О стохастических свойствах моделей Каги и Ренко тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Спиряев, Максим Александрович

• Спиряев, Максим Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Спиряев, Максим Александрович

Содержание

Введение

1 Основные определения

1.1 Построение Каги

1.2 Стратегия Каги

1.3 Построение Ренко

1.4 Стратегия Ренко

2 Методология исследования

2.1 Метод Каги

2.2 Метод Ренко

3 Метод Каги

3.1 Дискретное время

3.1.1 Случайное блуждание

3.1.2 Биномиальная модель

3.2 Непрерывное время

3.2.1 Однородные диффузионные процессы

3.2.2 Броуновское движение

3.2.3 Геометрическое броуновское движение

4 Метод Ренко

4.1 Дискретное время

4.1.1 Случайное блуждание

4.1.2 Биномиальная модель

4.2 Непрерывное время

4.2.1 Однородные диффузионные процессы

4.2.2 Броуновское движение

4.2.3 Геометрическое броуновское движение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О стохастических свойствах моделей Каги и Ренко»

Введение

Настоящая диссертация посвящена вероятностному исследованию моделей Каги и Ренко. Модели и построения Каги и Ренко являются одними из методов технического анализа, под которым понимается прогнозирование будущего поведения цен, основываясь на статистическом анализе изменений цен в прошлом.

Первое использование методов технического анализа для исследования поведения цен относится к началу XVII века. Впервые метод, известный сейчас как метод японских свечей (Japanese Candlestick Charts), был применен в Японии для анализа фьючерсов на поставку риса (см [19, гл. 2]). Становление технического анализа в конце XIX века в европейских странах и США принято связывать с именем Чарльза Доу, одного из создателей индекса Доу-Джонса. Изложенные им в ряде статей идеи позднее получили название Теории Доу и легли в основу современного технического анализа. Бурное развитие технического анализа пришлось на конец XX века, связанное прежде всего с развитием вычислительной техники. Появление компьютерных пакетов и программ, реализующих методы технического анализа, существенно упростили их использование, повысив эффективность обработки поступающей на рынок информации и позволив использовать более сложные по сравнению с традиционными методы, такие как, например, построения Каги с изменяющимся пороговым значением, исследование которого затрагивается в настоящей диссертации. Появление японских методов, таких как японские свечи и графики трехлинейного прорыва, Ренко и Каги, в западном техническом анализе связано с работами Стива Нисона в 1990-х годах (см. [19], [20], [21]).

На сегодняшний день технический анализ включает в себя огромное количество методов и техник для прогнозирования цен, определения трендов и построения трейдинговых стратегий. Одним из наиболее известных методов технического анализа является техника японских свечей (см. [15],[19]), во многом благодаря наглядности и простоте для понимания, а также более эффективному распознаванию поворотов рынка по сравнению с традиционными индикаторами. Альтернативным японским свечам методом анализа поведе-

ния цен служат графики трехлинейного прорыва, а также графики Ренко и Каги, которые являются объектом исследования настоящей диссертации.

Ключевое отличие графиков Каги и Ренко от японских свечей заключается в том, что эти методы учитывают только изменения цен, игнорируя время. В отличие от японских свечей графики Каги и Ренко позволяют акцентировать внимание трейдера только на значительных колебаниях цен и не рассматривать "шумы", а также дают лучшее представление об общих тенденциях рынка. В отличии от используемого в классических методах анализа "римановского подхода" построения Каги и Ренко реализуют "лебеговский подход", когда за единицу отсчета времени принимается случайный период времени, за который изменение цены превышает некоторое заданное пороговое значение.

Происхождение методов Каги и Ренко связано с появившимися в Японии в 1870-х годах методами технического анализа, основанных на анализе колебаний цен. Впервые в литературе подробное описание методов Каги и Ренко, а также связанных с ними трейдинговых стратегий, было дано в книге Нисона (см. [19]). Следующий шаг в этом направлении был сделан в работах Пастухова (см. [4], [5] и [6]), где приводится строгая математическая формализация построений Каги и Ренко, а также проводится статистический анализ соответствующих стратегий.

С моделями Каги и Ренко связаны трейдинговые стратегии, исследование которых является центральной задачей, рассматриваемой в настоящей диссертации. Основная идея стратегий Каги и Ренко состоит в том, что решения о продаже или покупке актива принимаются только в моменты смены тренда (далее определяемые как моменты Каги и Ренко), которые, в свою очередь, определяются как моменты, когда отклонение цены от тренда превышает определенный порог. Этот подход позволяет акцентировать внимание инвестора только на достаточно больших колебаниях цены. Стратегии Каги и Ренко ориентированы на получение прибыли на разнице в цене в начале и конце тренда, сигналы к смене которых поступают в моменты Каги и Ренко. Иными словами, на каждом шаге инвестор продает разницу в начале и конце восходящего тренда и покупает разницу посредством короткой продажи между началом и концом нисходящего тренда, надеясь на то, что эта разница будет отрицательной.

Основной критикой технического анализа в целом и рассматриваемых в настоящей работе методов Каги и Ренко в частности является их слабая теоретическая обоснованность. Поэтому главной целью настоящей диссертации является исследование данных методов теоретического характера. В рабо-

те с помощью методов теории вероятностей дается теоретическое обоснование прибыльности стратегий Каги и Ренко на примере наиболее известных в финансовой математике моделях. Основным критерием, по которому тестируются стратегии, является математическое ожидание прибыли на некотором временном интервале. Кроме того, в работе приводятся выражения для конечномерных распределений процесса цены в моменты принятия решений (моменты Каги и Ренко), позволяющие вывести закон распределения прибыли, преобразование Лапласа для моментов Каги и Ренко, а также общая методология исследования данных методов для произвольной модели для процесса цены.

В диссертации получены следующие основные результаты:

• Получены выражения для математических ожиданий прибыли стратегий Каги и Ренко, и проведен качественный анализ полученных ответов для классических моделей финансовой математики.

• Получены выражения для преобразований Лапласа для моментов времени Каги и Ренко, позволяющие обобщить выражения для ожидаемой прибыли на случай произвольного временного интервала.

• Получены явные выражения для конечномерных распределений процесса цены в моменты Каги и Ренко, позволяющие найти распределение прибыли стратегий Каги и Ренко.

Все основные результаты работы являются новыми. Также в настоящей работе детально исследованы вопросы, касающиеся величин "размаха" и "падения" для наиболее известных в финансовой математике дискретных и непрерывных случайных процессов. В разных вариантах эти результаты частично были получены ранее (см. [14], [12], [18], [17]), некоторые результаты являются новыми.

Отличительной особенностью полученных результатов является то, что, несмотря на несколько отличные подходы к построению сигналов о смене тренда и трейдинговых стратегий, качественно методы Каги и Ренко приводят к одному и тому же результату. Изучение свойств моментов Каги связано со свойствами процесса supX — X, где X является процессом цены, в то время как построение Ренко основывается на модуле процесса цены Связь между этими процессами была установлена в известной Теореме Леви о совместном распределении (sup В—В, sup В) (см. [23], [1]), которая в рамках рассматриваемых в данной работе гауссовских моделей объясняет полученную связь между методами Каги и Ренко. Кроме того, в явном виде установлена

зависимость прибыли от стратегий Каги и Ренко от степени "направленности" рынка, и в явном виде продемонстрировано, что стратегии Каги и Ренко являются прибыльными на рынках, для которых характерны продолжительные восходящие или нисходящие тренды.

По теме диссертации автором опубликовано четыре работы. Результаты работы докладывались автором на научных семинарах и конференциях:

• Семинар "Случайные процессы и стохастический анализ и теория мартингалов" под руководством член-корр. РАН, проф. А.Н. Ширяева механико-математический факультет, МГУ им. М.В. Ломоносова, неоднократно в 2008- 2011гг.

• "Большой семинар кафедры теории вероятностей", рук. Ширяев А. Н., механико-математический факультет, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2011 г.

• "Visions in Stochastics", международный симпозиум, Москва, МИ АН им. В. А. Стеклова РАН, 2010 г.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Во введении кратко говорится о происхождении и применении построений Каги и Ренко на практике, объясняется актуальность исследования этих методов инструментами теории вероятностей и теории случайных процессов. Приводится краткий обзор диссертации. В первой главе дается определение моментов времени Каги и Ренко, а также определение соответствующих им стратегий, используемых на финансовых рынках. Дается строгая математическая формализация построений Каги и Ренко. Формулируются основные задачи и цели исследования. Во второй главе рассматриваются методы решения в общем случае, когда процесс цены представляет собой марковский процесс. Находятся основные вероятностные характеристики, связанные с процессом цены, необходимые для решения задачи поиска математического ожидания прибыли от стратегий Каги и Ренко, а также задач поиска распределений моментов Каги и Ренко и конечномерных распределений процесса цены в эти моменты времени. В некоторых частных случаях указывается явный вид для преобразования Лапласа для моментов Каги и Ренко, а также явный вид для конечномерных распределений процесса цены в эти моменты времени. В третьей главе рассматриваются свойства метода Каги на примере конкретных моделей для процесса цены, используемых в финансовой математике. Для случая дискретного времени приводятся решения в явном виде для модели со случайным блужданием и биномиальной модели. Для непрерывного

времени приводится способ решения в случае, когда процесс цены является однородным диффузионным процессом, дается явный вид решения для случая броуновского движения, а также качественное исследование стратегии Каги для случая геометрического броуновского движения. В четвертой главе рассматриваются свойства метода Ренко на примере моделей для процесса цены, используемых в третьей главе. Для случая дискретного времени все ответы приводятся в явном виде. Для случая непрерывного времени приводится способ решения в случае, когда процесс цены является однородным диффузионным процессом, дается явный вид решения для случая броуновского движения, а также качественное исследование стратегии Ренко для случая геометрического броуновского движения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Спиряев, Максим Александрович, 2011 год

Список литературы

Булинский A.B., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. ФИЗМАТ-ЛИТ, Москва, 2005

Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов., Наука, Москва, 1975.

Дуади Р., Йор М., Ширяев. А.Н.О вероятностных характеристиках величин "падения" в стандартном броуновском движении ТВП, 44:1 (1999), 3-13

Пастухов C.B. О некоторых вероятностно-статистических методах в техническом анализе. ТВП, 49:2(2004), 297-316.

Пастухов C.B. Об Н-волатильности в финансовой математике. Успехи мат. наук, 58:1 (2003), 191-192

Пастухов C.B. О некоторых вероятностно-статистических методах в техническом анализе. Дис. канд. физ-мат. наук. Москва. 2004. 104 с.

Спиряев М.А. О некоторых свойствах стратегий Каги и Ренко для случайного блуждания. ТВП, 56:2(2011), 279-300.

Спиряев М.А. О некоторых свойствах стратегий Каги и Ренко для броуновского движения. Вестн. Моск. ун-та, серия 1, Мат. Мех. №2 (2012), 28-33.

Спиряев М.А. Свойства моментов Каги и Ренко для однородных диффузионных процессов. Матем. заметки, 91:2 (2012), 270-284.

Спиряев М.А. О некоторых свойствах стратегий Каги и Ренко для модели Блэка-Шоулза. Обозрение прикл. и промышл. матем, 18:5 (2011), 693-710.

Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Фазис, Москва, 1998.

[12] Ширяев А.Н. О мартингальных методах в задачах о пересечении границ броуновским движением МИАН, Москва, 2007, вып. 8.

Ширяев А.Н. Вероятность. МЦНМО, Москва, 2004

Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. МИР, Москва, 1964

Bensignor R. New thinking in Technical Analysis: Trading models for the masters. Bloomberg Press, Princeton, 2000

Billingsley P. Convergence of Probability Measures. John Wiley & Sons, New York, 1968

Cherny A., Dupire B. On Certain Distributions Associated with the Range of Martingales, Springer Berlin Heidelberg, 2010

Lehoczky J.P. Formulas for stopped diffusion processes with stopping times based on the maximum., Ann. Probab, 5:4 (601-607), 1977

Nison S. Beyond candlesticks: new Japanese charting techniques revealed. Wiley, New York, 1994.

Nison S. Japanese Candlestick Charting Techniques: A Contemporary Guide to the Ancient Investment Techniques of the Far East, New York Institute of Finance, New York, 1991.

Nison S. The candlestick course Wiley, New Jersey, 2003.

Peskir G., Shiryaev A. Optimal stopping and free-boundary problems Birkhauser Verlag, Basel-Boston-Berlin, 2006.

[23] Revuz D, Yor M. Continuous martingales and Brownian motion. Grundlehren Math. Wiss., 293, Springer-Verlag, Berlin, 1994