Об одном методе исследования уравнения Хилла тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Карасаев, Ишен Карасаевич

• Карасаев, Ишен Карасаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Карасаев, Ишен Карасаевич

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава I. Исследование уравнения Хилла методом поляризации

1.1 Обзор исследований уравнения Хилла

1.20 разрешимости уравнения Хилла в критическом случае

1.3Преобразование характеристического уравнения

к каноническому виду

Г лава II. Характеристические показатели Ляпунова и их интервалы

изменения

2.1 Расположение на комплексной плоскости корней промежуточног о

(характеристического) уравнения

2.2Характеристические показатели Ляпунова и интервалы их

изменения

2.3Построение фундаментальной системы решений уравнения

Хилла

Примеры применения

Заключение

Список использованных источников

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об одном методе исследования уравнения Хилла»

ВВЕДЕНИЕ

Уравнение вида

(0.1)

где a(t) непрерывная периодическая функция, в математике принято называть уравнением Хилла. Оно в следующем частном виде:

где а0 ф 0,о,,<7,,...- известные постоянные и ряд со$2т абсолютно

сходится, встречается в мемуарах Хилла, опубликованных в 1877 году,

посвященных исследованию движения Луны. Уравнение (0.1) в следующем виде

было рассмотрено Матье еще в 1868 году в связи с изучением колебаний эллиптической мембраны. Со времен Хилла и Матье уравнение (0.1) в том или ином частном виде исследовались многими авторами (X. Кох, Н. Е. Кочин, А. Пуанкаре, Г. В. Бондаренко, А. П. Проскуряков, В. Ф. Журавлев, К. Г. Валеев, В. В. Болотин и др.) в связи с решением физических, технических и астрономических задач. Поскольку эти задачи были прикладного характера и в связи с отсутствием теоретически разработанного метода решения уравнения Хилла, авторы ограничивались построением приближенных решений, которые в том или ином смысле удовлетворяли потребности практики. Например, Хилл для решения астрономической задачи ограничивался использованием значения определителя лишь третьего порядка, составленного из центральных строк и столбцов бесконечномерного определителя.

Согласно теории Флоке решение уравнения (0.1) имеет вид:

+ (Я + а со s 21) х - 0,

да

*(0 = (0-2)

р = -<0

где и - характеристический показатель, а вектор

определяется как решение бесконечномерной системы линейных однородных алгебраических уравнений, которая имеет решение лишь в том случае, когда некоторый бесконечномерный определитель, зависящий от ц, равен нулю. Это обстоятельство (например, вопросы существования бесконечномерного определителя, вычисление его значения и т.д.) вносит свои коррективы при разработке методики построения фундаментальной системы решений уравнения Хилла. В этом направлении, несмотря на то, что теория линейных дифференциальных уравнений достаточно развита, на сегодняшний день почти отсутствует теоретически разработанный метод решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Что касается уравнения Хилла (0.1), то для случая, когда среднее значение а0 коэффициента а (г) не равно нулю, достигнуты определенные успехи. Обзор литературы показал, что со времен Хилла исследования уравнения (0.1) проводились только при условии а0 + 0, и полученные результаты теряют смысл при а0 0. Поэтому случай а0 - 0 условно назовем критическим.

Поскольку уравнение Хилла часто встречается в прикладных задачах, а также ряд важных уравнений, после выполнения некоторых преобразований, приводятся к уравнению Хилла, то полное исследование уравнения Хилла в критическом случае (построение характеристического уравнения и вопросы его разрешимости, разработка алгоритма построения фундаментальной системы решений, поведение фазовых траекторий и др.) является одной из актуальных за/дач теории линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Цель диссертационной работы заключается в разработке конструктивного метода решения уравнения Хилла в критическом случае. Материалы диссертации изложены в следующей последовательности. В первой главе, состоящей из трех разделов, приведен обзор работ-других авторов, посвященных исследованию уравнения Хилла, изложена методика вывода характеристического уравнения и процедура приведения характеристического уравнения к каноническому виду.

В разделе 1.1. изложен подробный обзор литератур, посвященных исследованию уравнения Хилла.

В разделе 1.2. для уравнения Хилла (0.1) получено характеристическое уравнение:

А0{м) = йе1А0(м)^0 (0.3)

где Л0 (/¡) - матрица системы

(/' • Ч'У У: X". X />•• У-. (0.4)

Ч*Р

т.е.

Ао (аО = \ар,\арр = (/' +1-Р)2 -- арЧ ^ ар-1> р * СЬ ар - коэффициенты Фурье разложения,

со

а(0=£я/"(яо=о)-

р~-СА>

На основе метода регуляризации, предложенного автором, система (0.4) преобразуется к системе уравнений:

а+7—7

матрица которой имеет вид:

/Мп) |,1 И,- 1 - у -,Ард =т—^-

Такой подход позволяет находить и из уравнения

Д1(^) = ае1Х,(А£) = 0 (0.6)

и для матрицы А, (/;) удается доказать (например, методом Коха) сходимость бесконечномерного определителя Д5 (/¿) = det Л, (и).

В диссертации бесконечномерный определитель Л, О) вычисляется по правилу

ДД/О-НтДГ^),

К1

где А "(¡и) определитель матрицы

2№-1-порядка. Сходимость бесконечномерного определителя ДД^) можно проверить согласно условиям Коха или Кагана, однако, заметим, что эти условия являются лишь достаточными.

Задача определения ц из уравнения Л, (,и) 0 является сама по себе сложной задачей и требует дополнительных исследований.

В разделе 1.3. доказано, что функция Л, О) обладает свойством четности и периодичности (с периодом i). Далее установлен ряд полезных формул и доказан ряд лемм.

Лемма 1.3.1. Для функции имеет место разложение

Д, (/г) = 1+ l\{al)ctg7ti[сх^ -¡и)+ г2(а2)^т (а2 - /г) (0-7)

где

гх (а,) =--—— Я{ах),гг (аг) =------—— Я (а,)

ОС^^2 (X у ОС |

К(ц) - бесконечномерный определитель, удовлетворяющий соотношению

¡.г - а

т.е. имеет место разложение по котангенсам.

Лемма 1.3.2. Функции г (а,) и г, (а,) связаны соотношением

г2(а2 )=■■-/;(«!).

Лемма 1.3.3. Для функции Д,(у") имеет место представление

АД/О

Р(г)мф])\Р1(г)Р2(г) Р(г)

(0.8)

где

Р{2) = {г-р1){г-р2).

Лемма 1.3.4. Для функции г, (а,) имеет место представление

Далее устанавливается эквивалентность уравнений

А1(^) = 0 И !>(:■:)■ ¡г (и )\1>(~) /'.(::) | 0.

и уравнение (0.10) преобразуется к уравнению вида

эт2 Я1 ¡л = ж2к,

(0.11)

(0.10)

(0.9).

где к - бесконечномерный определитель. Уравнение (0.11) назовем каноническим видом характеристического уравнения (0.10).

Во второй главе, состоящей из грех разделов, изложены результаты исследований канонического уравнения, интервалы изменения характеристических показателей Ляпунова и приведены формулы их вычисления. Указан алгоритм построения фундаментальной системы решений уравнения Хилла и возможные типы точек покоя.

В разделе 2.1. приведена полная картина расположения на комплексной плоскости корней промежуточного уравнения, эквивалентного характеристическому уравнению. Установлены всевозможные случаи расположения корней промежуточного уравнения в зависимости от значения бесконечномерного определителя к.

В разделе 2.2. согласно расположениям корней промежуточного уравнения вычислены характеристические показатели Ляпунова решений уравнения Хилла, и установлены интервалы изменения их значений. Результаты исследований разделов 2.1 и 2.2 приведены в следующей таблице:

Таблица 2.2.0

Интервалы изменения

-оо < /г < 0

Корни уравнения (2.1.2) и их геометрические характеристики

г, -=\-2л2к + 2л^тс2/г -7? -

ащгх =0 = 1 -2л2к -2л^п2кг....../г, к1:

ащг7, = 0

Интервалы изменения характеристических показателей Ляпунова

........... >0......

8 2 < 0

А = 0

^ =1, ¡г,| = 1, ащг^ -0 г2 =1, к| = 1, ат§22 =0

<5, - О

=0

О <1к-

2л'

^ = 1 - 2лг2/? + Пж4ь. -п2Ь = 1

а^г, =аг

2лык-л2к2 \-2Л2И

= 1 — 2яг2/г —¡2т1\[И. -Л2И2 , к| = 1.

£1г§ ~ -агсЩ

2л4н — л2к2 1-2Л2/1

81 = 0

<5, = О

2;г

г, 1^1 = 1, а^^ = г2 = /', |г2| = 1, ащг, =■

л

л

д) - О

-> - О

1 / 1

2л~ л

гх = \-2л"1ч +12л\[И-л2И'' , г1 --1

ащ = л + агс1%

2лл]Ъ-л111г \~2л1Н

г, = 1 - 2л2Ь -12к4ь - л2к2 , к I = 1,

2п\1И-- ж'А2

ат г, = -тг - агс№ -

2 1- 2тг Л

гх=-[, к = 1, ащг,

: Л

Л

Л, к( = 1, arg27 = л

: : О

- О

- О

<5, ::: О

2

■ < h < oo

n'

z, = \ — 2n2h + 2ял]ж2И2— h , |z,| = 2п1к-\-2ж4ж'1И1' -h, ;im:.\ ,т z, -1 — 2ж2к-2пу[я7И2 -h,

¡z2 = 2ж~]-1 -1 + 2тсVж~Ъ - h , arg z7 - я:

S1 < 0,

<í>7 > 0

Рассмотрены несколько примеров и приведены в виде таблиц значения бесконечномерного определителя /г, корней ^ и z, промежуточного уравнения и значений характеристических показателей Ляпунова соответствующих корням z, и z,.

Например, для уравнения х" + sint-x = О результаты численных расчетов приведены в следующей таблице:

Таблица 2.2.1 ( а (7) = sin t)

TV h{N) zl{N)) z2{N)) f¿l(N) fi2(N)

3 0,462046682 -0,06180827 -16,17906359 -0,4430424856+0,5i 0,4430424856+0,5i

5 0,459855802 -0,06214176 -16,09223764 -0,4421860706+0,5i 0,4421860706+0,5i

10 0,459323971 -0,06222326 -16,07116028 -0,4419774753+0,5i 0,4419774753+0,5i

20 0,459257137 -0,06223352 -16,06851152 -0,441951242+0,5i 0,441951242+0,5i

30 0,459250408 -0,06223455 -16,06824484 -0,4419486007+0,5i 0,4419486007+0,5i

40 0,45924877 -0,0622348 -16,06817991 -0,4419479575+0,5i 0,4419479575+0,5i

50 0,459248186 -0,06223489 -16,06815678 -0,4419477284+0,5i 0,4419477284+0,5i

60 0,459247928 -0,06223493 -16,06814656 -0,4419476272+0,5i 0,4419476272+0,5i

70 0,459247797 -0,06223495 -16,06814136 -0,4419475757+0,5i 0,4419475757+0,5i

80 0,459247723 -0,06223496 -16,06813844 -0,4419475468+0,5i 0,4419475468+0,5)

90 0,459247679 -0,06223497 -16,06813668 -0,4419475293+0,5i 0,4419475293+0,5i

100 0,45924765 -0,06223497 -16,06813555 -0,4419475181+0,5i 0,4419475181+0,5i

Как показывают численные расчеты, 1т «0,45924 и

удовлетворяет неравенству 0,1013«-^-</7<0,4620< к» и

К '

г, ~ -0,0622,« -16,038, 8Х « -0,4419, 8г « 0,4419, ЧТО подтверждает аналитические результаты.

На рисунке 2.2.1 приведен график зависимости к=к[Щ,

V : : i

Рис. 2.2.1

который показывает, что значение бесконечномерного определителя а конечно и удовлетворяет оценке

0,45923 <й< 0,46204.

Заметим, что из расчетов приведенных в таблице 2.2.1 можно установить допускаемые погрешности, при замене точных значений величин /?,z,,z2 и <5,, <52 их приближенными значениями.

Отметим также, что результат |<s,(10)j = |<5<10)|=--0,44197 почти совпадает с

результатом работы Филлипова А.Ф., где |¿>, | ~ |<5,,| -- 0,442, которое им

получено при исследовании характеристических показателей уравнения х" + sint-x = 0 с других позиций.

В разделе 2.3. изложена методика построения фундаментальной системы решений уравнения Хилла. Решение уравнения (0.1) ищется в виде (0.2), где вектор у является нетривиальным решением

бесконечномерной системы (0.4). Согласно разработанной методике вектор у находится как решение системы

(0.12)

где в - нулевой вектор.

Лемма 2.3Л. Решение уравнения (0.12) не зависит охзначения а . Поэтому вектор у можно определить из уравнения

4 (/1,0)7(0)-е.

Определитель матрицы вычисляется по правилу

Дг (/и, 0) = det 4 (ц, 0) = lim det A™+1 (ц, 0),

/V —>со

где лГ+1(//,0) - матрица порядка 2/VH, определитель которой вычисляется по известному правилу. При этом элемент у0, определяется как алгебраическое дополнение элемента 1 нулевой строки, а - элемента

СI 01

-у, v„- элемента —7V = 1,2,3,.... В силу нормальности матрицы Д(/г.0) fi ' fi~

существует предел

А = lim det A2'v+1 (ц,0) < со,

и алгебраическое дополнение любого элемента любой строки, в частности, нулевой строки матрицы ЛД/i, 0) является конечным числом. Кроме того, ряд

/С Ур'

р = -СО

где ур - алгебраическое дополнение элементов любой строки матрицы /1,(^,0), абсолютно сходится. Поэтому существует решение бесконечномерной системы линейных алгебраических уравнений (0.12). Таким образом, уравнение Хилла (0.1) имеет решение, которое можно построить по формуле

со со

Согласно теории Флоке эти решения являются линейно независимыми и общее решение уравнения Хилла находятся по формуле

СО СО

х(7) = С>- (г) + С2х, (/) = X З^'+С^' X .у^',

р~-со р=~ со

где С];С2- произвольные постоянные.

В заключение раздела представим в виде таблицы типы точек покоя системы

х, =

которая эквивалентна уравнению Хилла, в зависимости от к.

Таблица 2.3.1

Интервалы изменения И (5, Типы точек покоя

И е (-со, 0) больше нуля меныпе нуля седло

равно нулю равно нулю центр седло

меньше нуля больше нуля

В приложении построена программа для приближенного решения уравнения Хилла на языке программирования С# 2005.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Карасаев, Ишен Карасаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации приведены результаты исследований уравнения Хилла в критическом случае, т. е. когда коэффициент при неизвестной функции является периодической функцией, среднее значение которой равно нулю. Разработан метод, названный методом поляризации, суть которого заключается в том, что введением вспомогательного параметра а удается характеристическое уравнение, представляющее собой бесконечномерную линейную однородную систему алгебраических уравнений, преобразовать к каноническому уравнению и находить корни характеристического уравнения посредством решения квадратного уравнения. Доказано, что бесконечномерная матрица характеристического уравнения обладает свойством нормальности, т. е. свойством конечномерной матрицы, которое было использовано при построении линейно независимых частных решений уравнения Хилла. Полученные результаты подтверждены численными расчетами. Подтвержден известный результат А. Ф. Филиппова [50], полученный им при исследовании уравнения Хилла с периодическим коэффициентом.

Отметим, что разработанный метод позволяет исследовать уравнение Хилла и в случае, когда среднее значение коэффициента не равно нулю и может быть использован при разработке качественных методов исследований и конструктивных методов решения линейных дифференциальных уравнений высоког о порядка с переменными коэффициентами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Карасаев, Ишен Карасаевич, 2011 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Floquet Ann de I'Ecole norm // sup. (2), XII (1883). - С. 47 - 88

2. Hill G.W. On the part of the motion of the Lunar perigee which is a function of the mean motions of the sun and the moon // Acta Math. VIII. (1886).C. 1-36

3. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. - Харьков: 1892. - Собрание сочинений, 2, - 263 с.

4. Каган В.Ф. Основания теории определителей. - Одесса: 1922. -393 с.

5. Кочин Н.Е. О курительных колебаниях коленчатых валов // ПММ., 1934, т.2, №1, 1-28 с.

6. Бондаренко Г.В. Уравнение Хилла и его применение в области технических колебаний. - М: АН СССР, 1936,- 48 с.

7. Проскуряков А.П. Характеристические числа решений дифференциального уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами//ПММ, 1946. т. 10, вып. 5 . - С. 211-219.

8. Жданов ПС, Веников В. А. Динамические перенапряжения в линия электропередачи при несимметричном коротком замыкании// Электричество. 1948. - №10. -С. 11 - 16.

9. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - Москва: ИЛ. 1950.-576 с.

10. Айзерман М.А. Достаточное условие устойчивости одного класса динамических систем с переменными параметрами // ПММ, 1951.-15. вып. 3. - С. 382 - 384.

11. Бейлин Е.А., Джанелидзе Г.К). Обзор работы по динамической устойчивости упругих систем // IIMM, 1952.-16. вып. 5. - С. 635 - 648.

12. Тафт В. А., Хейфец С. В. Применение метода Хилла для исследования устойчивости сложных систем со многими переменными параметрами // «Техническая кибернетика», 1953. -№5,- С. 82-88.

13. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. — М.: Гостехиздат 1956. - 600 с.

14. Андронов А. А. Критерий устойчивости в теории электрических машин

С

параметрическим возбуждением. Собрание трудов АН СССР. 1956.

15. Хаяси Т. Вынужденные колебания в нелинейных системах. —■ М.: Изд-во иностранной литературы, 1957. - 426 с.

16. Косгриф П.Д. Об устойчивости систем с обратными связями // Труды I международного конгресса ИФАК, 1958,- вып.2. -С. 31 - 36.

17. Винер Н. Кибернетика. - М.: Советское радио, 1958. -410 с.

18. ТафтВ.А. Электрические цепи с периодическими изменяющимися параметрами и переходные процессы в синхронных машинах. - М.: Наука, 1958.-188 с.

19. ТафтВ.А. Об устойчивости периодических режимов в системах автоматического регулирования, найденных приближенно, исходя из гипотезы фильтра // Автоматика и телемеханика, 1958. №2. - С. 26 - 29.

20. Пухов Г.Е. Комплексное исчисление // Киев; изд-во АН УССР, 1960,262 с.

21. Валеев К.Г. Об одном методе решения систем линейных дифференциальных с периодическими коэффициентами // Изв. вузов. Радиофизика, 1960. №3. - С. 18 -23.

22.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциальных и интегральных исчислений. Т. II - М.: Физматгиз., 1960. -- 848 с.

23.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциальных и интегральных исчислений, т. III -М.: Физматгиз., 1960.-656. с.

24.Градтштейн И. С, Рыжик И. М. Таблица интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Физматгиз., 1962.-1100 с.

25.Валеев К.Г. Об устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка с синусоидальными коэффициентами // Изв. вузов. Радиофизика, 1962. т. 5, №4. -- С. 36 - 42.

26. Тафт В. А. Применение преобразования Лапласа в исследовании систем с переменными параметрами // В кн.: Электроэнергетика. М.: Изд-во АН СССР, 1962. - вып. 5. - С. 14 - 30.

27. Валеев К.Г. К методу Хилла в теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // ПММ, т.24, вып.5.1963. -С. 19-25.

28. Schweizer U. Regelkreise mit periodisch sich ändernden Parametern // Regelungstechnik, 1963.-P. 11-18.

29. У штекер Э.Т. , Ватсон Дж. II. Курс современного анализа, т. П.— М.: Госиздат. Физмат, 1963. - 515 с.

30. Beyreuther J., Starshinski W.M. Anwerdung der Methode des kleinen Parameters in Matrizenshzeibweise bei der Berechnung der charartenstischen Exponenten der Hillschen Gleichung/YZAMM, 1965. - Bd. 46,-P. 157-159.

31. Был ob Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий B.B. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. - М.: Наука, 1966. - 576 с.

32. Горелик В.Ю., Караулов А.Ii. Сравнение критериев устойчивости систем с переменными параметрами //Труды МИИТ. 1966. вып. 247. - С. 48 - 52.

33. Малкин. И.Г'. Теория устойчивости движения,- 2-е издание - М.: 1966. -530 с.

34.Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. -

М.: Наука 1967.-472 с,

35.Михайлов Ф.А., Теряев Е.Д., Булеков В.11. и др. Динамика нестационарных линейных систем. --М.: Наука., 1967.-368 с.

36. Щедрин H.H. Бесконечные цепочечные схемы несимметричных замыканий цепей, питаемых генераторами с одноосной обмоткой ротора // Труды ЛПИ. №5. 1967. С. 29 -35.

37. Тафт И. А., Караулов А.Н., Крепкая З.А. Исследование устойчивости системы с обратной связью с периодическими изменяющимися параметрами. - Расчет режимов электрических цепей с нелинейными элементами - М.: Наука, 1967. -.....С. 59-65.

38. Илюхин А.Г., Пустовой H.A. Об устойчивости решения линейных

дифференциальных уравнений с малым параметром // Украинский математический журнал., - 1968. т.XX, №5, - С.705-710

39.Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1969. - 240 с.

40.Валеев К.Г., Важговская М.Я. Исследования устойчивости системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами // Дифф. уравнения VII, №6. 1971. - С. 955 - 960.

41. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения.-М.: Наука., 1972. - 718 с.

42. Каримов С. О характеристических числах линейного однородного уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами // Изв. вузов. Матем., 1972. - №9. 1972. - С. 44-47.

43.Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М.: Наука,

1973. - 336 с.

44. Пугачев B.C. Основы автоматического управления.. Изд-во «Наука».,

1974,- 720с.

45.Д'анжело Г. Линейные системы с переменными коэффициентами. Анализ и синтез. Под рдакцией Н. Т. Кузовкова (Пер. с англ.).- М.: Машиностроение, 1974. - 288 с.

46. Журавлев В. Ф., Орешников В. Г. К определению характеристических показателей линейного дифференциального уравнения с периодическими коэффициентами и малым параметром // Изв. вузов. Матем., 1976. - №9. -С. 65 - 69.

47. Журавлев В.Ф., Орешников В.Г. Аналитическое определение характеристических показателей линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // Изв. вузов. Матем., 1978. - №10. С. 73 - 78.

48. Карасаев И. К. Об одном способе определения характеристических показателей линейных однородных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. //Изв. вузов. Матем.-1981. - №3,- С. 73 - 75.

49.Koch H. Sur les determinants et les equations différentielles linear // Acta Math. V. XVI. 1982.-С. 95-110

50.Филиппов А.Ф. О свойствах решений линейной системы с квазипериодическими коэффициентами // Математ. заметки. 1990,- т. 47, выл 2. - С. 124- 129.

51. Карасаев И.К.Метод поляризующего множителя. - Ош: 1991. - 275 с.

52.Тафт В.А., Караулов А.Н., Крепкая З А. Устойчивость сложных параметрических цепей с обратными связями // Труды МИИТ, 1996. вып. 2476. - С. 53 - 65.

53. Каримов С.К., Арипов О.Б. Об одном способе определения характеристических показателей линейных однородных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. // Исслед. По интегро-дифференц уравнениям. Бишкек: Илим, 2003. Вып. 29. - С. 173-180.

54. Егоров А. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. — М.: Физматлит, 2003. - 384 с.

55. Карасаев И.К. Поведение характеристических показателей Ляпунова в зависимости от малого параметра// Известия вузов. Бишкек: 2003. № 3-4. -С. 70-75.

56.Карасаев И.К. Построение фундаментальной системы решений уравнения Хилла // Известия вузов. - Бишкек: 2007. №3-4. С.240-245.

57.Карасаев И.К. Оценка сверху старшего показателя Ляпунова // Наука и новые технологии. Бишкек: 2008. №1-2. С.222-225.

58.Карасаев И.К. Упрощение характеристического уравнения // Известия вузов.,-Бишкек 2008. №3-4 С.24-28.

59.Карасаев И.К. Векторное уравнение Хилла // Наука и новые

технологии.-№1-2, Бишкек 2008. С.3-8.

60.Караеаев И.К. Построение характеристического уравнения // Наука и новые технологии.-№3-4, Бишкек 2008г С. 167-173.

61. А. X. Ханмамедов. Обратная задача рассеяния для возмущенного разностного уравнения Хилла // Математические заметки,2009,85:3,- С. 456-469.

62. Карасаев И.К. Построение фундаментальной системы решений уравнения Хилла. // Вестник Кыргызско-Российског о Славянског о университета. - Бишкек: 2010, том 10, №9. ■- с. 107-114

63. Карасаев И.К. Построение характеристического уравнения.// Вестник Кыргызско-Российского Славянского университета. - Бишкек: 2010, том 10, №9.-с. 115-122

64. Карасаев И. К. Об одном методе исследования уравнения Хилла.// Дифференциальные уравнения, 2010, Т.46, №11, С.(1 стр.)