О некоторых условиях центра. тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Малкин, К. Е.

• Малкин, К. Е.
• 1964

Оглавление диссертации Малкин, К. Е.

введение

глава i

§ I. Постановка вопроса

§ 2. Основные обозначения

§ 3. Исходные критерии центра .ю

§ Критерии центра в форме векторных уравнений . 12.

§ 5. Строение матрицы М . 1*

§ Основнее решение и критерий центра в матричной форме

§ Окончательная формулировка критерия центра. 2.

§ 8. Инвариантность относительно поворота и достаточные условия центра.ЬЬ

§ 9. Центрально-сопряженные матрицы .Ь

глава п

§ 10. Критерий центра для случая.однородных нелинейноетей порядка п

§ П. Достаточное условие центра и модификация полученных теорем для случая четного а . 4£

§ 12. Первые необходимые условия центра. 41+ глав! ш.

§ 13. Случай квадратичных нелинейностеи.

§ 14. Классификация случаев центра 1-У на основе , 2-го необходимого условия . 5Ч)

§ 15^ Исследование случая!

§16. Исследование слуваев МУ

§ 17: Случай У . £

§ 18. Окончательный результат и обсуждение

глава 1у

§ 19^ Случай . однородных нелинейноетей 3-го порядка.

§ 20. необходимое,уело вне и классификация ,, случаев центра

§ 2Е. Случаи достаточности трех условий центра*

Четвертое условие

§ 22* Случай недостаточности четырех необходимых условий

§ 23. Достаточность пяти необходимых условий для наличия центра •. .•••••• •Ь

§ 24| Окончательный результат и обсуждение

§ 25. Аналогия между условиями центра в слунаях однородных нелинейностей 2-го и 3-го порядка

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О некоторых условиях центра.»

Х+ Р)с1х + СУ + (I) г где

- аналитические функции от х,^ , обещающиеся в 0 вместе со своими первыми производными при х - "У - О I Начало координат является для этого уравнения особой точкой 2-й группы [ 23], т.е. особой точкой без исключительных направлений^I]7стр.99 )-.' Как известно, к виду (I) афинньш преобразованием плоскости можно привести всякое уравнение

Мх+Уа? = 0, (И) имеющее особую точку 2-й группы, в окрестности которой разложения аналитических функций X,У ^содержат члены 1-го порядка ([I] , стр. 128); начало координат соответствующим афинным преобразованием переводится в эту особую точку^

Функции Р(зс,у) VI О(эс^) в уравнении (I) в даль -нейшем будем называть нелинейностями. Если, например, р и 0 -однородные многочлены степени а , мы будем говорить об однородных нелине йностях а-го порядка и т.п.

Работа состоит из введения, четырех глав и заключения. В главе I рассмотрена проблема центра для случая произвольных нелинейностей. Если в любой окрестности особой точки 2-й группы содержатся ^окружающие ее) замкнутые интегральные кривые, особая точка называется центром, - в противном случае фокусом. Проблема центра состоит в том, чтобы по коэффициентам дифференциального уравнения (I) определить, к какому из этих двух типов особых точек относится начало координат» Существующие методы решения этой задачи в общем виде требуют проверки бесконечного (счетного) числа условий. Известно ( [I] , стр. 130), что для наличия в точке X - "У - о центра уравнения (I) необходимо и достаточно, чтобы обращались в 0 некоторые многочлены от коэффициен тов степенных рядов Р(х,м), Эти многочлены - "постоянные Ляпунова"- образуют бесконечную последовательность; нахождение их представляет значительные трудности (см. [ 20] , стр. 15). Одной из задач настоящей работы и является получить в общем виде для уравнения (I) условия центра (т.е. выразить постоянные Ляпунова через коэффициенты уравнения). Эта задача решается в главе I . С * помощью полученного результата там же найдены простые достаточные условия центра.

В главе П метод, изложенный в гл. I, применяется к случаю -однородных нелинейностей порядка й. Полученные результаты ис -пользованы в главах Ш,1У, которые также иллюстрируют метод гл. I.

Для тех частных случаев уравнения (I), когда условия центра можно представить в виде последовательности алгебраических уравнений от конечного числа неизвестных, критерием центра служит система из конечного числа этих уравнений ( [I] , стр. 131, 132, ем. также гл. I настоящей работы, критерий (Слово критерий здесь и в дальнейшем означает необходимое и достаточное условие). Упомянутые частные случаи включают важный класс уравнений вида (1(, в которых Р, 0. - полиномы ( 0 .членами не ниже 2-го порядка). Однако, вопрос о количестве условий, достаточном в этих случаях для полного решения проблемы центра, в общем виде еще не решен. В гл. Ш и 1У этот вопрос решается для случаев однородных нелинейностей, соответственно, 2-го и 3-го порядка. В конце каждой из глав проведено сравнение полученных критериев центра с опубликованными результатами по проблеме центра для уравнений такого вида. Условия центра главы 1 равносильны условиям, полученный в другой, несколько более сложной форме в работах [13] ,[14] Критерий, найденный в гл. 1У, исправляет ошибку в условиях центра - -t-работы [16] и, таким образом, является новым результатом;

Для рассмотрения проблемы центра уравнение (I) предварительно преобразовано к комплексным координатам Ъ $ I , введение которых значительно упрощает отыскание условий центра. Далее, для случаев однородных нелинейностей 2-го и 3-го порядка благодаря применению комплексных координат критерии центра приводятся к сходному виду. Аналогия между этими случаями позволяет найти общий интеграл для некоторого класса уравнений (I) с однородными нелинейностями 3-го порядка. Этот вопрос рассмотрен в конце гл. m

В заключительной части работы проводится краткое обсуждение полученных результатов и некоторых нерешенных задач.

Исходным пунктом для изучения проблемы центра в настоящей работе служит классическая теорема А.М? Ляпунова о голоморфном интеграле! В главе I эта теорема приведена в формулировке, удобной для дальнейшего изложения (критерий А), Остальные результаты работы (критерии Aj- Р и теоремы I-!?) доказаны автором!

Начиная с главы I, текст разбит на параграфы? Номер формулы включает номер параграфа; например (7.32) - формула 32 из § 7. Цифры в квадратных скобках относятся к списку литературы в конце работы.

Автор считает своим долгом выразить благодарность профессору И.П.МАКАРОВУ за руководство работой!

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Малкин, К. Е.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

§ 26. Обсуждение полученных результатов

В главе I получен коэффициентный критерий центра для дифференциального уравнения (1.1) с произвольными аналитическими нелинейностями РС3^), • Этот критерий ^7.32) получен в виде бесконечной серии равенств е С о. с*, а «х) = о, (26.1) где

11 ^(с1 многочлены (степени 2т-2) от комплексных коэффициентов а<х , а сх разложений функций по степеням X , 2. в>

Для составления любого условия центра ^такой форме требуется выполнить конечное число арифметических операций над коэффициентами разложений Р,(3 по степеням х, У и рациональными комплексными числами; Цт (аЫ)а«.) представляют собой, таким образом, многочлены над полем комплексных рациональных .чисел. Каждое условие (,26.1) можно составить независимо от других^

Недостатком полученных условий является то, что с ростом т увеличивается не только количество членов в нолиноме И т (а<* Д*), но и количество арифметических операций, которые ндао выполнить для нахождения каждого коэффициента полинома,

Упомянуть^ недостаток присущ всем известным в настоящее время коэффициентным критериям центра для рассматриваемого уравнений Получение формул для коэффициентов многочлена 21^ (а« , Р.«), содержащих ограниченное ^равномерно для всех щ ) число операций, представляет собой трудную нерешенную задачу. Количество операций необходимое для составления каждого условия центра можно достаточно точно оценить заранее, подсчитав количество векторов в множестве М]Ь) Задачи такого рода хорошо из вест ны в комбинаторике, они решаются методом производящих функций([21] стр. 133 а сл>.

Кроме критерия центра, в главе I доказано простое достаточное условие центра (8.9; для произвольных нелинейностей Р, Й •

В главе П коэффициентный критерий центра для случая, когда Р И Ц,- однородные многочлены одинаковой степени, получен в более простой, по сравнению с общим случаем, форме (10.6)^ Этот критерий представляет собой серию равенств

Ке Ир (си , а.) = о, (26.3) где

11 р - однородные многочлены от .

Главы Ш, 1У посвящены, соответственно исследованию случаев однородных нелинейностей степени п =2 и п » 3. Получены коэффициентные критерии центра в виде конечного числа уравнений от а*, О*. Для случая П = 2 равносильные критерии были ранее найдены для действительных коэффициентов Н.А.Сахарниковым [12], Л.Н. Белюстиной [13] и др. Для случая п= 3 полная классификация случаев центра дается здесь впервые:, предыдущие работы по этому вопросу содержали ошибки (связанные, быть может, с дополнительными вычислительными трудностями от использования действительных координат Х,у > вместо ). Автор счел возможным дать новый в комплексных координатах) вывод критерия центра для случая квадратичных нелинейностей (гл. Ш), т.к^ сравнение условий центра для однородных нелинейноетей степени а =2 и XI « 3 позволяет установить между этими случаями полезные аналогии. Так, в частности, был найден новый общий интеграл (25Д) для уравнения

Ответам еще, что все полученные условия центра (и критерии и достаточные условия), составленные для комплексных коэффициентов , инвариантны относительно преобразования поворота плоскости ос.,>) ♦ Вообще, представляется целесообразным при отыскании коэффициентных критериев центра начинать рассмотрение с уравнения в комплексных координатах (5,5), равносильного исходному уравнению (1.1) и, в слуиае надобности, возвратиться к действительным коэффициентам, когда критерии уже найдены и все возможные упрощения внесены.

В связи с этим возникает следующая задача. К.С.Сибирский в своей диссертации [22] поставил ( и частично решил) проблему \п коэффициентов;

Задавая число Уп нелинейных членов, входящих в уравнение, определить, при каком выборе этих членов и их коэффициентов имеет место центр и при каком - фокусм.

В наших обозначениях речь здесь идет об уравнении (1:1) и кО * * * нелинейных членах вида Р] £}У1г~') , с^ у Аналогичную задачу можно поставить и после перехода к комплексным координатам. С точки зрения расположения интегральных кривых в плоскости Х.,У уравнение (1.1) равносильно системе с! "Ь или уравнению

- 1 £ + А и | ) (26.5)

ГЛП) игН (26.6)

Поставим проблему т коэффициентов для уравнения (26.5) (нелинейные члены вида о^Ъ? )• Здесь также возникают упрощения, Например, если отличен от 0 лишь коэффициент а\п) , то фокус будет только в случае 2, £ + 4, $ Не а ^ у^О. Во всех остальных случаях имеет место центр. Этот результат получается сразу из критерия центра (10.6), При т>1 для решения задачи требуются более сложные рассмотрения, выходящие за рамки этого заключительного обсуждения^ В общем виде (для произвольного ш ) задача об ш коэффициентах не решена.

Задачу об т коэффициентах можно рассматривать как обобщение "проблемы ЯМ "э поставленной в монографии В.В.Немыцкого и В.В.СтепановаЦ!], стр. 132 ); В наших обозначениях проблема Л [а) фондируется так: для случая, когда ( в уравнении (1,1) нелинейности Р и 0. представляют собой любые многочлены степени П ( с членами не ниже второй степени), определить число N условий типа (7.32), достаточное для полного решения вопроса о центре. Аналогичную задачу можно поставить и для случая, когда разложения Р[3с,У),&[Х,"У) по степеням х,У содержат бесконечное число членов с коэффициентами, алгебраически зависящими от конечного числа параметров (см, гл, I, критерий А^) .Проблема Л![п.) в общем виде остается в настоящее время не решенной,1

Полному решению задач вышеописанного типа должно предшествовать глубокое изучение возникающих в проблеме центра полиномиальных идеалов и, в частности, полное решение проблемы центра для большого количества частных случаев. Интересно отметить, что критерий центра в форме (7,32) допускает для решения таких задач применение современной вычислительной техники (быстродействующих ЭВМ)

Список литературы диссертационного исследования Малкин, К. Е., 1964 год

1. В.В.Немыцкий, В.В.Степанов. Качественная теория дифференциальных уравнений. ГИТТЛ, M.1949.

2. A.M.Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения. Гостех-издат, M.I950.

3. А.Г.Майер. Центр, в книге А.Пуанкаре "О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями", 301-321. Гостехиздат, M.I947.

4. В.Ходж, Д.Пидо. Методы алгебраической геометрии, т.1, ИЛ, M.I954.

5. М.М.Дэй. Нормированные линейные пространства. ИЛ,М.1961#

6. К.Шевалле. Теория групп Ли, т. I, ИЛ, M.I949.

7. К.Е.Малкин. Некоторые условия центра. Уч.зап. РГПЙ, т.ХПУ стр. I5I-I62. Рязань 1963.

8. H.DuIûc. Determination el integration d'une certaine class d'équation & différentielle. Bull, des sc. math.

9. XXXII, 250 -252. Paris Щ&.

10. W- iCâpte^in. On the centra. Proc. -the Çeci o| Se. CKom.CUad. van. Wei., Ci msi); v.ib.lndio* W. Kaptey n. On tke eenba. TâM же, v.U, 2nd p.,щ5--и95 ; ш2. И. w. icap.tevn. Me w i-eseaych.es upo a -the centra.

11. Там оке, V. 45, 1 %{ p., 4s-59 , 5912.M

12. H.А.Сахарников. Об условиях Фромера существования центра. ПММ, т.ХП, вып.5, 669-673. М.-Л., 1948.

13. Л.Н.Белюстина. Об условиях существования центра. ПММ, тЛУШ, в.4, 511, M.1954.

14. M.frommer, llßep das. Au fi ret en der Wirbeln anc( trudeln, math., ûrm, Ed.d09, 5-h, 595-4üi. berlin 19$4.

15. H.H. Баутин. О числе предельных циклов7 рождающихся при измеднении коэффициентов из состояния равновесия типа фо^ус или центр. ДАН СССР, т. ХХХ1У,1 7, М.1939.

16. М.И. Альмухамедов. Об условиях наличия особой точки типа "центр". Изв. физ.-мат. общ. при казанском университете, т.IX, сер. 3, 107-126, 1937.

17. Н.А.Сахарников. Решение проблемы центра и фокуса в одном случае. ПММ, т. Х1У, в.6, 651-658. М.1950.18. к.С.Сибирский. Центры с симметрией поля направлений дифференциального уравнения. Изв. АН Молд.ССР, № I, 79-83, Кишинев, 1963.

18. И.И. Широв. О случаях центра Фроммера. ДАН УзССР, № 81962г„

19. И.С.йуклес. 0 периодических и апериодических свободных колебаниях. (докторская диссертация).

20. Дж.Риордан. Введение в комбинаторный анализ. ИЛ.М.1963г.

21. К.С.Сибирский. К проблеме центра, (кандидатская диссертация) Кишинев, 1954.

22. И.С.Куклес. 0 двух группах особых точек. ДАН СССР, т.42, Ш 6, 201, М.1944. я

23. И.С.Куклес. Труды Узбекского университета, 1 47, 30, 1951г.