Обратные задачи распространения волн в неоднородных слоистых средах и методы их решения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, доктор физико-математических наук Баев, Андрей Владимирович

• Баев, Андрей Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 1997

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Баев, Андрей Владимирович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Решение обратных задач рассеяния волн в неоднородных

средах

1.1. Постановка обратных задач рассеяния для гиперболической системы уравнений на прямой и полупрямой

1.2. Единственность и устойчивость решения обратной задачи рассеяния

на полупрямой

1.3. Регуляризирующий алгоритм решения обратной задачи рассеяния

1.4. Метод регуляризованного обращения разностной схемы в задаче рассеяния

Глава 2. Обратные задачи рассеяния для волнового уравнения

с неизвестным источником

2.1. Постановка обратной краевой задачи с неизвестным источником

и обратной задачи рассеяния на неоднородном слое

2.2. Необходимое и достаточное условие разрешимости обратной краевой задачи на полупрямой

2.3. Необходимое условие разрешимости обратной краевой задачи на отрезке

и метод определения неизвестного источника

2.4. Решение обратной задачи рассеяния на неоднородном слое

для неизвестного источника

2.5. Метод решения обратной задачи рассеяния для неоднородной среды

с поглощением

Глава 3. Решение обратных задач рассеяния волн в слоистых средах

3.1. Постановка обратных задач рассеяния для гиперболической системы уравнений с кусочно-непрерывным коэффициентом

3.2. Необходимое и достаточное условие разрешимости обратной задачи рассеяния для слоисто-однородной среды

3.3. Методы решения обратных задач рассеяния для слоисто-однородной среды

3.4. Необходимое и достаточное условие разрешимости обратной задачи рассеяния для слоисто-неоднородной среды

3.5. Единственность и метод решения обратной задачи рассеяния в слоистой среде для неизвестного источника

Глава 4. Обратные задачи распространения волн в неоднородных средах

и обратные спектральные задачи

4.1. Обратная задача с неизвестным источником для уравнения колебаний

и метод ее решения

4.2. Обратная задача Штурма-Лиувилля и задача с неизвестным источником

4.3. Обратная задача для гиперболической системы, обратная спектральная задача для оператора Дирака и задача с неизвестным источником

4.4. Обратные задачи просвечивания неоднородных сред

Глава 5. Математические модели в методе ВСП (вертикального

сейсмопрофилирования) и прогнозирование геологических разрезов слоисто-неоднородных сред

5.1. Постановка задач прогнозирования разреза слоисто-неоднородной

среды по данным ВСП

5.2. Прогнозирование разреза слоистой среды в схемах ВСП с неизвестным источником

5.3. Численное прогнозирование разреза слоистой среды выше уровня наблюдений в методе ВСП

5.4. Применение метода регуляризованного обращения разностной схемы в задачах прогнозирования разреза ниже уровня наблюдений

по данным ВСП

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратные задачи распространения волн в неоднородных слоистых средах и методы их решения»

ВВЕДЕНИЕ

1. Обзор проблемы

Современное развитие естественных наук неразрывно связано с разработкой и использованием математических моделей, возникающих при изучении процессов распространения возмущений в материальной среде. Как правило, в основе этих моделей лежат уравнения математической физики. В зависимости от того конечна или бесконечна скорость распространения этих возмущений уравнения имеют гиперболический или параболический тип. Когда эти возмущения обладают устойчивой внутренней структурой в пространстве-времени, то говорят о распространении волн. Рассмотрение установившихся режимов колебаний на определенной частоте или на фиксированной пространственной гармонике приводит к уравнениям эллиптического типа. При изучении распространения разрывов или других структурных аномалий, а также различных асимптотик возникают уравнения эйконала, переноса и другие.

Обратные задачи распространения волн состоят в определении материальных параметров среды, а также в восстановлении характеристик источника возмущений по измеренным в некоторых точках волновым полям. В рамках математического моделирования обратные задачи математической физики заключаются в определении коэффициентов дифференциальных уравнений, а также восстановлении дополнительных данных в виде начальных или граничных условий по заданной на известном многообразии информации о решении рассматриваемой задачи.

К настоящему времени исследовано большое число различных постановок обратных задач математической физики, а возникшая при этом теория является сформировавшейся областью математики, в фундамент

- 4 - Typeset by .4j4<S-TeX

которой легли работы А. Н. Тихонова [155,156] и М. М. Лаврентьева [113]. Обратные задачи являются, как правило, некорректно поставленными. Основы общей теории некорректных задач и методов их решения, заложенные трудах А. Н. Тихонова [155,158], М. М. Лаврентьева [113], В. К. Иванова [95], получили дальнейшее развитие в работах Ю. Е. Аниконова, В. Я. Арсенина, А. Б. Бакушинского, М. И. Белише-ва, А. Л. Бухгейма, В. Б. Гласко, А. В. Гончарского, Ф. П. Васильева, В. А. Винокурова, А. М. Денисова, В. И. Дмитриева, Е. В. Захарова,

A. С. Ильинского, С. И. Кабанихина, А. С. Леонова, А. И. Прилепко,

B. Г. Романова, А. Г. Свешникова, В. Н. Страхова, А. В. Тихонравова, А. М. Федотова, А. Г. Яголы и многих других. Развитие теории обратных и некорректно поставленных задач, появление высокопроизводительной вычислительной техники позволили практически решить многие прикладные задачи обработки и интерпретации данных наблюдений, вычислительной диагностики, синтеза сложных систем и ряда других областей.

Отличительная черта обратных задач, связанных с исследованием математических моделей реальных процессов, состоит в том, что характер дополнительной информации определяется возможностями эксперимента. Другим важным фактором, влияющим на решение обратных задач, является наличие погрешностей экспериментальных данных. При этом принципиальное значение приобретают вопросы исследования обратных задач, постановка которых определяется характером эксперимента, и разработка устойчивых методов их решения.

Возникающие в рамках математического моделирования обратные задачи распространения волн ставятся как обратные задачи для уравнений или систем гиперболического типа. Они могут быть [103] условно разделены на три группы: динамические, спектральные и кинематические. В динамических обратных задачах в качестве дополнительной информации задается след решения соответствующей прямой задачи на некоторой времениподобной поверхности. Первые постановки обратных динамических задач были предложены и исследованы М. М. Лаврентьевым

и В. Г. Романовым [118,119], А. С. Благовещенским [51], A.C. Алексеевым [3]. Систематические результаты по теории обратных динамических задач для гиперболических уравнений получены в трудах В. Г. Романова [136-146], а на основе разработанной им методики был исследован широкий круг задач в работах С. П. Белинского [42], С. И. Кабанихи-на [97-103], Т. П. Пухначёвой [135], В. Г. Яхно [171,172] и ряда других авторов.

В настоящее время основными для решения обратных динамических задач считаются методы: операторных уравнений типа Вольтерра, линеаризации, уравнений типа Гельфанда-Левитана-Марченко, вариационный, Ньютона- Канторовича, обращения разностных схем и проекционно-разностный. Подробное описание этих методов содержится в монографии С. И. Кабанихина [103], посвященной разработке и использованию проекционно-разностного метода при решении многомерных обратных задач для уравнений и систем гиперболического типа.

Уравнения типа Вольтерра использовались, начиная с первых работ по теории обратных задач. Наиболее важные результаты в области применения этого метода содержатся в монографиях М. М. Лаврентьева, В. Г. Романова, С. П. Шишатского [120], В. Г. Романова [139,141,145], А. Л. Бух-гейма [64], С. И. Кабанихина [103]. Основная идея использования уравнений типа Вольтерра состоит в том, что для многих уравнений гиперболического типа удается построить фундаментальное решение, имеющее в силу свойств таких уравнений носитель, сосредоточенный в некотором коноиде. Используя это обстоятельство и дополнительную информацию, можно получить уравнение типа Вольтерра относительно искомых коэффициентов. Проблема устойчивости решения обратной задачи при этом подходе решается в рамках условно-корректной постановки, что приводит к требованию повышенной гладкости исходной информации.

Динамический вариант метода Гельфанда-Левитана предложен и исследован А. С. Благовещенским [55] на базе результатов И. М. Гельфанда, Б. М. Левитана [74] и М. Г. Крейна [109,110] по обратной краевой

задаче для неоднородной струны. Примечательной особенностью подхода А. С. Благовещенского является возможность его использования для исследования и создания методов решения широкого круга обратных задач распространения волн, в том числе задач, решаемых автором диссертации [16-38]. На основе теории граничного управления динамический вариант метода Гельфанда-Левитана обобщен на многомерный случай в работах М. И. Белишева [44-48].

Метод обращения разностной схемы основан на разностной постановке соответствующей задачи для гиперболического уравнения и допускает два варианта своего толкования. Первый связан с постановкой дискретной задачи, порождаемой законами сохранения, из которых, в свою очередь, вытекают сами гиперболические уравнения. Это направление исследований возникло как естественное использование сред с кусочно-постоянными коэффициентами [105]. В такой трактовке дискретные обратные задачи исследованы в работах В. Баранова и Г. Кюнет-ца [41], а впоследствии А. Л. Бухгеймом [65]. Другой подход к обращению разностных схем как методу решения обратных коэффициентных задач для гиперболических уравнений указан А. С. Алексеевым [3], а для задач другого типа — Л. Л. Чудовым [169,170]. В дальнейшем различные аспекты реализации этой идеи были рассмотрены в работах О. Ф. Анто-ненко [8], Н. М. Бородаевой [61], А. С. Алексеева и В. И. Добринского [4], В. И. Добринского [93], С. И. Кабанихина [97], Б. С. Парийского [134], Э. В. Никольского [132,133], Фам Лой Ву [167] и других авторов. К общему недостатку этого подхода следует отнести требование высокой гладкости исходных данных для обоснования сходимости разностного решения к решению обратной дифференциальной задачи.

Обратные спектральные задачи возникают из динамических при рассмотрении установившихся режимов колебаний. Дополнительной информацией в таких задачах являются спектральные данные: собственные значения, нормировочные числа, функция или фаза рассеяния, возможны и другие формы их задания. Восстанавливаемый при этом коэффициент уравнения допускает интерпретацию в рамках обратной задачи

квантовой теории рассеяния (обычно им оказывается потенциал рассеяния). В работах В. А. Амбарцумяна [7], Ю. М. Березанского [49,50], Г. Борга [173], И. М. Гельфанда и Б. М. Левитана [74], Б. М. Левитана и И.С. Саргсяна [109,110], В. А. Марченко [128], М. Г. Крейна [109,110],

A. Н. Тихонова [156,157], Л. Д. Фаддеева [168], Г. Хохштадта [175,176] и многих других авторов исследован широкий класс обратных спектральных задач, для которых получены теоремы существования, единственности и полноты.

К спектральным постановкам обратных задач приводит использование интегральных преобразований для уравнений математической физики. Один из первых результатов по единственности решения обратных спектральных задач получен в работах А. Н. Тихонова об определении электропроводности среды по импедансу электромагнитного поля на дневной поверхности [156,157,160]. Эти исследования явились основой метода магнито-теллурического зондирования, развитого в работах

B. И. Дмитриева [89], В. Б. Гласко, Н. И. Кулик и А. Н. Тихонова [80], И. С. Барашкова [90] и других авторов. Обратные спектральные задачи, возникающие при распространении волн в слоистых упругих средах, исследованы в работах В. Б. Гласко [77,78], а электромагнитных волн в слоистых средах совместно с Ю. И. Худаком [81].

Особое место среди обратных динамических задач занимают одномерные, т. е. такие, в которых параметры среды зависят от одной переменной. Широкое использование одномерных моделей объясняется тем, что во многих случаях при решении реальных обратных задач наблюдаемые волновые поля допускают адекватную интерпретацию в рамках одномерной модели. Усложнение модели, в частности, увеличение ее размерности, приводит к сильной неустойчивости на практике равносильной неединственности решения. Весьма эффективным подходом к решению обратных задач является исследование сложных многомерных моделей путем их разделения на локально одномерные. Эти причины во многом объясняют широкое распространение одномерных моделей в геофизике,

где большинство методов разведки являются локально одномерными, но в целом позволяют восстановить сложные геологические структуры. Наконец, использование многомерных моделей нередко приводит к существенному, а в ряде случаев, неприемлемому увеличению затрат ресурсов ЭВМ при решении обратных динамических задач. Однако, использование одномерных моделей имеет принципиальные ограничения.

Одномерные обратные динамические задачи исследовались широким кругом авторов [3-6,8,11-38,41,42,48,52-55,76,93,99-102,117,135-146,171]. Наряду с теоремами единственности и оценками условной устойчивости решения обратных задач в этих работах предложены алгоритмы численного решения, рассмотрены некоторые вопросы практического применения этих алгоритмов. Основным методом исследования являлось сведение обратных задач к системам операторных уравнений Вольтерра II рода с последующим применением принципа сжатых отображений для доказательства локальной корректности обратных задач. На этом пути, используя лемму Гронуолла, удается получить оценку устойчивости «в целом» и, как следствие этих оценок, теоремы единственности «в целом». Общая методология и конкретные примеры содержатся в монографиях В. Г. Романова [139,141,145].

Среди обратных задач распространения волн важное место занимают задачи синтеза, или автоматизированного проектирования сложных систем. В них требуется найти параметры системы, обычно описываемой уравнениями в частных производных, обладающей заданными выходными характеристиками. Отличительной чертой задач синтеза является требование физической реализуемости полученных решений. Основа теории задач синтеза заложена в работах А. Н. Тихонова, В. И. Дмитриева [162], Е. В. Захарова, А. С. Ильинского, А. Г. Свешникова [91,92], А. В. Тихонравова [163-165], А. В. Гончарского [85]. Несмотря на то, что по своей постановке обратные задачи и задачи синтеза существенно отличаются, методы их исследования зачастую оказываются близкими. При

решении проблемы синтеза оптических покрытий в статьях [163-165] была сформулирована и исследована задача определения слоистой структуры с заданными спектральными характеристиками как рассеянного, так и проходящего поля. В настоящей работе обратная задача распространения сейсмических волн приводит к более общим постановкам обратных спектральных задач, связанным с рассмотрением несамосопряженных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем.

2. Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации определяется тем, что практика научных исследований требует развития новых перспективных направлений в изучении и использовании процессов распространения волн в неоднородных слоистых средах, расширения круга исследуемых математических моделей, разработки устойчивых математических методов решения встающих при этом обратных задач на основе применения вычислительной техники. В диссертации рассматриваются одномерные обратные задачи, возникающие в рамках математического моделирования процессов распространения волн в неоднородных слоистых средах. Исследование различных обратных задач рассеяния, прохождения, поглощения волн при зондировании или просвечивании рассматриваемого класса сред и создание устойчивых методов их решения несомненно актуальны для дальнейшего развития методов математического моделирования и их применения.

Цель работы состоит в постановке и исследовании обратных задач для процессов распространения волн в неоднородных слоистых поглощающих средах, разработке устойчивых методов их решения, позволяющих оценивать состоятельность рассматриваемых моделей и определять характеристики материальной среды и параметры источника возмущений по имеющейся экспериментальной информации, а также практическом решении ряда актуальных обратных задач вертикального сейсмического профилирования в скважинной разведочной геофизике.

Научная новизна, теоретическое и прикладное значение работы заключены в следующем:

1. Рассмотренные в рамках математического моделирования уравнения в частных производных гиперболического типа описывают широкий класс реальных процессов распространения волн. Для изучения этих процессов важное значение имеют методы определения характеристик среды, таких как скорость, жесткость, коэффициент поглощения. В работе исследованы обратные задачи рассеяния для волнового уравнения, уравнения колебаний, гиперболической системы уравнений с гладкими и непрерывными коэффициентами, когда временные параметры источника возмущений неизвестны. Доказана локальная единственность одновременного определения функций, описывающих характеристики слабонеоднородной среды и источника колебаний. Предложен общий подход и методы решения подобных обратных задач, позволяющие определять искомые параметры модели по заданной информации.

2. Модели слоисто-однородных и слоисто-неоднородных сред широко используются в различных областях теоретических и прикладных исследований в науке и технике. В связи с этим большое значение имеет развитие математических методов определения характеристик таких сред в обратных задачах рассеяния. В работе исследованы обратные задачи рассеяния в слоисто-однородной и слоисто-неоднородной средах для гиперболической системы уравнений с неизвестным источником. Доказана локальная единственность одновременного определения параметров слабо-неоднородной среды и источника возмущений. Предложен метод решения обратных задач, позволяющий определять параметры слоистых структур, когда импульсный источник колебаний неизвестен.

3. Широкий класс обратных задач, возникающих при исследовании математических моделей различных процессов, сводится к спектральным задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

и систем ОДУ. В связи с этим важное значение имеют обратные спектральные задачи, состоящие в определении коэффициентов дифференциальных уравнений по спектральным данным. В работе получены новые результаты по обратной спектральной задаче Штурма-Лиувилля с вхождением спектрального параметра в граничное условие и обратной спектральной задаче для системы Дирака ОДУ в несамосопряженном случае. Доказана единственность определения дифференциальных операторов рассмотренных задач по одному спектру. На основе этих результатов по обратным спектральным задачам доказана единственность «в целом» одновременного определения параметров неоднородной среды и неизвестного источника колебаний из определенного класса.

4. Эксперименты по просвечиванию неоднородных сред являются одними из основных источников информации о строении исследуемых структур. В связи с этим большое значение имеют обратные задачи просвечивания, состоящие в определении параметров среды, а также неизвестного источника колебаний по прошедшему через среду волновому полю. На основе спектральных рассмотрений в работе исследованы обратные задачи для неоднородных поглощающих сред с внутренним, внешним и граничным расположением источника возмущений. Доказана единственность «в целом» одновременного определения параметров неоднородной поглощающей среды и неизвестного источника колебаний из определенного класса.

5. Многие обратные задачи, возникающие при моделировании процессов распространения волн в неоднородных средах, сводятся к решению обратной задачи рассеяния для гиперболической системы уравнений, когда прямая задача имеет решение в смысле обобщенного. В связи с этим важное значение имеет построение обобщенного решения задачи рассеяния и создание устойчивых методов определения параметров неоднородной среды по информации о таком решении. В работе предложен устойчивый метод решения нелинейных интегрофункциональных уравнений

типа Вольтерра I рода, возникающих в обратной задаче рассеяния с обобщенным решением. Доказаны регуляризующие свойства построенного алгоритма, имеющего широкую область применения при решении нелинейных операторных уравнений типа Вольтерра I рода.

6. Использование разностных методов в моделировании процессов распространения волн в неоднородных поглощающих средах является важным инструментом в научных исследованиях. В связи с этим большое значение приобретает создание устойчивых методов обращения разностных схем, аппроксимирующих исходную дифференциальную модель в обратных задачах рассеяния. В работе исследован класс консервативных условно-устойчивых разностных схем для расчета обобщенного решения задачи рассеяния и построен метод регуляризованного обращения явной разностной схемы из рассмотренного класса. Доказаны существование, единственность и сходимость регуляризованного решения разностной обратной задачи к решению дифференциальной. Исследована зависимость регуляризующих свойств построенного метода от величины погрешности входной информации, параметров разностной схемы и регуляризации, указан оптимальный способ их задания.

Т. Вертикальное сейсмическое профилирование (ВСП) является одним из наиболее эффективных методов в скважинной геофизической разведке. В связи с этим важное значение имеют обратные задачи ВСП, состоящие в определении неоднородных слоистых поглощающих геологических структур по регистрируемым на стволе скважины сейсмическим полям. В работе исследован ряд обратных задач ВСП с различными схемами возбуждения и наблюдения волновых полей как известным, так и неизвестным источником колебаний для широкого класса моделей неоднородных слоистых поглощающих сейсмических сред. Разработан метод, позволяющий одновременно определять параметры среды и неизвестного импульсного источника волн. В рамках планирования эксперимента указан класс таких источников. Проведены вычислительные эксперименты для квазиреальных и реальных сейсмических данных, которые показали,

что предложенные в диссертации методы отвечают таким требованиям к их свойствам как устойчивость и практическая сходимость.

8. Предложенные в диссертации методы решения обратных задач распространения волн в неоднородных слоистых поглощающих средах реализованы в виде программ. Разработанные методы и программы использованы для решения ряда конкретных задач на поиск нефти по данным ВСП в ВОИГиРГИ (Волжском отделении института геологии и разведки горючих ископаемых), а также в ЦГЭ (Центральной геофизической экспедиции) Минтопэнерго РФ. Создан комплекс программ для прогноза геологического разреза и обработки спектральных данных в методе ВСП, который включен в состав комплексной системы интерпретации сейсмической информации ВСП VSP-DOS.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзных школах-семинарах по теории и методам решения некорректно поставленных задач (Самарканд, 1983; Саратов, 1985), Сибирской школе-семинаре по условно-корректным задачам математической физики и анализа (Красноярск, 1986), на Всесоюзной конференции «Условно-корректные задачи математической физики» (Алма-Ата, 1989), Международных конференциях «Некорректно поставленные задачи в естественных науках» (Москва, 1991), «Inverse and Ill-Posed Problems» IIPP-96 (Москва, 1996), конференции «Обратные и некорректно поставленные задачи» (Москва, 1995), Международной геофизической конференции EArO-EAGO-SEG (Санкт-Петербург, 1995), 58-th EAGE Conference and Technical Exibition (Holland, Amsterdam, 1996), Ломоносовских чтениях в МГУ (1990), научно-исследовательских семинарах в ЛОМИ АН СССР (Ленинград), МГУ, университете SUNY (Нью-Йорк, США), научном центре Shclumberger-Doll-Research Corp. (Коннектикут, США).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 33 работы.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, списка литературы, включающего 180 наименований, содержит 282 страницы текста, 8 таблиц и 32 рисунка.

В диссертации используется вложенная система нумерации формул (№ главы. К2 параграфа. № формулы), номера текущей главы и параграфа опускаются.

3. Содержание работы

Во введении дается общий обзор рассматриваемой проблемы, содержится характеристика направления, развиваемого в диссертации, и кратко излагается содержание работы и основные полученные результаты.

В первой главе рассматриваются вопросы корректности и методы решения обратной задачи рассеяния волн в неоднородной среде.

В п. 1.1 приведен вывод канонической системы уравнений, описывающей распространение плоской волны в неоднородной среде. Для этой системы дано определение обобщенного в смысле интегрального тождества решения начально-краевой задачи. Доказана его корректность, исследована структура обобщенного решения, получено необходимое условие разрешимости обратной коэффициентной задачи.

В п. 1.2 на основе интегрофункционального уравнения типа Вольтерра получена оценка условной устойчивости решения обратной задачи рассеяния по следу решения в точке возбуждения колебаний из которой следует единственность решения «в целом». Построено множество корректности по Тихонову для обратной задачи рассеяния.

В п. 1.3 рассматривается обратная задача рассеяния с приближенными данными. Построен устойчивый метод ее решения, основанный на замене операторного уравнения типа Вольтерра I рода близким ему уравнением II рода. Получено обобщение построенного регуляризующего алгоритма при замене параметра регуляризации на непрерывную функцию.

В п. 1.4 рассматривается разностный метод решения обратной задачи рассеяния. Построен класс двухслойных консервативных разностных схем для расчета обобщенных решений прямой задачи рассеяния. Исследованы вопросы устойчивости, аппроксимации разностных схем для

непрерывных данных дифференциальной задачи. Доказаны существование и единственность решения задачи обращения явной разностной схемы, являющегося неустойчивым относительно шага сетки. Предложен метод регуляризованного обращения разностной схемы. Доказана сходимость регуляризованного решения разностной обратной задачи к точному решению дифференциальной задачи при согласованном стремлении к нулю погрешности входной информации, шага сетки и параметра регуляризации. Исследован вопрос выбора оптимальных по порядку шага сетки и параметра регуляризации.

Во второй главе диссертации рассмотрены обратные задачи рассеяния для волнового уравнения с неизвестным источником. Исследована задача об одновременном определении коэффициентов отражения и поглощения неоднородного слоя.

В п. 2.1 даны постановки обратной краевой задачи и обратной задачи рассеяния на неоднородном слое. Определено обобщенное в смысле теории распределений решение задачи рассеяния, построено фундаментальное решение краевой задачи, исследована его структура.

В п. 2.2 доказана теорема о необходимом и достаточном условии разрешимости обратной задачи рассеяния для неоднородной среды, которое заключается в однозначной разрешимости интегрального уравнения типа Гельфанда-Левитана-Марченко.

В п. 2.3 получено необходимое условие разрешимости обратной краевой задачи рассеяния для неоднородного слоя. На основе этого условия построен метод одновременного определения функции реакции слоя и неизвестного источника колебаний ограниченной длительности. Доказаны сходимость построенного метода и локальная единственность решения обратной задачи рассеяния с неизвестным источником для слабонеоднородной среды.

В п. 2.4 на основе разработанной методики решена обратная задача рассеяния неизвестного падающего волнового импульса произвольной конечной длительности на неоднородном слое. Установлена сходимость метода последовательных приближений для одновременного определения

функции реакции слоя и неизвестного профиля падающей волны. Доказана локальная единственность решения обратной задачи рассеяния для слабо-неоднородной среды. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи в терминах коэффициентов Фурье и преобразования Фурье от следа рассеянного поля. Показано, что выполнение необходимого и достаточного условия разрешимости обратной задачи равносильно выполнению закона сохранения энергии в прямой задаче рассеяния.

В п. 2.5 рассмотрена обратная задача для гиперболической системы уравнений, моделирующая процесс рассеяния волн на неоднородном слое с поглощением (использована модель внешнего трения или внутренней вязкости твердого тела). Получено необходимое и достаточное условие разрешимости этой задачи. Доказана единственность решения задачи об одновременном определении коэффициентов отражения и поглощения слабо-неоднородной рассеивающей среды.

В третьей главе диссертации исследуются обратные задачи рассеяния волн в слоистых средах.

В п. 3.1 рассмотрены постановки прямых и обратных задач рассеяния волн на слоисто-неоднородной среде с конечным числом слоев. Построено фундаментальное решение задачи рассеяния для гиперболической системы с кусочно-непрерывным коэффициентом, исследована его структура. Получены аналоги амплитудных законов отражения и прохождения.

В п. 3.2 получено необходимое и достаточное условие однозначной разрешимости обратной краевой задачи рассеяния для слоисто-однородной среды с мгновенным граничным источником. Это условие состоит в однозначной разрешимости цепочки линейных алгебраических уравнений (конечномерного аналога уравнения типа Гельфанда-Левитана-Марченко). Число уравнений в цепочке равно числу слоев, а матрицы уравнений системы формируются по следу фундаментального решения. Доказано, что по этим данным определяются как толщины слоев, так и коэффициенты отражения. Разработан метод решения обратной задачи рассеяния,

основанный на последовательном решении построенной цепочки алгебраических систем уравнений. Предложен алгоритм определения параметров слоисто-однородной модели с неизвестным числом слоев с помощью введения фиктивных границ раздела.

В п. 3.3 рассмотрены методы решения обратной задачи рассеяния на слоисто-однородной структуре. Показано, что эта задача сводится к задаче рассеяния из п. 3.2 для случая мгновенного точечного граничного источника с неизвестной амплитудой. Получено необходимое условие разрешимости обратной задачи, на основе которого доказана единственность одновременного определения параметров слоистой структуры и амплитуды источника. Предложен метод решения обратной задачи с неизвестным источником, состоящий из двух этапов. Сначала решается ряд задач на определение ранга формируемых в п. 3.2 матриц, в результате чего находится амплитуда мгновенного источника. Затем решается обратная задача рассеяния, рассмотренная в п. 3.2. Рассмотрен метод решения задачи о продолжении на произвольный интервал заданного на фиксированном промежутке времени рассеянного поля. Для предложенных методов построены алгоритмы численного решения, проведены модельные расчеты.

В п. 3.4 рассматривается обратная задача рассеяния на слоисто-неоднородной структуре. Получено необходимое и достаточное условие существования решения обратной задачи, состоящее в однозначной разрешимости цепочки интегральных уравнений типа Гельфанда-Левитана-Марченко со сдвинутым аргументом. Число уравнений в цепочке равно числу слоев. Коэффициенты при внеинтегральных членах совпадают с элементами матриц, формируемых при решении обратной задачи рассеяния для слоисто-однородной модели. Интегральные слагаемые уравнений соответствуют изменению коэффициента отражения внутри слоев. Получено необходимое условие разрешимости обратной задачи рассеяния, позволяющее продолжить заданное на фиксированном интервале времени рассеянное поле на произвольный промежуток.

В п. 3.5 исследована обратная задача рассеяния на неоднородной слоистой среде для неизвестного источника колебаний. Построен метод последовательных приближений одновременного определения функции реакции слоисто-неоднородной среды и неизвестного источника. Доказаны сходимость этого метода и локальная единственность одновременного определения слоистой среды и источника колебаний для слабонеоднородных сред.

В четвертой главе диссертации исследуется связь обратных нестационарных задач распространения волн в неоднородных средах и обратных спектральных задач.

В п. 4.1 на основе методики, разработанной в главе 2, исследована обратная краевая задача с неизвестным источником для уравнения колебаний на отрезке. Получено необходимое условие разрешимости обратной задачи. Построен метод последовательных приближений её решения, состоящий в одновременном определении функции реакции отрезка и неизвестного граничного условия. Установлена сходимость этого метода и единственность одновременного определения малого по модулю коэффициента уравнения колебаний и неизвестного граничного условия.

В п. 4.2 исследована связь обратной краевой задачи для уравнений колебаний на отрезке и обратной задачи Штурма-Лиувилля. Доказана корректность преобразования Лапласа обобщенного решения краевой задачи для уравнения колебаний. Получена связь обратной краевой задачи для уравнений колебаний и обратной задачи Штурма-Лиувилля с вхождением спектрального параметра в однородное краевое условие. Исследованы свойства спектра полученной задачи Штурма-Лиувилля. Доказана теорема единственности определения непрерывного коэффициента уравнения Шредингера на отрезке по одному спектру (результат Борга-Левинсона для самосопряженного оператора предполагает задание двух спектров). На её основе доказана единственность «в целом» решения обратной краевой задачи для уравнений колебаний с неизвестным граничным условием на классе быстро убывающих источников.

В п. 4.3 исследована связь обратной задачи рассеяния для гиперболической системы уравнений и обратной спектральной задачи для оператора Дирака на отрезке. Исследованы свойства спектра оператора Дирака с диссипативными однородными граничными условиями. Доказана единственность определения коэффициента оператора Дирака по одному спектру в случае \а\ < 1 ^ |/3|, где а, ¡3 — коэффициенты отражения в граничных условиях задачи . Введено понятие нормального решения обратной спектральной задачи. На основе спектральных рассмотрений доказана единственность решения обратной краевой задачи для гиперболической системы с известным и неизвестным минимальнофазо-вым граничным источником. Доказана единственность решения обратной краевой задачи «в целом» на классе быстро убывающих источников для любых конечных а, /3, не равных нулю. Показано, что единственность решения обратной задачи имеет место для источников со свойством противоположным минимальнофазовости (антиминимальнофазовые источники).

В п. 4.4 рассмотрены обратные задачи просвечивания неоднородных сред. Показано, что в обратной задаче просвечивания неоднородного слоя по прошедшему полю при |а|, \¡3\ ^ 1 однозначно восстанавливается антиминимальнофазовый граничный источник и нормальное решение обратной задачи. Рассмотрена обратная задача для гиперболической системы с неизвестным внутренним направленным точечным источником, доказана единственность её решения при \а\ < 1, (3 = 1.

В пятой главе диссертации рассмотрены математические модели распространения волн в методе ВСП и прогнозирование геологических разрезов слоисто-неоднородных сред.

В п. 5.1 приводится общая характеристика метода ВСП в рамках одномерной геологической модели, описывающей процессы распространения плоских объемных сейсмических волн в неоднородных слоистых поглощающих средах. Рассмотрены математические модели метода ВСП для различных схем возбуждения и наблюдения волновых полей. Показана

единственность решения задачи прогнозирования геологического разреза ниже уровня наблюдений по данным ВСП для неизвестного поверхностного источника.

В п.5.2 исследована задача прогнозирования разреза среды выше уровня наблюдений в схеме ВСП с поверхностным расположением источника колебаний и регистрацией волнового поля на стволе скважины. Доказано, что акустический импеданс и коэффициент поглощения среды для неизвестного источника колебаний конечной длительности определяются однозначно в рамках модели неоднородной поглощающей среды. В рамках планирования эксперимента в методе ВСП описан класс таких импульсных источников. Показано, что для задач прогнозирования разреза неоднородной среды по данным ВСП для источника, расположенного на глубине, с поверхностной схемой наблюдений и с заглубленным приповерхностным направленным неизвестным источником справедливы аналогичные утверждения.

В п.5.3 построен метод численного прогнозирования геологического разреза неоднородной слоистой среды выше уровня наблюдений по данным ВСП в схеме с неизвестным источником, состоящий в решении линейного интегрального уравнения первого рода, содержащего три неизвестные функции. Разработан устойчивый алгоритм решения этого уравнения. Предложен метод аналитического продолжения спектров для возникающей при этом задачи деконволюции. Проведен анализ результатов численного моделирования на квазиреальных и реальных данных ВСП для задачи прогнозирования геологического разреза выше уровня наблюдений с неизвестным источником, сделано сравнение полученных разрезов с моделью и данными акустического каротажа.

В п. 5.4 метод регуляризованного обращения разностной схемы для задачи рассеяния использован для численного прогнозирования геологических разрезов по даным ВСП. Проведено сравнение численных алгоритмов, разработанных на основе методов решения обратной задачи

рассеяния с помощью регуляризации операторного уравнения Вольтер-ра и обращения разностной схемы, см. гл. 1. Показано, что последний обеспечивает более высокую точность решения и требует меньшего числа операций, чем метод последовательных приближений для решения регуляризованного операторного уравнения Вольтерра. Представлены результаты модельных расчетов в задаче одновременного определения коэффициентов отражения и поглощения для неоднородного слоя. Рассмотрены результаты численного моделирования на квазиреальных и реальных данных ВСП для задачи прогнозирования геологического разреза вертикально-неоднородной среды ниже уровня наблюдения. Проведено сопоставление результатов, полученных на основе стандартного пакета обработки сейсмических данных и по методу регуляризованного обращения разностной схемы. Приведены результаты прогноза геологических разрезов по данным ВСП для промышленных нефтедобывающих скважин. Показано, что предложенные в диссертации методы отвечают требованиям, предъявляемым к таким их свойствам как устойчивость и практическая сходимость. Они использованы при обработке реальных данных ВСП в ВОИГиРГИ (Волжском отделении института геологии и разведки горючих ископаемых), а также в ЦГЭ (Центральной геофизической экспедиции) Минтопэнерго РФ.

4. Заключение

В работе исследован широкий класс обратных задач, возникающих в рамках математического моделирования процессов распространения волн в неоднородных средах. Изучена возможность практического использования рассматриваемых моделей, разработаны методы, алгоритмы и программы определения их параметров по данным наблюдений.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Исследован класс обратных задач рассеяния и просвечивания, моделирующих процессы распространения волн в слоисто-неоднородных средах, когда неизвестны как коэффициенты, характеризующие отражающие и поглощающие свойства среды, так и источник возмущений. Доказана единственность одновременного определения характеристик среды и источника колебаний. Предложены методы, разработаны алгоритмы и программы решения этих обратных задач.

2. Исследованы обратные диссипативные спектральные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, возникающие при анализе процессов рассеяния и прохождения волн. Доказана единственность определения коэффициентов отражения по спектральным данным. Изучена единственность решения обратных краевых задач для гиперболических уравнений и систем, моделирующих зондирование и просвечивание неоднородных сред.

3. Предложены и исследованы методы устойчивого решения обратных задач распространения волн, основанные на регуляризации нелинейного операторного уравнения типа Вольтерра I рода и методе регуляризован-ного обращения разностной схемы. Разработаны алгоритмы и программы решения обратных задач рассеяния в неоднородных слоистых средах.

4. Исследованы обратные задачи вертикального сейсмопрофилирова-ния (ВСП), возникающие при интерпретации результатов измерений сейсмических полей в схемах с различным расположением источника и приемника. Указан класс источников, обеспечивающих идентификацию отражающих и поглощающих характеристик геологической среды по полю рассеянных и прошедших волн и восстановление неизвестного источника. Созданы методы, алгоритмы и программы для определения характеристик среды и параметров источника колебаний, которые использованы при прогнозировании геологических разрезов по данным ВСП.

Автор глубоко признателен профессору A.M. Денисову и заведующему отделом ВСП Центральной геофизической экспедиции Минтопэнерго РФ А. А. Табакову за внимание к работе и обсуждение ее результатов.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Баев, Андрей Владимирович, 1997 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Агранович А. С., Марченко В. А. Обратная задача теории рассеяния. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1960.

2. Алексеев А. С. Некоторые обратные задачи теории распространения волн. 1, 2 // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1962. № 11. С. 1514-1531.

3. Алексеев А. С. Обратные динамические задачи сейсмики // Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.: Наука, 1967. С. 9-84.

4. Алексеев А. С., Добринский В. И. Некоторые вопросы практического использования обратных динамических задач сейсмики // Матем. проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. Вып. 6. Ч. 2. С. 7-53.

5. Алексеев А. С., Добринский В. И., Непрочное Ю. П., Семенов Г. А. К вопросу о практическом использовании теории обратных динамических задач сейсмики // Докл. АН СССР. 1976. Т. 228. № 5. С. 1053-1056.

6. Алексеев А. С., Меграбов А. Г. Обратные задачи для струны с условием наклонной производной на одном конце и обратные задачи рассеяния плоских волн на неоднородных слоях // Докл. АН СССР. 1974. Т. 219. № 2. С. 308-310.

7. Амбарцумян В. А. (Ambarzumjan W. А.) Uber eine Frage der Eigenwerttheorie // Zietschrift für Physik. 1929. Bd. 53. S. 590-659.

8. Антоненко О. Ф. Обращение одной разностной схемы для решения одномерной динамической задачи сейсмики // Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.: Наука, 1967. С. 92-98.

9. Арсенин В. Я. О методах решения некорректно поставленных задач. М.: Изд-во МИФИ, 1973.

10. Ваев А. В., Гласко В. Б. О решении обратной кинематической задачи сейсмики с помощью регуляризующего алгоритма // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1976. Т. 16. № 4. С. 922-931.

11. Баев А. В. О решении обратной задачи для волнового уравнения с помощью регуляризующего алгоритма // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273. № 3. С. 585-587.

12. Баев А. В. О решении одной обратной задачи для волнового уравнения с помощью регуляризующего алгоритма // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1985. Т. 25. № 1. С. 140-146.

13. Баев А. В. Об одном регуляризующем алгоритме решения обратной задачи для неоднородной струны // Вычисл. матем. и матем. обеспечение ЭВМ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985. С. 55-66.

14. Баев А. В., Бушков С. Н. Численное решение обратной задачи для волнового уравнения методом регуляризованного обращения разностной схемы // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и кибернетика. 1986. № 4. С. 52—54.

15. Баев А. В. Об одном методе решения обратной краевой задачи для волнового уравнения // Методы матем. моделирования, автоматизация наблюдений и их применения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. С. 80-87.

16. Баев А. В. О существовании решения обратной задачи для гиперболической системы уравнений // Применение ЭВМ для решения задач математической физики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. С. 10-17.

17. Баев А. В. Об одной постановке обратной задачи для волнового уравнения и итерационном методе ее решения // Докл. АН СССР. 1986. Т. 287. № 4. С. 818-821.

18. Баев А. В. О решении обратной задачи для волнового уравнения на отрезке методом последовательных приближений // Докл. АН СССР. 1986. Т. 287. № 6. С. 13541357.

19. Баев А. В., Лавритова Е. В. Об алгоритме регуляризованного обращения разностной схемы для одной обратной гиперболической задачи / / Матем. модели и вы-числ. методы. М.: Изд-во моек ун-та, 1987. С. 41-45.

20. Баев А. В. Об итерационном методе решения одной обратной задачи для волнового уравнения не отрезке // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1987. Т. 27. № 7. С. 1022-1031.

21. Баев А. В. Об одном методе решения обратной краевой задачи для волнового уравнения // Условно-корректные задачи матем. физики и анализа. Красноярск: Изд-во Красноярск, ун-та, 1988. С. 37-42.

22. Баев А. В. Об одном методе решения обратной задачи рассеяния для волнового уравнения // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1988. Т. 28. № 1. С. 25-33.

23. Баев А. В. О решении обратной задачи рассеяния плоской волны на слоисто-неоднородной среде // Докл. АН СССР. 1988. Т. 298. № 2. С. 328-333.

24. Баев А. В. О решении обратной задачи Лэмба с неизвестным источником // Численные методы решения обратных задач матем. физики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. С. 5-9.

25. Баев А. В. О решении обратной краевой задачи для волнового уравнения с разрывным коэффициентом // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1988. Т. 28. № 11. С. 1619-1633.

26. Баев А. В. Решение обратной динамической задачи сейсмики с неизвестным источником / / Актуальные вопросы прикладной матем. 1VL: Изд-во ]V[ock. ун-та, 1989. С. 5-9.

27. Баев А. В. О решении обратной задачи для волнового уравнения по информации, заданной в точке // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и кибернетика. 1989. № 4. С. 28-33.

28. Баев А. В., Абатуров М. Ю. Численное решение обратной задачи для волнового уравнения // Методы матем. моделирования и вычисл. диагностики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. С. 6-9.

29. Баев А. В. Единственность решения обратной задачи для уравнения акустики и обратная спектральная задача // Матем. заметки. 1990. Т. 47. Вып. 2. С. 149-151.

30. Баев А. В. О решении обратных задач диссипативной теории рассеяния // Докл. АН СССР. 1990. Т. 315. № 5. С. 1103-1104.

31. Баев А. В. Метод решения обратной динамической задачи сейсмики с поглощением // Прямые и обратные задачи матем. физики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991. С. 26-30.

32. Баев А. В., Табаков А. А. Решение обратных задач сейсмопрофилирования и мониторинг при бурении скважин // Докл. РАН. 1992. Т. 324. № 1. С. 73-76.

33. Баев А. В. О решении одной обратной задачи просвечивания неоднородных сред // Матем. модели и оптимизация вычисл. алгоритмов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 199g. С. 63-67.

34. Баев А. В., Зотова М. Ю. О единственности решения обратной задачи импульсного электромагнитного зондирования // Матем. моделирование и решение обратных задач матем. физики. М.: Изд. Моск. ун-та, 1994. С. 18-21.

35. Баев А. В., Солтан И.Е. Решение обратной задачи для уравнения колебаний с направленными источниками // Вест. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и кибернетика. 1996. № 1. С. 55-61.

36. Баев А. ВСолтан И. Е. (Baev А. V., Soltan I. Е.) Inverse problems for seismic profiling. Inverse and ill-posed problems (IIPP-96). Abstracts. Moscow. 1996. P. 23.

37. Баев А. В. и др. (Baev А. V. etc.) Recovery of low and high frequencies in VSP records by analytical continuation of spectrum // EAGE, 38-th Conférence and Technical Exhibition. Extended Abstracts. Amsterdam. 1996. P. 172.

38. Баев A. В., Солтан И. E. Обратная задача прогнозирования неоднородной среды по данным вертикально-сейсмического профилирования // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1997. Т. 37. № 6. С. 723-732.

39. Вакушинский А. Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989.

40. Бамберже А., Шаван Д., Лэли Б. Решение обратной задачи сейсмики на основе теории оптимального управления // Вычисл. методы в прикладной матем. Новосибирск: Наука, 1982. С. 108-118.

41. Баранов В., Кюнетц Г. Синтетические сейсмограммы с многократными отражениями // Проблемы сейсмической разведки. М.: Гостоптехиздат, 1962. С. 179—188.

42. Белинский С. П. Об обратной задаче для линейных симметрических ¿-гиперболических систем уравнений первого порядка // Матем. проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. Вып. 6. Ч. 2. С. 100-109.

43. Белишев М. И. О нарушении условия разрешимости обратной задачи для однородной струны // Функц. анализ и его прил. 1975. Т. 9. Вып. 4. С. 11-15.

44. Белишев М. И. Об одном подходе к многомерным обратным задачам для волнового уравнения // Докл. АН СССР. 1987. Т. 297. № 3. С. 524-527.

45. Белишев М. И. Уравнения типа Гельфанда-Левитана в многомерной обратной задаче для волнового уравнения // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1987. Т. 165. Вып. 17. С. 15-20.

46. Белишев М. И. Волновые базисы в многомерных обратных задачах // Матем. сборник. 1989. Т. 180. № 5. С. 584-602.

47. Белишев М. И., Благовещенский А. С. Прямой метод решения нестационарной обратной задачи // Условно-корректные задачи матем. физики и анализа. Красноярск: Изд-во Красноярск, ун-та, 1988. С. 43-49.

48. Белишев М. И., Качалов А. П. Методы теории граничного управления в обратной спектральной задаче для неоднородной струны // Записки научн. семинаров ЛОМИ. 1989. Т. 179. Вып. 19. С. 14-22.

49. Березанский Ю. М. Об однозначности определения уравнения Шредингера по его спектральной функции // Докл. АН СССР. 1953. Т. 93. № 4. С. 591-594.

50. Березанский Ю. М. Об обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера // Докл. АН СССР. 1955. Т. 105. № 2. С. 197-200.

51. Благовещенский А. С. Об обратной задаче теории распространения сейсмических волн // Проблемы матем. физики. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1966. С. 68-81.

52 Благовещенский А. С. Одномерная обратная краевая задача для гиперболического уравнения второго порядка // Матем. вопросы теории распространения волн. 2. Л.: ЛОМИ, 1969. С. 85-90.

53. Благовещенский А. С. Обратная задача для волнового уравнения с неизвестным источником // Проблемы матем. физики. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1970. Вып. 4. С. 27-39.

54. Благовещенский А. С. О различных постановках одномерной обратной задачи для телеграфного уравнения // Проблемы матем. физики. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1970. С. 40-41.

55. Благовещенский А. С. О локальном методе решения нестационарной обратной задачи для неоднородной струны // Тр. ЛОМИ. 1971. Т. 115. С. 28-38.

56. Благовещенский А. С. О квазидвумерной обратной задаче для волнового уравнения // Тр. ЛОМИ. 1971. Т. 115. С. 57-69.

57. Благовещенский А. С. Некоторые обратные задачи теории гиперболических уравнений // Неклассические методы в геофизике. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1977. С. 17-26.

58. Благовещенский А. С. Обратные задачи теории распространения упругих волн // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1978. № 12. С. 50-59.

59. Благовещенский А. С., Кабанихин С.И. Об обратной задаче теории распространения волн в полубесконечном нерегулярном волноводе / / Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. № 4. С. 603-607.

60. Благовещенский А. С., Лаврентьев К.К. Обратные задачи нахождения граничного условия в теории распространения нестационарных волн // Матем. вопросы теории распространения волн. Л.: Наука, 1975. С. 78-84.

61. Бородаева Н. М. О численном решении одномерной обратной динамической задачи сейсмики / / Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.: Недра, 1967. С. 85-91.

62. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973.

63. Брычков Ю. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977.

64. Бухгейм А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука,

1983.

65. Бухгейм А.Л. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988.

66. Бухгейм А.Л., Кардаков В. Б. Решение некоторых обратных задач для уравнения гиперболического типа // Препринт № 65. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977.

67. Бухгейм А.Л., Яхно В.Г. О двух обратных задачах для дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1981. Т. 260. № 2. С. 269-272.

68. Бухгейм А.Л., Яхно В. Г. О задачах идентификации гиперболических уравнений // Препринт № 24. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1976.

69. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1967.

70. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976.

71. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

72. Гальперин Е. И. Вертикальное сейсмическое профилирование. М.: Недра, 1971.

73. Гальперин Е. И. Вертикальное сейсмическое профилирование на этапе разведки и эксплуатации месторождений // Докл. АН СССР. 1980. Т. 253. № 6. С. 1347-1349.

74. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1951. Т. 15. № 4. С. 309-360.

75. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1959. (Обобщенные функции. Вып. 1).

76. Гервер М. Л. Обратная задача для одномерного волнового уравнения с неизвестным источником колебаний. М.: Наука, 1974.

77. Гласко В. Б. О единственности решения некоторых обратных задач сейсмологии // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1970. Т. 10. № 6. С. 1465-1480.

78. Гласко В. Б. К вопросу о единственности решения задачи о восстановлении структуры земной коры по дисперсионному спектру волн Рэлея // Докл. АН СССР. 1972. Т. 206. № 6. С. 1345-1348.

79. Гласко В. В. Обратные задачи математической физики. М.: Изд-во Моск. ун-та,

1984.

80. Гласко В. В., Кулик Н. И., Тихонов А. Н. Об определении геоэлектрического разреза на основе метода регуляризации // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1972. Т. 12. № 1. С. 139-149.

81. Гласко В. В., Худак Ю. И. Аддитивные представления характеристических слоистых сред и вопросы единственности решения обратных задач // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1980. Т. 20. № 2. С. 482-490.

82. Годунов С. К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.

83. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. Введение в теорию. М.: Наука, 1973.

84. Годунов С. К. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.

85. Гончарский А. В. и др. Решение обратной задачи фокусировки лазерного излучения в произвольную линию // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273. № 3. С. 605-608.

86. Денисов А. М. О приближенном решении уравнений Вольтерра первого рода // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1975. Т. 15. № 4. С. 1053-1056.

87. Денисов А. М. О численном решении обратной задачи рассеяния // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1977. Т. 17. № 3. С. 753-756.

88. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1994.

89. Дмитриев В. И. Прямая и обратная задачи зондирования слоистой среды // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1970. № 1. С. 64-69.

90. Дмитриев В. И., Барашков И. С., Мерщикова Н. А. Математическое моделирование магнитотеллурических полей в неоднородных средах. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985.

91. Дмитриев В. И., Захаров Е. В., Ильинский А. С., Свешников А. Г. Обратные задачи электродинамики // Некорректные задачи естествознания. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987.

92. Дмитриев В. И., Ильинский А. С., Свешников А. Г. Развитие математических методов исследования прямых и обратных задач электродинамики // УМН. 1976. Т. 31. № 6. С. 123-141.

93. Добринский В. И. Методы определения одномерных характеристик сред по динамике сейсмических волн. Препринт № 63. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977.

94. Земанян А. Г. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1974.

95. Иванов В. К. О некорректно поставленных задачах // Мат. сб. 1963. Т. 61 (103). № 2. С. 211-223.

96. Исакович М. А. Общая акустика. М.: Наука, 1965.

97. Кабанихин С. И. Конечно-разностная регуляризация обратной задачи для уравнения колебаний // Вопросы корректности задач математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977. С. 57-69.

98. Кабанихин С. И. О конечно-разностном методе определения коэффициентов гиперболического уравнения // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1979. Т. 19. № 2. С. 417-425.

99. Кабанихин С. И. О разрешимости обратной динамической задачи сейсмики / / Условно-корректные матем. задачи и проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1979. С. 43-51.

100. Кабанихин С. И. Конечно-разностный метод определения коэффициентов гиперболической системы первого порядка // Единственность, устойчивость и методы решения обратных и некорректных задач. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1980. С. 3643.

101. Кабанихип С. И. О задаче определения коэффициентов уравнения акустики // Неклассические проблемы матем. физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1981. С. 93-100.

102. Кабанихин С. И. Приближенный метод решения обратной задачи для уравнения акустики // Приближенные методы решения и вопросы корректности обратных задач. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1981. С. 55-62.

103. Кабанихин С. И. Прекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. Новосибирск: Наука, 1988.

104. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

105. Клаербоут Дэю. Ф. Теоретические основы обработки геофизической информации. М.: Наука, 1981.

106. Клибанов М. В. О методе спуска при решении некоторых обратных задач // Матем. проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974. Вып. 5. Ч. 2. С. 72-77.

107. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

108. Красносельский М. А. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.

109. Крейн М. Г. Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля // Докл. АН СССР. 1951. Т. 76. № 1. С. 21-24.

110. Крейн М. Г. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи // Докл. АН СССР. 1954. Т. 94. № 6. С. 767-770.

111. Крейн М. Г., Нуделъман А. А. О прямых и обратных задачах для частот граничной диссипации неоднородной струны // Докл. АН СССР. 1979. Т. 247. С. 10461049.

112. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.

113. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

114. Лаврентьев М. М. Об обратной задаче для волнового уравнения // Докл. АН СССР. 1964. Т. 157. № 3. С. 520-521.

115. Лаврентьев М. М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1973.

116. Лаврентьев М. М., Резницкая К. Г. Обратная задача с неизвестным источником // Единственность, устойчивость и методы решения обратных и некорректных задач. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1980. С. 53-63.

117. Лаврентьев М. М., Резницкая К. Г., Яхно В. Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1982.

118. Лаврентьев М. М., Романов В. Г. О трех линеаризованных обратных задачах для гиперболических уравнений // Докл. АН СССР. 1966. Т. 171. № 6. С. 1279-1281.

119. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Васильев В. Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1969.

120. Лаврентьев М. М., Романов В. ГШишатский С. Л. Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1969.

121. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теория упругости. М.: Наука, 1987.

122. Левин Б. Я. Целые функции. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1971.

123. Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения Штурма-Лиувилля по двум спектрам // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1964. Т. 28. № 1. С. 63-78.

124. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука, 1984.

125. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М.: Наука, 1988.

126. Леонов А. С. Об алгоритмах приближенного решения нелинейных некорректных задач с возмущенным оператором // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245. № 2. С. 300-304.

127. Леонов А. С. О выборе параметра регуляризации для нелинейных некорректных задач с приближенно заданным оператором // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1979. Т. 19. № 6. С. 1363-1376.

128. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Нау-кова думка, 1977.

129. Маслов В. П., Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М. Наука, 1976.

130. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

131. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

132. Никольский Э. В. Отражение плоских упругих волн от произвольного неоднородного слоя в случае нормального падения // Прикл. математика и теорет. физика. 1964. № 4. С. 66-74.

133. Никольский Э. В. О решении прямых и обратных задач сейсмики для одномерной неоднородной среды при нормальном падении плоской волны / / Методика сейсморазведки. М.: Наука, 1965. С. 190-205.

134. Парийский Б. С. Обратная задача для волнового уравнения с воздействием на глубине // Некоторые прямые и обратные задачи сейсмики. М.: Наука, 1968.

135. Пухначева Т. П. О единственности определения коэффициентов симметричной гиперболической системы // Единственность, устойчивость и методы решения обратных и некорректных задач. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1980. С. 69-76.

136. Романов В. Г. Одномерная обратная задача для телеграфного уравнения // Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4. № 1. С. 87-101.

137. Романов В. Г. Об одной постановке обратной задачи для обобщенного волнового уравнения // Докл. АН СССР. 1968. Т. 181. № 3. С. 554-557.

138. Романов В. Г. Теорема единственности одномерной обратной задачи для волнового уравнения // Матем. проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1971. Вып. 2. С. 100-142.

139. Романов В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1972.

140. Романов В. Г. Одномерная обратная задача для волнового уравнения // Докл. АН СССР. 1973. Т. 211. № 5. С. 1083-1084.

141. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1973.

142. Романов В. Г. Задача об определении коэффициентов линейной гиперболической системы // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. № 1. С. 94-103.

143. Романов В. Г. Об одной постановке обратной задачи для симметрических гиперболических систем первого порядка // Мат. заметки. 1978. Т. 24. № 2. С. 231-236.

144. Романов В. Г. О единственности решения одной задачи для гиперболических систем первого порядка // Мат. заметки. 1978. Т. 24. № 3. С. 359-366.

145. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

146. Романов В. Г., Кабанихин С. И., Пухначева Т. П. Обратные задачи электродинамики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1984.

147. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.

148. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.

149. Солтан И. Е. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа и их приложение в методе вертикального сейсмопрофилирования. Дис. на соискание степени канд. ф.-м. наук. Моск. гос. ун-т, ф-т. вычисл. матем. и кибернетики. М. 1997.

150. Сражидинов А. О регуляризации линейных и нелинейных уравнений Вольтер-ра первого рода // Изв. АН Кирг. ССР. 1980. № 5. С. 3-11.

151. Табаков А. А. Обратная фильтрация данных ВСП с предварительным разделением волн // Геофиз. исследования на нефть и газ в Узбекистане. Тр. СредазНИИ геол. и минер, сырья. Ташкент. 1974. Вып. 9. С. 105-108.

152. Табаков А. А., Рахимов Р. Г., Шамаев М. Г. Методика предсказания разреза разреза ниже забоя разведочной скважины по данным ВСП с применением способа решения обратных динамических задач // Геофиз. исследования на нефть и газ в Узбекистане. Тр. СредазНИИ геол. и минер, сырья. Ташкент. 1977. Вып. 27. С. 98-100.

153. Талъ-Вирский В. В., Табаков А. А. (Tal-Virskij В. В., Tabakov A. A.) High rezoution prediction of acousticimpedance below bottom of hole // Geophys. Prosp. 1983. Vol. 31. P. 225-236.

154. Титчмарш Э. Теория функций. M.: Гостехиздат, 1951.

155. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач //Докл. АН СССР. 1943. Т. 39. № 5. С. 195-198.

156. Тихонов А. Н. О единственности задачи электроразведки // Докл. АН СССР. 1949. Т. 69. № 6. С. 797-800.

157. Тихонов А. Н. Об определении электрических характеристик глубоких слоев земной коры // Докл. АН СССР. 1950. Т. 73. № 2. С. 295-298.

158. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Докл. АН СССР. 1963. Т. 151. № 3. С. 501-504.

159. Тихонов А. Н. О решении нелинейных интегральных уравнений первого рода // Докл. АН СССР. Т. 156. № 6. С. 1296-1299.

160. Тихонов А. Н. К математическому обоснованию теории электромагнитных зондирований // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1965. Т. 5. № 3. С. 545-548.

161. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974.

162. Тихонов А. Н, Дмитриев В. И. О методах решения обратной задачи теории антенны // Вычислительные методы и программирование. № 13. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1969. С. 209-214.

163. Тихонравов А. В. О принципиально достижимой точности решения задач синтеза // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1982. Т. 22. № 6. С. 1421-1433.

164. Тихонравов А. В. Синтез слоистых сред с заданными амплитудно-фазовыми свойствами // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1985. Т. 25. № 11. С. 1674—1688.

165. Тихонравов А. В. Амплитудно-фазовые свойства спектральных коэффициентов слоистых сред // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1985. Т. 25. № 3. С. 442-250.

166. Эльсголъц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами. М.: Наука, 1971.

167. Фам Лой By. О решении конечно-разностным методом обратной задачи в среде с поглощением // Геофизический сборник. № 59. Киев: Наукова думка. 1974. С. 56-62.

168. Фаддеев Л. Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния. М.: ВИНИТИ, 1973. Т. 1. С. 197-205.

169. Чудов JI. Л. Разностные методы решения задачи Коши для уравнения Лапласа // Докл. АН СССР. 1962. Т. 143. № 4. С. 798-801.

170. Чудов Л. Л. Разностные схемы и некорректные задачи для уравнений с частными производными // Вычислительные методы и программирование. М.: 1967. Т. 8. С. 34-62.

171. Яхно В. Г. Одномерная обратная задача для волнового уравнения // Докл. АН СССР. 1980. Т. 255. № 1. С. 49-50.

172. Яхно В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений упругости. Новосибирск: Наука, 1990.

173. Borg G. Eine Imkehrung der Sturm-Liouvillschen Eigenwertaufrabe, Destimmung der Differentialgleichung durch die Eigenwerte // Acta Math. 1946. Bd. 78. № 1. P. 1-96.

174. Burridge R. Multimode, one-dementional wave propagation in a highly discontinuous medium 11 Wave-Motion. 1989. Vol. 11. № 3. P. 231-249.

175. Hochstadt H. On inverse problems associated with Sturm-Liouville operators //J. Differential Equations. 1975. Vol. 17. P. 220-235.

176. Hochstadt H. On inverse problems associated with second-order differential operators // Acta Math. 1967. Vol. 119. № 3. P. 173-192.

177. Levinson N. The inverse Sturm-Liouville problem // Math. Tidsskr. B. 1949. P. 25-30.

178. Li Y.-S. On inverse eienvalue problem for a second-order differential equaton with boundary dependance on the parameter // Acta Math. Sinica. 1965. Vol. 15. P. 375-381.

179. Rundell W., Sacks P. Reconstrucion techniques for classical inverse Sturm-Louville problems // Math. Comput. 1992. Vol. 58. № 197. P. 161-183.

180. Rundell W., Sacks P. The reconstruction of Sturm-Liouville operators // Inverse Problems. 1992. № 8. P. 457-482.