Об одном классе квазилинейных эволюционных уравнений и их приложениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Кучакшоев, Холикназар Соибназарович

• Кучакшоев, Холикназар Соибназарович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кучакшоев, Холикназар Соибназарович

Введение

1 Нелинейные эволюционные уравнения с аккретивными операторами

1.1 Основные определения и предварительные результаты

1.2 Аккретивность и двойственность.

1.3 Основные теоремы.

1.4 Возмущения т - аккретивных операторов.

1.5 О модифицированных системах хемотаксиса.

2 Автомодельные решения системы Келлера-Сиджела

2.1 Глобальное решение по времени в п-мерном случае

2.2 Решение с обострением в п-мерном случае

2.3 Ограниченные решения типа бегущей волны системы хемотаксиса в одномерном случае.

3 Разностные схемы для задачи Дирихле и Неймана системы Келлера-Сиджела

3.1 Основные понятия и утверждения.

3.2 Разностная схема для задачи Дирихле системы Келлера-Сиджела.

3.3 Разностная схема для задачи Неймана системы Келлера-Сиджела.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об одном классе квазилинейных эволюционных уравнений и их приложениях»

Работа посвящена теории эволюционных уравнений с нелинейными аккретивными операторами и ее приложений к разрешимости начальных и начально - краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Эволюционные уравнения с аккретивными операторами составляют раздел современного нелинейного функционального анализа и естественным образом возникают в процессе изучения разрешимости абстрактной начальной задачи Коши. Основным методом исследования является метод нелинейных полугрупп операторов. Указанный метод позволяет расширить класс рассматриваемых монотонных нелинейных уравнений на случай банаховых пространств.

В качестве приложения абстрактных результатов рассматриваются начальные и начально - краевые задачи для системы уравнений модели хемотаксиса.

Нелинейные абстрактные эволюционные уравнения и их приложений к конкретным задачам для дифференциальных уравнений в частных производных рассматривались в работах Красносельского М.А., Соболевского П.Е.[10], Вишика М.И.[1], Браудера Ф.Е.[39], Танабе Г.[68], Соболевского П.Е.[27], Брезиса Х.[37], Крендалла М.[44], Лионса Ж.-Л.[18], Яги А.[70], Карсатоса А.Г.[52], Лаптева И.Г.[3], Самойленко A.M., Илолова М.[25] и др. Метод нелинейных полугрупп операторов для эволюционных уравнений в банаховом пространстве впервые рассматривается в работе Като Т.

В настоящей работе вводятся новые классы эволюционных уравнений, обобщающие уравнения изученные ранее вышеназванными авторами и позволяет найти качественно новые приложения. Для простейшей модели хемотаксиса в работах Пертоме Б. [67] и других исследователей найдены глобальные решения соответствующей системы уравнений. В случае нелинейной диффузии установлены условия существования решений с обострением (blow-up). Отдельно изучается явление коллапса решений для модели хемотаксиса. Построены автомодельные решения системы Келлера-Сиджела. Автомодельные (инвариантные) решения являются не просто частными решениями, появляющимися по счастливому стечению обстоятельств. Во многих случаях они служат своеобразными "центрами притяжения" широкого множества решений этих уравнений, а также большого класса других параболических уравнений, полученных за счет "нелинейных возмущений" исходного (Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П.[23]). Для задач Дирихле и Неймана системы Келлера-Сиджела в одномерном случае построены разностные схемы и найдены условия монотонности, устойчивости и единственности решений.

Приводим краткое содержание диссертации с указанием основных результатов.

Первая глава состоит из пяти параграфов и посвящена исследованию разрешимости задачи Коши для нелинейных эволюционных уравнений с аккретивными операторами в банаховом пространстве и её приложений к конкретным начальным и начально-краевым задачам.

В первом параграфе первой главы приводятся определения нелинейного аккретивного оператора в банаховом пространстве, нелинейной полугруппы операторов и отображения двойственности.

Во втором параграфе первой главы приводятся различные утверждения об отображениях двойственности и аккретивности.

В третьем параграфе первой главы сформулированы и доказаны основные теоремы о решениях абстрактной начальной задачи Коши.

Рассмотрим в банаховом пространстве X начальную задачу вида где неизвестная функция х({) некоторая Х- значная функция, а семейство нелинейных операторов задано на множестве В{А(1)) с

X, принимает значения из множества Я(А(1)) С X и удовлетворяет следующим предположениям:

А1. Область определения Б оператора А({) не зависит от

А2. Существует постоянная Ь, такая что для всех у е -О и 5 , £ е [О, Т] + A(t)x — 0,0 < i < Т, dt я(о) = х0, х0 е х, dt

1) (2)

Теорема 1.3.1. Предположим, что X* равномерно выпуклое и условия АЗ выполнены. Тогда для каждого xq 6 D существует

Х-значная функция x(t) на [О, Т], которая удовлетворяет уравнению (1) с начальным условием (2) в следующем смысле: a) x(t) равномерно непрерывно в смысле Липшица и х(0) = b) x(t) Е D для каждого t е [0,Т]; c) слабая производная x(t) существует для всех t £ [О, Т] и равна A{t)x(ty, d) x(t) является неопределённым интегралом от интегрируемой по Бохнеру функции A(t)x(t), так что сильная производная от x(t) существует почти везде и равна —A{t)x{t).

Теорема 1.3.2. Пусть выполнены предположения теоремы 1.3.1. И пусть x(t) и y(t) удовлетворяют условиям а),Ь),с) с начальными условиями :г(0) = хо и у{0) = ?/о, где яо, yo G D(A(t)).

Тогда ||z(¿) - y(t)\\ < \\xQ - у0|| для всех t 6 [О,Т].

Теорема 1.3.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.3.1 и пусть дополнительно, пространство X равномерно выпуклое. Тогда сильная производная — = — A(t)x(t) существует и сильно непрерывна за исключением счётного числа значений t.

Замечание 1.3.1. В случае когда A{t) = А, приведённые выше теоремы представляют собой частичное обобщение теоремы Хилле-Филлипса-Иосида на нелинейный случай. В этом случае Т > 0 произвольное число и подставляя x(t) = T(t)xо, находим семейство {T(t),0 < t < оо} нелинейных операторов (T(í)}, действующих из D{A) в D(A).

Очевидно, что (T(í)} образует полугруппу генерируемой посредством оператора А. Эта нерастягивающая полугруппа на D(A) и она удовлетворяет условию

T(t)x0 - T(t)y0\\ < \\х0~у0\\.

Полугруппа T(t) может быть расширена по непрерывности до нерастяги-вающей полугруппы на замыкание [D(A)).

Однако, необходимо заметить, что нельзя при этом доказать сильную дифференцируемость T(t)xо при t = 0 для всех Е D(A).

В четвертом параграфе первой главы приведены примеры нелинейных аккретивных операторов.

В пятом параграфе первой главы исследуется модифицированная система Келлера-Сиджела.

Рассматривается задача нахождения функций (и, у) - решений системы уравнений хемотаксиса с нелинейной диффузией концентрации хеморецеп-торов вида ди(х, ¿) дЬ ду{х^) т Аи- xV(г¿Vг^),:г вП^>0, = V(^Vv^p-2Vv) + и, х е П,г > о, с граничными условиями типа Неймана ди дь ОТ] ОТ]

3)

4)

5) где 7] - единичная внешняя нормаль к дО, - граница области Г2 С Яп, и начальными условиями и(х, 0) = щ(х),у(х, 0) = Уо(х), а; е О, £ > 0,

6) где щ(х),уо(х) е ь2(п).

В задаче (3)-(6) заданное число р > 2.

Замечание 1.5.1. В случае р = 2 система (3)-(6) является системой Келлера- Сиджела.

Имеет место утверждение. ди ди

Теорема 1.5.1. Предположим, что и,—,

С/ С где 1р удовлетворяет условию дх;

Ф е и(П),-ф(х) > о при х е П, ф = 0 па и = 0 на дП.

Тогда существует, и притом единственная функция у, обладающая следующими свойствами у е 2/(о, Г; у е Ь2(П), о / оу 2 0у\ ^ ^ дх^ V ¿Ь^ / ' ' '

Л еЬ2(П),У»,

1 /

9х и удовлетворяющая уравнению (4).

Вторая глава диссертации посвящена автомодельным решениям простейшей модели хемотаксиса системы Келлера-Сиджела.

В первом параграфе второй главы рассматривается п— мерный случай системы Келлера-Сиджела ди = Аи - xV • {uVv),x € Rn,t> О,

Av =-и, хе Rn, t > 0, (7) ií(0,ar) = щ(х) >0,xe Rn.

Автомодельные решения системы (7) рассматриваются для случаев глобального решения по времени и решение с обострением. Сначала устанавливается утверждение леммы 2.1.1 об инвариантности системы (7) относительно преобразований t х и t —, х -—Tz, и —-—, V-+V, xeRn,k> 0, т G R.

Затем устанавливается следующая теорема.

Теорема 2.1.1. Система (7) допускает автомодельные решения вида v(x,t) =p(f), п где х в Rn, t > О, Т0 > 0, £ = (^x^/y/t + ТЪ, и 0(£), /?(£) - дважды i=i непрерывно дифференцируемые неотрицательные функции.

В случае решения с обострением или явления "blow-up" в п— мерном случае для системы Келлера-Сиджела (7) доказана следующая теорема. Теорема 2.1.2. Система (7) допускает автомодельные решения вида v(x,t) =р(£), п где х G Rn, t < Tq, Tq = const, £ = i

В третьем параграфе второй главы рассматривается одномерный случай простейшей системы хемотаксиса

Ц = ихх- x(uvx)x, X в R,t> 0, Vxx = —и, х G R, t > 0.

Сначала рассматриваем только систему (8), не формулируя для неё конкретную задачу. Из системы (8), в частности, получим следующее уравнение = У2х + д{1), (9) где -произвольная функция аргумента I. Имеет место следующая лемма.

Лемма 2.3.1. Уравнение (9) можно получить из линейного уравнения теплопроводности

Щ = ыхх, (10) преобразованием Хопфа-Коула w(x,t) = е 2 v(x,t)-f(t)) где f'(t) = g(t).

Теорема 2.3.1. Если w(x,t) > 0 любое неотрицательное решение уравнения (10), то 2 v(x,t) — f(t)--In w(x,t),

УС где f'{t) = g(t), является решением уравнения (9).

Основным результатом третьего параграфа второй главы является следующая теорема.

Теорема 2.3.2. Пусть f(t) - дифференцируемая функция, w(x, t) > 0 - решение уравнения (10), тогда +\ 2 wxx(x, t)w{x, t) - W2X(X, t) UL (ОС j t J — x w2(x,t)

In v(x,t) = f(t) - Jinw(x,t), является решением системы (8).

В третьем параграфе второй главы также выписаны в явном виде частные ограниченные решения типа бегущей волны для системы (8).

Третья глава состоит из трех параграфов, и в ней рассматриваются разностные схемы для задачи Дирихле и Неймана системы уравнений Келлера-Сиджела в одномерном случае. Исследованы устойчивость, монотонность и единственность решения разностных схем, аппроксимирующие соответствующие дифференциальные задачи и приведены алгоритмы решения разностных задач.

В первом параграфе третьей главы приведены основные понятия и вспомогательные леммы теории разностных схем.

Во втором параграфе третьей главы рассматривается задача Дирихле для системы Келлера-Сиджела и) = -u(t,x),x е (0,1 ),t е (0,Т], (12) и(0,ж) = u0{x),u{t,0) = <p{t),u{t,l) =ф{г),х е [0,l],i 6 (О,Т], (13) v{t,0)=fi(t),v(t,l) = i/(t),t G (0,Т], (14) где начальная функция ио(ж) и функции tp(t), /¿(t), неотрицательны.

Чтобы построить разностную схему для задачи (11)-(14) предположим, что функции u(t,x) и v(t,x) достаточно гладкие.

Введём на [0,1] х [О, Т] равномерную сетку с шагом h по переменной а; и с шагом г по переменной t, то есть wa = {xj = jh,j = 0,N, hN = 1}, ojy = {tn = пт, n — О,., К, ifr = Г}.

Будем обозначать через у] = y(nr,jh),j = 0,N, п = 0,К, $ = ¿(пт, jTi), j = 0,iV,n = 0,., К, приближённое решение задачи (11)-(14).

Для оценки сеточной функций zj = у1- — и7- на сетке WhT используем следующую норму

Нем = \\zn\\cM (15) где zn\\c(wh) = max ^ ; о<j<Ni 3

Введём следующие обозначения h2 п ЧZL ■ »3+1 ,1бч > yxx,j ~~ ' V '

Используя обозначения (16), (17), заменим задачу Дирихле (11)-(14) разностной схемой п+1 , п+1 ?.П п+1 У3+1 ^ у3 п+1 , у и - Ухх,э X х>3

Х = 1,-,АГ- = 1, (18)

Уо+1 = = ^(¿п+1),« = 0,А- - 1, (19) = (20) У^),= 1, АГ - 1, п = 0,., X - 1, (21) К*п+1), п = 0,., К- 1. (22)

Имеет место следующая теорема.

Теорема 3.2.1. При достаточно гладких функциях г) и г>(£,ж) разностная схема (18)-(22) аппроксимирует задачу (11)-(Ц) с первым порядком по т и вторым порядком по к в норме (15).

Основным результатом второго параграфа третьей главы является следующая теорема.

Теорема 3.2.2. Разностная схема (18)-(22) монотонна, устойчива и имеет единственное решение при условии

А\см < ^

Разностную задачу (18)-(22) можно решить методом прогонки на каждом слое.

Теорема 3.2.3. Метод прогонки устойчив для разностной схемы (18)-(22) при условии

А\с{шНг) < ^

7 - т

Третий параграф третьей главы посвящён разностной схеме для задачи Неймана системы Келлера-Сиджела в одномерном случае. Рассмотрим задачу Неймана для системы Келлера-Сиджела ди{р, х) х) дх ж=о дх 0,«€(0 ,Т] (24) х=\ и{х, 0) = щ{х) > 0, х е [0,1], (25) = -и(^х),х е (0,1),* е (о, т], (26) дх 0,*е(0 ,Т], (27)

Х=1 где функции ж), и начальная функция мо(:с) достаточно гладкие.

Чтобы построить разностную схему для задачи (23)-(27) введём на [0,1] х [0, Т] равномерную сетку Ш}1Т с шагом к по переменной х и шагом т по переменной

Разностные уравнения, аппроксимирующие соответствующие дифференциальные уравнения в задаче Неймана, во всех внутренних узлах сетки Шкг будут такими же, как в случае задачи Дирихле (11)-(14). И как известно из теоремы 3.2.1 эти разностные уравнения аппроксимируют соответствующие дифференциальные уравнения с порядком 0(т + К2). Чтобы сохранить такой же порядок аппроксимации при замене условий Неймана соответствующими разностными выражениями, используем метод фиктивных точек.

Введём вне отрезка 0 < х < 1 фиктивную точку х\ = хо — /г и будем считать исходное уравнение справедливым при Х-\ < х. Тогда при х =

0, заменяя в условиях Неймана производные симметричной разностью, из разностных уравнений (18),(21) при j = 0, получим соответствующие разностные уравнения с порядком аппроксимации 0(т + к2).

Чтобы сохранить порядок аппроксимации 0(т+/г2) при замене условий Неймана в точке х = 1, соответствующими разностными выражениями введем вне отрезка 0 < х < 1 фиктивную точку $N+1 = ждг + /г и будем считать исходное уравнение справедливым при хм+1 > Тогда при х —

1, заменяя в условиях Неймана производные симметричной разностью, из разностных уравнений (18),(21) при j = N, получим соответствующие разностные уравнения с порядком аппроксимации 0(т + К2).

Разностная схема, аппроксимирующая задачу Неймана (23)-(27) с порядком 0(т + /г2), имеет следующий вид уП+1 + уП+1

П+1 I п+1

Х = 1.= 0.1С-1, (28)

2/0п+1 - Уо 2(У1+1 - Уо+1) т

Н2

Уоп+1 + - п = 0} .,К — 1, (29) у^1)- п = о,А' - 1, (30)

-\{Уи + у^х),.7 = 1, АГ - 1, п = 0,К - 1, (31) гп+1 ¿п+1 = п = о,^ 1, (32)

- = = О, .,К- 1. (33)

Теорема 3.3.2. Разностная схема (28)-(33) монотонна, устойчива и имеет единственное решение при условии г. п+1 xx,]

Ыс(шНт) < \|М1с(ЫЛт) < Ту тх

В третьем параграфе третьей главы рассматривается также и схема с направленной разностью для задачи Дирихле и Неймана системы Келлера-Сиджела.

В выражение ух(^,х)их{Ь,х) функцию их^,х) представим в виде суммы их(Ь,х) = у~(Ь,х) + я), где ^ у~(Ь,х) = ~{ух{г,х) - К(М)|) < о, \ух(Ь,х)\) > 0.

Вследствие этого в точке (£п+1, заменим дифференциальное выражение ух(Ь,х)их{Ь,х), разностным выражением п+1 , |~п+1| п+1 |~п+1| х,з ' п+1 , '¿-,3 ' 1 п+1

2 У 2 ^ '

В этом случае разностная схема, аппроксимирующая задачу Дирихле (11)-(14) с первым порядком по г и вторым порядком по И, имеет следующий вид

1 + 27 + ТХЗГ1)У?" - (т+ fтЩ1 ~

- (7 - ^ + = у?,з = 1, - N - 1, п - 0,К - 1, (34) у%+1 = = ф(гп+1 ),п = 0,А- - 1, (35)

36)

37) М^тн-0,= ^п+х), П = 0,., ЯГ - 1. (38)

Для задачи Неймана (23)-(27) получим следующую разностную схему с порядком аппроксимации 0(т + /г2)

1 + 27 + 1ХИТ1)уТ1 - (7 + ^ЦИ

- (7 - + ^Т1)У1Х1 = У?, 1 = -> ^ - 1.« = 0,. к - 1, (39)

1 + 27 + 27Х^+1)у£+1 - 27^+1 = $,п = 0,А" - 1, (40)

1 + 27 - 27Х^+1)^+1 - 2- п = 0,X - 1, (41) 0, (42)

43)

1 1 ип (44)

- = = 0, * - 1, (45) где г

Л*' п+1 з - гз гз-1 ' £П+1 „П+1 О „п+1 I -П+1

Условий монотонности, устойчивости и единственности решений разностных схем (34)-(38) и (39)-(45) одни и те же. Поэтому сформулируем только одну теорему.

Теорема 3.3.9. Разностная схема (34)-(38) монотонна, устойчива и имеет единственное решение при условии

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кучакшоев, Холикназар Соибназарович, 2012 год

1. Вишик М.А. О разрешимости краевых задач для квазилинейных параболических уравнений высших порядков // Матем. сб., 1962, 50(доп.), с.289-325.

2. Забрейко П.П., Короц Ю.В. Об одной модификации теоремы Минти -Браудера // Докл. HAH Беларуси, 2011, т.55, №5, с.22-28.

3. Лаптев И. Г. Возрастающие монотонные операторы в банаховом пространстве // Математичекие заметки, 2002, т.71, №5, с.214-227.

4. Илолов М. Динамические системы для нелинейных эволюционных уравнений. Современные проблемы математики и её приложения. Материалы межд. науч. конф., поев. 70-летию чл.корр. АН РТ Мухаммадиева Э.М., Душанбе, 2011г., с.47-50.

5. Илолов М., Кучакшоев Х.С., Гулджонов Д.Н. Параболические уравнения с аккретивными операторами // ДАН Республики Таджикистан, 2008, т.51, №12, с.795-801.

6. Илолов М., Кучакшоев Х.С. Об абстрактных уравнениях с неограниченными нелинейностями и их приложениях / / Доклады Академии наук, 2009, т.428, №3, с.310-312.

7. Илолов М., Кучакшоев Х.С. Уравнения с аккретивными операторами. Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы межд. науч. конф., поев. 70 летию академика В.А.Садовничего. - Москва, 2009г., с.152.

8. Илолов М., Кучакшоев Х.С. О модифицированных системах уравнений хемотаксиса // ДАН Республики Таджикистан, 2010, т.53, №3, с. 165-172.

9. Илолов М., Кучакшоев Х.С. Нелинейная диффузия и хемотаксический коллапс // ДАН Республики Таджикистан, 2011, т.54, №11, с.873-879.

10. Красносельский М.А., Соболевский П.Е. Дробные степени операторов, действующих в банаховых пространствах // ДАН СССР, 1959, т.129, с.499-502.

11. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.:Наука, 1966, 499 с.

12. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.:Наука, 1967, 464 с.

13. Кучакшоев Х.С. Разностные схемы для задачи Дирихле системы хемотаксиса // ДАН Республики Таджикистан, 2009, т.52, №11, с.838-847.

14. Кучакшоев Х.С. Автомодельные решения системы уравнений Келлера-Сиджела // ДАН Республики Таджикистан, 2010, т.53, №6, с.424-431.

15. Кучакшоев Х.С. Ограниченные решения типа "бегущей волны" и некоторые частные решения системы Келлера-Сиджела // ДАН Республики Таджикистан, 2011, т.54, №8, с.610-617.

16. Кучакшоев Х.С., Гулджонов Д.Н. Разностные схемы для задачи Неймана системы хемотаксиса. Современные проблемы математического анализа и их приложений. Материалы межд. науч. конф., поев. 60-летию академика Бойматова К.Х., Душанбе, 2010г., с.59-60. г

17. Кучакшоев Х.С., Гулджонов Д.Н. Автомодельные решения системы уравнений хемотаксиса. Современные проблемы математики и её приложения. Материалы межд. науч. конф., поев. 70-летию чл.корр. АН РТ Мухаммадиева Э.М., Душанбе, 2011г., с.59-60.

18. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.:Мир, 1972, 587 с.

19. Мамедов Я.Д. Односторонние оценки в условиях исследования решений дифференциальных уравнений в Банаховых пространствах. -Элм, 1971, 117 с.

20. Мельникова И.В., Альшанский М.А. Абстрактная задача Коши // Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Дифференц.уравнения М.: ВИНИТИ, 1999, 100 с.

21. Ниренберг JI. Лекции по нелинейному функциональному анализу. -М.:Мир, 1977, 232 с.

22. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.:Наука, 1989, 430 с.

23. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.:Наука, 1987, 480 с.

24. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.:Наука, 1977, 656 с.

25. Самойленко A.M., Илолов М. К теории неоднородных по времени эволюционных уравнений с импульсным воздействием // Докл АН СССР, 1991, т.316, №4, с.822-825.

26. Самойленко A.M., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. М.:Высшая школа, 1989, 383 с.

27. Соболевский П.Е. О коэрцитивной разрешимости разностных схем // Докл.АН.СССР, 1971, т.205, №5, с.1063-1066.

28. Тупчиев В.А, Фомина Н.А. О корректности двумерной краевой задачи для системы уравнений хемотаксиса / / Математическое моделирование, 2001, 13, 2, с.95-106.

29. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами. М.:Наука, 1990, 536 с.

30. Хилле Э., Филлипс П. С. Функциональный анализ и полугруппы. -М.:ИЛ, 1962.

31. Adler J., Chemotaxis in Bacteria // Ann.Rev.Biochem., 1975, 44, p.341-356.

32. Alt W., Hoffmann G. Biological motion // Lecture Notes in Biomath. -Springer-Verlag, 1989, 89.

33. Balakrishnan V. Fractional powers of closed operators and the semigroups generated by them // Pacific.J.Math. 1960, 10, p.419-437.

34. Berg H.C. Random Walks in Biology // Princeton University Press, 1993, p.164.

35. Biler P., Nadzieja T. Global and exploding solutions in a model of self-gravitating systems. Preprint 2002.

36. Biler P., Nadzieja T. A class of nonlocal parabolic problems occurring in statistical mechanics // Collor.Math., 1993, 66, p.131-145.

37. Brezis H., Nirenberg L. Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents // Comm.Pure Appl.Math., 1988, 36, p.437-477.

38. Brenner M.P., Levitov L., Budrene E. V. Physical mechanisms for chemo-tactic pattern formation by bacteria // Biophys.J.,1995, 74, p.1677-1693.

39. Browder F.E. Semicontractive and nonlinear mappings in Banach spaces // Bull.Am.Math. Soc.,1968, 74, p:660-665.

40. Childress S. Chemotactic collapse in two dimensions // Lecture Notes in Biomath. Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1984, 55, p.61-66.

41. Cohen M.A., Robertson A. Chemotaxis and the early stages of aggregation in cellular slime mould's // J.Teor.Biol 1971, 31, p.119-130.

42. Cole, J. D. On a quasi-linear parabolic equation occurring in aerodynamics // Quart. Appl.Math., 1951, v.9, №3, p.225-236.

43. Corrias L., Perthame B., Zaag H. A Chemotaxis model motivated by angiogenesis // C.R.Acad.Sci.Paris, 2003, Ser. I, 336, p.141-146.

44. Crandell M. G., Evans L. C. On the relation of the operator ^ + ^ to evolution governed by accretive operators // Israel J.Math., 1975, 21, p.640-665.

45. Dolbeault J., Perthame B. Optimal critical mass in two dimensional Keller-Segel model in R2 // C.R.Math.Acad.Sci.Paris, 2004, 339, p.611-616.

46. Fitzgibbon W.E., Proc.Amer.Math. Soc., 1974, 44(2), p.359-364.

47. Forsythe G.E., Wasow W.R. Finite-Difference Methods for Partial Differential Equations., Yohn Wiley and Sons, Inc., New-York-London, 1960.

48. Herrero M.A., Medina E., Velázquez J.J.L. Finite time aggregation into a single point in a reaction-diffusion system // Nonlinearity, 1970,10, p. 17391754.

49. Hillen T., Potapov A. The one-dimensional Chemotaxis model: global existence and asymptotic profile // Math. Meth. Appl. Sei, 2004, 27, p. 1783-1801.

50. Hortsmannn D. From 1970 until present: the Keller-Segel model in Chemotaxis and its consequences. Max-Planc-Institute Preprint,2003.

51. Jager W., Luckhaus S. On explosion of solutions to a system of partial differential equations modeling Chemotaxis // Trans. Amer. Math. Soc., 1992, 329, p.819-824.

52. Karsatos A.G. Perturbations of M-accretive operators and quasi-linear equations // J.Math.Soc.Japan 1978, v.30, №1, p.75-84.

53. Kato T. Nonlinear semigroups and evolution equations // J.Math.Soc.Japan, 1967, 19, p.503-520.

54. Kenmochi N. Accretive mappings in Banach spaces // Hiroshima Math. J., 1972, 2, p.163-177. J.Math.Soc. Japan, 1978, v.30, №1, p.163-177.

55. Keller E.F., Segel L.A. Initiation of slime mold aggregation viewed as instability // J.Theor.Biol.,1970, 26, p.399-415.

56. Keller E.F., Segel L. J.Theor. Biol., 1971, 30, pp.235-248.

57. Kobayashi Y. Product formula for nonlinear contraction semigroups in Banach spaces // Hiroshima Math.J., 1987, 17, p. 129-140.

58. Komura Y. Nonlinear semi-groups in Hilbert space // J.Math.Soc. Japan, 1967, 19, p.493-507.

59. Nagai T., Senba T., Yoshida K. Application of the Trudinger-Moser inequality to a parabolic system of Chemotaxis // Funk. Ekvacioj. 1997, 40, p.411-433.

60. Nagai T. Blow-up of radially symmetric solutions to a Chemotaxis system // Adv.Math.Sci.Appl., 1995, 5, p.581-601.

61. Nagai T., Senba T., Yoshida K. Punk.Ekvacioj, 1997, 40, p.411-433.

62. Nagai T., Senba T. Global existence and blow-up of radial solutions to a parabolic-elliptic system of Chemotaxis // Adv.Math.Sci.,Appl., 1998, 8, p.145-156.

63. Nanjundiah V. Chemotaxis, signal relaying, and aggregation morphology //J. Theor. Biol., 1973, 42, p.63-105.

64. Okazawa N., Yokoma T. Perturbation theory for m-accretive operators and generalized complex Ginzburg-Landau equations // J.Math.Soc. Japan, 2002, v.54, №1, p.2-19.

65. Pasquet M. at all. Hospicells (ascites-derived stormal cells)promote tu-morigenicity and angiogenesis // Jnt. J. Cancer, 2010, 126, p.2090-2101.

66. Patlak C.S. Random walk with persistence and external bias // Bull.Math.Biophys., 1953, 15, p.311-338.

67. Perthame B. PDE models for chemotactic movements. Parabolic, hyperbolic and kinetic // Appl.Math., 2004, №6, p.1-28.

68. Tanabe H. Evolution equations of parabolic type // Proc.Japan Acad., 1961, 37, p.365-413.

69. Yagi A. Abstract Parabolic Equations and their Applications -Berlin: Springer Verlag., 2010, p.581.

70. Yagi A. Norm behavior of solutions to the parabolic system of Chemotaxis // Math. Japonica, 1997, 45, p.241-265.