О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Меленцов, Александр Александрович

• Меленцов, Александр Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Меленцов, Александр Александрович

Введение.

Глава 1. Приближения функций класса W"([ОД]2) билинейными функциями.

§ 1.1.Формулировка основного результата.

§ 1.2. Полиномиальные билинейные функции, связанные с разбиением квадрата на прямоугольники.

§ 1.3. Оценка уклонения функции от многочленов степени 1 = а-1 на прямоугольнике.;.

§ 1.4 Оценка уклонения функции от билинейных функций, связанных с любым заданным разбиением квадрата.

§ 1.5 Конструкция разбиения квадрата на полосы.

§ 1.6. Оптимальная конструкция разбиения квадрата на прямоугольники.

§ 1.7. Оценка наилучших приближений функций класса W"(I2) билинейными функциями.

Глава 2.0 точности оценок приближения функций соболевского класса W"([0,1]2) билинейными функциями.

Глава 3. Оценка приближенного решения интегрального уравнения, полученного заменой ядра класса W" билинейной функцией.

Глава 4. Приближенное решение интегрального уравнения заменой ядра на вырожденное с использованием билинейной аппроксимации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями»

В теории приближений традиционной является задача приближения функций f, объединенных в некоторый функциональный класс F, полинои мами с постоянными коэффициентами и задача вычисления или j=i оценки величины tm(F) = SUpinf eF U f-Yjc*<p> s=\

Для функций нескольких переменных/(х, у), xeR",yeRm, начиная с 1907г., изучаются также приближения с помощью сумм произведений и функций от меньшего числа переменных gM(x,y) = J^OO^Cv), называемых билинейными функциями порядка М, которые формально можно считать полиномами порядка Миохс переменными коэффициентами.

Первый результат по приближению билинейными функциями был получен Е.Шмидтом [12], который в 1907 г. изучал наилучшие приближения периодических функций двух переменных суммами произведений функций одной переменной в 4. В. Н. Темляковым в ряде работ (см., например, [13, 14]) найдены порядки приближения ru{F)q в метрике Lq классов F дифференцируемых периодических функций f(x,y) многих переменных м zM{F)q =sup inf eF u,(*),vi(y) 1

1 ^ q й оо) м билинейными функциями ^ГмДх)^) для классов Wrp a, SWp>a, Нгр и NHrp i=l периодических функций, определенных ограничениями на соответствующие частные производные или ограничениями на соответствующие допредельные разности. Такие оценки им получены [15] также в различных смешанных нормах для соответствующих классов Соболева и Никольского.

В работах М.-Б.А.Бабаева [1-3] в конце 80-х — в 90-х годах получены оценки сверху скорости приближения функций соболевского класса W"(Im) в метрике Lg(Im) на /w-мерном кубе Г =[0,1]"' билинейными функциями порядка М и найден порядок величины ru(fV") при \<p<q<co и

М -> оо. Однако осталась проблема построения аппроксимирующих функций с наилучшим по классу Wp{lm) порядком убывания.

Настоящая работа продолжает исследования в данном направлении в случае функций двух переменных. Цель работы.

Цель работы — для всех допустимых р и q разработать конструктивный метод поа 1 1 л

1 < р <, оо, 0 < g < оо, —>--

2 р q строения оптимальных билинейных функций gM(x,f) для любой функции /О) eW"(I2), получить конструктивно при 0<q<p<oo не улучшаемую по порядку относительно М оценку сверху наилучших приближений

Eu(f>g\= inf

К-М) и м Ike2) функции двух переменных f{xx,x2) класса W°(I2) билинейными функциями порядка М и

Six) = gu(x) = V,(x2) (1) s=1 класса GM с помощью оценки lji2) »а также обосновать использование построенного аппарата приближения при решении интегральных уравнений второго рода. Методы исследования.

При получении результатов использованы методы теории приближения функций, функционального анализа, методы решения интегральных уравнений.

Научная новизна. Предложен новый, конструктивный метод построения аппроксимирующих билинейных функций gM{x,f) для /бЖ"(/2)при всех допустимых р и q. Получена оценка сверху наилучших приближений функции / класса W"(I2) билинейными функциями при 0<q<p<co, неулучшаемая по порядку относительно М -» да на классе W*(I2). Предложен метод приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма с гладким ядром на базе разработанного метода аппроксимации, особенно выгодный, когда поведение ядра существенно неоднородно в разных частях квадрата I1.

Теоретическая и практическая ценность. Предложенный новый, конструктивный метод построения билинейных функций gu (x,f) представляет теоретический и практический интерес. Он позволил получить конструктивно оценку погрешности приближения функций класса W"(I2) билинейными функциями заданного порядка при 0 <q<p<w и разработать метод приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода с помощью замены невырожденного ядра, принадлежащего классу W"(I2), на соответствующую билинейную функцию. В работе получена оценка точности соответствующих приближенных решений. Основные результаты.

Пусть /е W"(I2), I2 = [ОД]2, g — билинейная функция (1) класса GM. ii и Ey(f,g)q = inf ||/(*l>*2)-&/(*lV/(*2) наилучшие приближена2) ния функции / билинейными функциями g. В главе 1 построена новая конструкция билинейных функций gM(x) = gM(x,f), аппроксимирующих в Lq(I2) функции / eWp(I2), позволяющая при любых значениях

О<g <оо? \ <р<оо, — >-—-, а— натуральное выбирать gM(x, /) так, что 2 р q

-gj| 2 имеет порядок убывания при М-»со, совпадающий с

II liL^^i ) rM(Wp(I2))q. На этой основе изучен вопрос о скорости наилучших приближений EM{f,g)q функций соболевского класса W^(I2) в метрике Lq(I2) на квадрате /2 = [0,1] х [ОД] билинейными функциями порядка М при М-»оо в 1 1 случае 0 <q<p, 1< р<<*>, — >---и получена оценка сверху

2 р q где С = с(р, q, а) — некоторая положительная константа (теорема 1). Вытекающая отсюда оценка для Ем{/, g)q

Ем(/> ^ -Jjjzl f L«(/2) следует из результатов Бабаева при 1 < р = д < то. Случай 0<q<\ — новый.

В главе 2 в теореме 2 получена прямая оценка rM(fV°(I2))^ снизу о порядковой точности при Л/->оо оценки сверху.

В главе 3 при решении интегрального уравнения Фредгольма второго рода y(x) = AjK(x,sMs)ds + f(x) (3) о с ядром К = K(x,s) е W"(I2) по методу Шмидта с помощью замены ядра на соответствующую билинейную функцию в теореме 3 получена оценка погрешности приближенного решения у этого уравнения с помощью данного метода.

Доказана следующая теорема.

Теорема 3. Пусть l£q£p<ao, — >-——, -+—= 1. Тогда, если число к

2 р q г q а таково, что В = \-\Я\ q

К*

040 V dx

0, то существует константа С, зависящая только от р, q и а, такая, что Цу - у\\ < С

D-1

ГЛ1г)а •

Ч Ма

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 71 страницу, библиография содержит 16 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Меленцов, Александр Александрович, 2007 год

1. Бабаев М.-Б.А. О порядке приближения соболевского класса билинейными формами в Lp при \<q<p<2 И Матем. сб. 1991. Т.182, № 1. С.122- 129.

2. Бабаев М.-Б.А. О порядке приближения соболевского класса Wrq билинейными формами в Lp при \<q<2<p<<x> //Тр. МИРАН. 1992. Т.198. С.21-40.

3. Бабаев М.-Б.А. Приближение соболевских классов WTq функций многих переменных билинейными формами в Lp при 2<q<p<w II Матем,заметки. 1997. Т.62, вып. 1. С.18 -34.

4. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Кусочно-полиномиальные приближения функций классов W" // Матем. сборник. 1967. Т.73 (115). С.ЗЗ 1 355.

5. Меленцов А.А., Приближения функций класса W°(I2) билинейнымиформами // Профессионально-педагогическое образование: Сб. науч. тр. 4.2. Исследования в предметных и методических областях, Екатеринбург, 1995. С.22-32.

6. Меленцов А.А. Приближения функций класса W"(0,\.2) билинейнымифункциями // Изв. Уральского университета. 2004. № 30. Математика и механика. Вып.6. С.90 116.

7. Меленцов А,А. О точности оценок приближения функций соболевского класса йГ/(0,1.2) билинейными функциями // Сборникнаучных трудов. Проблемы электроэнергетики, машиностроения и образования. Изд.РГППУ. Екатеринбург. 2005. С. 102-110.

8. Мирошин Н.Вг, Хромое В,В. Об одной задаче наилучшей аппроксимации функций многих переменных // Матем. заметки. 1982. Т.32, № 5. С, 721 727.

9. Никольский С.М. О теоремах вложения, продолжения и приближения дифференцируемых функций многих переменных // Успехи матем. наук. 1961. Вып.5 (101), С.63-114.

10. Субботин Ю.К, Черных Н.И„ Порядок наилучшей аппроксимации сплайнами дифференцируемых классов функций // Матем. заметки. 1970. Т.7, аз 1-42,

11. Schmidt Е. Zur Theorie der linearen und nicht linearen Integralgleichungen. I // Math, Ann. 1906/07. Vol 63. P.433-476.

12. Темляков B.H. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. МИАН. 1986. Т.178. СЛ -112.

13. Темляков В.Н. О наилучших билинейных приближениях периодических функций многих переменных // Докл. АН СССР, 1986, Т.286, № 2. С.301 304.

14. Темляков В.Н. Билинейная аппроксимация и приложения // Тр. МИАН. 1989. Т. 187. С.191-215.

15. Харди Г.Г,, Литтлвуд Дж, Е., Полиа Г. Неравенства, М.: Иностр. лит., 1948.

16. Люстерник А,Л,, Соболев В,И, Элемента функционального анализа. М.: Наука, 1965.