Об операторах Шредингера с суммой локального и точечного потенциалов с наложением особенностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Градусов, Виталий Александрович

• Градусов, Виталий Александрович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Градусов, Виталий Александрович

Оглавление

Введение

Глава 1. Суперпозиция точечного взаимодействия и потенциала,

имеющего степенную особенность

1.1. Обзор методов определения точечных взаимодействий

1.2. Особенности функции Грина оператора Шрсдингера с потенциалом, имеющим степенную особенность

1.3. Метод псевдопотенциала

1.4. Выводы к первой главе

Глава 2. Суперпозиция точечного и кулоновского потенциалов

2.1. Метод псевдопотенциала в случае кулоновского потенциала

2.2. Функция Грина оператора Шрсдингера с обрезанным кулопов-ским потенциалом

2.3. Выводы ко второй главе

Глава 3. Система электрон-позитрон

3.1. Взаимодействие позитрона и электрона

3.2. Спектр позитрония

3.3. Сечение аннигиляции

3.4. Выводы к третьей главе

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об операторах Шредингера с суммой локального и точечного потенциалов с наложением особенностей»

Введение

Актуальность темы исследования. Модель точечного взаимодействия, в физической литературе обычно называемого потенциалом нулевого радиуса, широко применяется в современных исследованиях. В основном точечные потенциалы используются для построения моделей межчастичных взаимодействий в квантовой механике [1]. Среди недавних примеров использования в физике отметим применеиие к задаче рассеяния позитрона на атоме водорода, где для описания взаимодействия между позитроном и электроном использовался модельный гамильтониан с суммой кулоповского потенциала и одноцентрового точечного потенциала с мнимой константой связи. Последнее необходимо для описания процесса аннигиляции позитрона и электрона в рамках нерелятивистской квантовой механики [2]. В работе [2] и нескольких последующих этот потенциал был определен в виде трехмерной ^-функции, которая добавляется как слагаемое в гамильтониан системы. Введенный таким образом потенциал нельзя использовать как обычный потенциал в уравнении Шредингера [3]. Единственным способом его учета в рамках стандартных методов квантовой механики оказывается подстановка (У-функции в формулы кваптовомеханической теории возмущений, что формально оправдывается малостью получаемых поправок.

Однако существуют методы, позволяющие определить точечный потенциал более корректным образом и не прибегать к теории возмущений. Еще в ранних работах [3-5] были предложены два подхода к определению одноцентро-вых точечных потенциалов в уравнении Шредингера. Первый из них состоит в том, что уравнение дополняется сингулярным граничным условием в точке сосредоточения точечного взаимодействия. Второй подход состоит в том, что точечное взаимодействие добавляется в уравнение Шредингера в виде некоторого дополнительного потенциала — так называемого псевдопотенциала, который определяется с помощью функционала, действующего на волновую функцию. Строгое математическое определение оператора Шредингера с точечным взаи-

модействием впервые было дано в работе Березина и Фаддеева [6]. Метод этой работы основан па теории самосопряженных расширений симметричных операторов. Дальнейшее развитие метода связано в основном с работами авторов монографии [7].

Большой интерес для приложений представляет ситуация, в которой од-ноцентровый точечный потенциал добавляется в оператор Шредиигера в М3 с локальным потенциалом V. Последний может иметь сингулярность в точке сосредоточения точечного потенциала. Речь идет об операторе Шредингера формального вида —Д + V + где слагаемое "А6" символически обозначает точечный потенциал с параметром Л, который играет роль константы связи точечного потенциала. Этот оператор может быть определен методом самосопряженных расширений [7-9]. В этом случае оператор вводится с помощью координатной асимптотики функции Грина оператора Шредингера с потенциалом V. Эта асимптотика в общем случае локального потенциала V из достаточно широкого класса остается неисследованной. Кроме того, метод самосопряженных расширений приводит лишь к таким операторам Шредингера, у которых константа связи Л является вещественной. Приведенный выше пример использования точечного потенциала с мнимой константой связи для описания взаимодействия в системе электрон-позитрон показывает необходимость разработки метода корректного определения оператора Шредиигера — Д + V + с комплексной константой связи Л.

Цели и задачи диссертационной работы: Целями данной диссертационной работы являлись разработка методов корректного определения оператора Шредиигера с суммой локального потенциала и точечного потенциала с комплексной константой связи с особенностями в одной и той же точке и разработка формализма для нахождения наблюдаемых системы двух квантовых частиц в физической модели, которая описывается с помощью гамильтониана с суммой потенциала с особенностью и точечного потенциала, па примере системы электрон-позитрон.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

• Исследована координатная асимптотика в начале координат диагональной части функции Грина оператора Шредингера с потенциалом, имеющим степенную особенность.

• Дано обобщение метода определения точечного взаимодействия с помощью псевдопотепциала на случай уравнения Шредингера с локальным короткодействующим и кулоновским потенциалами.

• Исследована функция Грина оператора Шредингера с обрезанным кулоновским потенциалом.

• Разработан формализм для определения спектра позитрония и наблюдаемых задачи рассеяния, в том числе сечения аннигиляции, в системе электрон-позитрон.

Научная новизна. В данной работе впервые были в явном виде получены сингулярные члены координатной асимптотики в начале координат диагональной части функции Грина оператора Шредингера с локальным потенциалом из достаточно широкого класса короткодействующих потенциалов со степенной особенностью, что позволило обобщить определение операторов Шредингера с суммой локального и точечного потенциалов на случай потенциалов из этого класса. Найдены удобные представления и предельные соотношения для функции Грипа оператора Шредингера с обрезанным кулоновским потенциалом. Разработан формализм для определения наблюдаемых квантовой системы двух частиц, которая описывается гамильтонианом с суммой локального и точечного потенциалов. В том числе, с помощью обобщения оптической теоремы для гамильтонианов с кулоновскими потенциалами определено сечение аннигиляции в системе электрон-позитрон.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для построения моделей в задачах

квантовой физики, в которых взаимодействие между частицами описывается суммой локального и точечного потенциалов. Функция Грина оператора Шре-дипгера с обрезанным кулоиовским потенциалом может использоваться при построении методов решения задачи рассеяния в системах заряженных частиц, основанных на обрезании кулоиовского потенциала. Положения, выносимые на защиту:

1. Методы определения операторов Шредипгера с суммой локального и точечного потенциалов обобщены на случай класса короткодействующих локальных потенциалов со степенной особенностью в начале координат и случай комплексной константы связи точечного потенциала.

2. Функция Грина оператора Шредингера с обрезанным кулоиовским потенциалом в некоторых областях конфигурационного пространства выражена через кулоновскую функцию Грина с точностью до действия оператором, зависящим от угловых переменных. В пределе радиуса обрезания потенциала, стремящегося к бесконечности, эти функции совпадают.

3. Найдено уравнение для определения спектра, а также получены явные выражения для наблюдаемых задачи рассеяния в квантовой системе двух частиц, которая описывается гамильтонианом с суммой локального и точечного потенциалов. С помощью обобщения оптической теоремы на гамильтонианы с кулоиовским потенциалом получено выражение для сечения аннигиляции в системе электрон-позитрон в модели точечного потенциала аннигиляции.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры Вычислительной физики СПбГУ и сектора "Квантовые системы нескольких частиц" ЛТФ ОИЯИ, а также на следующих конференциях:

• Russian-Ukrainian Seminar on Few-Body Problems with Strong and Coulomb Interactions, Kiev, Ukraine, 2012

• 43rd Annual Meeting of the APS Division of Atomic, Molecular and Optical Physics, Orange County, California, 2012

• International Workshop on Few-Body Systems (FBS2012), Dubna, Russia, 2012

• The 22nd European Conference on Few-Body Problems in Physics, Krakow, Poland, 2013

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 4 печатных работах в рецензируемых журналах [10-13].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 94 страницы, из них 88 страниц текста. Библиография включает 56 наименований на 5 страницах.

Первая глава посвящена описанию методов определения операторов Шре-дипгера с точечными потенциалами. Раздел 1.1 представляет собой краткий обзор литературы, связанной с развитием этих методов. Приведен обзор работ, относящихся к раннему этапу развития квантовой механики, в которых было введено понятие и появились первые корректные определения точечного потенциала, для обоснования которых использовались различные эмпирические и физические соображения. Далее описывается современный этап, связанный с развитием методов строгого математического определения операторов Шредин-

гера с точечными взаимодействиями, начало которому было положено появлением работы Березина и Фаддеева [б]. В основном эти методы основаны на теории самоспряженных расширений операторов. Приводится обзор работ, посвященных определению оператора Шредингера формального вида—А + ^ + методом самосопряженных расширений. В этих работах установлено, что определение этого оператора выражается через координатную асимптотику в па-чале координат диагональной части функции Грина трехмерного оператора Шредингера с локальным потенциалом V. Поэтому в следующем разделе 1.2 эта асимптотика исследуется в случае потенциалов V из определенного класса короткодействующих локальных потенциалов с заданной степенной особенностью в начале координат. Это исследование основано на изучении уравнения Липпманна-Швингера для функции Грина. Глава завершается разделом 1.3, в котором излагается обобщение метода псевдопотеициала добавления точечного потенциала в уравнение Шредингера с потенциалом V. Полученная в предыдущем разделе асимптотика функции Грина используется здесь для определения вида псевдопотеициала.

Вторая глава посвящена изучению оператора Шредингера с суммой даль-подсйствующего кулоновского и точечного потенциалов. В разделе 2.1 с помощью метода псевдопотеициала точечное взаимодействие добавляется в уравнение Шредингера с кулоновским потенциалом. Для этого координатная асимптотика функции Грина оператора Шредингера с кулоновским потенциалом в начале координат вычисляется из известного явного вида этой функции. Далее в этом разделе тем же методом псевдопотеициала получен явный вид функции Грина оператора Шредингера с суммой кулоновского и точечного потенциалов, а также получено уравнение для вычисления дискретного спектра этого оператора. Эти результаты будут использоваться в главе 3 при рассмотрении системы электрон-позитрон. В разделе 2.2 найдены представления в виде интегралов и рядов функций Грина операторов Шредингера с обрезанным кулоновским потенциалом и хвостом кулоновского потенциала. Эти представления подробно

исследуются в пределе радиуса обрезания, стремящегося к бесконечности. В конце раздела обсуждается применение полученных результатов к задаче определения оператора Шредингера с суммой кулоновского и точечного взаимодействий.

В третьей главе рассматривается система электрон-позитрон в рамках нерелятивистского модельного гамильтониана, в котором возможность аннигиляции электроп-позитронной пары описывается точечным потенциалом аннигиляции с чисто мнимой константой связи. Раздел 3.1 представляет из себя краткое описание физики позитрона, позитрония и механизмов аннигиляции при взаимодействии позитрона с нормальной материей. Приводится обоснование выбора модельного гамильтониана. В разделе 3.2 уравнение для определения спектра позитрония решается при помощи разложения по малой константе связи потенциала аннигиляции. В разделе 3.3 изучается рассеяние в системе электрон-позитрон. На основе обобщения оптической теоремы на случай гамильтониана с суммой кулоновского и чисто мнимого точечного потенциалов получено сечение аннигиляции электрон-позитронной пары в явном виде.

Некоторые часто встречающиеся в тексте диссертации обозначения: С — множество комплексных чисел.

Ж3 — евклидово пространство 3-мерных вещественных векторов. а — вектор из М3.

а — скалярная величина, и, в частности, евклидова норма вектора, как, например, а = |а|.

а = а/\а\ — единичный вектор. а • Ь — скалярное произведение векторов из К3.

Аа — трехмерный оператор Лапласа, действующий по переменной а.

1/2(1)) — гильбертово пространство квадратично интегрируемых в области В

функций.

(•, •) — скалярное произведение в 1/2(-О). сг(Н) — спектр оператора Н.

аа{Н) — дискретный спектр оператора Н.

С(г) = (Н — г)~г — резольвента оператора энергии Н.

г', г) — функция Грина, ядро оператора С(г). 5{х) — трехмерная дельта-функция. 0(/) — О большое от /. о(/) — о малое от /. Н = к/2тт — постоянная Планка.

11

Глава 1

Суперпозиция точечного взаимодействия и потенциала, имеющего степенную особенность

1.1. Обзор методов определения точечных взаимодействий

Первой работой, оказавшей значительное влияние па развитие теории, в которой был фактически использован одномерный точечный потенциал, принято считать работу Кроиига и Пении [14], в которой авторы рассматривали движение электрона в кристаллической решетке. Здесь точечный потенциал вводится как предел потенциала прямоугольной ямы, чья ширина стремится к нулю, а глубина к бесконечности таким образом, что энергия основного состояния гамильтониана с этим потенциалом стремится к определенному пределу.

Трехмерный точечный потенциал впервые был использован в работах Бете и Пайерлса [15] и Томаса [16] для описания взаимодействия между протоном и нейтроном. При определении потенциала взаимодействия между нуклонами в дейтроне Бете и Пайерлс использовали гипотезу об очень малом радиусе действия ядерных сил. Согласно этой гипотезе получается, что частицы взаимодействуют только в ¿-волновом состоянии, то есть в состоянии с нулевым орбитальным моментом, так как при ненулевых значениях момента волновая функция системы пренебрежимо мала в области действия ядерных сил. Тогда везде кроме малого радиуса действия ядерных сил волновая функция имеет вид убывающего решения ¿-волнового уравнения Шредипгера для свободной частицы -0 = ехр(—г/а)/г и, следовательно, для нее выполняется

где а — некоторая положительная константа. Устремив радиус действия ядер-

(1.1)

ных сил к нулю, Бете и Пайерлс постулировали, что равенство (1.1) выполняется и при т —у 0 и заменяет собой ядерное взаимодействие. Таким образом точечный потенциал впервые был получен в виде граничного условия, дополняющего уравнение Шредингера.

Томас предложил модель тритона, в которой взаимодействие протона и нейтрона также описывается трехмерным точечным потенциалом. Последний был введен здесь как предел по преобразованиям масштаба локального потенциала

Ише~2У (г/г).

В этой же работе альтернативно точечное взаимодействие было заменено граничным условием

ф ~ + 1) (3 при г —^ 0, (1.2)

с константой /3, которое хотя и отличается по форме от граничного условия Бете и Пайерлса (1.1), но эквивалентно последнему. Интересно отметить, что спектр трехчастичного гамильтониана, соответствующего такой модели тритона, получился неограниченным снизу, что впоследствии получило название эффект Томаса. Точечные потенциалы в форме граничных условий, предложенные в работах [15, 16], в основном используются в физической литературе [1, 17].

В работе Ферми [4], в которой рассмотрено рассеяние нейтронов на атомных ядрах, точечный потенциал был впервые введен в уравнение Шредингера в виде псевдопотеициала, определенного с помощью трехмерной ¿-функции. В упрощенном виде уравнение, использованное Ферми, можно записать в виде

[-ДР - к2] ф(г, к) = 4тг5(г)ф(г, к). (1.3)

Здесь ф — волновая функция системы. Ферми заменяет в правой части уравнения функцию ф на плоскую волну ехр{г&-г}, что соответствует использованию первого борновского приближения.

В работе Брейта [3], в которой также рассмотрено рассеяние нейтронов на ядрах, автор показал, что уравнение (1.3) с трехмерной ¿-функцией не кор-

ректно, и что таким образом ¿-функция в качестве потенциала может использоваться только в борцовском приближении. Вместо этого он ввел потенциал в виде граничного условия (1.2), придав величине а физический смысл длины рассеяния, и получил интегральное уравнение для волновой функции. От интегрального уравнения он перешел к дифференциальному, которое в упрощенном виде можно записать как

[-Дг - к2] ф(г, к) = 4:7га/36(г). (1.4)

Следуя работе Брейта, Блатт и Вайскопф в монографии [5] переписали правую часть последнего уравнения с помощью функционала, действующего на волновую функцию

4тга5(г) Нт -^-(гф), (1.5)

г->о аг

и тем самым впервые корректным образом точечное взаимодействие было введено в виде псевдопотснциала.

Простота моделей, основанных на использовании точечного потенциала для описания взаимодействия частиц, способствовала тому, что они быстро завоевали популярность в задачах атомной и ядерной физики. В работе [18] точечный потенциал вновь был использован для описания взаимодействий между нуклонами. Параметры потенциалов были определены по данным экспериментов по пизкоэнергетическому рассеянию в системах нейтрон-протон и протоп-протоп. В работе [19] рассмотрены Бозе и Ферми-газы в модели твердых сфер. Для описания столкновений между частицами авторы рассматривают задачу рассеяния частицы на твердой сфере радиусаа. Авторы показали, что такое рассеяние описывается уравнением Шредипгера с псевдопотенциалами, действующими в разных парциальных волнах. В пределе радиуса сферы а —> 0 в ¿-волне псевдопотенциал имеет тот же вид, что и в монографии Блатта и Вайскопфа (отметим, что длина рассеяния на твердой сфере равняется радиусу сферы а).

Строгое математическое определение оператора Шредипгера с точечным потенциалом было впервые дано в работе Березина и Фаддеева [6]. Метод этой

работы основан на теории расширений симметричных операторов. Рассмотрим этот метод на примере построения оператора Шредингера формального вида —Д + "А£". Невозмущенным оператором здесь является оператор кинетической энергии — Аг. Требуется определить возмущенный точечным взаимодействием самосопряженный оператор Щ в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций Ь2(М3). Его полное определение включает область определения оператора и описание действия оператора на функции из своей области определения. Всякий самосопряженный оператор формального вида —Д+"А£" должен совпадать с оператором —Дг на множестве функций /(г) из области определения —Аг с носителем, не содержащим точки г = 0. Пространство ¿2(К3) задается скалярным произведением

(9,Ъ>) =

с1 г д{г)Н(г).

(1.6)

Условие самосопряженности Щ имеет вид

(Н0д, к) - (д, Яг,Л) = 0,

(1.7)

где дик — некоторые функции из области определения Но в /^(К3). Левую часть последнего равенства можно представить в виде предела

Нш

£4-0, Я—»00

¿г (дг5(г)Л(г) - д(г)Агк(г)},

(1.8)

где область интегрирования представляет из себя шар радиуса Я с выколотой ^-окрестностью точки г = 0. Здесь мы воспользовались тем, что па функции с носителем в оператор действует как — Аг. Применяя формулу Грина [20], перепишем последнее выражение в виде

Иш Я2

д

д

г=Я

— Игл е2

£->0

д

д

^ ( ^(гЩг) -д(г)—Н(г)

(1.9)

Г=£

где поверхностные интегралы берутся по сферам радиусов R и е соответственно. Первый предел равен нулю из-за убывания функций д и h на бесконечности. Для обнуления второго предела необходимо и достаточно выполнения равенства

Jim г2 - = 0. (1.10)

Используя очевидное тождество

с) д

rfr.9{r) = ^ [гд(г)} - д(г) (1.11)

и аналогичное тождество для /¿, перепишем (1.10) в виде

(д д \ rh(r) — (rg(r)) — rg(r) — (rh(r)) J =0, (1-12)

откуда ввиду произвольности функций g и h следует

1 д 1 д 1

причем константа а — фиксированная вещественная константа. Предельное равенство (1.13) является условием самосопряженности оператора Щ. Константу а, очевидно, надо рассматривать как параметр точечного потенциала. Мы получили, что функция из области определения оператора Шредингера Щ формального вида — Д+ в пространстве L2QR3) удовлетворяет условию (1.13). Это условие совпадает с граничным условием (1.1).

Дальнейшее развитие метода самосопряженных расширений связано в основном с работами авторов монографии [7]. В этой же монографии приведен обзор других современных определений точечных взаимодействий, основанных на построении операторов Шредингера с масштабно-преобразованными потенциалами путем предельных переходов, нестандартном анализе, применении форм Дирихле и шкал гильбертовых пространств. Интерес исследований затем сместился к более сложным, чем точечные, контактным взаимодействиям, среди которых отметим точечные взаимодействия с внутренней структурой [21, 22],

контактные взаимодействия, сосредоточенные па поверхностях, кривых и графах [23, 24]. Точечные потенциалы используются для описания взаимодействия частиц в решеточных гамильтонианах [25].

В данной диссертации мы рассматриваем случай одноцентрового точечного потенциала, который добавляется в оператор Шрсдингера в!3. Этот невозмущенный оператор имеет вид

Я = -ДР + К(г), (1.14)

суммы оператора кинетической энергии —Аг и локального потенциала V. Задача состоит в определении возмущенного точечным взаимодействием оператора Шрсдингера Н формального вида —Д + V + Особый интерес для приложений представляет ситуация, в которой потенциал V имеет сингулярность в точке сосредоточения точечного потенциала (без ограничения общности везде далее будем считать, что этой точкой является точка г = 0).

Упомянем здесь несколько работ, близких по постановке задачи к настоящей диссертации. Некоторое количество работ посвящено случаю, в котором потенциал V несингулярен в точке сосредоточения точечного потенциала. В этом случае потенциалы могут рассматриваться независимо и точечный потенциал остается таким же, как в случае полного отсутствия локального взаимодействия [1]. В ряде работ был рассмотрен тот частный случай, в котором локальный потенциал является кулоновским потенциалом V = n/r. В частности, Ландау и Смородинский в работе [26] (см. также [27]), в которой они рассматривали рассеяние протонов на протонах, обобщили подход Бете и Пайерлса |15] па случай системы двух заряженных частиц. В работе [26] граничное условие, которое определяет точечный потенциал, является приближенным. Оно получается приравниванием логарифмической производной s-волновой радиальной волновой функции вещественной константе (1.1) при малом, но все же конечном значении ее аргумента. Конечное значение берется для того, чтобы избежать логарифмической расходимости логарифмической производной в начале коор-

динат. Более строгое определение оператора Шредингера с суммой кулоновско-го и точечного потенциалов было получено с помощью метода самосопряженных расширений [7, 22]. Область определения этого оператора в пространстве 1/2(М3) состоит из функций, которые с точностью до умножения на константу ведут себя в окрестности г = 0 следующим образом:

-+п1пг + С>(1). (1.15)

г

В случае потенциалов V из более широкого класса задача построения оператора Н может быть решена в рамках метода самосопряженных расширений [7-9]. Так в работе [8] рассматривается класс сферически-симметричных потенциалов V с особенностями типа обратных степеней. Для сужений этих операторов на множество функций, исчезающих в окрестности нуля, найдены все самосопряженные расширения и тем самым построены искомые операторы с точечным взаимодействием. В частности, рассматривалась ¿-волновая часть оператора Н вида

12

+ - +Ког-' + И^г), (1.16)

с1г2 г

где п и Уо — вещественные константы, а вещественнозначная функция IV ограничена. Первое и второе слагаемые представляют из себя сингулярную в точке г — 0 часть потенциала V. Относительно параметра потенциала р предполагалось 0<р<2ир^1. В результате применения метода самосопряженных расширений было показано, что область определения искомого возмущенного оператора Шредингера Н состоит из функций, имеющих при г —У 0 с точностью до умножения на константу асимптотическое поведение

7+(1-РК2-р)г1'Р + п1пГ + 0(1)- (1Л7)

Этот результат справедлив в случае, когда параметр потенциала р удовлетворяет условию 0 < р < 3/2 (при 3/2 < р < 2 получается более сложное выражение).

В работе [9] вначале рассматривался трехмерный оператор Н, суженный на множество функций, исчезающих в окрестности нуля. Было показано, что в согласии с общей теорией любое самосопряженное расширение оператора Н является оператором того же вида с областью определения, которая состоит из функций

f{r) = g{r) + c(G(r, 0, i) - еьС(г, 0, -i)). (1.18)

Здесь константа с Е С, а д является функцией из области определения —Аг с носителем, не содержащим точки г = 0. Константа а Е [0,27г) является параметром оператора Н. По существу условие (1.18) определяет поведение функций / в точках, в которых потенциал V имеет сингулярность. В рассматриваемом случае оно позволяет установить вид граничного условия при г — 0, которому должна удовлетворять собственная функция оператора Шредингера Н. Поскольку функция д из (1.18) не дает вклада при г = 0, для получения граничного условия нужно исследовать асимптотическое поведение функции Грина G(r, 0, z) при г —» 0, чего не было сделано в [9]. Одной из целей настоящей диссертации является исследование этой асимптотики в случае определенного класса потенциалов V с особенностями в нуле. Этот класс введен в начале параграфа 1.2 настоящей диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Градусов, Виталий Александрович, 2014 год

Список литературы

1. Демков Ю. Н., Островский В. Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1975.

2. Ivanov I. A., Mitroy J. Optical model theory for positron annihilation during scattering // J. Phys. B. 2000. Vol. 33. Pp. L831-L837.

3. Breit G. The Scattering of Slow Neutrons by Bound Protons I. Methods of calculation // Phys. Rev. 1947. Vol. 71, no. 4. Pp. 215-231.

4. Fermi E. Sul moto dei neutroni nelle sostanze idrogenate // Ricerca Scientifica. 1936. Vol. 7. Pp. 13-52.

5. Блатт Д., Вайскопф В. Теоретическая ядерная физика. Москва: ИЛ, 1954.

6. Бсрезин Ф. А., Фаддеев Л. Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом // ДАН СССР. 1961. Т. 137, № 5. С. 1011-1014.

7. Альбеверио С., Гестези Ф., Хёэг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели в квантовой механике. Москва: Мир, 1991.

8. Bulla W., Gesztesy F. Deficiency indices and singular boundary conditions in quantum mechanics // J. Math. Phys. 1985. Vol. 26, no. 10. Pp. 2520-2528.

9. Zorbas J. Perturbation of self-adjoint operators by Dirac distributions //J. Math. Phys. 1980. Vol. 21, no. 4. Pp. 840-847.

10. Яковлев С. Л., Градусов В. А. Об особенности функции Грина оператора Шредингера с потенциалами, сингулярными в начале координат // Вестник Российского университета Дружбы Народов. Серия: математика, информатика, физика. 2014. № 1. С. 153-157.

11. Yakovlev S. L., Gradusov V. A. Extension of the zero-range potential model onto the Hamiltonians with a singularity at the origin // Mathematical Modelling and Geometry. 2013. Vol. 1, no. 3. Pp. 1-12.

12. Yakovlev S. L., Gradusov V. A. Zero-range potential for particles interacting via Coulomb potential // J. Phys. A: Math. Theor. 2013. Vol. 46. P. 035307.

13. Yakovlev S. L., Gradusov V. A., Volkov M. V. On Recent Analytical Results

for Solution of the Scattering Problem for the Sharply Screened Coulomb Potential // Few-Bocly Systems. 2014. Vol. 55. Pp. 805-808.

14. de L. Kronig R., Penney W. G. Quantum Mechanics of Electrons in Crystal Lattices // Proc. R. Soc. Lond. A. 1931. Vol. 130. Pp. 499-513.

15. Bethe H., Peierls R. Quantum Theory of the Diplon // Proc. R. Soc. Lond. A. 1935. Vol. 148. Pp. 146-156.

16. Thomas L. H. The Interaction Between a Neutron and a Proton and the Structure of H3 // Phys. Rev. 1935. Vol. 47. Pp. 903-909.

17. Базь А. И., Зельдович Я. В., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. Москва: Наука, 1971.

18. Feshbach Н., Lomon Е. Nucleon-Nucleon Scattering // Phys. Rev. 1956. Vol. 102, no. 3. Pp. 891-904.

19. Huang K., Yang C. N. Quantum-Mechanical Many-Body Problem with Hard-Sphere Interaction // Phys. Rev. 1957. Vol. 105, no. 3. Pp. 767-775.

20. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1988.

21. Павлов Б. С. Модель потенциала нулевого радиуса с внутренней структурой // ТМФ. 1984. Т. 59, № 3. С. 345-353.

22. Куперин Ю. А., Макаров К. А., Мельников Ю. Б. Кулоновская задача двух тел с внутренней структурой // ТМФ. 1988. Т. 74, № 1. С. 103-111.

23. Brasche J. F., Exner P., Kuperin Yu. A., Seba P. Schrodinger Operators with Singular Interactions // J. Math. Anal. Appl. 1994. Vol. 184. Pp. 112-139.

24. Briining J., Geyler V., Pankrashkin K. On-diagonal singularities of the Green functions for Schrodinger operators //J. Math. Phys. 2005. Vol. 46. P. 113508.

25. Lakaev S., Darus M., Kurbanov Sh. Puiseux series expansion for an eigenvalue of the generalized Friedrichs model with perturbation of rank 1 // J. Phys. A. 2013. Vol. 46. P. 205304.

26. Ландау Л. Д., Смородинский Я. А. Рассеяние протонов протонами // ЖЭТФ. 1944. Т. 14. С. 269.

27. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). Москва: Физматлит, 2004.

28. Grossmann A., Wu Т. Т. Fermi pseudopotential in higher dimensions // J. Math. Phys. 1984. Vol. 25, no. 6. Pp. 1742-1745.

29. Лебедев В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика. Москва: Физматлит, 2000.

30. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. Москва: Мир, 1969.

31. Ikebe Т. Eigenfunction Expansions Associated with the Schroedinger Operators and their Applications to Scattering Theory // Arch. Rational Mech. Anal. 1960. Vol. 5. Pp. 1-34.

32. Повзнер А. Я. О разложении произвольных функций по собственным функциям оператора-Аи + си // Матем. сб. 1953. Т. 32 (74), № 1. С. 109-156.

33. Yakovlev S. L., Ни C.-Y., Caballero D. Multichannel formalism for positron-hydrogen scattering and annihilation //J. Phys. B. 2007. Vol. 40. Pp. 1675-1693.

34. Seba P., Englisch H. Perturbation theory for point interactions in three dimensions // J. Phys. A. 1986. Vol. 19. Pp. 711-716.

35. Hostler L. Coulomb Green's functions and the Furry Approximation //J. Math. Phys. 1964. Vol. 5, no. 5. Pp. 591-611.

36. Мессиа А. Квантовая механика. Т. 1. Москва: Наука, 1978.

37. NIST Digital Library of Mathematical Functions, http://dlmf.nist.gov/, Release 1.0.8 of 2014-04-25. URL: http: //dlmf . nist. gov/.

38. van Haeringen H. Charged-particle interactions: theory and formulas. Leiden: Coulomb Press Leyden, 1985.

39. Тейлор Д. Теория рассеяния. Москва: Мир, 1975.

40. Oryu S. Two- and three-charged-particle nuclear scattering in momentum space: A two-potential theory and a boundary condition model // Phys. Rev. C. 2006. Vol. 73. P. 054001.

41. Yakovlev S. L., Volkov M. V., Yarevsky E., Elander N. The impact of sharp

screening on the Coulomb scattering problem in three dimensions //J. Phys. A. 2010. Vol. 43. P. 245302.

42. McCurdy C. W., Baertschy M., Rescigno T. N. Solving the three-body Coulomb breakup problem using exterior complex scaling //J. Phys. B. 2004. Vol. 37. Pp. R137-R187.

43. Volkov M. V., Elander N., Yarevsky E., Yakovlev S. L. Solving the Coulomb scattering problem using the complex-scaling method // Europhys. Lett. 2009. Vol. 85. P. 30001.

44. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 4. Ч. 2. Москва: Наука, 1981.

45. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 2. Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2008.

4G. Prugovecki Е., Zorbas J. Modified Lippmann-Schwinger equations for two-body scattering theory with long-range interactions //J. Math. Phys. 1973. Vol. 14, no. 10. Pp. 1398-1409.

47. Ford W. F. Anomalous Behavior of the Coulomb T Matrix // Phys. Rev. 1964. Vol. 133, no. 6B. Pp. B1616-B1621.

48. Ford W. F. Limiting Forms of the Screened Coulomb T Matrix //J. Math. Phys. 1966. Vol. 7, no. 4. Pp. 626-633.

49. van Haeringen H., van Wageningen R. Analytic T matrices for Coulomb plus rational separable potentials // J. Math. Phys. 1975. Vol. 16, no. 7. Pp. 1441- 1452.

50. Меркурьев С. П., Фаддеев JI. Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц. Москва: Наука, 1985.

51. Charlton М., Humberston J. W. Positron Physics. Cambridge: Cambridge University Press, 2001.

52. Igarashi A., Kimura M., Shimamura I. Unified Treatment of Positron Annihilation and Positronium Formation // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 89, no. 12. P. 123201.

53. Igarashi A., Kimura M., Shimamura I., Toshima N. Inseparable positron annihilation and positronium formation in positron-atom collisions: Description in

terms of an absorption potential // Phys. Rev. A. 2003. Vol. 68. P. 042716.

54. Yamanaka N., Kino Y., Takano Y. et al. Enhancement of direct positron annihilation due to temporal capture by an atom // Phys. Rev. A. 2003. Vol. 67. P. 052712.

55. Мессиа А. Квантовая механика. T. 2. Москва: Наука, 1979.

56. Taylor J. R. A New Rigorous Approach to Coulomb Scattering // Nuovo Cimento В. 1974. Vol. 23, no. 2. Pp. 313-334.