Оптимальная широтно-импульсная модуляция в электроприводе по критерию дисперсии тока тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Белоусов Игорь Владимирович

• Белоусов Игорь Владимирович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Белоусов Игорь Владимирович

2.6. Выводы по второй главе

ГЛАВА 3. ОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ТРЕХФАЗНОЙ ПОЛНОФАЗНОЙ ШИМ

3.1. Локальная дисперсия межфазного тока при трехфазной модуляции

3.2. Виды функций предмодуляции и субоптимальный алгоритм ШИМ

3.3. Оценка эффективности алгоритмов трехфазной полнофазной ШИМ

3.4. Анализ перемодуляции при трехфазной синусоидальной ШИМ

3.5. Выводы по третьей главе

ГЛАВА 4. НЕПОЛНОФАЗНЫЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ТРЕХФАЗНОЙ ШИМ

4.1. Несимметричные алгоритмы неполнофазной ШИМ

4.2. Сравнение алгоритмов неполнофазной и полнофазной ШИМ по критерию дисперсии токов в нагрузке

4.3. Оптимальный алгоритм трехфазной ШИМ при ограничении на потери мощности в электронных ключах

4.4. Комбинационные алгоритмы полнофазной и неполнофазной ШИМ

4.5. Выводы по четвертой главе

ГЛАВА 5. ОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ МНОГОФАЗНОЙ ШИМ

5.1. Модулирующие функции ш-фазных напряжений на нагрузке

5.2. Оптимальный алгоритм ш-фазной полнофазной ШИМ по критерию дисперсии тока в нагрузке

5.3. Алгоритм ш-фазной полнофазной ШИМ с полным использованием напряжения источника питания

5.4. Алгоритмы неполнофазной ШИМ ш-фазного моста

5.5. Выводы по пятой главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А Словарь терминов

ПРИЛОЖЕНИЕ Б Фильтрующие свойства электрических машин при ШИМ в электроприводе

ПРИЛОЖЕНИЕ В Анализ состояния проблемы качества ШИМ в электроприводе

ПРИЛОЖЕНИЕ Г Акты об использовании результатов исследования

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальная широтно-импульсная модуляция в электроприводе по критерию дисперсии тока»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Энергетическая эффективность автоматизированных электроприводов во многом определяется способами их управления.

В последние годы управление электроприводами в большинстве случаев выполняется с использованием импульсных преобразователей электрической энергии (ПЭЭ), в которых напряжение формируется с использованием ШИМ. На выходе ПЭЭ обычно устанавливается фильтр низкой частоты. В электроприводе фильтром низкой частоты обычно является электродвигатель. Поэтому, в качестве меры качества ШИМ целесообразно принять степень расхождения между желаемым током в электродвигателе, формируемым системой управления, и током, порождаемым модулированным напряжением ПЭЭ.

Показатели качества ШИМ во многом определяются выбранной частотой модуляции. При этом увеличение частоты следования импульсов, с одной стороны, снижает искажения электромагнитного момента приводного электродвигателя, а с другой стороны, увеличивает потери в электронных ключах ПЭЭ. Высокие частоты модуляции применяются в ПЭЭ относительно небольшой мощности. Вместе с тем, мощности автоматизированных электроприводов, для управления которыми используется ШИМ, неуклонно растут. Так мощность гребных электроприводов судов достигает 30 и более мегаватт. При этом частота модуляции в ПЭЭ снижается. Поэтому следует изучить и осмыслить все имеющиеся возможности и способы повышения качества ШИМ, которые позволяют уменьшить потери мощности в ключевых элементах ПЭЭ и одновременно обеспечить требуемые виброшумовые характеристики электроприводов. Таким образом, исследования, направленные на повышение качества ШИМ в электроприводах, являются актуальной задачей.

Степень научной разработанности проблемы. В разработку способов, методов и алгоритмов ШИМ в разное время, внесли большой вклад отечественные и зарубежные ученые и специалисты: И.А. Баховцев, В.М. Берестов, О.Г. Булатов, Б.Ю. Васильев, С.П. Гладышев, Ю.М. Гусяцкий, Б.Ф. Дмитриев, В.А. Добрускин, Г.С. Зиновьев, Д. Б. Изосимов, А.В. Кобзев, В.М. Михальский, В.И. Олещук, А.Ю.

Рождественский, B.C. Руденко, В.Ф. Самосейко, А.С. Сандлер, Л.И. Сетюков, В.С. Томасов, В.Е. Тонкаль, Е.И. Усышкин, Е.Е. Чаплыгин, С.А. Харитонов, A.M. Hava, J. Holtz, R.G. Hoft, D.G. Holmes, A. Iqbal, M. Kazmierkowski, T. Lipo, H.S. Patel и многие другие.

В литературе выделяют классический и векторный метод ШИМ. Известно большое разнообразие этих методов, которые применяются при разработке систем управления электроприводами с импульсными ПЭЭ. Эти методы, как правило, основаны на процедурах компьютерного моделирования. Поскольку функции модуляции являются импульсными, вычислительные процедуры требуют больших временных затрат. Однако получить результат, который бы окончательно решил проблему поиска наилучшего метода ШИМ путем компьютерного моделирования, не представляется возможным.

В диссертационной работе для синтеза оптимальных алгоритмов полнофазной ШИМ (П-ШИМ) и неполнофазной ШИМ (Н-ШИМ) напряжения на выходе ПЭЭ, питающего обмотки двигателей электропривода, используется аналитический подход. Модулированное напряжение ПЭЭ порождает ток в обмотках приводного электродвигателя, который отличается от тока, заданного системой управления электропривода. В качестве меры отличия токов, порожденных ШИМ и системой управления, в работе принята дисперсия тока.

Цель работы и задачи исследования. Целью работы является синтез оптимальных алгоритмов ШИМ в системе преобразователь-двигатель по критерию минимума дисперсии тока в нагрузке для повышения энергетической эффективности электроприводов с импульсными преобразователями электрической энергии.

Необходимость такого исследования обусловлена потребностями создания и применения мощных и высокоэффективных ПЭЭ, в частности, в составе гребного электропривода для систем электродвижения судов, включая ледоколы.

Для достижения поставленной цели определены, сформулированы и решаются следующие задачи:

1. Анализ известных способов повышения энергетической эффективности электроприводов с импульсными ПЭЭ на основе различных алгоритмов управления ШИМ с учетом перемодуляции и предмодуляции.

2. Разработка математического описания процессов ШИМ для электроприводов с произвольным числом фаз.

3. Получение аналитических моделей для описания критериев качества полнофазной, неполнофазной и комбинированной ШИМ при произвольном числе фаз приводного электродвигателя.

4. Синтез оптимальных алгоритмов ШИМ по критерию минимума дисперсии тока для двухфазной, трехфазной и многофазной нагрузки.

5. Оценка фильтрующих свойств различных видов электрических машин при ШИМ в электроприводе.

Объектом исследования является система преобразователь-электродвигатель, входящая в состав автоматизированных электроприводов.

Предметом исследования являются электромагнитные процессы, порождаемые ШИМ в электроприводах с импульсными преобразователями электрической энергии.

Научная новизна работы состоит в получении следующих основных результатов:

1. Обосновано использование дисперсии тока в электродвигателе электропривода в качестве основного критерия при параметрическом синтезе алгоритмов управления ШИМ.

2. Разработаны алгоритмы оптимальной одно, двух, трех и многофазных П-ШИМ и Н-ШИМ по критерию дисперсии тока в обмотках электрической машины электропривода по всем свободным переменным, определяющим качество модуляции, отличающиеся от известных алгоритмов критерием оптимальности и учетом всех переменных системы преобразователь-электродвигатель, определяющих качество ШИМ.

3. Разработан алгоритм оптимальной комбинированной П-ШИМ и Н-ШИМ по критерию дисперсии тока в обмотках электрической машины электропривода

по всем свободным переменным, определяющим качество модуляции, отличающийся от известных алгоритмов критерием оптимальности и учетом потерь энергии в ключевых элементах преобразователя.

4. Впервые получена оценка фильтрующих свойств различных видов электрических машин при ШИМ в электроприводах, позволяющая более обоснованно решать задачи структурного синтеза при выборе их приводного электродвигателя.

Теоретическая значимость работы состоит в аналитическом решении задачи оптимизации ШИМ по критерию дисперсии тока в обмотках двигателя электропривода по всем свободным переменным, определяющим ее качество.

Практическая значимость работы заключается в том, что применение разработанных алгоритмов ШИМ позволяет повысить энергетические показатели электроприводов с импульсными ПЭЭ.

Методы исследования. При решении поставленных в работе задач использовались методы теории электрических цепей, методы оптимизации, теории электрических машин и электропривода.

Соответствие паспорту специальности. Тематика работы соответствует пунктам 1, 3, 4 паспорта специальности 2.4.2 -Электротехнические комплексы и системы.

Положения, выносимые на защиту. К основным положениям, выносимым на защиту, относятся:

1. Формализация описания импульсных функций, критерия оптимизации и фильтрующих свойств различных видов электрических машин при ШИМ в электроприводе.

2. Алгоритмы оптимизации однофазной и двухфазной ШИМ в электроприводе по критерию дисперсии тока в нагрузке.

3. Алгоритмы оптимизации трехфазной полнофазной ШИМ в электроприводе по критерию дисперсии тока в нагрузке.

4. Неполнофазные и комбинированные алгоритмы оптимизации трехфазной ШИМ в электроприводе.

5. Оптимальные алгоритмы многофазной ШИМ в электроприводе.

Степень достоверности. Научные положения, выводы и рекомендации, сформулированные в диссертации, обоснованы теоретическими решениями и экспериментальными данными, полученными в работе, не противоречат известным положениям теоретической электротехники, базируются на строго доказанных выводах, численном моделировании электромагнитных процессов, протекающих в электроприводах на основе разработанных оптимальных алгоритмов ШИМ, а также их экспериментальной апробацией при исследовании мощных электроприводов.

Реализация результатов работы. Основные результаты работы использованы при разработке систем управления электроприводами в филиале «ЦНИИ СЭТ» ФГУП «Крыловский государственный научный центр» по ОКР: «Разработка комплекса электродвижения мелкосидящего ледокола, предназначенного для условий эксплуатации в акваториях Каспийского и Азовского морей», шифр «МСЛ-ЭДС»; «Разработка технологий создания электрооборудования гребных электрических установок нового типа для единых электроэнергетических систем (ЕЭЭС) с использованием синхронного электродвигателя с анизотропной магнитной проводимостью ротора», шифр «ЕЭЭС-Н». Результаты работы используются в учебном процессе по направлению «Электроэнергетика и электротехника» для подготовки бакалавров (13.03.02) и магистров (13.04.02) в ФГБОУ ВО «ГУМРФ имен адмирала С.О. Макарова».

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались, обсуждались и получили положительные отзывы на следующих, конференциях, симпозиумах и семинарах: International Russian Automation Conference «RusAutoCon» (Sochi - 2018); International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing «ICIEAM» (Sochi - 2019); 26th International Workshop on Electric Drives: Improvement in Efficiency of Electric Drives «IWED» (Moscow - 2019); International Scientific Conference Energy Management of Municipal Facilities and Sustainable Energy Technologies «EMMFT» (Voronezh - 2019); International Scientific Siberian Transport Forum «TransSiberia» (Novosibirsk - 2021); International Ural Conference on Electrical Power Engineering «UralCon»

(Magnitogorsk - 2021); XV International Scientific Conference on Precision Agriculture and Agricultural Machinery Industry «State and Prospects for the Development of Agribusiness - INTERAGROMASH 2022» (Rostov-on-Don - 2022); X Международная (XXI Всероссийская) конференция по автоматизированному электроприводу (Новочеркасск - 2018); III Всероссийская научно-практическая конференция «Проблемы развития транспортной инфраструктуры северных территорий» (Котлас -2020); XXIII, XVII Международные симпозиумы «Надежность и качество» (Пенза - 2018, 2022); XIX Международная конференция «Электротехника, электротехнологии, электротехнические материалы и компоненты» (Алушта - 2022); национальная научно-практическая конференция профессорско-преподавательского состава ФГБОУ ВО «ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова» (Санкт-Петербург - 2023); научные семинары кафедры электропривода и электрооборудования береговых установок ГУМРФ имени адмирала С.О. Макарова; заседания научно-технических советов филиала «ЦНИИ СЭТ» ФГУП «Крыловский государственный научный центр».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 46 работ, в числе которых 15 статей в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК РФ; 8 статей, индексированных в базе Scopus; 5 монографий и 2 учебных пособия; 9 свидетельств о регистрации программ для ЭВМ; 7 публикаций, входящих в систему цитирования РИНЦ.

Личный вклад автора. Результаты исследований, составляющие научную новизну и выносимые на защиту, получены лично автором. В совместных публикациях результатов исследований автору принадлежат: разработка математических моделей, обоснование выбора критерия оптимизации, оценка фильтрующих свойств электрических машин при ШИМ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованных источников из 149 наименований и четырех приложений. Общий объем диссертации составляет 155 страниц текста, включая 51 рисунок и 4 приложения на 27 с.

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ ШИМ В ЭЛЕКТРОПРИВОДЕ

В данной главе рассматриваются исходные положения, которые положены в основу синтеза оптимальной ШИМ по выбранному критерию. Дано определение термина модуляция, которое помогает понять постановку задачи ее оптимизации. Определены критерии оптимизации и выделен набор переменных, в пространстве которых решается задача оптимизации ШИМ. Рассмотрены фильтрующие свойства различных видов электрических машин, управление которыми осуществляется импульсными преобразователями посредством ШИМ. Выполнен обзор существующих методов модуляции и сформулирована постановка задач диссертационного исследования.

Рассмотрим импульсные функции времени и их параметры, используемые в системах управления импульсной преобразовательной техники, и дадим их формальное представление. Формализация представления импульсных функций связана с необходимостью оптимизации процесса модуляции и упрощения их описания на языках программирования.

Единичная функция (функция Хевисайда). Известно несколько способов описания этой функции. В диссертации используется следующее формальное определение единичной функции:

1.1. Формализация описания импульсных функций

0, при t < 0;

( 1 ^ ; 1(7) = Кт - =<¡1/2, при t = 0.

(1.1)

Интервалы модуляции и пилообразные функции. Будем использовать понятие относительного времени т = ¿/То. За базовое значение принимается период модуляции То. Интервалы модуляции будем нумеровать к = Аоог(т) = 1,2,..., где

Аоог. - целая часть числа х Начальные точки интервалов времени ¿к = к-То задают дискретное время. Начальные точки интервалов относительного времени определяются как: ти = к = йоог(т). Отсюда следует, что номера интервалов будут определять дискретное относительное время.

Введем в рассмотрение левостороннюю пилообразную функцию относительного времени (рисунок 1.1, а):

ф(т) = ф = т-к = т- Аоог(т) е[0, 1]. (1.2)

Рисунок 1.1 - Графики пилообразных функций: а) левосторонней; б) правосторонней;

Период функции ф(т) равен 1. Область определения функции ф(т) = ф можно рассматривать как относительное время на интервалах модуляции к = 1, 2, ...., которое изменяется в пределах от 0 до 1. Угловая частота функции ф(т) равна 2-л. Если периодическую пилообразную функцию ф(^ рассматривать как функцию реального времени то ее угловая частота ю0 = 2-л/То. Частота модуляции определяется выражением / = 1/Т0.

Правосторонняя пилообразная периодическая функция времени, представленная на рисунке 1.1, б, связана с левосторонней функцией соотношениями: ф- (т) = 1 -ф(т) = ф(-т) .

Центрально-асимметричная пилообразная функция (однополярная функция) имеет вид:

Ф(я, ф) = 1 - 2

Ф

1 + 5

1

1 + 5 2

ф

+

1-ф 1 - 5

ф

1 + 5 2

\Л

(1.3)

где -1 < я < 1 - коэффициент асимметрии; ф = ф(т) - относительное время. При я ^ -1 эта функция будет левосторонней: ф(-1,т) = ф(т). При я ^ 1 она является правосторонней: ф(1,т) = ф(-х). При я ^ 0 ее называют центрально-симметричной. Асимметричная пилообразная функция Ф(я, ф(т)) является универсальной (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 - Асимметричная однополярная пилообразная функция

Центрально-симметричная пилообразная функция (рисунок 1.1, в) записыва-

ется в следующем виде:

фс (х) = Ф(0, т) = аЪБ(2 • ф(т) -1) = аЪБ(2 • ф(-х) -1) = аЪв(ф(х) - ф(-х))

2 •

ф(-т) • 1( 1 - ф(х) 1 + ф(-х) • / ф(-х) - 1

V2 У V 2 У у

(1.4)

где abs(x) - абсолютная часть (модуль) числа х.

Модификации пилообразных функций обычно используются для задания периодических импульсных функций с заданной скважностью и параметром положения на интервале модуляции.

Первый способ задания периодической импульсной функции. Рассматриваемую функцию можно представить в виде:

Хх = 1(т + ах -ф)- 1(ф-ах ) = 1

(Т 1 л — +---+ Аа

V 2 2

х

ф

• 1

Т 1

-----Аа г + ф

у V 2 2 х ф

(1.5)

где ух, ах, Аах - параметры, характеризующие периодическую импульсную функцию; ф - левосторонняя периодическая пилообразная функция (1.2). График периодической импульсной функции иллюстрируется рисунком 1.3.

Рисунок 1.3 — График периодической импульсной функции со сдвигом импульса относительно начала интервала модуляции вправо

Параметр у равен отношению длительности импульса к периоду модуляции. Скважность импульсов удовлетворяет неравенствам 0 < ух < 1. Если рассматривать скважность как управляющий параметр ШИМ, то он может принимать значения -< ух < При ух < 0 импульсная функция принимает значение Хх = 0, а при ух > 1 —значение Хх = 1. Таким образом, при выходе скважности импульсов из интервала [0, 1] модуляция прекращается. Скважность импульсов является важнейшей переменной управления.

Рассмотрим параметры положения импульса ах, Аах. Параметр ах определяет смещение импульса относительно начала интервала на относительное время ах и называется коэффициентом сдвига. Параметр Аах называется коэффициентом смещения. Из рисунка 1.3 следует, что параметры Аах и ах связаны следующим соотношением:

1-У х

а х =

■ +Аах е (0, 1 -у).

(1.6)

При Аах = 0 модуляция называется центрально-симметричной. Второй способ задания периодической импульсной функции. Используя асимметричную пилообразную и единичную функции, периодическую импульсную функцию можно определить также следующим образом:

Хх = 1(У х-Ф( *)), (1.7)

где у - скважность импульсов; я - коэффициент асимметрии.

График данной функции имеет вид прямоугольных импульсов (рисунок 1.3). При этом:

2 • Да

5 =

X

2 • а

х

-1 е (-1, 1)

1 -Ух 1 -Ух

и определяет сдвиг импульса относительно центра интервала модуляции

а х =

(1 + 5) • (1 -ух) 2

При я = 0 импульс располагается в центре, а сама модуляция называется центрально-симметричной. При я ^ -1 импульс находится у левого края интервала модуляции, а я ^ 1 - у правого края.

Формально коммутационная функция полумоста X - импульсная функция Хх(т) вида (1.5) или (1.7). Формула (1.7) проще для восприятия, так как базируется на классическом представлении о ШИМ, достаточно проста и программно реализуется при центрально-симметричной модуляции. Вместе с тем, при наличии смещения импульсов относительно центра интервала модуляции, программно проще реализуется формула (1.5). Скважность импульсов у рассматривается как функция времени ух(х) и называется модулирующей функцией полумоста, которая задает импульсную функцию Хх(т). Формирование импульсной периодической функции Хх(т), согласно выражению (1.7), иллюстрируется рисунком 1.4.

Рисунок 1.4 - Графическая иллюстрация к формированию импульсной функции

согласно выражению (1.7)

Периодическая импульсная функция может быть представлена рядом Фурье

Х^ Аа) = у + Ххс(V) • с°8(V •2 -л-т) + х^(V) • вш(V •2 -л-т), (1.8)

М

V = 1

где

Бт(л • V • (1 + у + 2 • Аа)) - Бт(л • V • (1 - у + 2 • Аа))

ХС (V)

Х (V) =

V •л

соб(л • V • (1 + у + 2 • Аа)) - соб(л • V • (1 - у + 2 • Аа))

V •л

Если начало координат находится в центре интервала модуляции, то

Бт(л • V • (у + 2 • Аа)) + Бт(л • V • (у - 2 • Аа))

ХС (V)

(V) =

V •л

соб(л • V • (у - 2 • Аа)) - соб(л • V • (у + 2 • Аа))

V •л

Амплитуда гармоники порядка V импульсной функции (1.5) определится выражением:

Хм =^Хс (V)2 +Х* (V)2 =^ • 8т(л-V •у).

Определенные в данном параграфе импульсные функции являются базисом, на основе которого формируются системы широтно-импульсного управления ПЭЭ, построенные на базе полностью управляемых электронных ключей. Способы задания периодической импульсной функции (коммутационной функции ключей) выражениями (1.5) и (1.7) определяют параметры импульса на интервале ШИМ.

Локальный начальный момент импульсной функции имеет вид:

1

Е{Х2} = |хх2 • ^т = ух .

о

Математическое ожидание импульсной функции (начальный момент первого порядка):

1

Е{Хх} = |хх • Лт = ух .

о

Если скважность импульсов является функцией времени, то математическое ожидание импульсной функции называется также модулирующей функцией.

Локальная дисперсия импульсной функции:

D{x x} = E{x x 2 - E{% x }2=y x • (1 -y x).

Локальная ковариация двух импульсных функций ха и Хв

cov{X a ' Х я} = min{y A > У 5 ) • Интегральная дисперсия импульсной функции - среднее значение локальной

дисперсии импульсной функции на периоде T1 модулирующей функции:

f *

ED = E{D{xх}} = Jyx • (1-Уx)• dx,

0

где f = Ti/To - относительная частота модуляции; T0 - период модуляции.

1.2. Свободные переменные управления ШИМ и уравнения их связи

Важнейшим элементом ПЭЭ является электронно-ключевой полумост (рисунок 1.5), состоящий их двух ключей, которые запитаны постоянным, модулированным напряжением Ц/. На рисунке 1.5 УИ - верхний ключ, а УЬ - нижний ключ.

М •-1

Рисунок 1.5 - Схема электронно-ключевого полумоста ПЭЭ

Потенциал нижнего ключа ф^ = 0. В качестве нагрузки используется приводной электродвигатель, который выполняет функции фильтра низкой частоты.

Однофазная модуляция на однофазной нагрузке выполняется одним полумостом. Двухфазная модуляция на однофазной нагрузке выполняется двумя полумостами. Схемы однофазной ШИМ с одним полумостом, представлены на рисунке 1.6, в которых потенциал флт узла N принят за ноль. Потенциал фм равен постоянному напряжению Ц > 0, называемому модулируемым. К среднему выводу

полумоста X подключается нагрузка. Нагрузка является фильтром низкой частоты. Второй вывод нагрузки может подключаться к некоторому потенциалу фо. Полагается, что ее схема замещения может быть представлена последовательным соединением индуктивности Ь и электрического сопротивления Я.

Схема на рисунке 1.6 является общей. Если положить ф0 = 0, то она становится эквивалентной схеме на рисунке 1.6, б, а если положить ф0 = ито она становится эквивалентной схеме на рисунке 1.6, в. Схемы на рисунке 1.6, б и на рисунке 1.6, в реализуют варианты однополярной модуляции, а схема, приведенная на рисунке 1.6, а при ф0 = иа/2 - двухполярную модуляцию.

Рисунок 1.6. Схемы однофазной ШИМ: а) двухполярной; б) и в) однополярной

Термин модуляция подразумевает дискретное изменение потенциала узла X путем включения-выключения электронных ключей. Полагается, что в процессе функционирования полумоста в каждый момент времени замкнут нижний ключ или верхний ключ. Управление ключами полумоста описывается коммутационной функцией:

X х =1

— + — + Да г - ф

V 2 2 х

л с ■ 1

—- — - Да г + ф

V 2 2 х

(1.9)

Если значение Хх = 1, то открыт верхний ключ. Если значение Хх = 0, то открыт нижний ключ. Суть модуляции иллюстрируется рисунком 1.7.

Рисунок 1.7 - Графическая иллюстрация к термину ШИМ

Если замкнут верхний ключ, то потенциал фх = Ц/. Если замкнут нижний ключ, то потенциал фх = 0. Модулированный потенциал полумоста, полученный в результате работы ключей, фх = Хх(т)- Ц/. В процессе модуляции должен быть сформирован желаемый (модулирующий) потенциал средней точки полумоста Гх(т). Модулированный потенциал фх(т) средней точки полумоста X , полученный в процессе модуляции, будет существенно отличаться от модулирующего потенциала полумоста Гх(х). Мгновенная ошибка модуляции по напряжению Лфх = фх(т) -Гх(т). Мгновенная относительная ошибка модуляции по напряжению

ЛУх = Лфх =Хх - Ух. (1.10)

Модуляция обеспечивает равенство нулю средней ошибки по напряжению

Аух на периоде модуляции. В этом случае должно выполняться равенство

1

Ух ={Ух • ^Ф, (1.11)

0

где ф = ф(т) е [0, 1] - левосторонняя периодическая пилообразная функция относительного времени т, определенная формулой (1.2). Использование известного выражения (1.11) для оценки скважности импульсов при создании алгоритмов управления электроприводами вычислительно неудобно. Поэтому найдем оценку скважности импульсов. Представим функцию ух(т), в силу ее гладкости, тремя слагаемыми ряда Тейлора в окрестности точки ф0 е [0, 1]:

Ух (к + ф) « Ух (к + Фо) + Ух' (к + Фо) ■ (Ф-Фо) + Ух" (к + Фо) ■ (ф-фо)2, (1.12)

где —х (к + ф0) и —х (к + ф0) — производная первого и второго порядка функции

ух(х) по относительному времени т в точке т = к + ф0.

Подставляя выражение (1.12) в формулу (1.11), получим оценку скважности импульса полумоста X:

—х х = Ух(к + фо) + х,

11 0 где й—х = ух (к + ф0) ■ (1/3 - ф0 + Фо ) - ошибка оценки скважности, обусловленная

допущением гладкости модулирующей функции.

Так как функция ух(т) на интервале модуляции достаточно гладкая, то можно

считать, что —х (к + ф0) в малой степени зависит от ф0 е [0, 1]. Тогда несложно заметить, что минимум ошибки

Ух'(к + фо) гх 12

достигается при ф0 = 1/2. Поэтому далее будем полагать, что скважность импульсов —х равна модулирующей функции yх(т), где т берется в середине интервала модуляции при ф0 = 1/2. Если положить, что —х (к + ф0) = о, то получим следующую оценку скважности импульса полумоста X:

—х х = Ух (к +1/2). (1.13)

Оценим погрешность приближенного равенства (1.13). Пусть, например,

Ух (т) = Ух (к + ф) =1 +1 ■

г 2-я-(к + ф)Л

Г

где ф е [0, 1]; /* — относительная частота модуляции, принимающая обычно значения большие 10. Можно показать, что модуль максимальной погрешности (1.10) на множестве значений к е [0, /*]

. | а -я2

ДУх = шах|—х -— х| ^

12 ■ /

*2 '

Из данного неравенства следует, что при /* > 10 погрешность формулы не превышает 1% и модулирующая функция полумоста —X=yх(т) позволяет сформировать потенциал среднего узла полумоста очень близким к желаемому на каждом интервале модуляции.

Свободные переменные ШИМ. В работе автора [73] показано, что коэффициенты смещения импульсов можно считать свободными переменными.

В общем случае потенциал нулевой точки ф0 может быть выбран произвольно. Примеры выбора значения потенциала нулевой точки ф0 = иа и ф0 = 0 приведены на рисунках 1.6, а и б. Отношение —0 = ф0/и называется далее нулевой потенциальной функцией. Кроме нулевой потенциальной функции удобно использовать связанную с ней функцию

Яо= 1/2-—о, (1.14)

которая в литературе называется функцией предмодуляции. Таким образом, функция предмодуляции также является свободной переменной ШИМ.

Будем полагать, что электронно-ключевой преобразователь состоит из полумостов, которые будем обозначать X = 1, 2, ..., т. Схема т-фазного электронно-ключевого преобразователя приведена на рисунке 1.8.

Рисунок 1.8. Схема т-фазного электронно-ключевого преобразователя

Коммутационная функция XX полумоста X, определенная выражением (1.9), зависит от модулирующей функции yх = —х и коэффициента смещения Дах, характеризующего положение импульса от центра интервала модуляции.

Коммутационные функции являются управляющими параметрами ШИМ электронно-ключевого преобразователя. Управляющие параметры ух и Лах (х = 1, 2, ..., т) делятся на две группы: параметры ух, характеризующие скважности импульсов и параметры Лах, задающие их положение на интервале ШИМ. Общее число управляющих параметров ШИМ т-фазного преобразователя равно 2-т.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Белоусов Игорь Владимирович, 2024 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. А. С. № 515245 СССР, МПК Н02Р 13/18. Способ управления тиристорами автономного трехфазного мостового инвертора напряжения / М.А. Житков, В.А. Добрускин; опубл. 1976, Бюл. № 19.

2. А. С. № 471646 СССР, МПК Н02Р 13/24. Способ управления трехфазным преобразователем частоты/ Г.С. Зиновьев, В.И. Попов, Е.И. Уланов; опубл. 25.05.75, Бюл. № 19.

3. А. С. № 748793 СССР, МПК Н02Р 13/18. Способ управления трехфазным мостовым инвертором/ В.А. Добрускин, А.Ю. Рождественский, М.А. Житков; опубл. 15.07.80, Бюл. № 26.

4. А. С. № 817980 СССР, МПК Н02Р 13/18. Способ управления трехфазным мостовым инвертором/ В.А. Добрускин, А.Ю. Рождественский; опубл. 30.03.81, Бюл. № 12.

5. А. С. № 864492 СССР, МПК Н02Р 13/18. Способ управления трехфазным мостовым инвертором/ В.А. Добрускин, А.Ю. Рождественский; опубл. 15.09.81, Бюл. № 34.

6. Андриянов, А.И. Сравнительная характеристика различных видов ШИМ по топологии областей существования периодических режимов /А.И. Андриянов, Г.Я. Михальченко // Электричество. - 2004. - №12. - С.46-54.

7. Анучин, А.С. Минимизация и распределение коммутационных потерь в инверторе напряжения при использовании алгоритма ШИМ с прогнозированием / А.С. Анучин и др. // Оптимизация управления в электроприводах. Доклад научно-технич. семинара. - М.: МЭИ, 2018. - 73 с.

8. Баховцев, И. А. Анализ и синтез энергооптимальных способов управления инверторами с ШИМ: автореф. дис... докт.техн.наук: 05.09.12 / Баховцев Игорь Анатольевич. - Новосибирск, 2017. - 36 с.

9. Баховцев, И.А. Обобщенный анализ выходной энергии многофазных многоуровневых инверторов напряжения с широтно-импульсной модуляцией / И.А. Баховцев, Г.С. Зиновьев // Электричество. - 2016. - № 4. - С. 26-33.

10.Белоусов, И.В. Мера качества широтно-импульсной модуляции / И.В. Белоусов,

B.Ф. Самосейко, А.В. Саушев // Труды международного симпозиума «Надежность и качество». - Пенза, 2018. - Т.1. - С. 310-312.

11.Белоусов, И. В. Оптимальная трехфазная широтно-импульсная модуляция / И.В. Белоусов, В.Ф. Самосейко // Вестник государственного университета морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова. - 2018. - Т. 10. - № 3. -

C. 575-585.

12. Белоусов, И.В. Сравнительный анализ методов широтно-импульсной модуляции / И.В. Белоусов, В.Ф. Самосейко, Л.М. Бровцинова // Вестник государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. - 2018. - Т. 10. - № 2. - С. 420-429.

13.Белоусов, И.В. Оптимальная двухфазная широтно-импульсная модуляция / И.В. Белоусов, В.Ф. Самосейко // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Электротехника, информационные технологии, системы управления. - 2018. - № 28. - С. 32-49.

14. Белоусов, И.В. Комбинированная оптимальная широтно-импульсная модуляция по критерию дисперсии тока в гребных электроприводах / И.В. Белоусов, В.Ф. Самосейко // Вестник государственного университета морского и речного флота им. адмирала С.О. Макарова. - 2018. - Т.10. - №4. - С. 841-856.

15. Белоусов, И.В. Динамическое управление частотой модуляции в системе преобразователь частоты-гребной электродвигатель / И.В. Белоусов, Ф.А. Гельвер,

B.Ф. Самосейко // Электроника и электрооборудование транспорта. - 2019. -№2. - С. 39-43.

16.Белоусов, И.В. Оптимальная широтно-импульсная модуляция в системе управления электроприводом / И.В. Белоусов, В.Ф. Самосейко, А.В. Саушев // Вестник государственного университета морского и речного флота им. адмирала

C.О. Макарова. - 2022. - Т.14. - №3. - С. 463-471.

17.Белоусов, И.В. Критерий оптимальной широтно-импульсной модуляции в системе преобразователь-двигатель / И.В. Белоусов, В.Ф. Самосейко, А.В.

Саушев // Труды международного симпозиума «Надежность и качество». -Пенза, 2022. - Т.1. - С. 34-36.

18.Берестов, В.М. Алгоритм управления многоуровневым инвертором напряжения / В.М. Берестов, С.А. Харитонов // Электротехника. - 2007. - № 11. - С. 7-15.

19.Богдашев, А.В. Синтез алгоритмов управления инверторами с ШИМ по критерию снижения коммутационных потерь / А.В. Богдашев, М.С. Каплун, Г.В. Ря-зановский, Я.В. Чупин // Автоматизированный электропривод промышленных установок: Межвуз. сб. научн. трудов. - Новосибирск: НЭТИ, 1989. - С 25-33.

20.Брованов, С.В. Оптимизация пространственно-векторного алгоритма управления для NPC-типа преобразователей / С.В. Брованов // Материалы IX Международной конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения. АПЭП-2008". - Новосибирск: Новосибирский государственный технический университет, 2008. - С. 26-29.

21.Булатов, О.Г. Автономные тиристорные инверторы с улучшенной формой выходного напряжения / О.Г. Булатов, В.И. Олещук. - Кишинев: Штиинца, 1980. - 113 с.

22.Вершинин В.И. Построение гребного электропривода на базе вентильного двигателя с широтно-импульсной модуляцией / В.И. Вершинин, А.Н. Богданов // Морской вестник. - 2015. - № 2 (54). - С. 71.

23.Вертегел, Д.А. Прецизионный электропривод на базе многофазного инвертора с пространственно-векторной модуляцией / Д.А. Вертегел, А.А. Усольцев, В.С. Томасов // Известия высших учебных заведений Приборостроение. - 2020. - Т. 63. - № 7. - С. 600-610.

24. Васильев, Б.Ю. Модуляционные алгоритмы управления полупроводниковыми преобразовательными устройствами/ Б.Ю. Васильев, В.С. Добуш // Электротехника. - 2015. - № 4. - С. 12-19.

25.Васильев, Б.Ю. Обеспечение режима перемодуляции и повышение эффективности преобразования энергии в силовых автономных инверторах электроприводов / Б.Ю. Васильев // Электричество. - 2015. - № 6. - С. 47-55.

26. Васильев, Б.Ю. Повышение эффективности работы силовых полупроводниковых преобразователей на основе векторных алгоритмов управления / Б.Ю. Васильев // Электричество. - 2014. - № 9. - С. 44-51.

27. Виноградов, А.Б. Новые алгоритмы пространственно-векторного управления матричным преобразователем частоты / А.Б. Виноградов // Электричество. -2008. - №3. - С.41-52.

28. Виноградов, А.Б. Векторное управление электроприводами переменного тока / А.Б. Виноградов. - Иваново: ГОУ ВПО Ивановский государственный энергетический уни-верситет имени В.И. Ленина», 2008. - 298 с.

29.Гельвер, Ф.А. Фильтрующие свойства электрических машин при широтно-импульсной модуляции / Ф.А. Гельвер, И.В. Белоусов // Вестник государственного университета морского и речного флота им. адмирала С.О. Макарова. - 2018. -Т.11. - №1. - С. 182-192.

30.Гельвер, Ф.А. Понятия, термины и определения в ключевой электронной технике / Ф.А. Гельвер, И.В. Белоусов, В.Ф. Самосейко // Труды Крыловского государственного научного центра. - 2020. - № 1 (391). - С. 133-139.

31.Гельвер, Ф.А. Способы повышения качества синтезируемого напряжения каскадного преобразователя частоты / Ф.А. Гельвер, И.В. Белоусов, В.Ф. Само-сейко // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Электротехника, информационные технологии, системы управления. - 2020. - № 33. - С. 21-45.

32. Герман-Галкин, С.Г. Модельное исследование основных характеристик силовых полупроводниковых преобразователей. Моделирование устройств силовой электроники / С.Г. Герман-Галкин // Силовая электроника. - 2008. - №1. - С. 92-99.

33.Демкин, В.И. Быстрый метод пространственно-векторной широтно-импульс-ной модуляции / В.И.Демкин, А.А. Бодрова, В.И.Логвин, Б.И. Звягинцев // Молодой ученый. - 2015. - №22 (102). - С. 137-141.

34.Дмитриев, Б.Ф. Обоснование и выбор инвертора напряжения при реализации однофазных источников бесперебойного питания для средств судовой

автоматики: IV Научный форум телекоммуникации: теория и технологии ТТТ-2020 / Б.Ф. Дмитриев, С.Я. Галушин, А.Н. Калмыков, К.В. Балицкая // Материалы XVIII Международной научно-технической конференции (ТТТ-2020) -Самара: ПГУТИ, 2020. - С. 268-269.

35. Дмитриев, Б.Ф. Трехфазная синусоидальная модифицированная широтно-импульсная модуляция первого рода в автономных инверторах / Б.Ф. Дмитриев, С.Я. Галушин, А.М Лихоманов, А.Ю. Розов // Морской вестник. - 2017. -№ 1 (61). - С. 69-72.

36.Донской, Н.В. Двухфазная широтно-импульсная модуляция в автономных инверторах напряжения / Н.В. Донской, К.А. Чубуков // Нелинейный мир. - 2009.

- Т. 7. - № 9. - С. 684-688.

37.Дунаев, М.П. Моделирование однофазного двухуровневого автономного инвертора напряжения с частотно-импульсной модуляцией / М.П. Дунаев, С.У. Довудов // Информационные и математические технологии в науке и управ-ле-нии. - 2020. - Т. 2. - С.134-143.

38.Дунаев, М.П. Сравнение энергоэффективности схем автономных инверторов напряжения с синусоидальной широтно-импульсной и частотно-импульсной модуляцией / М.П. Дунаев, С.У Довудов. // Электротехнические системы и комплексы. - 2021. - № 4 (53). - С. 50-55.

39. Зиновьев, Г.С. Прямые методы расчета энергетических показателей вентильных преобразователей / Г.С. Зиновьев. - Новосибирск: НГТУ, 1990. - 220 с.

40.Изосимов, Д.Б. Алгоритмы векторной ШИМ трехфазного автономного инвертора напряжения / Д. Б. Изосимов, С.В. Байда // Электротехника. - 2004. - № 4.

- С. 21-31.

41.Кобзев, А.В. Многозонная импульсная модуляция / А.В. Кобзев. - Новосибирск: Наука, 1979. - 350 с.

42.Кудрявцев, А.В. Оптимизация ШИМ многоуровневых преобразователей частотно-регулируемого электропривода / А.В. Кудрявцев, О.Б. Шонин // Записки Горного института. - 2012. - Т.195. - С. 265-267.

43. Лазарев, Г.Б. Высоковольтные преобразователи для частотно-регулируемого электропривода. Построение различных схем / Г.Б. Лазарев // Новости электротехники. - 2005. - №.2(32). - С. 30-36.

44.Лукошин, И.В. Классификация и особенности режимов широтно-импульсной модуляции, применяемых в импульсных транзисторных преобразовтелях и регуляторах электроэнергии / И.В. Лукошин // Практическая силовая электроника

- 2023. - №4 (92). - С. 15-22.

45.Коротков, А.А. Новый алгоритм векторного формирования ШИМ высоковольтного преобразователя с минимизацией коммутационных потерь /А.А. Корот-ков, А.Б. Виноградов. - Иваново: ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина», 2008. - 298 с.

46. Обухов, С.Г. Широтно-импульсная модуляция в трехфазных инверторах напряжения /С.Г. Обухов, Е.Е. Чаплыгин, Д.Е. Кондратьев // Электричество. - 2008.

- № 8. - С. 23-31.

47. Орлов, Ю.И. Поисковый алгоритм оптимизации выходного напряжения инвертора / Ю.И. Орлов, Ю.Н. Петренко // Техническая электродинамика. - 1986. -№ 4. - C. 50-57.

48.Писарев, А.Л. Управление тиристорными преобразователями / А.Л. Писарев, Л.П. Деткин. - М.: Энергия, 1975. - 264 с.

49. Самосейко, В.Ф. Теоретические основы управления электроприводом / В.Ф. Самосейко. - СПб: Элмор, 2007. - 464 с.

50.Саушев, А.В. Неполнофазные алгоритмы широтно-импульсной модуляции трехфазных напряжений в системах частотного управления электроприводами /А.В. Саушев, И.В. Белоусов, Е.В. Бова, А.Ю. Румянцев // Инновационные транспортные системы и технологии. - 2024. - Т. 10. - № 2. - С. 231-246.

51. Саушев, А.В. Неполнофазные алгоритмы двухфазной широтно-импульсной модуляции в системе «преобразователь электрической энергии-электродвигатель» / А.В. Саушев, И.В. Белоусов, В.Ф. Самосейко, О.М. Толокнова // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического

университета. Электротехника, информационные технологии, системы управления. - 2024. - № 50. - С. 126-145.

52.Саушев, А.В. Перемодуляция в трехфазных электронно-ключевых мостах системы преобразователь-электродвигатель / А.В. Саушев, И.В. Белоусов, В.Ф. Самосейко // Вестник ИГЭУ. - 2024. - №. 4. - С. 87-94.

53. Сидоров, С. Матричный преобразователь частоты - объект скалярного управления / С. Сидоров // Силовая электроника. - 2009. - № 3. - С. 31-35.

54.Слепов, Н. Н. Широтно-импульсная модуляция / Н.Н. Слепов, Б.В. Дроздов. -М.: Энергия, 1978. - 192 с.

55. Смоляков, С.В. Оптимальное регулирование выходного напряжения преобразователей частоты при широтно-импульсной модуляции / С.В. Смоляков, В.О. Костенко // Проблемы преобразовательной техники - Киев: ИЭД АН УССР, 1983. - Т.2. - а 15-18.

56. Сравнительный анализ энергетических показателей алгоритмов управления высоковольтным многоуровневым преобразователем / А. Б. Виноградов, А. Н. Сибирцев, А.А. Коротков, Д.А. Монов // Труды VII Междунар. (XVIII Всерос.) конференции по автоматизированному электроприводу (АЭП—2012). - Иваново, 2012. - С. 109-113.

57.Титяев, Д.К. Сравнительный анализ векторной и традиционной ШИМ. Автома-тизащя технолопчних об'еклв та процешв. Пошук молодих / Д.К. Титяев, Д.Н. Мирошник // Збiрник наукових праць IV Мiжнародноi науково-техшчно!' кон-ференцп асшранлв та студенев в м. Донецьку 11-14 травня 2004 р. - Донецьк: ДонНТУ, 2004. - С. 301-306.

58.Тихомиров, В.А. Сравнительный анализ гармонического состава сетевого тока управляемых выпрямителей и преобразователей частоты / В.А. Тихомиров, С.В. Хватов // Труды Нижегородского государственного технического университета им. Р. Е. Алексеева. - 2011. - №3 (90). - С. 204-214.

59.Томасов, В.С. Исследование пульсаций электромагнитного момента в прецизионном сервоприводе при синусоидальной широтно-импульсной модуляции / В.С. Томасов, А.А. Усольцев, Д.А. Вертегел, К.М. Денисов // Научно-

технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2019. -Т. 19. - № 2(120). - С. 359-368.

60.Томасов, В.С. Использование пространственно-векторной ШИМ с переменной частотой модуляции в многоуровневых инверторах систем прецизионного электропривода / В.С. Томасов, А.А. Усольцев, Д.А. Вертегел, К.М. Денисов// Известия высших учебных заведений. Приборостроение. - 2019. -Т. 62. - № 5.

- С. 355-363.

61.Тонкаль, В.Е. Способы улучшения качества выходного напряжения ав-тоном-ных инверторов / В.Е. Тонкаль, К.А. Липковский, Л.П. Мельничук. - Киев, 1972. - 92 с. (АН УССР; ИЭД, № 49).

62. Тонкаль, В.Е. Полупроводниковые преобразователи модуляционного типа с промежуточным звеном повышенной частоты / В.Е. Тонкаль, Л.П. Мельничук, А.В. Новосельцев, Ю.И. Дыхненко. - Киев: Наук. думка, 1981. - 252 с.

63.Тонкаль, В.Е. Синтез автономных инверторов модуляционного типа /В.Е. Тонкаль. - Киев: Наук. Думка, 1979. - 207 с.

64. Федоров, С.В. Способы широтно-импульсной модуляции на основе сравнения синхронизирующих сигналов с сигналами модуляции матричных преобразователей частоты / С.В. Федоров, А.В. Бондарев // Вестник Оренбургского государственного университета. Инженерно-технические науки. - 2014. - №3(164)

- С. 180 -186.

65. Филатов, В. Двух- и трехуровневые инверторы на IGBT. Перспективные ре ше-ния. / В. Филатов // Силовая электроника. - 2012. - Т.4. - № 37. - С. 38-41.

66.Фираго, Б.И. Сравнительный анализ способов широтно-импульсной модуляции автономных инверторов напряжения / Б.И. Фираго, С.Н. Павлович, Э. Креспо // Известия вузов. Электромеханика. - 1990. - № 2. - C. 97-101.

67.Халас, Ш. Оптимизация управления инверторами напряжения в асинхронном электроприводе / Ш. Халас // Электричество. - 1993. - № 1. - C. 43-48.

68.Хухтиков, С.В. Исследование и разработка инверторов напряжения с ШИМ с пассивной фазой: автореф. дис... канд. тех. наук: 05.09.12 / Сергей Виталевич Хухтиков. - Москва, 2013. - 20 с.

69. Чаплыгин, Е.Е. Широтно-импульсная модуляция с пассивной фазой в трехфазных инверторах напряжения / Е.Е. Чаплыгин, С.В. Хухтиков // Электричество. - 2011. - № 5 - С. 53-61.

70.Чаплыгин, Е.Е. Двухфазная широтно-импульсная модуляция в трехфазных инверторах напряжения / Е.Е. Чаплыгин // Электричество. - 2009 - № 8. - С. 5661.

71.Чепига, А.А. Разработка универсальной системы управления каскадным многоуровневым пребразователем. В сборнике: САПР и моделирование в современной электронике / А.А. Чепига, А.С. Анучин // Сборник научных трудов V Международной научно-практической конференции. Брянск, 2021. - Барнаул: Новый формат, 2021. - С. 144-147.

72.Чубуков, К.А. Сравнение синусоидальной и векторной широтно-импульсной модуляции в электроприводах с автономным инвертором напряжения / К.А. Чубуков // Труды академии электротехнических наук Чувашской республики. -2008. - №1. - С. 80-82.

73.Широтно-импульсные преобразователи электрической энергии: монография / И.В. Белоусов [и др.]. - СПб.: ФГУП «Крыловский государственный научный центр», 2019. - 226 с.

74.Юдинцев, А.Г. Система управления трехфазным автономным инвертором с векторной широтно-импульсной модуляцией / А.Г. Юдинцев, В.М. Рулевский // Фундаментальные исследования. - 2015. - № 5. - С. 168-173.

75.Albatran S. Comprehensive mathematical description and harmonic analysis of hybrid two-dimensional-three-dimensional space vector modulation / S. Albatran, Y. Fu, A. Albanna// IEEE Transactions on Industrial Electronics. - 2014. - Vol. 61, No. 7. - pp. 3327-3336.

76.AL-Rawi1 O.Y. Switching angle optimization based genetic algorithms for harmonic reduction in three phase PWM strategy / O.Y. AL-Rawi1, A.H. Shallal, M.S. Salih // Diyala Journal of Engineering Sciences. - 2011. - Vol. 04, No. 01. - pp. 83-94.

77.Balagurov M.V. The universal control system for semiconductor converters with PWM / M.V. Balagurov, A.V. Sidorov, D.V. Korobkov, M.A. Zharkov, D.A. Shtein,

I.O. Bessonov// 16 International conference of young specialists on micro/nanotech-nologies and electron devices (EDM) : [proc.], Altai, Erlagol, 29 June - 3 July 2015.

- IEEE, 2015. - pp. 379-383.

78.Belousov, I.V. Assessment of filtering properties of asynchronous electric drive with pulse width modulation /_I.V. Belousov, V.F. Samoseiko, A.V. Saushev // XV International Scientific Conference on Precision Agriculture and Agricultural Machinery Industry «State and Prospects for the Development of Agribusiness - INTERAGRO-MASH. - 2022. - Vol. 363. - art. no. 1025.

79.Belousov, I.V., Gelver F.A. Determination of Parameters and Limiting Characteristics of a Synchronous Reluctance Motor / I.V. Belousov_// Lecture Notes in Networks and Systems. International Scientific Siberian Transport Forum TransSiberia. -2022.- Vol 402 LNNS. - pp. 1417-1425.

80.Bendre A.A. current source PWM inverter with actively commutated SCRs/A.A. Bendre, I. Wallace, J. Nord, G. Venkataramanan// IEEE Transactions on Power Electronics. - 2002. - Vol. 17, No. 4. - pp. 461-468.

81.Boller T. Optimal Pulsewidth Modulation of a Dual Three-Level Inverter System Operated from a Single DC/ T. Boller, J. Holtz, A.K. Rathore// IEEE Energy Conversion Congress and Exposition - ECCE, 2011. - pp. 3406-3410.

82.Bowes S. R. Suboptimal switching strategies for microprocessor controlled PWM inverter drives/ S. R. Bowes, A. Midoun// IEE Proceedings Vol. 132, Pt. B, No. 3, May 1985. pp. 133-148.

83.Buja G. Improvement of pulse width modulation techniques / G. Buja, G. Indr I. // Archiv fur Elektrotechnik, - 1975. - Vol. 57. - pp. 281-289.

84.Çetin N.O. Scalar PWM implementation methods for three-phase three-wire inverters/ N.O. Çetin, A.M. Hava// Electrical and Electronics Engineering. - ELECO 2009.

- International Conference on Publication Year. - 2009. - pp. I447- I451.

85.Da Silva E.R. Pulsewidth modulation strategies: nonsinusoidal Carrier-based PWM and space vector modulation techniques/ E.R.C. da Silva, E.C. dos Santos, JR., C.B. Jacobino// IEEE Industrial Electronics Magazine. - June 2011. - pp. 37-45.

86.Dahidah M.S.A. Selective harmonic elimination PWM control for cascaded multilevel voltage source converters: a generalized formula/ M.S.A. Dahidah, V.G. Age-lidis// IEEE Transactions on Power Electronics. -2008. - Vol. 23, No. 4. - pp. 16201630.

87.Deng Y. Multilevel PWM Methods based on Control Degrees of Freedom Combination and Its Theoretical Analysis/ Y. Deng, H. Wang, C. Zhang, L. Hu, X. He/Industry Applications Conference, 2005. Fortieth IAS Annual Meeting. Conference Record of the 2005, Vol. 3. - pp. 1692-1699.

88.Espinoza J.R. Selective Harmonic Elimination and Current/Voltage Control in Current/Voltage-Source Topologies: A Unified Approach/ J.R. Espinoza, G. Joós, J.I. Guzmán, L.A. Morán, R.P. Burgos / IEEE Transactions on Industrial Electronics. -2001, Vol. 48, No. 1. - pp. 71-81.

89.Garces L.J. Current control of field oriented AC induction motor drives/ L.J. Garces// An IEEE Tutorial:Microprocessor Control of Motor Drives and Power Converters. Canada. Toronto. - 1993. - pp. 5 - 46.

90.Gelver, F.A. Control of a six-phase synchronous reluctance motor / F.A. Gelver, I.V. Belousov, V.F. Samoseiko // XV International Scientific Conference on Precision Agriculture and Agricultural Machinery Industry «State and Prospects for the Development of Agribusiness - INTERAGROMASH. - 2022. - Vol. 363. - art. no. 01024.

91.Gelver, F.A. Methods and Algorithms for Controlling Cascade Frequency Converter with High-Quality of Synthesized Voltage / F.A. Gelver, I.V. Belousov, A.V. Saushev // In book: International Scientific Conference Energy Management of Municipal Facilities and Sustainable Energy Technologies EMMFT, 2019, pp.375-387.

92.Gelver, F.A. Practice and Prospects for Implementing an Electric Drive Based on a Reluctance Machine with Magnetically Anisotropic Conductive Rotor / F.A. Gelver, I.V. Belousov, V.F. Samoseiko, A.V. Saushev // Proceedings - International Ural Conference on Measurements. International Ural Conference on Electrical Power Engineering (UralCon). - 2021. - Pp. 424-428.

93.Generalised sinusoidal PWM with harmonic injection for multi-phase VSIs/ A. Iqbal, E. Levi, M. Jones, S.N. Vukosavic // Proc. IEEE Power Elec. Spec. Conf. PESC, Jeju, Korea. - 2006. - pp. 2871-2877.

94.Graditi G. Overmodulation control of five-phase inverters with full DC-bus voltage utilization/ G. Graditi, G. Griva, V. Oleschuk// SPEEDAM 2010. - pp. 1150-1155.

95. H. Van Der Broeck, H. Skudelny, and G. Stanke, "Analysis and realization of a pulse width modulator based on voltage space vectors," in IEEE-IAS Conf. Records, Denver, USA, 1986, pp. 244-251.

96.Hava A.M., A High Performance Generalized Discontinuous PWM Algorithm/ A.M. Hava, R.J. Kerkman, T.A. Lipo // IEEE Applied Power Electronics Conference Atlanta, Georgia. - February 1997. - Vol. 2. - pp. 886 - 891.

97.Hava A.M. A Generalized Scalar PWM Approach with Easy Implementation Features for Three-Phase, Three-Wire Voltage-Source Inverters/ A.M. Hava, N.O. Çetin// IEEE Transactions on Power Electronics. Vol.26. No. 5. 2011. pp. 1385-1395.

98.Hava A.M. Performance Analysis of Reduced Common-Mode Voltage PWM Methods and Comparison with Standard PWM Methods for Three-Phase Voltage-Source Inverters/ A.M. Hava, E. Un// IEEE Transactions on Power Electronics. - 2009. -Vol. 24, No. 1. - pp. 241-252.

99.Hava A.M. Simple Analytical and Graphical Methods for Carrier-Based PWM-VSI Drives/ A.M. Hava, R.J. Kerkman, T.A. Lipo // IEEE Transactions on Power Electronics. - 1999. - Vol. 14, No 1. - pp. 49-61.

100. Holmes D.G. Pulse width modulation for power converters: Principles and Practice/ D.G. Holmes, T.A. Lipo - New-York: Wiley-IEEE Press, 2003. - 734 p.

101. Holtz J. On Continuous Control of PWM Inverters in the Overmodulation Range Including the Six-Step Mode/ J. Holtz, W. Lotzkat, A.M. Khambadkone // IEEE Transactions on Power Electronics. - 1993. - Vol. 8, No. 4. - pp. 546-553.

102. Holtz J. Optimal Control of a Dual Three-Level Inverter System for Medium-Voltage Drives/ J. Holtz, N. Oikonomou// Journal: IEEE Transactions on IndustryAppli-cations - IEEE Transactions on Industry Applications. - 2010. - Vol. 46, No. 3. - pp. 1034-1041.

103. Holtz J. Pulsewidth modulation for electronic power conversion/ J. Holtz// Proceedings of the IEEE. - 1994. - Vol. 82, No. 8. - pp. 1194-1214.

104. Houldsworth J.A. The use of harmonic distortion to increase the output voltage of a three-phase PWM inverter/ J. A. Houldsworth and D.A. Grant// IEEE Trans. on Industry Applications. - September/October 1984. - pp. 1224 - 1228.

105. Jacobina C.B. Digital Scalar Pulse-Width Modulation: A Simple Approach to Introduce Non-Sinusoidal Modulating Waveforms/ C.B. Jacobina, A.M.N. Lima, E.R.C. da Silva, R.N.C. Alves, P.F. Seixas// IEEE Transactions on Power Electronics. - 2001. - Vol. 16, No. 3. - pp. 351-359.

106. Jeevananthan S. Inverted Sine Carrier for Fundamental Fortification in PWM Inverters and FPGA Based Implementations/ S. Jeevananthan, R. Nandhakumar, P. Dananjayan// Serbian Journal of Electrical Engineering. - 2007. - Vol. 4, No. 2. - pp. 171-187.

107. Kato T., Inoue K., Taniyama Y., Yamada K. Optimum reduction of switching losses based the two-phase PWM modulation method for two-level inverter// IEEE 13ht Workshop on Control and Modeling for Power Electronics (COMPEL), 2012.

108. Kerkman R.J., Leggate D., Seibel B.J., Rowan T.M. Operation of PWM voltage source inverters in the overmodulation region. - IEEE Transactions on Industrial Electronics. - 1996. - Vol. 43, No 1. - pp. 132-141.

109. King. K.G. A three phase transistor class-b inverter with sinewave output and high efficiency/ K.G. King// Inst. Elec. Eng. Conf. Publ. 123, 1974, pp. 204-209.

110. Kolmakov N.M. Application of Hysteresis Voltage Control for Three-Level Neutral Point Clamped Voltage Source Inverter/ N.M. Kolmakov, I.A. Bakhovtsev, T. Jalakas// 56th International Scientific Conference on Power and Electrical Engineering of Riga Technical University (RTUCON—2015), ISBN978-1-5090-0334-1. -pp. 195-198.

111. Kolmakov N.M. Modulation features of VSI with hysteresis voltage control/ N.M. Kolmakov, I.A. Bakhovtsev// XII International Conference and Seminar on micro/ nanotechnologies and electron device (EDM—2011). - Erlagol, Altai. - June 30 -July 4. - pp. 471-475.

112. Kumar R. High-Performance SVPWM-VCIM Drive with Adaptive Neuro-Fuzzy Speed Controller/ R. Kumar, R.A. Gupta, R.S. Surjuse// International Journal of Computer and Electrical Engineering. - 2010. - Vol. 2, No. 1. - pp. 1793-8163.

113. Kwasinski A. Time Domain Comparison of Pulse-Width Modulation Schemes/ A. Kwasinski, P.T. Krein, P.L. Chapman// IEEE Power electronics letters. - 2003. - Vol. 1, No. 3. - pp. 64-68.

114. López O. Multilevel Multiphase Space Vector PWM Algorithm/ O. López, J. Ál-varez, J. Doval-Gandoy, F.D. Freijedo// IEEE Transactions on Industrial Electronics. - 2008. - Vol. 55, No. 5. - pp. 1933-1942.

115. Madhavi R. Investigation of various space vector pwm techniques for inverter/International Journal of Engineering Research And Management (IJERM)/ R.Madhavi,

C.Harinath// ISSN : 2349- 2058. -2014. - Vol. 1. - Is. 7. - pp. 162 -165.

116. Mao X. Optimal variable switching frequency scheme for reducing switchingloss in single-phase inverters based on time-domain ripple analysis/ X. Mao, R. Ayyanar, H. Krishnamurthy// IEEE Transactions on Power Electronics. - 2009. - Vol. 24, No. 4. - pp. 991-1001.

117. Mathe L. Shaping the spectra of the line-to-line voltage using signal injection in the common mode voltage/ L. Mathe, P.O. Rasmussen, J.K. Pedersen// Industrial Electronics, 2009. IECON '09. 35th Annual Conference of IEEE. - pp. 1288-1293.

118. McGrath B.P. An analytical technique for the determination of spectral components of multilevel carrier-based PWM methods/ B.P. McGrath, D.G. Holmes// IEEE Trans. Ind. Electron. - 2002. - Vol. 49, №4. - pp. 847-857.

119. McGrath B.P. Multilevel PWM strategies for multilevel inverters/ B.P. McGrath,

D.G. Holmes// IEEE Trans. Ind. Electron. - 2002. - Vol. 49, №4. - pp. 858-867.

120. McGrath B.P. Optimized Space Vector Switching Sequences for Multilevel Inverters/ B.P. McGrath, D.G. Holmes, T.A. Lipo// IEEE Transactions on Power Electronics. -2003. - Vol. 18, No. 6. - pp. 1293-1301.

121. Meco-Gutiérrez M.J. Reduction in induction motor heating fed by a new PWM technique: results obtained in laboratory experiments/ M.J. Meco-Gutiérrez, A. Ruiz

Gonzalez, F. Vargas-Merino, J.R. Heredia-Larrubia // University of Malaga (Spain), October 2003.

122. Mohseni M. A New Vector-Based Hysteresis Current Control Scheme for Three-Phase PWM Voltage-Source Inverters/ M. Mohseni, S.M. Islam// IEEE Transactions on Power Electronics. - 2010. - Vol. 25, No. 9. - pp. 2299—2309.

123. Morrison C. Comparison of single- and double-sided pulse width modulated sig-nalswith non-linear predistortion/ C. Morrison, S. Weiss, M.D. Macleod, R.W. Stewart // Proceedings of the 5th European DSP Education and Research Conference, 2012. - pp. 271-275.

124. Nagarajan R. Performance Analysis of Multicarrier PWM Strategies for Cascaded Multilevel Inverter/ R. Nagarajan, M. Saravanan// European Journal of Scientific Research. - 2012. - Vol. 92, No. 4. - pp. 608-625.

125. Nayeemuddin M. Space Vector Based High Performance Discontinuous Pulse Width Modulation Algorithms for VSI Fed AC Drive, Innovative Systems Design and Engineering/ M. Nayeemuddin, C. Rao// ISSN 2222-1727 (Paper) ISSN 22222871 (Online). 2016. - Vol. 7. - No. 7. - pp. 31 - 40.

126. Oh S.-Y. Harmonic-Spectrum Spreading Effects of Two-Phase Random Centered Distribution PWM (DZRCD) Scheme With Dual Zero Vectors/ S.-Y. Oh, Y.-G. Jung, S.-H. Yang, Y.-C. Lim// IEEE Transactions on Industrial Electronics. — 2009. - Vol. 56, no. 8. - pp. 3013—3020.

127. Ojo O. The generalized discontinuous PWM scheme for three-phase voltage source inverters / O. Ojo// IEEE Trans. Ind. Electron. - Dec. 2004. - pp. 1280 - 1289.

128. Rathore A.K. Synchronous Optimal Pulsewidth Modulation for Low-Switching-Frequency Control of Medium Voltage Multilevel Inverters/ A.K. Rathore, J. Holtz, T. Boller// Journal: IEEE Transactions on Industrial Electronics - 2010. - Vol. 57, No. 7. - pp. 2374-2381.

129. Ryu H.-M. Analysis of Multiphase Space Vector Pulse-Width Modulation Based on Multiple d-q Spaces Concept/ H.-M. Ryu, J.H. Kim, S.-K. Sul// IEEE Transactions on Power Electronics. - 2005. - Vol. 20, No. 6. - pp. 1364-1371.

130. Samoseiko, V.F. Optimal Pulse-Width Modulation with Three Bridges on Criterion of Power Losses at Load / V.F. Samoseiko, I.V. Belousov, A.V. Saushev // 2019 International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing (ICIEAM), 2019. - art. no. 8743011.

131. Samoseiko, V.F. Asynchronous Motor Control Algorithm with Parameter Identification / V.F. Samoseiko, A.V. Saushev, N.V. Belousova // International Ural Conference on Electrical Power Engineering, UralCon, 2019. Pp. 284-289.

132. Samoseiko, V.F. Optimal Double-Halfbridge Pulse Width Modulation by Current-Dispersion Criterion / V.F. Samoseiko, I.V. Belousov, A.V. Saushev // 26th International Workshop on Electric Drives: Improvement in Efficiency of Electric Drives (IWED), 2019. - art. no. 8664344.

133. Schonung A. Static frequency changers with subharmonic control in conjunction with reversible variable speed a.c. drives/ A. Schonung, H. Stemmler - Brown Boweri Rev. - Aug./Sept. 1964. - Vol. 51. - pp. 555-577.

134. Schorner J. Bezugsspannung zur umrichtersteuerung/ J. Sch'orner// ETZb. - 1975. - Bd. 27. - pp. 151 - 152.

135. S. Wei, B. Wu, A. General space vector PWM control algorithm for multilevel inverters, Eighteenth Annual IEEE on Applied Power Electronics Conference and Exposition, APEC'03, 9-13 Feb. 2003, Vol. 1, pp. 562-568.

136. Takashi I. A new control of PWM inverter for minimum loss operation of an induction motor drive/ I. Takashi, H. Mochikawa// IEEE Transactions Industry Applications. - 1985. - Vol. 21, № 3. - pp. 580-587.

137. Tan GJ. An optimized SVPWM strategy for five-level active NPC (5L-ANPC) converter/ Deng QW, Liu Z.// IEEE Trans Power Electron. - 2014. - Vol. 29. - Is. 1. pp. 386 - 395.

138. Tao XU. Global synchronous discontinuous pulse width modulation method with fast calculation capability for distributed three-phase inverters / XU Tao, WEI Ran, ZHOU Ke, GAO Feng// J. Mod. Power Syst. Clean Energy (2016) 4(1): pp. 103-112.

139. Tenca P. Current Source Topology for Wind Turbines With Decreased Mains Current Harmonics, Further Reducible via Functional Minimization / P. Tenca, A. A.

Rockhill, T.A. Lipo, P. Tricoli// IEEE Transactions on Power Electronics. - 2008. -Vol. 23, No. 3. - pp. 1143-1155.

140. Tente P. A quasi analytical procedure for determing the optimum commutation angles of PWM converters/ P. Tente// Archiv fur Elecktrotechnik. - 1980. - V. 62, № 6. - pp. 343-350.

141. Tian K. A New Space Vector Modulation Technique for Common-Mode Voltage Reduction in both Magnitude and Third-Order Component/ K. Tian, J. Wang, B. Wu, D. Xu, Z. Cheng, N.R. Zargari// Energy Conversion Congress and Exposition (ECCE), IEEE, 2014. - pp. 5472-5478.

142. Tomasov V.S. Optimized Space-Vector Modulation Schemes for Five-Phase Precision Low-Speed Drives with Minimizing the Stator Current Ripple // V.S. Tomasov, A.A. Usoltcev, D.A. Vertegel, P. Szczepankowski, R. Strzelecki, N. Poliakov // 14th International Conference on Compatibility, Power Electronics and Power Engineering 2020 -pp. 279-284.

143. Tomasov V.S. Comparative analysis of the energy efficiency of the scalar and space-vector PWM in a three-phase inverter // V.S. Tomasov, A.A. Usoltcev / Russian Electrical Engineering - 2014, Vol. 85, No. 2, pp. 111-114.

144. Tomasov V. The effect of space vector modulation algorithm on characteristics of three-phase voltage inverter for drives of optical telescopes / V. Tomasov, A. Usoltsev. P. Zolov, P. Gribanov // Bulletin of the Polish Academy of Sciences: Technical Sciences. 2017. Vol. 65. - No 5. - pp. 629-637.

145. Van Der Broeck, H. Skudelny, G. Stanke. Analysis and realization of a pulse width modulator based on voltage space vectors. IEEE-IAS Conf. Records. Denver, USA, 1986, pp. 244-251.

146. Venkatesha K. Analysis of Symmetrical & Asymmetrical PWM Based Single Phase AC to AC Converter for Power Quality Improvement/ K Venkatesha., H. A. Vidya// International Journal of Advanced Research in Electrical, Electronics and Instrumentation Engineering, September. - 2016. - Vol. 5, No. 9 - pp. 7225-7232.

147. Xu Tao. Global synchronous discontinuous pulse width modulation method with fast calculation capability for distributed three-phase inverters / Xu Tao, Wei Ran, Gao Feng// J. Mod. Power Syst. Clean Energy. - 2016. - Vol. 4. - pp. 103-112.

148. Zhang W.-F. Comparison of Three SVPWM Strategies/ Wei-Feng Zhang, Yue-Hui Yu// Journal of Electronic Science and Technology of China. - 2007. - Vol. 5, No. 3. - pp. 283-287.

149. Zhou K. Relationship Between Space-Vector Modulation and Three-Phase Carrier-Based PWM: A Comprehensive Analysis/ K. Zhou, D. Wang// IEEE Transactions on Industrial Electronics. - 2002. - Vol. 49, No. 1. - pp. 186-192.

128

ПРИЛОЖЕНИЕ А Словарь терминов и определений

В литературе, посвященной ШИМ, используются различные термины для обозначений одних и тех же величин. Поэтому в данном разделе приводятся термины, которые использованы для синтеза алгоритмов оптимальной ШИМ [30].

Импульсная функция: периодическая булева функция, принимающая значения 0 или 1. Примечание: термин единичная импульсная функция используется для обозначения функции, которая также называется 5- функцией Дирака. Понятие импульсной функции, используемое далее, не совпадает с понятием единичной импульсной функции.

Модуляция: процесс приближения к заданной (желаемой) функции импульсной функцией.

Модулирующая функция: функция, к которой должна бытв приближена импульсная функция в процессе модуляции.

Модулированная функция: импульсная функция, которая получается в процессе модуляции.

Интервал модуляции: подмножество временной оси. на которой формируется единичный импульс импульсной функции управления ключом.

Период модуляции: длительность интервала модуляции.

Частота модуляции: величина, обратная периоду модуляции.

Скважность импульсов (коэффициент заполнения): отношение длительности импульса к периоду модуляции. Данный коэффициент принимает значения из интервала [0, 1].

Коэффициент сдвига импульса: отношение временного сдвига начала импульса относительно начала интервала модуляции к периоду модуляции.

Коэффициент смещения импульса: отношение временного смещения центра импульса относительно центра интервала модуляции к периоду модуляции.

Коэффициент асимметрии пилообразной функции: удвоенное отношение временного смешения нулевого значения пилообразной функции, имеющей

единичное значение в начале и конце интервала модуляции, относительно центра интервала модуляции к периоду модуляции.

Широтно-имиульсная модуляция: процесс модуляции с фиксированным периодом модуляции и плавающей длительностью импульса.

Однофазная IIIИМ: модуляция потенциала полумоста на одном из двух выводов нагрузки одним полумостом при постоянстве второго потенциала на нагрузке.

Двухфазная ШИМ: модуляция потенциалов нагрузки двумя полумостами.

ш фазная модуляция: модуляция, использующая для синтеза модулированных напряжений ш полумостов.

Полнофазная модуляпия: модуляция, использующая для синтеза модулированных напряжений на т-фазной нагрузке т полумостов.

Неполнофазная модуляция: модуляция, использующая для синтеза модулированных напряжений на т-фазной нагрузке т - 1 полумост.

Пассивная фаза: фаза /и-фазного электронно-ключевого моста, которая не коммутируется на текущем интервале модуляции.

Центрально-симметричная ШИМ: модуляция, предполагающая, что импульсы располагаются симметрично относительно центра интервала модуляции (коэффициенты смещения импульсов равны щ лю),

Центрально-ассиметричная ШИМ: алгоритм формирования импульсного напряжения со смещением импульса относительно центра интервала модуляции.

Переменные модуляции: переменные, которые определяют импульсную функцию: длительность импульса и временной параметр, характеризующий положение импульса на интервале модуляции. К переменным модуляции относятся скважность импульса, коэффициент сдвига и смещения импульса, а также период модуляции или частота.

Степень свободы модуляции: число независимых переменных модуляции, которые не заняты в определении модулированных функции напряжения.

Верхний ключ полумоста: электронный ключ, один из выводов которого подключен к положительному потенциалу источника питания.

Нижний ключ полумостя: электронный ключ, один из выводов которого подключен к отрицательному потенциалу источника питания.

Коммутационная функция полумоста: импульсная функция, 1 которой соответствует включенному состоянию верхнего кпюча и выключенному состоянию нижнего ключа. 0 — выключенному состоянию верхнего ключа и включенному состоянию нижнего ключа.

Перемодуляция: режим модуляции, при котором значение модулирующей функции потенциала полумоста болвше 1 или меньше 0.

Граничное значение модуляции: значение напряжения на нагрузке, при больших значениях которой начинается режим перемодуляцин.

Коэффициент модуляции: отношение амплитуды первой гармоники модулирующей функции напряжения на нагрузке к граничному коэффициенту модуляции. Если коэффициент модуляции больше 1, то он также называется коэффициентом перемодуляции.

Нулевая потенциальная функция: отношение желаемого (модулирующего) потенциала нулевой точки «звезды» нагрузки к напряжению источника питания.

Функция предмодуляции: свободная, аддитивная переменная в определении модулирующей функции потенциалов полумостов, которая может быть выбрана произвольно. Функция предмодуляции равна нулевой потенциальной функции минус 1/2.

Ошибка модуляции по напряжению: разность между модулированной функцией напряжения и модулирующей функцией напряжения.

Ошибка модуляции по току: разность между током, порождаемым модулированной функцией напряжения и током, порождаемым модулирующей функцией напряжения.

Мера качества модуляции: числовая оценка ошибки модуляции на некотором временном интервал е.

Локальная дисперсия напряжения: мера качества модуляции, равная среднему значению квадрата ошибки модуляции по напряжению на периоде ШИМ.

Локальная дисперсия тока: мера качества модуляции, равная среднему значению квадрата ошибки модуляции по току нагрузки на периоде ШНМ.

Интегральная дисперсия тока: мера качества модуляции, равная среднему значению квадрата ошибки модуляции по току нагрузки на периоде модулирующей функции.

Оптимальная модуляция: модуляция, при которой достигается экстремум меры качества модуляции.

132

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Фильтрующие свойства электрических машин при ШИМ в электроприводе

Постановка задачи

Рассмотрим электромагнитные процессы, протекающие в приводном электродвигателе и обусловленные ШИМ. Самое широкое применение при этом находят электродвигатели переменного тока. Электромагнитные процессы в электродвигателях переменного тока описываются дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. При исследовании таких уравнений, как правило, используется теория Ляпунова-Флоке. Основной результат этой теории, сформулированный Ляпуновым, сводится к доказательству теоремы о возможности преобразования дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Возмущающие воздействия таких уравнений будут импульсными периодическими функциями, частота которых совпадает с частотой модуляции. Возмущающие воздействия уравнений также будут функциями модулирующих функций, частота которых существенно ниже частоты модуляции. Поэтому при анализе электромагнитных процессов, обусловленных ШИМ преобразователя можно считать, что возмущающие воздействия преобразованных уравнений будут импульсными периодическими функциями, частота которых определяется только частотой модуляции. Таким образом, в силу относительной малости интервала ШИМ возмущающие воздействия на интервале модуляции можно считать постоянными величинами.

Исследования показывают [49], что динамические процессы в электродвигателях переменного тока носят колебательный характер. Решения дифференциальных уравнений напряжений электродвигателя, подвергнутых преобразованию Ляпунова, относительно токов в обмотках на интервале ШИМ могут быть представлены выражением:

п

гх = во + ЕехР(5к • ф) •(Вк • С08(% • Ф) + Ск • §1П(% • Ф), (Б.1)

к=1

где 5к и шк - действительная и мнимая часть корня характеристического уравнения; В0, Вк и Ск - постоянные интегрирования; ф е [0, 1] - относительное время на интервале ШИМ.

Докажем, что динамический процесс изменения тока (Б.1) в электрической машине на периоде ШИМ можно аппроксимировать Я, Ь - фильтром, постоянная времени которого Т = Ь/Я много больше периода модуляции.

Так как период модуляции мал, то динамический процесс тока (Б.1) можно представить двумя слагаемыми ряда Маклорена:

1Х = А + С0 •ф, (Б.2)

где А = Во + ЕВк; Со = Е(Вк А + Ск -Шк).

'к ; ^0 _ к ^к^^к шк, к=1 к=1

Очевидно, что ток в цепи Я, Ь на интервале модуляции также можно представить выражением (Б.2). Таким образом, далее, при синтезе алгоритмов ШИМ, полагается, что фильтрующие свойства электрической машины на интервале ШИМ могут быть представлены Я, Ь - цепью. Рассмотрим некоторые особенности представления параметров Я, Ь - цепи, которой аппроксимируются фильтрующие свойства электрических машин.

Введем понятие базового (номинального) значения угловой частоты напряжения электрической машины шб = 2-л://б, где /б - базовое значение ее частоты напряжения. Постоянную времени Я, Ь - цепи представим в относительном виде Т* = шбЬ/Я. Относительная постоянная времени нагрузки Т в дальнейшем рассматривается как характеристика фильтрующих свойств электрической машины, которая не связана с управлением ШИМ. Если период модуляции Т0 фиксирован, исходя из ограничения на потери мощности в электронных ключах, то отношение

То = Шб • то т т

также является характеристикой фильтрующих свойств электрической машины, которое не зависит от способа управления ШИМ.

Обычно желаемым результатом ШИМ является получение почти периодической функции напряжения. Основной составляющей почти периодической

функции является модулирующая периодическая функция напряжения £х(т), период которой Т1 существенно превосходит период модуляции Т0. Отношение /* = Т1/Т0 далее называется относительной частотой модуляции.

При управлении электрической машиной период синусоидальной модулирующей функции Т1 является переменной величиной. Для обеспечения постоянства намагничивания магнитопровода при управлении электрической машиной обычно частота модулирующей функции

/ = 1/Т = а • /б, (Б.3)

где а - коэффициент амплитуды модуляции.

С учетом соотношения (Б.3) характеристика фильтрующих свойств электрической машины может быть представлена в следующем виде

Т 2 •л

8 = —0 =

(Б4)

Т Т • / ■ а

Для обеспечения высоких значений фильтрующих свойств электрической машины отношение 8 = Т0/Т должно быть меньше 0,2.

Для оценки фильтрующих свойств динамических систем, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями, необходимо исследование связи их параметрического пространства с переменными состояния. Выполнить такое исследование в общем случае представляется достаточно проблематичным. Однако для динамических систем, поведение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями, такая связь определяется характеристическим уравнением. Известно, что отрицательные действительные части корней являются характеристиками скорости затухания динамических процессов. Обратные значения действительных части корней являются постоянными времени. Максимальный корень характеристического уравнения рмах может использоваться для оценки показателя фильтрующих свойств нагрузки 8 = Т0рмах.

Поскольку динамическое поведение всех электрических машин описывается дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами, то крайне затруднительно записать характеристическое уравнение непосредственно по исходным дифференциальным уравнениям. Поэтому целесообразно подвергнуть эти

исходные уравнения преобразованию Ляпунова и перейти к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами, нахождение корней характеристического уравнения которых не представляет труда.

При исследовании фильтрующих свойств электрических машин полагается, что быстродействие электромагнитных процессов существенно превосходит быстродействие механических процессов. Поэтому при анализе электромагнитных процессов считается, что скорости вращения роторов электродвигателей не меняются.

Базовые и относительные величины

Для оценки фильтрующих свойств электрических машин необходимо их математическое описание дифференциальными уравнениями. При исследовании дифференциальных уравнений целесообразно применять относительные единицы различных физических величин. Это обусловлено тем, что результаты исследования различных электроприводов, характеризующихся значительными отличиями в мощности, становятся универсальными и сопоставимыми. Кроме того, введение относительных величин ведет к сокращению числа параметров, фигурирующих в исследовании, и делает полученные результаты более обозримыми и удобными для использования [29].

Для введения относительных единиц переменных, используемых в математической модели, требуется выделить набор базовых величин. Базовые величины разделим на основные и производные. В качестве набора базовых величин примем минимальный набор констант, имеющих различные единицы измерений, который позволяет выразить остальные производные базовые величины с другими единицами измерений через набор основных базовых величин.

При выборе основного набора базовых величин целесообразно исходить из номинальных данных электрической машины: номинального напряжения статора электродвигателя ин; номинального тока статора 1н; номинальной угловой частоты напряжения статора юн. В качестве основных базовых целесообразно использовать

следующие величины: иб = \/2 • ин; 1б = л/2 • 1н; юб = юн.

Производные базовые величины синтезируются из основных базовых величин: Ris = U6/I6 = Uh/Ih - сопротивления; L6 = U6/I6/®6 - индуктивности; M6 = p-(m/2)-U6-I6/®6 - электромагнитного момента; Тб = 1/юб - времени; P6 = (m/2)-U6-I6 - мощности, где m -где число фаз; p - число пар полюсов.

Переменная, выраженная в относительных единицах, равна отношению переменой к соответствующему базовому значению. Переменные, выраженные в относительных единицах, будем помечать верхним индексом *.

Показатель фильтрующих свойств нагрузки запишем в следующем виде:

о *

* 2 •л p min

8 = -T0 • pmin = -T0 • ®б •p min = j-* ^ , (Б5)

*

где p*min - минимальное относительное значение действительной части корней характеристического уравнения; f - относительная частота модуляции. Заметим, что меньшему значению 8 соответствуют более высокие фильтрующие свойства электрической машины.

Фильтрующие свойства реактивных электродвигателей

Дифференциальные уравнения напряжений, описывающие динамику электромагнитных процессов реактивных электродвигателей, имеют периодические коэффициенты [49]:

Us = Rs • IS + p{LSS (Y) • IS } ' (Б.6)

где US - вектор напряжений на обмотках статора; IS - вектор токов в обмотках статора; R = RS-1 - матрица сопротивлений обмотки статора; RS - сопротивление обмотки статора; p - оператор дифференцирования по времени t; y = ©•t - угол поворота ротора; © - угловая электрическая скорость вращения ротора; lss (y) = dт (y) • l0 • d (y) - матрица основных индуктивностей m - фазной обмотки статора; Ds(y) - фазная матрица; Lo = diag(Ld, Lq) - матрица экстремальных проводимостей обмотки статора; Ld и Lq - продольная и поперечная индуктивности; р = 2^/m - угол фазового сдвига.

Фазная матрица представляет собой проекции магнитных осей фазных обмоток статора на оси координат й, q на плоскости поперечного разреза ротора машины:

Б (У )

соб(у) соб(р + у) Бт(у) Бт(р + у)

со8((т -1) • (р + у)) $т((т -1) • (р + у))

(Б.7)

Будем считать, что ось координат й совпадает с направлением наибольшей магнитной проводимости ротора, а ось координат q - с направлением наименьшей магнитной проводимости ротора.

Уравнения напряжений (Б.6) имеют периодические коэффициенты. Их непосредственное использование для синтеза системы управления проблематично. Поэтому целесообразно их преобразование к уравнениям с постоянными коэффициентами, полагая:

и =

и

и

2

- • Б (у) • и 5; I! = т

2

= - • Б, (у) • 15 т

Матрица Ц?(у) является в данном случае матрицей Ляпупова, преобразующей уравнения с периодическими коэффициентами (Б.6) в уравнения с постоянными коэффициентами. После преобразования Ляпунова эти уравнения примут следующий вид:

и = Я • I + со • Е • Ь0 • р + Е0 • Рр.

(Б.8)

где Е - матрица поворота двухмерного вектора на угол л/2; Я = Я - отображение сопротивления обмотки статора на плоскость поперечного сечения машины.

Уравнения (Б.8) являются отображениями исходных уравнений (Б.6) в оси координат ротора й, q. В развернутой форме записи уравнения напряжений статора (Б.8) в относительных единицах примут следующий вид:

Ь

= Я • ^ -ю • Ь • +• Р1а

ю

б

Ь

* * * * * * ^ * иа = Я • 1а + ю •Ь • ^ +• Р1а

(Б.9)

а

ю

а

б

*

*

В этих уравнениях ток продольного контура id намагничивает реактивную машину, а ток поперечного контура iq определяет ее нагрузку. Характеристический полином уравнений (Б.9) имеет вид:

7(p) = Ld* • V■-PpT + ю* • R* • (Ld* + L;) + R*2 + ю*2 • Ld* • Lq*

ю

б

ю,

б

Относительные значения корней характеристического уравнения Y(p)=0 определяются следующим выражением:

Pi,:

R_ 2

Ld + Lq L * ■ L ^

Ld Lq

+

rL * - L

Ld Lq

L ■ L

* \

4 • ю

*2

q

R

*2

При малой скорости вращения ротора

* т т

* . R Ld + Lq

ю <---j-V

2 L • L

2 l9

корни уравнения являются отрицательными и действительными. При ю* = 0 корни уравнения будут определяться выражениями:

Pi =

R

R

^ * ; pq Pмах ^ *

(Б10)

При большой скорости вращения корни будут комплексными. В этом случае мнимая часть корня приближенно равно ю, а его действительная часть определяется выражением

* <Ld + Li -_ ^ p мах < 2 • l; •L; " 2 •

(i

(Б11)

где £ = Ьч*/Ьс*. Зависимости относительных значений действительных частей корней характеристического уравнения от скорости приведены на рисунке Б.1.

При управлении электродвигателем для поддержания постоянства намагниченности магнитопровода поддерживается примерное постоянство отношения ю*//. Поэтому, исходя из выражения (Б.5) можно сделать вывод, что меньшие значения показателя фильтрующих свойств реактивного электродвигателя имеют

*

*

место при скорости ю* = 1. Следовательно, фильтрующие свойства реактивных

электрических машин целесообразно оценивать показателем:

*

я-Я

/ * - Е

а

(1 + £) • (Б.12)

Рисунок Б.1 - Зависимости действительной и мнимой части корней характеристического уравнения от скорости для реактивных электрических машин

Относительные значения параметров различных типов реактивных машин приведены в работе [29].

Фильтрующие свойства асинхронного электродвигателя

Получим оценку показателя фильтрующих свойств асинхронного электродвигателя. Для решения этой задачи рассмотрим поведение корней их характеристического уравнения в функции скорости вращения ротора.

Уравнения, связывающие напряжения на обмотках статора и ротора асинхронной машины и токи, протекающие в этих обмотках в естественной системе координат, имеют следующий вид [49]:

(Б13)

0=Я2-1к+£2рЬ+р{ЬкЛ + Ь^У)^}. где Я1 - сопротивление обмотки статора; Я2 - приведенное сопротивление обмотки ротора; Ь1 - индуктивность рассеяния обмотки статора; Ь2 - приведенная индуктивность рассеяния обмотки ротора; Ц - вектор фазных напряжений статора; -

е

вектор приведенных токов статора; - вектор токов ротора; Ь^

=(2/ш)-£0-Ц5Т(0)-Ц?(0) - матрица индуктивностей обмоток статора; Ь

<ж

=(2/т)ЬгОят(0)Бя(0) - матрица индуктивностей обмоток ротора; Ьж(у) = Ьл?Т(у) = (2/т)Ь0Ц$т(у)Вя(0) - матрица взаимных индуктивностей обмоток статора и ротора; Ь0 - главная индуктивность обмотки; Ц$(у) = Бд(у) - фазная матрица, определенная выражением (Б.7).

Фазная матрица является матрицей Ляпунова. Полагая

ыл

и =

чи

ы

IV.

= (2/т)-Бв(ю1-?)-ив;

II

чи

1V

= (2/т)-Бв(ю1-?)-18; 12 =

2и

2V

= (2/т)-Бв(ю-?)-1к;

(Б14)

получим после преобразований уравнений (Б.13) систему уравнения асинхронной машины с постоянными коэффициентами

и = ДгЪ+Ю1 -¿0ГЕ ■ 11+!с1^р11+Ю1 ЬгЕ • Ъ+ЬтрЪ;

0 = Кг12+ЮгЬ02-Е^12+Ь02р12+ЮгЬ0^Е1+Ь0р11, где Ь01=Ь0+Ь1; Ь02=Ь0+Ь2; ю1 - угловая частота токов статора; ю2 - угловая частота токов ротора.

Уравнения, записанные для двухмерных векторов в осях координат и, V, можно переписать в комплексной форме записи путем формальной замены Е на мнимую единицу у, а векторы и1, 11, 12 на комплексные переменные

и1= иш+у и1У, /1= ¡Ш+] ■11У, 12= _2и+]

Тогда уравнения в комплексной форме записи примут следующий вид: и1 = Дг/1 + У'Ю1 ¿01 ■/1 + Ь01р1_1 + У'Ю1 -Ь0 ■ _2 + ^0-р/2; и2=Я212 +] ■ Ю2 ■Ьт ■ _2 + Ь02р_2 +У'Ю2 Ь ■ _1 + Ьс'Р_1.

Уравнению (Б.15) соответствует характеристический полином:

У(р) = ^2 р2 + р + 00,

(Б.15)

«2 =

Т ■Т -Т г

Т01 Т02 Т0

Т01 Т

а

02

+ У ■ а2 ^ (ю1 +ю2);

\

a0 = 1 • a2 + J ■ Ю1 ^-f1

V R

R

Так как характеристический полином имеет второй порядок, то можно найти корни характеристического уравнения Y(p) = 0:

Будем полагать, что основная индуктивность достаточно велика и не оказывает существенного влияния на динамику переходных процессов и, следовательно, на значения корней характеристического уравнения. Кроме того, будем полагать, что активные сопротивления обмоток статора и ротора асинхронного электродвигателя одинаковы: ^1=^2- Основываясь на этих допущениях, упростим выражение для корней характеристического уравнения:

где 8к = - критическое скольжение; ю2* = ю2/юб - относительная вели-

чина угловой частоты токов ротора; ю* = ю/юб - относительная величина угловой электрической скорости вращения ротора. Ошибка, обусловленная допущением, что для действительных частей корней уравнения, существенна лишь в

окрестности ю* = 0.

Подкоренное выражение в формуле для корней характеристического уравнения может быть как действительным, так и мнимым. Подкоренное выражение отрицательно, если ю*£[-2-.к,2-.к]. В этом случае действительные части относительных значений корней одинаковы и определяются выражением

При выполнении условия ю*е[-2-% 2.] действительные части относительных значений корней различны и определяются выражением

г