Обеспечение безопасности движения судов по заданной криволинейной траектории тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Осокин Игорь Михайлович

• Осокин Игорь Михайлович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Осокин Игорь Михайлович

ОГЛАВЛЕНИЕ

с.

Введение

1. Анализ существующих исследований криволинейного движения

судна

1.1. Характеристики криволинейного движения судна

1.2. Уравнения криволинейного движения судна

1.3. Методы определения гидродинамических усилий, действующих на подводную часть корпуса судна при криволинейном движении

1.4. Исследования движения судна по заданной криволинейной траектории

1.5 Цель и задачи настоящей работы

2. Определение усилий, развиваемых движительно-рулевым комплексом при криволинейном движении судна

2.1. Продольные усилия, развиваемые движительно-рулевым комплексом при маневрировании судна

2.2. Поперечные усилия, развиваемые движительно-рулевым комплексом при маневрировании судна

2.3. Методика оценки поперечных усилий, развиваемых движи-тельно-рулевым комплексом, по результатам натурных циркуляционных испытаний судна

3. Алгоритмы управления судном при его переводе с одной траектории движения на другую

3.1. Составление математической модели управляемого движения судна на повороте реки

3.2. Обоснование способов управления судном при его переводе с одной траектории движения на другую

с.

3.3. Алгоритмы управления судном для обеспечения изменения кривизны траектории его движения

3.4. Методика определения параметров управления для перевода судна с одной траектории движения на другую

4. Анализ корректности результатов исследований

4.1. Определение эффективности средства управления по результатам натурных циркуляционных испытаний судна

4.2. Определение параметров управления судном для его перевода

с одной траектории движения на другую

4.3. Исследование точности алгоритма управления судном для его перевода с прямолинейной траектории на поворот заданного радиуса

Заключение

Основные условные обозначения и сокращения

Список использованной литературы

Приложение А. Геометрические и скоростные характеристики судов 113 Приложение Б. Расчётные значения радиусов циркуляций

Приложение В. Программа расчёта параметров управления для перевода судна с прямолинейной траектории движения на поворот заданного радиуса

Приложение Г. Программа расчёта параметров управления для перевода судна с поворота заданного радиуса на прямолинейную траекторию движения 134 Приложение Д. Программа расчёта боковых смещений судна при его переводе с прямолинейной траектории движения на поворот заданного радиуса 149 Приложение Е. Акты внедрения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обеспечение безопасности движения судов по заданной криволинейной траектории»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы диссертационного исследования. Одним из перспективных транспортных маршрутов будущего принято считать транспортный коридор «Север - Юг», который соединяет Россию с Ираном, Индией, странами Персидского залива и Южной Азии. Одна из его ветвей, Транскаспийский маршрут, предполагает перевозку грузов на судах с использованием морских портов Астрахань и Оля, расположенных на внутренних водных путях (ВВП) в дельте Волги, которая отличается извилистостью и переменчивостью фарватера.

Проводка судна по ВВП является одной из самых сложных задач в судовождении. Это обусловлено наличием течений, плотным трафиком, относительной узкостью судового хода и обилием различных по крутизне поворотов. В таких условиях даже опытные судоводители совершают серьёзные ошибки при маневрировании, которые приводят к фатальным последствиям.

В вопросе обеспечения безопасности судоходства на ВВП решающую роль может сыграть частичная, а в последствии и полная автоматизация (циф-ровизация) управления движением судна. Данная задача закреплена в стратегиях развития судоходной отрасли как регионального, так и мирового уровня. Среди прочего под автоматизацией (цифровизацией) принято понимать процесс проектирования, постройки и внедрения в эксплуатацию надводных автономных судов (НАС).

Одной из самых сложных и рутинных судоводительских задач, стоящих перед НАС, является движение по заданной криволинейной траектории. Для обеспечения безопасности такого движения система управления средствами навигации и маневрирования НАС должна безошибочно определять момент начала маневрирования, а также алгоритм перекладки средства управления

(СУ).

В алгоритмы управления как обычным судном, так и НАС, для их перевода с одной траектории движения на другую входят параметры

криволинейного движения. Определение таких параметров производится при помощи математического моделирования данного вида движения.

Таким образом, научные исследования, связанные с адекватным математическим моделированием управляемого движения судна и направленные на обеспечение безопасности проводки судов по заданной криволинейной траектории, являются весьма актуальными.

Степень разработанности темы исследования. Исследованию обеспечения безопасности движения судна по заданной криволинейной траектории посвящены работы Б.В. Афанасьева, А.И. Голубева, О.И. Гордеева, Н.Ф. Сто-рожева, В.П. Таратынова, В.И. Тихонова, А.И. Шевченко, А.В. Шухова и многих других отечественных и зарубежных учёных.

Необходимо отметить, что подходы к решению задач об управлении судном при его переводе с одной траектории движения на другую не могут быть признаны корректными. Кроме того, в 80-х годах прошлого столетия надёжных методов определения действующих на судно усилий инерционной и неинерционной природы, а также усилий, развиваемых движительно-руле-вым комплексом (ДРК) судна при маневрировании судна, не существовало.

Современные исследования криволинейного движения судна главным образом посвящены расчёту траектории его движения. Вопросы вычисления параметров управления судном для обеспечения его перевода с одной траектории на другую практически не рассматриваются.

Объектом диссертационного исследования является динамическая система судно - жидкость.

Предметом диссертационного исследования являются алгоритмы управления судном для обеспечения его перевода с одной заданной траектории движения на другую.

Гипотеза диссертационного исследования. Безопасность движения судна по криволинейным участкам ВВП может быть обеспечена путём применения научно обоснованных алгоритмов управления судном для его перевода с одной траектории движения на другую, которые вычисляются с

использованием адекватной математической модели управляемого движения судна на повороте реки.

Целью диссертационного исследования является обеспечение безопасности движения судов по криволинейным участкам внутренних водных путей.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие основные задачи:

1) проанализировать существующие методы определения поперечных усилий, развиваемых ДРК судна;

2) разработать способ оценки поперечных усилий, развиваемых ДРК судна, по результатам его натурных циркуляционных испытаний;

3) составить математическую модель управляемого движения судна на повороте реки;

4) разработать и обосновать способы и алгоритмы управления судном для обеспечения его перевода с одной траектории движения на другую;

5) разработать программы расчёта параметров управления судном для его перевода с одной траектории движения на другую;

6) проанализировать корректность выполненных исследований.

Методология и методы диссертационного исследования. При решении задач, поставленных в диссертационной работе, использованы методы математического анализа, теории вероятностей, математического моделирования, а также методы численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений. Обработка результатов исследований выполнена с применением редактора Visual Studio на языке программирования C++.

Научная новизна диссертационного исследования. Научную новизну диссертационного исследования составляют исследования вопросов управления судном при прохождении криволинейных участков пути, в результате которых

- предложен способ оценки поперечных усилий, развиваемых ДРК судна, по результатам его натурных циркуляционных испытаний;

- составлена математическая модель управляемого движения судна на повороте реки;

- разработаны и обоснованы способы и алгоритмы управления судном для обеспечения его перевода с одной траектории движения на другую;

- разработаны программы расчёта параметров управления судном для его перевода с одной траектории движения на другую.

Теоретическая и практическая значимость результатов диссертационного исследования. Полученные в ходе диссертационного исследования результаты могут быть внедрены как в теоретический блок обучения и переподготовки судоводителей, так и в программное обеспечение судоводительских тренажёров, автономных или дистанционно управляемых судов.

Тематика диссертационного исследования соответствует паспорту научной специальности 2.9.7 «Эксплуатация водного транспорта, водные пути сообщения и гидрография» в части следующих позиций:

- п. 4. Методы и средства навигации и судовождения;

- п. 13. Безопасность судоходства;

- п. 19. Безэкипажные суда.

Достоверность и обоснованность диссертационного исследования

обеспечивается:

- корректным использованием математического аппарата;

- результатами вычислительных экспериментов и их удовлетворительной сходимостью с результатами натурных циркуляционных испытаний судов;

- экспертизами публикаций по теме диссертации в научных изданиях и при представлении докладов на международных научно-практических конференциях.

Основные положения диссертационного исследования, выносимые на защиту:

1) способ оценки поперечных усилий, развиваемых ДРК судна, по результатам его натурных циркуляционных испытаний;

2) математическая модель управляемого движения судна на повороте

реки;

3) способы и алгоритмы управления судном для обеспечения его перевода с одной траектории движения на другую;

4) программы расчёта параметров управления судном для его перевода с одной траектории движения на другую.

Реализация и внедрение результатов диссертационного исследования. Результаты диссертационного исследования внедрены в учебный процесс ФГБОУ ВО «Волжский государственный университет водного транспорта» по специальности 26.05.05. «Судовождение» в образовательные программы «Судовождение на морских и внутренних водных путях» и «Судовождение на внутренних водных путях и в прибрежном плавании с правом эксплуатации судовых энергетических установок», а также в программу подготовки членов экипажей морских судов «Маневрирование и управление судном».

Апробация результатов. Полученные в процессе диссертационного исследования результаты обсуждались на международных научно-практических конференциях, в том числе:

- III Международная научно-практическая конференция «Актуальные решения проблем водного транспорта» в рамках Каспийского научно-образовательного конгресса (2024 г., диплом победителя в номинации «Лучший доклад в области судовождения»);

- V Международный научно-промышленный форум «Транспорт. Горизонты развития» (2025 г.);

- IV Международная научно-практическая конференция «Актуальные решения проблем водного транспорта» в рамках Каспийского научно-образовательного конгресса (2025 г.).

Личный вклад автора в получении научных результатов диссертационного исследования. Научные положения и обладающие научной новизной результаты, выносимые на защиту диссертационной работы, получены автором лично; автор принимал непосредственное участие в разработке

предлагаемой математической модели, способов и алгоритмов управления судном для его перевода с одной траектории движения на другую. Кроме того, автором были составлены программы расчёта параметров управления судном. Совместно с научным руководителем определены цель и задачи диссертационной работы.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, в том числе 4 научные статьи в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ, 1 научная статья в сборнике международной научно-практической конференции.

Структура и объём диссертационного исследования. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка основных условных обозначений и сокращений, списка использованной литературы и шести приложений. Диссертационная работа изложена на 162 страницах машинописного текста, содержит 9 таблиц и 9 рисунков. Библиография включает 103 источника.

1. АНАЛИЗ СУЩЕСТВУЮЩИХ ИССЛЕДОВАНИЙ КРИВОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ СУДНА

1.1. Характеристики криволинейного движения судна

Движение водоизмещающего судна по криволинейной траектории является одним из наиболее сложных и распространённых видов движения судов на ВВП. В связи с этим к речным судам применяются особые нормы управляемости [62], которые были разработаны в конце прошлого столетия.

Управляемостью судна называется его способность эффективно маневрировать в конкретных условиях плавания. Первой составляющей управляемости является устойчивость на курсе - способность судна сохранять курс, заданный судоводителем. Второй составляющей управляемости является поворотливость - способность судна к изменению курса и движению по выбранной судоводителем криволинейной траектории. Поворотливость особенно важна в речных условиях, так как судоводитель на ВВП постоянно вынужден выполнять такие рутинные маневры как прохождение поворотов реки различной крутизны, выполнение оборота для подхода к причалу или рейду, расхождение с другими судами и т.п. Стоит отметить, что все эти маневры выполняются в условиях ограниченной ширины судоходного фарватера.

Учитывая тот факт, что в настоящее время большое внимание уделяется развитию автономного судовождения, термины, касающиеся управляемости, могут быть применены и к НАС. Для этого в указанных терминах необходимо заменить слово «судоводитель» на «вахтенного помощника внешнего капитана» или «систему управления навигацией и маневрированием» в зависимости от типа НАС [58].

Для описания криволинейного движения судна вводят две системы координат - подвижную хОу и неподвижную х0Оу0 (рис. 1.1). Первая система

координат жёстко связана с судном, а вторая - с земной поверхностью. При этом в начальный момент времени (^ = 0) они должны совпадать.

Рис. 1.1

-ч

Кинематические параметры криволинейного движения судна

Решение задач управления судном обычно предполагает несколько способов, разница между которыми заключается в цели управления или, иначе говоря, указании характеристик управляемого движения судна, позволяющих решить поставленную задачу [57]. Отсюда можно сделать вывод о том, что целью управления судном является изменение или сохранение в неизменном виде некоторых величин, определяющих характер движения судна. Такие величины принято называть параметрами [71].

В том случае, когда судоводитель изменяет любые параметры движения судна, говорят, что он выполнил маневр [57]. При этом маневрированием называют действия, которые приводят к таким изменениям, и процесс, возникающий в результате этих действий.

Движение судна по криволинейной траектории определяется следующими параметрами:

- частота вращения гребных винтов п;

- угол перекладки СУ 8Г - угол между мгновенным положением продольной плоскости СУ и его нулевым положением, совпадающим или параллельным с диаметральной плоскостью (ДП) судна. Перекладка СУ - процесс поворота СУ из одного положения в другое;

- продольная скорость ух - составляющая вектора линейной скорости V судна в направлении его ДП;

- продольное смещение х0 - расстояние, на которое смещается центр масс (ЦМ) судна в направлении неподвижной оси Ох0 ;

- поперечная скорость V - составляющая вектора линейной скорости

судна V в направлении перпендикулярном к его ДП;

- поперечное (боковое) смещение % - расстояние, на которое смещается ЦМ судна в направлении неподвижной оси Оу();

- угол дрейфа Р - угол между ДП судна и вектором его линейной скорости V;

- курс у - угол между неподвижной осью Ox0 и ДП судна (неподвижная ось Ox0 проходит вдоль земного меридиана);

- угловая скорость с - изменение курса в единицу времени;

- угол скорости р - угол между неподвижной осью Ox0 и вектором

линейной скорости судна v;

- кривизна траектории - величина, обратная мгновенному значению радиуса R траектории движения судна.

Согласно рис. 1.1, скорости vx и v определяются следующим образом:

vx = v cos р; vy = -v sin p. (1.1)

Величины у, р и Р связаны следующим соотношением:

W = p + P. (1.2)

Продифференцировав соотношение (1.2) по времени, получим следующее выражение:

dw dp d¡

— = — + —. (13)

dt dt dt v ' '

Как известно из кинематики,

dw dp v

— = с; — = — . dt dt R

Следовательно,

v d¡

a=R+lP- (14)

Используя формулы Эйлера [83], можно определить параметры движения в любой точке судна. Например, для точки A( x, y)

vxA = vx; vyA = vy +cx. (1.5)

Величины x и y рассчитываются следующим образом:

t t

x0 =Jvcospdt; y0 =Jvsinpdt. (1.6)

0 0

В теории управляемости принято использовать безразмерную угловую скорость, значение которой подсчитывается по выражению:

- Ь

со = а—. (1.7)

V

Здесь Ь - расчётная длина судна.

1.2. Уравнения криволинейного движения судна

Все силы и моменты, действующие на судно, разделяют на две категории. К первой категории относят усилия, которые возникают вследствие инерционности системы судно - жидкость. Эти усилия располагаются в левых частях уравнений движения и определяются через кинетическую энергию системы. Вторая категория представлена силами и моментами неинерционной природы, которые действуют на корпус судна, его ДРК и надводную часть.

Для исследования связи между действующими на судно усилиями и параметрами его движения составляют и решают уравнения, характеризующие это движение.

Уравнения произвольного движения твёрдого тела в идеальной жидкости впервые были получены Г. Кирхгофом ещё в 1869 г. [43], а впервые составлены и применены для анализа движения судна в 1949 г. А.М. Басиным [10]. В случае плоского движения на спокойной воде эти уравнения представляются следующим образом:

ddVx - (m + Х9 )v,г-1- 3

dt к ^2 y

(m + \i)~r - (m + \2)Vy®-\6a> = X; (1.8)

dv da

(m+(m+Л i)vx®+^2^=Y; (1.9)

da dv

(Jz + ^Ht + (Л22 - ^ 1)VV + A26Vxa + = Mz > (1.10)

где m - масса судна;

К\, - присоединённые массы жидкости;

- присоединённый статический момент;

X, У - проекции главного вектора приложенных к судну сил неинерционной природы на оси Ох и Оу подвижной системы координат;

- момент инерции судна относительно вертикальной оси 02;

А66 - момент инерции присоединённых масс жидкости;

Мг - проекция главного момента приложенных к судну сил неинерционной природы на ось 02 подвижной системы координат.

В 1964 г. В.Г. Павленко впервые решил задачу о движении судна на повороте реки. Для этого он ввёл следующие допущения [54]:

1) поворот реки аппроксимируется круговым кольцом. Линии тока, кромки и ось судового хода считаются дугами концентрических окружностей;

2) вращение жидкости относительно центра поворота принимается подобным вращению твёрдого тела. Для этого в пределах судового хода скорости течения считаются пропорциональными расстоянию от центра поворота;

3) ЦМ судна движется по круговой траектории, которая совпадает с осью судового хода;

4) скорость движения относительно воды, скорости абсолютного движения и угол дрейфа не зависят от времени. Иначе говоря, движение судна принимается установившимся;

5) гидродинамические силы, действующие на корпус судна и его ДРК, считаются зависящими только от характеристик движения судна относительно воды.

Р.Я. Першиц и А.Н. Немзер в 1971 г. уточнили, что при движении по криволинейному участку реки на судно действует сила соскальзывания под поперечный уклон. Эта сила направлена радиально к центру поворота [56].

Некоторое время спустя на базе ряда исследований [16-18, 49, 50, 52] В.Г. Павленко и Л.М. Витавер разработали общую математическую модель

движения судна в произвольном сносящем потоке жидкости. Система допущений, при которых ими получены общие уравнения движения судна в произвольном сносящем потоке, сводится к следующим основным положениям [18, 52].

1. Гидромеханические усилия, действующие на тело со стороны жидкости, включая усилия, вызываемые инерционностью жидкости, зависят от параметров относительного движения тела в жидкости таким же образом, как и от параметров абсолютного движения в покоящейся жидкости.

2. Линейная и угловая скорости переносного движения твердого тела в движущейся жидкости определяются из условия равенства количества движения и момента количества движения твердого тела при переносном движении аналогичным величинам для движущейся жидкости в объеме, вытесненном телом, при отсутствии последнего и условии равенства плотностей жидкости и твердого тела (принцип «отвердения»).

3. В состав действующих на тело усилий должны быть включены силы и моменты, равные по величине и противоположные по направлению силам и моментам инерции движущейся жидкости в объеме, вытесненном телом, при отсутствии последнего.

4. Движение сносящего потока имеет установившийся характер.

5. Жидкость считается однородной и несжимаемой.

6. Движение судна происходит в плоскости действующей ватерлинии; крен, вертикальное смещение и изменение дифферента на ходу отсутствуют.

7. В пределах осадки судна вектор скорости течения не зависит от погружения частицы жидкости; вертикальная составляющая этого вектора равна нулю.

В то же время движение судна на повороте речного русла рассмотрено В.Г. Павленко и Л.М. Витавером лишь как установившееся. Следует также отметить, что в случае плоского движения судна на спокойной воде разработанная ими модель приводится к виду (1.8)—(1.10).

В 2007 г. В.И. Тихонов получил уравнения плоского движения судна на спокойной воде в следующем виде [88]:

(m + ¿11 )dV¡L - mvya = X; (1.11) dt

(m + ¿22)dV- + mvxw + Á26 = Y; (1.12) dt dt

+¿66) ^ + ¿26 ^ = M*' (1.13)

dt dt

а в 2011 г. предложил следующую форму уравнений неустановившегося движения судна на повороте реки [93]:

(m + ¿)cosp — - (m + ¿ + 2mC)vsinp<dp + m(1 + 2C)va sinp = X; (1.14) dt v dt v

-(m + ¿)sinp — - (m + ¿22 + 2mC)vcospdP + dt v dt

+m(1 + 2C)vacosP + ¿6 —= Y; (115)

v dt

,r . T c da . 0dv dp

+¿66 + Jz-)~T-¿26,sinp~r-¿26vcosp^- = M . (1.16)

v dt dt dt

Здесь c — скорость течения (положительная при ходе вниз).

Уравнения (1.14)—(1.16) получены В.И. Тихоновым при следующих допущениях (не противоречащих первым трём допущениями В.Г. Павленко [48]):

1) скорость течения постоянна по величине на оси судового хода и направлена по касательной к ней;

2) в поперечном сечении русла реки скорость течения меняется пропорционально расстоянию до мгновенного центра кривизны оси судового хода;

3) управление судном ведется так, что его ЦМ движется по криволинейной траектории, совпадающей с осью судового хода.

Оценка усилий инерционной природы невозможна без наличия достаточно точных значений величин ¿, ¿2, ¿ и ¿66, которые могут быть опре-

делены как экспериментально, так и аналитически. Исследованию присоединённых масс жидкости посвящены работы А.М. Басина [9], А.В. Васильева [14], П.С. Воробьёва [20], В.В. Вьюгова [21], О.И. Гордеева [27], А.Д. Гофмана [34], А.О. Дитмана [36], А.И. Короткина [41], В.Г. Павленко [51], Р.Я. Першица [57] и многих других учёных [44, 55, 65, 69, 80, 88, 96].

Наиболее надёжным экспериментальным методом оценки присоединённых масс является инерционный метод. Он позволяет определять усилия, возникающие на корпусе модели судна в случае неустановившегося движения. В основе метода лежит решение уравнений (1.11)—(1.13) для случаев продольного и поперечного движения модели, а также её вращения на месте относительно оси Gz.

Систематические испытания моделей грузовых и пассажирских судов были проведены Б.В. Палагушкиным в 1986-1987 годах. Испытания проводились на специально спроектированном и сконструированном высокоточном приводе, который обеспечивал движение модели с заданным ускорением (замедлением). Результаты этих испытаний легли в основу метода определения коэффициентов присоединённых масс кп, к22 и присоединённого момента инерции к66.

Наиболее обстоятельные теоретические исследования присоединённых масс жидкости были выполнены В.И. Тихоновым [85, 88]. Анализ динамического взаимодействия судна с окружающей его жидкостью в сочетании с условной заменой реального судового корпуса его эквивалентным аналогом позволили В.И. Тихонову получить аналитические выражения для подсчёта коэффициентов присоединённых масс. С учётом геометрических характеристик эквивалентного аналога реального корпуса, полученных Р.С. Хвостовым путём математического описания поверхности погруженной части судна [99], коэффициенты кп, к22, к66, а также коэффициент присоединённого статического момента к26 подсчитываются по формулам [88]:

hi =

ЛЛ Кcos2 + AA1 кcos2 ^к 28

A 8 l sin2 a + A 8 l sin2 a + A 8 l

, _ Г н н JHj, Гк к к JKу Гц ц I

к22 -

.у 'ц

28

к26 = [(0,25^н2 -12ц.н )sin2 qну -

(1.17)

(118)

A 8 (0,25с;2 -12 )sin2 а + Ar 8ц(l2 -12 )] / 48

Гк к v ' к ц.к 7 J ку гц ц v ц.н ц.к/ J

к - к

к66 к22 ,

(119) (1.20)

где A = cos2 гн - коэффициент, учитывающий среднее значение снижения

нормалей к поверхности обшивки относительно нормалей к ватерлиниям в носовой оконечности корпуса; A - cos2 гк - коэффициент, учитывающий среднее значение снижения

нормалей к поверхности обшивки относительно нормалей к ватерлиниям в кормовой оконечности корпуса; A - cos2 г - коэффициент, учитывающий среднее значение снижения

/ц ц

нормалей к поверхности обшивки относительно нормалей к ватерлиниям в области цилиндрической вставки корпуса;

/н, Гк, Гц - снижение нормалей к поверхностям обшивки относительно

нормалей к ватерлиниям в носовой и кормовой оконечностях, а также в области цилиндрической вставки корпуса; 8Н, 8К, 8 - коэффициенты полноты водоизмещения носовой и кормовой

оконечностей, а также цилиндрической вставки корпуса; 11/ ~

/н = у^ - относительная длина носовой оконечности корпуса; 11/ -

/к = у^ - относительная длина кормовой оконечности корпуса;

1 -1».

ц

^ - 1цн + 1цк - относительная длина цилиндрической вставки корпуса;

11/ ~ ~ цн = /Ь - относительная длина цилиндрическом вставки в носовой половине корпуса;

7 I / „ „

I = /т - относительная длина цилиндрическом вставки в кормовой

цк / ь

половине корпуса; К, К, К - длины носовой и кормовой оконечностей, а также цилиндрической вставки корпуса; / - длина цилиндрической вставки в носовой половине корпуса;

/ - длина цилиндрической вставки в кормовой половине корпуса;

, - средние значения курсовых углов нормалей в носовой и кор-

* x

мовои оконечностях корпуса, приходящиеся на единицу площади мидельшпангоута;

Чн , Ч - средние значения курсовых углов нормалеИ в носовоИ и корн y к y

мовоИ оконечностях корпуса, приходящиеся на единицу площади диаметрального батокса;

V

8 =--коэффициент полноты водоизмещения судна;

LBT

V - объёмное водоизмещение судна; T - расчётная осадка судна; B - расчётная ширина судна;

ан, ак - коэффициенты полноты носовоИ и кормовоИ половин диаметрального батокса.

Величины Гн , Гк , Гц , 8н , 8к , 8ц , 1н , 1к , 1ц , 1ц.н , 1ц.к , Янх , ^ , Чну , Яку ,

ан и ак определяются по методике, предложенноИ Р.С. Хвостовым и В.И.

Тихоновым [95, 99, 100].

При проецировании неинерционных сил и моментов на подвижные оси координат получаются следующие выражения:

_ r

X = - Xr + Xa; (1.21)

¿=i

zr

Y = Yr-Yjri + Г ; (1.22)

¿=i

r

К = Mr + lrXY + Ma, (1.23)

¿=1

где Xr, Yr, Mr - гидродинамические усилия, действующие на подводную

часть корпуса;

Xa, Ya, Ma - аэродинамические усилия, действующие на надводную

часть корпуса;

X , Y - составляющие усилия, развиваемого i -м ДРК;

zr - количество ДРК;

lr - расстояние от ДРК до ЦМ судна.

На надводную часть судна воздействуют усилия аэродинамической природы, которые принято записывать в следующем виде:

Xa = 0,5^ ра Sn vK2; (1.24)

Ya = 0,5q pa S n vK2; (1.25)

Ma = 0,5Cma Pa Sn LvK2, (1.26)

где Cx , Cy , Cm - безразмерные коэффициенты аэродинамических сил и

момента;

Sn - приведённая площадь парусности;

P - массовая плотность воздуха;

vK - скорость кажущегося ветра.

Аэродинамические характеристики судов были подробно исследованы в различных работах [22, 23, 31, 34, 42, 57, 64, 77, 96]. Наиболее достоверные данные, которые могут быть использованы в расчётах характеристик речных грузовых судов, были получены А.Д. Гофманом, а для речных пассажирских судов - А.В. Семёновой-Тян-Шанской и Е.Я. Элис.

1.3. Методы определения гидродинамических усилий, действующих на подводную часть корпуса судна при криволинейном движении

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Осокин Игорь Михайлович, 2025 год

и П -

п = — - параметр, характеризующий геометрию комплекса, состоящего

3 п

из двух спаренных рулей; п - расстояние между средними плоскостями перьев в непереложенном

состоянии; П - длина пера (высота) руля;

— = — - относительная ширина горизонтальной пластины-шайбы; при

её отсутствии Ь ^ = 0;

— - ширина горизонтальной пластины-шайбы на торце руля, устанавли-

ваемая для увеличения боковой силы руля;

Ьг - длина хорды руля;

3 Нг

Яг = — - относительное удлинение руля. Ь

г

Углом атаки ае руля называют угол между плоскостью хорды руля и его вертикальной плоскостью, в которой расположен вектор скорости уг [57].

Однако ввиду того, что векторы скоростей потоков, обтекающих руль, различны по направлению и величине, данная плоскость в реальности не существует. Именно поэтому величины уг и ае реального руля заменяют величинами эквивалентного изолированного руля, который при перекладке на угол 8 развивает аналогичное поперечное усилие.

В ряде случаев руль находится в струе движителя не полностью. Для таких случаев Р.Я. Першиц предложил следующие допущения [53]:

1) струя движителя аппроксимируется цилиндром. Диаметр такого цилиндра приравнивается к диаметру гребного винта Д, а его горизонтальная

ось должна совпадать с осью гребного вала;

2) распределение осевых вызванных скоростей в струе принимается равномерным, а окружные вызванные скорости при этом отсутствуют;

3) площадь руля делится на две составляющие: находящуюся в струе движителя \ и свободную г. Линии пересечения средних плоскостей рулей в непереложенном состоянии с поверхностью струи движителя (цилиндра) служат границей между 5'\ и 5'г;

4) процессы обтекания 5' \ и 5' г струёй движителя не зависят друг от друга, а коэффициент цг в обоих случаях равен его же значению для случая, когда руль расположен вне струи винта.

Введение этих допущений позволило вывести следующую зависимость для оценки поперечного усилия данного комплекса [53]:

Ъ = Я [8 - «Г (Р +1 ®)у>к2. (2.23)

Здесь кг - коэффициент, учитывающий влияние судового корпуса и работающего винта на направление потока воды, набегающего на СУ;

1 = — - относительное расстояние от ДРК до ЦМ судна;

L

8 - приведённая площадь рулей;

<рк - коэффициент, который учитывает влияние корпуса на скорость

потока воды в районе ДРК. В случае, когда руль расположен в струе движителя, для определения поперечного усилия комплекса может применяться формула, полученная А.Д. Гофманом [33]:

1 + а„

Р С

г

(8Г -Ре), (2.24)

S'

где стр - коэффициент нагрузки движителя по упору гребного винта;

Ре - угол дрейфа в месте расположения ДРК с учётом скоса потока, вызванного корпусом судна. А.М. Басин предложил следующее выражение для оценки боковой силы комплекса открытый гребной винт с расположенным за ним рулём [11]:

2 _

Y = cysr^-sr. (2.25)

Для подсчёта величины S применяется следующая формула:

S = Sf + S (^), (2.26)

где 8 - часть площади руля, которая обтекается основным потоком со скоростью V; V - скорость обтекания СУ;

81. - часть площади руля, которая обтекается со скоростью уг .

Таким образом, приведённые выше выражения для оценки величины 7Г

комплекса открытый гребной винт с расположенным за ним рулём могут быть представлены в общем виде [48]:

Y =Иг 8 - кг (Р +1Г о) jsr.

(2.27)

Исследованию поперечных усилий, развиваемых комплексом винт в поворотной насадке, посвящены работы Р.Я. Першица, А.М. Басина и А.Д. Гофмана. Р.Я. Першиц [14] предложил разделить комплекс на две составляющие - винт и поворотная насадка как единое целое и стабилизатор. Тогда боковая сила комплекса Y находится по формуле:

Г = + Y. (2.28)

Здесь YBH - поперечная сила, создаваемая первым компонентом комплекса; Y - поперечная сила, создаваемая вторым компонентом комплекса. Величина Y определяется по выражению [11]:

Гвн = СУп ^ Sv2n

8 - кгКвarctg

tgP +

~ 7

col

cos Р

(2.29)

где С - коэффициент поперечной силы насадки;

= яВъ1п - площадь боковой поверхности насадки; уп = (1 ) V - аксиальная скорость натекания воды на винт в насадке; кв = 0,752 - 0,052ар - коэффициент влияния винта. Для оценки коэффициента Су применяется формула [14]:

а

=

1 + 0,25Ц/Т7^ -1)2 ][1 - (0,45 - 0,35ln)

2l

+

(2.30)

Стабилизатор играет роль неподвижного руля, увеличивая подъёмную силу. Угол атаки стабилизатора может быть обозначен как 8ас. Он возникает

ввиду несовпадения угла выброса струи из насадки 5С с углом её перекладки 8п. Отсюда £ас находится по выражению [56]:

n

А = . (2.31)

Поперечная сила 7С, действующая на стабилизатор насадки, переложенной на угол 8п, определяется по формуле [14]:

7 = С,с . (2.32)

Здесь 8 - площадь стабилизатора.

В работе [30] А.Д. Гофман показал, что использование модели Р.Я. Першица затруднено при выполнении практических расчётов. Это связано с тем, что поперечное усилие, создаваемое комплексом, для большинства значений ёп и /3 нелинейно (при выполнении «сильных» маневров). Также в

модели не учтён скос потока, натекающего на комплекс. Поэтому А.Д. Гофманом было предложено иное выражение для оценки величины 7И:

7 = 71 + 7. (2.33)

Здесь 7 - проекция реакции отбрасываемой движителем струи жидкости на

поперечное направление; 7 - проекция подъёмной силы насадки на поперечное направление. Первое слагаемое в выражении (2.33) появляется ввиду возрастания скорости и изменения направления движения масс жидкости, которые протекают через сечение гребного винта. Необходимо отметить, что современные насадки отбрасывают струю жидкости в направлении, которое почти полностью совпадает с осью насадки. Реакция отбрасываемой струи, исходя из теоремы количества движения, находится следующим образом [53]:

(2.34)

Ястр = тс

где ооа - аксиальная вызванная скорость;

тс - масса жидкости, протекающей через движитель за одну секунду. Значение тс может быть подсчитано по выражению [53]:

т = Р8нв Ое +®а ) = Р83п Ое +®а ) , (2.35)

где 8 - площадь выходного сечения насадки;

- площадь диска винта; Д - коэффициент расширения насадки. При проецировании выражения (2.34) на направление перпендикулярное ДП судна получается следующее выражение для подсчёта составляющей У (углы Д и 8п следует считать малыми):

У = РоДV + ()[(+ ()8 -уД]. (2.36)

Принимая во внимание, что Д = к (Д +I (), соотношение (2.36) может быть представлено в виде:

У = рД +

с \

V V У

8-

к.

1 +

V / Ч.

(Д + 1 (

(2.37)

Применив теорию идеального комплекса винт - поворотная насадка для

определения значения , В.Г. Павленко [53] представил формулу (2.37) сле-

v

дующим образом:

У = рВоДЖ

8-

(2.38)

Значение составляющей У2 вычисляется по выражению [53]:

У = Ц,

8 - к

(Д + Iг (

к.

(2.39)

Здесь ¡ип - коэффициент поперечной силы насадки.

Таким образом, подставив формулы (2.38) и (2.39) в соотношение (2.33), получим выражение для оценки поперечного усилия, развиваемого комплексом гребной винт в поворотной насадке [53]:

У =ц\8 - к (Д +1 ()

п г"п п Г \ " г I

(2.40)

Очевидно, что формулы (2.27) и (2.40) могут быть представлены в общей форме [48]:

2

7 =Я

б - к

(3 +1 т)

| Ж

Выражение (2.41) обычно приводится к безразмерному виду:

7 = Е

бг- к (/ + 1г т)

(2.41)

(2.42)

Здесь Е - эффективность СУ, подсчитываемая по формуле [48]:

Е = Я8г2 г Фк

г ЬТ

(2.43)

2.3. Методика оценки поперечных усилий, развиваемых движительно-рулевым комплексом, по результатам натурных циркуляционных испытаний судна

Расчёт величин /лг, кг и 8г, входящих в выражение (2.41), может быть проведён по методике, предложенной В.Г. Павленко [48]. Для оценки коэффициента кг необходимо знать величину коэффициента кк, который учитывает влияние корпуса судна на направление потока жидкости, набегающего на СУ

А.Д. Гофман экспериментально установил, что коэффициенты кк и фк для речных судов зависят от месторасположения ДРК относительно траектории циркуляционного движения (на внешнем или внутреннем борту). Кроме того, было доказано, что форма кормовой оконечности практически не влияет на их величину [53]. Полученные А.Д. Гофманом значения приведены в табл. 2.1.

Таким образом, классический метод определения поперечных усилий, развиваемых ДРК, сводится к приближённой оценке коэффициентов влияния корпуса судна и работающего гребного винта на скорость и направление потока жидкости, набегающей на СУ, и подсчёту поперечной силы, которая ока-

зывает влияние на систему корпус - винт - СУ (при этом сила приложена к СУ). Данный метод имеет следующие недостатки:

1) определение боковой силы ДРК может быть выполнено корректно лишь при постоянной или мало меняющейся частоте вращения винта п;

2) значения коэффициентов, приведённые в табл. 2.1, приблизительны. Для их применения к определённому судну требуется проводить модельные испытания, отличающиеся дороговизной, сложностью и трудоёмкостью.

Таблица 2.1

Экспериментальные значения коэффициентов к и ф

Коэффициент Расположение ДРК Среднее значение

внешний борт внутренний борт

Рк 1,05 ± 0,15 0,85 ± 0,20 0,95

кк 1,00 ± 0,20 0,90 ± 0,20 0,95

В связи с этим можно сделать вывод о том, что существующие методики определения поперечных усилий, развиваемых ДРК, не являются надёжными [48]. Для повышения точности результатов расчётов следует проводить их идентификацию по данным натурных испытаний.

Необходимо отметить, что точность ГДХ судового корпуса, подсчитанных аналитически по методике, предложенной В.И. Тихоновым и Р.С. Хвостовым, можно считать близкой к абсолютной. Кроме того, известно, что в процессе натурных испытаний радиус циркуляции определяется значительно точнее, чем угол дрейфа. Из этого следует, что поперечные усилия, развиваемые ДРК, можно определить по результатам натурных циркуляционных испытаний судна [90].

Уравнения (1.14)—(1.16) в общем виде для случая плоского движения судна записываются следующим образом:

(m + 4i)cosР~~ - (m + )vsinP —PP + mvasinp = X ; (2.44)

dt dt

-(m + X22)sinf — - (m + X22)vcos f df + mvacosf + Л26 ^^ = Y ; (2.45) dt dt dt

(J + A6)^ - Л sinf § - VcosP= Mz. (2.46)

dt dt dt

Подставив формулы (1.21)—(1.23) в правые части уравнений (2.44)-

(2.46) и преобразовав полученные выражения для случая установившейся

циркуляции радиуса R без учёта внешних факторов, получим:

mvR^R sin fR = XXft - Xr ; (2.47)

i=i

r

mvR®R cos fR = Yr -XY, ; (2.48)

t=i

r

Mr + lr XY = 0. (2.49)

г

i=1

Разделив обе части уравнения (2.48) на 0,5 pLTv2, а уравнения (2.49) на

0,5 pÜTv2, получим:

____Zr _

Cyr = maR cos fR +XY,; (2.50)

t=i

1 ^ ~

1 Cmr =-X Yr. . (2.51)

i=1

Здесь т = - безразмерная масса судна;

У г - безразмерная поперечная составляющая усилия, развиваемого / -м ДРК.

Учитывая тот факт, что у речных транспортных судов величина ^ = 0,47 - 0,48, можно принять величину ^ = 2,1 практически без потери

/ г

точности вычислений.

Суммируя выражения (2.50) и (2.51), получим

СУГ + 2,1СтГ = т( С08 Д . (2.52)

r

Коэффициенты C и C на установившейся циркуляции определяются по выражениям [88]:

с = су + C + су + су + су =

Уг Уцир Уотр yV yW Ув

= (A + Ав)sinPcosP - (A2 + Л2в - A'2 - A¡)a cos¡ +

+(Лз + \ + \ )sin2p-(A + \ + \)® sin¡ + (A5 + a5v + \ )®2;

Ctnr = Стцир + Cmomp + CmV + CmW + Cme =

= (B + B) sin Pcos p - (B2 + B2g + B'2 - B¡ )^cos p +

(2.53)

+(£3 + В3у + ВЪш)вт23 - (ВА + В4, + ВАщ )швт/ + (В5 + В5у + В5ш )т2. (2.54)

В этом случае безразмерные коэффициенты, учитывающие гидродинамические усилия циркуляционной, отрывной и вязкостной природы, а также усилия, обусловленные волнообразованием и влиянием крена, подсчитыва-ются следующим образом [88]:

А1 = 2(К ^ПЧну ЧНу - Тк 8Ш£у С08 £у ) ;

А2 = (0,25^н2 - £) % с™ чПу +(0,25^- тц2к) вт ^к у соб ^к у;

А2 = Щ,; Вх = А2; В'2 = Ш'26;

К i =(8н 4cos2 Чну + cos2 qKy)/28:

К2б =

в2=2

2 3

8к(0,25а2 - /ц2к )cos2£ -8Н (0,25ан2 - /Ц2Н )cos2q

2 Т2 \___2 —

'4S;

0,125ан - /ц3н )sin cos q^ -(0,125ак3 - /ц3к )sinqK cos q

_3 7 3

Л

22 = в (8н1н A cos2 ч»у - 81к A cos2 qKy);

A3 = 1нA sin2 q- + 1кA sin2 q. + 1цЛ,,;

ц Гц '

Л = (0,25а2 - /ц2н)A sin2 qу

-(0,25of - £) A sin2 q +(Гц2н - Гц2,) А;

a5 =-

5 3

(0,125^ - 1ц3н ) ArH sin2 qy

+

+(0,125ак3 - С ) A sin2 qKy + (С + С ) 4ц

B¡ = B

2 2L

Sн (0,25а2 - 1ц2н ) ar

cos q +

+8 (0,25а2 - 1ц2к ) A cos2 q

; B3 = 0,5A4 ; B4 = 2A,

B5 = 1 5 4

(0,0625а4 - 1ц4н ) Агн sin2 qy +

( С - £ )АГц - (0,0625ак4 - /ц4к )A sin2 qз

A3V =SB ; B3V = 0,5 A4v ; B4v =2 av

T

A =

B

T

S.J

н ( 0,25а;

- £ Ж (

0,25ст2 -12 !+S (l2 -12

* к ц.к I Ч\ ц.н ц.к

a5 = B

5v 3T

Sн( 0,125ан - С )+Sk( 0,125ак3 - С ) + S, ( С + С

B =

B_ 4T

S (0,0625а4 - 1ц4н ) -Sк (0,0625ак4 - Ü ) + S, (С - 1ц4

- Q

S

1 +

2T

SLB SB

q = S LB + 2 LT ; Res = 153257 v,B ;

0 7434 S

C, = ,, + 0,000475 ; K = 1388—

f VRT —— ' ^

'B

а

V

S(1 -1 )T

L

Cv, = CfS (1 + KF, ) ;

•y fy

A3v = CVy A3v ; A4v = CVy A4V ; A5V = CVA5F ;

B3V = CVy B 3v ; B4v = Cvy B4v ; B5v = CVy B 5V ;

Aw = FA3 ; A = fA4 ; A = FA ;

B = FB3 ; B4 = FB ; B = FB ; F

4>

5 5

Fr2 L 100T

н

y

A,

2Вв/„т

T

(8н/нsin q^ cos q^ + дАsin q,y cos q,y);

вв

A =—

2в t

8 (0,25ан2 - /ц2н)sin q*y cos q*y -

Л (0,25ак2 - /ц2к)sin qKy cos qK

вв= \

в =

2Вв

д (0,125ан3 - /ц3н)sin q.y cos q.y

+

в 3T

+дк (0,125ак3 - Тц3к ) sin qKy cos qK

а угол крена на установившейся циркуляции - по следующей формуле [88]:

в = 22mFr0 о e

2 -1,6®

(2.55)

Здесь e - основание натурального логарифма.

Тогда выражение (2.52) с учётом формул (2.53) и (2.54) примет следующий вид:

A + A + 2,1(В + ВХв)] sin PR cos PR -A + A -A2-a2+2,1(B2+в1в + в2-b2)\®rcosPr +

+

A + Ar + A3w + 2,1(B3 + B3v + B3w )]sin2 pr -

о sin PR +

+

_A + A4v + AW + 2,1(B4 + B4V + B4W )_ A5 + Ar + Aw + 2,1(B5 + b5v + B5w )]0r = m0R cos P . (2.56)

Угол дрейфа P у речных транспортных судов в реальных условиях эксплуатации не превышает 20°, вследствие чего можно положить cos P~ 1, а sinP ~ P. Тогда уравнение (2.56) запишется следующим образом:

A1 + А+ 2,1(В + Ble)]PR -A+А - A2 - A + 2,1( в2+в2в + В2 - в2)+,

m

®R +

9

4 + А + + 2,1(+ Б,г + Вз^ )]рд2 -

А + А, + А + 2,1(В4 + В4, + \ )]ЯЯРЯ +

+

А + А + А + 2,1(В5 + В5, + \ )

Я = 0.

Введём следующие обозначения:

А = А + А, ; В1 = В + В, ; С1 = А1 + 2,1В 1

А = А + А - А - А \; В = В + В + В' - В!;

2 '

|_2 ^ 1 ^ ^ 2 ^2 1 2,

С = А2 + 2,1В2 + т;

А, = А + А, + А, ; В = В + В + В ; С = А + 2,1В

3 3 1 1 з ' ^3 3 1 ^3

А = А + А + А ; В = В + В + В ; С = А + 2,1В

14 1 1 4 ' 4 4 1 4,

4 ' 4

'> 4'

А = а5 + А5 + А... ; В = В + В, + В ; С = а, + 2,В

'5 ' 5,

Тогда уравнение (2.57) примет следующий вид:

С3Д2 - (С4Я - С )ря - (С2 - С5^ )Я = 0 . Обозначим:

СЯ- С1 (С2 - С5ЯК )ЯЯ

4 = -4^—1; 4 = —

2С

С

"3 ^3

Тогда выражение (2.58) запишется следующим образом:

>2

(2.57)

(2.58)

(2.59)

(2.60)

рк- 2яА - ^2 =

Для определения углов дрейфа Рк подсчитываются значения безразмерных коэффициентов, входящих в формулы (2.59), после чего находится решение квадратного уравнения (2.60) по выражению:

Рк = 41 +у1 + 42 . (2.61)

Для уточнения расчётных значений углов дрейфа Рк необходимо задаться радиусами циркуляций К, полученными в ходе натурных циркуляци-

онных испытаний судна, чтобы определить значения безразмерной угловой скорости а по выражению:

- Ь а = —. Я Я

(2.62)

Далее определяются величины Ег и кг, которые характеризуют поперечное усилие, развиваемое ДРК судна. Подставив (2.42) в (2.51) для случая установившейся циркуляции, получим:

С +1 Е

тг г г

= 0.

(2.63)

8я - кг (ря +1 г ая)

Кроме того, учтём значение коэффициента момента гидродинамических сил, действующих на подводную часть судна

Стг = 2д( Вр - В 2а я + ВзрЯ - В ар+Ва\)

Из соотношений (2.63) и (2.64) получаем:

(2.64)

к

(Ря +1г ая)- еа = 2,1 (вр

+1 а)-ЕгЗк = 2,1 (вря - В2а+ ВзРЯ- В4а Ря + В5а

(2.65)

Здесь кг = Егкг.

Значения Ег и кг определяются путём решения уравнения (2.65) методом наименьших квадратов с использованием полученных значений углов дрейфа Рк. При этом углы перекладки рулевого органа на установившейся циркуляции Зк принимаются по данным натурных испытаний судна.

)

2

г

3. АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ СУДНОМ ПРИ ЕГО ПЕРЕВОДЕ С ОДНОЙ ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ НА ДРУГУЮ

3.1. Составление математической модели управляемого движения судна на повороте реки

В соответствии с допущениями В.Г. Павленко угол дрейфа /3, безразмерные угловая с и линейная v скорости в абсолютном и относительном движениях совпадают [54]. Следовательно, усилия неинерционной природы, которые возникают на корпусе и ДРК судна, зависят от параметров движения на повороте реки /, с и v таким же образом, как и при циркуляции на спокойной воде. В связи с этим ГДХ судового корпуса Хг, 7Г и Мг будут определяться по выражениям (1.27)—(1.29) с учётом формул (1.35)—(1.37).

Подставив выражения (1.27)—(1.29), (2.15) и (2.41) в правые части уравнений (1.14)—(1.16), получим:

m(1 + kn)—cos 3 - m(1 + ku + 2-)vd3sin / + dt v dt

+m(1 - k '22 + 2 C)vcsin 3 = zrPe (1 - sin2 8с) - CXr £LTv2; (3.1)

v Г 2

-m(1 + k22)—sin 3 - m(1 + k22 + 2 C )v d3 cos / + m(1 + 2 C )vc cos / + dt v dt v

+mLk26 = суг PLTv2-Я [Sr - кг (3 + lc) ^Syy; (3.2)

Pe ^.2 2

Jz (1 + k66 + C) dC- mLk26 ^ sin 33 - mLk26v d/ COs 3

v dt dt dt

P

= Cm PL2Tv2 + ¡ur Sr - Kr(3 +1r с) pSrlrL<py, (3.3)

"r 2

где S - угол выброса струи движителя.

P

„2 2

2

Выразим кинематические параметры движения судна V, с и время t через безразмерные характеристики V, с и безразмерное время т :

- — v L

V = vv0; c = cv—; t = x—.

L

Продифференцировав выражения (3.4), получим:

dv = vQdv;

dc = — vdc + — cdv;

L

L

dt = Ldx.

v

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

С учётом выражений (3.5)-(3.7) уравнения (3.1)—(3.3) после несложных преобразований примут следующий вид:

m(1 + кп)—cosР - m(1 + ku + 2 c)vdPsin/ + dt v dt

— С -2— — -2 —--— -2 9 -2

+m(1 - к '22 + 2 c)v csin/ = zr (An - Bnv - С v )(1 - sin2 Sc) - С v ; (3.8)

v e e e г

r ^dv . _ — , 7 „c ~dB _

-m(1 + к22)—sin Р - m(1 + k22 + 2=)v-cos / +

dx v dx

+m(1 + 2С)v ccosР + mk26vdc + mk26c— = v dx dx