Общие свойства и тонкая структура течений непрерывно стратифицированной жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Байдулов, Василий Геннадьевич

• Байдулов, Василий Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Байдулов, Василий Геннадьевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Методы теоретико-группового анализа уравнений движения

стратифицированных сред

1.1. Системы уравнений движения задач многокомпонентной конвекции

1.2. Общие сведения из теории групп. Использование методов компьютерной алгебры в задачах нахождения групп симметрий

систем дифференциальных уравнений в частных производных

Глава 2. Инвариантные свойства систем уравнений

термогидромеханики неоднородных жидкостей

2.1. Группы симметрий моделей изотермической непрерывно стратифицированной жидкости

2.2. Групповая классификация уравнений многокомпонентнЬй конвекции по виду уравнения состояния с учетом зависимости коэффициентов переноса от термодинамических характеристик

2.3. Инвариантные решения уравнений изотермической непрерывно стратифицированной жидкости

Глава 3. Тонкая структура пограничных течений, индуцированных диффузией на неподвижных препятствиях в линейно стратифицированной жидкости

3.1. Применение методов теории возмущений к задачам формирования

течений на неподвижных препятствиях

3.2. Одномерные пограничные течения на наклонной плоскости и в

канале

3.3. Формирование пограничных течений в окрестности двумерного

(горизонтальный цилиндр) и осесимметричного (сфера) тел

Глава 4. Динамические и диффузионные эффекты при начале движения тел правильной формы в линейно стратифицированной жидкости

4.1. Использование методов теории возмущений в задачах старта тел

4.2. Установление течения на движущейся плоскости и в наклонном

канале с подвижными стенками

4.3. Формирование течения при старте горизонтального цилиндра

4.4. Сопоставление с результатами лабораторного моделирования старта горизонтального цилиндра

Заключение

Список литературы

Приложение 1. Программа расчета групп симметрий нестационарных двумерных уравнений движения несжимаемых стратифицированных жидкостей в приближении

Буссинеска

Приложение 2. Алгебры Ли и оптимальные подалгебры генераторов групп симметрий уравнений изотермической непрерывно стратифицированной жидкости

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Общие свойства и тонкая структура течений непрерывно стратифицированной жидкости»

ВВЕДЕНИЕ

Изучение и параметризация процессов переноса и формирования структур океана и атмосферы являются основными задачами гидродинамики окружающей среды. В силу сложности задач надлежащий выбор определяющих физических переменных и математических моделей в значительной степени предопределяет эффективность и адекватность описания природных явлений. В последние 50 лет основные модели динамики окружающей среды базируются на представлении о турбулентном характере течений в стратифицированном океане и атмосфере [31]. Однако, уже в одной из ранних работ Уолтера Манка было показано, что профили вертикальных распределений потенциальной температуры и концентрации некоторых элементов (углерода, радия, кислорода) в Тихом океане не согласуются с рассчитанными по моделям турбулентности, в которые подставляются океанические значения коэффициентов диффузии и скорости подъема вод [76]. Эта работа стимулировала интенсивный поиск дополнительных механизмов переноса в устойчиво стратифицированных океане и атмосфере, результаты которого нашли свое отражение в большом числе статей и книг [31,41,42,47,74]. Важнейшими из дополнительных универсальных механизмов переноса энергии и вещества в океане были признаны специфические пограничные течения, обусловленные диффузией на океанических склонах. Их аналогом в атмосфере служит долинные и горные ветры [38].

Впервые задачу описания течения, индуцируемого диффузией на топографии в устойчиво стратифицированной атмосфере, сформулировал JL Прандтль [35]. Применительно к процессам в океане установившееся течение, возникающее вследствие прерывания естественного потока соли на непроницаемых наклонных границах, рассмотрено в работах [77,85]. В обоих случаях когда задан перепад температуры на наклонной стенке [35] или прерывание потока [77,85] стационарное решение описывает одномас-штабное пограничное течение с подобным распределением всех физических величин. В частности, на наклонной плоскости, погруженной в жидкость с постоянной частотой плавучести N, скорость и и все остальные переменные являются периодическими функциями расстояния от нее г|.

u(r|) = 2ky ctg а ехр(- yr|) sin(yr|), (1)

здесь к - коэффициент диффузии стратифицирующей компоненты (соли), v - коэффи-

•у

циент кинематической вязкости, а - угол наклона плоскости к горизонту, N = g/A -квадрат частоты плавучести, А - масштаб стратификации, у = (N2sin2a/4v k)1/4 - обрат-

ный комбинационный масштаб задачи, который стремится к нулю с уменьшением угла наклона плоскости [77,85]. Объемный поток в этом случае не зависит от стратификации, а скорость при уменьшении утла не стремится тождественно к нулю. В профиле скорости (1) присутствуют противотечения, физическая природа которых не ясна. Эти особенности решений были отмечены авторами, но удовлетворительного объяснения не получили. Качественный эксперимент показал существование течения, индуцируемого диффузией на наклонной боковой стенке в покоящейся жидкости [85].

Стационарные решения задачи о пограничном течении [35,77,85] широко используются для разрешения одного из принципиальных парадоксов прикладной океанографии - несогласованности измеренных значений параметров океанической турбулентности и скорости вертикального (диапикнического) переноса примесей [76]. Пограничные течения на шельфовом склоне (в общем случае турбулентные), эффективно переносят вещество и энергию не только вблизи границ, но, в случае их отрыва, и в толще океана. Аналогия между вращением и стратификацией [83] показывает, что данный тип течений может быть как гравитационного, так и инерционного происхождения [65,78].

На круто падающих склонах (угол наклона которых больше отношения частоты вращения к частоте плавучести) пограничное течение является существенно нестационарным, на что обратили внимание специалисты по физической океанографии [50]. В реальных условиях, помимо течений, индуцированных диффузией, заметную роль в прибрежной океанографии играют взаимодействия с топографией внутренних волн, приливных течений, процессы локального перемешивания и последующего восстановления стратификации [82], а также конвективные течения, возникающие под действием естественных потоков тепла.

В стационарном решении приграничные возмущения плотности генерируют как восходящее (около стенки), так и примыкающее к нему нисходящее течения [66,64]. Детальные аналитические, численные и лабораторные экспериментальные исследования нестационарного пограничного слоя во вращающейся стратифицированной жидкости с учетом диффузии и вязкости выполнены в [73]. Подробный обзор физических механизмов генерации стационарных пограничных течений с учетом эффектов вращения и стратификации, и вытекающие из него океанические приложения содержатся в [67]. Интегральные оценки использующие эффективные значения кинетических коэффициентов (турбулентные вместо молекулярных), дают достаточно большие величины скорости глобального переноса вещества в пограничных океанических течениях, как кон-

вективной, вследствие геотермального нагрева, так и диффузионной природы (на основе моделей [35,77,85] учитывающих прерывание потока вещества в стратифицированной среде на дне океана). Их толщина оценивается в 700 - 900 м, а объемный расход в полосе 15°8 - 10°М составляет от 4 до 8 106м3/с и сопоставим с переносом в глубоководных западных пограничных течениях [81]. Однако, вопросы адекватности стационарного подхода реальным процессам в нестационарном океане остаются открытыми.

Другой механизм дополнительного пограничного переноса предложен в [84]. Он основан на учете неоднородности стратификации или интенсивности турбулентности по глубине. Возникающие дополнительные турбулентные струи обеспечивают достаточно эффективный перенос как в толще жидкости, так и на ее границах. Как и в задаче [35,77,85] рассматривается установившийся режим, эффектами, связанными с вращением Земли пренебрегается.

Нестационарная задача формирования течения около стартующей наклонной плоскости, помещенной в изначально линейно стратифицированную жидкость, рассмотрена в [80]. С помощью преобразования Лапласа построены профили плотности и скорости и проанализировано развитие процесса во времени. Полученные решения описывают одномасштабные квазипериодические по пространству решения, вид которых меняется с удалением от стенки. На больших временах решения [80] согласуются с решением стационарной задачи [35,77,85]. Данные экспериментов по установлению течения около вертикально стартующей пластины удовлетворительно согласуются с асимптотическими расчетами.

Точное аналитическое решение задачи формирования течения, индуцированного диффузией на непроницаемой наклонной плоскости описывает монотонно растущее пограничное течение (без противотечения) с расщепленными масштабами пространственной изменчивости скорости и плотности [18,21,22,]. Решение имеет вид пространственно-временных рядов, для коэффициентов разложения которых приведены рекуррентные соотношения. Данное решение согласуется со всеми известными точными решениями задач теории теплопроводности (у вертикальной и горизонтальной стенки течения не возникают) и является аналитической функцией всех физических параметров задачи. Это решение не имеет стационарного предела и расходится со временем, что указывает на внутреннюю противоречивость задач стратифицированных течений в одномерной постановке.

Таким образом, индуцированное диффузией нестационарное пограничное течение, а также и пограничный слой в непрерывно стратифицированной среде расщепляются на вязкий и диффузионный подслои, отношение квадратов толщин которых пропорционально числу Шмидта - отношению коэффициентов вязкости v и диффузии к (Sc = v/k). Интересно отметить, что в решении [23] расщепляются масштабы изменчивости не только скорости и солености, но и скорости и завихренности (как для барок-линной, так и для динамической компонент).

Многие особенности индуцированных диффузией расщепленных пограничных течений около неоднородностей топографии переносятся при их отрыве в толщу непрерывно стратифицированной жидкости. Эффекты, обусловленные отрывом пограничного течения (расщепление динамического и плотностного следов, формирование высокоградиентных прослоек в ламинарном потоке), наблюдались с помощью цветного теневого метода при обтекании двумерных [44] и трехмерных [39] тел правильной формы. Измерения, выполненные контактными датчиками электропроводности, показали усиление градиентов плотности в спутном течении за цилиндром в 10 -е- 150 раз по сравнению с исходным [12]. Несколько меньшие значения коэффициентов усиления стратификации на прослойках, оконтуривающих плотностной след за сферой, зарегистрированы с помощью узкопольного лазерного теневого прибора [45], пространственное разрешение которого было сравнимо или даже несколько больше толщины высокоградиентной оболочки.

Все эти результаты относятся к однокомпонентной стратифицированной жидкости в поле силы тяжести, когда задача характеризуется только двумя кинетическими коэффициентами (вязкости и диффузии). Реальные среды являются многокомпонентными. В таких средах существенными являются процессы многокомпонентной диффузии (МКД) и термоконцентрационной конвекции (ТКК), которые различаются типом граничных условий (непротекания для МКД и величины потока на границе для ТКК) и, как следствие, типом возникающих структур [24], включающих помимо пограничных течений фронты инжекции.

Нестационарная задача формирования течения около наклонной плоскости в двухкомпонентной среде (сахар/соль), характеризующейся двумя различными коэффициентами диффузии, рассмотрена в [72]. В качестве базиса использована модель многомасштабного одномерного течения вдоль плоскости. При таком рассмотрении задача не имеет стационарного предела. Помимо асимптотических выражений для малых вре-

мен приведены асимптотики больших времен для скорости и возмущений двух стратифицирующих компонент. Приведенная в [72] асимптотика больших времен имеет тот же недостаток, что и решения [35,77,85].

Лабораторные эксперименты показывают, что при наличии двух стратифицирующих компонент с различными коэффициентами диффузии одномерное течение вдоль наклонной плоскости становится неустойчивым и теряет одномерность, в жидкости возникает система конвективных ячеек, которые постепенно продвигаются от границы вглубь невозмущенной жидкости [72]. Аналогичные процессы наблюдаются при распространении теплового фронта (вертикального [32] или наклонного [29]) в непрерывно стратифицированной по солености жидкости. Исследованию этого явления (:термохалинной или термоконцентрационной конвекции) посвящено значительное число экспериментальных, аналитических и численных исследований. Именно с этим процессом во многих случаях связано формирование пространственно упорядоченной тонкой структуры океана - "термохалинной лестницы", состоящей из более толстых однородных слоев, разделенных тонкими высокоградиентными прослойками [41].

Система уравнений термогидромеханики стратифицированных сред сложна для анализа традиционными методами математической физики. Упрощенные модельные системы часто приводят к результатам не согласующимся с данными наблюдений. Одним из эффективных методов анализа систем нелинейных уравнений в частных производных является теоретико-групповой метод [34,33], позволяющий не только изучать общие свойства уравнений, но и находить частные точные решения ряда задач [2], а также получать экспериментально проверяемые результаты [20].

Проведенный обзор показывает, что расчеты процессов формирования стратифицированных течений не всегда согласуются с решением стационарных задач. В частности, свойства стационарных пограничных течений, возникающие в непрерывно стратифицированной среде вследствие прерывания молекулярного потока на топографии [35,77,85] не согласуются с точными решениями задачи установления [21,22,23]. Стационарные одномасштабные решения широко используются в прикладной физической океанографии при анализе процессов глобального и локального переноса энергии и вещества. Однако, эту задачу нельзя считать полностью решенной. Стационарные решения имеют неустранимые особенности и не сшиваются с известными точными решениями примыкающих задач теплопроводности. Нестационарные решения задач установления, которые построены только для самых простых геометрий (наклонная

плоскость, фактически одномерная задача, в которой нелинейные члены в уравнениях движения выпадают в силу геометрического вырождения), не имеют стационарного предела. Сложный вид решений [21-23], имеющих вид бесконечных (точные решения) или асимптотических рядов, не позволяет их непосредственно использовать для сравнения с данными лабораторных экспериментов, в которых препятствия, как правило, имеет конечные размеры.

Полученные решения [21 -23,35,77,84,85] отличаются пространственными особенностями структуры физических полей. Решения для вязких и идеальных сред в предельных случаях не переходят одно в другое, значения волновых амплитуд зависят от способа моделирования обтекания реального препятствия.

Сложная физика и геометрия реальных стратифицированных течений требует более детального рассмотрения общих свойств уравнений и оценки характерных определяющих элементов течения. В этой связи представляют интерес как теоретико-групповой анализ полных систем уравнений термогидромеханики и наиболее распространенных моделей, так и применение асимптотических методов для получения решений в форме, допускающей прямую экспериментальную проверку без привлечения дополнительных гипотез и введения подгоночных параметров.

Цель работы: Целью данной работы является

— Разработка программ построения определяющей системы уравнений и вычисления генераторов групп симметрий систем дифференциальных уравнений в частных производных

— Исследование влияния вязкости и диффузии, а также размерности пространства задач, на инвариантные свойства уравнений движения линейно стратифицированной жидкости

— Изучение причины вырождения инвариантных свойств уравнений изотермической стратифицированной жидкости с линейным уравнением состояния

— Поиск новых симметрий уравнений многокомпонентной конвекции с произвольным уравнением состояния и кинетическими коэффициентами зависящими от термодинамических переменных

— Исследование тонкой структуры пограничных течений на покоящихся препятствиях, а также течений, возникающих в линейно стратифицированной жидкости, при нача-

ле движения тел правильной формы. Приведение результатов расчетов к форме, допускающей непосредственное сравнение с экспериментом и определение реальных границ применимости рассматриваемых моделей.

В работе получены следующие новые результаты

— Разработан и реализован пакет программ поиска групп симметрий систем дифференциальных уравнений в частных производных.

— Исследовано влияние вязкости и диффузии на инвариантные свойства одно-, дву- и трехмерных уравнений движения линейно стратифицированной жидкости. Показано, что в отличие от одномерного случая, все диссипативные модели дву- и трехмерных задач имеют единую структуру групп симметрий.

— С помощью проведенного анализа зависимости групп симметрий от вида уравнения состояния выявлена причина вырождения инвариантных свойств уравнений изотермической стратифицированной жидкости с линейным уравнением состояния по кинетическим коэффициентам.

— Изучено влияние вида уравнения состояния на структуру групп симметрий уравнений термоконцентрационной конвекции. На основании классифицирующего уравнения определены уравнения состояния допускающие расширение основной группы.

— Показано, что учет зависимости кинетических коэффициентов от п стратифицирующих компонент может порождать новые инвариантные свойства уравнений движения. Найден вид функциональных зависимостей коэффициентов диссипации, при которых происходит расширение основной группы. Проведена частичная классификация уравнений многокомпонентной конвекции по виду уравнения состояния.

— Методами многопараметрической теории возмущений найдены решения задач формирования течения, индуцированного диффузией около покоящихся тел, и задач начала движения тел правильной формы в линейно стратифицированной жидкости.

— Проведено детальное сравнение решения задачи о начале движения горизонтального цилиндра с данными лабораторных экспериментов, позволяющее уточнить реальные границы применимости используемой теории.

На защиту выносятся

— Решение задачи поиска групп симметрий систем дифференциальных уравнений в частных производных методами компьютерной алгебры.

— Анализ инвариантных свойств уравнений движения стратифицированной изотермической жидкости и многокомпонентной конвекции.

— Решения задач о формировании течений линейно стратифицированной жидкости около покоящихся и стартующих тел правильной формы.

Апробация работы

Основные результаты были представлены на международных конференциях "Transport Processes in the Ocean and their Laboratory Models" (Москва, 1993); XIX General Assembly EGS (Эдинбург, 1994); "Boundary Effects in Stratified and/or Rotating Fluids" (Санкт-Петербург, 1995); XXI General Assembly of the International Association for the Physical Sciences of the Oceans (IAPSO) (Гонолулу, США, 1995); "Physical Processes on the Ocean Shelf' (Светлогорск, 1996); "Stability and Instabilities of Stratified and/or Rotating Flows" (Москва, 1997); "Modern Group Analysis VII Lie Groups and Contemporary Symmetry Analysis" (Норвегия, 1997); Joint Assemblies of the International Association of Meteorology and Atmospheric Sciences & International Association for Physical Sciences of the Oceans (Мельбурн, Австралия, 1997); "Симметрия в естествознании" (Красноярск, 1998); на 4-й Всесоюзной школе-семинаре "Методы гидрофизических исследований" (Светлогорск, 1992), Объединенном семинаре "Динамика природных систем" (Москва, ИПМ РАН, 1995, 1997, 1998).

Публикации

По результатам работы опубликованы статьи [4,5,9], препринт [7], тезисы докладов на конференциях [3,6,8,52 - 61], принята к печати одна статья [22].

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка литературы из 85 наименований. Общий объем диссертации 118 страниц, включая иллюстрации.

Основное внимание уделено изучению зависимости структуры групп симметрий от вида уравнения состояния, характера модели (идеальная или среды с диссипацией), а также размерности конфигурационного пространства задачи (одно-, дву- и трехмерные

постановки). Асимптотические решения одномерной, двумерной и трехмерной (осесимметричной) задачи находятся в рамках единого подхода, позволяющего проводить сравнение аналитических результатов и сопоставление с данными лабораторного эксперимента.

В первой главе приводятся основные уравнения термогидромеханики стратифицированных течений, как для изотермической жидкости, так и для многокомпонентной среды в приближении Буссинеска. Обсуждаются граничные и начальные условия, основные приближения. Для справки указаны основные сведения из теории непрерывных групп, необходимые для построения определяющей системы уравнений и вычисления генераторов групп симметрий систем дифференциальных уравнений в частных производных. Изложены основные особенности применения методов компьютерной алгебры к задачам теории групп Ли. Приведена блок-схема программы построения определяющей системы уравнений генераторов групп симметрий, реализованной на языке Maple V. Определены системы уравнений движения, теоретико-групповой анализ которых проведен в следующей главе.

Во второй главе определяются и исследуются инвариантные свойства уравнений термогидромеханики свободных стратифицированных течений. Исследуются структуры групп симметрий задач различной размерности, их зависимость от диссипативных свойств изучаемой среды, вида уравнения состояния и зависимости кинетических коэффициентов от термодинамических переменных.

В третьей главе методами теория возмущений рассчитываются характеристики нестационарных пограничных течений индуцируемых диффузией на неподвижных непроницаемых телах в линейно стратифицированной жидкости. На базе единого подхода решен ряд решены задачи установления течения на наклонной плоскости и в канале, около горизонтального цилиндра и сферы.

В четвертой главе методами многопараметрической теории возмущений анализируется задачи установления течений при начале движения препятствий в вязкой линейно стратифицированной жидкости с диффузией. Рассмотрение проводится в ранее использованном приближении малых времен, дополнительно вводится новый малый параметр, связанный с появлением нетривиального краевого условия для скорости движения тела. Полученные решения сравниваются с данными лабораторных экспериментов.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Байдулов, Василий Геннадьевич

Основные результаты

В теневой картине течения, показанной на Рис. 4.4.1а, как и в распределении завихренности (Рис. 4.3.2а), можно выделить 6 секторов. Поле возмущений солености антисимметрично относительно горизонтальной плоскости, проходящей через центр цилиндра и симметрично относительно вертикальной. Геометрия экспериментально наблюдаемого течения (Рис. 4.4.1а) достаточно хорошо согласуется с расчетной (Рис. 4.4,16), в которой угловые зависимости которой задаются множителем sin ф + sin Зф из (4.3.4). х,см

Рис. 4.4.1.

Теневая картина течения (а) и геометрия поля горизонтальной компоненты градиента коэффициента преломления (и солености) (б) ((1 = 1,5 см, \\г0 = 0,1 см/с.

Ть = 12,5 М=1с)

Некоторое отличие в угловом положении секторальных линий в эксперименте обусловлено асимметрией настройки теневого прибора в условиях переменного градиента плотности и искажениями изображения щели в средах с большими вариациями коэффициента преломления.

На малых временах распределение скорости в опережающем возмущении вдоль линии движения центра тела и количественно и качественно согласуется с расчетами по формуле (4.3.5), формально применимыми при № < 1 (Рис. 4.4.2а). В широком диапазоне скоростей движения тела (\Уо =1-2,5 мм/с) законы спадания максимума скорости от расстояния имеют степенной характер (их ~ 1/г ). Со временем скорость растет У пропорционально (№) .

Систематические отклонения экспериментальных точек от расчетной кривой на Рис. 4.4.2в;г, обусловлены формированием в потоке области полной блокировки, в которой жидкость движется вместе с телом (в теории - блокировка частичная). Начиная с некоторых расстояний (значение которых с возрастом нарастает) там, где поток блокируется лишь частично, экспериментальные точки приближаются к расчетной кривой (4.3.5). На относительно больших временах (N1= 17,5, Рис. 4.4.2г) длина области полной блокировки составляет х ~ 4Б. На большем удалении от тела относительная скорость и в теории, и в эксперименте убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. Измеренные абсолютные значения скорости несколько меньше рассчитанных.

Рассчитанные и наблюдаемые профили скорости перед телом также хорошо согласуются между собой. В фазе формирования течения метод меток частично разрешает компенсационные противотечения, связанные с установлением поля внутренних волн, на умеренных расстояниях от тела (Рис 4.4.3а). На больших расстояниях маркеры визуализируют только центральную струю (Рис. 4.4.36). В развитом течении (N1 > 20) профили смещений маркеров позволяют выделить как заблокированную жидкость, так и периодические возмущения вокруг нее перед телом, обусловленные нестационарными внутренними волнами.

Рис. 4.4.2.

Распределение максимума скорости в опережающем возмущении на оси движения тела (х - расстояние от центра цилиндра, с! = 2,5 см, Ть = 12,5 с), цифрами обозначены различные опыты, сплошной линией на графиках приведены расчетные данные а-№ = 1,25; 1,2-лу0= 1,42; 2,58 мм/с; б-№ = 2,5; 1,2, 3,4-ш0= 1,06; 1,42; 2,14; 2,58 мм/с, в, г-№= 7,5; 12,5; 1, 2, 3, 4, 5 - лу0 = 1,06; 1,42; 1,75; 2,14; 2,58 мм/с

Полученные асимптотические решения линеаризованной системы уравнений движения с учетом эффектов вязкости и диффузии удовлетворительно описывают картину формирования течения при импульсном начале движения горизонтального цилиндра в непрерывно стратифицированной жидкости. Рассчитанные поля скорости и плотности согласуются с данными лабораторных экспериментов (теневые картины течения и распределение скоростей) на временах, превышающих формальные пределы применимости метода. Особенно хорошо согласуются профили горизонтальной компоненты скорости течения и закономерности ее спадания с расстоянием на линии движения центра тела. Устойчивость использованной формы параметризации экспериментальных данных для различных скоростей движения тела свидетельствует о том, что даже на больших временах (№> 10) временные производные в уравнениях движения все еще превосходят конвективные члены, и процесс хорошо описывается линейной моделью (Рис. 4.4.2).

Рис. 4.4.3.

Вертикальные профили горизонтальной компоненты скорости перед телом (сплошная линия -расчет, штрих пунктирная - эксперимент, у - вертикальная координата, № = 3,75); а, б -; -х/Я = 3,1; 4,8

Предварительные расчеты показали, что основные особенности рассмотренного двумерного течения сохраняются и при старте трехмерного тела. Так, при начале движения сферы в поле солености также формируется опережающее возмущение, которое ранее наблюдалось экспериментально [43]. Его форма в центральном вертикальном сечении идентична приведенной на Рис. 4.3.26, хотя сами возмущения являются более слабыми.

Развитая методика может использоваться для нахождения полей скорости и плотности при старте тел и другой формы. При экстраполяции полученных результатов на природные условия, где движения, как правило, турбулентные, молекулярные коэффициенты переноса в (4.3.1 - 11) должны быть заменены на их турбулентные аналоги.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа посвящена применению теоретико-групповых и асимптотических методов к анализу уравнений термогидромеханики стратифицированных сред в приближении Буссинеска. Основное внимание уделено изучению зависимости структуры групп сим-метрий от вида уравнения состояния, характера модели (идеальная или среды с диссипацией), вида стратификации и размерности конфигурационного пространства задачи (одно-, дву- и трехмерные постановки). Построенные решения приведены к форме, допускающей непосредственное сравнение с данными лабораторного эксперимента.

В настоящее время единственным универсальным средством аналитических исследований общих свойств нелинейных систем дифференциальных уравнений в частных производных являются теоретико-групповые методы. Поскольку их применение связано с большим объемом рутинных вычислений даже в случае достаточно простых систем уравнений, и существующие стандартные средства поиска групп симметрий пакетов прикладных программ символьных вычислений часто не справляются с их объемом, возникает задача разработки собственных алгоритмов с учетом возможностей доступной вычислительной техники. Такой алгоритм был разработан на основе пакета программ Maple V и реализован на IBM PC. Пакет позволяет эффективно решать задачу построения и частичного решения определяющей системы уравнений для систем дифференциальных уравнений в частных производных произвольного типа.

Теоретико-групповыми методами выполнено исследование влияния вязкости и диффузии на инвариантные свойства одно-, дву- и трехмерных уравнений движения непрерывно стратифицированной жидкости. Показано, что в отличие от одномерного случая, все диссипативные модели дву- и трехмерных задач имеют единую структуру групп симметрий. Группа симметрий стационарных уравнений, при этом является подгруппой группы симметрий нестационарных. В одномерном случае инвариантные свойства уравнений непрерывно зависят от значений диссипативных коэффициентов в стационарном случае и скачкообразно меняются в нестационарном. Так например, полная системы уравнений (v ф к ф 0) обладает простейшей трехпараметрической группой, в то время как вырожденная система (v = к ф 0) - девятипараметрической.

Проведена групповая классификация задач теории стратифицированных течений по виду распределения плотности с целью определения причины вырождения инвариантных свойств по кинетическим коэффициентам. Показано, что факт вырождения связан с линейностью уравнения состояния и исчезает при рассмотрении уравнения состояния общего вида.

Изучено влияние вида уравнения состояния на структуру групп симметрий уравнений движения термоконцентрационной конвекции. На основании анализа классифицирующего уравнения определены уравнения состояния допускающие расширение основной группы. Показано, что учет зависимости кинетических коэффициентов от п стратифицирующих компонент может порождать новые инвариантные свойства анализируемой системы уравнений. Найден вид функциональных зависимостей коэффициентов диссипации, при которых происходит расширение основной группы. Указаны инвариантные замены позволяющие уменьшать количество независимых переменных и получать новые точные решения.

Построена многопараметрическая теория возмущения задач формирования течения, индуцируемого диффузией около неподвижных тел в линейно стратифицированной жидкости. Решены одномерные (наклонная плоскость и канал), двумерная (горизонтальный цилиндр) и осесимметричная (сфера) задачи. С точностью до масштабных множителей все течения представляют собой монотонно растущие со временем пограничные слои с расщепленными масштабами пространственной изменчивости полей скорости (вязкий масштаб), завихренности, давления, солености (диффузионный масштаб). Отношение масштабов не зависит от времени и определяется корнем из числа Шмидта (Бс = у/к). Построенные решения являются аналитическими функциями независимых переменных и всех физических параметров задачи. В предельных случаях решения локально равномерно согласуются друг с другом и с известными точными решениями задач теплопроводности и диффузии.

Методами теории возмущений решены также задачи о начале движения тел правильной формы (наклонная плоскость, течение Куэтта, горизонтальный цилиндр) в линейно стратифицированной жидкости с учетом эффектов вязкости и диффузии. Полученные результаты приведены к форме, допускающей прямое сравнение с данными лабораторных экспериментов. Определены границы применимости используемого разложения.

В случае старта горизонтального цилиндра проведено сравнение с экспериментальными данными. Проведенное сопоставление показало, что несмотря на то, что сравнение проводилось на временах выходящих за рамки формальной применимости метода, рассчитанные поля скорости и плотности удовлетворительно согласуются с данными лабораторных экспериментов (теневые картины течения и распределения скорости). Особенно хорошо согласуются профили горизонтальной компоненты скорости течения и закономерности ее спадания с расстоянием на линии движения центра тела. Устойчивость использованной формы параметризации экспериментальных данных для различных скоростей движения тела свидетельствует о том, что даже на больших временах (№> 10) временные производные в уравнениях движения все еще превосходят конвективные члены, и процесс хорошо описывается линейной моделью

Предварительные расчеты показали, что основные особенности рассмотренного двумерного течения сохраняются и при старте трехмерного тела. Так, при начале движения сферы в поле солености также формируется опережающее возмущение, которое ранее наблюдалось экспериментально [43]. Его форма при старте горизонтального цилиндра и сферы (центральное вертикальное сечении) практически совпадает, хотя величина возмущений в трехмерном случае уменьшается. При экстраполяции полученных результатов на природные условия, где движения как правило, турбулентные, молекулярные коэффициенты переноса должны быть заменены на их турбулентные аналоги.

Автор выражает глубокую благодарность профессору Ю.Д. Чашечкину за постановку задачи и научное руководство работой, а также за постоянную поддержку во время выполнения исследования. Автор особенно признателен В.А. Городцову за постоянный интерес к работе и обсуждение ее результатов и В.В. Миткину, чьи экспериментальные исследования позволили подтвердить полученные теоретические результаты.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Байдулов, Василий Геннадьевич, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Абрамович M., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М. : Наука. 1979. С. 830.

2. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов A.A. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: ВО Наука. 1994. С. 319.

3. Байдулов В.Г., МиткинВ.В, Чашечкин Ю. Д. Формирование течения при начале движения горизонтального цилиндра в непрерывно стратифицированной жидкости. Известия АН. Физика атмосферы и океана, (в печати).

4. Байдулов В.Г., Чашечкин Ю.Д. Влияние диффузионных эффектов на пограничные течения в непрерывно стратифицированной жидкости. Изв. АН Физика атмосферы и океана. 1993. № 4. С. 82 - 90.

5. Байдулов В.Г., Чашечкин Ю.Д. Групповой анализ уравнений движения изотермической непрерывно стратифицированной жидкости. Доклады АН. 1999. Т. 364. №2. С. 186- 189.

6. Байдулов В.Г., Чашечкин Ю.Д. Медленное течение Куэтта в стратифицированной жидкости. "Методы гидрофизических исследований" 4-я Всесоюзная школа-семинар. г. Светлогорск. 1992 г.

7. Байдулов В.Г., Чашечкин Ю.Д. Общие свойства свободных и пограничных течений в непрерывно стратифицированной жидкости. Препринт № 596 ИПМ РАН. 1997. С. 71

8. Байдулов В.Г., Чашечкин Ю.Д. Общие свойства свободных течений непрерывно стратифицированной жидкости. Международная конференция "Симметрия в естествознании". Красноярск. 23 - 29 августа 1998 г. Тезисы докладов. С. 16-17.

9. Байдулов В.Г., Чашечкин Ю.Д. Пограничное течение, индуцированное диффузией около неподвижного горизонтального цилиндра в непрерывно стратифицированной жидкости. Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1996. Т. 32. № 6, С. 818 - 823.

10. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир. 1973. С. 758.

11. Воейков И.В., Прохоров В.Е., Чашечкин Ю.Д. Микромасштабная неустойчивость в непрерывно стратифицированной жидкости. Изв. АН Механика жидкости и газа. 1995. №3. С. 3-10.

12. Воейков И.В., Чашечкин Ю.Д. Формирование разрывов в следе за цилиндром в потоке стратифицированной жидкости. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1993. № 1.С. 20-26.

13.Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. М: Наука. ГРФМЛ. 1986. С. 288.

14. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М: Наука. ГРФМЛ. 1972. С. 392.

15. Гончарова О.Н. Групповая классификация уравнений свободной конвекции. Новосибирск: Динамика сплошной среды. ИГ СО АН СССР. 1987. Вып. 79. С. 22 - 35.

16. Журов А.И., Карпов И.И., Шингарева И.К. Основы Maple. Применение в механике. Препринт ИПМРАН. № 536. 1995. С. 76.

17. Каменкович В.М. Основы динамики океана. Л.: Гидрометеоиздат. 1973. С. 240.

18. Кибель И.А., Кочин Н.Е., РозеН.В. Теоретическая гидромеханика в 2-х частях. М.ШФМЛ. 1963. Ч. I. С. 584. Ч. II. С. 728.

19. Кистовнч A.B., Чашечкин Ю.Д. Групповой анализ частично симметризованной формы системы уравнений свободной термоконцентрационной конвекции. Доклады АН 1995. Т. 344. № 6. С. 760 - 764.

20. Кистович A.B., Чашечкин Ю.Д. Групповой анализ частично симметризованной формы системы уравнений свободной термоконцентрационной конвекции. ПМТФ. 1996. Т. 37. №2. С. 14-26.

21. Кистович A.B., Чашечкин Ю.Д. Структура нестационарного пограничного течения на наклонной пластине в непрерывно стратифицированной жидкости. Препринт ИПМРАН № 523. 1993. С. 35.

22. Кистович A.B., Чашечкин Ю.Д. Структура нестационарного пограничного течения на наклонной плоскости в непрерывно стратифицированной среде. Доклады АН. 1992. Т. 25. №4. С. 833-837.

23. Кистович A.B., Чашечкин Ю.Д. Структура нестационарного пограничного течения на наклонной плоскости в непрерывно стратифицированной среде. ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 4. С. 50 - 56.

24. Кистович A.B., Чашечкин Ю.Д. Установление диффузионных и конвективных течений в неоднородных многокомпонентных средах в присутствии ограничивающих поверхностей. Препринт ИПМРАН. № 569. 1996. С. 44.

25. Кожевников В.Н., Бибикова Т.Н., Журба Е.В. Орографические возмущения атмосферы над Северным Уралом. Изв. АН СССР Физика атмосферы и океана. 1977. Т. 13. №5. С. 451 -460.

26. Кубо Р. Термодинамика. М.: Мир. 1970. С. 304.

27. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир. 1981. С. 400.

28. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М: Наука. ГРФМЛ. 1986. С. 733.

29. Левицкий В.В., ЧашечкинЮ.Д. Термоконцентрационная конвекция при однородном боковом нагреве. Изв. АН. Механика жидкости и газа. 1995. №5. С. 112124.

30. Лойцянский Л.Г. Механика жидкостей. М.: Наука. ГРФМЛ. 1987. С. 840.

31. Монин A.C., Озмидов Р.В. Океанская турбулентность Л.: Гидрометеоиздат. 1981. С. 320.

32. Некрасов В.Н., Попов В.А., Чашечкин Ю.Д. Формирование периодической структуры конвективного течения при боковом нагреве стратифицированной жидкости. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1976. Т. 12. № 11. С. 1191 - 1200.

33. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978. С. 400.

34. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир. 1989. С. 637.

35. Прандтль Л. Гидроаэромеханика. Иностр. Лит. М., 1949. С. 520.

36. Пухначев В.В. Модель конвективного движения при пониженной гравитации. Новосибирск: Моделирование в механике. 1992. Т. 6 (23). № 4. С. 47 - 56.

37. Свиридов Н.И., Кулешов А.Ф. Акустические границы и звукорассеивающие слои в Юго-Западной Балтике. Океанология. 1996. Т. 36. № 4. С. 529 - 537.

38. Скорер Р. Аэрогидродинамика окружающей среды. М.: Мир. 1980. С. 549.

39. Сысоева Е.Я., Чашечкин Ю.Д. Вихревые системы спутного стратифицированного течения за сферой. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1991. № 4. С. 82 -90.

40. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: Мир. 1977. С. 431.

41. Федоров К.Н. Тонкая термохалинная структура вод океана. Л.: Гидрометеоиздат. 1976. С. 184.

42. Филлипс О.М. Динамика верхнего слоя океана. Л.: Гидрометеоиздат. 1980. С. 319.

43.Чашечкин Ю.Д. Гидродинамика сферы в стратифицированной жидкости. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1989. № 1. С. 3 - 9.

44. Чашечкин Ю.Д., Воейков И.В. Вихревые системы за цилиндром в непрерывно стратифицированной жидкости. Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1993. Т. 29. № 6. С. 821 - 830.

45. Чашечкин Ю.Д., Гуменник Е.В., Сысоева Е.Я. Трансформация плотностного поля трехмерным телом, движущимся в непрерывно стратифицированной жидкости. ПМТФ. 1995. № 1. С. 20 - 32.

46. Чашечкин Ю.Д., Кистович Ю.В. Задача генерации монохроматических внутренних волн: точное решение и модель силовых источников. Доклады АН. 1997. Т. 355. С. 54-57.

47. Чашечкин Ю.Д., Макаров С.А. Нестационарные внутренние волны. Доклады АН СССР. 1984. Т. 276. № 5. 1246 - 1250.

48. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука. ГРФМЛ. 1969. С. 742.

49. André Heck. Introduction to Maple. N. Y. : Springer-Verlag. 1993. P. 512.

50. Army L., Millard R.C. The bottom boundary layer of the deep ocean. J. Geophys. Res. 1976. V. 81. P. 4983-4990.

51. Baines P.G. Topographic effects in stratified flows. Cambridge. 1995. P. 544.

52. Baydulov V.G. Diffusion induced boundary currents near rest and slowly moving bodies in a continuously stratified liquid. "Stability and Instabilities of Stratified and/or Rotating Flows"Int. Conference. Moscow. 1997. Abstracts.

53. Baydulov V.G. Flows near impenetrable bodies in viscous medium with diffusion. The 8-th Meeting of the Working Group "Laboratory Modelling of Dynamic Processes in the Ocean". St. Petersburg. June 6-8. 1995. P. 21-25.

54. Baydulov V.G. Spatial and continuous groups structure of a Id and 2d free stratified flow lie groups analysis of a 2d free stratified flow. "Stability and Instabilities of Stratified and/or Rotating Flows" Int. Conference. Moscow. 1997, Abstracts.

55. Baydulov V.G. The comparative analysis of boundary flows modells on the continental shelf. "Physical Processes on the Ocean Shelf' Int. Workshop, Svetlogorsk, Kalingrad Region. 1996.

56. Baydulov V.G., Chashechkin Yu.D. Fine structure of transient boundary flows in a continuously stratified fluid. "Transport Processes in the Ocean and their Laboratory Models" Int. Workshop, Moscow, 1993. Abstracts.

57. Baydulov V.G., Chashechkin Yu.D. Lie-groups analysis of a 2d viscous stratified flows equations with diffusion. International Conference Modern Group Analysis VII Lie Groups and Contemporary Symmetry Analysis. Norway. June 30 - July 5. 1997. Abstracts.

58. Baydulov V.G., Kistovich A.V., Chashechkin Yu.D. Effect of split scales in a diffusion induced boundary current in a continuously stratified liquid. 1997 Joint Assemblies of the International Association of Meteorology and Atmospheric Sciences & International Association for Physical Sciences of the Oceans "Earth-Ocean-Atmosphere: Forces for Change. Melbourne. July 1 - 10, 1997. ABSTRACTS # 1P11X. 1997. P. 1P11-5.

59. Baydulov V.G., Kistovich A.V., Chashechkin Yu.D. Length scales of double-diffusive convective flows. XIX General Assembly EGS, Abstract of Papers Annales Geophysical, 1994, Supplement II to vol. 12, Part 2, Oceans, Atmosphere, Hydrology & Nonlinear Geophysics. P. 273.

60. Baydulov V.G., Kistovich A.V., Chashechkin Yu.D. Transient boundary flow induced by diffusion in a linearly stratified fluid. XXI General Assembly of the International Association for the Physical Sciences of the Oceans (IAPSO). Honolulu, Hawaii, USA. August 5 - 12. 1995. Abstracts. P. 177.

61. Baydulov V.G., Mzareulyan D.A. Numeric simulation of diffusion induced flows near stationary horizontal cylinder in linear stratified liquid. The 8-th Meeting of the Working Group "Laboratory Modelling of Dynamic Processes in the Ocean ". St. Petersburg. June 6-8. 1995. P. 25-29.

62. Boyer D.L., Davies P.A., Fernando H., Zhang X. Linearly stratified flow past a horizontal circular cylinder. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1989. V. 328. P. 501 - 528.

63. Char B.W., Geddes K.O., GonnetG.H., LeongB.L., MonaganM.B., WattS.M. Maple V. Library reference manual. N.Y.: Springer-Verlag. 1991. P. 698.

64. Garrett C. Marginal mixing theories. Atmosphere-Ocean. 1991. V. 29. № 2, P. 313 - 339.

65. Garrett C. Mixing in the ocean interior. Dyn. Atmos. Oceans. 1979. V. 3. P. 239 - 265.

66. Garrett C. The role of secondary circulation in boundary mixing. J. Geophys. Res. 1990. V. 95. №C3. P. 3181-3188.

67. Garrett C., MacCready P., Rhines P. Boundary mixing and arrested Ekman layers: rotating stratified flow near a sloping boundary. Ann. Rev. FluidMech. 1993. V. 25. P. 291 -323.

68. Kaufman D.W. Sodium chloride. The production and properties of salt and brine. NY. Reinhold Publ. Corp. 1960. P. 626.

69. KerrO.S. Double-diffusive instabilities at a sloping boundary. J. Fluid Mech. 1991. V. 225. P. 333-354.

70.KerrO.S. Heating a salinity gradient from a vertical sidewall: linear theory. J. Fluid Mech. 1989. V. 207. P. 323 - 352.

71. Kerr O.S. Heating a salinity gradient from a vertical sidewall: nonlinear theory. J. Fluid Mech. 1990. V. 217. P. 529 - 546.

72. Linden P.F., Weber J.E. The formation of layers in a double diffusive system with sloping boundary. J. Fluid Mech. 1977. V. 81. № 4. P. 757 - 773.

73. MacCready P., Rhines P. Buoyant inhibition of Ekman transport on a slope and its effect on stratified spin-up. J. Fluid Mech. 1991. V. 223. P. 631 - 661.

74. McDougall T.J. Estimates of the relative roles of diapycnal, isopycnal and double-diffusive mixing in Antarctic bottom water in the North Atlantic. J. Geophys. Res. V. 89, № c6, p. 10. 479-10.483. 1984.

75. Mowbray D.E. The use of schlieren and shadowgraph techniques in the study of flow patterns in density stratified liquids. J. Fluid Mech. 1967. V. 27. P. 595 - 608.

76. Munk W. Abyssal recipes. Deep-Sea Res. 1966. V. 13. № 1. P. 207 - 230.

77. Phillips O.M. On flows induced by diffusion in a stably stratified fluid. Deep-Sea Res. 1970. V. 17. P. 435-443.

78. Rhines P., MacCready P. Boundary control over the large scale circulation. 1989. Proc. 'Aha Huliko 'a Hawaiian Winter Workshop. 5th. P. 75 - 97. Honolulu: Hawaii Inst. Geophys.

79. Scorer R.S. Cloud investigation by satellite. Ellis Horwood Ltd. 1986.

80. Standing R.G. The Rayleigh problem for a slightly diffusive density-stratified fluid. J. Fluid Mech. 1971. V. 48. № 4. P. 673 - 678.

81. Thompson L., Johnson G.C. Abyssal currents generated by diffusion and geothermal heating over rises. Deep-Sea Res. 1996. V. 46. № 2. P. 193 - 211.

82. Thorpe S.A. The dynamics of the boundary layers of a deep ocean. Sci. Prog. (Oxford). 1988. V. 72. P. 189-206.

83.VeronisG. Analogous behaviour of homogeneous, rotating fluids and stratified, non-rotating fluids. Tellus. 1967. V. 19. P. 326.

84. Woods A.W. Boundary-driven mixing. J. Fluid Mech. 1991. V. 226. P. 625 - 654.

85. Wunsh C. On oceanic boundary mixing. Deep-Sea Res. 1970. V. 17. P. 293 - 301.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ПРОГРАММА РАСЧЕТА ГРУПП СИММЕТРИЙ

НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДВУМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ СРЕД В ПРИБЛИЖЕНИИ БУССИНЕСКА (ЯЗЫК МАРЬЕ У)

Исходная система уравнений в переменных функция тока - возмущение солености

Параметры обезразмеривания I = 171М; г = л/у/Мт';

где ц> - функция тока, Б - возмущение солености, к - коэффициент диффузии соли, V -кинематическая вязкость, Л - масштаб стратификации, у = 1/Л - параметр устойчивости, 5 = к/у, N = 2/А — частота плавучести.

Продолжения

Инфинитезимальная образующая группы симметрий системы (П.1) имеет вид V = т(х, у, 1,8, \|/)а1 + х(х, у, г, 8, \|/)0х + Г)(х, у, Ъ Б, у)ду + ст(х, у, г, 8, у)д8 + £(х, у, ^ в,

Порядок старшей производной в (П.1) - четвертый (в первом уравнении), поэтому для поиска коэффициентов группы симметрии необходимо использовать четвертое продолжение генератора группы V (выписаны только нетривиальные составляющие, которые используются в дальнейшем)

(П.1)

рг<4>У = V + а\ + огх58х + а*Э8у + + + о^ + а"^

+ГЧХХ4 +ГЧХХУ нууд,

уу

Уууу

(П.2)

В результате действия оператора (П.2) на систему (П.1) получаем

= ^хххх+2^ххуу+^уууу ^^

ст1 +ц/уах +8Х^У -н/хау -8у^х =б(ахх +ауу)-4х

В развернутом виде система определяющих уравнений (П.З) имеет объем существенно превышающий объем данного препринта, поэтому дальнейшие вычисления проводятся методами компьютерной алгебры.

Ниже приведен текст программы расчета группы симметрий системы (П.1)

Задание зависимых функций

>аИаз(8=8(х,у,1;)): >аНаз(рз1=рз1(х,уД)):

Задание коэффициентов поля V

>гаи__1 :=1аи(х,уД,8,рз1): >сЫ_1 :=сЫ(х,уД,8,рз1): >е1а_1 :=е1а(х,уД,8,рз1): >з1§ша_1 :=з1£та(х,уД,8,рз1): >хМ :=х1(х,уД,8,рз1):

Вычисление четвертого продолжения поля V

>1^8 :=з1§ша_1 -сЫ_ 1 * ,х)-е1а_ 1 * <Ж:Г(8,у)4аи_ 1 * с11£^8,1):

>81£та__х:=ЛЩ^8,х)+сЫ_1*(ШТ(8,х$2)+е1а_1 *с11Г5(8,х,у)+1аи_1 ^Г(8,х,0: >^та_у:=сЩ^8,у)+сЫ_1 М1Щ8,х,у)+е^ М1Щ8,у$2)+Ьш_1 *<Щ8,у,1):

>х1_х: =с11ГГ(Г_рз1,х)+сЫ_ 1 *сЖ(рэ1,х$2)+е1а_1 *сИГ%з1,х,у)+1аи_1 *сИ££(рз1,х,1): >х1у:=с11ГГ(Г_рз1,у)+сЫ_1 *diff(psi,x,y)+eta_l *сЖ(р81,у$2)+1аи_1 *<ИГГ(р51,уД): >з1§та_хх ,х$2)+сЫ_ 1 * сЖ(8 ,х$3 )+е1а_ 1 *сИ£Г(8,х$2,у)+1аи_1 *(Щ8,х$2д):

>81§та_уу :=(ИГ£(Г_8 ,у$2)+сЫ_ 1 *Ш££(8,х,у$2)+е1а_1 *diff(S,y$3)+tau_l М1Щ8,у$2Д): >х1_ххх:^^_рзи$3)+сЫ_1 М1Г:Г(р81,х$4)+е1а_1 М1££"(р81,х$3,у)+1аи_1 *а1ГГ(рз1,х$3,1): >xi_xxy:=diff(f_psi,x$2,y)+chi_l*diff(psi,x$3,y)+eta_l*diff(psi,x$2,y$2): >х1_хху:=х1_хху+1аи_1*а1£%з1,х$2,у,1):

>х1_хуу:=х1_хууНЧаи_1*^^81,х,у$2,1:):

>х1_ууу:=да(Г_рз1,у$3)+сЫ_1 *^(рз:1,х,у$3)+е1а_1 * с11ГГ(рз1 ,у $4)+гаи_ 1 *с!1ГГ(рз1,у$3,1):

>х1_ххй^_хх^и_1*ё1Щр81,х$2,$2):

>xi_yyt:=xi_yyt+tau_l*diff(psi,y$2,t$2):

>xi_xxxx:=diff(f_psi,x$4)+chi_l *<Щр81,х$5)н-еЬ1_1 *diff(psi,x$4,y)+tau_l >х!_ххуу:^х1_ххуу+1аи_1М1£Г(рз1,х$2,у$2,1;):

Результат действия оператора четвертого продолжения поля V на уравнение переноса 8

>eqn_S :=sigma_t+diff(psi,y) * sigma_x+diff(S ,х) * х1_у-ё1£^рз!,х)* sigma_y-diff(S ,у) * х1_х: >eqn_S:=eqn_S-delta*(sigma_xx+sigma_yy)+xi_x:

Результат действия оператора четвертого продолжения поля V на уравнение переноса \|/

>eqnJsi:=xi_xxt+xi_}yt+diff(psi,y)*(xi_xxx+xi_xyy)+(diff(psi,x$3)+diff(psi,x,y$2))*xi_y: >eqnJpsi:=eqnJsi-diff(psiд)*(xi_xxy+xi_yyy)-(diff(psi,x$2,y)+diff(psi,y$3))*xi_x-xi_xxxx-2 * xi_xxyy-xi_yyyy-sigma_x:

Замена производных

>eqn_S:=subs(diff(S,x$2)=S_xx,diff(S,x,y)=S_xy,diff(S,xД)=S_xt,diff(S,y,y)=S_yy, хиЩ8,у,г)=8_у1, eqn_S):

>eqn_S■.=subs(diff(psi,x$2)=Psi_xx,diff(psi,x,y)=Psi_xy,diff(psi,x,t)=Psi_xt, >с!1££(рз1,у$2)=Р81_уу, diff(psi,y,t)=Psi_yt,eqn_S):

>eqn_S:=subs(diff(S,x)=S_x,diff(S,y)=S_y,diff(S,t)=S_t,diff(psi,x)=Psi_x,diff(psi,y)=Psi_y, >сШ¥(р8Ц)=Р81_1,едп_8):

>eqn_psi:=subs(diff(S,x$4)=S_xxxx,diff(S,x$3,y)=S_xxxy,diff(S,x$2,y$2)=S_xxyy, ^£:1'(8,х,у$3)=:8_хууу, eqn_psi):

>diff(psi,x$4)=Psi_xxxx, eqn_psi):

>eqn_psi:=subs(diff(psi,x$3,y)=Psi_xxxy,diff(psi,x$2,y$2)=Psi_xxyy, >diff(psi,x,y$3)=Psi_xyyy, diff(psi,y$4)=Psi_yyyy,eqn_psi): >eqnJsi:=subs(diff(psi,x$3,t)=Psi_xxxt4iff(psi,y$3,t)=Psi__yyyt,eqn_psi): >eqnJsi:=subs(diff(S,x$2,y,t)=S_xxyt,diff(S,x,y$2,t)=:S_xyyt,diff(psi,x$2,y,t)==Psi_xxyt, ^Г%81,ху$2Д)=Р81;_хуу1:^п_р81):

>eqn_psi:=subs(diff(S,x$3)=S_xxx,diff(S,x$2,y)=S_xxy,diff(S,x,y$2)=S_xyy, ><11££(8,у$3)=8_ууу,едп_р81):

>eqn_psi:=subs(diff(S,x$2,t)=S_xxt,diff(S,x,y,t)=S_xyt,diff(S,y$2,t)=S_yyt,eqn_psi):

>eqn_psi:=subs(diff(psi,x$3)::=Psi_xxx,diff(psi,x$2,y)=Psi__xxy,diff(psi,x,y$2)=Psi_xyy,

^Г£(р81,у$3)=Р81_ууу.^п_р81):

>eqn_psi:=subs(diff(psi,x$2,t)=Psi_xxt,diff(psi,x,y,t)=Psi_xyt, с!1ГГ(р51,у$2Д)=Р51_уу1, >eqn_psi):

>eqn_psi::=subs(diff(S,x$2)=S_xx,diff(S,x,y):=S_xy,diff(S,y$2)=S_yy,eqn_psi): >eqnJ)si::=subs(diff(psi,x$2)=Psi__xx,diff(psi,x,y)=Psi_xy,diff(psi,y$2)=Psi_yy,eqn_psi): >eqn_psi:=subs(diff(SдД)=S_xt,diff(S,y,t)=S_yt,diff(psi,x,t)=Psi_xt,diff(psi,y,t)::=Psi_yt, >eqn_psi):

>eqn_psi:=subs(diff(S,x)=S_x,diff(S,y)=S_y,diff(S,t)=S_t,diff(psi,x)=Psi_x, >с11ГГ(рз1,у)=Рз1_у, > diff(psi,t)=Psi_t,eqn_psi):

>П§М:=Рз1_ХХ1+Р81_уу1+Р51^*(Р81_ХХ+Р81_Зу)-Р81_Х*(Р81_ХХу+Р81_^уУ)-Р81_хххх->2*Рз1_ххуу-8_х:

Учет связей, налагаемых дифференциальным уравнением Уравнение для возмущения солености

^п^8:=зиЬз(8_^ека*(8_хх+8__уу)+Рз1_х* 8_у-РэГу* 8_х-Рз1_х^п_8):

>15г_8:=[8_хх,8_хуЗ„х1,8_уу,8_у1,Рз1__хх,Рз1_ху,Рз1_х1,Рз1_уу,Рз1_у1,8_х,8_у,Р51_х,

>Рз1_у,РзП:]:

Уравнение для функции тока

>eqn_psi :=subs(S_t=delta* (8_хх+8_уу)+Рз1_х* 8_у-Рз1_у* 8_х-Р81_х,Р81_уууу=п§Ь1:, >eqn_psi):

>1з1_рз1:=[Рз1_хххх,Рз1_ххху,Рз1_ххуу,Рз1_хууу,8_хххх,8_ххуу,8_уууу,Рз1_ххх,Рз1_хху, >Рз1_хуу,Рз1_ууу, Рз1_хх1;,Рз1_ху1,Рз1 _уу1;,8_ххх,8_хху,8_хуу,8_ууу,8_хх1;,8_уу1, >8_хх,8_ху,8_уу,8_х1,8_у1,Р81_хх,Рз1_ху, Рз1_уу,Рз1_х^Рз1_у1,8__х,8_у,Рз1_х,Рз1_у,РзП]:

Объединение коэффициентов при одинаковых степенях полинома производных из списка lst_S

>eqn_S:=collect(eqn_S,lst_S, distributed): >coef_S:=coeffs(eqn_S,lst_S,'num_S'):

Объединение коэффициентов при одинаковых степенях полинома производных из списка lstjpsi

>eqn_psi :=collect(eqn_psi ,1 st_psi,distributed): >coef_psi::=coeffs(eqn_psi,lst_psi,,num_psi'):

Определение числа определяющих уравнений

>n_S :=nops([num_S]); >n_psi :=nops( [num_psi]);

Вывод определяющей системы уравнений

>for i from 1 to n_S do expr_S[i]:=coef_S[i]=0 od; >for i from 1 to n_psi do expr[i]:=coef_psi[i]=0 od;

Анализ полученных уравнений и поиск решения наиболее простых из них осуществлялся после каждого выполнения программы. Эти решения подставлялись в качестве начальных условий программы, и процедура повторялась. За пять-шесть итераций системы приводилась к обозримому виду (5-7 уравнений), решение которых находилось стандартными методами.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. АЛГЕБРЫ ЛИ И ОПТИМАЛЬНЫЕ ПОДАЛГЕБРЫ ГЕНЕРАТОРОВ ГРУПП СИММЕТРИЙ УРАВНЕНИЙ ИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ НЕПРЕРЫВНО СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ

ТАБЛИЦЫ КОММУТАТОРОВ ГЕНЕРАТОРОВ ГРУПП СИММЕТРИЙ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ (ОДНОМЕРНЫЕ И ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ)

1). Двумерные нестационарные задачи:

Уравнения

LAv|/ = A2v}/ + gSx f д д д

L = — + \i/v--vi/x —

LS = ôÀS - yi|/ x 5t Эх хЭу

Генераторы групп симметрий

Vç = 4(t)5v, vx = X(t)dx + Xt(t)y5v , V, = л(1)(ау + ds) - ^t(t)xôv, V! = dt, V2 = Эу, V3 = ds, V4 = 2tÔt + хЭх + УЭу + (4y - 3S)ds,

V5 = хЭх + уду + Sôs + 2i|/Ôl(,, V6 = tôt + 2xôx + 2yÔy + 2yÔs + 3vj/ôy

Таблицы коммутаторов

A. Диссипативныезадачи (v^k^O; v = k ^ 0 ; v = 0, k = 0)

Vi V2 Уз V£ Vv V, V4

Vi 0 0 0 -Vc(^t) V7(Xt) УМ 2Vi

V2 0 0 0 0 V4(xt) 0 V2+4V3

Уз 0 0 0 0 0 0 -ЗУз

V^ -V^t) 0 0 0 0 0 -2V4№t)

V, -VïOcO -V£(Xt) 0 0 0 -У£((хл)0 Vv(x-2txt)

Vn -УМ 0 0 0 Уе((кт\Х) 0 Ул(л-21л0

y4 -2Vi _V2_4V3 ЗУз 2V4(tÇt) -V,(x-2txt) -у.+гу^лО 0

Б. Идеальная жидкость ( V = к = 0)

VI У2 Уз v* v, у5 Уб

VI 0 0 0 0 VI

У2 0 0 0 0 vs(xt) 0 у2 2(У2+Уз)

Уз 0 0 0 0 0 0 Уз 0

У^ 0 0 0 0 0 -У^-З^)

v, -^(хо 0 0 0 ух(2х-1х0

^ 0 0 0 ^((хтм 0

у5 0 _У2 -Уз -2У4 0 0

Уб -VI -2(У2+У3) 0 0 0

о

Таблицы присоединенных представлений

А. Диссипативныезадачи (у * к 0; у = к * 0; у = О, к ^ 0; у ^ О, к = 0)

Ас! vi У2 Уз v* Ух Уп у4

vi vi У2 Уз е"Еа'У4 е-^У, е"£а'Уп У4-2еУ1

У2 vi У2 Уз У; Ух-еу5(хо у. У4_8(У2+4Уз)

Уз vi У2 Уз у^ Ух Уп У4+ЗеУ3

v* У2 Уз у? Ух Уп У4+28У^0

Ух У1+вУхы У2+вУ^(хО Уз v* Ух У4-8УХ(Х-21Х0

Ул У2 Уз Ух-еУс((лх)0 Уп У4-ВУл(Л-21Ло

У4 vle2e У2е6+У3(еЕ-е-36) Узе~ЗЕ е2йе'У= еб(1-21э,)у ев(1-2ш{)у у4

Б. Идеальная жидкость ( v = ks = 0)

Ad Vi v2 v3 v* Vx v, v5 v6

V! Vi V2 Уз e-^V, v5 VÔ-SVI

v2 Vi V2 v3 v* Vy.-sVç(Xt) Vл V5-8V2 У6-2е(У2+Уз)

v3 Vi V2 v3 Vç Vx Vл V5-SV3 v6

Vç Vi+sV^t) V2 v3 Vç Vx v, V5-2SV4

Vx Vi+sV7(xt) V2+sVç(xt) v3 Vç Vx V.+eV^xX) V5-sVx V6-sVx(2X-tXt)

Vi+sV^rjt) V2 v3 Vx-eV^X)t) Vn Vs-sV, Уб-гУ^ц-Щ)

v5 Vi V2es V3ee Vçe2s Vxe6 V,es v5 v6

V6 Vie£ V2e2E+(e2e-l)V3 v3 V6+(e-E(ta«-3)-l)Vç v6+(e6<2-tô«>-l)vx У6+(ее(2-10<>-1)Уп v5 V6

2). Двумерные стационарные уравнения

Генераторы групп симметрий

v1 = ôx,v2 = ay,v3 = ôs,y4 = ôv,v5 = xôx + yay+(4y-3s)ôs, V6 = xôx + yôy + sas + 2V|JÔW, V7 = 2xôx + 2ydy + 2yôs + Зудч

Таблицы коммутаторов

А. Диссипативные задачи (у * к5 * 0; у = к8 ^ 0; у = О, к8 ^ 0; у * О, к8 = 0)

V! у2 Уз у4 У5

V! 0 0 0 0 VI

у2 0 0 0 0 У2+4Уз

Уз 0 0 0 0 -ЗУз

У4 0 0 0 0 0

у5 -VI _(У2+4Уз) ЗУз 0 0

Б. Идеальная жидкость (у = к8 = 0)

VI У2 Уз у4 Уб у7

VI 0 0 0 0 VI 2У1

У2 0 0 0 0 у2 2У2

Уз 0 0 0 0 Уз 0

У4 0 0 0 0 2У4 ЗУ4

у6 -VI _у2 -Уз -2У4 0 0

у7 -2У! -2У2 0 -ЗУ4 0 0

Таблицы присоединенных представлений

А. Диссипативные задачи (V * к„ * О; у = к5 * 0; V = О, к5 ^ 0; V * О, к8 = 0)

Ас! V» У2 Уз У4 у5

VI VI у2 Уз У4 У5-вУ1

VI V, У2 Уз У4 У5-8(У2+4УЗ)

Уз VI У2 Уз у4 У5+3£УЗ

У4 V! У2 Vз У4 У5

У5 VI е8 У2е8+(е8-е~ЗЕ)Уз У3е"3е У4 У5

Б. Идеальная жидкость (у = к = 0)

м VI У2 Уз У4 У6 V?

VI VI У2 Уз У4 У6-еУ1 У7-2еУ!

у2 V! У2 У3 У4 У6-еУ2 У7-2ЕУ2

Уз VI у2 Уз у4 Уб-£У3 У7

У4 V! V, у4 У6-2еУ4 У7-ЗеУ4

Уб У1е6 У2е£ У3е8 У4е2Е Уб Уу

У7 у1е2Е У2е28 Уз У4е38 У6 Уу

и>

3). Одномерные нестационарные уравнения

Генераторы групп симметрий

vi = st,V2 =9X,V3 = S3s + uSu, V4 = -u6S + sau, V5 = 2t5x -xSSs -хиЭи, V6 = 2t8t + xdx + 2tu5s -2tS5u

y7 = 4t2at + 4tx3x + {4t2u - (2t + x2)sj ds - ¡4t2S + (2t + x2)uj du, V8 = (u sin 2t - Scos2t)ds + (ucos2t + S sin 2t)3u,

V9 = (ueos 2t + S sin 2t)ds +(-u sin 2t + Seos 2t)9u .

Таблицы коммутаторов А. Полная задача ( v ф к ф О )

V, v2 V3

V! 0 0 0

V2 0 0 0

V3 0 0 0

Б. Редуцированная задача (V = к Ф 0)

V! v2 Vз V4 V5 V6 У7 Уз У9

VI 0 0 0 0 2V2 2(У,-У4) 4У6-2У3 2У9 -2У8

v2 0 0 0 0 _у3 У2 2У5 0 0

Vз 0 0 0 0 0 0 0 0 0

V4 0 0 0 0 0 0 0 2У9 -2У8

V5 -2У2 Vз 0 0 0 -У5 0 0 0

V6 2V4-2Vl -У2 0 0 V5 0 Уу 0 0

V? 2Vз-4V6 2V5 0 0 0 -V? 0 0 0

Vв -2V9 0 0 2V9 0 0 0 0 -2У4

V? 2V8 0 0 2V8 0 0 0 2У4 0

Таблицы присоединенных представлений А. Полная задача (V ф к ф 0)

Ас! VI у2 Уз

VI VI у2 Уз

у2 VI У2 у3

Уз VI у2 Уз

Б. Редуцированная задача (V = к Ф О)

Ас1 VI У2 Уз У4 У5 У6 У7 У8 У9

VI VI У2 Уз У4 У5-28У2 У6-28(У1-У4) У7-28(2Уб-Уз)+ +482(У!-У4) У8соз28--Удз1п28 У9С0828+ +У8зт2£

У2 V! У2 Уз У4 У5+еУ3 У6+еУ2 у7_2е(у5_еу2) У8 У9

Уз V! у2 Уз У4 У5 Уб У7 У8 У9

У4 V! у2 Уз У4 У5 У6 Ут У8С032£--Удз1п2£ У9Соз2е+ +У8зт2£

У5 У5+28У2-£2У3 У5-8УЗ Уз У4 У5 Уб+еУ5 У7 У8 У9

Уб У1е2Е+У4 со О £ У3 У4 У5е"Е У6 У7е_е у8 у9

Уу У1-28(У3-2У6-£У7) У2-2еУ5 Уз у4 У5 Уб+еУ? У7 у8 У9

У8 У1+У4(1-соз28)+ +У9з1П2В У2 Уз У4Соз2е-У951п2в У5 У6 У7 у8 У9С0828--У4зт2е

у9 У1-У4(1-сЬ2е)--У^Е У2 Уз У4сЬ28-У881г2е У5 Уб У7 У8СЬ28--У4ЗЬ28 У9

4. Оптимальные системы одномерных подалгебр двумерных стационарных уравнений

А. Диссипативныезадачи(у^к^О; V = к * 0; у = 0, к*0;у?*0, к = 0) Эти уравнения характеризуются пятипараметрической группой симметрии.

Генераторы VI, У2, Уз, У4, Уз

Генератор наиболее полной группы симметрии имеет вид. V = а1У1+а2У2+а3Уз+а4У4+а5У5

Действуя на этот вектор оператором присоединенного представления, можно упростить его вид и построить оптимальную систему однопараметрических подалгебр отдельно для каждого типа задач. Классификация подалгебр приведена ниже.

Неэквивалентные подалгебры

а) Если а5*0, то алгебра генераторов диссипативных задач эквивалентна подалгебре

У=а4У4+а5У5

б) Если а5=0 и а2*0, то

V' =а'1У1+а,2У2+а4У4

где а'х= а!((а3-а2)/ а2)1/4; а'2= а2((а3-а2)/ а2)1/4

в) Если аз/а2<1, то

V-а! V1+а2 У2+аз Уз+а4 У4

г) Если а5=0 и а2=0, то

У=а1У1+а3Уз+а4У4

Б. Идеальная жидкость (V = к = 0 )

В этом случае уравнения характеризуются шестипараметрической группой симметрии.

Генераторы Уь У2, Уз, У4, У6, У7

Генератор наиболее полной группы симметрии имеет вид. V = а1У1+а2У2+а3Уз+а4У4+абУб+а7У7

Неэквивалентные подалгебры

а) Если аб+2а7^0, а^О или аз=а2 и 2аб+3а7^0, то

У= абУ6+а7У7

б) Если а^+2а7 фО, а^фО или аз=а2 и 2аб+3а7=0, то

У= а4У4+а7(2У7-ЗУ6)/2

в) Если а<з+2а7 фО, а&=0 и аз^а2

У=а'зУз+а7У7

г) Если аб+2а7=0 и ъ.7 ф0, то

У,-а1У1+а2У2+а7(У7-2Уб)

д) Если аб+2а7=0, а7=0, а2э*0 и аз/а2<1, то

У= а' 1V1 +а'2 У2+ а'4У4,

где а'1=а!(1-а3/а2), а'2=а2-а3, а'4=а4(1-а3/а2)2

е) Если аб+2а7=0, а7=0 и а2=0, то

V —а1 V1+аз Уз+а4 У4

ж) Если аб+2а7=0, а?=0 и аз/а2>1, то

У-а1У1+а2У2+а3У3+а4У4

В некоторых случаях проведенная классификация позволяет существенно понизить порядок подалгебр, в ряде других понижение происходит на два-три порядка, что впрочем, тоже полезно для упрощения процедуры классификации всей совокупности однопараметрических инвариантных решений.