Определение масс малых планет динамическим методом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.01, кандидат физико-математических наук Кочетова, Ольга Михайловна

• Кочетова, Ольга Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кочетова, Ольга Михайловна

Введение

Глава 1. Обзор методов определения масс малых планет

1.1. Астрофизический метод оценки масс астероидов

1.2. Динамический метод оценки масс

Глава 2. Влияние составляющих модели движения и методов редукции наблюдений на точность вычисляемых положений малых планет

2.1. Гравитационное влияние отдельных малых планет и кольца астероида в целом

2.2. Релятивистские возмущения от Солнца и Юпитера

2.3. Негравитационные эффекты

2.3.1. Световое давление

2.3.2. Эффект Ярковского

2.4. Редукция наблюдений

2.4.1. Эффект фазы

2.4.2. Гравитационное отклонение света

2.5. Статистические методы обработки наблюдений

2.5.1. Условные уравнения и различные схемы назначения весов

2.5.2. Метод наименьших квадратов и метод коллокаций

2.5.3. Робастные методы обработки наблюдений: метод наименьших модулей и минимаксный метод Хубера

2.6. Тестирование используемых алгоритмов

2.6.1.Тестирование модели движения на примере малой планеты 10 Гигия

2.6.2. Тестирование алгоритма определения масс на примере массы Юпитера

2.6.3. Тестирование влияния неучтенной массы кольца астероидов

2.6.4. Тестирование статистических методов обработки

Глава 3. Применение новых критериев отбора возмущаемых малых планет для определения масс возмущающих малых планет динамическим способом

3.1. Использование малых планет, находящихся в соизмеримости друг с другом и имеющих кратные сближения

3.2. Критерий отбора возмущаемых малых планет, основанный на оценке ошибки массы возмущающей малой планеты

3.3. Сравнение с результатами других авторов 90 Заключение 96 Библиография

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Определение масс малых планет динамическим методом»

Масса малой планеты является одной из ее важных характеристик, необходимой как для корректного учета возмущений, оказываемых малой планетой на другие тела (большие и малые планеты, космические аппараты), так и для определения средней плотности малой планеты (если известны ее размеры и форма), что необходимо для выработки представлений о ее происхождении, минералогическом составе и структуре.

Существует два способа получения оценки массы астероида: динамический, или небесно-механический, и астрофизический.

В астрофизическом методе оценки массы используются данные о размерах астероида и его таксономической классификации, основанной на изучении отражательных свойств его поверхностных слоев и сравнении этих свойств с данными лабораторного изучения метеоритов. Метод исходит из ряда предположений (сферическая форма тела, однородный состав, астероид одиночный, а не кратный, и т.д.). К достоинствам этого метода относится, прежде всего, возможность получения оценки масс большого числа малых планет.

Точность астрофизических оценок масс зависит от точности определения диаметра и средней плотности. Диаметр для большинства малых планет определяется по данным измерения теплового и светового потоков от данного тела. Погрешность измерения теплового потока в определенном диапазоне измеряемых величин зависит от величины потока, так что относительная погрешность измерений остается примерно постоянной для различных диаметров малых планет. Поэтому большие радиусы и большие массы оцениваются астрофизическим способом с большей абсолютной погрешностью. Так, по данным IRAS, диаметр Цереры определяется с погрешностью ±20 км, а диаметр Паллады с погрешностью ±19 км, тогда как для 1122 Нейс (D=12 км) погрешность диаметра составляет ±0.5 км, а для 1158 Люда (D=19 км) погрешность определения равна ±0.8 км.

Общий подход к определению масс возмущающих малых планет динамическим методом состоит в использовании изменений в орбитах пробных частиц (возмущаемых малых планет, космических аппаратов и т. д.) под влиянием возмущающих масс. Измеряемые величины при этом — это положения пробных частиц. Неизвестные величины (поправки к элементам орбиты пробной частицы и значению массы возмущающего тела) определяются, как правило, из условия наилучшего представления наблюдений пробной частицы по методу наименьших 4 квадратов. Погрешность определения массы зависит (в числе многих других причин) от точности определения координат пробной частицы.

При заданной погрешности наблюдений относительная погрешность результата оказывается тем меньшей, чем большие по величине возмущения вызывает искомая масса. Величина этих возмущений для данного тела зависит от ряда факторов, но, прежде всего, от величины минимального расстояния пробной частицы от возмущающей массы. Чем ближе пробная частица оказывается к возмущающей массе, тем больше, при прочих равных условиях, оказывается величина возмущения. На этом основании во многих работах близкое прохождение пробной частицы относительно возмущающего тела рассматривалось как необходимое условие для успешного определения массы возмущающего тела. В принципе, критерий близкого прохождения пробной частицы действительно является необходимым, однако, поскольку величина результирующего возмущения зависит от многих причин, имеется возможность ослабить строгость критерия близости и существенно расширить диапазон сближений, которые могут вести к заметным возмущениям.

Для уточнения значения массы возмущающего тела могут быть использованы несколько пробных частиц. Однако выбор пробных частиц для решения задачи является непростым делом. Чтобы получить более надежное значение массы возмущающего тела с использованием нескольких пробных частиц, определяемая масса должна оказывать заметное влияние на движение каждой пробной частицы в отдельности. Без этого включение дополнительных пробных частиц приводит к "зашумлению" задачи и снижению точности определяемого значения массы. В ряде работ по определению масс с использованием нескольких пробных частиц использовались различные критерии для их подбора — наличие тесных сближений с возмущающим телом, значительное различие в координатах пробных частиц при включении тела с искомой массой в число возмущающих и без него (в первом случае массе приписывалось гипотетическое значение) и т. д. В данной работе нами предложен и обоснован новый критерий отбора возмущающих планет для последующего их включения в процедуру совместного решения. В качестве такого критерия предложено использовать величину ошибки, с которой масса определяется по наблюдениям отдельной планеты. Путем вариации принятого предельным значения ошибки в процедуру уточнения массы можно включать большее или меньшее число пробных частиц.

Данный критерий широко использован в нашей работе. Он оказался наиболее объективным и наиболее эффективным при отборе подходящих возмущаемых малых планет. Его эффективность проявилась, в частности, при подборе пробных частиц (астероидов), не имеющих очень тесных (< 0.05 а. е) сближений с телом, масса которого определяется. Как оказалось, наличие очень тесных сближений не является обязательным условием для использования той или иной пробной частицы при определении массы малой планеты. Если возмущающее тело имеет умеренные (не очень тесные), но зато повторяющиеся сближения с пробной частицей на исследуемом интервале времени (что может являться следствием соизмеримости их средних движений), то в результате накопления малых возмущений суммарное действие на пробную частицу может оказаться вполне заметным и потому такая пробная частица может внести свой вклад в уточнение массы возмущающего тела. Подобные пары соизмеримых малых планет эффективно отбираются с помощью нашего критерия.

Основная цель данной работы — определение масс крупных малых планет динамическим методом с ошибкой, на порядок — полпорядка меньшей самого значения массы этой малой планеты (т. е. уверенное определение). В качестве пробных частиц использовались малые планеты. Ошибки значений масс, определяемых по наблюдениям малых планет, трудно поддаются уменьшению, так как они вызываются (в значительной степени) систематическими и случайными ошибками позиционных наблюдений. При малости гравитационных возмущений, которые возмущающая планета оказывает на пробную частицу, и недостаточно высокой точности наблюдений относительная ошибка результата оказывается довольно большой.

В данной работе проведено специальное исследование, которое показало, что для успешного решения поставленной задачи необходимо учесть многие тонкие эффекты, в частности, выполнить редукции наблюдений за эффект фазы малой планеты и гравитационное отклонение света. В уравнениях движения необходим учет всех факторов, могущих оказать влияние на возмущаемую малую планету, например, учет релятивистских возмущений, и ряда других факторов.

В работе большое внимание уделяется исследованию влияния числа возмущаемых малых планет на получаемое значение возмущающей массы и ее ошибку.

Работа содержит введение, 3 главы и заключение. 6

В первой главе дается краткий обзор современного состояния задачи определения масс малых планет, отмечаются достоинства и недостатки существующих в настоящее время подходов к решению данной проблемы.

Вторая глава посвящена исследованию влияния используемой модели движения и методов редукции наблюдений на точность вычисляемых положений малых планет. Подробно изложена используемая модель, достаточно полно и точно описывающая движение малой планеты. Тестирование модели проводилось на примере малой планеты 10 Гигия, являющейся четвертой по размеру из наиболее крупных малых планет после Цереры, Паллады и Весты. В качестве тестовых наблюдений использовались высокоточные наблюдения Гигии, полученные спутником Hipparcos и не включаемые в процедуру уточнения параметров орбиты. Тестирование алгоритма определения масс проводилось на примере определения массы Юпитера (известной в настоящее время с высокой точностью) из наблюдений малых планет, находящихся в соизмеримости 2:1 с Юпитером.

Для решения систем условных уравнений использовался метод наименьших квадратов. Опробованы также и иные методы — метод наименьших модулей, метод Хубера (минимаксный метод), метод коллокаций.

В третьей главе подробно описываются предложенные нами новые схемы определения масс малых планет динамическим способом. Излагается новая методика отбора возмущаемых малых планет для определения массы возмущающей малой планеты, отличная от существующей на сегодняшний день. Изложены результаты применения новой методики и проведено сравнение с результатами, опубликованными другими авторами.

Актуальность поставленной задачи

Определение масс малых планет является важной задачей астрономии. Как показано в ряде работ, точность динамических планетных теорий лимитируется неточностью знания масс малых планет и, как следствие, недостаточно точным учетом возмущений от них. Знание масс малых планет необходимо также и для целей космической навигации, и для противодействия астероидной опасности. Более точное знание масс большого числа малых планет позволит точнее воссоздать происхождение и эволюцию ансамбля малых тел Солнечной системы.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) выполнена оценка влияния составляющих модели движения и редукции наблюдений на точность эфемериды малой планеты. При этом в качестве тестовых образцов использовались наблюдения малых планет, выполненные спутником Hipparcos;

2) расширен набор используемых возмущаемых малых планет за счет планет, находящихся в соизмеримости с возмущающим телом;

3) предложен новый критерий отбора возмущаемых малых планет - по величине ошибки массы, получаемой по наблюдениям только одной малой планеты (для последующего включения в общее решение). При этом наличие тесных сближений с возмущающим телом не является определяющим фактором;

4) получены массы 21 малой планеты с ошибками, меньшими, чем у других авторов, использующих динамический метод;

5) для двух малых планет, 7 Ирида и 16 Психея, нами получено существенное отличие их средних плотностей (и, соответственно, таксономических типов) от общепринятых. Возможно, это вызвано неоднородной структурой этих планет и/или неточностями в определении их таксономических типов.

Работа представляет существенную практическую ценность, поскольку уточнены массы конкретных 21 малой планеты. Используемая методика применима при решении достаточно широкого круга задач, связанных с исследованием движения малых планет.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты, выносимые на защиту:

1. Новый подход к отбору возмущаемых малых планет, заключающийся в привлечении малых планет, находящихся в соизмеримости с возмущающим телом и имеющих с ним умеренные кратные сближения.

2. Критерий отбора пробных частиц (малых планет) для последующего включения наблюдений этой планеты в общее решение не по наличию у нее тесных сближений с возмущающим телом, а по величине ошибки массы, получаемой по наблюдениям только данной малой планеты.

3. Значения масс двадцати одной малой планеты и оценка их ошибок.

Апробация диссертации.

Основные результаты диссертации изложены в 8 публикациях. В совместных с Ю. А. Чернетенко работах автору принадлежит выполнение вычислений и получение основных результатов, участие в их обсуждении, подготовке и оформлении статей:

1. Кочетова О. М. Чернетенко ЮЛ. Влияние эффекта фазы и других факторов на результаты обработки наблюдений малых планет//Тезисы докладов конференции "Компьютерные методы небесной механики".1997. ИТА РАН. С.92-95.

2. Kochetova О. М. Opportunities for observations of minor planets having close approaches with (1) Ceres, (2) Pallas, (4) Vesta I/The Minor Planet Bulletin.2000.V.27.N 4. October—November. P.51.

3. Кочетова О. M. Исследование влияния модели движения и ошибок наблюдений малой планеты на точность определения параметров орбиты //Труды ИПА РАН. ВЫП.5.2000.СП6.С.197-203.

4. Kochetova О., Chemetenko Yu. Determination of mass of Jupiter and that of some minor planets from observations of minor planets moving in 2:1 commensurability with Jupiter //Dynamics of Natural and Artificial Celestial Bodies/ Eds: Pretka-Ziomek H., Wnuk E., Seidelmann P. K., Richardson P. 2001. P. 333-334.

5. Chemetenko Yu. A, Kochetova О. M. Masses of some large minor planets //Asteroid, Comets, Meteors, 2002.Berlin. P.437-440.

6. Kochetova O.M. Estimation of masses of some minor planets from observations of perturbed bodies //Труды ИПА РАН. Вып.8.2002 СПб.С.104-105.

7. Кочетова О. М. Применение новых критериев отбора возмущаемых малых планет для определения масс возмущающих малых планет динамическим способом //Сообщения ИПА РАН. 2003. № 165.43 С.

8. Кочетова О. М. Определение масс ряда крупных астероидов динамическим методом //Астрономический вестник.2004. Том 38. № 1. С.71-81.

Кроме того, результаты работы были представлены на шести конференциях:

1. "Компьютерные методы небесной механики". ИТА РАН. 18-20 ноября 1997.

2. "US/European celestial mechanics workshop". Poznan. 3-7 July 2000. Poland.

3. "Joint European and National astronomical Meeting (JENAM-2000)". 29 May— 3 June 2000.Moscow.

4. "Asteroid, Comets, Meteors (ACM-2002)". Berlin. 29 July-2 August 2002.Germany.

5. "Celestial Mechanics-2002: Results and Prospects". IAA RAS. 10-14 Sept. 2002.

6. "Околоземная астрономия-2003".Терскол. 8-13 сентября 2003. 9

Заключение диссертации по теме «Астрометрия и небесная механика», Кочетова, Ольга Михайловна

хотя выводы получены на основе тестирования только одной планеты, но можно сказать, что мы подтвердили предположения Хоффманна (Hoffmann,1989b) о том, что при обработке высокоточных наблюдений необходим учет всех тонких эффектов.

2.6.2 Тестирование алгоритма определения масс на примере массы

Юпитера

Наблюдения малых планет и комет, имеющих тесные сближения с Юпитером, до восьмидесятых годов прошлого века использовались для уточнения массы Юпитера. Точность этих определений, в единицах значений обратной массы, составляла 1.3 — 0.004 (табл. 2.4). Отбору подходящих для решения этой задачи малых планет посвящен ряд исследований (смотри, например, "Малые планеты", 1973). Большой вклад в решение этой задачи внес Хилл (Hill, 1873), предложивший использовать для этой цели малые планеты, среднее движение которых находится в соизмеримости 2:1 со средним движением Юпитера. Хилл разработал методику определения возмущений в долготах малых планет, вызываемых Юпитером.

С развитием средств космической навигации оказалось, что масса Юпитера гораздо точнее может быть определена из наблюдений космических аппаратов, пролетающих вблизи него. Питьева (1997, 2001) уточнила это значение по результатам слежения за марсианскими посадочными аппаратами. После этого интерес к использованию малых планет для решения этой задачи угас. Однако возрастает точность позиционных наблюдений малых планет, увеличивается их количество и интервал наблюдений. Так, наблюдения малых планет, полученные астрометрическим спутником Hipparcos, имеют точность около 0.01". Позиционные наблюдения, получаемые с помощью ПЗС-камер, имеют точность около 0.1". Радиолокационные наблюдения малых планет также вносят существенный вклад в повышение точности определения орбит (правда, пока это относится, главным образом, к АСЗ). Кроме того, развитие средств вычислительной техники позволяет использовать для этой цели наблюдения не одной планеты, а многих.

В настоящей работе позиционные наблюдения малых планет используются для определения массы Юпитера с целью тестирования описанного ранее алгоритма уточнения массы возмущающего тела. В табл. 2.5 приводятся данные о малых планетах, наблюдения которых использовались для этой цели. Малые планеты выбирались из списка, предложенного Хиллом (Hill, 1873, первые 12 планет): среднее движение их близко к соизмеримости 2:1 со средним движением Юпитера. С того времени число таких малых планет увеличилось, поэтому мы

-1-1-1-1-1-1-■— inao 1 воа ieao

Рис. 2.2. Изменение расстояний между 944 Гидальго и Юпитером т о.оси *

-O.OOl

-о.екха

-О.ООЭ

-o.oooz

-O.DOO+

8 о О • 0 о о 5® о 1 8 в g 1

Ф • % о о о в о S О о о 8 о

1МО ieao

Рис. 2.3. Влияние релятивистских возмущений от Юпитера на О—С по прямому восхождению для малой планеты 944 Гидальго: а) без уточнения элементов орбиты; Ь) с уточнением элементов орбиты. дополнили этот список до 28 малых планет, имеющих длительную историю наблюдений. Кроме того, в список была включена также малая планета 944 Гидальго, которая сближалась с Юпитером до 0.9 а.ев 1922 г. (на рис. 2.2 показано изменение расстояний между Гидальго и Юпитером на использованном интервале наблюдений). Рис. 2.3.а) показывает изменение в О—С по прямому восхождению, вызываемые учетом релятивистских возмущений от Юпитера. Максимальные уклонения достигают 0.002", что сравнимо с точностью наблюдений малых планет спутником Hipparcos. Для наглядной иллюстрации изменений в представлении отдельных наблюдений, связанных с включением релятивистских возмущений от Юпитера, элементы орбиты малой планеты 944 Гидальго были исправлены при включении и отключении учета этих возмущений. Далее, из величины остаточных уклонений по прямому восхождению, найденных во втором случае, были вычтены остаточные уклонения, найденные в первом случае (рис. 2.3.Ь)). Как видно из рисунка, влияние этого эффекта через улучшенные элементы орбиты на изменения в О—С по прямому восхождению имеет порядок 5x10"4 угловых секунд (в связи с полученными результатами в дальнейших наших исследованиях релятивистские возмущения, обусловленные действием Юпитера, не учитывались).

Наблюдения 28 малых планет были использованы в общем решении для уточнения орбитальных элементов малых планет и массы Юпитера. При этом численное интегрирование уравнений движения проводилось по методу Булирша-Штера, координаты возмущающих планет вычислялись в соответствии с DE200. Дифференциальные коэффициенты, используемые при составлении условных уравнений, определялись численно путем вариации исходных элементов и массы Юпитера. Поправки к элементам и значению массы Юпитера находились по методу наименьших квадратов.

Сравнение полученных результатов с результатами других авторов даны в табл. 2.4. В этой таблице также приводятся данные об используемом в нашей работе количестве малых планет, числе наблюдений и полученных ошибках единицы веса (значения массы Юпитера, полученные разными авторами по наблюдениям малых планет, выбраны нами из книги "Малые планеты" (Самойлова-Яхонтова, 1973)).

Заключение

Определение масс малых планет является задачей, решение которой необходимо как для построения высокоточных теорий движения различных тел Солнечной системы (больших планет, комет, малых планет, космических аппаратов), так и для определения их средней плотности и выработки представлений о происхождении и эволюции этого ансамбля тел.

Решению этой задачи посвящены усилия большого числа исследователей, как использующих динамический метод, так и специалистов по исследованию физических характеристик малых планет: их размеров, характеристик поверхности, средних плотностей и т.п. Несмотря на это, количество малых планет, для которых значения их масс определены уверенно, относительно невелико, что объясняется реальными причинами. В результате выполненного в работе исследования, предлагаются новые подходы для решения этой задачи.

В настоящей работе получены следующие результаты:

1. Проведен анализ всех факторов модели возмущающих сил и редукции наблюдений, которые необходимо учитывать. Тестирование выполнено на примере реальных высокоточных наблюдений малых планет, полученных астрометрическим спутником Hipparcos. Правильность алгоритма определения масс малых планет проверена на примере определения из наблюдений малых планет массы Юпитера, известной в настоящее время с высокой точностью.

2. Выполнено исследование, показавшее, что ошибка значения массы малой планеты, полученного динамическим методом, может быть уменьшена в результате увеличения числа используемых возмущаемых малых планет. Это увеличение достигается за счет включения в решение наблюдений тех возмущаемых малых планет, которые не имеют особо тесных сближений с возмущающим телом, но находятся с ним в соизмеримости.

3. Показано, что более эффективным критерием отбора возмущаемых малых планет является не общепринятый критерий, использующий значение минимального расстояния между двумя малыми планетами, а ошибка массы возмущающей планеты, определяемая по наблюдениям одной возмущаемой малой планеты.

4. Получены значения масс 21 крупной малой планеты с ошибками, меньшими ошибок, полученных в работах других авторов, использовавших динамический метод, и сравнимыми с ошибками астрофизической оценки масс (Krasinsky и др., 2001). Это говорит о том, что наши критерии отбора возмущаемых малых планет работают верно и принятые для астрофизических оценок значения плотности и объема близки к реальным.

5. Для двух малых планет, 7 Ирида и 16 Психея, нами выявлено существенное отличие их средних плотностей (и, соответственно, таксономических типов) от общепринятых. Возможно, это вызвано неоднородной структурой этих планет и/или неточностями в определении их таксономических типов.

6. Сделан вывод о перспективности динамического метода, особенно в связи с существенным повышением точности позиционных наблюдений, возрастающим числом малых планет, для которых получены радиолокационные наблюдения, общим возрастающим числом открытых малых планет, из которых можно отбирать возмущаемые малые планеты, естественным увеличением интервалов и числа наблюдений.

Автор глубоко признателен администрации и сотрудникам ИПА РАН за внимательное отношение к работе и полезные дискуссии.

Особенную благодарность автор выражает своему научному руководителю, кандидату физ.-мат. наук Ю. А. Чернетенко за постоянное внимание, ценные советы, моральную поддержку и помощь при подготовке диссертации; доктору физ.-мат. наук В. А. Шору за интерес к работе и помощь при подготовке диссертации, доктору физ.-мат. наук Ю. В. Батракову за полезные замечания, кандидату физ.-мат. наук Е. В. Питьевой за предоставление результатов и полезные обсуждения.

Автор также выражает глубокую признательность Н. С. Кулачковой за помощь при оформлении диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кочетова, Ольга Михайловна, 2004 год

1. Асксенов Е. П. Теория движения искусственных спутников Земли// М: Наука.1977.364 С.

2. Батраков Ю.В. (отв. ред.). Эфемериды малых планет на 1996 год// ИТА РАН. 1995.628 С.

3. Брумберг В. А. Релятивистская небесная механика// М: Наука.1972.384 С.

4. Брумберг В. А. Методика определения релятивистских планетных возмущений в теориях движения больших планет//Труды ИПА РАН.1999.вып.4. С. 199-224.

5. Вокулер де Ж. Фотометрия поверхностей планет//Планета и спутники/ Ред. Дольфюс А. 1974. С. 267-366.

6. Васильев М. В., Ягудина Э. И. Определение масс 26 избранных малых планет из анализа наблюдения их взаимных сближений с астероидами меньшей массы// Труды ИПА РАН.1999.вып.4. С. 98-116.

7. Виноградова Т. А., Железное Н. Б., Кузнецов В. Б., Чернетенко Ю. А., Шор В. А. Каталог потенциально опасных астероидов и комет// Труды ИПА РАН.2003.вып.9. С.219.

8. Глебова Н. И. Вычисление эфемерид планет, Солнца и Луны на основе современных теорий// Бюлл. ИТА PAH.1986.V. XV. № 9 (172). С. 486-504.

9. Губанов В. С. Обобщенный метод наименьших квадратов// Спб:Наука.1997.318 С.

10. Дольфюс А. Диаметры планет и спутников// Планеты и спутники/ Ред. Дольфюс А. 1974. С. 59-171.

11. Калиткин Н. Н. Численные методы //М:Наука.1978.512 С.

12. Кастель Г. ,Р., Сумзина И. К. О точности орбиты малой планеты, определенной методом наименьших модулей// ИПА РАН.2003 (в печати).

13. Кочетова О. М. Чернетенко ЮЛ. Влияние эффекта фазы и других факторов на результаты обработки наблюдений малых планет//Тезисы докладов конференции "Компьютерные методы небесной механики". 1997.ИТА РАН.С.92-95.

14. Кочетова О. М. Исследование влияния модели движения и ошибок наблюдений малой планеты на точность определения параметров орбиты// Труды ИПА РАН. 2000. вып. 5. С. 197-203.

15. Кочетова О. М. Применение новых критериев отбора возмущаемых малых планет для определения масс возмущающих малых планет динамическим способом //Сообщения ИПА РАН. 2003. № 165.43 С.

16. Кочетова О. М. Определение масс ряда крупных астероидов динамическим методом //Астрономический вестник.2004. Том 38. № 1. С.71-81.

17. Кузнецов В. Б. Об определении масс крупных астероидов//Труды ИПА РАН.1999.ВЫП.4. С. 117-127.

18. Кузнецов В. Б. Каталог сближений между астероидами.// Сообщения ИПА РАН.2000. № 136.

19. Кузнецов В. Б. Определение масс 108 астероидов// Сообщения ИПА РАН.2001. № 138.

20. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений// М:Наука. 1962.350 С.

21. ЛупишкоД. Ф. Улучшенные альбедо и диаметры астероидов// Астрон. вестн. 1998. Т.32. №2. С. 141-146.

22. Лупишко Д. Ф. Частное сообщение.2003

23. Макарова Е. Н. Обработка наблюдений избранных малых планет методом наименьших модулей//Труды ИПА РАН.2000.вып.5. С. 190-196.

24. Мудров В И., Кушко В. Л. Методы обработки измерений. Квазиправдоподобные оценки. // М: Радио и связь.1983. 304 С.

25. Никольская Т. К. Метод коллокации и его применение к решению систем условных уравнений в спутниковой геодезии// Бюлл. ИТА РАН.1976. Том XIV. №4(157). С. 229-233.

26. Питьева Е. В. Изучение динамики Марса из анализа наблюдений посадочных аппаратов Viking и Pathfinder//Труды ИПА РАН.1998.вып.4. С. 22-35.

27. Питьева Е. В. Прогресс в определении некоторых астрономических постоянных из радарных наблюдений планет и космических аппаратов// Труды ИПА РАН.2000.вып.6. С. 58-69.

28. Питьева Е. В. Частное сообщение.2003.

29. Самойлова-Яхонтова Н. С. (отв.ред.). Малые планеты//М:Наука.1973,359 С.

30. Свешников М. Л. Определение ориентации FK4 по вашингтонским наблюдениям Солнца и планет//Труды ИТА.1985. вып. 19.С.31-74.

31. Субботин М. Ф. Введение в теоретическую астрономию// Москва.1923.С.800

32. Чеботарев Г. А., Шор В. А. Структура пояса астероидов// Труды ИТА.1976.вып. 15.Р. 60-90.

33. Черных Н. С. Определение массы Юпитера по современным наблюдениям малой планеты 10 Гигия//Лен-д.Диссертация.1971.

34. Шор В. А. (отв. ред.). Эфемериды малых планет на 2001 год// ИПА РАН.2000. 1061 С.

35. Шор В. А. (отв. ред.). Эфемериды малых планет на 2003 год// ИПА РАН.2002. 1103 С.

36. Allen D. A. The method of determining infrared diameter//Physical Study of Minor Planets/Eds: GehrelsT. 1971.№ 227.P. 41-44.

37. Barnard E. E. On the dimension of the planets and satellites// Astron. Nachr.1902. V. 157, P. 260-268.

38. Bottke W. F., Vokrouhlicky D., Rubicam D. P., and Broz M. The effect of Yarkovsky thermal forces on the dynamical evolution of asteroids and meteoroids//Asteroids III/

39. Eds: Bottke W., Cellino A., Paolicchi P. and Binzel R. P. Tucson: Univ. Arizona Press. 2003. P. 395-408.

40. Bougeard M. L., Bange J. F., Caquineau C., Bec-Borsenberger A. Robust estimation with application to Hipparcos minor planet data //Proceedings of the ESA Symposium Hipparcos-Venice'97.1997. (ESASP-402).

41. BellJ., Davis D. R., Hartmann W. K., Gaffey M.J. Asteroid taxonomic classifications//AsteroidslI /Eds: Binzel R. P., Gehrels Т., Matthews M. S. Tucson: Univ. Arizona Press, 1989. P. 921-945.

42. Burlirsh R., StoerJ. Numerical Treatment of Ordinary Differential Equations by Extrapolation Methods// Num. Math.1966.V. 8. P. 1-13.

43. Campbell, J. K., Synnott S. P.II Astron. J.1985.V 90.P. 364-372.

44. Chemetenko Yu. A, Kochetova О. M. Masses of some large minor planets //Asteroid, Comets, Meteors, 2002.Berlin. P.437-440.

45. Davis D. R., and Bender D. V. Asteroid mass determinations: a search for further encounter opportunities// Bull. Amer. Astron. Soc. 1977. V 9. P. 502-503.

46. Everhart E. Implicit single-sequence methods for integrating orbits// Celest.Mech.1974.V.10, № 1.P. 35.

47. Garcia A. L., Medvedev Yu. D., and Morano J. A. Using close encounters of minor planets// Dynamics and astrometry of natural and artificial celestial bodies/ Eds: Wytrzyszczak L. M., Liske J. H. and Feldman R. A. 1997. P. 199-204.

48. Goffin E. The orbit of 203 Pompeia and the mass of Ceres// Astron. and Astrophys. 1991. V 249. P. 563-568.

49. Fayet G. Contribution a I'etude des proximites d'orbites dans le systeme solaire// Ann.Bureau des Longitudes Paris. 1949. V 12. P. 1-156.

50. Herget P. Outer Satellites of Jupiter// Astron. J. 1968. V. 73. № 8. P. 737-742.

51. HertzH. G.//IAU Circular.1966. .№ 1983.

52. Hertz H. G. Mass of Vesta//Science.1968 V. 160. P. 299-300.

53. Hill G. W. On the derivation of the mass of Jupiter from the motion of certain asteroids// Mem. Amer. Acad. Arts and Sci. 1873.New Ser. V. 9.

54. Hilton J.L., Seidelman P. K., MiddourJ. Prospects for determining asteroid masses//Astron. J. 1996. V. 112. № 5. P. 2319-2329.

55. Hilton J. L The mass of asteroid 15 Eunomia from observations of 1313 Berna and 1284 Latvia// Astron. J. 1997. V 114. P. 402-408.

56. Hilton J. L. Naval observatory Ephemerides of the largest asteroids// Astron. J. 1999. V 117. P. 1071-1086.

57. Hilton J. L. Asteroid masses and densities// Asteroids III/ Eds: Bottke W., Cellino A., Paolicchi P. and Binzel R. P. Tucson: Univ. Arizona Press. 2003. P. 103-112.

58. Hoffmann M. Impactless Asteroid Collisions: Opportunites for Mass Determinations and Implications from Actual Close Encounter// Icarus 1989. V 78.P. 280-286.

59. Hoffmann M. Asteroid mass determination: present situation and perspectives// Asteroids II/ Eds: Binzel R. P, Gehrels Т., Matthews M. S. Tucson: Univ. Arizona Press, 1989. P. 228-239.

60. HuberPJ. Robust Estimation of a Location Parameter// Ann. Math. Stat. 1964.V 35.P. 73-101.

61. HuberPJ. Robust Statiistics: A Review// Ann. Math. Stat.1972. V43. P. 10411067.

62. Janiczek P. M. The Orbit of Polyhymnia and the Mass of Jupiter// Astron.Papers.1971. V XXI-1.47 P.

63. Kochetova О. M. Opportunities for observations of minor planets having close approaches with (1) Ceres, (2) Pallas, (4) Vesta //The Minor Planet Bulletin.2000.V.27.N 4. October—November. P.51.

64. Kochetova O.M. Estimation of masses of some minor planets from observations of perturbed bodies/Яруды ИПА РАН. Вып.8.2002 СПб.С.104-105.

65. Krasinsky G A., Pitjeva Е. V., Vasilyev М. V., Yagudina Е. I. Estimating masses of asteroidsII Сообщения ИПА РАН. 2001. № 139.

66. Matson D. L. Infrared observations of asteroids // Physical Studies of Minor Planets/ Ed. Gehrels T. 1971. NASA SP-267. P. 45-50.

67. Matson D. L., Veeder G. J., Tedesco E. F., and Lebofsky L. A. The IRAS asteroid and comet survey//Asteroids II/ Eds: Binzel R. P., Gehrels Т., Matthews M. S. Tucson: Univ. Arizona Press, 1989. P. 269-281.

68. Michalak G. Determination of asteroid masses of (1) Ceres, (2) Pallas and (4) Vesta//Astron. and Astrophys. 2000. V 191. P. 161-166.

69. Michalak G. Determination of asteroid masses II. (6) Hebe, (10)Hygiea, (15) Eunomia, (52)Europa, (88)Thisbe, (444)Gyptis, (511)Davida and (704) Interamnia// Astron. and Astrophys. 2001. V. 374. P. 703-711.

70. Mignard F., Froeschle M. Comparison of the FK5 frame to Hipparcos// Proceedings of the ESA Symposium Hipparcos-Venice'97.1997. P.57-60.

71. Millis R. L, Wasserman O. G., Franz N. M., et al. The diameter of 88 Thisbe from its occultation of SAO 187124// Astron. J. 1983. V 88. № 2. P. 229-235.

72. Millis R. L and Dunham D. W. Precise measurement of asteroid sizes and shapes from occupations// Asteroids II/ Eds: Binzel R. P., Gehrels Т., Matthews M. S. Tucson: Univ. Arizona Press, 1989. P. 149-170.

73. Murray C. A. Relativistic astrometry.// Roy.Astron. Soc.1981. V 195. P. 639-648.

74. Ostro S. J., Connely R. II lcarus.1984. № 57. P. 443.

75. Pitjeva E. V. И Proceedings of IAU Colloquium 1997.V 165.P. 251-256.

76. Pitjeva E. V. Progress in the determination of some astronomical constants from radiometric observations of planets and spacecraft// Astron. and Astrophys. 2001. V 371. P. 760-765.

77. ShollH., Shmadel L. D., RoserS. The mass of asteroid (10) Hygiea derived from observations of (829) Academia// Astronomisches Rechen-lnstitut Heidelberg. 1986. Preprint N 4!!

78. ShubartJ. The masses of the first two asteroids// Astron. and Astrophys. 1974.V 30.P. 289-292.

79. SitarskiG., Todorovic-Juchniewicz B. Determination of the Mass of (1) Ceres from Perturbations on (203) Pompeja and (348) May//Acta Astronomica. 1992. V 42

80. Standish E. M.,Hellings R. W. A determination of the Masses of Ceres, Pallas, and Vesta from Their Perturbations upon the Orbit of Mars//lcarus.1989. .№ 80.P. 326-333.

81. Standish E. M. The Observational Basis for JPL's DE200, the Planetary Ephemerides of the Astronomic Almanac// Astron. and Astrophys. 1990. V 233. P. 252251.

82. Standish E. M., NewhallX.X., Williams J.G. and FolknerW. F. JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE403/LE403 // JPL Interoffice Memorandum. 1995. №314.10127. P. 1-22.

83. Standish E. M. JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE405/LE405// JPL Interoffice Memorandum. 1998 IOM 312.F-98-048.P. 1-18.

84. Subbotin M. On the Law of Frequency of Error// Математ.сб. 1923. Т.31.вып.2.С. 296-301.

85. Tedesco E. F. Asteroid magnitudes, UBV colors, and IRAS albedos and diameters// Asteroids II/ Eds: Binzel R. P., Gehrels Т., Matthews M. S. Tucson: Univ. Arizona Press, 1989. P. 1090-1138.

86. Tedesco E. F., Veeder G. /. IMPS albedos and diameters catalog (FP102)// The IRAS Planet Survey/ Eds: Tedesco E. F et al. Phillips Lab. 1992. P. 243-285.

87. Tedesco E. F., Egan M. P., Price S. D. The Midcource Space Experiment infrared minor planet survey// Astron. J.2002.V 124.P. 583-591.

88. Tholen D. J. Asteroid taxonomic classifications//Asteroids II/ Eds: Binzel R. P., Gehrels Т., Matthews M. S. Tucson: Univ. Arizona Press, 1989. P. 1139-1150.

89. Wasserman L. H. et al. The diameter of Pallas from its occultation of SAO 85009//,Astron. J.1979.V 84.P. 259-268.

90. Widorn T. Zur hotometrischen Bestimmung der Durchmesser der Kleinen Planeten//Annal.Universitats-Sternwarte.Wien. 1967.V27. № 3. P. 111-119.

91. Williams J G. Determining Asteroid Masses from Perturbations on Mars//lcarus.1984. .№ 57. P. 1-13.

92. Worden S. P., Stein M. K. Angular diameter of the asteroids Vesta and Pallas determined from aspekle observations//Astron. J. 1979.V. 84. P. 140-142.

93. Viateau B. and Rapaport M. The Bordeaux Meridian Observations of Asteroids. First Determination of the Mass of (11)// Astron. and Astrophys. 1997. V 320. P. 652-658.

94. Viateau B. Mass and density of asteroids (16) Psyche and (121) Hermione// Astron. and Astrophys. 2000. V 354. P. 725-731.

95. Viateau B. and Rapaport M. Mass and density of asteroids (4) Vesta and (11) Parthenope// Astron. and Astrophys. 2001. V 370. P. 602-609.

96. Yeomans D. K., Ostro S. J., and Chodas P. W. Radar astrometry of near-Earth asteroids//Astron. J 1987. V. 94. P. 189-200.

97. Yeomans D. K., Barriot J.-P., Dunham D. W., et al. Estimating the mass of asteroid 253 Mathilde from tracking data during the NEAR flyby// Sci. 1997. V. 278. P. 21062109.

98. Yeomans D. K., Antreasian P. G., Cheng A., et al. Estimating the mass of asteroid 433 Eros during NEAR spacecraft flyby// Sci. 1999. V. 285. P. 560-561.