Об описании свойств отображений по их дифференциальным характеристикам тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Игумнов, Александр Юрьевич

• Игумнов, Александр Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Игумнов, Александр Юрьевич

Введение

1 Общий интегрирующий множитель семейства дифференциальных 1-форм

1.1 Определения и обозначения. Краткие сведения о дифференциальных формах. Связь с задачей о восстановлении отображения по нормированной матрице Якоби.

1.2 Нахождение интегрирующего множителя.

2 Восстановление отображения по нормированной матрице Якоби на гиперплоскостях

2.1 Специальный вид интегрального оператора.

2.2 Восстановление отображения по нормированной матрице Якоби на гиперплоскостях.

3 Теоремы о неявной функции

3.1 Теоремы о неявной функции, основывающиеся на теореме Кар-тана.

3.2 Комплексный вариант теорем о неявной функции.

3.3 Варианты теорем о неявной функции с производной Кларка

3.4 Примеры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об описании свойств отображений по их дифференциальным характеристикам»

Настоящая работа посвящена описанию свойств отображений по их дифференциальным характеристикам при различных способах задания отображения.

Понятие характеристики отображения было введено М. А. Лаврентьевым в рамках теории квазиконформных отображений ([53] - [58]). Характеристиками отображения /:£)—► Rn называются числовые параметры отображения, заданные в D С Rn, и определяющие почти в каждой точке х £ D эллипсоид или параллелепипед, которые под действием дифференциала dxf переходят в сферу или, соответственно, куб со сторонами, сонаправленными векторам некоторого ортонормированного базиса в Rn.

Задание характеристик квазиконформности отображения определяет дифференциальные уравнения, описывающие квазиконформные отображения. В пространственном случае эти уравнения составляют нелинейную переопределенную систему.

В случае задания характеристик первого типа уравнение, описывающее отображение /, имеет вид fT{x)f(x) = \J(xJ)\VnG(x), (1) где Т означает транспонирование, J(x, /) = det f'{x), G{x) — матрица, задающая некоторую риманову метрику на Rn.

При п = 2 уравнение (1), записанное в комплексной форме, эквивалентно уравнению Бельтрами

Ш = (2) где ц(г) — некоторая функция, определяемая характеристиками отображения / и называемая комплексной характеристикой.

Уравнения вида (1) исследовались в работах Вейля, Схоутена [14, 65, 66]. Уравнения вида (2) исследовались в работах М.А. Лаврентьева, Л. Альфорса, И.Н. Векуа, Л. Берса, Б.В. Боярского и другими ([3, 5, 7, 11, 15]).

Характеристики второго типа рассматривались М.А. Лаврентьевым в работах [53, 55, 56, 57]. Такие характеристики возникают в определениях классов квазиконформных отображений, удовлетворяющих нелинейным сильно эллиптическим системам уравнений. М.А. Лаврентьев доказал основную теорему существования квазиконформных отображений нелинейных классов, получившую приложения в задачах механики сплошных сред [50, 58].

Сейчас теория квазиконформных отображений является далеко продвинутым разделом математического анализа. Ряд задач, лежащих на стыке теории квазиконформных отображений и теории пространств Соболева изучен в работах Ю.Г. Решетняка, С.К. Водопьянова, В.М. Гольдштейна, А.П. Ко-пылова, В.М. Миклюкова [16] -[19], [44, 51].

В работах И.В. Журавлева [21]-[27] представлены результаты нового подхода к описанию отображений с ограниченным искажением, основанного на использовании матричнозначной характеристики квазиконформных отображений — нормированной матрицы Якоби. В этом случае дифференциальное уравнение, описывающее отображение имеет вид f(x) = \J(xJ)\1/nK(x), (3) где К(х) = (к®-(х)), г,j = 1,.,п — матрица, называемая нормированной матрицей Якоби отображения /, К задана в некоторой односвязной области D С Rn, \detK\ = 1.

В [26] доказаны, в частности, теоремы, обеспечивающие необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения (3) в случае С2-гладкости матрицы К и достаточные условия в случае, когда коэффициенты принадлежат классу Wp, /3 > п, дано описание свойств отображения / в терминах свойств матрицы К.

Далее, в работе [27] приведены достаточные условия локальной квазиконформности отображения с ограниченным искажением, описываемого соотношением (3). При этом используются следующие величины: осцилляция матричной функции К класса Loo(D) osc (К, В) = inf { sup I К(х') - (4) здесь В — шар с центром в точке а G D, S — множество нулевой п-меры Лебега) и

С{х)К(х) - 1п\ (5) здесь С(х) — непрерывная матричнозначная функция, значения которой — невырожденные п х п-матрицы, х G В, /„ — единичная п х n-матрица). Дальнейшее развитие идей и методов, разработанных в [21]-[27] позволило получить аналог теоремы об обратной функции для отображений класса W{loc(D)^ где D С Rn, п > 3. Эта теорема доказана в работе [28]. Для доказательства применяется функционал, определенный на матричнозначных функциях К (размера п X п), элементы которых являются функциями класса L00(D):

П{К, а) = Urn inf \\АК - Щ^вмпи, (6) где А пробегает множество всех п х тг-матриц.

Далее величины вида (4), (6) также будем называть характеристиками отображения.

В настоящей работе методы и результаты цикла работ [21]-[27] обобщаются и развиваются в следующих направлениях.

В первой части работы (Главы 1,2) рассматривается задача об общем интегрирующем ножителе семейства 1-форм. Система (3), будучи записанной в покоординатной форме, принимает вид df= |J(:r,/)|1/n-irOr), i = l,.,n,

TL где Кг{х) = £ Klj(x)dxJ — дифференциальные формы первой степени, г=1 detK\ = 1. Откуда видно, что условия ее разрешимости могут быть интерпретированы как условия существования общего интегрирующего множителя семейства 1-форм.

Задача о нахождении интегрирующего множителя одной 1-формы является классической задачей теории дифференциальных уравнений (см., например [64]). Как известно, в случае двух переменных эта задача равносильна задаче об интегрировании обыкновенного дифференциального уравнения и для нахождения интегрирующего множителя достаточно условия гладкости 1-формы. В случае, когда количество переменных больше двух, для существования интегрирующего множителя необходимо выполнение, кроме условий гладкости, некоторого дифференциально-алгебраического соотношения. Задача об интегрирующем множителе естественным образом связана с задачей об интегрировании системы пфаффовых форм. Отметим, что наиболее сильные результаты в этом направлении получены Боровским ([8, 9, 10]).

В данной работе показано, что идеи и методы, разработанные в [26], позволяют решить похожую задачу, а именно, задачу об условиях существования и нахождении общего интегрирующего множителя семейства 1-форм вида Кр, р G Р, где Р — произвольное множество индексов. Показана связь этих условий с условиями разрешимости системы (3), полученными в работе [26]. В частности показано, что условия существования общего интегрирующего множителя не обязательно включают в себя условия вида \detK\ = 1. Кроме того, получено интегральное представление отображения по нормированной матрице Якоби при условии пониженной гладкости (коэффициенты /с*-(ж) матрицы К принадлежат классу Wj, где (3 > п — 1). Это представление дано для случая, когда область, в которой определена матрица К, является цилиндром в Rn, основание которого — п—1-мерная область, звездная относительно некоторого шара. Указанные результаты являются новыми.

Во второй части работы (Глава 3) рассматривается задача о неявной функции. Общая формулировка задачи такова. Пусть X, У, Z — топологические пространства; F — отображение, определенное на некоторой области D С X х У, и принимающее значения в Z. Требуется определить условия, при которых соотношение

F{x,y) = F(x0,y0)y (xq, уо) G D обеспечивает существование функции у = д(х) такой, что д(хо) = уо и F(x, д(х)) = F(xq, уо) для всех х из некоторой окрестности точки xq в пространстве X. Указанная окрестность является областью определения неявной функции д. Если оценка величины этой области не приводится, то будем говорить о локальном варианте задачи о неявной функции. Если эта оценка в каком-либо виде имеет место, то будем говорить о задаче о неявной функции с оценкой области существования. В случае конечномерных пространств X, У, Z и достаточно гладкого отображения F задача о неявной функции является классической (см., например, [29]) и обычно излагается в следующем виде: отображение F определено на декартовом произведении шаров Bu(xq,г'), Вт(уа, г") пространств X = Rn, У = Rm принимает значения в пространстве Rm и принадлежит классу С1. При этом оценка области существования неявной функции не приводится.

С различными вариантами задачи о неявной функции, при условии гладкости отображения F можно ознакомиться в обзоре С.Г. Кранца [47]. Из недавних работ, в которых рассматривается локальный вариант задачи о неявной функции, укажем работы А.В. Арутюнова [6], Ф. Кларка [43], В.А. Тре-ногина [68], а также совместную работу И.В. Журавлева и автора [34].

В то же время во многих вопросах представляет интерес оценка области существования неявной функции, например, в виде шара Вп(хо, г'), заведомо содержащегося в области определения функции д. Такой вариант задачи о неявной функции рассматривается в работах В.А. Треногина [68]: случай, когда X, У, Z — банаховы пространства и отображение F удовлетворяет некоторым условиям повышенной гладкости; Н.П. Еругина [20]: случай конечномерных (вообще говоря, комплексных) пространств X, У, Z и голоморфного отображения F. Смежные вопросы комплексного анализа рассматриваются в обзорной статье Ф.Г. Авхадиева и JI.A. Аксентьева [2]. Оценка области существования неявной функции, определяемой локально липшицевым отображением F, заданным на декартовом произведении шаров пространств Rn и Rm, и принимающим значения в пространстве Rm приводится в совместной работе И.В. Журавлева, В.М. Миклюкова и автора [37]. В работе [41] приводится решение той же задачи с использованием понятия производной Кларка.

Задача о неявной функции естественным образом связана с задачей об обратной функции. Из недавних работ, где рассматривается негладкий вариант задачи об обратной функции укажем работы И.В. Журавлева, Ф. Кларка, М. Кристи, Б. Паршиа [28, 43, 48, 60], а также в совместную работу И.В. Журавлева и автора [36].

Следующие результаты являются новыми. Получены достаточные условия, обеспечивающие существование неявной функции, определяемой локально липшицевым отображением; даны выражения для вычисления радиуса шара, содержащегося в области определения неявной функции.

Как задача об интегрирующем множителе, так и задача о неявной функции находят применение в разных областях математики и физики: математическом анализе, теории дифференциальных уравнений, термодинамике (см.,напр., [64, 67]).

Основные результаты диссертации докладывались на российских и международных школах-конференциях: Молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения" (Казань, 2001 г.), 11-й Саратовской зимней школе-конференции "Современные проблемы теории функций и их приложения"

Саратов, 2002 г.), Казанской летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2003 г.), международной школе-конференции "Геометрический анализ и его приложения" (Волгоград, 2004 г.), а также на научных конференциях профессорско-преподавательского состава ВолГУ. Кроме того, основные результаты докладывались на научном семинаре "Геометрический анализ и его приложения" математического факультета ВолГУ.

Диссертация содержит 101 страниц и состоит из введения, трех глав, списка литературы и приложения, содержащего один рисунок. Нумерация параграфов, уравнений, теорем и лемм подчинена нумерации глав. Библиография содержит 70 наименований. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [30]—[41].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Игумнов, Александр Юрьевич, 2005 год

1. Авхадиев Ф.Г. Конформные отображения и краевые задачи, Монографии по математике, N2, Казанский фонд "Математика", 1996.

2. Авхадиев Ф.Г., Аксентьев Л.А. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций // Успехи математических наук. 1975 - т.ЗО, N 4 - С.3-60.

3. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. М.: Мир, 1969. - 132 с.

4. Альфорс Л. Преобразования Мебиуса в многомерном пространстве. М.: Мир, 1986. - 112 с.

5. Альфорс Л., Берс Л. (Ahlfors L.V.,.Bers L.) Riemann's mapping theorem for variable metrics // Ann. of Math.- I960.- V.72, N 2. P.385 - 401.

6. Арутюнов A.B. Теорема о неявной функции как реализация принципа Лагранжа. Анормальные точки.// Матем.сб. — 2000. — т.191, N 1. — с. 3-26.

7. Белинский П.П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск: Наука, 1974. - 98 с.

8. Боровский Ю.Е. Вполне интегрируемые системы Пфаффа.// Изв. вузов. Математика.- 1959.- N 2 . С. 28-40.

9. Боровский Ю.Е. О вполне интегрируемых системах Пфаффа.// Изв. вузов. Математика.- I960.- N 1. С.35-38.

10. Боровский Ю.Е. Системы Пфаффа с коэффициентами из Ln и их геометрические приложения.// Сиб. мат. журн. 1988.- Т. 29, N 2. - С. 10-16.

11. Боярский Б.В. Обобщенные решения системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа с разрывными коэффициентами. Мат. сб. 1957. - Т.43 (85) - С.451 - 503.

12. Ж. Варга (J. Warga): Fat homeomorphisms and unbounded derivate containers. — J. Math. Anal. Appl. 81, 545-560, 1981.

13. Вейль Г. (Weyl H.) Reine Infinitesimal geometrie // Math. Zeitschr.- 1918.-Bd.2. S. 384-411.

14. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959.- 628 с.

15. Водопьянов С.К. Квазиэллиптическая теория потенциала и ее приложения.// Докл. АН СССР. 1988. - Т. 298, N 4, - С. 780-784.

16. Водопьянов С.К., Гольдштейн В.М-., Решетняк Ю.Г. О геометрических свойствах функций с первыми обобщенными производными.// Успехи мат. наук. 1979.- Т. 34, N 1. - С. 17-62.

17. Гольдштейн В.М., Кузьминов В.И., Шведов И.А. Дифференциальные формы на липшицевом многообразии. Сиб. мат.журн. 1982.- Т. 23, N 2.- С. 16 30.

18. Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения. М.: Наука, 1983.

19. Еругин Н.П. Неявные функции. Издательство Ленинградского университета. 1956. 60 с.

20. Журавлев И.В. Квазиконформные отображения, близкие к тождественному. Всесоюзн. конфер. по геометрии и анализу, Тез. докл., Новосибирск, 1989.

21. Журавлев И.В. О существовании решений для многомерного аналога уравнения Бельтрами. // Сиб. мат. журн. 1989. - Т. 30, N 1. - С. 103 -ИЗ.

22. Журавлев И.В. Восстановление отображения по нормированной матрице Якоби.// Докл. АН СССР. 1991. Т.317 N 3. с. 546-549.

23. Журавлев И.В. О восстановлении отображения по нормированной матрице Якоби.// Сиб. мат. журн. 1992. Т.ЗЗ N 5. с. 53-61.

24. Журавлев И.В. К задаче о восстановлении отображения по нормированной матрице Якоби. Сиб. мат. журн. 1993. - Т. 34, N 2. - С. 77-87.

25. Журавлев И.В. Вопросы существования в теории пространственных отображений с ограниченным искажением. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. На правах рукописи. Волгоград, 1993.

26. Журавлев И.В. Достаточные условия локальной квазиконформности для отображений с ограниченным искажением // Мат.сб. 1993. Т.184. N 4. с.51-60.

27. Журавлев И.В. Теорема об обратной функции для отображений с обобщенными производными // Новосибирск: ИМ СО РАН. Труды межд. Конф. по анализу и геометрии. 2000. с. 537-541.

28. Зорич В.А. Математический анализ. ч.1,Н. М: 1998, Изд-во МЦНМО.

29. Игумнов А.Ю., Журавлев И.В. Общий интегрирующий множитель семейства пфаффовых форм.// Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы. — Саратов: Издательство ГосУНЦ "Колледж", 2002. — с. 77-78.

30. Игумнов А.Ю., Журавлев И.В. О неявной функции. Сборник трудов кафедры математического анализа и теории функций. — Волгоград: Изд-во Волгоградского государственного университета, 2002. с.41-46.

31. Игумнов А.Ю., Журавлев И.В. Достаточные условия гомеоморфности отображений класса Липшица. Ученые записки (выпуск третий). Волгоград: Издательство Волгоградского института экономики, социологии и права. 2003. с.380-381.

32. Игумнов А.Ю., Журавлев И.В. К теореме о неявной функции. Материалы шестой Казанской международной летней школы-конференции. — Казань: Издательство Казанского математического общества, 2003. с. 106-107.

33. Игумнов АЛО. (I.V. Zhuravlev, A.Yu. Igumnov, V.M. Miklukov.) On an implicit function theorem. Preprint 346, February 2003, Univesity of Helsinki, department of mathematics. Finland.

34. Игумнов А.Ю. К задачам об интегрирующем множителе и восстановлению отображения по нормированной матрице Якоби. 18 с. Деп. в ВИНИТИ 28.10.2004 г. N 1695-В2004.

35. Игумнов А.Ю. К задаче об оценке области существования неявной функции. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 28.10.2004 г. N 1694-В2004.

36. Игумнов А.Ю. Оценка области существования неявной функции, определяемой локально липшицевым отображением. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 24.12.2004 г. N 1694-В2004.

37. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. Пер. с франц. М. Мир, 1971, 392 с.

38. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ: Пер. с англ. — М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат.лит., 1988. — 280 с.

39. Копылов А.П. Устойчивость в С-норме классов отображений. Новосибирск: Наука, 1990.

40. Копылов А.П. Об аппроксимации пространственных квазиконформных отображений, близких к конформным, гладкими квазиконформными отображениями// Сиб. мат. журн. 1972. т.ХШ. N 1, с. 94-106.

41. Копылов А.П. Интегральные усреднения и квазиконформные отображения// Докл. АН СССР. 1976. Т.231 N 2. с. 289-291.

42. Кранц С.Г. (S.G. Krantz): The implicit function theorem. History, theory, and applications. Printed on acid-free paper. 2002. Birkhauser Boston.

43. Кристи M. (M. Cristea): Local inversion theorems and implicit function theorems without assuming continuous differentiability. — Bull. Math. Soc. Sci. Roumaine, 36, N 3-4, 227-236, 1992.

44. Лаврентьев M.A., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — 2-е изд. — М.: Политиздат, 1977, 407 с.

45. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977, 424 с.

46. Миклюков В.М. Асимптотические свойства субрешений квазилинейных уравнений эллиптического типа и отображений с ограниченным искажением.// Мат.сб., 1981, Т.39, N 1, С. 37-59.

47. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М. Наука. — 1974, 480 с.

48. Лаврентьев М.А. Sur une classe de representations continues.// Мат. сб. , 1935, Т. 42, N 4, с. 407 424.

49. Лаврентьев М.А. Квазиконформные отображения и их производные системы. Докл. АН СССР. 1946. - Т. 52, N 4. - С. 287-289.

50. Лаврентьев М.А. Теория квазиконформных отображений плоских областей. В кн.: Юбилейный сборник АН СССР.Т. 1, М.- Я. - 1947. - С. 96113.

51. Лаврентьев М.А. Основная теорема теории квазиконформных отображений. //Известия АН СССР, серия матем. 1948. N 12.- С. 513-554.

52. Лаврентьев М.А. Краевые задачи и квазиконформные отображения. В кн.: Современные проблемы теории аналитических функций. М.: Наука, 1966.

53. Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа. М.: Изд. АН СССР 1962.

54. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр II. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. М. Наука. - 1979. - 312 с.

55. Б. Паршиа (B.H.Pourciau): Analysis and optimization of Lipschitz continuous mappings. — J. — Optim. Theory Appl., 22, No. 3, 311-351,1997.

56. Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск. Наука, 1982. 278 с.

57. Смирнов В.И. Курс высшей математики. t.V. М: 1959. Государственное издательство физико-математической литературы, 655 с.

58. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 336 с.

59. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.-М.: ГИТТЛ, 1956. -486 с.

60. Схоутен И.A. (Schouten J.A.) Uber die Konforme Abbildung n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten mit quadratischer Ma/3bestimmung aufeine Mannigfaltigkeit mit euklidischer Ma/?bestimmung // Math. Zeitschr. -Bd.ll. S. 58-88.

61. Схоутен И.А., Стройк Д.Я. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. Т. И. М.: ИЛ, 1948, 348 с.

62. Сычев В.В. Дифференциальные уравнения термодинамики. М.: Наука, 1981. 195 с.

63. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980, 496 с.

64. Федерер Г. Геометрическая теория меры. Пер. с англ. — М. Наука. — 1987. — 760 с.

65. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. ч.1,Н. М.: Наука. 1985.