Оптимальные вложения конусов функций со свойствами монотонности и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Бахтигареева Эльза Гизаровна

• Бахтигареева Эльза Гизаровна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Бахтигареева Эльза Гизаровна

Оглавление

Введение

1 Метод ассоциированных норм для построения идеальных оболочек

1.1 Основные определения, обозначения и свойства

1.2 Сопоставление с концепциями БФП, ОБФП

1.3 Оптимальное обобщенное банахово функциональное пространство для за-

данного конуса функций

1.4 Оптимальное банахово функциональное пространство для конуса, задан-

ного интегральным представлением

2 Ассоциированные нормы и оптимальные вложения для одного класса

двухвесовых интегральных квазинорм

2.1 Основные определения, обозначения и формулировка результатов

2.2 Доказательство результатов

2.2.1 Доказательство Теоремы

2.2.2 Доказательство Теоремы

2.2.3 Доказательство Теоремы 2.1.3 (сведение к Теореме 2.1.1)

2.3 Оптимальная банахова оболочка для конуса функций из Lp

3 Метод нестягивающих операторов для построения идеальных оболо-

чек

3.1 Основные определения, обозначения и формулировка результатов

3.2 Построение идеальных оболочек при различных отношениях порядка и

условиях монотонности

3.2.1 Оптимальное ИП для конуса неотрицательных убывающих функ-

ций

3.2.2 Оптимальное ИП для конуса двоякомонотонных функций

3.2.3 Оптимальное ИП для конуса обобщенно двояко монотонных функ-

ций

3.2.4 Оптимальное перестановочно инвариантное пространство для ко-

нуса двоякомонотонных функций

3.2.5 Оптимальное перестановочно инвариантное пространство для ко-

нуса двоякомонотонных функций при дополнительном ограничении

3.2.6 Оптимальное ИП для конуса неотрицательных обобщенно убыва-

ющих функций

2

Заключение

Литература

3

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальные вложения конусов функций со свойствами монотонности и их приложения»

Введение.

Построение оптимальных оболочек для заданного конуса неотрицательных измеримых

функций, оценки положительных операторов на них имеют важные приложения в раз-

личных областях анализа, таких как, например, теория функциональных пространств,

теория приближения, теория вложений, теория интерполяции.

Тeория вложeний возникла в связи с задачами тeории уравнений в частных про-

изводных, в которых для исследования гладкости решений вводятся одни типы про-

странств, для изучения поведения вблизи границы области или вблизи каких либо осо-

бых точек - другие типы пространств. Многообразие различных пространств потребо-

вало детального изучения связей между этими пространствами. Возникновение теории

вложения связано с работами С. Л. Соболева в 30-е годы прошлого века. Oн вводит и

изучает новые функциональные пространства Wpr , которые в литературе стали назы-

вать соболевскими пространствами. Для этих пространств С. Л. Соболев доказывает

первые теоремы вложения, он применяет эти пространства при исследовании краевых

задач для эллиптических уравнений высокого порядка(см. [1, 2]). Систематическое из-

ложение теории функциональных пространств, теорем вложения этих пространств, тео-

рем о следах и приложений этих результатов к задачам дифференциальных уравнений

в частных производных и уравнений математической физики содержится в книге С. Л.

Соболева "Некоторые применения функционального анализа в математической физи-

ке"(см. [3]). Другое направление исследований связано с созданием С. М. Никольским

теории вложений пространств гельдеровского типа, образующих шкалу с непрерывно

меняющимися анизотропными характеристиками гладкости. О. В. Бесов ввел и изучил

r

более общие пространства Bpθ (Rn ), совпадающие при θ = ∞ с пространством Николь-

r n

ского Hp (R ) (см. [4, 5, 6]). В математической физике часто приходится иметь дело с

функциями пространств Соболева Wpr и их следами на границе Γ = ∂Ω области Ω, т.е.

предельными значениями f на Γ. Сами функции f удобно считать принадлежащими

пространствам Соболева Wpr . Но их граничные значения на Γ, которые тоже необходи-

мы, приходится рассматривать как принадлежащие к пространствам Бесова.

Первая интерполяционная теорема в теории операторов была получена М. Риссом

в 1926 в виде некоторого неравенства для билинейных форм ([7]). В 1939 Г.О. Ториным

теорема была уточнена и дана ee опeраторная формулировка ([8]). Существенным про-

движением явилась теорема Ж. Марцинкевича, сформулированная в 1939 году ([9]).

В 50-х годах важные обобщения теорем Рисса-Торина и Марцинкевича были получе-

ны Е. М. Стейном и Г. Вейсом. Однако, эти и многие другие результаты относились

к пространствам Lp или близким к ним. В своих работах [10] и [11] В. Орлич снаб-

дил более общее функциональное пространство нормой, что позволило рассматривать

4

эти пространства в рамках общей теории банаховых пространств, введенных С. Бана-

хом. Попытки унифицировать пространства Орлича и Лоренца в рамках одной акси-

оматики были предприняты в начале 50-х годов в работах [12], [13], [14]. Последняя

работа основывалась на теории пространств последовательностей Кете-Теплица ([15]).

В рассмотрение вводятся двойственные по Кете (или ассоциированные) пространства.

Двойственным по Кете пространством для функционального пространства X называ-

ется множество X 0 функционалов из двойственного пространства X ∗ , которые имеют

интегральное представление. К ассоциированным пространствам применим принцип

двойственности, то есть (X 0 )0 = X. Эти исследования привели к возникновению теории

банаховых функциональных норм и банаховых функциональных пространств, впервые

представленных Люксембургом в 1955 году ([16]). Разработка общих интерполяционных

теорем для семейств абстрактных банаховых и гильбертовых пространств была начата

в конце 50-х годов независимо в ряде стран. Первые публикации здесь принадлежат

Ж. Л. Лионсу (1958-1960 гг., [17]), Е. Гальярдо (1959-1960 гг., [18]), А. П. Кальдерону и

С. Г. Крейну (1960 г., см., например, [19]). В дальнейшем сущeствeнную роль сыграли

работы Я. Петре (см., например, [20]), в которых был развит метод вещественной ин-

терполяции,связанной со свойствами K-функционала Петре. Современному развитию

теории интерполяции и ее приложениям в теории функциональных пространств посвя-

щены исследования С. В. Асташкина [21, 22], Е. И. Бережного [23, 24], Ю. А. Брудного

и Н. Я. Кругляки [25, 26], В. И. Овчинникова [27, 28, 29] и др.

Проблема описания свойств монотонных операторов на конусах неотрицательных

функций со свойствами монотонности и, в частности, задача о построении оптималь-

ной банаховой или квазибанаховой оболочки для таких конусов весьма актуальна. Она

является важной составляющей частью общей проблемы об оптимальных вложениях

функциональных пространств, которая, в свою очередь, представляет собой важный

раздел общей теории оптимизации. Современное развитие теории оптимизации и ее

разнообразные приложения в теории экстремума, теории аппроксимации и теоремах

вложения представлены в монографиях А. Д. Иоффе и В. М. Тихомирова [30], Алексе-

ева В. М., Тихомирова В. М. и Фомина С. В. [31], В. М. Тихомирова и Г. Г. Магарил -

Ильяева [32]. Приведем некоторые примеры актуальных задач теории интегрирования,

теории функциональных пространств и теории вложений, решение которых требует

изучения свойств операторов на конусах функций, удовлетворяющих различным усло-

виям монотонности.

При изучении интегральных свойств функции проблему можно свести к изучению

интегральных свойств на конусе Ω0 неотрицательных монотонных функций, так как она

равноизмерима со своей убывающей перестановкой f ∗ (t) = inf {y ∈ R+ : λf (y) ≤ t} ∈

Ω0 , t ∈ R+ , где λf - Лебегова функция распределения (более подробно см. Главу 2 в

[33]). Например,

Z Z

∗

loc n

f ∈ L1 (R ) ⇔ f ∈ L1 (0, t), t ∈ R+ ; p

|f | dµn = (f ∗ )p dµ1 , p > 0,

Rn R+

n

где µn , µ1 - мера Лебега на R или на R+ = (0, ∞) соответственно.

Интегральные свойства максимальной функции Харди-Литтлвуда M f играют важную

роль в проблемах теории функциональных рядов, в Фурье-анализе, в теории приближе-

ний и т.д. Интегральные свойства M f определяются ее убывающей перестановкой. Но

5

существует двухсторонняя оценка: (M f )∗ ∼

Rt

= f ∗∗ , где f ∗∗ (t) = t−1 0 f ∗ dτ - элементарная

максимальная функция, которая является двояко монотонной, то есть f ∗∗ ↓, tf ∗∗ (t) ↑ .

Например, Z Z

p ∼

|M f | dµn = (f ∗∗ )p dµ1 , p > 0.

Rn R+

Тем самым, изучение интегральных свойств M f сводится к оценкам оператора типа

Харди на конусе монотонных функций.

Интегральные свойства операторов типа Харди на конусах убывающих функций

играют также важную роль в теории вложения для пространств Лоренца. Рассмотрим

пространства Лоренца с общими весами v, w, которые являются положительными и

конечными µ1 -п. в. :

( Z 1 )

∞ p

Λp (v) = f: kf kΛp (v) = (f ∗ )p vdt <∞ ,

0

( Z ∞  1q )

Γq (w) = f: kf kΓq (w) = (f ∗∗ )q wdt <∞ ,

0

где 0 < p, q < ∞. Так как f ∗ ≤ f ∗∗ , то Γp (v) ⊂ Λp (v). Но из определений также следует,

например:

Λp (v) ⊂ Γq (w) ⇔ HΩ0 (p, q) < ∞, 0 < p, q < ∞,

где " Z

∞ Z t q  1q Z ∞ − p1 #

−q p

HΩ0 (p, q) = sup gdτ t wdt g vdt ,

g∈Ω0 0 0 0

Ω0 = {g : 0 ≤ g(t) < ∞, g(t) ↓ на R+ } .

Проблема вложения сведена к вопросу об ограниченности оператора Харди на конусе

Ω0 ∩ Lp (v).

Вопросы вложения для пространств Бесова могут быть сведены к изучению свойств

положительного оператора на конусе монотонных функций. А именно, пусть f ∈ Lp (Rn ),

1 ≤ p ≤ ∞. Рассмотрим модули непрерывности порядка k в Lp (Rn ) :

n o

ωpk (f ; t) = sup ∆kh f Lp : h ∈ Rn , |h| ≤ t , t ∈ R+ .

Определим пространство Бесова обобщенной гладкости (см., например, М. Л. Гольдман

[34, 35], Г. А. Калябин [36]):

n o

v(·)

Bpθ (Rn ) = f ∈ Lp : kf kB v(·) = kf kLp + kf kb < ∞ ,

pθ

Z ∞  θ1

kf kb = ωpk (f ; t)θ v(t)dt ,

0

6

 α

где 0 < θ < ∞. Классические пространства Бесова Bpθ получим в случае степенного

−αθ−1

веса v(t) = t , 0 < α < k. Известно, что 0 ≤ ωp (f ; t) ↑, t−k ωpk (f ; t) ≈ g(t) ↓ .

k

Более того, имеет место эквивалентность:

Ω0k ≈ Ω ≡ h(t) = ωpk (f ; t); f ∈ Lp (Rn ) ,



где

Ω0k = g : t−k g(t) ↓ на R+ .



0 ≤ g(t) < ∞, g(t) ↑,

v(·)

Условие вложения Bpθ (Rn ) в Lq (Rn ) при 1 ≤ p < q ≤ ∞, k > n( p1 − 1q ) может быть

сформулировано следующим образом:

v(·)

Bpθ (Rn ) ⊂ Lq (Rn ) ⇔ G̃Ω0k < ∞,

где "Z

∞  q1∗ Z ∞ − θ1 #

q∗ dt

g(t)t−α g θ vdt



G̃Ω0k = sup ,

g∈Ω0k 0 t 0

1 1

q ∗ = q, 1 ≤ q < ∞; q ∗ = 1,

α = n( − ). q = ∞,

p q

Тем самым, проблема вложения сведена к оценке интегральной нормы для функции

g ∈ Ω0k ∩ Lθ (v).

При изучении симметричной оболочки для обобщенных потенциалов Бесселя, за-

дачу удалось редуцировать к задаче об описании оптимального перестановочно ин-

вариантного пространства, содержащего конус убывающих функций, построенный на

базе ядер потенциалов. Решение последней задачи позволило получить решение общей

проблемы об оптимальном вложении (см., например [37, 38]). В случае вложения обоб-

щенных потенциалов Бесселя в пространство ограниченных непрерывных функций,

возникает задача о точном описании равномерных модулей непрерывности потенциа-

лов. Она решается в терминах построения оптимальных пространств типа Кальдерона,

в которые вложены пространства потенциалов. Важным этапом в ее решении является

построение идеальной оболочки для конуса двояко монотонных функций, к которому

удается свести конус модулей непрерывности потенциалов (см. [39, 40]).

Таким образом, решение ряда задач современной теории функциональных про-

странств сводится к получению результатов о точных оценках операторов на конусах

функций со свойствами монотонности и, в частности, к описанию идеальных оболо-

чек для таких конусов. При этом стоит отметить, что оценки операторов на конусах

монотонных функций существенно отличаются от оценок на множестве всех неотрица-

тельных µ− почти всюду конечных функций.Рассмотрим следующий пример.

Пусть 0 < p ≤ ∞, f ∈ M0+ , где M0+ = {f ∈ M : 0 ≤ f < ∞ µ − п. в.} .

"Z  Z  1# −p

A(f ; p) = sup f gdt g p dt ,

g∈M0+ R+ R+

" Z  Z − p1 #

B(f ; p) = sup f gdt g p dt .

g∈Ω0 R+ R+

7

Классические результаты таковы:

(

∞, 0 < p < 1, f 6= 0;

A(f ; p) = 10

kf kLp0 , 1 ≤ p ≤ ∞ p1 + p

= 1.

Первое утверждение иллюстрирует несуществование ограниченного линейного функ-

ционала, отличного от нуля, на Lp (R+ ) при 0 < p < 1. Второе показывает, как можно

вычислить ассоциированную норму для нормы в Lp (R+ ), 1 ≤ p ≤ ∞.

Результаты на конусе существенно отличаются:

 Z t 

− p1

B(f ; p) = sup t f dτ , 0 < p ≤ 1.

t>0 0

(Z p0 ) p1 0

∞ Z t

1 10



1

B(f ; p) ∼

= t− p f dτ t−1 dt , 1<p≤∞ + = 1.

0 0 p p

Первое утверждение является следствием более общего результата, полученного в рабо-

тах [41, 42, 43]. Второе утверждение -двухсторонняя оценка, полученная в [44]. Отметим,

что A(f ; p) = B(f ; p), f ∈ Ω0 , но несложно построить функцию: f0 ∈ M0+ /Ω0 такую,

что A(f0 ; p) = ∞, B(f0 ; p) < ∞.

В диссертационной работе рассмотрены два общих подхода для построения оп-

тимальных оболочек конусов функций. Один из них базируется на методе ассоцииро-

ванной двойственности. При его применении строится ассоциированное пространство

ограниченных интегральных функционалов для заданного конуса. Доказывается, что

оно представляет собой банахово идеальное пространство (кратко: ИП). С помощью

принципа двойственности устанавливается, что ассоциированное к нему банахово ИП

является минимальным, в которое вложен данный конус. Этот метод позволил решить

ряд важных конкретных задач такого типа (см., например, [45, 46, 47]). В то же вре-

мя, его использование связано с наличием определенных трудностей и ограничений. По

мере усложнения рассматриваемых задач существенно усложняются конструкции ас-

социированных норм, которые в данном подходе необходимо строить на обоих этапах.

Конечно, развиваются и совершенствуются методы таких построений (см.[48, 49, 50]).

Для описания ассоциированных норм мы используем методы дискретизации и анти-

дискретизации (подробнее см. [51, 52] ). На этом пути есть, однако, и принципиальное

ограничение. Ассоциированное пространство для конуса является банаховым. Соответ-

ственно, таким же является и ассоциированное к нему оптимальное ИП, содержащее

данный конус. Тем самым, метод позволяет строить банаховы оболочки. В то же время,

в ряде случаев эти оболочки могут быть еще сужены за счет использования квазинорм,

не являющихся нормами. Таким образом, актуальной является задача о построении оп-

тимальных квазибанаховых оболочек. Для этого развивается другой общий метод по-

строения оптимальных оболочек с помощью специально подобранных нестягивающих

операторов. Рассматриваемая здесь аксиоматика ИП соответствует подходу, развитому

С. Г. Крейном, Ю. И. Петуниным и Е. М. Семеновым [53]. При этом мы включаем в

рассмотрение квазинормированный случай. В отличие от [53] мы не постулируем пол-

ноту пространства, а доказываем ее с использованием свойства Фату. Отметим также,

что эта аксиоматика обобщает систему аксиом банаховых функциональных пространств

8

К. Беннетта и Р. Шарпли [33]. Термин ”оптимальная оболочка” понимается здесь как

минимальное банахово (в общем случае, квазибанахово) ИП, принадлежащее данному

классу и содержащее заданный конус.

Работа состоит из введения, трех глав и заключения. Глава 1 посвящена методу

ассоциированных норм. В разделе 1.1. приведены основные определения, обозначения

и свойства идеальных пространств.

Для формулировки результатов приведем некоторые необходимые обозначения и

определения. Через (S, Σ, µ) (кратко: (S; µ)) обозначим пространство с σ-алгеброй Σ

подмножеств множества S и мерой, которую считаем неотрицательной и σ-конечной.

Через M = M (S; µ) обозначим множество µ-измеримых функций, далее M0 = M0 (S; µ)

есть множество µ-измеримых конечных почти всюду функций,

M + (S; µ) = {f ∈ M (S; µ) , f ≥ 0}; M0+ (S; µ) = M0 (S; µ) ∩ M + (S; µ).

Определение 1.1.1 Отображение ρ : M + → [0, ∞] есть идеальная квазинорма

(кратко: ИКН), если для всех f, g, fn (n ∈ N) из M + выполнены следующие условия:

(P 1) ρ(f ) = 0 ⇒ f = 0 µ − почти всюду (кратко: µ − п.в.)

ρ(αf ) = αρ(f ), α ≥ 0,

ρ(f + g) ≤ C [ρ(f ) + ρ(g)] , f, g ∈ M + ; C ≥ 1

(свойства квазинормы);

(P 2) f ≤ g µ − п.в. ⇒ ρ(f ) ≤ ρ(g) (монотонность);

(P 3) fn ∈ M + , fn ↑ f ⇒ ρ(fn ) ↑ ρ(f ) (свойство Фату);

(P 4) ρ(f ) < ∞ ⇒ f < ∞ µ − п.в.

Здесь fn ↑ f означает, что fn ≤ fn+1 , lim fn = f µ − п.в.

n→∞

Определение 1.1.2. Пусть ρ есть ИКН. Множество X = X(ρ) всех функций

из M, для которых ρ(|f |) < ∞, называется идеальным пространством (кратко: ИП),

порожденным ИКН ρ; при этом для f полагаем

kf kX = ρ(|f |).

В терминологии книги Крейна-Петунина-Семенова [53] это есть идеальное ква-

зибанахово пространство со свойством Фату. В Теореме 1.1.1 мы доказываем, что про-

странство X, порожденное ИКН ρ, удовлетворяющей аксиомам (P 1) − (P 4), обладает

свойством полноты. Понятие ИП шире понятия банахова функционального простран-

ства (кратко: БФП), введенного Беннеттом и Шарпли [33], а также его обобщения

9

(ОБФП), введенного в нашей работе [46]. Обобщенная функциональная норма, порож-

дающая ОБФП, является частным случаем ИКН ( с C = 1 в неравенстве треугольника).

Поэтому из Теоремы 1.1.1 следует полнота ОБФП X.

В разделе 1.2. представлена аксиоматика обобщенных банаховых функциональ-

ных пространств и приведены их общие свойства. ОБФП является идеальным про-

странством со свойством Фату в терминологии [53], поэтому к нему применим прин-

цип двойственности: X = X 00 . В разделе 1.3. описан метод ассоциированных норм и

приведен его основной результат (Теорема 1.3.1), позволяющий строить оптимальные

банаховы оболочки для заданного конуса неотрицательных функций. Здесь мы поль-

зуемся принципом двойственности. Мы рассматриваем конус K в ОБФП X, поэтому

дважды ассоциированное к нему пространство не совпадет с K, а будет его оптималь-

ной банаховой оболочкой. В разделе 1.4. рассмотрен важный случай, когда конус задан

интегральным представлением, получена Теорема 1.4.1 для построения оптимальных

оболочек в этом случае.

В Главе 2 рассмотрены пространства измеримых функций, заданных с помощью

двухвесовых интегральных (квази)норм. Для них установлены точные описания ассо-

циированных норм и в случае исходных квазинорм решена задача об описании опти-

мальных (то есть минимальных) обобщенных банаховых функциональных пространств,

в которые вложены исходные пространства. Здесь мы используем основные понятия и

факты теории БФП и ОБФП, изложенные в Главе 1. В разделе 2.1 сформулированы

основные результаты. Выделены два варианта двухвесовых интегральных квазинорм.

Для первого из них описания ассоциированных обобщенных функциональных норм

(кратко: ОФН) приведены в Теоремах 2.1.1 и 2.1.2 (в зависимости от условий на весо-

вые функции).

1 − p1 , 1 < p ≤ ∞,



1 1

Пусть 0 < p ≤ ∞, p0 = (1 − p )+ =

0, 0 < p ≤ 1.

1 1

1 ≤ q ≤ ∞, q0 = 1 − q , 0 ≤ t0 < T0 ≤ ∞; ϕ, ψ-непрерывные функции на (t0 , T0 );

ϕ > 0, ψ ≥ 0. При t ∈ (t0 , T0 ) обозначим

Z t

1

Ψp (t) = ( ψ p dτ ) p , 0 < p < ∞;

t0

Ψ∞ (t) = sup ψ(τ ), p = ∞;

τ ∈(t0 ,t]

Ψp (t0 ) = lim Ψp (t); Ψp (T0 ) = lim Ψp (t);

t→t0 +0 t→T0 −0

+

и для f, g ∈ M (t0 , T0 ) введем

Z T0  p1

ρpq (f ) = kf ϕkpLq (τ,T0 ) ψ p (τ )dτ , 0 < p < ∞;

t0

ρ∞q (f ) = kf ϕkLq (·,T0 ) ψ(·) , p = ∞;

L∞ (t0 ,T0 )

10

  #p0  10

" p

Z T0

g dΨp (t) 

ρ̇0pq (g) = Ψp (t)−1 , 1 < p ≤ ∞;

 t0 ϕ Lq0 (t0 ,t) Ψp (t) 

g

ρ̇0pq (g) = Ψp (·)−1 , 0 < p ≤ 1.

ϕ Lq0 (t0 ,·) L∞ (t0 ,T0 )

Теорема 2.1.1.

В приведенных обозначениях пусть 0 < Ψp (t) < ∞, t ∈ (t0 , T0 ); Ψp (T0 ) = ∞. Тогда,

ρpq есть идеальная квазинорма (ИКН в терминологии Гл. 1) при 0 < p < 1, или

обобщенная функциональная норма (ОФН) при 1 ≤ p ≤ ∞, а для ассоциированной

ОФН Z T0 

ρ0pq (g) := sup gf dt : f ∈ M + (t0 , T0 ), ρpq (f ) ≤ 1

t0

справедлива двусторонняя оценка

ρ0pq (g) ∼

= ρ̇0pq (g).

Постоянные в последней двусторонней оценке положительные, конечные, зависят

только от p.

В Теореме 2.1.2 получены описания ассоциированных ОФН при условии на вес:

Ψp (T0 ) < ∞. Для второго варианта задания двухвесовых интегральных квазинорм со-

ответствующие описания даны в Теоремах 2.1.3 и 2.1.4. Наконец, Теоремы 2.1.5 и 2.1.6

дают решения задач об оптимальных ОБФП, содержащих заданные квазинормирован-

ные пространства, описываемые с помощью интегральных двухвесовых квазинорм.

Пусть 0 < p < 1, 1 ≤ q < ∞; 0 ≤ t0 < T0 ≤ ∞, ϕ, ψ > 0 - непрерывные

функции на (t0 , T0 ). Через Kpq = Kpq (t0 , T0 ) обозначим векторное квазинормированное

пространство:

Kpq = {f ∈ M (t0 , T0 ) : ρpq (|f |) < ∞} ,

где ρpq - ИКН, определенная выше.

Задача: найти оптимальное (наименьшее) ОБФП Ǩpq = Ǩpq (t0 , T0 ), такое что Kpq ⊂ Ǩpq .

Теорема 2.1.5.

В приведенных обозначениях ОБФП Ǩpq имеет ОФН:

Z T0

ρ̌pq (f ) = kf ϕkLq (τ,T0 ) ψ̌p (τ )dτ,

t0

Z τ  p1 −1

1 p

где ψ̌p (τ ) = ψ (ξ)dξ ψ p (τ ), τ ∈ (t0 , T0 ).

p t0

Результаты Теоремы 2.1.5 получаются двукратным применением Теоремы 2.1.1 (снача-

ла для описания ρ0pq , а затем для описания ρ00pq ) так же, как и Теорема 2.1.6 - двукратным

применением Теоремы 2.1.3.

11

 Раздел 2.2 содержит доказательства основных результатов. Для их получения мы

развиваем методы дискретизации интегральных весовых квазинорм и строим их экви-

валентные дискретные аналоги в терминах весовых последовательностей (леммы 2.2.1,

2.2.10 , 2.2.100 ). Описание ассоциированных дискретных весовых норм получено в леммах

2.2.2, 2.2.20 , 2.2.200 . Наконец, переход от дискретных аналогов ассоциированных норм к

интегральным нормам с помощью процедуры ”антидискретизации” проведен в леммах

2.2.3, 2.2.30 , 2.2.300 . Синтез описанных результатов дает доказательство Теорем 2.1.1 и

2.1.2. Теоремы 2.1.3 и 2.1.4 доказываются сведением к Теоремам 2.1.1 и 2.1.2. (соответ-

ственно) с помощью замен переменных.

В Разделе 2.3 рассмотрена задача построения оптимальной банаховой оболочки

для конуса неотрицательных убывающих функций из весового пространства Lp,u (0, T ), 0 <

p < ∞. Основной результат представлен в Теореме 2.3.1.

Пусть T ∈ R+ , u-положительная, измеримая функция:

K0 = {h ∈ Lp,u (0, T ) : 0 ≤ h ↓, t ∈ (0, T )}, (1)

снабженный естественным функционалом

 ZT  p1

p

ρK0 (h) = khkLp,u (0, T ) = h u dt . (2)

0

Теорема 2.3.1

R t Пусть дан конус K0 (1), снабженный функционалом ρK0 (2). Обозначим U (t) =

0

udτ, 0 < U (t) < ∞, t ∈ (0, T ). Тогда оптимальное ОБФП X0 , содержащее конус K0

(1), имеет норму

Z T  p1

kf kX0 (0,T ) = kf kpL∞ (t,T ) u(t)dt , 1 ≤ p < ∞;

0

Z T

kf kX0 (0,T ) = kf kL∞ (t,T ) ũ(t)dt, 0 < p < 1,

0

1 1

ũ(t) = U (t) p −1 u(t).

p

В случае U (T ) = ∞ X0 является ОБФП, не БФП. В случае U (T − 0) < ∞ X0

p0

является БФП при выполнении условия: u− p ∈ Lloc

1 (0, T ).

Глава 3 посвящена проблеме построения оптимальной квазибанаховой оболочки

для заданного конуса неотрицательных измеримых функций методом нестягивающих

операторов. Установлены общие результаты, описывающие конструкцию минимальных

ИП, и разобраны некоторые конкретные реализации подобных конструкций. Следует

отметить, что в зависимости от конкретных конусов и классов ИП, в которых строит-

ся оптимальная оболочка, конструкции нестягивающих операторов могут быть весьма

разнообразны. В Разделе 3.1 приведены основные определения и формулировки резуль-

татов. Раздел содержит две основные теоремы, описывающие конструкцию минималь-

ного ИП, которое содержит заданный конус неотрицательных функций, изначально

12

принадлежащих некоторому идеальному квазинормированному пространству. В Тео-

реме 3.1.1 решена общая задача о построении минимального ИП, содержащего данный

конус, в котором квазинорма согласована с нестягивающим оператором.

Теорема 3.1.1.

1. Пусть Y = Y (S, µ) есть ИП, порожденное ИКН ρ; A0 : M (S, µ) → M + (S, µ)- опера-

тор со следующими свойствами:

A0 (|f |) = A0 f ; A0 (αf ) = αA0 f f ∈ M, α ≥ 0;

∃c0 ∈ R+ : ρ(f ) ≤ c0 ρ(A0 f ), f ∈ M ; (3)

∃c1 ∈ [1, ∞] : ρ(A0 (f + g)) ≤ c1 [ρ(A0 f ) + ρ(A0 g)];

|f | ≤ |g| µ-п.в. ⇒ ρ(A0 f ) ≤ ρ(A0 g), f, g ∈ M ;

0 ≤ fn ↑ f µ-п.в. ⇒ A0 fn ↑ A0 f µ-п.в.

Тогда, отображение

ρ0 (f ) := ρ(A0 f ), f ∈ M + ,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бахтигареева Эльза Гизаровна, 2017 год

Литература

[1] Sobolev S. Methode nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy pour les equations

lineaires hyperboliques normales // Мат. зам. 1936. Vol. 1(43), no. 1. P. 39–72.

[2] Соболев С. Л. Об одной теореме функционального анализа // Мат. сб. 1938. Т.

4(46), № 3. С. 471–497.

[3] Соболев С. Л. Некоторые приложения функционального анализа в математиче-

ской физике. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. - С. 256.

[4] Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представле ния функ-

ций и теоремы вложения. Москва: Наука, 1975.

[5] Бесов О. В. О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вло-

жения и продолжения // Докл. АН СССР. 1959. - Т.126. - С. 1163-1165.

[6] Бесов О. В. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи

с теоремами вложения и продолжения // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова.- 1961.

Т.60. - С. 42-81.

[7] Riesz M. Sur le maxima des formes bilinearies et sur les fonctionelles lineaires // Acta

Math. 49, 1926, 465-497.

[8] Thorin G. O. An extension of a convexity theorem due to M. Riesz. Kungl. Fys. Saell.

i Lund For. 8, 1939, 14.

[9] Marcinkiewicz J. Sur l’interpolation d’operations. C. R. Acad. Sci. Paris. 208, 1939,

1272-1273.

[10] Orlicz W. Uber eine gewisse Klasse von Raumen vom Typus B. Bull. Int. Acad. Polon.

Sci. Lett. Cl. Math. Nat. A, 1932, 207-220.

[11] Orlicz W. Uber Raume (LM ). Bull. Int. Acad. Polon. Sci. Lett. Cl. Math. Nat. A, 1936,

93-107.

[12] Halperin I. Function spaces. Canad. J. Math. 5, 1953, 273-288.

[13] Halperin I., Ellis H. W. Function spaces determined by a levelling length function.

Canad. J. Math. 5, 1953, 576-592.

[14] Lorentz G. G., Wertheim D. G. Representation of linear functionals on Kothe spaces.

Canad. J. Math. 5, 1953, 568-575.

97

[15] Kothe G. Topologische Lineare Raume. Springer-Verlag, Berlin, 1960.

[16] Luxemburg W. A. J. Banach function spaces. Ph. D. Thesis. Delft Institute of

Technology. Assen (Netherlands), 1955.

[17] Lions J. L. Sur certains theoremes d’interpolation. C. R. Acad. Sci. Paris, 250, 1960,

2104-2106.

[18] Gagliardo E. Interpolazione di spazi di Banach e applicazioni. Sci. Genova, 1959.

[19] Крейн С. Г. Об одной интерполяционной теореме в теории операторов. ДАН СССР

130, 3. 1960, 491-494.

[20] Peetre J. A theory of interpolation of normed spaces. Notes Universidad de Brazilia.

1963.

[21] Astashkin S. V. Geometrical properties of Banach spaces generated by sublinear

operators // Positivity, v. 17, no. 2 (2013), 223-234.

[22] Astashkin S. V., Maligranda L. Interpolation of Cesaro sequence and function spaces

// Studia Math., (2015), v. 421, no. 1, 259-279.

[23] Бережной Е. И. Точные оценки операторов на конусах в идеальных простран-

ствах // Труды МИАН, (1993), т. 204, с. 3-34.

[24] Berezhnoy E. I. Two weighted estimates for Hardy-Littlewood maximal function in

ideal Banach spaces // Proc. Amer. Math. Soc., (1999), v. 127, 79-87.

[25] Брудный Ю.А., Кругляк Н.Я. Об одном семействе аппроксимационных про-

странств. В кн.: Исследования по теории функций многих вещественных пере-

менных: Межвузовский тематический сборник. - Ярославль: Ярославский ун-т,

1978, с. 15-43.

[26] Brudnyi Yu. A., Кrugljak N.Ya. Interpolation Functors and Interpolation Spaces, Vol.

1. North Holland, Amsterdam, 1991.

[27] Овчинников В. И. Интерполяционные функции и интерполяционная конструкция

Лионса-Петре // УМН, 69:4(418) (2014), 103-168.

[28] Овчинников В. И. Обобщенная интерполяционная конструкция Лионса-Петре и

оптимальные теоремы вложения для пространств Соболева // Матем. сб., 205:1

(2014), 87-104.

[29] Овчинников В. И. Квазинормированные идеалы Неймана-Шаттена и теоремы

вложения для обобщенных пространств средних Лионса-Петре. Алгебра и анализ,

22:4 (2010), 214-231.

[30] Иоффе А. Д. , Тихомиров В. М. Двойственность выпуклых функций и экстре-

мальные задачи // Успехи мат. наук, 23-6 (1968), 51 - 116.

98

[31] Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. Изд.

2-е, перераб. и доп. — М.: Физматлит, 2005.

[32] Магарил-Ильяев Г. Г. , Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения,

М., Едиториал, УРСС, 2003.

[33] Bennett C., Sharpley R. Interpolation of Operators. New York: Academic Press, 1988.

[34] Гольдман М. Л. О вложении пространства Никольского-Бесова в весовое про-

странство Лоренца. Тр. МИАН СССР, 180 (1987), 93-95.

[35] Гольдман М. Л. Критерий вложения разных метрик для изотропных пространств

Бесова с произвольными модулями непрерывности. Тр. МИАН, 201 (1992), 186-

218.

[36] Калябин Г. А. Описание функций из классов Бесова-Лизоpкина-Тpибеля // Тpу-

ды Математического института АН СССР им. В. А. Стеклова, т. 156, 1980, с.

82-109.

[37] Гольдман М. Л. Об оптимальных вложениях обобщенных потенциалов Бесселя и

Рисса // Труды Матем. Ин-та им. В. А. Стеклова. 2010. Т. 269. С. 91-111.

[38] Goldman M. Some constructive criteria of optimal embeddings for potentials //

Complex Variables and Elliptic Equations. 2011. V. 56, N. 10-11. P. 1-19.

[39] Goldman M. L, Haroske D. Estimates for continuity envelopes and approximation

numbers of Bessel potentials // J. Approx. Theory. 2013. V. 172. P. 58-85.

[40] Гольдман М. Л., Хароске Д. Оптимальные пространства Кальдерона для обоб-

щенных потенциалов Бесселя // Доклады Академии Наук. 2015. Т. 463, №1. С.

14-17.

[41] Буренков В.И., Гольдман М.Л. Вычисление нормы положительного оператора на

конусе монотонных функций // Труды Математического ин-та им. В.А. Стеклова.

1995. Т. 210. С. 65-89.

[42] Myasnikov E. A., Persson L.-E., and Stepanov V. D. On the best constants in certain

integral inequalities for monotone functions, Acta Sci. Math(Szeged) 59, no. 3-4 (1994),

613-624.

[43] Stepanov V. D. Integral operators on the cone of monotone functions, J. London Math.

Soc. (2), 48, no. 3 (1993), 465-487.

[44] Sawyer E. Boundedness of classical operators on classical Lorentz spaces // Studia

Math. 1990. V. 96. P. 145-158.

[45] Гольдман М. Л., Забрейко П. П. Оптимальное восстановление банахова функци-

онального пространства по конусу неотрицательных функций // Труды Матем.

Ин-та им. В. А. Стеклова. 2014. Т. 284. С. 91-115.

99

[46] Бахтигареева Э. Г., Гольдман М. Л., Забрейко П. П. Оптимальное восстановление

обобщенного банахова функционального пространства по конусу неотрицатель-

ных функций // Вестник ТГУ. 2014. Т. 19, №2. С. 316-330.

[47] Bakhtigareeva E. Optimal Banach function space for a cone of decreasing functions in

a weighted Lp - space // Eurasian mathematical journal, Vol.6, Num. 1 (2015), 6 - 25.

[48] Bakhtigareeva E.G., Goldman M. L. Associate Norms and Optimal Embeddings for a

Class of Two-Weight Integral Quasi-Norms// Journal of Mathematical Sciences. 2016,

Volume 218, Issue 5, pp 549-571).

[49] Гогатишвили А., Степанов В. Д. Редукционные теоремы для весовых интеграль-

ных неравенств на конусе монотонных функций // Докл. 2013. Т. 68, №4. С. 3-68.

[50] Степанов В. Д. Об оптимальных пространствах Банаха, содержащих весовой

конус монотонных или квазивогнутых функций // Докл. АН. 2015. Т. 464, №2. С.

145-147.

[51] Gol’dman M. L., Heinig H. P. , Stepanov V. D. On the principle of duality in Lorentz

spaces. Canad. J. Math., 1996, 48:5, 959–979.

[52] Gogatishvili A., Pick L. Discretization and anti-discretization of rearrangement-

invariant norms. Publ. Mat., 2003, 47:2, 311–358.

[53] Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов E. М. Интерполяция линейных операторов.

М.: Наука, 1978.

[54] Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. Москва "Нау-

ка"Физматлит, 1984.

[55] Kusraev A. G. Dominated Operators, Kluwer, Dordrecht, 2000.

[56] Kusraev A. G., Kutateladze S. S. On the calculus of order bounded operators //

Positivity, 9 (2005), 327-339.

[57] Kusraev A. G. Injective Banach lattices: a survey, Eurasian Math. J., v. 5, no. 3 (2014),

58-79.

[58] Сухинин М.Ф. Избранные главы нелинейного анализа. г. Москва. Изд-во: Россий-

ского университета дружбы народов. 1992.

[59] Забрейко П. П. Нелинейные интегральные операторы // Труды семинара по функ-

циональному анализу. — Воронеж, 1966. Вып. 8. С. 3–148.

[60] Забрейко П. П. Исследования по теории интегральных операторов в идеальных

пространствах функций // Диссертация на соискание ученой степени доктора

физико-математических наук, 1968. Воронеж. 400 с.

[61] Забрейко П. П. Идеальные пространства функций. 1 // Вестник Ярославского

Университета. 1974. Т. 8. С. 12–52.

100

[62] Rolewicz S. On a certain class of linear metric spaces // Bull. Acad. Polon. Sci. Cl.

III. 5. 1957. P. 471-473.

[63] Aoki T. Locally bounded linear topological spaces // Proc. Imp. Acad. Tokyo. 18.

1942. P. 588-594.

[64] Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир, 1980.

[65] Гольдман М.Л., Забрейко П.П. Оптимальное банахово функциональное простран-

ство для конуса неотрицательных убывающих функций. // Труды Института Ма-

тематики НАН Белоруси, 2014, №1.

[66] Гольдман М.Л., Бахтигареева Э.Г. Построение оптимальной оболочки для кону-

са неотрицательных функций со свойствами монотонности // Труды Математи-

ческого института им. В.А. Стеклова, т. 293, 2016, с. 43 - 61 (англ. версия: E.G.

Bakhtigareeva, M. L. Goldman. // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics,

2016, Vol. 293, pp. 37-55. Pleiades Publishing Ltd., 2016).

[67] Бахтигареева Э.Г. Построение оптимальных идеальных пространств для конусов

неотрицательных функций // Математические заметки, т. 99, вып. 6, 2016, 820

- 831 (англ. версия: E.G. Bakhtigareeva. Construction of Optimal Ideal Spaces for

Cones of Nonnegative Functions // Mathematical Notes, 2016, Vol. 99, No. 6, pp.

810-820).

[68] Lesnik K., Maligranda L. Abstract Cesaro spaces. Duality // J. Math. Anal. Applic.

2015. V. 424. P. 932–951.

[69] Lesnik K., Maligranda L. Abstract Cesaro spaces. Optimal range // Integral Equat.

And Operator Theory. 2015. V. 81. P. 227–235.

[70] Diening L., Samko S. Hardy inequality in variable exponent Lebesgue spaces //

Fractional Calculus and Applied Anal. 2007. V. 10, N. 1. P. 1-17.

101