer\J). (15)

С помощью теоремы 1 доказывается следующая

Теорема 2.Пусть коэффициенты системы (9) удовлетворяют следующим равенствам: у- = LC = 1. Пусть </? непрерывна на Г и непрерывно li су доопределяема на Г, а ф'/С непрерывна на и непрерывно доопределяема на Г. Далее, пусть для любого ребра 7 сужения <//'|7 и ф"\7 равномерно непрерывны па 7. Пусть, далее,

Y, = 0 (xej), heT(x)

-1 где а{х, t) = ^ lim L(x + e/i, t)j , а также

У^ lim ^"(rc + e/i) = О (же »7). h£T{x)

Пусть, кроме того, (p удовлетворяет условию (8) и lim <£>(£1) = О = lim p>"{xi) (х G D),

X\-+X Xi^X lim ф'{х{) = 0 (x G D),

Xl— lim = 0 = lim ф"{хх) (x € N).

Xi~*X Xi^tX

Тогда решение задачи (9)-(15) существует, единственно и представимо в виде: v(x,t) = e~uiu(x,t) i(x,t) = e~ut где и

1 г

Ф{х) ~ ТГ\ / и*(х>

L\x) J о

M) = [C(i)¥>](aO + /W)C](s)dr,

J о О аТр и Q - непрерывные доопределения на Г функций <р и —ф'/С соответственно.

В третьей главе устанавливается интегральное представление решения задачи (1)-(6) при ф = О для двух случаев: 1) | D |= 1 (т.е. \N\ =| <9Г | —1), 2) D = 0 (т.е. | дГ |= |JV|).

Рассматривается то же самое множество ориентированных ломаных Р, что и в пункте 2.1. Здесь каждой паре (р, г) ставится в соответствие число

AGO = < определяемое несколько иначе: 1, если аг = b 1, если o.i е <ЭГ \ {6} 2 a(ai:hi(p)), если (г = О) V((a?- £ <9Г) Л ([a;i; aj П ai+i] = {а,-})) 2a(a1,hl(p)) — 1, в остальных случаях По-прежнему, определим (Зр равенством (7) и введём в рассмотрение оператор Ci(t), действующий в пространстве определённых на Г функций по правилу:

СгШМ = <

PpVicp), если х G Г \ {6} и t > О

PeP{x,t)

О, если х = Ь и t > О (^(ж), если х Е Г и £ = О Теорема 3. Пусть Ь - некоторая точка из дТ, и пусть в задаче (1)-(6) D = {6}, N — 5Г \ {&}, ф = 0. Пусть функция ip удовлетворяет тем же условиям, что и в теореме 1 и, кроме того, р'{х)= 0 (:хедТ\{Ь}).

Пусть G есть функция, получаемая из функции Грина G краевой задачи

-i/\x) = f(x) (хеТ \j), (16) a(x,h)y+(x) = 0 (х е J), (17) h£T(x) у(х) = 0 (х = Ь), (18) у(х) = 0 (хедГ\ {Ъ}) (19) доопределением по непрерывности с Г х (Г \ J) на Г х (Г \ J"). Пусть g{x, t] s) =f [Ci(i)G(-jS)] (ж), где оператор C\(t) применяется к G, как, к функции её .первого аргумента. Тогда функция u(x,t), определяемая равенством i(x, t) = - J g(x, t\ s)<p"(s) ds, и является решением задачи (1) — (6), причём единственным.

В пункте 3.2 рассматривается решение волнового уравнения на графе с краевыми условиями второго рода во всех граничных вершинах. Особенностью этого пункта является то обстоятельство, что для данной задачи функция Грина, рассматриваемая в пункте 3.1, не существует. В настоящем пункте мы ограничиваемся случаем геометрического графа:

Г= U (a, bi) U {а}, г=1 где Ъ\ ф 62, Ф ^з, ^з Ф bi, а ф (г = 1,3). На этом графе рассматриваем задачу (1)-(6), но только при условии, что D = 0 (т.е. N = {&1,&2,^з}) и ф = 0. Кроме того, мы рассматриваем не ск-гладкие условия трансмиссии (2), а просто гладкие.

Другими словами, мы рассматриваем задачу uxx{x,t)=uu(x,t) (ж G Г \ {а}, *>0), (20) 0 (t> 0), (21)

ЛбГ(а) ux(x,t) = 0 {х £ дГ, t> 0), (22) и{х,0) = (р{х) (х G Г), (23) ut(®,0+)=0 (же Г). (24)

Пусть функция G(x, Si, s2) действует из Г х (Г \ {а}) х (Г \ {а}) в R и

1) Gxx(x, si, s2) = 0 при х е Г \ {a, sx, s2},

2) если si ф s2 и hi е T(s;), то sb s2) + G^/J^, sb s2) = (-1)г,

3) G{x, s, s) = 0,

4) C/!~(a> si, s2) = 0 (здесь все производные - по первому аргументу), heT(a)

5) для всех г = 1,3 выполнено Gx(bi, s\, s2) = 0,

6) f G(x, s 1, S2)dx = 0. г т = <

На этот раз каждой парс (р, г) поставим в соответствие число fli(p), определяемое так:

1, если di G дТ 2 а(аг,Ы(р)), если (г = 0) V((а» £ <9Г) Л ([a*-i; а»] П [а»; a^+i] = {«г})) 2a(cii,hi(p)) — 1, в остальных случаях По-прежнему, определим (Зр равенством (7), и пусть C2{t) ~ операторная функция, определяемая следующим равенством:

ЫШх) =

Зр<р{ер), если х G Г и t > О p€P(x,t)

О, если ж G дГ и t > О если a; G Г и £ = О

Теорема 4. Пусть функция ip удовлетворяет тем ж.с условиям, что и в теореме 1 и, кроме того, (р'(х) = 0 (х G <ЭГ). Пусть также

J ip(s)ds = 0, (25) def 1 l\+ l2 + h Г zdeli — \b(—a\, i = 1,3. Тогда решение задачи (20)-(24) существует, единственно и представимо в виде: u{x,t) = - J J g(x:t,sbs2)(p"(s2)dsids2i (26) г г где g{x, t, sb s2) = 1 (*)<?( ■, Si, s2)] (x).

L\ + l2 + h

Следствие. Пусть выполнены все условия теоремы 4, кроме, может быть, условия (25). Тогда решение задачи (20)-(24) существует, единственно и представимо в виде: и(х, t) = ip0- J J g{x, t, si, s2)<p"{s2)dsids2. г г

Перечисленные выше основные научные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в [10]-[20]. В совместных работах Прядиеву B.JI. принадлежит постановка задачи и идея доказательства, а автору диссертации доказательства утверждений. Работа [20] опубликована в издании, соответствующему списку ВАК РФ.

Результаты диссертации докладывались на: воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-XVI" — Современные методы теории краевых задач, г. Воронеж, 2005 г., воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-XVII" — Современные методы теории краевых задач, г. Воронеж, 2006 г., воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-XVTII" — Современные методы теории краевых задач, г. Воронеж, 2007 г., II Международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования", г. Воронеж, 2007 г., воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-XIX" — Современные методы теории краевых задач, г. Воронеж, 2008 г., воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-ХХ"—Современные методы теории краевых задач, г. Воронеж, 2009 г., Российско-китайском симпозиуме по комплексному анализу, г. Белгород, 2009 г., а также на семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям (руководитель - профессор Солдатов А.П.) в Белгородском государственном университете, 2009 г.

Об организации текста. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разделенных на пункты, и списка литературы. Объем диссертации 93 стр. Библиография содержит 51 наименование.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коровина, Олеся Вячеславовна, 2009 год

1. Гаршин, С.В. Нелокальное условие разрешимости аналога задачи Гурса для гиперболического уравнения на графе-звезде/ С.В. Гаршин// Международная конфер. по диф. уравнениям и динамическим системам: тез. докл. Суздаль, 2004. - С. 55-56.

2. Герасименко, Н.И. Задача рассеяния на некомпактных графах/ Н.И. Герасименко, Б.С. Павлов// Теоретическая математ. физика. 1988. -Т. 74, № 3. - С. 345-359.

3. Гудзовекий, А.В. К расчёту гидравлических сетей/ А.В. Гудзовский// Докл. АН. 1988. - Т. 358, № 6. - С. 765-767.

4. Каменский, М.И. О полугруппе в задаче диффузии на пространственной сети/ М.И. Каменский, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный// Докл. РАН. -1999. Т. 368, № 2. - С. 157 - 159.

5. Комаров, А.В. О приближении многомерных объектов одномерными: автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук./ А.В. Комаров// Воронеж, 2003. С. 18.

6. Комаров, А.В. О спектре равномерной сетки из струн/ А.В. Комаров, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный// Изв. вузов. 2000. - Т. 463, № 4. -С. 23-27.

7. Коровина, О.В. О телеграфном уравнении на геометрическом графе/ Коровина О.В.// Совершенствование преподавания физикоматематических и общстехнических дисциплин: Сб. науч. тр.-Выи.4-Борисоглебск: Борисоглебский госпединститут, 2007. С. 24-27.

8. Копытин, А.В. Об аналоге формулы Даламбера и спектре лапласиана на графе с соизмеримыми рёбрами/ А.В. Копытин, В.Л. Прядиев// Вест. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Матаматика. 2001. № 1- С. 104-107.

9. Копытин, А.В. Об ограниченности обобщённых решений волнового уравнения на сети / А.В. Копытин // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XIII": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2002. - С. 80-81.

10. Пайдюк, Ф.О. Краевое условие третьего рода в задаче на графе/ Ф.О. Пайдюк, В.Л. Прядиев// Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XIV": материалы Воронеж, весен, мат. шк. -Воронеж, 2003. - С. 96-97.

11. Найдюк, Ф.О. О свойствах решений гиперболических уравнений с сингулярными коэффициентами : дис. . канд. физ.-мат. наук/ Ф.О. Найдюк// Воронеж, 2004. С. 134

12. Найдюк, Ф.О. Формула продолжения начальных данных в решении Даламбера для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода/ Ф.О. Найдюк, В.Л. Прядиев// Вестник Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2004. - № 1. - С. 115-122.

13. Найдюк, Ф.О. Нагруженная струна, краевое условие третьего рода и многочлены Лаггера/ Найдюк Ф.О., Прядиев В. Л., Ситник С.М.// Материалы Воронежской веветшеи математической школы "Понтрягинские чтения XV". Воронеж: ВГУ, 2004. - С. 65-66.

14. Об одном классе дифференциальных уравнений четвертого порядка на пространственной сети/ А.В. Боровских и др.] // Докл. РАН. 1995. -Т. 345, N 6. - С. 730-732.

15. Осреднённая нелинейная модель гемодинамики на графе сосудов/ А.Я. Буничева и др.]// Дифференциальные уравнения. 2001. - Т. 37, N 7.- С. 905-912.

16. Павлов, Б.С. Модель свободных электронов и задача рассеяния/ Б.С. Павлов, М.Д. Фадеев// Теоретическая математ. физика. 1983. - Т. 55, № 2. - С. 257-269.

17. Пенкин, О.М. Некоторые вопросы качественной теории краевых задач па графах: дис. . канд. физ.-мат. наук/ О.М. Пепкии// Воронеж, 1988.- 89 с.

18. Перловская, Т.В. О краевой задаче нелокально взаимодействующих уравнений разного порядка/ Т.В. Перловская// Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягипские чтения XIV": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2003. - С. 110.

19. Покорный, Ю.В. и др.] // Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - С. 272.

20. Прядиев, В.Л. К вопросу о периодичности колебаний упругих сеток/ В.Л. Прядиев, А.В. Копытин, А.В. Боровских// Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения X": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 1999. - С. 198.

21. Прядиев, В.Л. Правило параллелограмма для волновых уравнений на сетях. Визуализация решений/ В.Л. Прядиев, С.С. Шаталов// Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. - С. 206-207.

22. Прядиев, В.Л. К вопросу о периодичности колебаний упругих сеток/ Прядиев В.Л., Копытин А. В., Боровских А. В.// Тез. докл. "Понтрягинские чтения Xм. - Воронеж, 1999. - С. 198.

23. Прядиев, В. Л. Метод граничных режимов в решении волнового уравнения на геометрическом графе/ Прядиев В.Л., Прядиева Е.В.// Междунар. конф. по дифференциальным уравнениям и дииамическии системам Суздаль, 5-10 июля 2004. - С. 171-172.

24. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики/ Тихонов А.П., Самарский А.А.// учебное пособие. 6-е изд., испр. и доп. - М.: Изд-во МГУ, 1999. - С. 799.

25. Уравнения электрического поля дендрита нервной клетки/ Ю.В. Покорный и др.]// Дифференциальные уравнения и их применения: тез. докл. Второй международ, науч.-практ. конф. СПб, 1998. - С. 147-148.

26. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том II — М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959. С. 808.

27. Юрко, В.А. О восстановлении операторов Штурма-Лиувилля на графах/ Юрко В.А.// Математические заметки. 2006. - Т. 79, № 4. -С. 619-630.

28. Cattaneo, С. D'Alambert formula on finite one-dimensional networks/ Cat-taneo C., Fontana L.// J. of Math. Anal, and Appl. 2003. - V. 284, N 2. -P. 403- 424.

29. Kuchment, P. Graph models of wave propagation in thin structures / P. Kuchment/ Kuchment P.// Waves in Random Media. 2002. - V. 12, № 4.

30. Nicaise, S. Relationship between the lower frequency spectrum of plates and network of beams/ S. Nicaise, O.M. Penkin// Math. Meth. Appl. Sci. 2000.V. 23. P. 1389-1399.

31. Pokorny, Yu.V. Differential equations on networks (geometric graph)/ Yu.V. Pokorny, A.V. Borovskikh// J. Mathematical sciences. 2004. - V.ll, № 6. - P. 691-718.

32. Dependence of intracellular potentials on ramification of dendrites/ Yu.V. Pokorny etc.]// Mechanisms of Adaptiv Behavior: Int. Symp. Dedicated to Academician Ivan Pavlov's 150-anniversary: Abstr. St.Petersburg, 1999.