Обощенные математические модели и методы анализа явлений переноса и фильтрации в распределенных технических системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор технических наук Фирсов, Андрей Николаевич

• Фирсов, Андрей Николаевич
• доктор технических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор технических наук Фирсов, Андрей Николаевич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Математические модели и методы исследования процессов переноса в технических системах.

1.1. Кинетические модели теории переноса.

1.2. Математические методы исследования процессов переноса на основе обобщенных понятий дифференцирования и интегрирования, теории полугрупп линейных операторов, теории обобщенных функций.

1.3. Математические методы исследования процессов переноса, использующие «моментное» представление обобщенных функций.

1.4. Математические методы исследования процессов переноса, основанные на теории неподвижных точек нерастягивающих отображений.

1.5. Результаты и выводы.

Глава 2. Решение задач теории переноса в технических системах, моделируемых стационарным уравнением Колмогорова-Феллера с нелинейным коэффициентом сноса.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Анализ математической модели.

2.3. Построение решения задачи теории переноса.

2.4. Результаты и выводы.

Глава 3. Построение и анализ решений задач теории переноса, основанные на исследовании нелинейного уравнения Больцмана.

3.1. Решение задач теории переноса, основанные на исследовании нелинейного уравнения Больцмана.

3.2. Анализ задач теории переноса, основанный на точном аналитическом решении пространственно-однородного линеаризованного уравнения Больцмана.

3.3. Устойчивость решений задач теории переноса, основанная на экспоненциальной устойчивости решений линеаризованного уравнения

Больцмана (модель «жестких» потенциалов межмолекулярного взаимодействия).

3.4. Эффект потери асимптотической устойчивости решений задач теории переноса в технических системах как следствие потери устойчивости решений уравнения Больцмана (модель «мягких» потенциалов межмолекулярного взаимодействия).

3.5. Результаты и выводы.

Глава 4. Математические модели и решение задач теории переноса в технических системах на основе задачи о фильтрации пуассоновского процесса.

4.1. Введение и постановка задачи.

4.2. Построение математической модели фильтрации пуассоновского процесса.

4.3. Вывод основных уравнений.

4.4. Уравнения для частных моделей фильтрации.

4.5. Результаты и выводы.

Глава 5. Исследование математических моделей задач теории переноса в технических системах на основе кинетической теории многокомпонентных эмульсий.

5.1. Постановка задачи моделирования многокомпонентных эмульсий на основе кинетического подхода.

5.2. Основные свойства моделей и связь с задачами теории переноса.

5.3. Вывод интегральных кинетических уравнений теории многокомпонентных эмульсий.

5.4. Анализ связи между макропараметрами смеси и основной жидкости

5.5. Математическое моделирование и оптимизация гидравлических сетей при установившихся режимах транспортировки слабо сжимаемой жидкости.

5.6. Решение задачи об управлении нестационарной транспортировкой вязкой жидкости по системе трубопроводов.

5.7. Результаты и выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обощенные математические модели и методы анализа явлений переноса и фильтрации в распределенных технических системах»

Проблемы разработки и анализа математических моделей физических процессов переноса и фильтрации в технических процессах могут быть сведены к исследованию корректности задач для дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Численные методы анализа таких проблем формируются на основе сходящихся алгоритмов. Оптимальной является ситуация формирования аналитических решений задач в форме рекуррентных соотношений с обоснованием их сходимости и оценки точности приближений. Декомпозиция проблемы исследования уравнений, и сведение ее решения к совокупности инженерно-технических задач позволяет использовать интегральные преобразования типа Фурье или Лапласа или формальные разложения искомых решений в ряды по системам функций. Однако, эти методы не всегда эффективны, поскольку применение преобразований Фурье или Лапласа для операторов, переходящих при этих преобразованиях сами в себя (например, оператор дифференцирования, умноженный на независимую переменную), не упрощает задачи. Кроме этого, методы разложения искомых функций в ряды содержат коэффициенты, не всегда имеющие физическое содержание. Наконец, в задачах исследования технических и физических проблем указанными методами возникает проблема обращения соответствующих преобразований.

Таким образом, представляет большой интерес разработка методов решения дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, описывающих явления переноса и фильтрации в технических и физических задачах, которые обладают достоинствами упомянутых методов и лишены указанных выше недостатков. Это открывает возможность аналитического исследования и построения аналитических методов моделирования и эффективных алгоритмов приближенного решения новых классов технических и физических задач, использующих модели математической физики, теории случайных процессов, теории управления и т.п. Исследованиями автора показано, что разработка и обоснование методов моделирования и решения прикладных задач возможна с помощью аппарата теории обобщенных функций.

Диссертация посвящена разработке, обоснованию и приложениям предлагаемого метода решения технических задач математической физики, описывающих процессы переноса и фильтрации, достаточно быстро затухающие на бесконечности. В основе метода лежит построение и анализ нового класса обобщенных функций как линейных функционалов в пространствах целых функций многих вещественных переменных. В частности, прослеживается конструктивная связь между указанными функциями и последовательностью их «степенных моментов», что позволяет дать для функций рассматриваемых классов полное и конструктивное решение «проблемы моментов». С физической точки зрения, в основу постановки и исследования задач теории переноса в данной работе положен тот факт, что все основные макроскопические уравнения этой теории (дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка) могут быть выведены из соответствующего кинетического уравнения для функции распределения (например, кинетического уравнения Больцмана). Такое уравнение является интегро-дифференциальным уравнением, в котором дифференциальная часть представляет собой линейный дифференциальный оператор первого порядка (по пространственным переменным), а интегральный оператор имеет квадратичный характер нелинейности. Через функцию распределения могут быть непосредственно выражены все основные макропараметры (плотность, скорость, давление, температура среды), входящие в соответствующие макроскопические уравнения. Следует также отметить, что физические условия, при которых использование предположений кинетической теории является корректным, лежат в достаточно широком (и, тем самым, интересном с прикладной точки зрения) диапазоне плотностей, давлений и температур изучаемых сред [4, 6].

Таким образом, задачу построения и анализа решений макроскопических уравнений теории переноса можно заменить задачей построения и анализа решений кинетических уравнений для функции распределения.

Цель работы - разработка и теоретическое обоснование метода построения алгоритмов аналитического и численного решения и анализа задач переноса и фильтрации на основе специальных классов дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, адекватных соответствующим прикладным задачам. В работе построены и исследованы: аналитические решения уравнения Колмогорова-Феллера с квадратичным коэффициентом сноса, решения линейного и нелинейного уравнения Больцмана кинетической теории газов, решение задачи фильтрации пуассоновских процессов со случайными параметрами. Кроме того, в пятой главе предложен общий вывод интегральных кинетических уравнений движения эмульсий, т.е. сплошных сред с включениями в виде пузырьков газа. Последнее дает возможность подвести теоретическую базу под используемые сейчас приближенные полуэмпирические модели движения нефти по трубам (например, в скважине при добыче нефти, или при ее транспортировке по магистральным трубопроводам).

Методологическую основу работы составили специальные математические модели физических процессов, использующие методы функционального анализа и математической физики: методы теории обобщенных функций, теории операторных уравнений, теории полугрупп линейных операторов, теории краевых задач для уравнений математической физики.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Фирсов, Андрей Николаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации разработаны методы математического моделирования физических процессов в технических системах для использования при решении специальных классов дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, встречающихся в задачах системного анализа, теории случайных процессов, теории управления:

1) Дано обоснование математических моделей и методов решения специальных классов дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, основанных на специальных классах обобщенных функций, представляемых рядами по производным дельта-функции.

2) Решен комплекс задач моделирования технических систем на основе решения обобщенной проблемы моментов.

3) Разработаны математические модели технических систем на основе аналитических решений уравнения Колмогорова-Феллера с нелинейным коэффициентом сноса, уравнения Больцмана кинетической теории газов, задачи фильтрации пуассоновских процессов и дано их обоснование.

4) Разработаны математические модели исследования технических систем на основе решения задачи о неподвижной точке нерастягивающих отображений в функциональных пространствах.

5) Разработана кинетическая теории многокомпонентных эмульсий, т.е. сплошных сред с включениями в виде пузырьков газа, на основе интегральных кинетических уравнений. Это дает возможность подвести теоретическую базу и уточнить используемые сейчас приближенные полуэмпирические модели движения нефти по трубам.

6) Предложен вариант математического моделирования и оптимизации гидравлических сетей при установившихся режимах транспортировки углеводородов, а также дано решение задачи об управлении нестационарной транспортировкой вязкой жидкости, в частности, нефти, по системе трубопроводов.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Фирсов, Андрей Николаевич, 2011 год

1. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.:1. Т Т TT 1 A S" ¿\1. JKLJI, 1УОО

2. Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений. М.: Мир, 1974

3. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978

4. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967

5. Аэродинамика разреженных газов. Вып. 1 11// Сб. статей. Под ред. С.В. Валландера, Р.Г. Баранцева, Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1963 - 1983.

6. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.: Мир, 1976

7. Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов. Линейный анализ. М.: Атомиздат, 1973

8. Ершов Ю.И., Шихов С.Б. Математические основы теории переноса. В 2-х тт. М.: Энергоиздат, 1985

9. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1978

10. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Т.1. Случайные процессы. М.: Наука, 1976

11. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977

12. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Советское радио, 1977

13. Трэд Г. Асимптотическая теория уравнения Больцмана. II. // В кн.: Некоторые вопросы кинетической теории газов. М.: Мир, с. 93-128

14. Grad Н. Asymptotic equivalence of the Navier-Stokes and nonlinear Boltzmann equations. Proc. symp. appl. math., 1965, vol. 17, p. 154 - 183

15. Arkeryd L. Intermolecular Forses of Infinite Range and the Biltzmann Equation.- Chalmers Univ. of Technology (Sweden). Preprint, 1980

16. Пао Юнг-пинг. Оператор столкновений Больцмана с бесконечной областью действия межмолекулярных потенциалов. // В кн.: Динамика разреженных газов,- М.: Мир, 1976, с. 85-90

17. Сакабеков А. О существовании глобального решения начально-краевой задачи для уравнения Больцмана.- Сиб. матем. журнал, 1993, т.34 № 1, с. 145156

18. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М.: Радио и связь, 1991

19. Хилле Э., Филлипс П. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962

20. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965

21. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М.: Физматлит, 1963

22. Клемент Ф. и др. Однопараметрические полугруппы. Абстрактные дифференциальные уравнения с приложениями. М.: Мир, 1992

23. Шамин Р.В. Полугруппы операторов. М.: РУДН, 2008

24. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. // Обобщенные функции, вып.1, 2-е изд. М.: Физматгиз, 1959

25. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций. // Обобщенные функции, вып.2. М.: Физматгиз, 1958

26. Паламодов В.П. Преобразования Фурье быстро растущих бесконечно дифференцируемых функций // Труды Моск. матем. о-ва., 1962., т.11, с. 309350

27. Функциональный анализ (серия СМБ), под ред. С.Г.Крейна, 2-е изд.- М.: Физматлит, 1972

28. Александров В.Д. Точное решение стационарного уравнения Колмогорова-Феллера. Обозрение прикл. и промышл. матем., 2002, т. 9, вып. 1, с. 106

29. Кинг А.Р. Введение в классическую звездную динамику. Пер. с англ. М.: УРСС, 2011

30. Артемьев В.М., Ивановский A.B. Дискретные системы управления со случайным периодом квантования. М.: Энергоатомиздат, 1986

31. Мамаев В.А., Одишария Г.Э. и др. Гидродинамика газожидкостных смесей в трубах. М.: изд-во "Недра", 1969

32. Баранов H.A., Турчак Л.И. Методы анализа функциональной безопасности сложных технических систем. М.: ВЦ РАН, 2006

33. Баранов H.A., Турчак Л.И. Численное решение уравнения Колмогорова-Феллера // Ж. выч. математики и мат. физики, т. 47, № 7, 2007. С. 1221-1228

34. Баранов H.A., Турчак Л.И. Численное решение уравнения Колмогорова-Феллера с сингулярными особенностями // Ж. выч. математики и мат. физики, т. 50, № 2, 2010. С. 347-351

35. Агошков В.И. Задачи и уравнения теории переноса частиц. М.: Отдел вычислительной математики АН СССР, 1985

36. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу, М.: Мир, 1977

37. Pro с. Symp. Pure Math., v. 28, Part 1, AMS, Providence, 1976

38. N.A. Assad, W.A. Kirk. Pacif. J. Math., v. 43, № 3, 553 (1972)

39. S. Itoh, W. Takahashi. J. Math. Anal. Appl., v. 59, № 3, 514 (1977)

40. Z. Opial. Bull. Am. Math. Soc., v.73, 591 (1967)

41. Губайдуллин Д.А. Динамика двухфазных парогазокапельных сред. -Казань, изд-во Казанского матем. об-ва, 1998

42. Кутателадзе С.С., Стырикович М.А. Гидродинамика газожидкостных систем,- М.: Энергия, 1976

43. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. В 2-х частях. М.: Наука, 1987

44. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980

45. Вычислительные методы в динамике разреженных газов. Сборник статей под ред. В.П. Шидловского. М.: Мир, 1969

46. Басс В.П. Молекулярная газовая динамика и ее приложения в ракетно-космической технике / В. П. Басс. Киев : Наук, думка, 2008

47. Басс В. П. Численные и экспериментальные исследования в динамике разреженного газа / В. П. Басс // Техническая механика. 2008. - № 2 - С. 155л у г\ 10/.

48. Енгибарян Н.Б., Хачатрян А.Х. Вопросы нелинейной теории динамики разреженного газа, Матем. моделирование, т. 16 №1 (2004), 67-74

49. Берд Г., Молекулярная газовая динамика, пер. с англ., М: Мир, 1981

50. Белоцерковский О.М., Ерофеев А.И., Яницкий В.Е. О нестационарном методе прямого статистического моделирования течений разреженного газа, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., т. 20 №4 (1980), с. 1174

51. Белоцерковский О.М., Яницкий В.Е. Численные методы в динамике разреженных газов. В кн. Труды IV Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа и молекулярной газовой динамике. М.: Изд-во ЦАГИ, 1977

52. Иванов М.С., Рогазинский C.B. Сравнительный анализ алгоритмов метода прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., т. 28 №7 (1988), 1058-1070

53. Хлопков Ю.И.Решение линеаризованного уравнения Больцмана, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., т. 13 №5 (1973), 1307-1314

54. Maslova, N. В. Nonlinear evolution equations. Kinetic approach. // Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences, 10. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1993

55. Маслова Н.Б. Теоремы о разрешимости нелинейного уравнения Больцмана // Дополнение II к кн.: Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978, с. 461-480

56. Арсеньев A.A. Задача Коши для линеаризованного уравнения Больцмана. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., т. 5 №5 (1965), 864-882

57. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2.- М.: Мир, 1965

58. Grad H. Asymptotic equivalence of the Navier-Stokes and nonlinear Boltzmann equations.- Proc. Symp. Appl. Math., vol. 17 (1965), p. 154-183

59. Красносельский M.A. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустыльник, П.Е. Соболевский // М.: Физматлит, 1966

60. Харди Г., Литтлвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948

61. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. М.: Мир, 1973

62. Маслова Н.Б. Математические методы исследования уравнения Больцмана // Алгебра и анализ. Т. 3, вып. 1. Л., 1991, с. 3 - 56

63. Müntz E.R. Rarefied gas dynamics // Ann. Rev. Fluid Mech., v. 21, 1989. p. 387-417

64. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. М.: Наука, 1971

65. Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов. М.: ИЛ, 1960

66. Гринберг У., Полевчак Я., Цвайфель П.Ф. Теоремы существования в целом решения уравнения Больцмана // Неравновесные явления: Уравнение Больцмана. М.: Мир, 1986, с. 29-58.

67. Caflich R.E. The Boltzmann equation with a soft potential // Commun. Math, phys., 1980, v. 74, p. 71-95

68. Рид M., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. М.: Мир, 1978.

69. Фомин В. Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. — М.: Наука, 1984

70. Сосулин Н. Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. — М.: Сов. Радио, 1980

71. Сэйдж Э., Мэлс Дж. Теория оценивания и её применение в связи и управлении. — М.: Связь, 1976

72. Браммер К. Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. М.: Наука, 1982

73. Миллер Г.Б., Панков А.Р. Фильтрация случайного процесса в статистически неопределенной линейной стохастической дифференциальной системе, Автомат, и телемех., 2005, № 1, 59-71

74. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация.- М.: Наука, 1990

75. Браммер К. Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. М.: Наука, 1982

76. Богданович В.А., Вострецов А.Г. Теория устойчивого обнаружения, различения и оценивания сигналов.- М.: Физматлит, 2004

77. Шмелев А.Б. Основы марковской теории нелинейной обработки случайных полей.- М.: изд-во МФТИ, 1998

78. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов.- М.: Сов. радио, 1975

79. Граничин О. Н. Введение в методы стохастической оптимизации и оценивания. СПб.: изд-во С.-Петербургского ун-та, 2003

80. Нобл В. Применение метода Винера Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных,- М.: ИЛ, 1962

81. Snyder D.L. Filtering and Detection for Doubly Stochastic Poisson Processes.// IEEE Transactions on Information Theory, IT-19, Jan. 1972, p. 91-103

82. Фортье А. Механика суспензий. M.: Мир, 1971

83. Реология суспензий: Сб. статей. М.: Мир, 1975

84. Цибаров В.А. Кинетическая модель псевдоожиженного слоя. Вестн. Ленингр. ун-та, 1975, №13, с.106-111.

85. Валландер C.B. Уравнения и постановка задач в аэродинамике разреженного газа. В кн.: Аэродинамика разреженных газов. Вып.1. Л.: изд-во Ленингр. ун-та, 1963, с. 7-37.

86. Валландер C.B., Белова A.B. Интегральные кинетические уравнения для смеси газов с внутренними степенями свободы. В кн.: Аэродинамика разреженных газов. Вып.1. Л.: изд-во Ленингр. ун-та, 1963, с. 45-52.

87. Филиппов Б.В. Вариант нестационарных кинетических уравнений.

88. В кн.: Аэродинамика разреженных газов. Вып.1. Л.: изд-во Ленингр. ун-та, 1963, с. 67-73.

89. Басниев, К.С. Нефтегазовая гидродинамика Текст. / Н.М. Дмитриев, Г.Д. Розенберг // Москва Ижевск. 2005.

90. Гусейнзаде, М.А. Неустановившееся движение нефти и газа в магистральных трубопроводах Текст. / В.А. Юфин // Москва Недра, 1983

91. Гусейнзаде, М.А. Методы расчета неустановившегося движения нефтепродуктов и нефтей в магистральных трубопроводах с промежуточными насосными станциями Текст. / Юфин В.А. /7 М. Недра.-1973

92. Козлов, В.Н. Системный анализ, оптимизация и принятие решений Текст. // Москва. 2010

93. Козлов, В.Н. Управления энергетическими системами Текст. // СПб.: Издательство Политехи, ун-та, 2008

94. Козлов, В.Н. Управления энергетическими системами. Электромеханические процессы // СПб.: Издательство Политехи, ун-та, 2000

95. Меренков, А.П. Теория гидравлических цепей Текст. / В.Я. Хасилев // М.: Наука, 1985

96. Попов, Д.Н. Нестационарные гидро-механические процессы Текст. // М.: Маширостроение, 1982.

97. Чарный, И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах Текст.//М.: Недра, 1982.

98. Басниев, К.С. Нефтегазовая гидродинамика Текст. / Н.М. Дмитриев, Г.Д. Розенберг // Москва-Ижевск, ИКИ, 2005.

99. Гусейнзаде, М.А. Неустановившееся движение нефти и газа в магистральных трубопроводах Текст. / В.А. Юфин // М.: Недра, 1983

100. Ф1. Фирсов А.Н. К кинетической теории многокомпонентных эмульсий. I. Основные уравнения. Аэродинамика разреженных газов. Вып. 1III Межвуз. сб. / Под ред. Р.Г. Баранцева, Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983, с. 54 - 67

101. ФЗ. Фирсов А.Н. Моментное представление обобщенных функций. «Высокие интеллектуальные технологии и инновации в образовании и науке»: Материалы XVII Междунар. науч.-метод. конф. 11-12 февраля 2010 г. Том 2. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2010, с. 66-68

102. Ф5. Фирсов А.Н. Метод моментов в теории обобщенных функций и его приложения в задачах системного анализа и управления. Основы теории. // НТВ СПбГПУ, сер. «Информатика, телекоммуникации, управление», вып. 6, 2010.-с. 74-81

103. Ф6. Фирсов А.Н. Слабо компактные множества и неподвижные точки нерастягивающих отображений в банаховом пространстве. // Доклады АН СССР, 1980, т. 254, № 3, с. 559 561

104. Ф9. Фирсов А.Н. О разрешимости в целом задачи Коши для нелинейного уравнения Больцмана. / Маслова Н.Б., Фирсов А.Н. // Труды Всесоюзной конф. по уравнениям с частными производными. Изд-во МГУ, М., 1978, с. 376-377

105. Ф11. Фирсов A.H. Об одной задаче Коши для нелинейного уравнения Больцмана. // Аэродинамика разреженных газов, вып. 8. Изд-во ЛГУ, Л., 1976, с. 22-37

106. Ф12. Фирсов А.Н. Решение задачи Коши для уравнения Больцмана. I. / Маслова Н.Б., Фирсов А.Н. // Вестник Ленингр. Ун-та, 1975, № 19, с. 83 88

107. Ф13. Фирсов А.Н. Решение задачи Коши для уравнения Больцмана. II. /

108. Маслова Н.Б., Фирсов А.Н. // Вестник Ленингр. Ун-та, 1976, № 1, с. 97 103

109. Ф14. Фирсов А.Н. Теоремы существования и единственности решения одной внешней граничной задачи для уравнения Больцмана. // Вестник Ленингр. Ун-та, 1975, №7, с. 110- 117

110. Ф19. Решение задачи об управлении нестационарной транспортировкой вязкой жидкости по системе трубопроводов. / Нгуен Д.Х., Козлов В.Н.,

111. Фирсов А.Н. // НТВ СПб ГПУ, сер. «Информатика, телекоммуникации, управление», вып. 6, 2011. с. 190-194