Ортогонализованные блочные методы для параметрической идентификации дискретных линейных стохастических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Цыганова, Юлия Владимировна

• Цыганова, Юлия Владимировна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Цыганова, Юлия Владимировна

Введение....................................................... 5

Глава 1. Задача параметрической идентификации и современные ор-

тогонализованные блочные методы 34

1.1. Вопросы параметрической идентификации дискретных линейных стохастических систем .................................35

1.2. Численная неустойчивость стандартной формы дискретного фильтра Калмана................................................50

1.3. Классы численно устойчивых реализаций.....................55

1.4. Квадратно-корневые ортогонализованные блочные алгоритмы . . 62

1.5. Блочные алгоритмы на основе методов взвешенной ортогонализации .....................................................76

1.6. Вычислительные аспекты ортогонализованных блочных алгоритмов .......................................................92

1.7. Заключение и выводы к Главе 1............................103

Глава 2. Алгоритмическое вычисление производных в ортогональных преобразованиях параметризованных матриц 106

2.1. Предпосылки и постановка задачи........................107

2.2. Вычисление производных в матричных ортогональных преобразованиях на основе классических методов ортогонализации .... 112

2.3. Вычисление производных в матричных ортогональных преобразованиях на основе методов взвешенной ортогонализации...140

2.4. Заключение и выводы к Главе 2..........................155

Глава 3. Адаптивные ортогонализованные блочные методы 162

3.1. Предпосылки и постановка задачи........................163

3

3.2. Общие принципы построения адаптивных ортогонализованных

блочных алгоритмов на основе матричных ортогональных преобразований ...............................................168

3.3. Адаптивные ортогонализованные блочные алгоритмы............170

3.4. Решение проблемы Дж. Бирмана о вычислении градиента функ-

ции правдоподобия в терминах ортогонализованного UD-фильтра 213

3.5. Вычислительные аспекты адаптивных ортогонализованных блоч-

ных алгоритмов ...........................................225

3.6. Заключение и выводы к Главе 3.............................237

Глава 4. Развитие метода ВФК для параметрической идентификации с применением адаптивных ортогонализованных блочных фильтров 241

4.1. Предпосылки и постановка задачи..........................242

4.2. Применение метода ВФК для параметрической идентификации

дискретных линейных стохастических систем................247

4.3. Сравнение двух подходов к построению ВФК. Решение проблемы перепараметризации в адаптивном фильтре...............259

4.4. Внедрение в метод ВФК адаптивных ортогонализованных блоч-

ных алгоритмов ..........................................273

4.5. Численные примеры........................................283

4.6. Заключение и выводы к Главе 4............................287

Глава 5. Комплексы программ для исследования и решения задач параметрической идентификации 291

5.1. Предпосылки..............................................292

5.2. «Программный комплекс для параметрической идентификации

дискретных моделей стохастических систем PIAAF 1.0»......293

5.3. Параметрическая ВФК-идентификация дискретных моделей суточной динамики температуры человека.....................297

5.4. «Программа для идентификации параметров в стохастических

линейных системах ISLSPvl.l».............................318

4

5.5. Учебный программный комплекс «Стохастические модели, оце-

нивание и управление CMOYv.2.0» .......................325

5.6. Заключение и выводы к Главе 5..........................334

Заключение.....................................................338

Список используемых обозначений 345

Список литературы 349

Список иллюстраций 379

Список таблиц 383

Приложение А. Ортогональные преобразования матриц 385

А.1. Классические методы ортогонализации ...................385

А.2. Методы взвешенной ортогонализации......................393

Приложение Б. Переход от непрерывной физической модели 3dCRPhM

к дискретной стандартной наблюдаемой модели 3dDSOM 398

5

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ортогонализованные блочные методы для параметрической идентификации дискретных линейных стохастических систем»

Введение

Диссертация впервые решает ряд принципиальных проблем, связанных с теорией и практикой стохастического моделирования данных —

* обеспечивает наследование существенных достоинств ортогонализованных блочных алгоритмов при переходе от идеализированных, неприменимых на практике условий параметрической определённости к реальным условиям неопределённости параметров модели, когда требуется многократно обновлять не только уравнения Калмана и Риккати, но также векторные и матричные ррс/ся/с/шя чубстемтатьмостм по параметрам неопределённости модели дискретной стохастической системы;

* содержит необходимые математические обоснования, а также строгие фор-

мулировки вычислительных схем адаптивной фильтрации и параметрической идентификации с бычмслбнмаз/ требу-

емых величин указанных уравнений;

* предоставляет исследователям новые способы организации вычислений с расширенным диапазоном устойчивой работоспособности и однородностью блочно-матричного представления данных

во всех обновлённых таким образом классах ортогонализованных блочных алгоритмов с

Актуальность работы. Задача параметрической идентификации принадлежит к широкой и постоянно развивающейся области науки и техники под названием d с / //иммкс/ммя сметам. Как отмечено в [1, Прангишвили и соавт.], "Идентификация является обязательным элементом и наиболее сложной стадией поиска решений актуальных практических задач". Поэтому в настоящее время создание новых методов и алгоритмов идентификации имеет такое же исключительно важное значение как для фундаментальной, так и для прикладной науки, как и в середине прошлого века, когда наука идентификация зарождалась под влиянием насущных практических проблем.

6

Мировая научная публикационная активность показывает, что по-прежнему актуальными и важными являются такие области исследования, как математические методы параметрической и непараметрической идентификации, математическая теория структурной идентификации, математическое моделирование систем, математические проблемы управления. Этот факт подтверждается огромным количеством научных публикаций в области идентификации систем (достигшем, по мнению Л. Льюнга [2], уже к 1996 г. порядка 10'). Ежегодно проводятся международные конференции самого высокого (топового) уровня: IFAC World Congress, IEEE Conference on Decision and Control (CDC), IEEE Multi-Conference on Systems and Control (MSC), European Control Conference (ECC). Отметим также ведущие научные конференции, проводимые в России: Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ), международная конференция «Идентификация систем и задачи управления)) (SICPRO); в 2015 г. Международная федерация по автоматическому управлению IFAC провела в Санкт-Петербурге первую конференцию по моделированию, идентификации и управлению нелинейными системами (The 1st IFAC Conference on Modelling, Identification and Control of Nonlinear Systems - MICNON-2015).

Такой интерес к данной научной области объясняется широкими областями приложений, в которых решаются задачи идентификации — это аэронавтика [3, Bierman and Thornton], эконометрика [4, Carraro and Sartore], молекулярная биология [5, Shamaiah and Vikalo], метеорология [6, Lange], спутниковая геодезия [7, Brockmann], телекоммуникационные сети [8, Murgu], [9, Zhou et al.], высоконадёжная спутниковая навигация [10, Lange], обработка изображений [11, Фурсов и Ёлкин], робототехника и компьютерное зрение [12, Кривоконь, Вахитов, Граничин] и многие другие.

Первым систематическим изложением методов идентификации систем является монография П. Эйкхоффа [13]. Среди наиболее известных изданий, посвящённых вопросам идентификации, отметим книги Д. Тропа [14], Э. Сэйджа и Дж. Мелсы [15], Л. Льюнга [16], Дж. Саридиса [17], а среди отечественных авторов книги Я.З. Цыпкина [18], Н.С.Райбмана [19], Ш.Е. Штейнберга [20]. Отметим также известные автору современные иностранные монографии [21,

7

Tangirala], [22, Gibbs], [23, Ikonen and Najim].

Кроме перечисленных авторов, существенный вклад в развитие методов параметрической идентификации внесли Б. Хо и Р. Калман, К. Острём и Т. Болин, Дж. Бокс и Г. Дженкинс, Р. Мехра, X. Акаике, Б. Андерсон и Дж. Мур, М. Геверс и др.

Качественные обзоры об истории и перспективах мирового развития методов идентификации систем можно найти в [2, 24, Ljung], [25, Gevers], [26, Wang and Zhao]. Несмотря на достаточно длительный период постоянного развития и достижения всё новых результатов в области идентификации систем, в настоящее время остаётся немало открытых проблем, ожидающих своего решения^.

При разработке и практической реализации численных методов решения задач параметрической идентификации неизбежно возникают проблемы вычислений, связанные с представлением данных в ЭВМ. Диссертация посвящена поиску путей преодоления таких проблем.

Объектом диссертационного исследования являются представленные в пространстве состояний дискретные линейные стационарные и нестационарные стохастические системы с управлением и фильтрацией, в которых элементы системных матриц зависят от неизвестного векторного параметра. Такие модели являются математическим описанием самых разных объектов, процессов и явлений реального мира. Предмет исследования - ортогонализованные блочные методы оптимальной и адаптивной фильтрации, а также исследование возможности их применения в алгоритмах параметрической идентификации градиентного типа.

В диссертации рассматривается задача идентификации неизвестных параметров дискретной стохастической системы и одновременного оценивания её состояния по неполным зашумлённым измерениям. Такая постановка задачи отличается от математического представления дискретной системы в виде разностных уравнений (например, AR и ARMA моделей [27, Бокс и Дженкинс] или в виде суммарной системы [28, Ломов]), в которых неизвестными параметрами считают коэффициенты разностных уравнений. В работе предполагается, что

* "System identification is quite a mature area that has had an interesting and productive development. Much has been done, but many problems remain." [24, Ljung]

8

неизвестные параметры стохастической системы являются аргументами дифференцируемых функций, представляющих собой элементы системных матриц. Такая постановка освобождает от проблемы перепараметризации в представлении дискретной системы и является актуальной, поскольку широко известна в зарубежной научной литературе, например, в работах Л. Льюнга, М. Верхагена, Т. Кай лата, Дж. Бирмана и др.

В рамках общей схемы решения задач параметрической идентификации, соответствующей методологии Л. Льюнга [16], рассматриваются градиентные методы оптимизации критерия идентификации, при этом для вычисления самого критерия и его градиента применяются алгоритмы адаптивной дискретной фильтрации. Оказывается, что в этой, казалось бы, давно известной и часто используемой на практике схеме существует ряд "подводных камней", возникающих при практической реализации алгоритмов идентификации.

Первая группа вопросов, решению которых посвящена диссертация, свя

зана с численной неустойчивостью алгоритмов параметрической идентифика

ции вследствие возникающих ошибок машинного округления при реализации

на ЭВМ.

Как известно, наиболее подходящим математическим инструментом для вычисления оценок вектора состояния дискретных линейных стохастических систем является фильтр Калмана. Краткий исторический обзор открытия и дальнейшего развития методов калмановской фильтрации содержит статья О.А. Степанова [29]. В нашей стране в развитие теоретических основ фильтрации значительный вклад внесли Р.Л. Стратонович [30], Р.Ш. Липцер, А.Н. Ширяев [31], В.С. Пугачёв [32], В.Н. Фомин [33], А.Б. Куржанский [34] и другие. В настоящее время применение методов линейной фильтрации для решения различных задач остаётся актуальным. Отметим известные автору работы А.Е. Барабанова [35], О.А. Степанова [36], К.В. Семенихина [37]. Непрерывно продолжается развитие новых модификаций фильтра Калмана. Отметим известные автору работы О.Н. Граничина [38-40], где предложены рандомизированные модификации фильтра Калмана при нецентрированных помехах наблюдения.

При решении задач параметрической идентификации часто применяют

9

адаптивный фильтр в форме стандартного дискретного фильтра Калмана, уравнения которого продифференцированы по исходным параметрам неопределённости линейной стохастической системы [22, Gibbs, р. 438-440], [41, Денисов и соавт., Глава 2].

Хорошо известно, что существенным и критичным для реализации на ЭВМ недостатком фильтра Калмана является его неустойчивость по отношению к ошибкам машинного округления [42, Fitzgerald]. Рекуррентное обновление матрицы ковариации ошибки оценки вектора состояния /)., в соответствии с разностным уравнением Риккати, является основной проблемой как с точки зрения вычислительных затрат, так и с точки зрения устойчивости алгоритма по отношению к ошибкам округления [43, Grewal and Andrews]. Вследствие этого, вскоре после публикации Р. Калманом решения задачи оптимальной фильтрации началось развитие нового важного направления в теории оптимального линейного оценивания, связанного с построением численно устойчивых реализаций ФК. Отметим значимые работы М. Верхагена и соавт. [44, 45], где представлено теоретическое исследование влияния ошибок машинного округления на квадратно-корневые реализации ФК. Книга Т. Кайлата и соавт. [46] содержит обзор существующих направлений и основных результатов по данной тематике.

Наиболее важное влияние на развитие численно эффективных реализаций ФК оказало открытие квадратно-корневых алгоритмов, фундаментальный вклад в создание которых внесли работы Поттера и Штерна [47], Голуба [48]. Квадратно-корневые методы позволяют обновлять уравнение Риккати в терминах треугольных матриц, полученных путём разложения Холецкого Г/, = где /)' " — верхняя либо нижняя треугольная матрица. Данный метод вычислений, безусловно, не свободен от влияния ошибок машинного округления, но он гарантирует положительные элементы на диагонали ковариационных матриц F/, и их симметричность, т. е. сохраняет теоретические свойства этих величин на практике.

Следующим этапом в развитии устойчивых алгоритмов дискретной фильтрации явилась разработка методов (в англоязычной лите-

ратуре используют термин "array algorithms for Kalman filtering"). Термином о/?-

10

тоаоналмзоеанным означает построенным нн основе т/нтрмчноео ортоеоннльно-20 нреобрноооннмя. Ключевая идея таких методов заключается в использовании матричных ортогональных преобразований для вычисления треугольных матриц /)' " при обновлении на текущей итерации разностного уравнения Риккати, представленного в виде T^+i = + BjB/,.

Подобная организация вычислений даёт целый ряд преимуществ. Во-первых, как и все квадратно-корневые методы, они позволяют обрабатывать данные с двойной точностью. Во-вторых, они используют численно устойчивые ортогональные преобразования на каждом шаге рекуррентного обновления, что дополнительно гарантирует сохранение специального верхнего/нижнего треугольного вида матриц /)' ". В-третьих, они позволяют избежать ресурсоёмких и чувствительных к ошибкам округления операций обращения матриц, которые неизбежно присутствуют в стандартной реализации дискретного ФК. В теории кал-мановской фильтрации подобный эффект достигается за счёт дополнительной модификации стандартного ФК, позволяющей провести поэлементную обработку вектора наблюдений [49, Kaminski et al.], [50, Semushin and Tsyganova], [51, Kulikova].

Наконец, в силу своей простой и компактной записи "подобные ортого-нализованные алгоритмы часто намного проще описать и реализовать (как на программном, так и на физическом уровне), чем систему явных уравнений; на самом деле, они больше похожи на готовые для компьютерной реализации алгоритмы'^ [46, Т. Kailath, р. 428].

Дополнительным перспективным преимуществом таких алгоритмов является то, что они напрямую ориентированы на параллельные вычисления [52, Jover and Kailath]. В настоящее время ортогонализованные блочные методы широко используются для решения практических задач в различных областях науки и техники. Разработано большое количество таких методов как для дискретной фильтрации [49, Kaminski et al.], [53, Park and Kailath], так и для алгоритмов сглаживания [54, Park and Kailath], а в последнее время также и для систем 2 "Such array algorithms are often much simpler to describe and implement (in software and hardware) than explicit sets of equations; in fact, they are more like algorithms in computer science sense of the world".

и

управления [55, Semushin], [56, Semushin et al.].

Среди множества численно устойчивых реализаций следует отдельно выделить UD-фильтр Бирмана [57]. Он использует разложение матрицы ковариации ошибки оценки вектора состояния в виде Г/, = т. е. на верхнюю

треугольную, диагональную и нижнюю треугольную матрицы. Класс UD-pea-лизаций Бирмана обладает улучшенными вычислительными свойствами и дополнительно избавляет от необходимости использовать операцию извлечения квадратного корня.

В работе [58, Bierman et al.] Дж. Бирман сформулировал проблему вычисления градиента функции правдоподобия в терминах ортогонализованного UD-фильтра. Эта проблема оставалась открытой до последнего времени. Её решение получено в диссертации с помощью построенного автором нового метода алгоритмического вычисления производных в терминах модифицированной взвешенной ортогонализации Грама-Шмидта.

Указанные выше методы численно устойчивых реализаций дискретного ФК активно разрабатывались в конце прошлого века за пределами СССР. По настоящее время они остаются в России малоизвестны, применены в немногих сложных проектах (например, в судостроении [59, Семушин], при разработке навигационных систем [60, 61, Чернодаров и соавт.]), преподаются в немногих учебных курсах [62, Семушин]. В российской научной литературе квадратнокорневые алгоритмы фильтрации до сих пор мало освещены, отметим лишь книги В.Н. Вапника [63] и М.А. Огаркова [64] тридцатилетней давности.

Этот недостаток литературы сказывается в том, что многие отечественные специалисты в прикладных областях регрессионного моделирования используют алгоритмы, которые можно считать устаревшими, несмотря на то, что они испытывают значительные трудности в случае плохо обусловленной схемы наблюдения или при мультиколлинеарности регрессоров [65, Валеев].

Ортогонализованные квадратно-корневые, а также совмещённые (одностадийные и двухстадийные блочные) алгоритмы в отечественной литературе, можно сказать, остались не замечены (кроме, разве что недавней коллективной монографии [66, Семушин, Цыганова, Куликова и др.]). В зарубежной научной

12

литературе известный обзор [49, Kaminski et al.] и монография Дж. Бирмана [57] содержат полный, подробный анализ и сравнительные таблицы эффективности квадратно-корневых алгоритмов оптимальной дискретной фильтрации, известных до 1977 г. Широкий исторический обзор - начиная от зарождения идей у Галилео Галилея, через работы Карла Фридриха Гаусса, Норберта Винера и многих других до Рудольфа Эмиля Калмана и последних достижений, датируемых до 2000 года, содержится в книге [43, Grewal and Andrews]. Книга Т. Кайлата [46] содержит подробное описание основных классов ортогонализованных блочных методов оптимального линейного оценивания.

Таким образом, ортогонализованные блочные методы представляют современное перспективное направление в области линейного оценивания, которое требует своего Эйльн^мш^ао м на обтаешь

ческом Поэтому центральное место в диссертационной рабо-

те отведено развитию нового направления по созданию численно эффективных аЭалшмбных ортогонализованных блочных методов и способов их внедрения в алгоритмы параметрической идентификации градиентного типа.

Диссертация даёт ответы на следующие актуальные вопросы:

Ф Каким образом можно расширить функциональность различных классов ортогонализованных блочных фильтров, чтобы иметь возможность их внедрения в алгоритмы параметрической идентификации градиентного типа?

(2) Возможно ли построить такие вычислительные схемы, которые позволяют обновлять величины чувствительности дискретного фильтра в терминах современных ортогонализованных блочных алгоритмов?

(3) Как расширить функциональность существующих матричных ортогональных преобразований разных типов с целью вычисления значений производных (в заданной точке) элементов матрицы, являющейся результатом ортогонального преобразования?

Вторая группа вопросов, решаемых в диссертации, связана с построением реализуемых критериев идентификации, а также новых методов вычисления как самих критериев, так и их градиентов.

Для преодоления априорной параметрической неопределённости с целью

13

идентификации, то есть оценивания неизвестных системных параметров математической модели, наиболее часто используют методы минимума ошибки предсказания [16, Льюнг]. К этой группе методов относятся широко известные методы максимального правдоподобия и наименьших квадратов. Для нахождения экстремума функционалов (критериев качества) идентификации, как правило, используются градиентные методы оптимизации или методы ньютоновского типа [67, Gupta and Mehra], которые требуют вычисления градиента функционала и/или элементов информационной матрицы Фишера, а в некоторых случаях и матрицы Гессе.

Однако при решении практических задач идентификации неизвестных параметров дискретных линейных стохастических систем использование в качестве критериев качества идентификации критериев максимума правдоподобия или минимума ошибки предсказания далеко не всегда приводит к удовлетворительным результатам. Проблема заключается в том, что для динамических систем со случайными возмущениями на входе и на выходе недоступной является ошибка фильтрации (или предсказания) полезного сигнала (другими словами, состояния объекта). Поэтому вместо неё указанные выше методы минимума ошибки предсказания используют ошибку предсказания измеряемого сигнала. Такая подмена приводит к неизбежной смещённости оценок истинных значений параметров системы. При этом, как справедливо отмечает Л. Льюнг [16], "...досадно не наличие смещения, а его неопределённость, зависимость от экспериментальных условий", которые как раз и неизвестны. Это обстоятельство сводит на нет ценность предложений по компенсации смещения или по замене критерия ошибки фильтрации критерием невязки измерений, лишает оценки необходимых гарантий высокой точности.

Для решения проблемы смещённости оценок И.В. Семушиным [68, 69] был предложен и обоснован оригинальный подход к адаптации, обозначенный им термином "акжменым л/?м/щмл". Этот концептуальный термин "активный принцип адаптации и контроля функционирования систем" имеет самостоятельный смысл, не пересекающийся с другими значениями слова "активный": с активной адаптацией Цзе и Бар-Шалома [17, Саридис] или с активной идентифи

14

кацией в научной школе В.И. Денисова [41].

В методе Семушина на первое место выдвигается поведенческий аспект адаптивной части системы, и поэтому противопоставляются друг другу два принципа:

* лассменым Л/9М//ММЛ - адаптация (идентификация и контроль) без какого-либо отслеживания (и, соответственно, без гарантий) реального качества системы или малости его отклонения от положения оптимума и

* ЛК7ИМ6НЫМ Л/9М//ММЛ - адаптация (идентификация и контроль) с отслеживанием (и, соответственно, с гарантиями) реального качества системы и малости его отклонения от положения оптимума.

Активный принцип адаптации преодолевает главное препятствие на пути использования численных методов оптимизации в системах со случайными возмущениями на входе и на выходе - недоступность ошибки фильтрации или предсказания (а не измеряемого сигнала, как это происходит в известных методах минимума ошибки предсказания). Раз нет возможности использовать ошибку фильтрации или предсказания полезного сигнала или состояния объекта в чистом виде, можно сформировать эквивалентную им замену — другие процессы, которые доступны (первое условие) и для которых построенный с помощью них вспомогательный критерий достигает минимума одновременно с исходным критерием ошибки (второе условие).

Главной составляющей теории активной адаптации является метод вспомогательного функционала качества (ВФК). Ключевым условием реализации метода ВФК является полная стохастическая наблюдаемость системы [13, Эйк-хофф]. Вспомогательный функционал качества - это реализуемый показатель качества адаптации системы, который удовлетворяет двум условиям:

Ф зависимость только от процессов, доступных для прямого наблюдения;

(2) эквивалентность целей функционирования по исходному и по вспомогательному функционалам качества, то есть совпадение значений аргумен

15

тов, обеспечивающих достижение вспомогательной цели и, одновременно, основной цели.

Метод ВФК открывает возможности применять для решения задачи идентификации неизвестных параметров стохастических систем весь доступный исследователю аппарат численных методов оптимизации. Более того, полученные в процессе идентификации по методу ВФК оценки идентифицируемых параметров являются состоятельными и несмещёнными. Подробное изложение теории активной адаптации и метода ВФК содержится в коллективной монографии [66, Семушин, Цыганова, Куликова и др.], а также в недавних обзорах [69, 70, Semushin].

Традиционно, для построения ВФК в случае стационарных дискретных LQG систем управления применялся адаптивный фильтр Калмана и градиент наблюдаемого функционала вычисляли по отношению к параметрам этого фильтра, включая и все элементы матрицы Калмана размера m х п, что во многих случаях приводит к большому числу настраиваемых параметров.

Есть два обстоятельства, побуждающие искать лучшее решение. Первое -градиент ВФК по настраиваемым параметрам адаптивного фильтра приводит к моделям чувствительности с сильно разреженными матрицами, то есть дифференцированные по параметрам фильтра алгоритмы адаптации получаются неэффективными и неустойчивыми для вычислений. Решение, предлагаемое в диссертации, - применять дифференцирование не по параметрам фильтра, а по параметрам неопределённости в модели поступающей информации. В этом случае адаптивный фильтр предлагаем записывать в стандартной форме фильтра Калмана, векторные уравнения оценки и матричные уравнения ковариации ошибки оценки которого продифференцированы по исходным параметрам неопределённости источника данных, т. е. исходной дискретной линейной стохастической системы. Этот переход позволяет учесть динамику уравнений Риккати в адаптивном фильтре.

Второе обстоятельство заключается в том, что стандартный алгоритм Калмана в общем случае оказывается численно неустойчивым. Решение, предлагае

16

мое в диссертации, - применять численно устойчивые реализации адаптивного фильтра для вычисления критерия ВФК и его градиента.

Предложенные решения позволили разработать новые вычислительные схемы ВФК-идентификации с целью повышения качества динамического процесса активной параметрической идентификации математических моделей объектов, представленных дискретными линейными стохастическими системами, заданными в пространстве состояний.

Степень разработанности темы исследования. Впервые идея построения адаптивного квадратно-корневого информационного фильтра была предложена в работе Дж. Бирмана и соавт. [58], но в силу ряда причин работа авторов в данном направлении не была продолжена. Затем спустя некоторое время, эта идея получила своё развитие в работах М.В. Куликовой и Ю.В. Цыгановой. В кандидатской диссертации М.В. Куликовой [71] были построены и теоретически обоснованы скаляризованные (последовательные) квадратно-корневые методы вычисления логарифмической функции правдоподобия и её градиента.

В отличие от полученных ранее результатов, в настоящей диссертации разработаны общие подходы к построению адаптивных ортогонализованных блочных методов, основанных на матричных ортогональных преобразованиях разных типов.

Реализуемые функционалы качества идентификации, исследуемые в диссертации, являются результатом применения для решения задач параметрической идентификации активного принципа адаптации в форме метода ВФК. В отличие от метода минимума ошибки предсказания, метод вспомогательного функционала качества позволяет работать в классе точных систем и тем самым получать несмещённые оценки неизвестных параметров математической модели линейной стохастической системы.

В настоящей диссертации предложено развитие метода ВФК для математических моделей стохастических систем с совместными процессами идентификации неизвестных параметров динамической системы и адаптивным оцениванием её вектора состояния. В ранних результатах И.В. Семушина для линейных стационарных дискретных стохастических систем предполагалось, что адаптив

17

ный фильтр имеет в качестве настраиваемых параметров элементы входящих в его уравнения матриц. Соответственно, в качестве неизвестных, неопределённых параметров рассматривались только элементы этих матриц. Кроме того, способ вычисления матрицы усиления фильтра, диктуемый итерациями дискретного уравнения Риккати, не учитывался в модели чувствительности при построении алгоритмов идентификации.

Существовала также и проблема перепараметризации в адаптивном фильтре при реализации метода ВФК, т. е. явление, когда для оценки даже одного системного параметра приходилось проводить идентификацию всех (rn х ^-элементов матрицы Калмана, где % - размерность вектора состояния системы и m -размерность вектора измерений. Например, при % = 5 и m = 3 имеем необходимость настраивать (идентифицировать) 15 параметров вместо одного (это и есть л^рблара^бтрмэа^мя).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Цыганова, Юлия Владимировна, 2017 год

Список литературы

1. Идентификация систем и задачи управления: на пути к современным системным методологиям [Текст] / И. В. Прангишвили, В. А. Потоцкий, К. С. Гинсберг, В. В. Смолянинов // Проблемы управления. — 2004. — № 4. — С. 2-15. — Режим доступа: URL: http://mi.mathnet.ru/pu529.

2. Ljung, L. Development of system identification [Text] / L. Ljung // Proceedings of the 13th World Congress of IFAC. July 1996. — San Francisco, California, 1996.-P. 141-146.

3. Bierman, G. J. Numerical comparison of Kalman filter algorithms: Orbit determination case study [Text] / G. J. Bierman, C. L. Thornton // Automatica. — 1977. - Vol. 13, no. 1. - P. 23-35.

4. Carraro, C. Square root kalman algorithms in econometrics [Text] / C. Carraro // Computer Science in Economics and Management. — 1988. — Vol. 1, no. 1. — P. 41-51.

5. Shamaiah, M. A dual Kalman filter for parameter-state estimation in real-time DNA microarrays [Text] / M. Shamaiah, H. Vikalo // Proceedings of the 33th Annual International Conference of the IEEE EMBS Boston, Massachusetts USA, August 30-September 3. - IEEE, 2011. - P. 7614-7617.

6. An Algorithmic Approach for Improving and Controlling the Quality of Upper-Air Data [Text] : WMO Instruments and Observing Methods Report : 35 ; Executor: Antti A. I. Lange. — World Meteorological Organization, Geneva, Switzerland : 1989.

7. Brockmann, E. Combination of solutions for geodetic and geodynamic applications of the Global Positioning System (GPS) [Text] / E. Brockmann // Geo-datisch — geophysikalische Arbeiten in der Schweiz. — Institut fur Geodasie und Photogrammetrie, 1997. — Vol. 55. — 211 p.

350

8. Murgu, A. Neural networks for planning and control in communication networks [Text] : Ph. D. thesis / A. Murgu ; University of Jyvaskyla, Finland. — 1995.

9. Zhou, J. OFDM System Channel Estimation Algorithm Research Based on Kalman Filter Compressed Sensing [Text] / J. Zhou, G. Xia, J. Wang // Journal of Theoretical and Applied Information Technology. — 2013. — Vol. 49, no. 1. — P. 119-125.

10. Lange, A. A. I. Optimal Kalman Filtering for ultra-reliable Tracking [Text] / Antti A. I. Lange // Proceedings of the Special Symposium of the URSI Joint Working Group FG, 13-15 October 2003, Matera, Italy. — 2003. — ESA CD-ROM WPP-237.

11. Фурсов, В. А. Восстановление изображений нелинейными фильтрами, полученными идентификацией линейной по параметрам модели [Текст] /

B. А. Фурсов, Д. А. Ёлкин // Материалы международной конференции и молодёжной школы «Информационные технологии и нанотехнологии (ИТНТ-2016)», 17-19 мая 2016 г., г. Самара / Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет); Институт систем обработки изображений РАН. — Изд-во СГАУ, 2016. — С. 549-555.

12. Кривоконь, Д. С. Оценка положения движущегося объекта на основе пробного возмущения положения камеры [Текст] / Д. С. Кривоконь, А. Т. Вахитов, О. Н. Граничин // Автоматика и телемеханика. — 2016. — № 2. —

C. 142-161.

13. Эйкхофф, П. Основы идентификации систем управления [Текст] / П. Эйк-хофф. — Москва : Мир, 1975. — 686 с.

14. Гроп, Д. Методы идентификации систем [Текст] / Д. Гроп. — Москва : Мир, 1979. — 302 с.

15. Сейдж, Э. П. Идентификация систем управления [Текст] / Э. П. Сейдж, Дж. Мелса. — Москва : Наука, 1974. — 248 с.

351

16. Льюнг, Л. Идентификация систем. Теория для пользователя [Текст] / Л. Льюнг. — М.: Наука, 1991. — 432 с.

17. Саридис, Д. Самоорганизующиеся стохастические системы управления [Текст] / Дж. Саридис. — М.: Наука, 1980. — 400 с.

18. Цыпкин, Я. 3. Информационная теория идентификации [Текст] / Я. 3. Цыпкин. — Физматлит, 1995. — 336 с.

19. Райбман, Н. С. Что такое идентификация? [Текст] / Н. С. Райбман. — Москва : Наука, 1970. — 118 с.

20. Штейнберг, Ш. Е. Идентификация в системах управления [Текст] / Ш. Е. Штейнберг. — Москва : Энергоатомиздат, 1987.— 80 с.

21. Tangirala, А. К. Principles of System Identification. Theory and Practice [Text] / A. K. Tangirala. — Taylor & Francis Group, LLC, 2015. — 881 p.

22. Gibbs, В. P. Advanced Kalman filtering, least-squares and modeling: a practical handbook [Text] / В. P. Gibbs. — Hoboken, New Jersey : John Wiley & Sons, Inc., 2011. — 632 p.

23. Ikonen, E. Advanced Process Identification and Control [Text] / E. Ikonen, K. Najim. — Marcel Dekker, Inc., 2002. — 328 p.

24. Ljung, L. Perspectives on system identification [Text] / L. Ljung // Annual Reviews in Control. — 2010. — Vol. 34, no. 1. — P. 1-12.

25. Gevers, M. A personal view of the development of system identification: A 30-year journey through an exciting field [Text] / M. Gevers // IEEE Control Systems Magazine. — 2006. — Vol. 26, no. 6. — P. 93-105.

26. Wang, L.-Y. System Identification: New Paradigms, Challenges, and Opportunities [Text] / L.-Y. Wang, W.-X. Zhao // Acta Automatica Sinica. — 2013. — July. - Vol. 39, no. 7. - P. 933-942.

352

27. Бокс, Д. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Выпуск 1 [Текст] / Дж. Бокс, Г. Дженкинс. — Москва : Мир, 1974. — 406 с.

28. Ломов, А. А. Совместная идентифицируемость коэффициентов линейных разностных уравнений объекта и аддитивных возмущений [Текст] / А. А. Ломов // Вестн. НГУ Серия: Математика, механика и информатика. - 2015. - Т. 15, № 4. - С. 63-78.

29. Степанов, О. А. Фильтр Калмана. История и современность. (К 80-летию Рудольфа Эмиля Калмана) [Текст] / О. А. Степанов // Гироскопия и навигация.-2010.-№2.-С. 107-121.

30. Стратонович, Р. Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления [Текст] / Р. Л. Стратонович. — Москва : Изд-во МГУ, 1966.- 319 с.

31. Липцер, Р. Ш. Статистика случайных процессов [Текст] / Р. Ш. Липцер,

A. И. Ширяев. — Москва : Наука, 1974. — 696 с.

32. Синицын, И. И. Статистика случайных процессов [Текст] / И. И. Синицын. — Москва : Наука, 1974. — 696 с.

33. Фомин, В. Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация [Текст] /

B. Н. Фомин. — М.: Наука, 1984. — 288 с.

34. Куржанский, А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределённости [Текст] / А. Б. Куржанский. — Москва : Наука, 1977. — 392 с.

35. Барабанов, А. Е. Линейная фильтрация с адаптивной подстройкой матриц ковариаций возмущений в объекте и шумов измерения [Текст] / А. Е. Барабанов // Автоматика и телемеханика. — 2016. — № 1. — С. 30-49.

36. Степанов, О. А. Линейный оптимальный алгоритм в нелинейных задачах обработки навигационной информации [Текст] / О. А. Степанов // Гироскопия и навигация. — 2006. — № 4. — С. 11-20.

353

37. Семенихин, К. В. Минимаксная линейная фильтрация случайных последовательностей с неточно заданной ковариационной функцией [Текст] / К. В. Семенихин // Автоматика и телемеханика. — 2016. — № 2. — С. 50-68.

38. Granichin, О. Linear regression and filtering under nonstandard assumptions (arbitrary noise) [Text] / O. Granichin // IEEE Trans, on Automatic Control. — 2004. - Vol. 49, no. 10. - P. 1830-1837.

39. Амелин, К. С. Возможности рандомизации в алгоритмах предсказания калмановского типа при произвольных внешних помехах в наблюдениях [Текст] / К. С. Амелин, О. Н. Граничин // Гироскопия и навигация. — 2011.— №2(73).-С. 38-50.

40. Granichin, О. Randomized Algorithms in Automatic Control and Data Mining [Text] / O. Granichin, Z. Volkovich, D. Toledano-Kitai // Intelligent Systems Reference Library. — Springer Berlin Heidelberg, 2015. — Vol. 67. — P. 1-251.

41. Активная параметрическая идентификация стохастических линейных систем [Текст] / В. И. Денисов, В. М. Чубич, О. С. Черникова, Д. И. Бобылева. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2009. — 192 с.

42. Fitzgerald, R. J. Divergence of the Kalman Filter [Text] / R. J. Fitzgerald // IEEE Trans, on Automatic Control. — 1971. — Vol. AC-16, no. 6. — P. 736-747.

43. Grewal, M. S. Kalman filtering: Theory and Practice MATLAB [Text] / M. S. Grewal, A. P. Andrews. — New Jersey : Prentice Hall, 2001.

44. Verhaegen, M. Round-off error propagation in four generally-applicable, recursive, least-squares estimation schemes [Text] / M. Verhaegen // Automatica. — 1989. - May. - Vol. 25, no. 3. - P. 437-444.

45. Verhaegen, M. Numerical aspects of different Kalman filter implementations [Text] / M. Verhaegen, P. Van Dooren // IEEE Trans, on Automatic Control. — 1986. - Vol. AC-31, no. 10. - P. 907-917.

354

46. Kailath, T. Linear estimation [Text] / T. Kailath, A. H. Sayed, B. Hassibi. — New Jersey: Prentice Hall, 2000. — 856 p.

47. Potter, J. E. Statistical filtering of space navigation measurements [Text] /

J. E. Potter, R. G. Stern // Proc. 1963 AIAA Guidance and Control Conf. — 1963.

48. Golub, G. H. Numerical methods for solving linear least squares problems [Text] / G. H. Golub // Numer. Math. — 1965. — no. 7. — P. 206-216.

49. Kaminski, P. G. Discrete square-root filtering: a survey of current techniques [Text] / P. G. Kaminski, A. E. Bryson, S. F. Schmidt // IEEE Trans, on Automatic Control. - 1971. - Vol. AC-16, no. 6. - P. 727-735.

50. Semoushin, I. V. An Efficient Way to Evaluate Likelihood Functions in Terms of Kalman Filter Variables [Text] /1. V. Semoushin, J. V. Tsyganova // Adaptive, Cooperative and Competitive Processes in Systems Modelling, Design and Analysis / Ed. by Alexandru Murgu, George E. Lasker. — University of Windsor, Windsor, Ontario, Canada, 2001. — P. 67-74. — Access mode: URL: http://www.iias.edu/pdf_general/Booklisting.pdf.

51. Kulikova, M. V. On scalarized calculation of the likelihood function in array square-root filtering algorithms [Text] / M. V. Kulikova // Automation and Remote Control. — 2009. — May. — Vol. 70, no. 5. — P. 855-871.

52. Jover, J. M. A Parallel Architecture for Kalman Filter Measurement Update and Parameter Estimation [Text] / J. M. Jover, T. Kailath // Automatica. — 1986. — Vol. 22, no. l.-P. 43-57.

53. Park, P. New square-root algorithms for Kalman filtering [Text] / P. Park, T. Kailath // IEEE Trans, on Automatic Control. — 1995. — Vol. 40, no. 5. — P. 895-899.

54. Park, P. Square-root RTS smoothing algorithm [Text] / P. Park, T. Kailath // Int.

J. Control. - 1995. - Vol. 62, no. 5. - P. 1049-1060.

355

55. Semushin, I. V. Adaptation in Stochastic Dynamic Systems — Survey and New Results III: Robust LQ Regulator Computations [Text] /1. V. Semushin // Int. J. Communications, Network and System Sciences. — 2012. — no. 5. — R 609-623.

56. Семушин, И. В. Алгоритмы решения обратного уравнения Риккати для дискретных задач управления [Текст] / И. В. Семушин, Ю. В. Цыганова, Н. Д. Старостина // Автоматизация процессов управления. — 2012. — № 2(28). — С. 3-8. — Режим доступа: URL: http: //apu. npomars. com/images/ pdf/28_1. pdf.

57. Bierman, G. J. Factorization Methods For Discrete Sequential Estimation [Text] / G. J. Bierman. — New York : Academic Press, 1977. — 256 p.

58. Maximum likelihood estimation using square root information filters [Text] / G. J. Bierman, M. R. Belzer, J. S. Vandergraft, D. W. Porter // IEEE Trans, on Automatic Control. — 1990. — Dec. — Vol. 35, no. 12. — P. 1293-1298.

59. Семушин, И. В. Эффективные алгоритмы обновления оценок по измерениям [Текст] / И. В. Семушин // Судостроительная промышленность. — 1992. — Вычислительная техника № 28. — С. 55-59.

60. Чернодаров, А. В. Применение модифицированной ортогонализации грама-шмидта для построения вычислительно устойчивых алгоритмов адаптивной фильтрации [Текст] / А. В. Чернодаров, И. А. Белозёров, И. А. Мос-калевич // Научно-методические материалы по авиационному оборудованию. — Рига : РВВАИУ им. Я. Алксниса, 1985. — № 7. — С. 62-68.

61. Чернодаров, А. В. Контроль и адаптивно-робастная оценка состояния интегрированных навигационных систем на базе квантово-оптических измерителей [Текст] / А. В. Чернодаров // Научный Вестник МГТУ ГА. — 2012. — № 185.-С. 5-12.

62. Семушин, И. В. Вычислительные методы алгебры и оценивания [Текст] / И. В. Семушин. — Ульяновск: УлГТУ, 2011. — 366 с. Режим доступа: URL: http://venec.ulstu.ru/lib/disk/2013/119.pdf.

356

63. Вапник, В. Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным [Текст] / В. Н. Вапник. — Москва : Наука, 1979. — 448 с.

64. Огарков, М. А. Методы статистического оценивания параметров случайных процессов [Текст] / М. А. Огарков. — М.: Энергоатомиздат, 1990. — 206 с.

65. Валеев, С. Г. Регрессионное моделирование при обработке наблюдений [Текст] / С. Г. Валеев. — Москва : Наука, 1991. — 272 с.

66. Адаптивные системы фильтрации, управления и обнаружения: коллективная монография [Текст] / И. В. Семушин, Ю. В. Цыганова, М. В. Куликова [и др.]. - Ульяновск : УлГУ, 2011. - 298 с. ISBN 978-5-88866-399-8.

67. Gupta, N. К. Computational aspects of maximum likelihood estimation and reduction in sensitivity function calculations [Text] / N. K. Gupta, R. K. Mehra // IEEE Trans, on Automatic Control. — 1974. — no. AC-19. — P. 774-783.

68. Семушин, И. В. Активные методы адаптации и контроля нарушений в дискретных системах управления: дис. ... д-ра техн, наук [Текст] / И. В. Семушин. - Л. : ЛИАП, 1987. - 426 с.

69. Semushin, I. V. Adaptation in Stochastic Dynamic Systems — Survey and New Results II [Text] /1. V. Semushin // International Journal of Communications, Network and System Sciences. — 2011. — Vol. 4, no. 4. — P. 266-285.

70. Semushin, I. V. Adaptation in Stochastic Dynamic Systems — Survey and New Results I [Text] / I. V. Semushin // International Journal of Communications, Network and System Sciences. — 2011. — Vol. 4, no. 1. — P. 17-23.

71. Куликова, M. В. Методы вычисления логарифмической функции правдоподобия и её градиента в алгоритмах калмановской фильтрации: дис. ... канд. физ.-мат. наук [Текст] / М. В. Куликова. — Ульяновск : УлГУ, 2005. — 131 с.

72. Zhang, Y. A fast U-D factorization-based learning algorithm with applications to nonlinear system modeling and identification [Text] / Y. Zhang, X. R. Li // IEEE Trans, on Neural Networks. — 1999. — Vol. 10, no. 4. — P. 930-938.

357

73. Daowang, F. Square-root second-order extended Kalman filter and its application in target motion analysis [Text] / F. Daowang, L. Teng, H. Z. Tao // Radar, Sonar & Navigation. — 2010. — Vol. 4, no. 3. — P. 329-335.

74. Kulikova, M. V. Square-root Accurate Continuous-Discrete Extended Kalman Filter for target tracking [Text] / M. V. Kulikova, G. Yu. Kulikov // Proceedings of the 2013 IEEE 52nd Annual Conference on Decision and Control (CDC), Firenze, Italy, 10-13 Dec. 2013. - IEEE, 2013. - P. 7785-7790.

75. Gibbs, R. G. Square root modified Bryson-Frazier smoother [Text] / R. G. Gibbs // IEEE Trans, on Automatic Control. — 2011. — Vol. AC-56, no. 2. - P. 425-456.

76. Van der Merwe, R. The square-root unscented Kalman filter for state and parameter-estimation [Text] / R. Van der Merwe, E. A. Wan // Conference Proceedings of the 2001 IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing (ICASSP '01). 07-11 May 2001. - Vol. 6. - Salt Lake City, UT : IEEE, 2001.-P. 3461-3464.

77. Asl, H. G. UD Covariance Factorization for Unscented Kalman Filter using Sequential Measurements Update [Text] / H. G. Asl, S. H. Pourtakdoust // International Journal of Mechanical, Aerospace, Industrial, Mechatronic and Manufacturing Engineering. — 2007. — Vol. 1, no. 10. — P. 564 - 572.

78. Nemesin, V. Robust Blind Pairwise Kalman Algorithms Using QR Decompositions [Text] / V. Nemesin, S. Derrode // IEEE Trans, on Signal Processing. — 2013.-Jan.-Vol. 61, no. l.-P. 5-9.

79. Ориентация и навигация подвижных объектов: современные информационные технологии [Текст] / Б. С. Алёшин, К. К. Веремеенко, А. И. Черноморский [и др.]. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 424 с.

80. Identification of Human Body Daily Temperature Dynamics via Minimum State Prediction Error Method [Text] /1. V. Semushin, J. V. Tsyganova, M. V. Kuliko

358

va [et al.] // Proceedings of ECC2016, European Control Conference. (Aalborg, Denmark. June 29 - July 1, 2016). — IEEE, 2016. — P. 2429-2434.

81. Kulikova, M. V. Adaptive Wave Filtering for Marine Vessels within UD-based Algorithms [Text] / M. V. Kulikova, J. V. Tsyganova, I. V. Semushin // Proceedings of ECC2016, European Control Conference. (Aalborg, Denmark. June 29 -July 1, 2016). - IEEE, 2016. - P. 807-812.

82. Kulikova, M. V. A unified square-root approach for the score and Fisher information matrix computation in linear dynamic systems [Text] / M. V. Kulikova, J. V. Tsyganova // Mathematics and Computers in Simulation. — 2016. — January.—Vol. 119.— P. 128-141.

83. Kulikova, M. V. Constructing numerically stable Kalman filter-based algorithms for gradient-based adaptive filtering [Text] / M. V. Kulikova, J. V. Tsyganova // Int. J. Adapt. Control Signal Process. — 2015. —November. — Vol. 29, no. 11. — P. 1411-1426.

84. Туликова, M. В. О дифференцировании матричных ортогональных преобразований [Текст] / М. В. Туликова, Ю. В. Цыганова // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2015. — Т. 55, № 9. — С. 1460-1473. — [Перевод: M.V. Kulikova, Yu.V. Tsyganova, "Differentiating Matrix Orthogonal Transformations," Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2015, 55:9, 1419-1431].

85. Туликова, M. В. Общий подход к построению алгоритмов параметрической идентификации в классе квадратно-корневых фильтров с ортогональными и J-ортогональными преобразованиями [Текст] / М. В. Туликова, Ю. В. Цыганова // Автоматика и телемеханика. — 2014. — № 8. — С. 59-81. — [Перевод: M.V. Kulikova, Yu.V. Tsyganova, "A general approach to constructing parameter identification algorithms in the class of square root filters with orthogonal and J-orthogonal transformations," Automation and Remote Control, 2014, 75:8, 1402-1419]. Режим доступа: URL: http://mi.mathnet.ru/atl4107.

359

86. Tsyganova, J. V. State sensitivity evaluation within UD based array covariance filters [Text] / J. V. Tsyganova, M. V. Kulikova // IEEE Trans, on Automatic Control. - 2013. -Nov. - Vol. 58, no. 11. - P. 2944-2950.

87. Семушин, И. В. Устойчивые алгоритмы фильтрации - обзор и новые результаты для систем судовождения и управления судном [Текст] / И. В. Семушин, Ю. В. Цыганова, К. В. Захаров // Информационные технологии и вычислительные системы. — 2013.— № 4.— С. 90-112.— Режим доступа: URL: http://www.j itcs.ru/index.php?option=com_content&view= article&id=437.

88. Цыганова, Ю. В. О методах реализации UD-фильтра [Текст] / Ю. В. Цыганова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион (Физико-математические науки). — 2013.— №3.— С. 84-104. — Режим доступа: URL:http://izvuz_fmn.pnzgu.ru/files/izvuz_fmn.pnzgu.ru/ 7313.pdf.

89. Семушин, И. В. Устойчивые алгоритмы фильтрации для систем судовождения и управления судном [Текст] / И. В. Семушин, Ю. В. Цыганова,

К. В. Захаров // Автоматизация процессов управления. — 2012. — № 1(27). — С. 37-46.— Режим доступа: URL: http://apu.npomars.com/images/pdf/ 27_6.pdf.

90. Цыганова, Ю. В. Об эффективных методах параметрической идентификации линейных дискретных стохастических систем [Текст] / Ю. В. Цыганова, М. В. Куликова // Автоматика и телемеханика. — 2012. — № 6. — С. 34-51. — [Перевод: Yu.V. Tsyganova, M.V. Kulikova, "On efficient parametric identification methods for linear discrete stochastic systems," Automation and Remote Control, 2012, 73:6, 962-975]. Режим доступа: URL: http: //mi . mathnet. ru/at3812.

91. Цыганов, А. В. Параллельные гибридные алгоритмы для задачи параметрической идентификации в стохастических линейных системах [Текст] /

360

А. В. Цыганов, О. И. Булычов, Ю. В. Цыганова // Вектор науки ТГУ — 2011.— № 3(17).— С. 45-49.— Режим доступа: URL: http://journal. tltsu.ru/index.php/Vectorscience/article/view/6734.

92. Семушин, И. В. Параметрическая идентификация модели погрешностей инерциальных навигационных систем [Текст] / И. В. Семушин, Ю. В. Цыганова // Автоматизация процессов управления. — 2011. — № 4(26). — С. 15-22.— Режим доступа: URL: http://www.apu.npomars.com/images/ pdfZ26_3.pdf.

93. Семушин, И. В. Адаптивный квадратно-корневой ковариационный алгоритм фильтрации [Текст] / И. В. Семушин, Ю. В. Цыганова // Автоматизация процессов управления. — 2011.— № 1(23).— С. 83-87.— Режим доступа: URL: http://apu.npomars.com/images/pdf/23_12.pdf.

94. Цыганова, Ю. В. Вычисление градиента вспомогательного функционала качества в задаче параметрической идентификации стохастических систем [Текст] / Ю. В. Цыганова // Автоматика и телемеханика. — 2011. — № 9. — С. 142-160. — [Перевод: Yu.V. Tsyganova, "Computing the gradient of the auxiliary quality functional in the parametric identification problem for stochastic systems," Automation and Remote Control, 2011, 72:9, 1925-1940]. Режим доступа: URL: http://mi.mathnet.ru/at2281.

95. Цыганова, Ю. В. Метод обнаружения факта нарушения и его диагностики в линейных стохастических системах в процессе фильтрации [Текст] / Ю. В. Цыганова // Вестник С1АУ — 2009. — № 2(18). — С. 163-170.

96. Semoushin, I. V. Fault Point Detection with the Bank of Competitive Kalman Filters [Text] /1. V. Semoushin, J. V. Tsyganova, M. V. Kulikova // Proceedings of ICCS2003, International Conference. (Melbourne, Australia and St. Petersburg, Russia, June 2-4 2003). — Vol. 2658. — Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag, 2003.-P. 417-426.

97. Цыганова, Ю. В. Алгоритмическое вычисление производных в матрич

361

ных ортогональных преобразованиях [Текст] / Ю. В. Цыганова // Труды международной научно-технической конференции "Перспективные информационные технологии (ПИТ-2015)". Самара, 28-30 апреля 2015 г. — Т. 1. — Самара : Издательство Самарского научного центра РАН, 2015. — С. 137-140. — Режим доступа: URL: http://ssau.ru/files/events/2015/ pit_2015_l .pdf.

98. Семушин, И. В. Вычислительные аспекты параметрической идентификации методом вспомогательного функционала качества [Текст] / И. В. Семушин, Ю. В. Цыганова // Труды X Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления)) SICPRO'15, Москва 26-29 января, 2015 г. — Москва : Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2015.-С. 826-842.

99. Adaptive Stochastic Modeling Framework as Applied to Identification of a Simple Thermal Homeostasis Stochastic Model [Text] / I. V. Semushin, J. V. Tsyganova, E. S. Petrova, A. G. Skovikov // Book of Abstracts (Stochastic Modeling Techniques and Data Analysis International Conference SMTDA2014, Lisbon Portugal, 11-14 June 2014). — Lisbon : SMTDA, 2014. — P. 164-165. — Access mode: URL: http://www.smtda.net/.

100. Семушин, И. В. Применение метода вспомогательного функционала качества для параметрической идентификации дискретных LQG систем с управлением и фильтрацией [Текст] / И. В. Семушин, Ю. В. Цыганова // Труды XII Всероссийского совещания по проблемам управления ВСПУ-2014. Москва, 16-19 июня 2014 г. — Москва : Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2014. — С. 2696-2707. — Режим доступа: URL: http://vspu2014.ipu.ru/node/8581.

101. Цыганова, Ю. В. Об одном подходе к построению адаптивного UD-филь-тра для параметрической идентификации LQG систем [Текст] / Ю. В. Цыганова // Труды XII Всероссийского совещания по проблемам управления ВСПУ-2014. Москва, 16-19 июня 2014 г. — Москва : Институт проблем

362

управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2014. — С. 2741-2751. — Режим доступа: URL:http://vspu2014.ipu.ru/node/8581.

102. Цыганова, Ю. В. Об одной модели суточной термометрии теплового гомеостаза человека [Текст] / Ю. В. Цыганова // Материалы Первой Международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные исследования по приоритетным направлениям биоэкологии и биотехнологии)), Секция "Математическое моделирование в биоэкологии и биотехнологии". Ульяновск, 31 октября 2014 г. — Ульяновск : УлГПУ им. И.Н.Ульянова, 2014. - С. 167-170.

103. Semushin, I. V. Adaptation in Stochastic Dynamic Systems - Survey and New Results IV: Seeking Minimum of API in Parameters of Data [Text] /1. V. Semushin, J. V. Tsyganova // Int. J. Communications, Network, and System Sciences. — 2013. —Dec. — Vol. 6, no. 12. — P. 513-518.

104. Цыганова, Ю. В. Параметрическая идентификация модели ДНК-микрочи-па [Текст] / Ю. В. Цыганова, А. В. Цыганов // Междисциплинарные исследования в области математического моделирования и информатики. Материалы научно-практической internet-конференции. 18-19 июня 2013 г.— Ульяновск : SIMJET, 2013.- С. 136-139.

105. Human Body Temperature Daily Variation: Time Series Modeling, Simulation, and Estimation [Text] / I. Semushin, Yu. Tsyganova, A. Skovikov [et al.] // Proceedings of IRAFM Seminar. November 25-28, 2013. Trojanovice, Czech Republic. — Ostrava : Ostrava University Press, 2013. — P. 117-126.

106. Semushin, I. V. Identification of a Simple Homeostasis Stochastic Model Based on Active Principle of Adaptation [Text] / I. V. Semushin, J. V. Tsyganova, A. G. Skovikov // Proceedings of International Conference "Applied Stochastic Models and Data Analysis ASMDA 2013 & DEMOGRAPHICS 2013," 25-28 June 2013 Mataro (Barcelona), Spain. — Spain : Barcelona, 2013. — P. 775-783. —Access mode: URL: http://www.asmda.es/asmda2013.html.

363

107. Семушин, И. В. Адаптивный квадратно-корневой ковариационный алгоритм фильтрации для навигационных комплексов [Текст] / И. В. Семушин, Ю. В. Цыганова // Труды международной конференции "Перспективные информационные технологии для авиации и космоса" ПИТ-2010 (г. Самара, 29 сентября-1 октября 2010 г.). — Т. 1. — Самара : СТАХ 2010. — С. 118-122.

108. Цыганова, Ю. В. Имитационная нормализация в задаче идентификации параметров стохастической линейной системы [Текст] / Ю. В. Цыганова, А. В. Цыганов // Стохастическая оптимизация в информатике. — 2010. — № 6.— С. 147-159.— Режим доступа: URL: http://www.math.spbu.ru/ user/gran/soi6/S0I6 .htm.

109. Цыганова, Ю. В. Адаптивный квадратно-корневой информационный алгоритм обработки измерительных данных [Текст] / Ю. В. Цыганова // Труды Всероссийской конференции "Проведение научных исследований в области обработки, передачи и защиты информации" (г. Ульяновск, 1-5 декабря 2009 г.). - Т. 4. - Ульяновск : УлГТХ 2009. - С. 189-196.

110. Цыганова, Ю. В. Применение квадратно-корневых фильтров к задаче идентификации параметров ЛДС [Текст] / Ю. В. Цыганова // Труды Седьмой межд. научно-технической конференции "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов" (г. Ульяновск, 2-5 февраля 2009 г.). — Ульяновск : УлГУ, 2009. — С. 276-277.

111. Tsyganova, J. V. On efficient implementation of the Kalman filter bank for scenario analysis [Text] / J. V. Tsyganova, A. E. Kondratiev // Proceedings of EC-COMAS2004, International Conference. (Jyvaskyla, Finland, 2004). — Vo). 2. — Finland : Jyvaskyla University, 2004. — P. 425-432. — Access mode: URL: http: //www.mit .jyu.fi/eccomas2004/.

112. Цыганова, Ю. В. Компьютерное моделирование в задачах контроля и адаптивной фильтрации [Текст] / Ю. В. Цыганова // Труды Пятой межд. на

364

учно-технической конференции “Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов” (г. Ульяновск, 16-18 июня 2003 г.). — Ульяновск : УлГУ, 2003. — С. 204-205.

113. Semoushin, I. V. Kalman Filter Identifiability Using API Approach in Control Problems [Text] /1. V. Semoushin, J. V. Tsyganova // Proceedings of The 13th International Conference on Systems Research, Informatics and Cybernetics. (Baden-Baden, Germany, 2001). — Windsor, Ontario, Canada : The International Institute for Advanced Studies in Systems Research and Cybernetics: University of Windsor, 2002. — P. 79-84.

114. Семушин, И. В. О вычислении функции правдоподобия для гауссовских марковских последовательностей [Текст] / И. В. Семушин, Ю. В. Цыганова, М. В. Куликова // Учёные записки УлГУ. — Ульяновск: УлГУ, 2000. — Фундаментальные проблемы математики и механики № 2(9). — С. 74-81.

115. Цыганова, Ю. В. Эффективные инструментальные средства моделирования линейных стохастических систем управления [Текст] / Ю. В. Цыганова, А. Д. Юрьев // Учёные записки УлГУ. — Ульяновск: УлГУ, 2000. — Фундаментальные проблемы математики и механики № 2(9). — С. 89-92.

116. Цыганова, Ю. В. Программный комплекс для параметрической идентификации дискретных моделей стохастических систем PIAAF 1.0. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2016614001 от 12.04.2016 г. [Текст] / Ю. В. Цыганова. — Москва : Роспатент, 2016.

117. Цыганов, А. В. Программа для идентификации параметров в стохастических линейных системах ISLSP v1.1. Свидетельство об отраслевой регистрации программы для ЭВМ № 2013612686 от 11.03.2013 г. [Текст] /

А. В. Цыганов, Ю. В. Цыганова. — Москва : Реестр программ для ЭВМ, 2013.

118. Цыганова, Ю. В. Стохастические модели, оценивание и управление -СМОУ v.2.0. Свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 2243

365

от 30.01.2003 г. [Текст] / Ю. В. Цыганова, А. Д. Юрьев. — Москва : Отраслевой фонд алгоритмов и программ, 2003.

119. Цыганов, А. В. Программа для идентификации параметров в стохастических линейных системах ISLSP vl.0. Свидетельство об отраслевой регистрации программы для ЭВМ № 2013610842 от 9.01.2013 г. [Текст] / А. В. Цыганов, О. И. Булычов, Ю. В. Цыганова. — Москва : Реестр программ для ЭВМ, 2013.

120. Семушин, И. В. Стохастические модели и оценки. Лабораторный практикум по курсу "Теория оптимального управления" (учебно-методическое пособие) [Текст] / И. В. Семушин, Ю. В. Цыганова. — Ульяновск : УлГТХ 2001.-42 с.

121. Семушин, И. В. Методы вычислений с использованием МАТЛАБ: учебнометодическое пособие [Текст] / И. В. Семушин, Ю. В. Цыганова, А. И. Афанасова. — Ульяновск : УлГУ, 2014. — 88 с.

122. Kulikova, М. V. Score evaluation within the extended square-root information filter [Text] / М. V. Kulikova, I. V. Semoushin // Lecture Notes in Computer Science. - 2006. - Vol. 3991. - P. 473-481.

123. Kulikova, М. V. Likelihood gradient evaluation using square-root covariance filters [Text] / М. V. Kulikova // IEEE Trans, on Automatic Control. — 2009. — Mar. - Vol. 54, no. 3. - P. 646-651.

124. Kulikova, М. V. Maximum likelihood estimation via the extended covariance and combined square-root filters [Text] / М. V. Kulikova // Mathematics and Computers in Simulation. — 2009. — Vol. 79, no. 5. — P. 1641-1657.

125. Kulikova, М. V. Maximum likelihood estimation of linear stochastic systems in the class of sequential square-root orthogonal filtering methods [Text] / М. V. Kulikova // Automation and Remote Control. — 2011. — Apr. — Vol. 72, no. 4. - P. 766-786.

366

126. Цыганов, А. В. НеО: библиотека метаэвристик для задач дискретной оптимизации [Текст] / А. В. Цыганов, О. И. Булычов // Программные продукты и системы. — 2009. — № 4. — С. 148-151.

127. Но, В. L. Effective construction of linear state-variable models from input/out-put functions [Text] / B. L. Ho, R. E. Kalman // Regelungstechnik. — 1966. — Vol. 14, no. 12. - R 545-548.

128. Astrom, K.-J. Numerical Identification of Linear Dynamic Systems from Normal Operating Records [Text] / K.-J. Astrom, Bohlin T. // Proceedings of the Second IFAC Symposium on the Theory of Self-Adaptive Control Systems, September 14-17.- 1966.-P. 96-111.

129. Caines, P. Linear stochastic systems [Text] / P. Caines. — New York : John Wiley & Sons, Inc., 1988. — 874 p.

130. Ljung, L. Convergence analysis of parametric identification methods [Text] /

L. Ljung // IEEE Trans, on Automatic Control. — 1978. — Vol. 23, no. 5. — P. 770-783.

131. Maybeck, P. S. Stochastic models, estimation and control [Text] / P. S. Maybeck. — New Jersey : Academic Press, Inc., 1979. — Vol. 3. — 291 p.

132. Mosca, E. Optimal, predictive and adaptive control [Text] / E. Mosca. — New Jersey : Prentice-Hall, Inc., 1995. — 477 p.

133. Astrom, K.-J. Maximum Likelihood and Prediction Error Methods [Text] / Astrom, K.-J. // Automatica. — 1980. — Vol. 16, no. 5. — P. 551-574.

134. Schweppe, E Evaluation of likelihood functions for Gaussian signals [Text] / F.C. Schweppe // IEEE Trans. Inform. Theory. — 1965. — Vol. IT-11, no. 1. — P. 61-70.

135. Kalman, R. E. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems [Text] / R. E. Kalman // J. Basic. Eng. — 1960. — Vol. 82, no. 1. — P. 35-45.

367

136. Piovoso, M. Kalman filter recipes for real-time image processing [Text] / M. Pi-ovoso, P. A. Laplante // Real-Time Imaging. — 2003. — Vol. 9, no. 6. — P. 433-439.

137. Anderson, B. D. O. Optimal filtering [Text] / B. D. O. Anderson, J. B. Moore. — New York : Dover Publications, 2005. — 368 p.

138. Simon, D. Optimal State Estimation: Kalman, H Infinity, and Nonlinear Approaches [Text] / D. Simon. — New Jersey : John Wiley & Sons, 2006. — 552 p.

139. Jansson, M. On consistency of subspace methods for system identification [Text] / M. Jansson, B. Wahlberg // Automatica. — 1998. — Vol. 34, no. 12. — P. 1507-1519.

140. Gustafsson, T. Subspace-based system identification: weighting and pre-filtering of instruments [Text] / T. Gustafsson // Automatica. — 2002. — Vol. 38, no. 3. — P. 433-443.

141. Mehra, R. Approaches to adaptive filtering [Text] / R. Mehra // IEEE Trans, on Automatic Control. — 1972. — Vol. 17, no. 5. — P. 693-698.

142. Sarkka, S. Recursive noise adaptive Kalman filtering by variational Bayesian approximation [Text] / S. Sarkka, A. Nummenmaa // IEEE Trans, on Automatic Control. - 2009. - Vol. 54, no. 3. - P. 596-600.

143. Caines, P. Prediction error identification methods for stationary stochastic processes [Text] / P. Caines // IEEE Trans, on Automatic Control. — 1976. — Vol. 21, no. 4. - P. 500-505.

144. Zhang, Z. Parameter estimation techniques: a tutorial with application to conic fitting [Text] / Z. Zhang // Image and Vision Computing. — 1997. — Vol. 15, no. l.-P. 59-76.

145. Wilczynski, M. Minimax prediction in the linear model with a relative squared error [Text] / M. Wilczynski // Statistical Papers. — 2012. — Vol. 53, no. 1. — P. 151-164.

368

146. Luders, G. Stable adaptive schemes for state estimation and identification of linear systems [Text] / G. Luders, K. Narendra // IEEE Trans, on Automatic Control. - 1974. - Vol. 19, no. 6. - P. 841-847.

147. Bastin, G. Stable adaptive observers for nonlinear time-varying systems [Text] / G. Bastin, M. Gevers // IEEE Trans, on Automatic Control. — 1988. — Vol. 33, no. 7. - P. 650-658.

148. Marino, R. Global adaptive observers for nonlinear systems via filtered transformations [Text] / R. Marino, P. Tomei // IEEE Trans, on Automatic Control. — 1992. - Vol. 37, no. 8. - P. 1239-1245.

149. Васильев, В. П. Численные методы решения экстремальных задач [Текст] /

В. П. Васильев. — Москва : Мир, 1982. — 372 с.

150. Thornton, С. L. Triangular Covariance Factorizations for Kalman Filtering [Text] : Ph. D. thesis / C. L. Thornton ; School of Engineering. — University of California at Los Angeles, 1976.

151. Lawson, C. L. Solving Least Squares Problems [Text] / C. L. Lawson, R. J. Hanson. — Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1974.

152. Голуб, Д. Матричные вычисления [Текст] / Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. — М.: Мир, 1999. — 548 с.

153. Dyer, Р. Extension of square-root filtering to include process noise [Text] / P. Dyer, S. McReynolds // J. Optimiz. Theory Appl. — 1969. — no. 3. — P. 444-459.

154. Sayed, A. H. Extended Chandrasekhar Recursions [Text] / A. H. Sayed, T. Kailath // IEEE Trans, on Automatic Control. — 1994. — Vol. AC-39, no. 3. — P. 619-622.

155. Cholesky-based reduced-rank square-root Kalman filtering [Text] / J. Chan-drasekar, I. S. Kim, D. S. Bernstein, A. J. Ridley // Proceedings of the American Control Conference, Seattle, WA USA, 11-13 June 2008. — IEEE, 2008. — P. 3987-3992.

369

156. Zhou, В. A UD factorization-based nonlinear adaptive set-membership filter for ellipsoidal estimation [Text] / B. Zhou, J. Han, G. Liu // Int. J. Robust Nonlinear Control.-2008.-Vol. 18.-P. 1513-1531.

157. Kulikova, M. V. Stochastic volatility models for exchange rates and their estimation using quasi-maximum-likelihood methods: an application to the South African Rand [Text] / M. V. Kulikova, D. R. Taylor // Journal of Applied Statistics. - 2013. - Vol. 40, no. 3. - P. 495-507.

158. Kulikov, G. Y. Accurate state estimation in the Van der Vusse reaction [Text] / G. Yu. Kulikov, M. V. Kulikova // Proceedings of the 2014 IEEE Conference on the Control Applications (CCA), Juan Les Antibes, France, 8-10 Oct. 2014. — IEEE, 2014.-P. 759-764.

159. Kulikova, M. V. Square-Root Adaptive Wave Filtering for Marine Vessels [Text] / M. V. Kulikova // Proceedings of the 2015 European Control Conference (ECC 2015), Linz, Austria, 15-17 July 2015. - IEEE, 2015. - P. 3143-3148.

160. Семушин, И. В. Экстраполяция во времени LD-ковариационных факторов для фильтра Калмана [Текст] / И. В. Семушин // Судостроительная промышленность. — 1992. — Вычислительная техника № 28. — С. 27-30.

161. Захаров, К. В. Обнаружение манёвров надводных судов с учётом косвенных признаков: дис. ... канд. техн, наук [Текст] / К. В. Захаров. — Ульяновск : УлГУ, 2014.- 167 с.

162. Адаптивное стохастическое моделирование теплового гомеостаза человека на основе активного принципа адаптации [Текст] : Отчёт РФФИ : 13-01-97035 / УлГУ ; исполн.: И. В. Семушин, Ю. В. Цыганова, А. Б. Песков [и др.]. — Ульяновск : 2014. — 73 с.

163. Жданов, А. И. Прямые рекуррентные алгоритмы решения линейных задач метода наименьших квадратов [Текст] / А. И. Жданов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1994. — Т. 34, № 6. —

С. 805-814.

370

164. Фаддеев, Д. К. Вычислительные методы линейной алгебры [Текст] / Д. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева. — М.: Наука, 1963.

165. Gentleman, W. М. Least Squares Computations by Givens Transformations Without Square Roots [Text] / W. M. Gentleman // IMA J. of Appl. Math. — 1973. - Vol. 12, no. 3. - P. 329-336.

166. Schmidt, S. F. Computational Techniques in Kalman Filtering [Text] /

S. F. Schmidt // Theory and Applications of Kalman Filtering. — NATO Advisory Group for Aerospace Research and Development, AGARDograph 139, 1970.-Feb.

167. Kaminski, P. G. Square Root Filtering and Smoothing for Discrete Processes [Text] : Ph. D. thesis / P. G. Kaminski; Stanford University. — 1971.

168. Morf, M. Square-root algorithms for least-squares estimation [Text] / M. Morf,

T. Kailath // IEEE Trans, on Automatic Control. — 1975. — Vol. AC-20, no. 4. — P. 487-497.

169. Numerical Comparison of Discrete Kalman Filtering Algorithms: An Orbit Determination Case Study [Text] : JPL Technical Memorandum : 33-771 ; Executor: C. L. Thornton, G. J. Bierman. — Pasadena : 1976.

170. Hotop, H.-J. New Kalman filter algorithms based on orthogonal transformations for serial and vector computers [Text] / H.-J. Hotop // Parallel Computing. — 1989. - Vol. 40, no. 12. - P. 233-247.

171. Воеводин, В. В. Вычислительные основы линейной алгебры [Текст] / В. В. Воеводин. — М.: Наука, 1977. — 304 с.

172. Самарский, А. А. Численные методы [Текст] / А. А. Самарский, А. В. Гулин. — М.: Наука, 1989. — 432 с.

173. Райс, Д. Матричные вычисления и математическое обеспечение: Пер. с англ. [Текст] / Дж. Райс. — М.: Мир, 1984. — 264 с.

371

174. Dieci, L. On the Compuation of Lyapunov Exponents for Continuous Dynamical Systems [Text] / L. Dieci, R. D. Russell, E. S. Van Vleck // SIAM J. Numer. Anal. - 1997. - Vol. 34, no. 1. - R 402—423.

175. Dieci, L. Applications of Smooth Orthogonal Factorizations of Matrices [Text] / L. Dieci, T. Eirola // Numerical Methods for Bifurcation Problems and Large-Scale Dynamical Systems. — Springer New York, 2000. — Vol. 119 of The IMA Volumes in Mathematics and its Applications. — P. 141-162.

176. An extended collection of matrix derivative results for forward and reverse mode algorithmic differentiation [Text] : Report : 08/01 ; Executor: M. Giles. — Oxford University Computing Laboratory, Parks Road, Oxford, U.K. : 2008. — January. — 23 p.

177. Kunkel, P. Smooth factorizations of matrix valued functions and their derivatives [Text] / P. Kunkel, V. Mehrmann // Numerische Mathematik. — 1991. — Dec. — Vol. 60, no. l.-P. 115-131.

178. Walter, S. F. Structured Higher-Order Algorithmic Differentiation in the Forward and Reverse Mode with Application in Optimum Experimental Design [Text] : Ph. D. thesis / S. F. Walter ; Humboldt-Universitat zu Berlin. — 2011. — 221 p.

179. Dieci, L. On smooth decompositions of matrices [Text] / L. Dieci, T. Eirola // SIAM. J. Matrix Anal. & Appl. - 1999. - Vol. 20, no. 3. - P. 800-819.

180. Дьяконов, В. П. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании [Текст] / В. П. Дьяконов. — М.: Солон-Пресс, 2006. — 720 с.

181. Альберт, А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание [Текст] / А. Альберт. — М. : Наука, 1977. — 224 с.

182. Math Works. Symbolic Math Toolbox [Электронный ресурс]. — 2015. — Режим доступа: URL: http://matlab.ru/products/symbolic-math-toolbox(дата обращения: 25.07.2016).

372

183. Вычислительная линейная алгебра в проектах на С#: учебное пособие [Текст] / И. В. Семушин, Ю. В. Цыганова, В. В. Воронина [и др.]. — Ульяновск : УлГТУ, 2014. — 429 с. Режим доступа: URL: http://venec.ulstu. ru/lib/disk/2015/5.pdf.

184. Moore, В. Linear Algebra Package [Электронный ресурс]. — 2014. —

Режим доступа: URL: http://www.mathworks.com/matlabcentral/ fileexchange/38303-linear-algebra-package (дата обращения: 30.07.2016).

185. Уилкинсон, Д. X. Алгебраическая проблема собственных значений [Текст] / Дж. X. Уилкинсон. — М. : Наука, 1970. — 565 с.

186. Лоусон, Ч. Численное решение задач методом наименьших квадратов [Текст] / Ч. Лоусон, Р. Хенсон. — М. : Наука, 1986. — 232 с.

187. Bjorck, A. Solving linear least squares problems by Gram-Schmidt orthogonalization [Text] / A Bjorck // BIT Numerical Mathematics. — 1967. — У61. 7, no. l.-P. 1-21.

188. Шарый, С. П. Бурс вычислительных методов. Электронный учебник [Текст] / С. П. Шарый. — Институт вычислительных технологий СО РАН, 2012.-315 с.

189. Higham, N. J. J-orthogonal matrices: properties and generalization [Text] / N. J. Higham // SIAM Review. - 2003. - Vol. 45, no. 3. - P. 504-519.

190. Kulikova, М. V. Kalman filter sensitivity evaluation with orthogonal and J-orthogonal transformations [Text] / М. V. Kulikova, A. Pacheco // IEEE Trans. Automat. Control. — 2013. — Vol. 58, no. 7. — P. 1798-1804.

191. Джиган, В. И. Адаптивные фильтры и их приложения в радиотехнике и связи [Текст] / В. И. Джиган // Современная электроника. — 2009. — № 9. — С. 56-63.

373

192. Bierman, G. J. A comparison of discrete linear filtering algorithms [Text] / G. J. Bierman // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst. — 1973. — no. 9. — P. 28-37.

193. Sequential Least-Squares Using Orthogonal Transformations [Text] : Technical Memorandum 33-735 / JPL, California Institute of Technology ; Executor: G. J. Bierman : 1975. — August. — 41 p.

194. Bierman, G. J. Gram-Schmidt algorithms for covariance propagation [Text] / G. J. Bierman // 1975 IEEE Conference on Decision and Control including the 14th Symposium on Adaptive Processes, Houston, TX, USA, 10-12 Dec. 1975. - IEEE, 1975. - P. 489-498.

195. Bierman, G. J. Filtering and Error Analysis via the UDU' Covariance Factorization [Text] / G. J. Bierman, C. L. Thornton // IEEE Trans, on Automatic Control. - 1978. - Oct. - Vol. AC-23, no. 5. - P. 901-907.

196. Bierman, G. J. Efficient time propagation of U-D covariance factors [Text] / G. J. Bierman // 19th IEEE Conference on Decision and Control including the Symposium on Adaptive Processes, Albuquerque, NM, USA, 10-12 Dec. 1980. - IEEE, 1980. - P. 383-384.

197. Mehra, R. K. Optimal input signals for parameter estimation in dynamic systems - survey and new results [Text] / R. K. Mehra // IEEE Trans, on Automatic Control. - 1974. - Dec. - Vol. AC-19, no. 6. - P. 753-768.

198. Maximum likelihood identification of state space models for linear dynamic systems [Text] : MIT. Tech. Rep. : ESL-R-814 / Electrinic Systems Laboratory, Department of Electrical Engineering and Computer Science, Massachusetts Institute of Technology ; Executor: N. Sandell, K. Yared. — Cambridge, Massachusetts 02139 : 1978. — 83 p.

199. Segal, M. A new method for evaluating the log-likelihood gradient (score) of linear dynamic systems [Text] / M. Segal, E. Weinstein // IEEE Trans, on Automatic Control. — 1988. — Aug. — Vol. 33, no. 8. — P. 763-766.

374

200. Segal, M. A new method for evaluating the log-likelihood gradient, the hessian, and the fisher information matrix for linear dynamic systems [Text] / M. Segal, E. Weinstein // IEEE Trans, on Automatic Control. — 1989. — May. — Vol. 35, no. 3.- P. 682-687.

201. Прасолов, В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры [Текст] / В. В. Прасолов. — Москва : Наука, 1996. — 304 с.

202. Fletcher, R. Practical Methods of Optimization. Second Edition [Text] / R. Fletcher. — New York : John Wiley & Sons, 2000. — 456 p.

203. Broxmeyer, C. Inertial Navigation Systems [Text] / C. Broxmeyer. — Boston : McGraw-Hill Book Company, 1956.

204. Semushin, I. V. Identifying Parameters of Linear Stochastic Differential Equations from Incomplete Noisy Measurements [Text] /1. V. Semushin // Recent Developments in Theories & Numerics - International Conference on Inverse Problems, Hong Kong, China, Jan. 2002. — World Scientific, 2003. — P. 281-290.

205. Optimization Algorithm for Kalman Filter Exploiting the Numerical Characteristics of SINS/GPS Integrated Navigation Systems [Text] / S. Hu, S. Xu, D. Wang,

A. Zhang // Sensors. — 2015. —Nov. — Vol. 15, no. 11. — P. 28402-28420.

206. Chandra, К. P. B. Cubature //^ information filter and its extensions [Text] /

К. P. B. Chandra, D.-W. Gu, I. Postlethwaite // European Journal of Control. — 2016. - May. - Vol. 29, no. 5. - P. 17-32.

207. An efficient UD-based algorithm for the computation of maximum likelihood sensitivity of continuous-discrete systems [Text] / D. Boiroux, R. Juhl, H. Madsen, J. B. Jorgensen // 2016 IEEE 55th Conference on Decision and Control (CDC). - 2016. - Dec. - P. 3048-3053.

208. Джиган, В. И. Адаптивная фильтрация сигналов: теория и алгоритмы [Текст] / В. И. Джиган. — Москва : Техносфера, 2013. — 528 с.

375

209. On consistency for prediction error identification methods [Text] : Report : 7405 / Division of Automatic Control, Lund Institute of Technology ; Executor:

L. Ljung. — Lund, Sweden : 1974.

210. Semushin, I. V. Adaptation in stochastic dynamic systems — survey and new results II [Text] /1. V. Semushin // Int. J. Commun., Network and System Sciences. — 2011. — Apr. — Vol. 4, no. 4. — P. 266-285.

211. Semushin, I. V. The APA based time-variant system identification [Text] / I. V. Semushin // The 53rd IEEE Conference on Decision and Control, USA. Dec. 2015. - IEEE, 2015. - P. 4137-4141.

212. Semoushin, I. V. Auxiliary performance functional approach to adaptive and learning filtering and control [Text] /1. V. Semoushin, J. V. Tsyganova // Conference Proceedings of European Control Conference ECC'99. (Karlsruhe. Germany. 31 August-3 September 1999).— Karlsruhe, Germany : IEEE, 1999.— P. 533-536.

213. Mercere, G. Identification of parameterized gray-box state-space systems: From a black-box linear time-invariant representation to a structured one [Text] / G. Mercere, O. Prot, J. A. Ramos // IEEE Trans, on Automatic Control. — 2014. -Nov. - Vol. AC-59, no. 11. - P. 2873-2885.

214. Медич, Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление [Текст] / Дж. Медич. — Москва : Энергия, 1973. — 440 с.

215. Семушин, И. В. Адаптивное управление стохастическим линейным объектом в условиях неопределённости [Текст] / И. В. Семушин // Нелинейные динамические системы: качественный анализ и управление. — 1994. — №2.-С. 104-110.

216. Semoushin, I. V. Auxiliary Performance Functional Approach to Adaptive and Learning Filtering and Control [Text] / I. V. Semoushin, J. V. Tsyganova // Proceedings of European Control Conference ECC'99. (Karlsruhe. Germany. 31 August-3 September 1999). — Karlsruhe, Germany : IEEE, 1999. — P. 533-536.

376

217. Цыганова, Ю. В. Алгоритмы адаптации и контроля активного типа в линейных стохастических системах управления: дис. ... канд. физ.-мат. наук [Текст] / Ю. В. Цыганова. — Ульяновск : УлГХ 2000. — 150 с.

218. ГОСТ 19.101-77 (СТ СЭВ 1626-79). Виды программ и программных документов; Введ. 01.01.80. [Текст]. — М. : Изд-во стандартов, 1980.

219. Ljung, L. System Identification Toolbox^ User's Guide [Text] / L. Ljung.— Math Works, Inc., 2014. — 886 p.

220. Van Overschee, P. Subspace Identification of Linear Systems: Theory, Implementation, Applications [Text] / P. Van Overschee, B. De Moor. — Springer Publishing, 1996. — 254 p.

221. Chen, T. On the Estimation of Transfer Functions, Regularizations and Gaussian Processes — Revisited [Text] / T. Chen, H. Ohlsson, L. Ljung // Automatica. — 2012. - August. - Vol. 48, no. 8. - P. 1525-1535.

222. Джиган, В. М. Прикладная библиотека адаптивных алгоритмов [Текст] /

B. М. Джиган // Электроника: Наука, Технологии, Бизнес. — 2006. — № 1. —

C. 60-65.

223. Чубич, В. М. Программный комплекс активной параметрической идентификации стохастических нелинейных дискретных систем (ПК-1). Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011612716. [Текст] / В. М. Чубич, О. С. Черникова. — Москва, 2011.

224. Нефедов, В. П. Гомеостаз на различных уровнях организации биосистем [Текст] / В. П. Нефедов, А. А. Ясайтис, В. Н. Новосельцев. — Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1991. — 232 с.

225. Kingma, В. R. М. Human Thermoregulation, A synergy between physiology and mathematical modelling [Text] : Ph. D. thesis / B. R. M. Kingma ; School of Engineering. — Universiteit Maastricht, the Netherlands, 2012. — January 27.

377

226. Kelly, G. Body temperature variability (Part 1): a review of the history of body temperature and its variability due to site selection, biological rhythms, fitness, and aging [Text] / G. Kelly // Altern. Med. Rev. — 2006. — Vol. 11, no. 4. — P. 278-93.

227. Кроливецкая, Ю. M. Построение стохастических моделей теплового гомеостаза человека [Текст] / Ю. М. Кроливецкая, Е. С. Петрова // Вестник АТТУ Сер.: Управление, вычислительная техника и информатика. — 2014. — № 1.-С. 140-152.

228. Verdult, V. Subspace identification of multivariable linear parameter-varying systems [Text] / V. Verdult, M. Verhaegen // Automatica. — 2002. — May. — Vol. 38, no. 5.-P. 805-814.

229. Theofilatos, K. Combining evolutionary and stochastic gradient techniques for system identification [Text] / K. Theofilatos, G. Beligiannis, S. Likothanassis // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2009. — May. — Vol. 227, no. l.-P. 147-160.

230. Semoushin, I. V. Comparative study of conventional and genetic algorithms in adaptive signal processing and control [Text] /1. V. Semoushin, M. A. Fedorova, O. A. Fatyanova // 4th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2004) / Ed. by P. Neittaanmaa-ki, T. Rossi, S. Korotov [et al.]. — Jyvaskyla: University of Jyvaskyla, 2004. — Vol. II.-991.pdf.

231. Фёдорова, M. А. Оптимизация стохастической следящей системы с использованием численных эволюционных методов [Текст] / М. А. Фёдорова // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета. — 2007. - № 1(12). - С. 253-259.

232. Булычов, О. И. Использование шаблонного метапрограммирования при реализации параллельных гибридных метаэвристических алгоритмов опти

378

мизации [Текст] / О. И. Булычов // Вестник УГАТУ — 2010. — Т. 14, № 4(39).-С. 221-228.

233. Armadillo: An Open Source C++ Linear Algebra Library for Fast Prototyping and Computationally Intensive Experiments [Text] : Technical Report / NICTA ; Executor: C. Sanderson. — Australia : 2010.

234. Bamieh, B. Identification of linear parameter varing models [Text] / B. Bamieh, L. Giarre // Int. Journal of Robust and Nonlinear Control. — 2002. — July. — Vol. 12, no. 9.-P. 841-853.

235. Hsieh, S. F. A unified square-root-free approach for QRD-based recursive least squares estimation [Text] / S. F. Hsieh, K. J. R. Liu, K. Yao // IEEE Trans, on Signal Processing. — 1993. — Vol. 41, no. 3. — P. 1405-1409.

236. Anda, A. Fast Plane Rotations with Dynamic Scaling [Text] / A. Anda, H. Park // SIAM. J. Matrix Anal. & Appl. - 1994. - Vol. 15, no. 1. - P. 162-174.

237. Jordan, T. L. Experiments on error growth associated with some linear least squares procedures [Text] / T. L. Jordan // Math. Comp. — 1968. — Vol. 22, no. 1.- P. 579-588.

379

Список иллюстраций

1.1 Общая схема блока идентификации неизвестного параметра Ө дискретной линейной стохастической системы (5(Ө) .................................. 38

1.2 Общая схема технологии программной реализации ОБА на базе QR преобразования 95

1.3 Общая схема технологии программной реализации ОБА на базе MWGS-UD пре-

образования .......................................................... 95

1.4 Пример схемв1 программной реализации алгоритма SRIF (этап фильтрации) на

базе QR преобразования ............................................... 96

1.5 Пример схемы программной реализации алгоритма UD-CF на базе MWGS-UD

преобразования ....................................................... 96

1.6 Сравнение точности вычислений по алгоритмам ковариационного типа .....102

1.7 Сравнение точности вычислений по алгоритмам информационного типа......103

2.1 Псевдокод алгоритма, построенного по лемме 2.2........................126

2.2 Псевдокод алгоритма, построенного по лемме 2.3........................127

2.3 Псевдокод алгоритма, построенного по лемме 2.4........................127

2.4 Псевдокод алгоритма, построенного по лемме 2.5........................128

2.5 Псевдокод алгоритма Diff_QR в общем случае............................129

2.6 Псевдокод алгоритма, построенного по лемме 2.6........................130

2.7 Псевдокод алгоритма, построенного по лемме 2.7........................146

2.8 Псевдокод алгоритма, построенного по лемме 2.8........................147

2.9 Графики значений функции дгц^/д^, вычисленные по формуле (2.64) и по лем-

ме 2.4 (метод Хаусхолдера)............................................159

2.10 Графики значений функции дгц^/д^, вычисленные аналитически с помощью метода Гивенса (с применением MAPLE 14) и с помощью алгоритма Diff_QRthin 160

3.1 Псевдокод алгоритма SM-SRCF...........................................173

3.2 Псевдокод алгоритма AAF-SRCF .........................................174

3.3 Псевдокод алгоритма SM-SRCF-TU........................................175

3.4 Псевдокод алгоритма SM-SRCF-MU........................................176

3.5 Псевдокод алгоритма AAF-SRCF-TM.......................................179

3.6 Псевдокод алгоритма SM-eSRCF .........................................181

3.7 Псевдокод алгоритма AAF-eSRCF.........................................182

3.8 Псевдокод алгоритма SM-eSRCF-TU.......................................184

3.9 Псевдокод алгоритма SM-eSRCF-MU.......................................185

3.10 Псевдокод алгоритма AAF-eSRCF-TM......................................187

3.11 Псевдокод алгоритма SM-SRIF-TU........................................188

380

3.12 Псевдокод алгоритма SM-SRIF-MU...........................................189

3.13 Псевдокод алгоритма AAF-SRIF ............................................191

3.14 Псевдокод алгоритма SM-eSRIF ............................................193

3.15 Псевдокод алгоритма AAF-eSRIF............................................194

3.16 Псевдокод алгоритма SM-mSRIF ............................................196

3.17 Псевдокод алгоритма AAF-mSRIF............................................197

3.18 Псевдокод алгоритма SM-UD-CF ............................................199

3.19 Псевдокод алгоритма AAF-UD-CF............................................201

3.20 Псевдокод алгоритма SM-eUD-CF............................................203

3.21 Псевдокод алгоритма AAF-eUD-CF...........................................205

3.22 Псевдокод алгоритма SM-LD-TU.............................................206

3.23 Псевдокод алгоритма SM-LD-MU.............................................207

3.24 Псевдокод алгоритма AAF-LD-TM............................................209

3.25 Псевдокод алгоритма (LF&LG)-UD-CF........................................217

3.26 Псевдокод алгоритма (LF&LG)-eUD-CF.......................................219

3.27 Значения Log LF (а) и Log LG (б), вычисленные с помощью стандартного ФК и

нового адаптивного UD-фильтра............................................223

3.28 Значения Log LF (а) и Log LG (б), вычисленные с помощью стандартного ФК при

J = 10*9 ................................................................224

3.29 Значения Log LF (а) и Log LG (б), вычисленные с помощью адаптивного UD-

фильтра при J = 10*9.....................................................224

3.30 Общая схема технологии программной реализации AAF на базе QR преобразования226

3.31 Общая схема технологии программной реализации AAF на базе MWGS-UD преобразования .............................................................227

3.32 Пример схемы программной реализации алгоритма SM-SRIF (этап фильтрации)

на базе QR преобразования................................................227

3.33 Пример схемы программной реализации алгоритма SM-UD-CF на базе MWGS-

UD преобразования .......................................................228

3.34 Оценки максимального правдоподобия параметра 6( вычисленные с применением

трёх разных алгоритмов: стандартный ФК (маркер о), eSRCF (маркер *) и eSRIF (маркер х)...............................................................234

4.1 Элементы матрицы Калмана при истинном значении параметра ^1 = 0.0002 .... 268

4.2 Значения исходного и вспомогательного функционалов качества в зависимости от

параметра при реализации АФ II...........................................269

4.3 Значения градиента ВФК по параметру yi при реализации АФ II..............270

4.4 Значения исходного и вспомогательного функционалов качества в зависимости от

параметров - элементов матрицы А при реализации АФ I.....................271

381

4.5 Значения исходного и вспомогательного функционалов качества в зависимости от

параметров - элементов матрицы ТС при реализации АФ I.........................272

4.6 Значения градиента ВФК в зависимости от параметров - элементов матрицы А

при реализации АФ I...........................................................273

4.7 Значения градиента ВФК в зависимости от параметров - элементов матрицы ТС

при реализации АФ I...........................................................274

4.8 Значения исходного функционала качества (Торғ) и вспомогательного функционала качества ВФК (Эмт) в зависимости от параметра г .......................284

4.9 Значения градиента ВФК, вычисленные с применением адаптивного фильтра ААҒ-

SRCF (V./sRcr) и по уравнениям чувствительности стандартного фильтра Калмана (ХЗТскғ), в зависимости от параметра г........................................285

4.10 Значения градиента ВФК (VJsRCF), вычисленные (а) с применением адаптивного

фильтра AAF-SRCF и (б) по уравнениям чувствительности стандартного фильтра Калмана при б = 10*з..........................................................286

5.1 Human body temperature daily variation (HBTDV). (Рисунок с сайта ANTRANIK.org

http://antranik.org/regulation-of-body-temperature/)..........................299

5.2 Экспериментальные данные .6/, (красные кружки), сгенерированные по модели 3dDRCM при известном значении в сравнении с оценками выходного сигнала

.6/.. (сплошная линия), полученными в результате применения алгоритма 25 .... 314

5.3 Относительная ошибка J идентификации параметра Ө, вычисленная с помощью

методов PI-API&AF-SRCF[3dDS0M] и ML-KF .......................................315

5.4 Идентификация параметров модели 4dDRCM методом ВФК [°C]: (красные точ-

ки) - вторая часть измерений С.)'/, (чёрная сплошная линия) - график оценки суточной динамики температуры здорового человека, (синяя сплошная линия) -график оценки среднесуточного уровня температуры..............................317

5.5 График сходимости оценок а) параметров и б) невязки для алгоритма GA.323

5.6 График сходимости оценок а) параметров и б) невязки для алгоритма GA >GN . . 324

5.7 График сходимости оценок а) параметров и б) невязки для алгоритма SA.325

5.8 График сходимости оценок а) параметров и б) невязки для алгоритма SA_>GN . . 326

5.9 Редактирование матриц-параметров дискретной модели в примере 5.2..............331

5.10 Сохранение данных о дискретной модели в пр им ере 5.2.........................332

5.11 Настройки процесса моделирования в примере 5.2 ...............................332

5.12 Выбор названия и цвета графика в примере 5.2..................................333

5.13 График значения ковариации ошибки фильтрации P(t^) в примере 5.2..............333

5.14 Графики значений измерения ^(С), вектора состояния ж(С) и оценки вектора состояния ж(/^) в примере 5.2...............................................334

382

5.15 Графики значений ковариации ошибки фильтрации P(t^) и коэффициента Кал-

манаТГ(^) при Л—эос для А; = 25 в примере 5.2............................335

5.16 График значения ковариации ошибки фильтрации P(t^) при Л = 0 для А; = 25 в

примере 5.2..............................................................335

5.17 Графическое представление взаимосвязи полученных результатов.............341

А.1 Псевдокод классического алгоритма ГШО....................................387