Оптимизация конструкции грунтовых плотин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.07, кандидат наук Сепеда, Харанильо Вашингтон

• Сепеда, Харанильо Вашингтон
• кандидат наук
• 1988

Оглавление диссертации кандидат наук Сепеда, Харанильо Вашингтон

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ

I. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

1.1. Метод оптимизации на основе принципа согласованного оптимума (принцип Парето)

1.2. Метод множителей Лагранжа как основа методов штрафных функций

1.3. Метод прямого поиска с использованием локальных вариаций

Выводы к главе I

П. ДВУХКРИТЕРИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ (ПРИНЦИП

ПАРЕТО)

2.1. Построение функции стоимости конструкции в зависимости от вариации факторов

2.2. Функции ограничения и их свертка •••••••

2.3. Решение задачи Парето с помощью вычислительной программы Парето

Вдерды к главе П. **. ••••••. •••••••

I. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ

3.1. Использование методов безусловной оптимизации. Метод штрафных функций (метод внешней точки). Алгоритм решения задачи с помощью вычислительной программы "Оптима"

3.2. Решение двухкритериаль ной задачи оптимизации методом штрафных функций

3.3. Решение многокритериальной задачи оптимизации

Выводы к главе Ш

Стр.

1У. МЕТОД ПРЯМОГО ПОШКА

4.1. Алгоритм решения задачи методом прямого

поиска

4.2. Решение задач методом прямого поиска

4.3. Сопоставление результатов расчетов, провес-денном по трем методам

4.4. Оптимизация конструкции земляной плотины

на сжимаемом основании

Выводы к главе 1У

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

ЛИТЕРАТУРА

/

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимизация конструкции грунтовых плотин»

ВВЕДЕНИЕ

В последнее время большое распространение получили как в СССР, так и за рубежом, плотины из грунтовых материалов. Размах строительства этих плотин определяется возможностью полной механизации процесса возведения плотины, а также сокращает расход цемента на строительство гидроузла по сравнению с бетонными плотинами. Грунтовые плотины строятся в самых разнообразных климатических и геологических условиях: в зоне вечной мерзлоты и в зонах жаркого влажного климата, в труднодоступных географических условиях.

Грунтовые плотины по высоте уже превышают 300 м (Нурекская - 300 м, строящаяся Рогунская - 335 м). Грунтовые плотины -сложные технические и инженерные объекты. Безотказность работы таких сооружений необходима, так как аварии на них могут привести к большим разрушениям и человеческим жертвам. Надежность грунтовых плотин во многом зависит от расчетных методов и исследований.

В связи с массивностью сооружений (до 130 млн. м3 - плотина Тарбела в Пакистане), возникает необходимость выбора такой конструкции плотины, которая требовала бы минимальных затрат на ее возведение и шесте с тем отвечала бы высоким требованиям надежности.

Обычно выбор оптимального проекта конструкции грунтовых плотин проводится после детальной проработки двух или трех вариантов сооружения и их экономического сопоставления.. Такой прием оптимизации не гарантирует выбора наиболее дешевой конструкции.

В связи с этим возникает необходимость в разработке такого метода поиска оптимальной конструкции, который позволил бы найти наиболее дешевую конструкцию и вместе с тем отвечающую всем техническим требованиям.

В последние годы ученые разных стран работают над поиском научного метода, который дал бы возможность осуществлять обоснованный выбор оптимальной конструкции конкретного сооружения.

В ГДР / 9° / с помощью ЭВМ разработана система автоматизированного проектирования плотин из местных материалов. На начальном этапе оптимизации вариантов учитывается влияние целого ряда факторов: топографических, геологических, геотехнических, экономических и др. Система оптимизации позволяет выбирать оптимальную конструкцию из 77 стандартных вариантов поперечных профилей плотины, отличающихся типом и положением водонепроницаемого элемента, материалом водонепроницаемого элемента и боковых призм. Для выбранных оптимальных вариантов на ЭВМ производят расчет откосов, фильтрационной прочности с использованием фактических геологических и геотехнических исходных данных. Если рассматриваемый вариант плотины не обладает достаточной устойчивостью, производится корректировка задожения откосов, и расчеты повторяются.

В СССР ведется поиск систематизированной методики расчета оптимальной конструкции. В Гидропроекте проводились исследования / В4 / по выбору оптимального решения ряда вариантов плотины. После определения напряженного деформированного состояния проводится анализ ее работы, изменение геометрических параметров, вписывание нового варианта в каньон и решение этого ново« го варианта конструкции.

В /89 / математическая задача оптимизации сводится к отысканию минимума объема бетона в характерном профиле контр-форсной плотины, который выражен в целевой минимизирующей функции. Среди ряда профилей, удовлетворяющих принятым нормативным критериям, находят такой, где

Эти методы, несмотря на их различие в способе выбора оптимальной конструкции, близки идее последовательности отбор конструкции по отношению к нормативным критериям работоспособности и минимизации объема сооружения или его стоимости.

Конструкция грунтовых плотин определяется многими независимыми показателями - факторами. Из всего многообразия факторов выделяются главные. В каменно-земляных плотинах их может быть 5-6. Варьируя факторы, можно получить различные варианты плотины. Если стоимость этих конструкций и показатели работоспособности представить в виде функций факторов, то поиск оптимальной конструкции упрощается.

В работах Л.Н.Рассказова /67- 62 / впервые к анализу работоспособности грунтовых плотин применен математический аппарат теории планирования эксперимента, позволяющий при небольшом числе варьируемых вариантов плотины оценить влияние рассматриваемого каждого в отдельности фактора и их взаимодействия на работу сооружения. Такой подход к проблеме анализа надежности (работоспособности) грунтовой плотины более обоснован.

На основе математического аппарата теории планирования эксперимента применительно к расчетам и с помощью метода оптимизации, основанного на принципе согласованного оптимума (принцип Парето), в работе / 48 / была разработана методика оптимизации конструкции грунтовых плотин. Задавались разумные с инженерной точки зрения граничные значения определенных параметров, которые

влияют на работоспособность и экономичность сооружения (заложение верхового и низоюго откосовплотность укладки, углы наклона и ширина по основанию противофильтрационного элемента и т.п.).По этим параметрам составляется таблица (план, матрица) расчетов напряженно-деформированного состояния выбранных в соответствии с планом конструкций. Вычисляются критерии работоспособности (Kg*0, К®'0, KgP'r, KgP*B) и стоимость каждой конструкции Э(х). Для упрощения задачи оптимизации производится свертка всех критериев работоспособности в один "единый обобщенный параметр оптимизации" D(X) .

Таким образом, поиск оптимальной конструкции ведется по двум критериям - 2)(Х) и функции стоимости Э(х) (двухкрите-риальная задача оптимизации). По такой методике полученные оптимальные конструкции плотины оказались дешевле ранее выбранной на основе обычной методики.

Однако разработанная методика оптимизации не всегда эффективна. При вычислении ])(*) должны выполняться ©граничения: отдельные показатели работоспособности не должны иметь больших значений, так как большие значения одних критериев несколько компенсируют малые (ниже нормативных) значения других критериев, а этого не должно быть, так как недопустимое значение одного критерия делает конструкцию неработоспособной. Как показал анализ расчетов, проведенных в гл. 2, значение J){X) для оптимальной конструкции может находиться на середине принятой области по жале желательности (шкала Харрингтона), а значения отдельных взятых коэффициентов надежности были несколько ниже нормативных значений по СНиП.

Другим направлением для решения этой задачи является непосредственный учет каждого критерия работоспособности сооружения

самостоятельно, т.е. переход от двухкритериальной задачи оптимизации, корда все критерии свертываются в один, к многокритериальной без использования функции желательности Харрингтона.

Целью диссертационной работы является разработка метода поиска оптимальной конструкции грунтовых плотин на основе факторного анализа с построением критериев работоспособности плотины в допустимой области факторного пространства.

Для достижения поставленной цели разработана методика построения функции работоспособности плотины; построения функции стоимости конструкции плотины (Э(х)); поиска оптимальной конструкции грунтовой плотины.

Научная новизна работы заключается в:

1. Методике поиска оптимальной конструкции грунтовой плотины на основе учета нескольких критериев работоспособности плотины методом безусловной оптимизации с помощью штрафных функций;

2. Методике поиска оптимальной конструкции плотин на основе метода прямого поиска с использованием локальных вариаций.

Практический выход состоит во внедрении разработанных методик в проектную практику при проектировании грунтовых плотин. Для этого созданы вычислительные программы на языке ФОРТРАН.

На защиту выносятся:

1. Методика построения функций работоспособности грунтовой плотины и ее стоимости в зависимости от варьируемых факторов;

2. Методика поиска оптимальной конструкции плотины различными методами оптимизации (метод штрафных функций и метод прямого поиска).

Достоверность результатов определялась непосредственно проверкой результатов.

Диссертационная работа выполнена в лаборатории грунтовых плотин кафедры гидротехнических сооружений под научным руководством профессора, доктора технических наук Л.Н.Рассказова.

Автор выражает глубокую благодарность Л.Н.Рассказову за постоянное внимание и помощь, оказанные при выполнении данной работы.

Автор выражает благодарность коллективу лаборатории грунтовых плотин за внимание и помощь цри оформлении диссертации, а также коллективу кафедры гидротехнических сооружений за постоянную поддержку.

I. МЕТОДЫ 01ШШЗАЩШ

1.1. Метод оптимизации на основе принципа

согласованного оптимума (принцип Парето)

Теория оптимизации находит эффективное применение во всех, направлениях инженерной деятельности. Сфера применения оптимизационных методов в инженерном проектировании отдельных структурных элементов технических систем, проектирования узлов оборудования и составления предварительных проектов промышленных предприятий в целом. Задача оптимизации сводится к выбору таких значений переменных, характеризующих размеры отдельных устройств и режимы их работы, которым соответствует наилучшее значение характеристического показателя качества функционирования системы при минимуме ее стоимости.

При построении оптимального проекта из допустимых проектов выбирается лучший в оцределенном смысле. Термин "лучший" можно понимать в смысле наибольшего (максимального) или наименьшего (минимального) значения некоторой функции ^(?) для переменной СХ] из множества Nг —}

Если оптимизирующая функция /(X) отвечает, например, стоимости проектируемого объекта, то ее нужно минимизировать. Однако, если эта функция ^М характеризует качество продукции, то ее следует максимизировать. Нахождение максимума функции у7х] эквивалентно нахождению минимума —

Все эти задачи можно классифицировать как задачи минимизации вещественной функции в // -мерном векторном аргументе (пространстве) /•=(// ____компоненты, которые удовлетворяют системе уравнений (х) - О ; набор неравенств

^ (X) ^ О , а также в ряде задач оптимизации может возникнуть необходимость учета системы ограничений по аргументам

V//77АХ V- -> \/ -/77''*7

(X) , т.е. ^ Ры, ^ Хс . В последующем изло-

жении функцию /"(X) будем называть целевой минимизирующей функцией; (X) = О ограничения в виде равенств, о

- ограничения в виде неравенств. Предполагается, что все фигурирующие в задаче функции являются вещественнозначными, а число ограничений конечно.

Задача минимизации будет в общем виде:

минимизировать (1.1)

при ограничениях •= О (1.2)

----^ (1.3)

у:? л.-✓у (1.4)

Впервые математическое описание принципа согласованного оптимума было сделано итальянским математиком Вилфредом Парето в 1906 году.

Принцип согласованного оптимума (принцип Парето) является основой теории неантагонистических игр. Универсальность принципа согласованного оптимума позволяет применять его, в первую очередь, для решения экономических задач планирования и управления. Принцип согласованного оптимума - один из первых формально-математических инструментов решения задач планирования и управления сложных систем. Применительно к оптимальному проектированию согласованный оптимум представляет собой те решения задачи оптимизации, для которых ни один из заданных критериев не может улучшить свои показатели, не ухудшив при этом показатели остальных критериев (факторов).

и

Для двухкритериаяьной задачи оптимизации с функциями //М У* ¿х) , где Х«/х>, & ) , условия согласованного оптимума

интерпретируются в уравнение

д/т

Э//Ы) дХл

¿/¿У)

= о

(1.5)

как условие согласованного оптимума для двух функций. Точка оптимума, принадлежащая кривой, определенной уравнением (1.5) получила название точки Парето.

Условием задачи Парето является то, что функции Ус(Х) должны быть аналитическими. Точка, в которой достигается максимальное (минимальное) значение этой функции, называется оптимальной точкой для данной функции. Согласно теореме К.Вейерштрасеа, для любой аналитической функции такая точка существует.

Согласованный оптимум можно геометрически интерпретировать на примере двухкритериальной задачи и в двух-

факторном пространстве X - ("XV, ) , когда и

^ М тар , геометрически интерпретируется на плоскости в виде линии, которая соединяет точки прикасания линий постоянного значения функций У/Сю и /а(Х) и обязательно проходит

уф О л ®

через точки С/ и (рис. I), абсолютные максимальные зна-

чения функций У/ СХ) и •

На рис. I изображены линии равных значений У/СУ) и В точке X = Уж), Ю , а У* Сх') - 70, если сохранить

постоянное значение У? (X) = 70 и двигаться вдоль этой линии, дойдем до точки пересечения со значениями У/ СХ) = 40, что больше, чем в точке X9 , и она является оптимальной. Движе-

ние можно проводить по линии равного уровня для функции —

£

= 30 и дойти до оптимальной точки X , где функция П5.

Таким образом, геометрическое место оптимальных точек для задачи Парето есть геометрическое место точек касания линии равных значений функций // fX) и /¿(X) . Эти линии определяются уравнениями

= с,

Jj (Х„Хл ) * сл

Как видно из рис. I, для двухкритериальной задачи в двух-факторном пространстве согласованным оптимумом является линия, которая обязательно проходит через точки С/ ж С? t для трех-факторного пространства это будет плоскость, при увеличении размерности задачи более чем на три фактора геометрически невозможно представить паретовское множество.

Геометрическое место точек касания линий равных значений функций ///X) и /г (Х) связано с понятием градиента функции. Между линиями уровня функции ft^X) и градиентом имеется простая связь: в каждой точке X градиент нормален к линии уровня в эту точку, тогда движение к оптимуму должно осуществляться ортогонально вектору угле/ ffX)

Для решения задачи оптимизации движения к оптимуму необходимо выбирать две начальные точки X* и X* , тогда положение оптимальной точки соответствует решению линейной системы уравнений касательных к линии уровня в точках X и X5

эх, /х» (1>6)

, h' /х«,

|Х2

ЛУШ СОГЛАСОВАННОГО ОПТИМУМА

С

N.

*ч к'"/*

.....

-г

РУС 1.1

;. £

н

Решение системы (1.6) приводит к точке X4 , но она не является оптимальной, так как эта точка находится на пересечении линии уровня и /гМ . Следовательно, для того, что-

бы достичь точки оптимума, необходимо решать систему уравнений (1.6), но уже из других начальных точек, близких к точке X4 (непосредственно из точки X4 ничего не даст).

Таким образом, система уравнений (1.6) превратится в итерационный процесс, который приведет в течку, удовлетворяющую условиям

<

с/Х, + Жг = ^/и^Л ¿/у

эх, дхл * , ч

(1.7)

= ¿х, £/Хг. Г огас/М(Х)- 7х

ЭХ, *** *

Условия (1.7) представляют собой дифференциальные уравнения линии равных значений функций и /¿¿X) . Уравнения (1.7) представляют собой согласованный оптимум.

Векторы ^гааГ^77) и §гло> ортогональны

линиям значения, а их параллельность

^77777) - X дгао/ /Ух? (1.8)

означает, что в точках, определяемых этим условием, линии равных значений функций // и /л касаются одна другой. Следовательно, геометрическое место точек, в которых векторы дга^ //М и гаЫ /а!*) колинеарны, есть геометрическое место точек касания линии равных значений.

На отрезке ¿С / & 7 линии согласованного оптимума положительному приращению функции > о соответствует отрицательное приращение функции ^/¿¿х) о , положительно-

му приращению функции е1/я/)()>о соответствует отрицательное приращение СХ -

Таким образом, на отрезке ' С С<7°, Сг ] величина Л- отрицательна. Переход от одной точки I С? или ¿г' J к другой [

с/ или СП соответствует изменению ^ от 0 до — с*о . На остальной части линии согласованного оптимума величина Л положительна, и движение вдоль линии согласованного оптимума вызывает одновременное увеличение или уменьшение обеих целевых функций.

Координаты точек согласованного оптимума находятся из решения нелинейного уравнения (из принципа Парето):

Мм

о?Х, <?Хг

¿¿гС*)

ах,

Однако для решения такого уравнения, которое имеет два неизвестных (в данном случае), необходимо замкнуть и создавать систему, задавая ограничения на одну из функций у? Сх) или ,

и таким образом получаем систему нелинейных уравнений. Для случая, когда в задаче оптимизации факторов больше двух, при составлении системы (1.5) получаем систему из ) уравнений; для того, чтобы замкнуть систему из М уравнений, нужно воспользоваться такой процедурой, какая указана раньше. Таким образом, общая задача оптимизации будет

б?// СтО

<РХ/ гРХг

ЯШ

¿¡X, ¿Хл

¿//(X) М/х)

¿X*

¿/¿Я) ф)

¿?Ул>

/лМ 2 с О/75

= О

(1.9)

Ограничения лучше всего задавать функцией работоспособности (к примеру, единый параметр оптимизации £ ), так как эти функции можно выражать в виде неравенства. Задавая различные значения функции ограничения, получим ряд системы нелинейных уравнений (1.9), где будут меняться постоянное значение ^ (х) , и решение которых будут точки паретовского множества для каждого случая, что является локальными минимумами (оптимумами). Среди этих локальных оптимумов ищется глобальный.

Для многокритериальной задачи оптимизации, когда имеется п > 2 критериев,

У/ (X)-* /А мл* ; .........^ау

( У =-{Х<>ХЯ1____в этом случае количество функций / равно количеству переменных). Принцип согласованного оптимума дает оптимальное значение / , обеспечивающее равенство нулю всех полных дифференциалов целевых функций

I ё(,Ы)= ......* ¿/'/У ^

1 дХ; ¿У/7

■О

агАб//^*). 2/л/*) ¿/ж/ /

¿Ул

¿/л ¿Хш <?/*(*)

Для того, чтобы определить точку согласованного оптимума, необходимо равенство нулю определителя

¿X,

¿7// (*)

¿X*

Щх) дХг

е&ог) дХц

<?Х1

<?Хг?

= о

(1.10)

Для устранения неопределенности многокритериальной задачи оптимизации необходимо произвести свертку критериев, которая упрощает задачу, и представить ее в двухкритериальном виде (1.9). Свертку можно произвести из многих технических критериев в один обобщенный критерий Г> . Выбор критерия оптимизации в работе / 4$ / основывается на обобщенной функции желательности Харрин-гтона, которая выражается в уравнении (рис, ЯЛ):

е*/> [-ехр (1.11)

когда У'^ У/77''п , где с/ - значение частного критерия оп-

тимизации (по жале желательности 0 ^ с1 £ I); У' - безразмерная шкала ~3 ^ % ^ 3. С помощью шкалы желательности переходят от вычислительных (натуральных) значений критерия работоспособности (например, К3) к нормированным значениям (О - I)« Обобщенный параметр оптимизации Т) вычисляется по формуле

Ъ = ¿'•Ж*------^ ' (1.12)

С помощью (1.12) производится переход от многокритериальной задачи оптимизации к двухкритериальной с функциями стоимости Э(х) ^//¿Ю и ¡)(Х)

Паретовские множества могут не пересекать факторное пространство, т.е. когда на переменные (факторы) налагаются ограничения типа (1.4). В этом случае, если хотя бы один (или несколько) из факторов выходит за пределы факторного пространства, то воспользуемся приемом, который позволяет получить решение задачи оптимизации в факторном пространстве. Для этого необходимо самому отдаленному из факторов от своей ближайщей границы в факторном цространстве приблизиться к ней (границе) и фиксщювать значение этого фактора на границе. Тот факт, что данный фактор

находится на самом отдаленном расстоянии, показывает направлена.

ние поиска оптимума в данной задаче (см. рис. 1.2).

Таким образом, задача становится на одно неизвестное меньше, так как принято значение фактора на границе. Теперь формируем новые функции Э(х) и ]} (х) с фиксированным одним фактором и заново используем принцип согласованного оптимума (1.9). Вычисляем /г [X/, Хг,.. -. У/?-/) ; проверяется положение факторов по отношению к факторному пространству. Если значения всех оставшихся факторов находятся в факторном пространстве, то задача

J?<2

MA/__

h

АЙНЖСОГАА С о ВЛИИО Г 0. • о ПТЙ M У M л

ПОВЕРХНО£ТЬ

огран и ц eu ид

Факторное пространство

XtMJN

Vi m ах

хЧГ-ХГ-)-

-Xi

Э| > ? Э î ?Э4

PWC 12

я

•t •»" a:

i* » -t-

' ! .

J : ■ : t

■ biji

решена (при выбранном 1НЮ ). В противном случае следующий фактор переносим на границу и т.д.

1.2. Метод множителей Лагранжа как основа методов штрафных функций

В последнее время очень распространен среди оптимизационных методов метод штрафных функций.

Методы штрафных функций вытекают из метода множителей Лагранжа.

Метод множителей Лагранжа был сформулирован для задачи с ограничениями типа равенств:

. ......

и гласит: "Если ищется максимум или минимум некоторой функции многих переменных (факторов) при условии, что мезду этими переменными имеется связь (т.е. существуют ограничения), задаваемая одним или несколькими уравнениями, нужно прибавить к функции, у которой ищется экстремум, функции, задающие уравнения связи, умноженные на неопределенные множители, и искать затем максимум или минимум построенной (функции) суммы. Полученные уравнения, присоединенные к уравнениям связи, послужат для определения всех неизвестных".

Из вышесказанного необходимо преобразовать условную задачу оптимизации (1.13) в безусловную задачу, т.е.

где кСЪгг) называется функцией Лагранжа, а число V - неиз-

(1.13)

т) « + тгЬ(х)

(1.14)

вестные постоянные которые называют множителями Лагранжа, Х = = .....>*»)

Основой решения функции Лагранжа (1.14) служат две теоремы: о стационарной точке (теорема Ферма) и правило (теорема) множителей Лагранжа.

Из теоремы Ферма имеем, что для любой непрерывной функции ¿Ъ), если в точке X существуют все частные производные этой функции и если точка У доставляет локальный экстремум (минимум или максимум) этой функции,

Р/о СХ) _ о ; Л..,/7 (1.15)

Я Хс

Точки, для которых все частные производные равны нулю, называются стационарными; это является необходимым условием решения задачи Лагранжа.

Общий принцип Лагранжа гласит, что для решения задачи (1.13) (только с равенством, неравенства отсутствуют) необходимо построить функцию Лагранжа (1.14), затем решить ее так, как

если бы переменные (ХиХз.,.....) были независимы, т.е.

применить теорему Ферма о стационарной точке:

а¿(х,г),0 . л»/,,*,....,/7 (1.16)

ЗХс

к системе (1.16)необходимо добавлять ограничения

Ав(Х)=о (1.17)

так как решение системы (1.16) - (1.17) происходит относительно

ХД)____%п и ____-]гп . Среди этих решений необходимо

выбрать лучшее. Если допустимая точка X доставляет локальный экстремум (минимум или максимум), то множители Лагранжа 2/,. не равны одновременно нулю, и должно выполняться условие (1.16)

Для общего случая, когда в (1.13)имеются ограничения не только в виде равенств, но и неравенств, Кун и Таккер обобщили подход для решения задачи (1.9) с ограничениями в виде неравенств. Эта задача имеет вид:

минимизировать /СХ*. Хг, . . - -, (1.18)

при ограничениях Хг, ...Хп) ^ ° ' -(1.19)

--- , Х*) = о А. к (1.20)

Ограничения ^ СЮ называются активными в точке X , если =:£> , и неактивными, если (х ) >о .

Кун и Таккер вывели необходимые и достаточные условия для задач нелинейного программирования (1.18) - (1.20). Эти условия оптимальности известны как условия Куна-Таккера:

7

Г

Л 4

V/М - Е - А П ЬьМ -о

(1.21)

7 (1.22)

О; К (1.23)

¿2,...-, Г (1.24)

Для выполнения условий Куна-Таккера необходимо найти такие векторы X » V » 2Г , удовлетворяющие условиям (1.21) - (1.25).

Условия Еуна-Таккера связаны с условиями оптимальности первого порядка (1.13) - (1.17) для функции Лагранжа. Если рассмотреть задачу нелинейного программирования для случая только с ограничениями в виде неравенства и для них построить функцию Лагранжа:

¿ГХ,и)*/М - (1.26)

то условия оптимальности первого порядка для (1.26) будут

¿£Гк£ и/ ёцоо (1.27)

<?/с / ¿4

(1.28)

=о ; J--<>¿-----

и/ - множитель Лагранжа, соответствующий ограничению 7 . Он отражает изменение минимального значения целевой функции ,

вызываемое единичным приращением ограничения .

Если ограничение является неактивным (т.е. о ),

то У/ в о, и условие дополняющей нежесткости XI.24) выполняется, т.е. 2//{/)-£> . Если ограничение активное (т.е.

(X ) =0), то тогда множитель Лагранжа ТХ/ не обязательно равен нулю, так как все равно -О,

Кун-Таккер приводят ряд теорем для определения: являются ли решения задачи нелинейного программирования оптимальными. Одна из этих теорем рассматривает необходимость условий Куна-

Таккера в случае, когда точка X является допустимым решечу*

нием данной задачи. Если X - оптимальное решение, то существует пара векторов ( V*, -гГ* ), что ( Х^ К* > ^ ) являются решением задачи (условий) Куна-Таккера (1.21) - (1.25). Теорема о необходимости условий Куна-Таккера позволяет определить только неоптимальные точки задачи нелинейного программирования. С другой стороны, если в точке X* выполняются условия Куна -Таккера, то нет гарантии, что найдено оптимальное решение задачи (1.18) - (1.20). В связи с этим Кун-Таккер предложили достаточное условие, при выполнении которого нахождение точки, вы-

полнящей условия Куна-Таккера, обеспечивает получение оптимального решения. Для выполнения достаточных условий задачи (1.18) -(1.20) необходимо, чтобы целевая функция £[X) была выпуклая, все ограничения в виде неравенств ^/¿Х) — вогнуты, а ограничения в виде равенств Ьа (X) - содержали линейные функции. В таком случае, если для задачи (1.18) - (1.20) существует решение ( X*, 14*, 7Г*~ ), удовлетворяющее достаточным условиям Ку-на-Таккера, то X*" является оптимальным решением задачи нелинейного программирования.

Основой методов штрафных функций является метод множителей Лагранжа.

Исходную задачу условной минимизации для методов штрафных функций вида

минимизировать ^(Х) , Х£ Я (1.29)

при ограничениях ^'М^о* (1.30)

.....** (1*31)

хГ'^Хс- ....."

преобразуют в задачу безусловной минимизации, определяемую выражением

Г(хЛ ) = /м) + Я (¿ф'Щ. Ье (X)) (1.33)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сепеда, Харанильо Вашингтон, 1988 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Адлер Ю.П., Маркова К.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. - М.: Наука, 1976. - 279 с.

2. Арноль В.И. Теория катастроф,// Природа. - 1979. -

Jfc 10.

3. Ванди Б. Методы оптимизации. ~ М.: Радио и связь, 1988.

- 126 с.

4.Березин И.С. Методы вычисления. Т. I. - Минск: Наука, 1968. - С. 488-501.

5. Боровой A.A., Михайлов Л.П., Моисеев И.С., Радчен-

ко В.Г. Прогресс в проектировании и строительстве высоких плотин из грунтовых материалов // Гздротехническое строительство.

- 1983. - J* 8. - С. 45-48.

6. Брич З.С., Капилевич Д.В. Фортран. ЕС ЭВМ. - М.: Финансы и статистика, 1984.

7. Бугров А.К., Гребнев К.К. Расчет деформации и напряжений в плотинах и их основаниях // Гидротехническое строительство. - 1976. -16. - С. 19-23.

8. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. - М.: ИЛ, 1963. -483 с.

9. Васильев Ю.С., Виссарионов В.И., Кубышкин Л.И. Решение гидроэнергетических задач на ЭВМ. - М.: Энергоатомиздат, 1987.

- 158 с.

10. Волгин Л.Н. Принцип согласованного оптимума.MU:Советское радио, 1977. - 137 с.

11. Вострякова З.П., Митин С.Т. Курс оперативного обслуживания ОС ЕС ЭВМ. - М.: Наука, 1986. - 318 с.

12. Герсеванов Н.М., Долыпин Д.Е. Теоретические основы механики грунтов и их практическое применение. - М.: Стройиз-дат, 1948. - 247 с.

13. Гольдин А.Л. Расчеты уплотнения глинистого ядра высокой плотины с учетом вязких свойств скелета грунта. Известия ВНИИГ, № 80, 1986. - С. I4I-I50.

14. Гольдин А. Л. Напряженно-деформированное состояние плотин из грунтовых материалов и оснований: Автореф. дисс. ... докт. техн. наук. - Л.: ВНИИГ им. Б.Е.Веденеева, 1976. - 48 с.

15. Гольдин А. Л. Проектирование грунтовых плотин. - М.: Энергоатомиздат, 1987. - 304 с.

16. Горелик Л.В. Расчеты консолидации основании и плотины из грунтовых материалов. - Л.: Энергия, 1975. - 154 с.

17. Гришин М.М. Гидротехнические сооружения. - М.: Высшая школа, 1979. - Ч. I. - 615 с.

18. Гун Ю.Б., Долгов Н.П., Окороков В.Р., Семенов М.В., Федоров М.П., Щавелев Д.С. Основы выбора оптимальных решений

в системах энергетики и водного хозяйства. - ЛПИ, 1977. - 100 с.

19. Гун С.Я. Определение напряженного состояния плотин методом теории упругости. Труды ВОДГЕО, вып. 30. - 1971,

с. 83-89.

20. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1976. - 692 с.

21. Дрейфус М., Ганглоф К. Практика программирования на фортране. - М.: Мир, 1978. - 224 с.

22. Джха Дж. К выбору конструкции каменно-зешшннж плотин: Автореф. дисс. жг» канд. техн. наук, М., 1977, 28 с.

23. Ермакова С.М. Математическая теория планирования эксперимента. - М.: Наука, 1983. - 391 с.

24. Ермаков С.М., Жиглявский A.A. Математическая теория оптимального эксперимента. - М.: Наука, 1987. - 319 с.

25. Зарецкий Ю.К., Ломбардо В.Н. Статика и динамика грунтовых плотин. - М.: Энергоатомиздат, 1983. - 255 с.

26. Зедгинвдзе И.Г. Планирование эксперимента для исследования многокомпонентных систем. - М.: Наука, 1976. - 390 с.

27. Зенкевич 0. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мкр, 1975. - 541 с.

28. Зенкевич 0., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. - М.: Мир, 1986. - 317 с.

29. Иоселевич В.А., Рассказов Л.Н., Сысоев Ю.М. Об особенностях развития поверхностей нагружения при пластическом упрочнении грунта. Известия АН СССР. Механика твердого тела, № 2, 1979, с. I55-I6I.

30. Калужный Н.К., Сурио З.Л. Эффективные методы организации программного обеспечения по проектированию оптимальных профилей земляных сооружений. Тезисы докл. Всес. науч. конф. "Автоматизированное проектирование гидроэнергетических и водохозяйственных объектов", 1983, ЛПИ.

31. Карпов В.Я. Алгоритмический язык ФОРТРАН. - М.: Наука, 1976. - 192 с.

32. Коган Я.Л., Овсянкина Г.А., Чернилов А.Г. Приближенный метод прогноза возможного образования трещин в ядрах земляных плотин при неравномерной осадке.// Энергетическое строительство. - 1971. - Jft 5. - С. 86-88.

33. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. - М.: Наука, 1978. - 803 с.

34. Короткин В.Г., Тартаковскнй Д.М. Некоторые вопросы проектирования и расчета высоких ядерных плотин // Гидротехническое строительство. - 1963. - А 4.

35. Ломизе Г.М. Прочность и деформируемость ядер высоконапорных плотин и оснований гидротехнических сооружений // Гидротехническое строительство. - 1973. - № 8. - С. 10-14.

36. Ломизе Г.М., Столяров В.Г. Закономерности деформируе-моети и прочности глинистых грунтов ядер высоконапорных плотин // Гидротехническое строительство. - 1974. - № II, - С. 29-35.

37. Ломизе Г.М., Суханов Е.И. Закономерности течения грунтов при разрушении // Гидротехническое строительство. - 1974. -* 6. - С. 15-19.

38. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы программирования на ФОРТРАН. Пер. с англ. - М.: Мир, 1977. - 584 с.

39. Меткалф М. Оптимизация в Фортране. Пер. с англ. - М.: Мир, 1985. - 264 с.

40. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа.

- М.: Наука, 1981. - 487 с.

41. Нейман Дж., Моргенстерн 0. Теория игр и экономическое поведение. - М.: Наука, 1970. - 707 с.

42. Ничипорович A.A. Плотины из местных материалов. - М.: Стройиздат, 1973. - 320 с.

43. Ничипорович A.A., Рассказов Л.Н. Сопротивление кррРг нообломочных грунтов сдвигу // Гидротехническое строительство.

- 1969. - Л 8. - С. 23-26.

44. Ничипорович A.A., Тейтельёаум А.И. Оценка трещинообра-зования в ядрах каменно-земляных плотин // Гидротехническое строительство. - 1973. - № 4. - С. 10.

45. Олинпиев Д.Н. Влияние плотности укладки грунтов на напряженно-деформированное состояние плотин из местных материалов. Материалы конференции и совещания по гидротехнике. - Л.: Энергия, 1980. - С. 43-46.

46. Оден Д. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. - М.: Мир, 1976. - 464 с.

47. Окороков В.Р., Щавелев Д.С. О применении метода многоцелевой оптимизации для экономического обоснования гидроэнергетических объектов // Гидротехническое строительство. - 1982.. -

Ч * 10. - С. 32-34.

48. Орехова И. Л. Оптимизация конструкции грунтовых плотин: Дисс. ... канд. техн. наук. - М., 1985, 178 с.

49. Пронина Г.Е. Математические методы анализа и оптимального проектирования сложных технических систем. - М.: ВИА, 1983. - 103 с.

50. Радченко В.Г., Заирова В.А. Каменно-земляные и камен-но-набросные плотины. - Л.: Энергия, 1971. - 166 с.

51. Рассказов Л.Н. Экспериментальные .исследования сопро-4 тивляемости сдвигу крупнообломочных грунтов. Труды ВОДГЕО,

вып. 13, 1968, с. 92-97.

52. Рассказов Л.Н. Выбор расчетных характеристик грунтов при расчете напряжения в плотинах из местных материалов на ЭВМ. Труды ВОДГЕО, вып. 5, 1969, с. 112-125.

53. Рассказов Л.Н. Условия прочности грунтов. Труды ВОДГЕО, ♦ ■ вып. 44, 1974, с. 53-59.

54. Рассказов Л.Н. Схема возведения и напряженно-деформированное состояние грунтовой плотины с центральным ядром.// Энергетическое строительство. - 1977. - № 2, - С. 31-36.

55. Рассказов Л.Н. Напряженно-деформированное состояние и устойчивость каменно-земляных плотин: Автореф. дисс. ... докт. техн. наук. - М., 1978, 41 с.

56. Рассказов Л.Н., Джха Дж. Деформируемость и прочность грунтов при расчете высоких грунтовых плотин // Гидротехническое строительство. - 1977. - Ш 7. - С. 33-36.

57. Рассказов Л.Н., Джха Дж. О выборе рациональной конструкции каменно-земяяной плотины // Энергетическое строительство. - 1978. - » 2. - С. 60-67.

58. Рассказов Л.Н., Орехова И.Л. Единый параметр оптимизации для выбора оптимальной конструкции плотины // Энергетическое строительство. - 1982. - Л 8. -.0. 42-45.

59. Рассказов Л.Н., Орехова И.Л. Оптимизация конструкции грунтовых плотин // Гидротехническое строительство. - 1985. -Л 7. - С. 32-37.

60. Рассказов Л.Н., Сысоев Ю.М. Факторный анализ при выборе конструкции каменно-земляных плотин // Энергетическое строительство. - 1978. - № 12. - С. 50-57.

61. Рассказов Л.Н., Сысоев Ю.М. О взаимодей ствии конструктивных элементов каменно-з емляных плотин. Материалы конф. и совещ. по гидротехнике. - Л., 1980, с. 35-42.

62. Рассказов Л.Н., Сысоев Ю.М. Анализ работы высокой каменно-з емляной плотины на скальном основании // Энергетическое строительство. - 1982. - Л 3. -С. 70-74.

63. Рафалес-Ламарка Э^Э., Николаев В.Г. Некоторые методы планирования нематематического анализа биологических экспериментов. - Киев: Наукова думка, 1971. - 119 с.

64. Реклейтис Г., Лейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике. Т. I, т. 2. - М.: Мир, 1986. - 665 с.

65. Реньи. Трилогия о математике. - М.: Мир, 1980. -374 о.

66. Салтыков А.И., Семашко Г.Л. Программирование для всех. - М.: Наука, 1986. - 176 с.

67. Сергеев В.И., Крошнев 1.В. Комплексный специализированный метод эволюционного прогнозирования и поискового конструирования задач гидротехнического класса. Сб. научных трудов Юж.НЖГиНА, Новочеркасск, вып. 432, 1978, с. 4-43.

68. СНиП П-53 - 73. Плотины из грунтовых материалов. - М.: Стройиздат, 1974.

69. СНиП 1У-5 - 82. Приложения. Сборник ЕРЕР № I.

70. Справочник строителя. Земляные работы. - М.: Стройиздат, 1984. - 200 с.

71. Сысоев Ю.М. Исследование напряженно-деформированного состояния каменно-земляных плотин на основе факторного анализа: Автореф. дисс. ... кавд. техн. наук. - М., 1982. - 22 с.

72. Терцаги К. Теория механики грунтов. - М.: Стройиздат, 1961. - 507 с.

73. Тихомиров В.М. Рассказы о максимумах и минимумах. -М.: Наука, 1986. - 188 с.

74. Ухов С.Б. Расчет сооружений и оснований методом конечных элементов. - М.: МИСИ, 1973. - 118 с.

75. Федоров М.П. Принятие решений при автоматизированном проектировании гидроэнергетических объектов в условии неполноты информации. Автоматизация проектщювания гидроэнергетических и водохозяйственных объектов. Тез. докл. всес. науч. конф. ЛПИ, 1983.

76. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. - М.: МИР,

1972. - 240 с.

77. Флорин В.А. Основы механики грунтов. - М.-Л.: Гое-стройиздат, т. 2, 1961.

78. Форсайт Дж., Моляр К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. - М.: Мир, 1969. - 167 с.

79. Хелне ГЛ. Языки программирования. - М.: Радио и связь, 1985. - 176 с.

80. Хелме Г. Компьютеры. Справочное руководство. - М., 1986.

81. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. - М.: Мир, 1975. - 534 с.

82. Хованский Г.С. Основы номографии. - М.: Наука, 1976. -350 с.

83. Хог Э., Apopa Я. Прикладное оптимальное программирование. - М.: Мир, 1983. - 476 с.

84. Хохлова Н.В., Масс Л.И. Выбор оптимального очертания арочной плотины Камбаратинской ГЭС. Труды Гвдропроекта, вып.85, 1983, с. I08-II3.

85. Хьюз Ч. Методы программирования. Курс на основе Фортрана. - М.: Мир, 1981. - 331 с.

86. Цытович H.A. Механика грунтов. - М.: Госстройиздат, 1963. — 636 с.

87. Черноуско Ф.Л. Метод локальных вариаций для численного решения вариационных задач. Журнал вычислительной математики и математической физики. Т. 5, № 4, 1965. - С. 749 - 754.

88» betsApe SHARAD V., AROSA JASSIR 5, An AU&ORJTШ for eM<»ihíeePihíG pesiNfc optinmzatioisí. - " INT. 3. Ыомей, Метн. eng." 1?вЗ, !7, р- 841-655.

89. Príscu Popovici Av SupRov/icf P. htí ортци»ге!>

oes i GN weTfioD Fofi eurrftess PAWS. iNYeRNATlOK/At. WAYeR, powe« aw dam const fiuenow r ije 1, , p. 2<?-ъз

90. WoLFeL W. 4uTOMATeD pROVeCTING OF &eiAAlNlM6~ dams. — 12еме con/6-. tnt- grands baßraees, Mexico. 1976. c. ff. v. 3, paris , \<ii6, p. 7o?- 718.

?{. рассказов лн., Сысоеа Ю.М-, Беляков Д. Л. Особенности +»АПРЯше««о-Д®±оРМйРоьАННого состояния высоком кАменно-зегалянон плотины на стишАетом ochoöa-hum- Энергетическое отром-тельство, с. 53-5?.