Обработка гравиметрических и магнитометрических данных на основе вейвлетов Пуассона тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, кандидат наук Кузнецов Кирилл Михайлович

• Кузнецов Кирилл Михайлович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Кузнецов Кирилл Михайлович

Введение

1. Обзор работ по теме диссертации

1.1. Основы вейвлет-анализа

1.2. Вейвлет-анализ в обработке потенциальных полей

2. Вейвлет-преобразования одномерных данных потенциальных полей

2.1. Основы вейвлет-преобразования

2.2. В ейвлеты Пуассона

2.3. Комплексные вейвлеты Пуассона

2.4. Алгоритм численной реализации вейвлет-преобразования

2.5. Возможности локализации источников аномалий вейвлетами Пуассона

2.6. Применение вейвлетов Пуассона более высоких порядков для локализации особых точек

2.7. Интерпретация реальных потенциальных полей на основе вейвлет-преобразования

2.8. Применение непрерывного вейвлет преобразования для вычисления эквивалентного распределения масс и намагниченности

2.9. Трансформации потенциальных полей на основе вейвлетов Пуассона

2.10. Фильтрация профильных потенциальных полей

3. Вейвлет-преобразования двумерных данных потенциальных полей

3.1. Основы вейвлет-преобразования двумерных сигналов

3.2. Оптимизация алгоритма численной реализации вейвлет-преобразования

3.3. Визуализация результатов вейвлет-преобразования двумерных сигналов

3.4. Исследование возможности локализации источников аномалий с использованием двумерных вейвлетов Пуассона

3.5. Интерпретация площадных потенциальных полей на основе вейвлет-преобразований с вейвлетами Пуассона

3.6. Применение непрерывного площадного вейвлет-преобразования для вычисления эквивалентного объемного распределения плотности и намагниченности

3.7. Трансформации площадных потенциальных полей на основе вейвлетов Пуассона

3.8. Фильтрация площадных потенциальных полей

Заключение

Список литературы

-

Введение

Задача изучения строения Земли является одной из передовых задач современной науки. Важнейшую роль в ее решении играет комплекс геофизических методов. В настоящее время в связи с развитием цифровых технологий возрастают возможности методов, опирающихся на изучение потенциальных полей. К ним, в первую очередь, относятся гравиразведка и магниторазведка. Применение современной аппаратуры позволяет получать сигналы потенциальных полей с высокой детальностью и точностью. В связи с этим весьма актуальным становится вопрос разработки и развития новых подходов и алгоритмов их обработки и интерпретации. Стоит отметить, что анализируемые наблюдаемые гравитационное и магнитное поля содержат суммарный эффект всех источников. В связи с этим важной и актуальной задачей при их интерпретации является выделение составляющих, отвечающих изучаемым объектам.

Один из наиболее популярных подходов к анализу потенциальных полей строится на использовании преобразований Фурье и анализе разложения сигнала в ряд гармонических функций [Литвиненко, 1969]. Несмотря на то, что его развитие приходится на вторую половину прошлого века, он и по сей день находит свое активное применение. Наибольшую популярность имеет тригонометрический ряд Фурье, позволяющий разложить сигнал в ортогональный ряд с использованием функций sin(x) и cos(x) [Тихонов, 1968; Чуи, 2001].

Наряду с этим, в начале прошлого века в работах венгерского математика Альфреда Хаара был предложен математический аппарат разложения сигнала на систему функций, в последствии названный «вейвлет-преобразованием». Такие базисные функции строятся путем масштабирования и сдвига исходной (базисной или материнской) функции. Подробнее математические аспекты вейвлет-преобразования будут описаны в главах 2 и 3 для одномерных и двумерных сигналов соответственно. Результат разложения на вейвлеты называется вейвлет-спектром. Можно ожидать, что вейвлет-преобразование будет более информативным, чем анализ гармонических составляющих сигнала.

Вейвлет-анализ на сегодняшний день широко применяется в различных областях науки. Группа функций, на основе которых могут быть построены вейвлеты, очень широка [Астафьева, 1996; Яковлев, 2003; Никитин, 2010]. Одним из возможных вариантов является группа базисов, построенная на второй и более высоких производных ядра Пуассона. Анализ потенциальных полей на основе таких вейвлетов был предложен в конце 90-х годов французским геофизиком Фредериком Моро [Moreau, 1997, 1999].

Предлагаемая работа посвящена исследованию и развитию возможностей применения вейвлет-анализа на основе группы вейвлетов Пуассона при обработке и интерпретации данных потенциальных полей. Здесь и далее под обработкой понимается любое преобразование сигнала, которое может использоваться на разных стадиях гравиметрических и магнитометрических работ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обработка гравиметрических и магнитометрических данных на основе вейвлетов Пуассона»

Актуальность темы исследования

Увеличение детальности и точности измерений гравитационного и магнитного полей обеспечивает возможность построения более детальных моделей изучаемой среды. Они могут затрагивать различные тектонические или структурные системы, которые в свою очередь создают поля с различными спектральными характеристиками. Как и любые геофизические сигналы, потенциальные поля обладают пространственной нестационарностью, то есть в зависимости от выборки, в частности при смене пространственного положения, ее частотный состав меняется. В таком случае подход, основанный на анализе разложения сигнала в ряд гармонических функций может быть осложнен. Одним из путей решения этой проблемы может быть применение алгоритмов, построенных на вейвлет-преобразованиях, поскольку они не предполагают стационарность сигнала и каждый элемент базиса, построенного на вейвлетах привязан (локализован) в пространстве.

Во многих работах, посвященных применению вейвлетов, построенных на основе ядра Пуассона при анализе потенциальных полей, отмечается связь вейвлет-спектра и особых точек аномальных потенциальных полей [Могеаи, 1997; Утемов, 2005; Оболенский 2011а]. Это также показано в главах 2 и 3 диссертации.

Использование в обработке гравиметрических и магнитометрических данных подходов, построенных на основе вейвлет-преобразований, позволяет получить дополнительные формализованные параметры потенциальных полей, которые могут быть использованы на этапе создания обобщенных моделей по данным комплекса геофизических методов.

Степень разработанности

Вейвлет-преобразования на сегодняшний день применяются в различных областях естественных наук [Астафьева, 1996]. В связи с этим опубликовано большое количество работ, посвященных общим положениям теории и практики, при этом примеры использования вейвлет-спектров при анализе и интерпретации потенциальных полей упоминаются достаточно редко. Вейвлетам Пуассона, применение которых является

предметом данного исследования, посвящено лишь небольшое количество публикаций [Moreau, 1997; Утемов, 2005]. То есть, единого подхода или алгоритма вейвлет-анализа, всецело применяющегося при интерпретации гравиметрических и магнитометрических данных в настоящее время не реализовано. Более подробный обзор работ, связанных с темой диссертационной работы представлен в главе 1.

Цели и задачи работы

Основной целью работы является исследование возможностей применения вейвлетов Пуассона при обработке и интерпретации гравиметрических и магнитометрических данных. Для этого потребовалась разработка алгоритмов расчета вейвлет-спектров одномерных и двумерных потенциальных полей и их реализация.

Для достижения поставленной цели необходимо было выполнить несколько задач:

1) Проанализировать существующие работы, описывающие теоретические основы вейвлет-преобразований, а также теорию и примеры применения вейвлетов на основе ядра Пуассона в задачах обработки потенциальных полей.

2) Изучить отражение особых точек профильных и площадных аномальных гравитационных и магнитных полей на вейвлет-спектрах.

3) Создать алгоритмы трансформаций потенциальных полей на основе вейвлет-преобразований.

Каждый этап работы сопровождался разработкой определенного расчетного алгоритма и его программной реализацией.

Научная новизна

Полученные в работе результаты расширяют возможности применения спектральных методов обработки и анализа потенциальных полей. В диссертации описаны основные алгоритмы непрерывного вейвлет-преобразования с группой вейвлетов Пуассона.

• Показано, что вейвлет-анализ позволяет дать оценки спектрально-пространственных характеристик сигнала.

• Предложены алгоритмы локализации особых точек аномальных потенциальных полей.

• Рассмотрены возможности применения вейвлетов Пуассона для трансформации профильных и площадных гравитационных и магнитных полей таких, как расчет эквивалентных распределений плотности и намагниченности, пересчет в верхнее и нижнее полупространства, редукция к полюсу и фильтрация.

Разработаны алгоритмы, которые позволяют быстро и эффективно решать поставленные задачи.

Теоретическая и практическая значимость работы

В рамках данной работы созданы и реализованы подходы к локализации особых точек потенциальных полей и их трансформациям, основанные на вейвлетах Пуассона. Предложенные алгоритмы позволяют повысить информативность результатов обработки данных гравиразведки и магниторазведки. На модельных и практических примерах продемонстрированы возможности применения таких подходов при анализе и интерпретации потенциальных полей.

Разработанные автором алгоритмы, описанные в работе, реализованы в виде компьютерных программ. Все разработанные методы и алгоритмы ориентированы на снижение вычислительных затрат, позволяют ускорить процесс расчета вейвлет-спектров и тем самым увеличить объем получаемой информации за ограниченный промежуток времени.

Методология и методы исследования

Все предлагаемые алгоритмы реализованы в виде программ на языке С++. В рамках диссертационной работы все численные алгоритмы сведены в две программы - отдельно для профильных и отдельно для площадных данных. В каждой реализованы алгоритмы расчета и визуализации вейвлет-спектров соответствующих гравитационных и магнитных полей, что позволяет проводить их качественный анализ. В программах представлены функции локализации особых точек, пересчета в эквивалентные распределения плотностей или намагниченностей, пересчета в верхнее и нижнее полупространства, редуцирования магнитного поля и фильтрации.

Защищаемые положения

На защиту выносятся следующие защищаемые положения:

1) Положение особых точек аномальных гравитационных и магнитных полей возможно определить, анализируя вейвлет-спектры, полученные вейвлетами Пуассона.

2) На основе вейвлет-преобразований группой вейвлетов Пуассона решаются задачи корректных и некорректных трансформаций и фильтрации полей.

3) Предложенные алгоритмы расчета вейвлет-спектров потенциальных полей, основанные на использовании свойств дискретного спектра сигналов и возможностей

многоядерных процессоров и методик распараллеливания вычислений, позволяют повысить точность вычислений и ускорить расчеты.

Степень достоверности и апробация

Основные результаты работы изложены в 12 научных публикациях:

• Опубликованы 5 статей в журналах Scopus, WoS, RSCI [Кузнецов, 2015а, 2017а, 2017в, 2017д; Афанасенков, 2017], одна из которых переведена на английский язык [Kuznetsov, 2016].

• Защищаемые положения 1 и 2 о применении вейвлетов Пуассона к профильным потенциальным полям докладывались на конференциях «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. Международный семинар им. Д.Г. Успенского» и конференции «Ломоносов» в 2014 году [Кузнецов, 2014а, 20146].

• В 2017, 2018 годах на «семинаре им. Д.Г. Успенского» были доложены результаты, посвященные всем защищаемым положениям [Кузнецов, 2017б, 2018].

• В 2015 на конференции XXII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2015" были представлены результаты 2-го защищаемого положения, касающиеся профильных потенциальных полей [Кузнецов, 2015в].

• В 2015 и 2017 годах на III и IV Школах-конференциях «Гординские чтения» соответственно докладывались все основные положения диссертации [Кузнецов, 2015б, 2017г].

Личный вклад автора

Все алгоритмы и результаты, представленные в данной работе, получены автором

лично.

Благодарности

Работа выполнена в лаборатории гравиразведки геологического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова. Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Андрею Александровичу Булычеву за многолетнюю всестороннюю поддержку и помощь в изучении многочисленных аспектов методов потенциальных полей. Автор искренне признателен сотрудникам лаборатории гравиразведки: Лыгину Ивану Владимировичу, Соколовой Татьяне Борисовне, Фадееву Александру Александровичу, Гилод Ларисе

Алексеевне, Кривошее Константину Валерьевичу за всестороннюю поддержку и ценные советы при выполнении работы.

Автор посвящает эту работу своим родителям Кузнецову Михаилу Владимировичу и Ивановой Марине Владимировне, которые подарили возможность написания и работы над данной диссертацией.

1. Обзор работ по теме диссертации

1.1. Основы вейвлет-анализа

В последние десятилетия идет активное развитие различных алгоритмов обработки цифровых сигналов на основе вейвлет-преобразований. В связи с этим количество публикаций по данной тематике год от года активно растет. Сложно охватить весь объем работ, посвященных фундаментальным основам вейвлет-преобразований. Стоит отметить, что большинство основополагающих, базовых работ о вейвлетах представлены на английском языке.

К наиболее значимым, отражающим математическую суть, можно отнести работы Ингрид Добеши [Daubechies, 1992] и Чарльза К. Чуи [Chui, 1992;]. Также можно отметить книги американских ученых И. Мейера [Mayer, 1992], Г. Кайзера [Kaiser, 1994] и Л. Ховарда и О. Раймонда [Howard, 1998] и немецкого ученого К. Блаттера Также в 2004 году была переведена работа Блаттера К. [Blatter, 1998]. Стоит отметить, что некоторые из них были переведены на русский язык [Добеши, 2001; Чуи, 2001; Блаттер, 2004]. Во всех представленных работах собраны и отражены теоретические основы вейвлет-преобразований сигналов, особенности математических аппаратов различных подходов к вычислению вейвлет-спектров. Публикации содержат множество примеров применения вейвлет-анализа с многочисленными типами вейвлетов в различных сферах науки.

Среди работ российских авторов следует выделить работы Дьяконова В.П. [Дьяконов, 2002], А.Н. Яковлева [Яковлев, 2003] и работу В.И. Воробьева и В.Г. Грибунина [Воробьев, 1999] «Теория и практика вейвлет-преобразования». Стоит отметить, что В.Г. Грибунин является автором большинства переводов иностранных книг по данной тематике. Интересным также является учебно-практическое пособие, составленное Юдиным М.Н., Фарковым Ю.А. и Филатовым Д.М. [Юдин, 2001]. В нем кратко изложены основные представления и аппарат вейвлет-анализа. Также стоит обратить внимание на работы, которые были опубликованы в разные года в журнале «Успехи физических наук». Это работы Астафьевой Н.М. [Астафьева, 1996] и группы авторов Дремин И.М., Иванов О.В. и Нечитайло В.А. [Дремин, 2001], в которых приведено множество примеров применения вейвлет-преобразования в самых различных областях науки. Можно отметить книгу Короновского А. А. и Храмова А.А. «Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения» [Короновский, 2003], в которой описано применение непрерывного вейвлет-преобразования. В ней собраны результаты многочисленных статей и дано обобщение международного опыта применения, именно непрерывного вейвлет-преобразованию.

В связи с развитием вычислительной техники все чаще встречаются книги, освещающие особенности реализации вейвлет-преобразований на компьютере. К таким можно отнести работу Стефана Уэлстида [Уэлстид, 2003]. В ней описаны различные примеры реализации вейвлет-преобразования в среде C/C++, а также описаны возможности применения фракталов. Также в работе Н.К. Смоленцева [Смоленцев, 2005] описаны особенности применения вейвлетов в системе Matlab.

Во всех перечисленных выше работах описана математическая сторона вопроса применения вейвлет-преобразования. Основные примеры построены на модельных физических сигналах и в большинстве случаев относятся к компьютерной обработке изображений. Предложенная диссертационная работа выходит за рамки подобных исследований. Здесь уместно отметить, что несмотря на то, что изображения можно рассматривать как двумерный сигнал, но основы применения вейвлет-преобразования с использованием двумерного ядра встречаются редко. В работе Добеши [Daubechies, 1992] упоминается о возможности использования вейвлет-преобразований при обработке многомерных сигналов и описаны некоторые особенности построения их вейвлет-спектров, но конкретного математического аппарата не представлено. В некоторых публикациях рассмотрены основы применения лишь дискретного двумерного вейвлет-преобразования [Юдин, 2001]. В многочисленных работах оно строится путем применения вейвлетов, являющихся тензорными произведением одномерных вейвлетов [Daubechies, 1992; Юдин, 2001; Смоленцев, 2005]. Среди прочих можно отметить объёмную работу, посвященную цифровой обработке изображений, американских ученых Gonzales и Woods [Gonzales, 2008] и Liu [Liu, 2010]. В них приведено описание применения вейвлет-преобразования при анализе сигналов с двумерным вейвлетом.

1.2. Вейвлет-анализ в обработке потенциальных полей

Рассмотрим более подробно опубликованные материалы, посвященные применению вейвлет-анализа при обработке и интерпретации потенциальных геофизических полей, в том числе на основе вейвлетов Пуассона.

В данной области существует сравнительно небольшое количество публикаций. Стоит отметить, что одним из пионеров вейвлет-анализа в целом является французский геофизик Жан Морле. Но его работы посвящены обработке сейсмических данных [Morlet, 1982], и не имеют выхода на потенциальные поля, являющиеся предметом данной диссертационной работы.

Вклад французской школы в развитие вейвлет-анализа потенциальных полей

Основы использования вейвлет-преобразований применительно к данным потенциальных полей описаны в более поздних статьях французского автора Фредерика Моро [Могеаи, 1997, 1999]. Им предложено применение группы вейвлетов, построенных на ядре Пуассона, подробно описаны математические основы их применения и расчетов в комплексной области. В данных работах основные примеры представляют собой магнитные поля элементарных источников и в них показаны возможности оценки глубины особых точек источников потенциальных полей.

Дальнейшее развитие предложенный алгоритм получил в работах французских исследователей Уильяма Мартеле, Паскаля Сейлхака. В одной из их более ранних работ [МаЛе1е1;, 2001] рассматриваются возможности применения вейвлет-преобразований к гравитационным полям. Большая часть статьи посвящена рассмотрению возможности определения геометрических параметров источников в виде ступеней с различными наклонами и глубинами при помощи вейвлетов Пуассона. Алгоритм поиска особых точек основан на геометрических построениях путем поиска пересечений прямых линий, проведенных через зоны максимального градиента (Рис. 1.1). Также в работе упоминается о возможности применения комплексного вейвлета Пуассона. В конце статьи демонстрируется успешное применение вейвлет-анализа на примере профиля, проходящего через Гималаи в Непале. Построенные в результате интерпретации модели были подтверждены бурением.

Рис. 1. 1 Вейвлет-спектр (а) гравитационного эффекта (Ь) двумерного точечного источника. Линии проведены через зоны максимального градиента [МаЛе1е1;, 2001]

Следующий этап развития вейвлет-анализа французскими учеными отражен в их работе 2004 года [Vallee, 2004]. В ней описаны алгоритмы вычисления по вейвлет-спектрам структурных индексов. Они соответствуют степени однородности функции и связаны со степенью затухания потенциального поля [Блох, 2009]. Также в статье приведены формулы для численной оценки глубин источников по вейвлет-спектру, полученному с вейвлетами Пуассона.

Дальнейшему развитию идей применения вейвлетов Пуассона при анализе потенциальных полей посвящена работа Хассина Букербута и Доминика Гиберта [Boukerbout, 2006]. В ней предложены алгоритм применения риджлет-преобразования1 к площадным данным. Такой подход позволил хорошо локализовать положение аномалий вытянутых объектов и оценить глубину до особых точек.

Одна из последних работ французских ученых, посвященная вейвлет-преобразованиям потенциальных полей, датируется 2009 годом [Sailhac, 2009]. В ней дан подробный анализ основных разработок в этой области, начиная с момента выхода одной из первых статей, посвященной данной тематике [Moreau, 1997]. В статье кратко собраны основные положения, предложенные в более ранних работах, а также кратко описана возможность применения двумерных вейвлетов Пуассона. Авторами подробно рассматривается зависимость соотношения сигнала и шума с увеличением высоты (глубины) пересчета и предложены идеи фильтрации потенциальных полей. Но основной целью вейвлет-анализа в статье все же ставят поиск положения и формы источника. В работе показаны возможности риджлет-анализа к площадным данным, который позволяет автоматически определять положения источников, их форму и направление. Все продемонстрированные в статье примеры применения вейвлет-преобразования построены лишь на модельных данных.

Таким образом за более чем десятилетнюю историю развития вейвлетов Пуассона французские ученые в своих работах рассмотрели возможности и алгоритмы локализации особых точек для профильных аномальных гравитационных и магнитных полей и возможности риджлет-анализа для площадных потенциальных полей.

Анализ потенциальных полей на основе вейвлетов Пуассона

Изучение вейвлет-анализа потенциальных полей ведут итальянские ученые из университета Ниаполи. Стоит отметить, что основные подходы, продемонстрированные в

1 Риджлет-анализ - вейвлет-анализ двумерных сигналов в области Радона. Трансформация представляет из себя одномерное вейвлет-преобразования к строкам (или столбцам) массива Радон-коэффициентов [Holschneider, 1995].

их работах схожи с подходами и основаны на предложенных французскими учеными в описанных выше работах идеях [Moreau, 1997; Sailhac, 2009]. В статье группы авторов [Fedi, 2010] рассматриваются возможности применения площадных вейвлетов для анализа гравитационного поля на примере эффектов от тел, представляющих собой наклонные параллелепипеды. Показана эффективность обнаружения латерального положения границ тела путем выделения зон максимального градиента вейвлет-спектра. Надежно восстанавливается положение верхней кромки тела, а положение нижней кромки восстановить не удается. В статье приведен пример применения технологии вейвлет-анализа для гравитационного поля в районе вулкана Везувий. Указано, что положение источников, определённых при помощи вейвлет-преобразований совпадает с результатами, полученными ранее другими геофизическими методами. В статье упоминается о применении различных масштабных коэффициентов для поиска источников различной формы для одномерных вейвлет-преобразований.

В работах различных авторов можно встретить различные примеры использования вейвлетов Пуассона при анализе наблюденных потенциальных полей. Одной из таких является статья индийского ученого Шамоли [Chamoli, 2006]. В ней повторены расчеты, выполненные Моро [Moreau, 1997], и продемонстрировано успешное применение вейвлет-преобразований с использованием ядра Пуассона при интерпретации гравитационного поля по двум профилям в Индийском океане. В работе Г.Р. Купера [Cooper, 2006] продемонстрировано сравнение результатов непрерывного вейвлет-преобразования вейвлетами Пуассона и результатов деконволюции Эйлера на модельных данных и профилях аэромагнитной съемки на территории ЮАР. В заключении автор приходит к выводу, что использование вейвлет-анализа к производным анализируемого поля позволяет получить полезную информацию, и в то же время обращает внимание на возрастание шумов при использовании высоких производных. В работе исследователей [Oruç, 2011] также проведено сравнение результатов деконволюции Эйлера и результатов вейвлет-преобразования. Авторами отмечается, что применение комплекса этих методов позволило получить больше геологической информации по магнитному полю на изучаемой площади в Турецкой провинции Синоп. В этой статье описаны возможности выделения линейных аномалий на основе применения вейвлет-преобразований с использованием вейвлетов Пуассона к площадным потенциальным полям путем последовательного применения одномерного вейвлет-преобразования вдоль одного направления и в крест ему.

Применение различных вейвлетов при анализе потенциальных полей

Наряду с работами, посвященными вейвлетам Пуассона, встречаются статьи, в которых вейвлет-анализ потенциальных полей проводится с вейвлетами других типов для

решения задач локализации аномалий гравитационного и магнитного полей. Примером может служить статья турецких авторов [Ucan, 2001], в которой описано применение различных вейвлетов (Хаара, Коэфлет, Добеши) в задачах гравиразведки. На примере гравитационного поля в районе Саросского залива. Показаны горизонтальные и вертикальные составляющие вейвлет-спектров, в которых четко проявлены различные тектонические структуры. Авторы отмечают, что построения, выполненные с применением вейвлет-анализа потенциальных полей, хорошо сопоставляются с данными сейсморазведки. К сожалению, в статье нет описания алгоритмов и не ясно, каким образом получен результат.

В Китае наряду с развитием алгоритмов вейвлет-анализа для оценки глубины источника ведутся исследования возможностей фильтрации потенциальных полей при помощи вейвлет-анализа [Ya Xu, 2009]. В статье представлены результаты применения вейвлета Гало, который является частным видом вейвлета Морле, к площадным модельным и реальным гравитационным полям для решения задачи выделения различных компонент поля. Для примера используется анализ гравитационного поля северной части Китая. Авторам удалось выделить компоненты поля, которые отвечают трем плотностным слоям, наличие которых подтверждается данными сейсморазведки и магнитотеллурического зондирования.

Также встречаются статьи, посвященные применению идей, предложенных Моро [Moreau, 1997] к профильным данным метода Естественного Потенциала (ЕП). В работе канадских и французских ученых [Mauri, 2010] описано успешное использование вейвлетов Пуассона при оценке глубин до источников гидротермальных аномалий по данным профилирования методом ЕП.

Таким образом, за рубежом встречаются большое количество работ, которые посвящены вейвлет-анализу при решении задач гравиразведки и магниторазведки. При обработке потенциальных полей применяются как вейвлеты Пуассона, так и вейвлеты других типов.

Развитие вейвлет-анализа потенциальных полей в России

В России применение вейвлет-преобразований при анализе данных потенциальных полей является новым и развивающимся направлением.

В работах авторов из Казанского Федерального Университета Утемова Э.В. и Нургалиева Д.К. [Утемов, 2005, 2010, 2013] рассмотрены возможности применения вейвлет-анализа для решения задачи локализации источников гравитационного поля. Вейвлеты, используемые в статьях названы «естественными». Они отличаются от вейвлетов Пуассона линейными коэффициентами. Также проведена их аналогия в

комплексном виде с вейвлетом Паули. Коэффициенты, отличающие «естественные» вейвлеты от вейвлетов Пуассона, позволили связать вейвлет-спектр с распределениями плотностных неоднородностей, создающих аномалии поля силы тяжести. Для локализации положения нескольких точечных источников, по их суммарному эффекту был предложен «семафорный» алгоритм. Он заключается в последовательном выделении положения экстремума от вышележащего источника и вычитании эффекта от него. Примеры в статьях показали хорошую точность такого подхода. В статьях также рассмотрены возможности применения вейвлет-анализа к реальным гравитационным полям вдоль геотраверса в Татарстане. Стоит отметить, авторами представлены формулы для площадного «естественного» вейвлета.

В Горном институте Уральского отделения РАН также ведутся работы по исследованию возможностей применения вейвлет-преобразований при обработке потенциальных полей. Основное направление развитие применения вейвлет-анализа в обработке и интерпретации в работах Долгаля А.С. и Бычкова С.Г. [Долгаль, 2014; Бычков, 2015] связано быстрым дискретным вейвлет-преобразованием с вейвлетами Хаара. Большой интерес представляют работы Пугина А.В. и его коллег [Пугин, 2007], в которых отражены основные математические подходы в применении вейвлет-анализа при представлении экспериментальных данных, что позволяет снизить затраты при обработке данных большой размерности и повысить качество интерпретационных построений. Но стоит отметить, что применение вейвлетов Хаара к потенциальным полям выходит за рамки данной диссертационной работы.

На геофизическом факультете Российского Государственного Геологоразведочного Университета проводились исследования возможности применения вейвлет-анализа при обработке геофизической информации. Стоит отметить, что одно из учебно-практических пособий, систематизирующее фундаментальные положения вейвлет-анализа, издано в этом университете [Юдин, 2001]. В кандидатской диссертации Пискуна П.В. [Пискун, 2006] рассмотрены возможности применения вейвлет-анализа в различных методах геофизики, в том числе методах потенциальных полей. В работе выполнен обзор большого количества типов вейвлетов и описана математика вейвлет-преобразований. Для анализа гравитационного поля было предложено использовать вейвлеты Пуассона, а для анализа магнитного поля - DOG-вейвлеты (производные функции Гаусса) и RASP-вейвлеты (вейвлеты на основе рациональных функций).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кузнецов Кирилл Михайлович, 2018 год

Список литературы

1. Астафьева, Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения / Н.М. Астафьева // Успехи физических наук. - 1996. - № 11. - С. 1145-1170.

2. Афанасенков, А.П. Объемная реконструкция тектонических элементов Енисей-Хатангской рифтовой системы по результатам комплексной геолого-геофизической интерпретации / А.П. Афанасенков, И.В. Лыгин, А.Н. Обухов, Т.Б. Соколова, К.М. Кузнецов // Геофизика. - 2017. - № 2. - С. 60-70.

3. Баранов, В. Потенциальные поля и их трансформации в прикладной геофизике / В. Баранов - М.: Недра, 1980. - 151 с.

4. Блаттер, К. Вейвлет анализ. Основы теории / К. Блаттер - М.:Техносфера, 2004. -280 с.

5. Блох, Ю.И. Интерпретация гравитационных и магнитных аномалий. Учебное пособие / Ю.И. Блох - 2009. - 232 с.

6. Божокин, С.В. Непрерывное вейвлет-преобразование и точно решаемая модель нестационарных сигналов / С.В. Божокин // Журнал технической физики. - 2012. - № 7. -С. 8-13.

7. Болотин, Ю.В. Сферический вейвлет-анализ аэрогравиметрических данных / Ю.В. Болотин, В.С. Вязьмин // Геофизические исследования. - 2012. - № 2. - С. 33-49.

8. Булычев, А.А. Двумерное структурно-плотностное моделирование строения тектоносферы акватории южной части Индийского океана/ А.А. Булычев, Д.А. Гилод, Е.П. Дубинин // Геофизические исследования. - 2015. - Т. 16, № 4. - С. 15-35.

9. Булычев, А.А. Методы обработки и интерпретации потенциальных полей на основе аппарата спектральных преобразований: дис... канд. физ.-мат. наук: 01.04.12 / Булычев Андрей Александрович. - М., 1985. - 145 с.

10. Бычков, С.Г. Вычисление аномалий силы тяжести при высокоточных гравиметрических съемках / С.Г. Бычков, А.С. Долгаль, А.А. Симанов - Пермь: УрО РАН. - 2015 - 142 с.

11. Воробьев, В.И. Теория и практика вейвлет-преобразования / В.И. Воробьев, В.Г. Грибунин - СПб.: ВУС, 1999. - 204 с.

12. Вязьмин, В.С. Локальное определение аномалии силы тяжести по данным аэрогравиметрии с использованием сферического вейвлет-разложения: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.02.01 / Вязьмин Вадим Сергеевич. - М., 2014. - 108 с.

13. Гравиразведка. Справочник геофизика / Под редакцией Е.А. Мудрецовой, К.Е. Веселова. - М.: Недра. - 1990. - 607 с.

14. ГОСТ 24284-80. Гравиразведка и магниторазведка. Термины и определения. - М.: Изд-во стандартов, 1980. - 19 с.

15. Добеши, И. Десять лекций по вейвлетам. Пер. с англ. / И. Добеши - М.: РХД, 2001.

- 464 с.

16. Долгаль, А.С. Моделирование геологических объектов и геофизических полей с использованием вейвлетов Хаара / А.С. Долгаль // Вестник Пермского университета. Геология. - 2014. - № 4. - С. 66-80.

17. Дополнительные главы курса гравиразведки и магниторазведки / Сост. Г.И. Каратаев, Г.Я. Голиздра, В.Н. Страхов, О.А. Соловьев - Новосибирск: изд-во НГУ. - 1966.

- 560 с.

18. Дремин, И.М. Вейвлеты и их использование / И.М. Дремин, О.В. Иванов, В.А. Нечитайло - Успехи физических наук. - 2001. - № 5. - С. 465-501.

19. Дьяконов, В.П. Вейвлеты. От теории к практике / В.П. Дьяконов - М.: СОЛОН-Р, 2010. - 448 с.

20. Ермаков, А.П. Совместные сейсмо-гравиметрические исследования на территории проведения учебно-научных геофизических практик (д. Александровка, калужская обл.) / А.П. Ермаков, И.В. Лыгин, О.О. Литвякова, А.В. Толмашенко // Ломоносовские чтения 2015. Геология. - 2015. - 2 с.

21. Жданов, М.С. Аналоги интеграла типа Коши в теории геофизических полей / М.С. Жданов - М.: Наука, 1984. - 327 с.

22. Ильин, В.А., Математический анализ. - 2-е изд., перераб. и доп.: в 2 ч. Ч.2. / В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл. Х. Сендов, под ред. А. Н. Тихонова - М.: Изд-во Проспект, 2007. - 368 с.

23. Кобрунов, А.И. Об одном методе s-эквивалентных перераспределений и его использовании при интерпретации гравитационных полей / А.И. Кобрунов, В.А. Варфоломеев // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1981. - № 10. - С.25-44.

24. Короновский, А.А. Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения / А.А. Короновский, А.Е. Храмов - М.: Физматлит, 2003. - 176 с.

25. Кузнецов, К.М. Трансформации потенциальных полей на основе непрерывного вейвлет-преобразования / К.М. Кузнецов, И.В. Оболенский, А.А. Булычев // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: Материалы 41 -й сессии Международного семинара им. Д.Г. Успенского. - 2014. - С. 178-180.

26. Кузнецов, К.М. Трансформации гравитационного поля с использованием непрерывного вейвлет-преобразования / К.М. Кузнецов // Сборник тезисов XXI

Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2014". Геология. - 2014.

27. Кузнецов, К.М. Трансформации потенциальных полей на основе непрерывного вейвлет-преобразования / К.М. Кузнецов, И.В. Оболенский, А.А. Булычев // Вестник Московского университета. Серия 4: Геология. - 2015. - № 6. - С. 61-70.

28. Кузнецов, К.М. Анализ потенциальных полей на основе комплексных вейвлетов Пуассона. / К.М. Кузнецов, И.В. Оболенский, А.А. Булычев // Материалы III Школы-семинара Гординские чтения. - 2015. - С. 124-129.

29. Кузнецов, К.М. Анализ потенциальных полей на основе комплексных вейвлетов Пуассона / К.М. Кузнецов // Сборник тезисов «Ломоносов 2015. XXII международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных. Геология» - 2015.

30. Кузнецов, К.М. Алгоритм численного решения прямой задачи гравиметрии от сферического слоя переменной плотности / К.М. Кузнецов, И.В. Лыгин, А.А. Булычев // Геофизика. - 2017. - №1. - С. 22-27.

31. Кузнецов, К.М. Анализ двумерных потенциальных полей на основе вейвлетов Пуассона / К.М. Кузнецов, А.А. Булычев // Материалы 44-й сессии Международного семинара им. Д.Г. Успенского Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. - 2017. - С. 174-177.

32. Кузнецов, К.М. Анализ площадных потенциальных полей на основе вейвлетов Пуассона / К.М. Кузнецов, А.А. Булычев // Геофизика. - 2017. - №6. - С. 25-32.

33. Кузнецов, К.М. Анализ профильных и площадных потенциальных полей на основе вейвлетов Пуассона / К.М. Кузнецов, А.А. Булычев // Материалы IV Школы - семинара Гординские чтения - 2017. - С. 75-81.

34. Кузнецов, К.М. Вейвлеты Пуассона в задачах обработки площадных потенциальных полей / К.М. Кузнецов, А.А. Булычев // Вестник КРАУНЦ. Науки о Земле. - 2017. - № 4. -С. 72-78.

35. Кузнецов, К.М. Применение вейвлетов Пуассона при анализе площадных потенциальных полей / К.М. Кузнецов, А.А. Булычев, И.В. Лыгин // Материалы 45-й сессии Международного семинара им. Д.Г. Успенского Вопросы теории и практики геологической интерпретации геофизических полей. — ИГиНГТ КФУ Казань, 2018. — С. 39-40.

36. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1958. - 678 с.

37. Литвиненко, О.К. О сглаживании случайных погрешностей и вычислении вертикальной производной потенциальной функции на основе метода регуляризации / О.К.

Литвиненко, В.Р. Мелихов // Вестник Московского университета. Серия 4: Геология. -1969. - № 6. - С. 68-76.

38. Магниторазведка. Справочник геофизика / Под редакцией В.Е. Никитского, Ю.С. Глебовского. - М.: Недра. - 1990. - 490 с.

39. Мелихов, В.Р. Устойчивая численная обработка и интерпретация гравимагнитных наблюдений на основе спектральных преобразований: дис... док. физ.-мат. наук: 01.04.12 / Мелихов Вячеслав Романович. - М., 1988. - 438 с.

40. Миронов, В.С. Курс гравиразведки / В.С. Миронов - Л.: Недра, 1980. - 543 с.

41. Никитин, А.А. Теоретические основы обработки геофизической информации (Учебное пособие) / А.А. Никитин, А.В. Петров - М. ООО «ЦИТвП», 2010. - 114 с.

42. Нуссбаумер, Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток / Г. Нуссбаумер - М.: Радио и связь,1985. - 248 с.

43. Оболенский, И.В. Непрерывное вейвлет-преобразование гравиметрических и магнитометрических данных / И.В. Оболенский, А.А. Булычев // Геофизика. - 2011. - №3.

- С. 48-56.

44. Оболенский, И.В. Применение комплексного непрерывного вейвлет-преобразования Пуассона для определения источников аномалий потенциальных полей / И.В. Оболенский, А.А. Булычев // Геофизические исследования. - 2011. - №3. - С. 5-21.

45. Пискун, П.В. Программно-алгоритмическое обеспечение непрерывного вейвлет-преобразования при обработке и интерпретации геофизических полей: дис. канд. техн. наук: 25.00.10 / Пискун Павел Валерьевич. - М., 2006. - 101 с.

46. Пугин, А.В. Компьютерные технологии интерпретации полей на основе аналитических аппроксимаций и вейвлет-анализа: автореф. дис. канд. физ.-мат. наук: 25.00.10 / Пугин Алексей Витальевич - Е., 2007. - 26 с.

47. Серкеров, С.А. Гравиразведка и магниторазведка / С.А. Серкеров - М.: Недра, 1999.

- 437 с.

48. Смоленцев, Н. К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB / Н.К. Смоленцев

- М.: ДМК Пресс, 2005. - 304 с.

49. Страхов, В.Н. Методы интерпретации гравитационных и магнитных аномалий / В.Н. Страхов - Пермь: Пермский государственный университет, 1984. - 72 с.

50. Тихонов, А.Н. О продолжении потенциала в сторону возмущающих масс на основе метода регуляризации / А.Н. Тихонов, В.Б. Гласко, О.К. Литвиненко, В.Р. Мелихов // Физика Земли. - 1968. - № 12. - С. 30-48.

51. Утёмов, Э.В. «Естественные» вейвлет-преобразования гравиметрических данных: теория и приложения / Э.В. Утёмов, Д.К. Нургалиев // Изв. РАН. Физика Земли. - 2005. -№ 4. - С.88-96.

52. Утёмов, Э.В. Применение «естественного» вейвлет-преобразования гравиметрических данных для исследования структуры осадочного чехла и поверхности кристаллического фундамента / Э.В. Утёмов, Д.К. Нургалиев // Нефтяное хозяйство. - 2013.

- № 6. - С.19-23.

53. Утёмов, Э.В. Технология обработки и интерпретации гравиметрических данных на основе «естественного» вейвлет-преобразования / Э.В. Утёмов, Д.К. Нургалиев, Г.С. Хамидуллина // Ученые записки Казанского университета - 2010. Т. 152, кн. 2. - С. 208-222.

54. Уэлстид, С. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в действии. Учебное пособие / С. Уэлстид - М.: Триумф, 2003. - 320 с.

55. Цирульский, А.В. Функции Комплексного переменного в теории и методах потенциальных геофизических полей / А.В. Цирульский - Свердл.: УрО АН СССР, 1990. 136 с.

56. Чуи, К. Введение в вейвлеты. Пер. с англ. / К. Чуи - М.: Мир, 2001. - 412 с.

57. Юдин, М.Н. Введение в вейвлет- анализ / М.Н. Юдин, Ю.А. Фарков, Д.М. Филатов

- М.: МГГА, 2001. - 78 с.

58. Яковлев, А.Н. Введение в вейвлет-преобразования: Учеб. пособие. / А.Н. Яковлев -Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. - 104 с.

59. Applying Filters with montaj Geophysics [Электронный ресурс].- Geosoft Inc., 2013 Режим доступа: http://updates.geosoft.com/downloads/files/how-to-guides/Applying Filters with montaj Geophysics.pdf (Актуально на 09.12.2017)

60. Blatter, C. Wavelets - Eine Einführung / C. Blatter - Braunschweig: Verlagsgesellshaft mbH, 1998. - 178 с.

61. Boukerbout, H. Identification of sources of potential fields with the continuous wavelet transform: Two-dimensional ridgelet analysis / H. Boukerbout, D. Gibert // J. Geophys. Res. -2006. - № 111. - 11 c.

62. Chamoli, A. Source depth characterization of potential fiald data of Bay of Bengal by continuous wavelet transform / A. Chamoli, R.P. Srivastava, V.P. Dimri // Indian Journal of Marine Sciences - 2006. - №3. - С. 195-204.

63. Chui, C.K. An Introduction to Wavelets / C.K. Chui - San Diego: Academic Press, 1992.

- 366 c.

64. Cooper, G.R.J. Interpreting potential field data using continuous wavelet transforms of their horizontal derivatives / G.R.J. Cooper // Comput. Geosci. - 2006. - № 7. - С. 984-992.

65. Daubechies, I. Ten Lectures on Wavelets / I. Daubechies - Philadelphia: SIAM, 1992 -367 c.

66. Fedi, M. 2D Continuous Wavelet Transform of potential fields due to extended source distributions / M. Fedi, F. Cella, T. Quarta, A.V. Villani // Appl. Comput. Harmon. Anal. - 2010.

- №28. - C. 320-337.

67. Gonzales, R.C. Digital image processing / R.C. Gonzales, R.E. Woods - New Jersey: Prentice Hall, 2008. - 793 c.

68. Holschneider, M. Wavelets: An Analysis Tool / M. Holschneider -Oxford: Clarendon, 1995. - 423 c.

69. Howard, L. Wavelet analysis: the scalable structure of information / L. Howard, O. Raymound - N.Y.: Springer-Verlag, 1998. - 435 c.

70. Kaiser, G. A friendly guide to wavelets / G. Kaiser - Boston: Birkhauser, 1994. - 300 c.

71. Kuznetsov, K.M. Potential field transformation on the basis of a continuous wavelet transform / K.M. Kuznetsov, I.V. Obolenskii, A.A. Bulychev // Moscow University Geology Bulletin. - 2016. - № 1. - C. 112-120.

72. Liu C.-L. A Tutorial of the Wavelet Transform / C.-L. A Liu - Natl. Taiwan Univ. Dep. Electr. Eng. (NTUEE), Taiwan, 2010. - 72 c.

73. Martelet, G. Characterization of geological boundaries using 1-D wavelet transform on gravity data: Theory and application to the Himalayas / G. Martelet, P. Sailhac, F. Moreau, M. Diament // Geophysics. - 2001. - № 66 - C. 165-178/

74. Mauri, G. Depth determinations of shallow hydrothermal systems by self-potential and multi-scale wavelet tomography / G. Mauri, G. Williams-Jones, G. Saracco // J. Volcanol. Geotherm. Res. - 2010. - № 3-4. - C. 233-244.

75. Maus, S. A 2-arc min resolution Earth Magnetic Anomaly Grid compiled from satellite, airborne, and marine magnetic measurements / S. Maus, U. Barckhausen, H. Berkenbosch, N. Bournas, J. Brozena, V. Childer, F. Dostaler, J.D. Fairhead, C. Finn, R.R.B. von Freese, C. Gaina, S. Golynsky, R. Kucks, H. Lühr, P. Milligan, S. Mogren, D. Müller, O. Olesen, M. Pilkington, R. Saltus, B. Schreckenberger, E. Thebault, F. Caratori Tontini // Geochemistry, Geophysics, Geosystems (an electronic journal of the earth sciences). - 2009. - № 8. - 12 c.

76. Meyer, Y. Wavelets and Operators / Y. Meyer - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1992.

- 240 c.

77. Moreau, F. Wavelet analysis of potential fields / F. Moreau, D. Gibert, M. Holschneider, G. Saracco // Inverse problems. 1997. - № 13, - C. 165-178.

78. Moreau, F. Indetification of sources of potential fields with continuous wavelet transform: Basic theory / F. Moreau, D. Gibert, M. Holschneider, G. Saracco // J. Geophys. Res. - 1999 - № B3 - C. 5003-5013.

79. Oru9, B. Interpretation of magnetic data in the Sinop area of Mid Black Sea, Turkey, using tilt derivative, Euler deconvolution, and discrete wavelet transform / B. Oruc, H.H. Selim // J. Appl. Geophys. - 2011. - № 4. - C. 194-204.

80. Rabiner, L.R. Theory and application of digital signal processing / L.R. Rabiner, B. Gold

- New Jersey:Englewood Cliffs, 1975. - 777 c.

81. Sailhac, P. Identification of sources of potential fields with the continuous wavelet transform: Two-dimensional wavelets and multipolar approximations / P. Sailhac, D. Gibert // J. Geophys. Res. - 2003 - № B5 - C. 2296-2306.

82. Sailhac, P. The theory of the continuous wavelet transform in the interpretation of potential fields: a review / P. Sailhac, D. Gibert, H. Boukenbourt // Geophysical Prospecting - 2009 - № 57 C. 517-525.

83. Ucan, O.N. Comments on the Gravity and Magnetic Anomalies of Saros Bay using Wavelet Approach / O. N. Ucan, A.M. Albora, Z.M. Hisarli // Marine Geophysical Researches -2001. - № 22: - C. 251-264.

84. Vallee, M. Estimating depth and model type using the continuous wavelet transform of magnetic data / M. Vallee, P. Keating, R. Smith, C. St-Hilaire // Geophysics. - 2004. -№ 1. - C. 191-199.

85. Ya, Xu Regional gravity anomaly separation using wavelet transform and spectrum analysis / Ya Xu , Tianyao Hao, Zhiwei Li, Qiuliang Duan, Lili Zhang // J. Geophys. Eng. - 2009.

- №6. - C. 279-287.