О позитивной обратимости одной разнопорядковой краевой задачи на графе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Перловская, Татьяна Витальевна

• Перловская, Татьяна Витальевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Перловская, Татьяна Витальевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОБЩИЕ ФАКТЫ

§ 1.1. ОБОСНОВАНИЕ ЗАДАЧИ

1.1.1. Основные понятия.

1.1.2. Вариационное обоснование задачи.

1.1.3. Условия трансмиссии.

§ 1.2. КОРРЕКТНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.2.1. Постановка задачи.

1.2.2. Невырожденность задачи.

1.2.3. Корректность.

§13. ФУНКЦИЯ ГРИНА

1.3.1. Существование функции Грина.

1.3.2. Основные свойства функции Грина.

ГЛАВА 2. ЗНАКОРЕГУЛЯРНЫЕ СВОЙСТВА ЗАДАЧИ

§ 2.1. ПОЗИТИВНАЯ ОБРАТИМОСТЬ ЗАДАЧИ.

§ 2.2. ЗНАКОРЕГУЛЯРНОСТЬ ФУНКЦИИ ГРИНА

2.2.1. Отсутствие внутренних нулей.

2.2.2. Простота нулей на границе.

§23. СВОЙСТВА ПОЗИТИВНОГО СПЕКТРА.

2.3.1. Теорема о главном собственном значении.

2.3.2. Теорема о собственной ветви для задачи с вогнутой нелинейностью.

2.3.3. Знакорегулярные оценки функции Грина.

2.3.4. Вспомогательные фрагменты из теории конусов.

2.3.5. Завершение доказательства теорем 2.3.1 и 2.3.2.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О позитивной обратимости одной разнопорядковой краевой задачи на графе»

Обыкновенные дифференциальные уравнения на графах - новое научное направление, возникшее около двух десятилетий назад и привлекшее активный интерес многих исследователей во всем мире. Качественный анализ краевых задач с внутренними особенностями начался уже в 30-е годы XX в. в работах М.Г. Крейна и Ф.Р. Гантмахера, изучивших гармонические колебания многоопорной балки. И хотя свое зарождение теория краевых задач ведет от работ Л. Эйлера, математической моделью у Гантмахера — Крейна служило интегральное уравнение, порождаемое функцией влияния, а классическое уравнение прогиба стержня

EJu")" = / (0.1) выступало лишь как локальный ( между опорами ) фрагмент, использовавшийся как вспомогательная информация при анализе формы прогиба. С помощью достаточно тонкой теории ядер Келлога для многоопорного стержня (заодно с обычным) удалось объяснить математическую природу гармонических свойств спектра собственных колебаний. С этих результатов началась геометрическая теория М.Г. Крейна пространств с конусами и осцилляционная спектральная теория, как развитие теории Штурма-Лиувиля. Для двухточечных краевых задач завершающие результаты подобного типа были получены в работах С. Карлина, А.Ю. Левина, Г.Д. Степанова и др.

Нестандартный характер задачи о многоопорном стержне, связанный с внутренними особенностями соответствующих решений уравнения (0.1), стали предметом анализа в работах Ю.В. Покорного ( 70-80 годы ), изучавшего многоточечные краевые задачи с дефектами гладкости решений. В этой связи следует отметить работы В.Я. Дерра. Методы Ю.В. Покорного нашли развитие при анализе математической модели цепочки упруго-сочлененных континуумов, а затем — на нестандартных задачах, возникающих при описании сетеобразных систем.

С начала 80-х годов спонтанно в разных странах началось активное изучение дифференциальных уравнений на геометрических графах (метрических сетях), породившее многие сотни работ [18, 30, 40, 41, 42, 46, 51, 53, 54, 56, 59]. Наиболее изученными здесь оказываются уравнения 2-го порядка. Воронежское направление характеризуется развитием идей и методов М.Г. Крейна и М.А. Красносельского применительно к знакорегулярным свойствам линейных и нелинейных краевых задач, связанных со знакопостоянством и специальными оценками функции Грина. В 90-е годы начали появляться работы для уравнений 4-го порядка на графах, связанные с описанием решеток из стержней ( Ю.В.Покорный, Р. Мустафокулов, A.B. Боровских [15, 33, 36] ). Несколько лет назад появились работы для разнопорядковых задач на графах, где на разных ребрах задавались уравнения четвертого и второго порядков. Детальному анализу здесь подвергнут случай простого креста и элементарный случай простейшего присутствия цикла ( Ю.В. Покорный, Т.В. Белоглазова, К.П. Лазарев [38]).

Следует отметить, что даже в случае уже основательно изученной задачи Штурма-Лиувиля на графе присутствие цикла влечет нарушение ряда основополагающих свойств — от простоты точек спектра до корректности самой задачи. Поэтому для разнопорядкового уравнения наличие у графа хотя бы даже одного цикла означало присутствие принципиально новой трудности в условиях полного отсутствия каких-либо стандартных наработок.

В диссертации изучается разнопорядковая задача на графе при наличии целой серии циклов, что означает заведомое присутствие качественно новых трудностей. Для этой задачи устанавливается ее интегральная обратимость, строгая положительность соответствующей функции влияния, называемой функцией Грина. Доказательство точных двухсторонних оценок функции Грина обеспечивает применение общих теорем М.А. Красносельского и М.Г. Крейна для сильно-положительных операторов и теорем М.А. Красносельского и И.А. Бахтина о непрерывных ветвях собственных векторов для нелинейных операторов, что определяет актуальность и значимость работы.

Существенной особенностью работы является описание условий трансмиссии, т.е. условий « склейки » решений в узлах графа, на основе вариационных соображений исходя из физической природы прототипа задачи. Именно « натуральная природа » этих условий позволяет развить специальную технику анализа распределения нулей у решений « дифференциальных » неравенств.

Целью работы является корректная постановка разнопорядковой задачи на графе с многими циклами, анализ функции влияния краевой задачи, возникающей при моделировании канатного моста. Доказательство знакорегулярных оценок функции Грина. Доказательство простоты ведущего собственного значения для линейной спектральной задачи и существование неограниченной собственной ветви собственных функций для задачи с вогнутой нелинейностью.

В работе используются качественные методы анализа дифференциальных уравнений на пространственных сетях, соответствующие методы анализа функции Грина, а также методы теории операторных и интегральных уравнений в полуупорядоченных пространствах.

В настоящей работе исследуется, если употреблять традиционную терминологию, система обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых задано на своем ребре пространственной сети ( геометрическом графе ) Г. Каждое уравнение имеет второй или четвертый порядок, соответствуя математической модели струны или стержня. Рассматриваемая геометрическая сеть Г имеет форму, фигурально выражаясь, как бы положенной на бок ( в вертикальной плоскости ) лестницы, являясь аналогом формы канатного моста. Точнее, Г соответствует двум горизонтальным упругим континуумам над отрезком [0,1], соединенным вертикальными перемычками. На каждом куске верхнего континуума и на каждой вертикальной перемычке задается уравнение определяющее деформацию классической струны, а на каждом куске нижнего континуума задается уравнение четвертого порядка соответствующее деформации упругого стержня. Производные здесь берутся по направленному параметру ( вдоль соответствующего ребра ). В четырех концевых точках предполагается условие обычного закрепления, в концах каждого стержня - условие шарнира ( т.е. цепочка стержней сочленена шарнирно и концы ее закреплены шарнирно ). В точках стыковки ребер решения предполагаются связанными непрерывно. В этих точках присутствуют также естественные условия связи, называемые обычно условиями трансмиссии и порождаемые физическими условиями баланса

0.2)

0.3) напряжения. Мы всюду далее в работе используем термины из теории дифференциальных уравнений на графах [3].

Первая глава диссертации посвящена постановке задачи и анализу общих свойств. В §1.1 дается вариационное обоснование исследуемой задачи, в том числе в точках ^ < < ••• < из интервала (0,1), соответствующих стыкам, установлены условия трансмиссии, имеющие для нижних узлов ai вид

ИфгУ(аО - (яг'На^О) = 0 (0.4) и для верхних узлов Ь вид

Ц<р*)(Ь0 + (яг')Фг+0) = 0. (0.5)

Здесь нами, как это принято в теории уравнений на графах, через г,- '(%к +0) обозначена крайняя производная в точке сужения решения х(х) : Г —> Л на /-е ребро • Через обозначен скачок + 0) - - 0).

Обозначая в целом решение задачи через г(х) при 0 <х <1 мы для удобства применяем разные обозначения для сужения г(х) на верхние, вертикальные и нижние звенья Г. Деформацию верхнего континуума мы обозначим через \(х) : [ 0,1 ] —> Я, деформацию нижнего континуума ( цепочки стержней ) обозначим через и(х) : [ 0,1 ] -> К Вертикальные ребра нашей лестницы Г, « лежащей на боку », соответствующие точкам отрезка [ 0,1 /, мы будем обозначать отрезками /я,, ¿,7, приписывая а1 нижним концам, а Ь1 верхним концам. На каждой такой перемычке сужение решения г(х) на [а1,Ъ[■] мы обозначим через Ь^х).

При разговоре о « верхней » функции у(х) мы точки £ будем отождествлять с точками В этих точках, согласно § 1.1 диссертации, должны быть заданы условия трансмиссии вида

ЦфЧФО + = о.

0.6)

В узлах нижней цепочки условия трансмиссии приобретают вид

Д(риУ(а1) - (д^/)(а,+0) = 0.

0,7)

Кроме этого, для « нижнего » решения и(х) должны выполняться условия шарнира

Систему уравнений (0.2), (0.3) мы записываем в виде единого уравнения где функции р(х), д(х) заданы на всем графе так, что ц(х) = 0 на нижнем континууме, а р(х) =0 на вертикальных ребрах и верхнем континууме. При этом р(х) и д(х) положительные и достаточно гладкие на тех ребрах, где они не принимают нулевых значений.

Условия трансмиссии и условия шарнира мы относим к определению решения вновь заданного уравнения (0.9). Мы предполагаем выполнение условия непрерывности во всех внутренних вершинах. Определенное таким ри")(£г 0) = (риЖ + 0) = 0 (1=0, Л., п). (0.8) к")" ~ №У =/

0.9) образом на Г разнопорядковое дифференциальное уравнение мы дополним условиями типа Дирихле г\эг = 0■ (ОАО) где д Г состоит из четырех точек — концов нашей системы.

В § 1.2 установлена корректность описанной задачи, а именно, доказано, что для любой непрерывной на Г правой части уравнения (0.9) рассматриваемая задача однозначно разрешима и, более того, что решение мало меняется при малом изменении правой части.

§ 1.3 посвящен построению функции Грина исследуемой задачи. Мы используем концепцию Вейля, называя функцией Грина ядро интегрального оператора, обращающего исходную задачу. Таким образом, мы строим функцию двух переменных 0(х,ь), позволяющую выразить решение исходной задачи в виде

2(х)= ¡в(х,*)/(*)&. (0.11) г

Построение осуществляется опорой на локальные функции Грина, определенные уравнением (0.9) на каждом ребре Г при каких-либо краевых условиях на этом ребре, с последующим конечномерным возмущением этой функции так, чтобы определенное формулой (0.11) решение удовлетворяло всем условиям — краевым и условиям связи во внутренних узлах. В рамках этой конструкции удается проследить за свойствами типа регулярности в(х,з).

А именно, в работе показано, что: 1) функция С(>%5) непрерывна по совокупности переменных на ГхГ;

2) функция Грина 0(х,&) при каждом хф б удовлетворяет пох однородному уравнению Ьг = 0 и краевым условиям и условиям трансмиссии во внутренних узлах;

3) если 5 принадлежит одному из « струнных ребер », то производная С(х,$) в точке х = 5 имеет единичный скачок

4) если 5 принадлежит нижнему континууму, то 0, в)- С?"Г * -0,8) = 1.

В § 2.1 второй главы изучаются знаковые свойства решений дифференциального неравенства

Ьг > 0, (0.12) где под неравенством (0.12) мы понимаем уравнение (0.9) при / > 0 и всех необходимых условиях (0.6), (0.7), (0.8), (0.10).

Устанавливаются следующие факты. ТЕОРЕМА 2.1 Любое решение дифференциального неравенства Ьг > 0 неотрицательно на Г,

Лемма 23 Производная нетривиального решения неравенства не имеет нулей в обоих концах верхнего континуума.

Лемма 2.4 На границе нижнего континуума производная г'(х) не обращается в нуль.

Лемма 2.5 Функция х(х) не имеет нулей внутри Г.

В § 2.2 изучены знаковые свойства функции Грина. ТЕОРЕМА 2.2 Функция Грина G(x,s) рассматриваемой задачи строго положительна внутри своей области определения.

Доказано, что производная по х функции G(x,s) не обращается в нуль на границе Г.

В § 2.3 устанавливаются оценки функции Грина. ТЕОРЕМА 2.7 Пусть z0 (х) - решение нашей задачи для уравнения Lz = 1. Тогда для каждого s существуют числа a{s) > 0 и ¡3{s) < со такие, что равномерно по х справедливы неравенства z0(x) a(s) < G(x,s) < z0(x) fi(s),

0.13) причем а (ЪЛ р (я) суммируемы на Г.

Из оценок (0.13) вытекает, что интегральный оператор

Gz)(x) =

0.14) г является и о - положительным в смысле М. А. Красносельского. Далее рассматривается спектральная задача

Lz = Л т(х) z, z\ дг = 0.

0.15)

Она эквивалентна уравнению z(x) = Л ¡G(x,s)m(s)z(s)ds. г

0.16)

Так как интегральный оператор О является и0- положительным, то к уравнению (0.16) применима теорема М.А. Красносельского и М.Г. Крейна. Поэтому ведущее собственное значение задачи (0.15) обладает следующими свойствами.

ТЕОРЕМА 2.5 Пусть функция т(х) суммируема и неотрицательна ( т(х)ф0 ) . Тогда для задачи (0.15) справедливы следующие свойства: а) существует позитивное собственное значение Я 0; б) это собственное значение является вещественным, строго положительным и простым, т.е. корневое пространство, соответствующее Я 0, одномерно; в) Я 0 строго меньше модулей остальных точек спектра; г) соответствующая Я 0 собственная функция г0 (х) не имеет нулей в Г; д) для любой знакопостоянной на Г собственной функции задачи (0.15) соответствующее собственное значение совпадает с Я 0, а сама собственная функция должна быть коллинеарна г0(х).

В § 2.3 изучается также нелинейная краевая задача

Ьг = Л/(х,г), г\8г = 0. (0.17)

Она эквивалентна уравнению г(х) = Я ^(ЛС,$)/($, Г

В силу и0- положительности интегрального оператора С? мы можем использовать теорему М.А. Красносельского и И.А. Бахтина о вогнутых операторах.

ТЕОРЕМА 2.6 Пусть /( х, г ) при х&Г строго возрастает по х и строго вогнутая, т.е. х, Яг) > ЯДх,г) (0< Л < 1).

Тогда существует интервал ( Я0,ЯОй ) ( при 0<Л0<Д00<оо ) такой, что каждому Я из этого интервала отвечает единственное нетривиальное решение г(х, Я ) задачи (0.17). При этом а) г(х, Я ) строго возрастает по Я; б) ||г(л:,Л)||—>оо при Я-^Яп и ||г(хД)|->0 при Л-ьЯц.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1, 14, 2327]. Они докладывались на Воронежских весенних математических школах в 2003г., 2004г., на научных семинарах проф. Ю.В. Покорного, проф. А.И. Перова, проф. А.Г. Баскакова.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Ю.В. Покорному за постоянное внимание и помощь в работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Перловская, Татьяна Витальевна, 2004 год

1. Белоглазова T.B. Об одной системе локально взаимодействующих обыкновенных дифференциальных уравнений / Т.В. Белоглазова, Т.В. Перловская // Понтрягинские чтения - X1., 3-9 мая. 2003г.: Тез. докл. - Воронеж, 2003. - С. 20.

2. Герасименко Н.И. Задача рассеяния на некомпактных графах / Н.И. Герасименко, Б.С. Павлов // Теоретическая математическая физика. — 1988. Т. 74, № 3. - С. 345-359.

3. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, B.JI. Прядиев и др. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. -272с.

4. Жиков В.В. Связность и усреднение. Примеры фрактальной проводимости / В.В. Жиков // Мат. сборник. 1996. - Т. 187, № 8. - С. 3-40.

5. Завгородний М.Г. О спектре краевых задач второго порядка на пространственных сетях / М.Г. Завгородний, Ю.В. Покорный // Успехи мат. наук. 1989. - Т. 44, № 4. - С. 220-221.

6. Каменский М.И. О полугруппе в задаче диффузии на пространственной сети / М.И. Каменский, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Докл. РАН. 1999. - Т. 368, № 2. - С. 157-159.

7. Комаров A.B. О спектре равномерной сетки из струн / A.B. Комаров, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Изв. вузов. 2000. - Т. 463, № 4. - С. 23-27.

8. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Физматгиз, 1962. - 268с.

9. Лазарев К.П. О спектре некоторых негладких многоточечных задач: Дисс. канд. физ.-мат. наук. / К.П. Лазарев. — Воронеж, 1988. 105 с.

10. Новиков С.П. Дискретный оператор Шредингера / С.П. Новиков // Труды мат. ин-та им. В.А.Стеклова. М., 1999. - Т. 224. - С. 275-290.

11. Об одном классе дифференциальных уравнений четвертого порядка на пространственной сети / A.B. Боровских, К.П. Лазарев, Р. Мустафокулов , Ю.В. Покорный // Докл. РАН. 1995. - Т. 345, № 6. -С. 730-732.

12. Павлов Б.С. Модель свободных электронов и задача рассеяния / Б.С. Павлов, М.Д. Фадеев // Теоретическая математическая физика. — 1983. -Т. 55,№2.-С.257-269.

13. Пенкин О.М. Об одной векторной краевой задаче / О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный, E.H. Провоторова // Краевые задачи. Пермь, 1983. - С. 6470.

14. Пенкин О.М. О краевой задаче на графе / О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Дифференциальные уравнения. 1988. - Т. 24, № 4. - С. 701-703.

15. Пенкин О.М. Некоторые вопросы качественной теории краевых задач на графах: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. / О.М. Пенкин. Воронеж, 1988.-88с.

16. Пенкин О.М. О некоторых качественных свойствах уравнений на одномерном клеточном комплексе / О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Изв. вузов. Математика. — 1996. № 11. - С. 57-64.

17. Пенкин О.М. О слабом принципе максимума для эллиптического уравнения на двумерном клеточном комплексе / О.М. Пенкин // Дифференциальные уравнения. 1997. — Т. 33, № 10. — С. 1404-1409.

18. Пенкин О.М. О принципе максимума для эллиптического уравнения на стратифицированных множествах / О.М. Пенкин // Дифференциальные уравнения. 1998. - Т. 34, № 10. - С. 1433-1434.

19. Перловская Т.В. О краевой задаче для нелокально взаимодействующих уравнений разного порядка / Т.В. Перловская // Понтрягинские чтения XIV, 3-9 мая. 2003г.: Тез. докл. - Воронеж, 2003. - С. 110.

20. Перловская Т.В. О дифференциальных неравенствах в математической модели канатного моста / Т.В. Перловская; Воронеж, гос. ун-т. -Воронеж, 2003. 9с. - Деп. в ВИНИТИ 19.11.03, № 1993-В2003.

21. Перловская Т.В. О знакорегулярных свойствах функции влияния в математической модели канатного моста / Т.В. Перловская; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2004. - 11с. - Деп. в ВИНИТИ 18.02.04, №277-В2004.

22. Перловская Т.В. Некоторые аспекты свойства знакорегулярности функции Грина нестандартной краевой задачи / Т.В. Перловская;Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2004. - 11с. - Деп. в ВИНИТИ 25.03.04, № 486-В2004.

23. Перловская Т.В. О свойстве фокусирования в разнопорядковой модели канатного моста / Т.В. Перловская // Понтрягинские чтения -XV, 3-9 мая. 2004г.: Тез. докл. Воронеж, 2004. - С. 164.

24. Покорный Ю.В. О спектре некоторых задач на графах / Ю.В. Покорный // Успехи мат. наук. 1987. - Т. 42, № 4. - С. 128-129.

25. Покорный Ю.В. Некоторые осцилляционные теоремы для многоточечных задач / Ю.В. Покорный, К.П. Лазарев // Дифференциальные уравнения. 1987. - Т. 23, № 4. - С. 658-670.

26. Покорный Ю.В. Теоремы Штурма для уравнений на графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин // Докл. АН СССР. 1989. - Т. 309, № 6. - С. 1306-1308.

27. Покорный Ю.В. О теоремах сравнения для уравнений на графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин // Дифференциальные уравнения. 1989. — Т. 25, №7.-С. 1141-1150.

28. Покорный Ю.В. Об осцилляционных свойствах спектра краевой задачи на графе / Ю.В. Покорный, В.Л. Прядиев, А. Аль-Обейд // Мат.заметки. 1996. - Т. 60. - С. 468-469.

29. Покорный Ю.В. О позитивной обратимости некоторых краевых задач для уравнений четвертого порядка / Ю.В. Покорный, Р. Мустафокулов // Дифференциальные уравнения. 1997. - Т. 33, № 10. - С. 1358-1365.

30. Покорный Ю.В. О нелинейной краевой задаче на графе / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев // Дифференциальные уравнения. 1998. - Т. 34, № 5. - С. 629-637.

31. Покорный Ю.В. О неосцилляции на графах / Ю.В. Покорный // Доклады расширенного заседания семинара ин-та прикладной математики им. И.Н.Векуа. 1998. - Т. 3, № 3. - С. 139-142.

32. Покорный Ю.В. О положительности функции Грина линейных краевых задач для уравнений четвертого порядка на графе / Ю.В. Покорный, Р. Мустафокулов // Изв. вузов. Математика. 1999. - Т. 441, № 2. - С. 75-82.

33. Покорный Ю.В. О неосцилляции обыкновенных дифференциальных уравнений и неравенств на пространственных сетях / Ю.В. Покорный // Дифференциальные уравнения. 2001. — Т. 37, № 5. - С. 661-671.

34. Покорный Ю.В. Об одном классе разнопорядковых обыкновенных дифференциальных уравнений на графе / Ю.В. Покорный, Т.В. Белоглазова, К.П. Лазарев // Мат. заметки. 2003. - Т. 73, № 3. - С. 469-470.

35. Покровский А.Н. Процессы управления в нервных клетках / А.Н. Покровский Л.: Изд-во Лениград. ун-та. — 1987. — 85с.

36. Прядиев В.Л. О структуре спектра одного класса нелинейных краевых задач второго порядка / В.Л. Прядиев // Дифференциальные уравнения. 1999. - Т. 35, № 11. - С. 1575.

37. Шафаревич А.И. Дифференциальные уравнения на графах, описывающие локализованные асимптотические решения уравнений Навье-Стокса и вытянутые вихри в несжимаемой жидкости / А.И. Шафаревич; Ин-т проблем механики РАН. Препринт № 604. - 1997. -41 с.

38. Ali Mehmeti F. Regular solutions of transmission and interaction problems for wave equation / F. Ali - Mehmeti // Math. Methods Appl. Science. - 1989. - V.l 1. - P. 665-685.

39. Ali — Mehmeti F. Some realizations of interaction problems. / F. Ali — Mehmeti, S. Nicaise // Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 1991. - V. 135.-P. 15-27.

40. Ali Mehmeti F. Nonlinear interaction problems. / F. Ali - Mehmeti, S. Nicaise // Nonlinear Analyse. - 1993. - V. 20, № 1. - P. 27-61.

41. Dekoninck B. The eigenvalue problem for networks of beams / B. Dekoninck, S. Nicaise // Generalized Functions, Operator Theory and Dymnamical Systems, Chapman and Hall Research in Math. 1999. - P. 335-344.

42. Gaveau B. Explicit heat kernels on graphs and spectral analysis: Several complex variables / B. Gaveau, M. Okada, T. Okada // Princeton Univ. Press. Math. Notes. -1993. V. 38. - P. 360-384.

43. Lumer G. Connecting of local operators and evolution equations on network / G.Lumer // Lecture Notes Math. 1980. - V. 787. - P. 219-234.

44. Nicaise S. Some results on spectral theory over networks, applied to nerve impuls transmission / S. Nicaise // Lecture Notes Math. Springer-Verlag, 1985.- № 1771.-P. 532-541.

45. Nicaise S. Approche spectrale des pronlemes de diffusion sur les reseaux / S.Nicaise H Lecture Notes in Math. 1987. - V. 1235. - P. 120-140.

46. Nicaise S. Le laplacien sur les reseaux deux-dimensionnels polygonaux topologiques / S. Nicaise // J.-Math.-Pures.-Appl. 1988. - V.67 (9), № 2. -P. 93-113.

47. Penkin O.M. About a geometrical approach to multistructures and some qualitative properties of solutions / O.M. Penkin // Partial Differential Equations on Multistructures. // Lecture Notes Pure Appl. Math. 2001. -V. 219. - P. 183-192.

48. Roth J.-P. Spectre du laplacien sur un graph / J.-P. Roth // C.R.Acad.Sc / Paris, 1983. -V. 296. P. 783-795.

49. Roth J.-P. Le spectre du laplasien sur un graph / J.-P. Roth // Lecture Notes Math. Springer-Verlag, 1984. - P. 521-539.

50. Tautz J. Transmission of vibration across honeycombs and its detection by bee leg receptors / J. Tautz, M. Lindauer, D.C. Sandeman // J. Experimental Biology. 1999. - V. 199. - P. 2585-2594.