Ортогональные финитные функции, смешанные вариационные принципы в численных методах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Леонтьев, Виктор Леонтьевич

• Леонтьев, Виктор Леонтьевич
• доктор физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Леонтьев, Виктор Леонтьевич

Введение.

Глава 1. Смешанные вариационные принципы (ВП) теории упругости

§ 1. Смешанные функционалы и ВП

1.1. Нелинейная теория упругости.

1.2. Нелинейная теория оболочек

§ 2. Экстремальный смешанный функционал и соответствующий ВП

§ 3. Использование интеграла Стилтьеса в ВП Рейсснера.

§ 4. Характеристики смешанных вариационно-сеточных методов (ВСМ)

4.1. ВП Лагранжа и соответствующий ВСМ.

4.2. ВП Рейсснера и соответствующий ВСМ.

4.3. ВП для экстремального смешанного функционала и соответствующий ВСМ.

Глава 2. Аппроксимация и ортогональные финитные функции (ОФФ) в одномерном случае.

§ 1. Методика непосредственного построения ОФФ.

§ 2. Методика построения ОФФ, основанная на использовании свертки

§ 3. Сравнение вейвлетов и ОФФ

Глава 3. Аппроксимация и ОФФ в многомерных случаях.

§ 1. Тензорные произведения одномерных ОФФ.

§ 2. Первая методика построения ОФФ на треугольных сетках

2.1. Примеры построения ОФФ.

2.2. Обобщения первой методики

§ 3. Другие методики построения ОФФ на треугольных сетках

3.1. Вторая методика построения ОФФ на треугольных сетках

3.2. Третья методика построения ОФФ на треугольных сетках

3.3. Четвертая методика построения ОФФ на треугольных сетках

§ 4. Методика построения ОФФ на тетраэдральных сетках.

§ 5. Другие методики построения ОФФ на тетраэдральных сетках

Глава 4. Смешанные ВСМ, связанные с использованием В-сплайнов и

§ 1. Алгоритм ВСМ1, основанного на применении В-сплайнов нулевой степени и двух сеток.

1.1. Теория криволинейных стержней.

1.2. Теория оболочек.

1.3. Теория упругости.

§ 2. ВСМ1 в задачах о свободных колебаниях стержней.

§ 3. ВСМ1 в задачах о статическом изгибе пластин.

§ 4. Сравнительная оценка практической точности ВСМ 1.

4.1. Сравнение с ВСМ, основанным на частном ВП Рейсснера

4.2. Сравнение с ВСМ, связанным с обобщенным ВП Рейсснера

§ 5. Обобщение ВСМ 1.

5.1. Центральные разностные отношения и ВСМ.

5.2. Смешанный проекционно-сеточный метод (ПСМ).

§ 6. Алгоритм ВСМ2, основанного на применении функций Куранта

§ 7. О способах выполнения граничных условий в ВСМ1 и ВСМ

7.1.ВСМ 2.

7.2.ВСМ 1.

§ 8. Примеры применения ВСМ2.

Глава 5. Смешанные ВСМ и ПСМ, основанные на применении ОФФ

§ 1. ВСМ статики криволинейных стержней.

1.1. Линейная задача

1.2. Нелинейная задача

§ 2. Сеточный метод решения задач динамики криволинейных стержней

§ 3. ВСМ решения задач статики пластин.

3.1. Применение ОФФ, построенных по второй методике, в ВСМЗ

3.2. Применение ОФФ 1, построенных по первой методике, в ВСМ

3.3. Применение ОФФ2, построенных по первой методике, в ВСМ

Глава 6. ВСМ определения собственных значений краевых задач.

Свойства систем сеточных уравнений.

§ 1. ВСМ математической физики.

§ 2. ВСМ теории пластин

§ 3. ВСМ теории оболочек.

§ 4. ВСМ теории упругости.

Глава 7. Исследование сходимости ВСМ и ПСМ.

§ 1. О сходимости ВСМ1.

1.1. Результаты расчетов.

1.2. Апостериорная оценка сходимости.

§ 2. О сходимости ВСМ2.

§ 3. О сходимости методов, основанных на применении ОФФ

3.1. Теория стержней.

3.2. Задачи математической физики для эллиптических уравнений

3.3. Теория упругости.

3.4. Теория пластин.

3.5. Задача математической физики для гиперболического уравнения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ортогональные финитные функции, смешанные вариационные принципы в численных методах»

Одним из основных средств решения краевых и эволюционно-краевых задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ), составляющих математические модели механических систем с распределенными параметрами, являются вариационно-сеточные методы (ВСМ), основанные на вариационных принципах МДТТ.

В методе конечных элементов (МКЭ) реализована идея перехода от сплошной конструкции с бесконечным числом степеней свободы к механической системе с конечным числом степеней свободы. При создании МКЭ существовавшие апробированные алгоритмы расчета статически неопределимых стержневых систем были использованы для решения двумерных и трехмерных задач теории упругости. Упругое тело разбивалось на части, которые заменялись стержнями, связанными друг с другом в узлах. В качестве неизвестных выступали узловые перемещения. На следующем этапе развития МКЭ сплошные конструкции стали делить на двумерные и трехмерные элементы заданной формы, в пределах которых искомое решение полностью определялось его значениями в конечном числе узловых точек. Первые вычислительные матричные процедуры МКЭ были созданы без применения вариационного исчисления. Одной из основных работ этого направления развития МКЭ явилась статья А.НгепткоГГ [258]. В классических работах И.Г.Бубнова [24], Б.Г.Галеркина [48], Г.И.Петрова [146] были предложены проекционные методы решения краевых задач. И.Г.Бубнов показал [24], что уравнения метода Ритца могут быть получены без использования вариационной процедуры. Б.Г.Галеркин [48] развил и затем применил в расчетах конструкций метод И.Г.Бубнова вне связи с какой-либо вариационной задачей. Ю.В.Репман [158] дал первое математическое обоснование метода Бубнова-Галеркина применительно к интегральным уравнениям. Г.И.Петров [146] получил аналогичные результаты для дифференциальных уравнений и обобщил метод Бубнова-Галеркина. Методы Бубнова,

Галеркина, Петрова являются основой построения наиболее общих алгоритмов решения краевых задач, которые без использования вариационных принципов в определенных случаях дают те же уравнения, к которым приводит МКЭ. К.Соигагй [243] построил приближенное решение краевой задачи на основе вариационного принципа минимума потенциальной энергии с использованием кусочно линейных аппроксимаций на треугольных элементах, что привело к стандартной пятиточечной разностной схеме для уравнения Лапласа. Была показана связь вариационных методов с разностными и определена вариационная основа МКЭ. Началось использование базисных функций с конечными носителями в МКЭ, что явилось основным отличием вариационного МКЭ от классических вариационных численных методов. Матрица сеточных уравнений приобрела ленточную структуру, что привело к улучшению ее обусловленности и позволило применить эффективные методы решения ленточных систем алгебраических уравнений. .Ш.А^упэ [214] выявил связь не только метода перемещений, но и метода напряжений, с вариационными принципами механики, показав общность МКЭ и ВСМ.

Основное развитие ВСМ МДТТ было связано с использованием вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно, отражающих экстремальные свойства одноименных функционалов. Функционал Лагранжа имеет в стационарной точке минимум, а функционал Кастильяно - максимум, что, во-первых, позволяет вводить так называемые энергетические нормы и соответствующие гильбертовы пространства и исследовать существование, единственность и сходимость решений, во-вторых, давать при их совместном использовании апостериорную оценку точности приближенных решений. Недостатками ВСМ "в перемещениях", построенных на основе вариационного принципа Лагранжа, являются: высокие требования к гладкости базисных функций, вызванные высоким порядком входящих в функционал производных, необходимость предварительного выполнения кинематических краевых условий, низкая гладкость приближенных решений для деформаций и напряжений, получаемых дифференцированием приближенных решений для перемещений, и наличие производных вектора перемещений в силовых краевых условиях. Основные недостатки ВСМ "в напряжениях", основанных на вариационном принципе Кастиль-яно, состоят в необходимости использования тензорных полей напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и силовым краевым условиям, а также в трудоемкости процедуры определения перемещений по приближенному решению для напряжений. Главный недостаток названных двух подходов заключается в том, что вычисление дискретного решения требует решения экстремальной задачи с ограничениями. Следует заметить, что в определенной мере уровень требований к гладкости базисных функций может быть снижен использованием полуслабых форм функционалов, а налагаемые на пространство приближенных решений ограничения могут быть учтены с помощью техники Я-функций [151].

Е.Не1Нп£ег [255] и Е.К^ББпег [303] сформулировали вариационный принцип теории упругости, в котором независимо варьируются перемещения и напряжения и который в России называют вариационным принципом Рейссне-ра, а за рубежом - Хеллингера-Рейсснера. Систематизация вариационных принципов [1], [164] основана на установлении связей полных и частных функционалов посредством преобразований Лежандра и Фридрихса. Связь между функционалами Лагранжа и Кастильяно была установлена К.Соигагй [243] с помощью преобразования Фридрихса. Е.11е1ззпег получил смешанный вариационный принцип [303], также применив этот аппарат. В ВСМ, связанных с вариационным принципом Рейсснера, перемещения и напряжения аппроксимируются независимо, что создает предпосылки для сближения гладкости, а также и точности, приближенных решений для кинематических и силовых функций. Все уравнения и краевые условия удовлетворяются уравновешенно с помощью вариационного принципа Рейсснера в отличие от вариационного принципа Лагранжа, в котором из-за низкой гладкости силовых приближенных решений уравнения равновесия и силовые краевые условия нарушаются по крайней мере локально, особенно в областях с большими градиентами напряжений. Развитию и применению смешанного вариационного принципа и установлению его связи с проекционными процедурами методов Бубнова, Галерки-на, Ритца посвящены работы В.М.Фридмана [204, 205] и В.М.Фридмана,

B.С.Черниной [206]. Вариационный принцип механики сплошных сред, в котором независимо варьируются перемещения, напряжения и деформации, сформулировали Н.С.Ни [259], K.Washizu [326]. Кроме того, что вариационный принцип Ху-Васидзу избавляет от операции дифференцирования перемещений при получении приближенных решений для деформаций и напряжений, он не требует, чтобы уравнения состояния были разрешены относительно деформаций. Вариационные принципы Рейсснера и Ху-Васидзу называются смешанными потому, что в них произвольно и независимо друг от друга варьируются как кинематические, так и силовые факторы. Развитие и исследование смешанных вариационных принципов является актуальной задачей и продолжается в настоящее время (см., например, [55, 166, 167, 253, 254]). Методика исследования сходимости смешанных ВСМ получила развитие в работах F.Brezzi [225],

C.Johnson [262], F.Kikuchi, Y.Ando [266], T.Miyoshi [281], P.A.Raviart [299], В.И.Астафьева [14], Л.В.Масловской, В.В.Вербицкого [113], Ф.Сьярле [190], А.П.Филипповича [203] и др. Функционалы Рейсснера и Ху-Васидзу не имеют экстремумов и не порождают норму, что затрудняет исследование вопросов существования, единственности точных решений, а также приближенных решений связанных с ними методов и сходимости последних. Указанным недостатком смешанных функционалов не обладают экстремальные смешанные функционалы В.И.Сливкера [179], но они сохраняют другие существенные недостатки вариационного принципа Лагранжа: высокий порядок входящих в функционал производных, принадлежность кинематических условий группе главных краевых условий. В диссертации предлагается методика построения выпуклых смешанных функционалов МДТТ, не имеющих указанных недостатков. В смешанных вариационных принципах Рейсснера и Ху-Васидзу все краевые условия являются естественными. Обобщение смешанных вариационных принципов, позволившее для построения приближенного решения использовать разрывные поля перемещений, деформаций и напряжений, было выполнено В.Прагером [144]. Такое обобщение расширило класс функций используемых для аппроксимации искомого решения краевой задачи. Развитие этого направление в диссертации связано с включением интегралов Стилтьеса в функционалы смешанных вариационных принципов и с построением нескольких сеток. Методы решения нелинейных краевых задач являются одной из областей применения вариационных принципов МДТТ. И.И.Ворович [42] использовал вариационные принципы МДТТ для построения и математического обоснования прямых методов решения краевых задач нелинейной теории пологих оболочек. Схема обоснования прямых методов [42] применима к анализу МКЭ и, по-видимому, к анализу прямых методов [42] решения краевых задач нелинейной теории пологих оболочек при использовании в них предлагаемых в диссертации ортогональных финитных функций (ОФФ).

Актуальность темы исследования. При решении краевых задач МДТТ вариационно-сеточными методами в настоящее время наиболее часто применяются методы решения в перемещениях (МРП), основанные на вариационном принципе Лагранжа. Экстремальный функционал Лагранжа обеспечивает сходимость приближенного решения, получаемого для перемещений, при соответствующем выборе системы базисных функций. Используемые кинематически возможные поля перемещений обладают геометрической наглядностью и с помощью финитных базисных функций легко аппроксимируются в областях сложной формы. Однако определение напряжений посредством дифференцирования полученного для перемещений приближенного решения приводит к аппроксимирующим напряжения функциям, которые характеризуются сниженными точностью и гладкостью (см. [166]). В теории пластин и оболочек переход в рамках вариационного принципа Лагранжа от кинематических приближенных решений к приближенным решениям для изгибающих и крутящего моментов связан со вторыми частными производными. Поэтому такой переход является причиной значительного снижения гладкости и точности последних решений по сравнению с кинематическими решениями. ВСМ, следующие из вариационного принципа Кастильяно, позволяют находить напряжения непосредственно, без определения перемещений, что повышает точность приближенных решений для напряжений. Но функционал Кастильяно определен на статически возможных полях напряжений, построение которых представляет сложную задачу. В работах М.А.Рвачева [155, 156] она решена с помощью Я-функций для однородных уравнений равновесия теории упругости и для некоторых типов силовых краевых условий. При построении допускаемых вариаций поля напряжений метод М.А.Рвачева встречается с затруднениями [156], связанными с ограничениями на гладкость и связность границы области и с избыточностью используемого представления тензора напряжений через вспомогательный тензор. Вспомогательный тензор имеет шесть произвольных компонент, а шесть компонент тензора напряжений связаны тремя однородными уравнениями равновесия. Затруднения удалось обойти [155, 156] для плоских и осесимметричных задач теории упругости. Неоднородные уравнения равновесия, динамические задачи теории упругости, других типы краевых условий, задачи теории пластин и оболочек не рассматривались в работах М.А.Рвачева. Смешанные вариационные принципы, в частности вариационный принцип Рейсснера, являются основой для построения численных методов, обладающих рациональными алгоритмами и дающих приближенные решения для перемещений и напряжений с уравновешенной точностью и гладкостью в широких классах задач теории упругости, теории пластин и оболочек, теории стержней, и соответствующих комплексов программ. Это определяется, в частности, следующими причинами: смешанная форма постановки задачи сводит изменение модели сплошной среды, как правило, к трансформации лишь уравнений состояния, во многих случаях незначительной; геометрические и физические параметры механической системы находятся в уравнениях движения и состояния вне дифференциальных операторов; краевые условия формулируются, как правило, без использования производных и поэтому в контактных задачах они также записываются в наиболее простой форме; не возникает особенностей при решении задач для механически несжимаемых материалов; в задачах теории оболочек и пластин учитывается деформация поперечного сдвига; в область применения таких ВСМ входят задачи для пластин и оболочек средней и большой толщины. Отсутствуют ошибки аппроксимации производных геометрических и физических параметров, а также производных в краевых условиях, производные неизвестных функций имеют минимально возможные порядки, что являясь одним из основных достоинств смешанных ВСМ, снижает требования ВСМ к базисным функциям. В результате создаются предпосылки для повышения точности приближенных решений, особенно в задачах с большими градиентами перемещений и напряжений и с особенностями в решениях. Немаловажна сравнительная простота программной реализации смешанных методов. Развитие численных методов, основанных на смешанных вариационных принципах, направлено на эффективное использование перечисленных возможностей. Это развитие началось в 60-е годы двадцатого столетия и продолжается в настоящее время (см., например, [68, 98, 231, 264, 265, 270, 274, 277, 284, 292, 295, 298, 333]). Но функционал Рейсснера - не экстремальный, что вызывает необходимость использования специальных методик исследования сходимости смешанных ВСМ. Важнейший недостаток ВСМ - высокая размерность систем алгебраических сеточных систем уравнений (ССУ) для неизвестных узловых величин, усиливается в смешанных ВСМ. Следствием одновременной и независимой аппроксимации перемещений и напряжений является увеличенное число сеточных неизвестных. Недостатки смешанных методов устраняются при использовании систем ОФФ. Классические методики исследования сходимости метода Ритца и разностных схем становятся эффективными при изучении сходимости таких смешанных ВСМ. Приближенные решения для перемещений и напряжений характеризуются уравновешенной гладкостью и точностью. Исключение силовых неизвестных в аналитической форме до начала решения задачи на ЭВМ, возможное благодаря применению ОФФ, делает смешанные ВСМ сравнимыми по числу арифметических операций, необходимых для получения численного решения, с ВСМ, основанными на вариационном принципе Лагранжа. В задачах, в которых определяются как кинематические, так и силовые факторы, для реализации такого смешанного ВСМ требуется выполнение арифметических операций, число которых за счет исключения силовых неизвестных существенно меньше аналогичного числа, характеризующего методику, основанную на совместном применении вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно и также дающую кинематические и силовые решения с уравновешенной точностью. Исключение неизвестных величин, связанных с аппроксимацией силовых факторов, становится возможным и тогда, когда в качестве базисных функций берутся ортогональные многочлены Лежандра, Чебышева. Однако, такие базисные функции являются эффективными на интервалах и на областях большей размерности, если геометрия областей достаточно проста, и, кроме того, в отличие от финитных функций не приводят к ССУ с разреженными матрицами. В случае областей общего вида их заменяют ОФФ. Одной из областей применения смешанных ВСМ, обладающих простыми алгоритмами, рациональными и эффективными вследствие использования ОФФ, являются динамические задачи механики сплошных сред, поскольку диагональная матрица Грама базисной системы ОФФ устраняет необходимость обращения матрицы после выполненного согласно методу Канторовича перехода от эволюционно-краевой задачи к задаче Коши. Это имеет значение в тех задачах аэрогидроу пру гости, в которых элементы матрицы, умноженной на вектор производных по времени неизвестных функций приближенного решения, зависят от времени и поэтому при использовании ряда численных методов решения задачи Коши создают необходимость обращения матрицы на каждом шаге итерационной процедуры решения.

Первый по времени его создания ортонормированный базис вейвлетов (wavelets) с компактными носителями связан с функцией Хаара [251], имеющей разрывы. До работ G.Battle [219], I.Daubechies [244], Y.Meyer [279], J.O.Stromberg [316], Ph.Tchamitchian [319], P.G.Lemarie' [271], в которых предложены первые непрерывные вейвлеты, в том числе ортогональные вейвлеты с компактными носителями [244], считалось [186, с. 258], что условие ортогональности непрерывных базисных функций несовместимо с их важным свойством, которое состоит в наличии у функций компактных конечных носителей и является основным у функций, применяемых в ВСМ, поскольку делает матрицы ССУ разреженными. В работах [244, 64] построена теория ортогональных вейвлетов с компактными носителями и приведены примеры таких базисов, полученных с помощью кратномасштабного анализа [276, 64]. Но функции [244, 64] не являются симметричными и обладают сложной структурой. Полная симметрия вещественных ортогонормированных базисов вейвлетов с компактными носителями (за исключением базиса Хаара), как показано в [244, 64], недостижима. Снижение степени несимметрии функций приводит [64, с. 342] к росту размеров конечных носителей функций. Регулярность ортогональных вейвлетов с компактными носителями [64] является линейной функцией ширины конечного носителя. Регулярность функций этих базисов, которая характеризуется величиной показателя Гёльдера, определяющего непрерывность функции по Гёльдеру, возрастает с ростом ширины их конечных носителей, что приводит к более плотно заполненным матрицам систем сеточных уравнений в численных методах. В [64] приводятся характерные примеры ортогональных базисов вейвлетов с компактными носителями, имеющих локальные флуктуации регулярности - на различных частях области определения таких функций показатель Гёльдера принимает различные значения. Производные этих функций непрерывны, но имеют очень малое значение показателя Гёльдера. Характер функций, в некоторых случаях являющихся недифферен-цируемыми, а также их производных, если они существуют, осложняет применение функций в численных методах решения краевых задач. Ортонормиро-ванные базисы вейвлетов с компактными носителями, как правило, не удается записать в аналитической форме, и хотя их можно построить с произвольной точностью с помощью определенных алгоритмов, это также значительно осложняет использование таких базисных функций в численных методах решения краевых задач. Многомерные базисы вейвлетов строятся с помощью тензорных произведений одномерных функций и тензорных произведений одномерных кратномасштабных анализов [64, с. 406-407]. Вейвлеты созданы для использования в теории фильтрации и кодирования, в цифровой обработке сигналов, изображений и не приспособлены для применения в алгоритмах численных методов решения краевых задач. В статье [66] отмечается, что 1.ВаиЬесЫез [244] удалось соединить в одном вейвлет-базисе три свойства, привлекательные для численного анализа: взаимную ортогональность базисных функций, все базисные функции получаются посредством сдвигов и растяжений одной порождающей функции, компактность носителей базисных функций. В [66] также отмечается, что в тех задачах, в которых требуется симметрия и гладкость базисных функций, базисы ¡.БаиЬесЫеБ проигрывают базисам, построенным при помощи сплайнов, и указываются значительные трудности, препятствующие построению базисов, совмещающих отмеченные свойства базисов 1.0аиЬесЫез и свойства сплайнов. Поэтому разработка симметричных ОФФ одной переменной, имеющих простую структуру и высокую гладкость, и ОФФ многих переменных, связанных с треугольными и тетраэдральными сетками, для областей с криволинейными границами является актуальной задачей. Ее решение создает основу для построения смешанных ВСМ, обладающих рациональными алгоритмами и не имеющих недостатков классических смешанных ВСМ, а также основу для математического моделирования технических устройств, механических и других процессов. Построение таких ВСМ является актуальной задачей.

Значительный вклад в создание и развитие вариационных принципов МДТТ, численных методов МДТТ внесли: Н.П.Абовский, В.И.Агошков, Л.Я.Айнола, Н.А.Алумяэ, Р.Ю.Амензаде, Н.П.Андреев, В.Б.Андреев, Г.М.Асланов, В.И.Астафьев, Л.И.Балабух, Н.С. Бахвалов, В.В.Болотин, В.В.Вербицкий, А.С.Вольмир, И.И.Ворович, К.З.Галимов, И.И.Гольденблат,

A.П.Деруга, Л.М.Зубов, Ю.Г.Исполов, В.Г.Карнаухов, Л.М.Качанов,

B.П.Кандидов, Г.М.Кобельков, С.Н.Коробейников, В.Г.Корнеев, А.И.Лурье, Г.И.Марчук, Л.В.Масловская, И.Е.Милейковский, С.Г.Михлин, Л.А.Оганесян, Б.Е.Победря, В.А.Постнов, В.Л.Рвачев, М.А.Рвачев, В.Я.Ривкинд, Л.А.Розин, Л.А.Руховец, А.А.Самарский, Ю.Н.Санкин, Е.Д.Свияженинов, Л.И.Седов, ИК.Сенченков, И.Н.Слесингер, В.И.Сливкер, И.Г.Терегулов, Л.А.Трайнин, К.Ф.Черных, С.К.Черников, В.С.Чернина, С.С.Чесноков, А.П.Филиппович,

B.М.Фридман, Л.Н.Ясницкий, Y.Ando, J.H.Argiris, I.Babuska, G.Birkhoff, J.H.Bramble, F.Brezzi, P.G.Ciarlet, R.W.Clough, R.Courant, G.Fix, L.R.Herrmann, E.Hellinger, H.C.Hu, C.Johnson, F.Kikuchi, J.L.Lions, T.Miyoshi, A.K.Noor, J.T.Oden, T.H.H.Pian, W.Prager, C.A.Prato, P.A.Raviart, J.N.Reddy, E.Reissner,

G.Strang, R.Temam, J.M.Thomas, E.Tonti, R.S.Varga, F.deVeubeke, K.Washizu, K.G.Wilson, A.Zenisek, O.C.Zienkiewicz, M.Zlamal. Большой вклад в создание и развитие теории вейвлетов внесли: G.Battle, C.K.Chui, R.R.Coifman, A.Cohen, I.Daubechies, P.G.Lemarie, S.Mallat, Y.Meyer, J.O.Stromberg, Ph.Tchamitchian, K.G.Wilson. Значительный вклад в развитие теории вейвлетов внесли

H.М.Астафьева, М.З.Берколайко, В.А.Желудев, В.Г.Захаров, В.Ф.Кравченко, Р.А.Лоренц, Т.П.Лукашенко, С.М.Машарский, В.Н.Малоземов, И.Я.Новиков, А.П.Петухов, В.И.Пустовойт, В.А.Рвачев, А.А.Саакян, М.А.Скопина,

C.Б.Стечкин, Н.А.Стрелков, Ю.Н.Субботин, Н.И.Черных.

Цель работы; разработка новых методик построения ортогональных финитных функций; создание эффективных смешанных ВСМ решения краевых и эволюционно-краевых задач МДТТ и математической физики; разработка смешанных вариационных принципов, допускающих применение В-сплайнов нулевой степени, и смешанных выпуклых функционалов; разработка рациональных алгоритмов смешанных ВСМ, основанных на применении В-сплайнов нулевой степени и функций Куранта.

Научную новизну составляют следующие результаты работы, которые выносятся на защиту.

1.Смешанные функционалы и вариационные принципы нелинейной теории упругости и нелинейной теории оболочек.

2.Методика построения выпуклых смешанных функционалов теории упругости. Соответствующие вариационные принципы.

3.Смешанный вариационный принцип теории упругости, использующий интегралы Стилтьеса.

4.Новое направление теории ОФФ. Методики конструирования ОФФ на различных сетках в евклидовых пространствах К, К2, К3,., й^", в том числе на треугольных и тетраэдральных сетках. Направления развития методик. Конкретные системы ОФФ, исследование их аппроксимирующих свойств.

5.Смешанные ВСМ решения задач статики и колебаний упругих тел, основанные на применении В-сплайнов нулевой степени, связанных с несколькими сетками, и функций Куранта.

6.Смешанные ВСМ решения задач математической физики, статики и динамики упругих тел, основанные на использовании различных ОФФ.

7.Смешанные ВСМ решения спектральных задач математической физики и МДТТ. Методика двусторонних оценок частот свободных колебаний упругих тел.

8.Исследование структуры и обусловленности ССУ смешанных ВСМ, основанных на применении ОФФ.

9.Исследование сходимости смешанных ВСМ в задачах математической физики, теории стержней, теории пластин, теории упругости.

Теоретическое значение диссертационной работы заключается в создании: нового направления теории ОФФ и на его основе - смешанных ВСМ решения краевых, эволюционно-краевых и спектральных задач МДТТ и математической физики, у которых отсутствуют недостатки классических смешанных ВСМ; новых смешанных вариационных принципов; эффективных смешанных ВСМ, имеющих рациональные алгоритмы и использующих известные базисные финитные функции. Предложенные ОФФ, с помощью которых строятся ВСМ, основанные на вариационном принципе Рейсснера, могут быть также использованы в ВСМ, связанных с вариационным принципом Ху-Васидзу и с вариационными принципами для выпуклых смешанных функционалов, а также при построении моделей устройств и процессов, не связанных непосредственно с МДТТ, и в численных методах решения соответствующих этим моделям краевых задач.

Практическое значение диссертационной работы состоит в том, что созданные системы ОФФ и вариационные принципы являются средством математического моделирования физико-механических, технических устройств и процессов, а также в том, что построенные ВСМ являются инструментом исследования механизмов и конструкций, при котором проводится анализ перемещений и напряжений (функций и их производных). Необходимость разработки предлагаемых ОФФ и ВСМ показали научно-исследовательские работы [428, 429, 430], ответственным исполнителем которых являлся автор диссертационной работы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Леонтьев, Виктор Леонтьевич

Заключение

В диссертационной работе получены следующие результаты.

1) Построены смешанные функционалы нелинейной теории упругости и нелинейной теории оболочек, зависящие от параметров, при определенном выборе которых снижаются требования к базисным функциям. Разработана методика построения выпуклых смешанных функционалов теории упругости. Сформулированы соответствующие вариационные принципы. Сформулирован смешанный вариационный принцип теории упругости с использованием интеграла Стилтьеса. Функционалы являются основой построения ВСМ.

2) Созданы две методики конструирования ОФФ одной переменной. Указаны направления их развития. Построены пять конкретных параметрических систем ОФФ, исследованы их аппроксимирующие свойства. Введены и исследованы ОФФ многих переменных на прямоугольных сетках, являющиеся тензорными произведениями ОФФ одного аргумента. Разработаны четыре методики построения ОФФ двух переменных на треугольных сетках. Сконструированы конкретные системы ОФФ, изучены их аппроксимирующие свойства. Предложены методики создания ОФФ трех переменных на тетраэдральных сетках. Построена конкретная система таких ОФФ, исследованы ее аппроксимирующие свойства. Указаны направления развития методик построения ОФФ на треугольных и тетраэдральных сетках, в том числе связанные с применением многочленов второй и более высоких степеней.

3) Созданы два смешанных ВСМ, основанных на применении простейших базисных функций - В-сплайнов нулевой степени, связанных с двумя сетками, и функций Куранта. Разработаны способы выполнения краевых условий, устраняющие неопределенность или несовместность ССУ таких ВСМ. С помощью этих ВСМ получены решения ряда задач, выполнено их сравнение с известными решениями, приведены результаты исследования сходимости методов. Разработаны правила построения ВСМ и проекционно-сеточных методов МДТТ, в которых используется две, три или четыре сетки и применяются финитные базисные функции, имеющие разрывы на границах их конечных носителей. Частными случаями реализации этих правил являются ВСМ1, в котором применяются В-сплайны нулевой степени, связанные с двумя сетками, и численный метод, разработанный A.K.Noor, W.B.Stephens, R.E.Fulton.

4) Построены и исследованы смешанные ВСМ, основанные на использовании различных ОФФ, в том числе связанных с треугольными сетками: в задачах математической физики; в линейных и геометрически нелинейных задачах статики и линейных задачах динамики криволинейных стержней; в задачах теории упругих пластин и оболочек; в задачах теории упругости.

5) Исследованы свойства ССУ смешанных ВСМ, основанных на применении ОФФ. Показано, что значительная часть сеточных неизвестных исключается в аналитической форме до начала решения ССУ. Установлено, что матрицы ССУ имеют хорошую обусловленность. Показано, что в определенных задачах ССУ состоят из нескольких несвязанных друг с другом подсистем, что снижает требования ВСМ к объему оперативной памяти ЭВМ и время решения задач на ЭВМ. В спектральных задачах установлено, что смешанные ВСМ, использующие ОФФ, дают приближенные значения частот свободных колебаний упругих тел с недостатком. Их применение совместно с методом Ритца приводит к двусторонним оценкам частот.

6) Исследована сходимость приближенных решений, полученных ВСМ, использующими ОФФ, в задачах математической физики, теории стержней, теории пластин, теории упругости. Показано, что применение ОФФ в смешанных ВСМ делает методики теории разностных схем и теории метода Ритца эффективными в изучении сходимости смешанных ВСМ.

7) Созданы компьютерные программы, реализующие смешанные ВСМ, связанные с использованием В-сплайнов и двух сеток, с применением функций Куранта, с применением различных ОФФ, в теории криволинейных стержней, в теории пластин и оболочек, в теории упругости и в математической физике.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Леонтьев, Виктор Леонтьевич, 2002 год

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1978, 288 с.

2. Абовский Н.П., Енджиевский JI.B. Некоторые аспекты развития численных методов расчета конструкций // Известия вузов. Строительство и архитектура, N6, 1981, с.30-47.

3. Айнола Л.Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих оболочек // Известия АН Эст. ССР, сер. физ.-мат. и техн. наук, т. 14, N3, 1965, с. 337-344.

4. Алумяэ H.A. Дифференциальные уравнения состояний равновесия тонкостенных упругих оболочек в послекритической стадии // Прикладная математика и механика, т. 13, N1, 1949, с. 95-106.

5. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. Пер. с англ. М.: Мир, 1972, 316 с.

6. Алейников С.М., Седаев A.A. Двойственные сетки и их применение в методе граничных элементов // Журнал вычислит, математики и матем. физики, т. 39, N2, 1999, с. 239-253.

7. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: ГИФМЛ, 1961, 384 с.

8. Амензаде Р.Ю. Вариационный принцип теории пластичности неоднородных тел при облучении // Доклады РАН, т. 330, N2, 1993, с. 194-196.

9. Амензаде Р.Ю., Асланов Г.М. Динамический вариационный принцип теории пластичности с учетом геометрической нелинейности // ДАН СССР, т. 239, N6, 1978, с. 1302-1304.

10. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход. Пер. с англ. М.: Мир, 1976, 311 с.

11. Арман Ж.-Л.П. Приложения теории оптимального управления системами с распределенными параметрами к задачам оптимизации конструкций. Пер. с англ. М.: Мир, 1977, 142 с.

12. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1974, 432 с.

13. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физич. наук, т. 166, N11, 1998, с. 1145-1170.

14. Астафьев В.И. Смешанная формулировка метода конечных элементов в задачах изгиба тонких пластин при установившейся ползучести // В книге: Деформирование и разрушение твердых тел. М.: изд-во МГУ, 1977, с. 71-77.

15. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973, 631 с.

16. Бахвалов Н.С. Осреднение уравнений с частными производными с быстро-осциллирующими коэффициентами // В книге: Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1982, с. 38-47.

17. Вениаминов Д.М. Вариационный принцип для уравнений смешанного метода нелинейной теории пологих оболочек // Известия АН СССР. Механика твердого тела, N3, 1969, с. 96-98.

18. Вениаминов Д.М. Уравнения смешанного метода в теории упругости // Строит, механика и расчет сооружений, N5, 1975, с. 43-46.

19. Берколайко М.З., Новиков И.Я. Базисы всплесков в пространствах дифференцируемых функций анизотропной гладкости // Доклады РАН, т. 323, N4, 1992, с. 615-618.

20. Берколайко М.З., Новиков И.Я. О бесконечно гладких почти-всплесках с компактным носителем // Доклады РАН, т. 326, N 6, 1992, с. 935-938.

21. Бирюков Д.Б., Постоев В.С. Метод конечных элементов в напряжениях // Математич. моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов: Доклады XVII Международной конф. -СПб.: НИИХ СпбГУ, 1999, с. 49-53.

22. Богданов Б.А. Спектральная задача: кручение токонесущего вала, вращающегося в электромагнитном поле // Труды Ленингр. политехнич. ин-та, N425, 1988, с. 70-76.

23. Бреззи Ф., Телье Г. Ле, Олье Дж. Анализ аппроксимации смешанными конечными элементами стационарных уравнений Навье-Стокса // В книге: Вычислительные методы в прикладной математике. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1982, с. 96-108.

24. Бубнов И.Г. Отзыв о работе проф. С.П.Тимошенко "Об устойчивости упругих систем" // Избранные труды. Л.: Судпромгиз, 1956, с. 136-139.

25. Букесова H.H., Железовский С.Е. О скорости сходимости метода Галеркина для одного класса квазилинейных операторных дифференциальных уравнений // Журнал вычислит, математики и математич. физики, т.39, N9, 1999, с. 1519-1531.

26. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. Пер.с англ. М.: Мир, 1987, 542 с.

27. Василенко В.А., Переломов Е.М. Сплайн-интерполяция в прямоугольной области с хаотически расположенными узлами // Сб. " Машинная графика и ее применение", Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973, с. 96-103.

28. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1963, 486 с.

29. Варвак П.М., Бузун И.М., Городецкий A.C., Пискунов В.Г., Толокнов Ю.Н. Метод конечных элементов: Уч. пособие. Киев: Вища школа, 1981, 176 с.

30. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. Пер. с англ. М.: Мир, 1974, 126 с.

31. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы / Отв. ред. Г.И.Марчук. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1983, 214 с.

32. Вербицкий В.В. Смешанный метод конечных элементов в задаче на собственные значения нелинейной устойчивости пологих оболочек // Известия вузов. Математика. N11, 1998, с. 22-31.

33. Вибрации в технике: Справочник. Т.1 / Под ред. В.В.Болотина. М.: Машиностроение, 1978, 352 с.

34. Вибрации в технике: Справочник. Т.З / Под ред. Ф.М.Диментберга, К.С.Колесникова. М.: Машиностроение, 1980, 544 с.

35. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1976, 280 с.

36. Воеводин В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1966, 248 с.

37. Волков Е.А. Численные методы. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1982, 256с.

38. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.:Наука, 1972, 432с.

39. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956, 419 с.

40. Ворович И.И., Шепелева В.Г. Исследование нелинейной устойчивости пологой оболочки двоякой кривизны в высоких приближениях // Известия АН СССР. Механика твердого тела, N3, 1969, с. 69-73.

41. Ворович И.И. Метод Бубнова-Галеркина, его развитие и роль в прикладной математике // В книге: Успехи механики деформируемых сред. К 100-летию со дня рождения акад. Б.Г.Галеркина. М.: Наука, 1975, с. 121-133.

42. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1989, 376 с.

43. Ворошко П.П. Формулировка вариационных принципов типа Рейсснера для классических задач термоупругости // Доклады АН УССР, N3, 1984, с. 31-34.

44. Ворошко П.П. Смешанные вариационные формулировки задач теории упругости и их реализация методом конечных элементов // Проблемы прочности, N1, 1985, с. 100-105.

45. Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1971, 248 с.

46. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: изд-во КГУ, 1975, 325 с.

47. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. Пер. с англ. М.: Мир, 1984,428 с.

48. Галеркин Б.Г. Стержни и пластинки // Вестник инженеров, т. 1, N 19, 1915, с. 897-908.

49. Галеркин Б.Г. Собрание сочинений, том 1, М.: изд-во АН СССР, 1952, 391с.

50. Гливенко В.И. Интеграл Стилтьеса. М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936, 216 с.

51. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию). М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1977, 440 с.

52. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1976, 512 с.

53. Голушков В.Г., Масловская Л.В. Смешанный метод конечных элементов в задачах теории оболочек // Журнал вычислит, математики и математич. физики, т. 34, N 5, 1994, с. 748-769.

54. Григоренко Я.М., Кокошин С.С. Численный анализ напряженного состояния слоистых анизотропных оболочек на базе смешанной модели МКЭ // Прикладная механика, т. 18, N2, 1982, с. 3-6.

55. Гусева Н.С., Привалова О.В., Фридман В.М. Спектральный метод решения задачи о колебаниях упругого тела при смешанных граничных условиях // Труды Ленингр. политехнич. ин-та, N 425, 1988, с. 39-44.

56. Давыдова М.А. Решение типа всплеска и критический случай ступеньки для сингулярно возмущенного уравнения второго порядка // Журнал вычислит, математики и математич. физики, т.39, N8, 1999, с. 1305-1316.

57. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. Пер с англ. М.: Радио и связь, 1985, 304 с.

58. Де Вебеке Б.Ф. Новый вариационный принцип в теории упругости с конечными перемещениями // В книге: Успехи механики деформируемых сред. К 100-летию со дня рождения акад. Б.Г.Галеркина. М.: Наука, 1975, с. 194-210.

59. Деклу Ж. Метод конечных элементов. Пер. с фр. М.:Мир, 1976, 95с.

60. Демьянович Ю.К. Об оценках скорости сходимости проекционных методов решения одного класса нестационарных задач // Методы вычислений, т. 10, Л.: ЛГУ, 1976, с. 103-113.

61. Деруга А.П. Вариационно-разностные схемы для нелинейных задач теории упругости // В книге: Пространственные конструкции в Красноярском крае. Красноярск: КИСИ, 1992, с. 66-81.

62. Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. Пер. с англ. М.: Мир, 1969, 424 с.

63. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Пер. с англ. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 464 с.

64. Доннелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки. Пер. с англ. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1982, 568 с.

65. Желудев В.А. О вейвлетах на базе периодических сплайнов // Доклады РАН, т. 335, N 1, 1994, с. 9-13.

66. Жилин П.А. О теориях пластин Пуассона и Кирхгофа с позиций современной теории пластин // Изв. РАН. Механика твердого тела, N3, 1992, с. 48-64.

67. Заботина Л.Ш., Карчевский М.М. О смешанном методе конечных элементов в нелинейной теории непологих оболочек // Матем. моделир. и краевые задачи: Труды 8-й Научной межвуз. конф., Самара, 26-28 мая, 1998, часть 1, Самара: СамГТУ, 1998, с. 64-66.

68. Загородная Г.А., Фридман В.М. Модификация метода Л.В.Канторовича в теории пластического течения // Изв. АН АрмССР, т. 30, N1, Механика, 1977, с. 53-62.

69. Захаров В.Г. Диагонализация нелинейных операторов // Проблемы механики и управления. Межвуз. научн. сб., Пермь, 2000, с. 9-22.

70. Захаров В.Г. Решение уравнения Бюргерса с использованием вейвлет-базисов // Матем. моделирование систем и процессов, N3, Пермь: ПГТУ, 1995, с. 24-33.

71. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. Пер. с англ. М.: Мир, 1975, 541 с.

72. Злотник A.A. Оценки скорости сходимости проекционно-сеточных методов для гиперболических уравнений второго порядка // В книге: Вычислительные процессы и системы. Вып.8 /Под ред. Г.И.Марчука. М.: Наука, 1991, с. 116-167.

73. Зубов Л.М. Вариационные принципы нелинейной теории упругости. Случай наложения малой деформации на конечную // Прикладная математика и механика, т. 35, N5, 1971, с. 848-852.

74. Иванова Е.А. Асимптотический и численный анализ высокочастотных свободных колебаний прямоугольных пластин // Известия РАН. Механика твердого тела, N2, 1998, с. 163 174.

75. Икрамов Х.Д, Численное решение матричных уравнений. Ортогональные методы / Под ред. Фадеева Д.К. М.: Наука, 1984, 190 с.

76. Икрамов Х.Д. Численные методы для симметричных линейных систем. Прямые методы. М.: Наука, 1988, 157 с.

77. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1978, 287 с.

78. Исполов Ю.Г.,Сливкер В.И. Об одном эффекте, возникающем при использовании метода конечных элементов в смешанной форме // Строительная механика и расчет сооружений, N1, 1984, с. 43-48.

79. Калиткин H.H., Шляхов Н.М. Симметризация глобальных сплайнов // Математическое моделирование, т. 11, N8, 1999, с. 116-126.

80. Калиткин H.H., Шляхов Н.М. B-сплайны высоких степеней // Математическое моделирование, т. 11, N11, 1999, с. 64-74.

81. Кандидов В.П., Чесноков С.С., Выслоух В.А. Метод конечных элементов в задачах динамики. М.: Изд-во МГУ, 1980, 165 с.

82. Канторович JT.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1977, 744 с.

83. Карчевский М.М. О смешанном методе конечных элементов в нелинейной теории тонких оболочек // Журнал вычислит, математики и матем. физики, т. 38, N2, 1998, с. 324-329.

84. Квасов Б.И. Алгоритмы изогеометрической аппроксимации обобщенными кубическими сплайнами // Журнал вычислит, математики и матем. физики, т. 36, N12, 1996, с. 3-22.

85. Кобельков Г.М. О численных методах решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление // В книге: Вычислительные процессы и системы. Вып.8 / Под ред. Г.И.Марчука. М.: Наука, 1991, с. 204-236.

86. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1976, 544 с.

87. Колтунов М.А., Кравчук А.С., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1983, 349 с.

88. Кончковский 3. Плиты. Статические расчеты. М.: Стройиздат, 1984, 480 с.

89. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977, 208 с.

90. Корнеев В.Г. О линейных дифференциальных операторах теории тонких оболочек и теории оболочек Рейсснера // В книге: Труды IX Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. Л.: Судостроение, 1975, с. 61-63.

91. Корнеев В.Г. О построении вариационно-разностных схем высокого порядка точности // Вестник Ленингр. ун-та, N19, 1970, с. 28-40.

92. Корнеев В.Г., Розин Л.А. Дифференциальная форма метода конечных элементов применительно к задачам теории упругости // В книге: Успехи механики деформируемых сред. К 100-летию со дня рождения акад. Б.Г.Галеркина. М.: Наука, 1975, с. 297-306.

93. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000, 262 с.

94. Кравченко В.Ф., Рвачев В.А., Пустовойт В.И. Ортонормированные системы типа wavelet на основе атомарных функций // Доклады РАН, т. 351, N1, 1996, с. 16-18.

95. Красносельский М.А. Сходимость метода Галеркина для нелинейных уравнений // ДАН СССР, т. LXXIII, N6, 1950, с. 1121-1124.

96. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969, 456 с.

97. Куликов Г.М., Плотникова C.B. Контактная задача для многослойной анизотропной оболочки вращения // Прикл. проблемы механики тонкостенных конструкций: Сб. научн. ст., Ин-т мех. МГУ, М: МГУ, 2000, с. 205-223.

98. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики. I // Журнал вычислит, матем. и матем. физики, т. 4, N3, 1964, с. 449-465.

99. Лоран П.Ж. Аппроксимация и оптимизация. Пер. с фр. М.: Мир, 1975, 496 с.

100. Лоренц P.A., Саакян A.A. О подпространствах, порожденных всплеск-системами // Матем. заметки, т. 63, N 2, 1998, с. 299-302.

101. Лукашенко Т.П. Всплески на топологических группах // Доклады РАН, Т.332, N 1, 1993, с. 15—17.

102. Лурье А.И. Общая теория упругих тонких оболочек // Прикладная математика и механика, т. 4, N 2, 1940, с. 7-34.

103. Лурье А.И. О малых деформациях криволинейных стержней // Труды Ленингр. политехнич. ин-та, N 3, 1941, с. 48-157.

104. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1970, 940 с.

105. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1980,512 с.

106. Малков В.П., Угодчиков А.Г. Оптимизация упругих систем. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1981, 288 с.

107. Малоземов В.Н., Машарский С.М. Хааровские спектры дискретных сверток // Журнал вычислит, матем. и математич. физики, т. 40, N6, 2000, с.954-960.

108. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1980, 536 с.

109. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1981, 416 с.

110. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1979, 320 с.

111. Масловская Л.В. Смешанный метод конечных элементов для основных краевых задач теории пластин в областях с угловыми точками // В книге: Методы аппроксимации и Интерпол. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1981, с. 75-84.

112. Масловская Л.В., Вербицкий В.В. Сходимость смешанного метода конечных элементов в задачах устойчивости пологих оболочек // Известия вузов. Математика, N10, 1993, с. 21-31.

113. Масловская Л.В., Филиппович А.П. Полусмешанный метод конечных элементов в задачах о деформации пологих оболочек // Журнал вычислит, математики и математич. физики, т. 25, N8, 1985, с. 1235-1245.

114. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М.Виноградов. М.: Советская Энциклопедия. Т.4. 1984, 1216 стб.

115. Милейковский И.Е., Трайнин Л.А. К расчету оболочек по методу конечных элементов с использованием смешанного потенциала Рейсснера // Расчеты на прочность. Сб. научн. ст., 1977, с. 21-27.

116. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. Пер.с англ. М.: Мир, 1981, 216 с.

117. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: ГИТТЛ, 1957 , 476 с.

118. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Физмат-гиз, 1966, 432 с.

119. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1968,576 с.

120. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977, 455 с.

121. Новиков И .Я. Онделетты И.Мейера оптимальный базис в С(0,1) // Матем. заметки, т. 52, N 5, 1992, с. 88-92.

122. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основные конструкции всплесков // Фундаментальная и прикладная математика, т. 3, N4, 1997, с. 999-1028.

123. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи матем. наук, т. 53, N 6 (324), 1998, с. 53-128.

124. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962, 431 с.

125. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1985,392 с.

126. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. Пер. с англ. М.: Мир, 1977,383 с.

127. Оганесян Л.А. Вариационно-разностная схема на регулярной сетке для задачи Дирихле // Журнал вычислит, математики и математич. физики, т. 11, N6, 1971, с. 1595-1603.

128. Оганесян Л.А., Ривкинд В.Я., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. 4.1 Дифф. уравнения и их применение, 1973, вып. 5, Вильнюс, 394 с.

129. Оганесян JI.А., Ривкинд В.Я., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. II -"Дифф. уравнения и их применения", 1974, вып. 8, Вильнюс, 317 с.

130. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные схемы для решения плоской задачи теории упругости // В сб.: Вариационно-разностные методы в математической физике, Новосибирск, 1973 (1974), с. 15-33.

131. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. Пер. с англ. М.: Мир, 1976, 464 с.

132. Ольхофф Н. Оптимальное проектирование конструкций. Пер. с англ. М.: Мир, 1981,277 с.

133. Пальмов В.А. Колебания упруго-пластических тел. М.: Наука, 1976, 328 с.

134. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии. Пер. с англ. М.: Мир, 1989, 494 с.

135. Пановко Я.Г. Ведение в теорию механических колебаний. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1971, 240 с.

136. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1979, 384 с.

137. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. Пер. с англ. М.: Мир, 1983, 384 с.

138. Пацко H.A., Субботин Ю.Н. B-сплайны в методе конечных элементов // Журнал вычислит, математики и математич. физики, т. 38, N1, 1998, с. 15-24.

139. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: изд-во МГУ, 1981,343 с.

140. Польский Н.И. Проекционные методы в прикладной математике // ДАН СССР, т. 143, N 4, 1962, с. 787-790.

141. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. JL: Судостроение, 1974, 341 с.

142. Прагер В. Вариационные принципы линейной статической теории упругости при разрывных смещениях, деформациях и напряжениях // В сб. переводов "Механика", №5(117), 1969, с. 139-144.

143. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. Пер. с нем. М.: ИЛ, 1963, 311с.

144. Петров Г.И. Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости // Прикладная математика и механика, т. 4, вып. 3, 1940.

145. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999, 132 с.

146. Петухов А.П. Периодические всплески // Матем. сборник, т. 188, N 10, 1997, с. 69-94.

147. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. Пер. с англ. М.: Мир, 1988,410 с.

148. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1977, 384 с.

149. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. Киев: Наук, думка, 1982, 551 с.

150. Рвачев В.Л., Рвачев В.А. Теория приближений и атомарные функции. М.: Знание, 1978, 64 с.

151. Рвачев В.Л., Курпа Л.В. R-функции в задачах теории пластин. Киев: Наук, думка, 1987, 174 с.

152. Рвачев В.Л., Курпа Л.В., Склепус Н.Г., Учишвили Л.А. Метод R- функций в задачах об изгибе и колебаниях пластин сложной формы. Киев: Наук, думка, 1973, 122 с.

153. Рвачев М.А. Построение статически возможных полей напряжений для численного решения задач упруго-вязко-пластического деформирования твердых тел // Автореферат на соиск. уч. ст. доктора физ.-мат. наук, 1991, Киев: ин-т механики АН Украины, 29 с.

154. Рвачев М.А. О статически возможных полях в односвязных объемах // Прикладная математика и механика, т. 54, вып.1, 1990, с. 170-173.

155. Рвачов М.О. Статично можлив1 поля напружень у многозв'язних просто-рових тшах // Препринт НМК ВО УРСР, Кшв, 1991, 59 с.

156. Репман Ю.В. К вопросу математического обоснования метода Галерки на решения задач об устойчивости упругих систем. // Прикладная математика и механика, т. 4, вып. 2, 1940.

157. Ривкинд В.Я. Об оценках скорости сходимости решений разностных уравнений к решениям эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами и об одном численном методе решения задачи Дирихле // ДАН СССР, т. 149, N6, 1963, с. 1264-1267.

158. Ривкинд В.Я. Вариационно-разностные схемы с искажением функционала для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений // В сб.: Вариационно-разностные методы в математической физике, Новосибирск, 1973 (1974), с.59-73.

159. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 2. Пер. с англ. М.: Мир, 1978, 395 с.

160. Роженко А.И. Абстрактная теория сплайнов: Учебное пособие. Новосибирск: Изд. центр НГУ, 1999, 176 с.

161. Розин J1.A. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977, 128 с.

162. Розин J1.A. Вариационные постановки задач для упругих систем. JL: изд-во Ленингр. ун-та, 1978, 224 с.

163. Розин Л.А. Современное состояние метода конечных элементов в строительной механике // Известия вузов. Стр-во и архит., N11, 1981, с. 41-54.

164. Розин Л.А. Вариационные постановки смешанных задач теории упругости в форме наименьших квадратов // Известия вузов. Стр-во, N8, 1999, с.22-28

165. Ромашов Ю.В., Сало В.А. Метод двусторонней оценки численных решений задач теории упругости, полученных при помощи функционала Рейсснера // Вестник Харьков, политехнич. ун-та, N53, 1999, с. 25-30.

166. Руховец J1.A. К вопросу о построении вариационно-разностных схем для эллиптических уравнений // Журнал вычислит, математики и математич. физики, т. 12, N3, 1972, с. 781-785.

167. Рябенький B.C., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1956, 171 с.

168. Самарский A.A. Введение в численные методы. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука';, 1987, 288 с.

169. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1976, 352 с.

170. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1973, 416 с.

171. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.:Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1978, 592 с.

172. Самарский A.A., Фаворский А.П. Вариационно-дискретные модели сплошной среды // Аннотации докладов 5 Всесоюзного съезда по теор. и прикл. мех., 27 мая-3 июня 1981 г., Алма-Ата, с. 312-313.

173. Санкин Ю.Н. Динамические характеристики вязко-упругих систем с распределенными параметрами. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1977,312 с.

174. Сенченков И.К., Карнаухов В.Г. Вариационные принципы для изотермических задач нелинейной вязкоупругости // ДАН УССР. Сер. А, 1977, N10, с. 912-915.

175. Скопина M.А. О нормах полиномов по системам периодических всплесков в пространствах Lp // Матем. заметки, т. 59, N 5, 1996, с. 780-783.

176. Сливкер В.И. Смешанный вариационный принцип строительной механики, порождаемый выпуклым функционалом // В книге: Исследования по теор. основам расчета строит, конструкций. Д.: ЛИСИ, 1983, с. 114-121.

177. Сливкер В.И. Об одной смешанной вариационной постановке задач для упругих систем // Известия АН СССР. Механика твердого тела, N4, 1982, с. 88-97.

178. Сливкер В.И. Метод Ритца в задачах теории упругости, основанный на последовательной минимизации двух функционалов // Известия АН СССР. Механика твердого тела, N2, 1982, с. 57-64.

179. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988, 334 с.

180. Современные проблемы математической физики и вычислительной математики: Сб. статей. М.: Наука, 1982, 534 с.

181. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1976, 248 с.

182. Стрелков H.A. Универсально оптимальные всплески // Матем. сборник, т. 188, N 1, 1997, с. 147-160.

183. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. Пер. с англ. М.: Мир, 1977,349 с.

184. Субботин Ю.Н. Почти-ортогонализация в методе конечных элементов // Журнал вычислит, математики и математич. физики, т. 36, N3, 1996, с. 101-108.

185. Субботин Ю.Н., Черных Н.И. Всплески в пространствах гармонических функций // Известия РАН, серия математика, т. 64, N 1, 2000, с. 145-174.

186. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1976, 328 с.

187. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. Пер. с англ. М.: Мир, 1980,512 с.

188. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига. / Под ред. Галимова К.З. Казань: изд-во Казан, ун-та, 1977, 211 с.

189. Терещенко В.Я. Двойственные несвязанные формулировки вариационного метода граничных элементов в задачах теории упругости // Прикладная математика и механика, т. 56, N5, 1992, с. 729-736.

190. Тимошенко С.П Пластинки и оболочки. Пер. с англ. / М.-Л.: Гостехиздат, 1948,460 с.

191. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. Пер. с англ. / М.: Физматгиз, 1966, 636 с.

192. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. Пер. с англ. / Под ред. Шапиро Г.С. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1979, 560 с.

193. Тимошенко С.П. Курс теории упругости / Под ред. Григолюка Э.И. Киев: Наукова думка, 1972, 501 с.

194. Тонти Э. Вариационные принципы в теории упругости // В сб. переводов "Механика", N5 (117), 1969, с. 124-138.

195. Троицкий В.А., Петухов Л.В. Оптимизация формы упругих тел. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1982, 432 с.

196. Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. Пер. с англ./ Под ред. Топчеева Ю.И. М.: Машиностроение, 1976, 389 с.

197. Фаворский А.П. Об использовании вариационных принципов в численном моделировании // В книге: Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1982, с. 312-320.

198. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970, 736 с.

199. Филиппович А.П. Анализ смешанных схем метода конечных элементов в задачах о деформации пологих оболочек // Журнал вычислит, математики и математич. физики, т. 28, N5, 1988, с. 741-754.

200. Фридман В.М. Видоизмененный метод Галеркина в задаче о совместных колебаниях турбинного диска и лопаток // Труды Ленингр. политехнич. ин-та, N235, 1964, с. 23-32.

201. Фридман В.М. Вариационные методы в задачах технической механики. Дисс. на соиск. уч. ст. д-ра техн. наук. Л.: ЛПИ, 1969, 533 с.

202. Фридман В.М., Чернина B.C. Видоизменение метода Бубнова-Галеркина-Ритца, связанное со смешанным вариационным принципом в теории упругости // Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1969, N1, с. 64-78.

203. Фридман В.М., Штукин Л.В. Метод решения задачи о гармонических колебаниях пластин с упругим закреплением краев // Механика стержневых систем и сплошных сред. Межвуз. сб. тр., вып. 11, 1978, Л.: ЛИСИ, с. 84-90.

204. Харрик И.Ю. О приближении функций, обращающихся на границе области в нуль вместе с частными производными, функциями особого вида // Сибирский. матем. журнал, т. 4, N2, 1963, с. 408-425.

205. Чуй К. Введение в вейвлеты: Пер. с англ. М.: Мир, 2001, 412 с.

206. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989,288 с.

207. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. Пер. с фр. М.: Мир, 1979, 399 с.

208. Ясницкий Л.Н. Метод фиктивных канонических областей в механике сплошных сред. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1992, 128 с.

209. Antoine J.P., Bagarello F. Wavelet-like orthonormal bases for the lowest Landau level // J. Phys. A., 27, N7, 1994, p. 2471-2481.

210. Babuska I. The finite element method with Lagrangian multiplies // Numer. Math., 20, N3, 1973, p. 179-192.

211. Babuska I. Numerical solution of partial differential equations // Z. angew. Math, und Mech., 54, N4, 1974, T3-T10.

212. Babuska I., Zlamal M. Nonconforming elements in the finite element method with penalty // SIAM J. Numer. Anal., 10, N5, 1973, p. 863-875.

213. Batoz J.-L., Katili I. On a simple triangular Reissner-Mindlin plate element based on imcompatible modes and discrete constraints // Int. J. Numer. Meth. Eng., 35, N8, 1992, p. 1603-1632.

214. Battle G. A block spin construction of ondelettes.Part I: Lemarie' functions // Comm. Math. Phys., 110, 1987, p. 601-615.

215. Beltran F.J., Alarcon E. Accuracy estimates based on multifield variational principles // Eur. J. Mech. A., 11, N4, 1992, p. 487-518.

216. Bergmann V.L., Mukherjee S. A hybrid strain finite element for plates and shells // Int. J. Numer. Meth. Eng., 30, N2, 1990, p. 233-257.

217. Bramble J.H., Hilbert S.R. Estimation of linear functionals on Sobolev spaces with application to Fourier transforms and spline interpolation // Siam. J. Numer. Anal., 7, N1, 1970, p. 113-124.

218. Bramble J.H., Zlamal M. Triangular elements in the finite element method // Math. Comput., 24, 1970, p. 809-821.

219. Brandari D.R., Oden J.T. General mixed finite element methods of nonlinear continua // Z. angew. Math, und Mech., 53, N8, 1973, p. 441-451.

220. Brezzi F. On the existence, uniqueness and approximation of saddle-pointproblems arising from Lagrangian multipliers // Rev. Française Automat. Informat. Recherche Opérationnelle, Ser. Rouge Anal. Numer., 8, N2 , 1974, p. 129-151.

221. Brezzi F. Sur la methode des elements finis hybrides pour le probleme bihar-» monique // Numer. Math., 24, N2, 1975, p. 103-131.

222. Brezzi F., Bathe K.J., Fortín M. Mixed-interpolated elements for Reissner-Mindlin plates // Int. J. Numer. Meth. Eng., 28, N8, 1989, p. 1787-1801.

223. Brezzi F., Marini L.D. On the numerical solution of plate bending problems by hybrid methods // Rev. franc, automat., inform., rech. oper., R9, N3, 1975, p. 5-50.

224. Brezzi F., Raviart P.A. Mixed finite element method for 4th order elliptic equations // In: Topics Numer. Analys. III. New York: Acad. Press, 1976, p. 33-56.

225. Campbell J.S., Horgan B. A curved triangular plate bending element for Kirchhoff plates using a C° coharmonic mixed two-field formation // Commun. Appl, Numer. Meth., 6, N5, 1990, p. 351-358.

226. Celigoy C.C. A strain-and-displacement-based variational method applied to geometrically non-linear shells // Int. J. Numer. Meth. Eng., 39, N13, 1996, p. 2231-2248.

227. Chui C.K., Li X. Generalized wavelet decompositions of bivariate functions // Proc. Amer. Math. Soc., 121, N1, 1994, p. 125-131.

228. Chui C.K., Shi X. Characterizations of fundamental scaling functions and wavelets // Approxim. Theory and Appl., 9, N3, 1993, p. 37-52.

229. Chui C.K., Wang J.Z. On compactly supported spline wavelets and a duality principle // Trans. Amer. Math. Soc., 330, N2, 1992, p. 903-915.

230. Ciarlet P.G., Glowinski R. Dual iterative techniques for solving a finite element approximation of the biharmonic equation // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., 5, N3, 1975, p. 277-295.

231. Ciarlet P.G., Raviart P.A. General Lagrange and Hermite interpolation in Rn with applications to finite element methods // Arch. Ration. Mech. and Anal., 46, N3, 1972, p. 177-199.

232. Ciarlet P.G. Conforming and nonconforming finite element methods for solving the plate problem // Lect. Notes Math., 363, 1974, p. 21-31.

233. Ciarlet P.G. Quelques methodes d'elements finis pour le probleme d'une plaque encastree // Lect. Notes Comput. Sci., 10, 1974, p. 156-176.

234. Cohen A., Conze J.P. Re'gularite1 des bases d'ondelettes et mesures ergodiques // Rev. Mat. Iberoam., 8, N3, 1992, p. 351-365.

235. Cohen A., Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets III: Better frequency localization // SIAM J. Math. Anal., 24, 1993, p. 520-527.

236. Cohen A., Daubechies I. Non-separable bidimensional wavelet bases // Rev. Mat. Iberoam., 9, N1, 1993, p. 51-137.A

237. Coifman R.R., Meyer Y. Remarques sur l'analyse de Fourier a' fenetre // C.R.Acad. Sci. Paris I, 312, 1991, p. 259-261.

238. Courant R. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations // Bull. Amer. Math. Soc., 49, N1, 1943, p. 1-23.

239. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets // Comm. Pure and Appl. Math., 41, 1988, p. 909-996.

240. Daubechies I. Wavelet transforms and orthonormal wavelet bases // Differ. Per-spect. Wavelets: Amer. Math. Soc. Short Course. San Antonio, Tex., Jan. 11-12, 1993. Providence (R.I.), 1993, p. 1-33.

241. Different Perspectives on Wavelets: Amer. Math. Soc. Short Course. San Antonio, Tex., Jan. 11-12, 1993 / Ed. Daubechies I. Providence (R,I.): Amer. Math. Soc., 1993. - XII, 205 p. - Proc. Symp. Appl. Math: 47.

242. Dokmeci M.C. Dynamic variational principles for discontinuous elastic fields // J. of Ship Research, 23, N. 2, 1979, p. 115-122.

243. Dost S., Tabrrok B. A mixed variational formulation for large deformation analysis of plates // Appl. Math, and Mech., 10, N7, 1989, p. 611-621.

244. Fix G.J., Strang G. Fourier analysis of the finite element method in Ritz-Galerkin theory // Studies in Appl. Math., 48, 1969, p. 265-273.

245. Greene B.E., Jones R.E., McLay R.W., Strome D.R. Generalized variational principles in the finite-element method // AIAA Journal, 7, N7, p. 1254-1260.

246. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionen-Systeme // Math. Ann., 69, 1910, p. 331-371.

247. Harvey J.W., Kelsey S. Triangular plate bending element with enforced compatibility // AIAA J., 9, N 6, 1971, p. 1023-1026.

248. He J.-H. Further study of the equivalent theorem of Hellinger-Reissner and Hu-Washizu variational principles // Appl. Math, and Mech. Engl. Ed., 20, N5, 1999, p. 545-556.

249. He J.-H. Generalized Hellinger-Reissner principle // Trans. ASME J. Appl. Mech., 67, N2, 2000, p. 326-331.

250. Hellinger E. Dir allegemeinen Ansatze der Mechanik der Kontinua // In: Encyclopadie der Mathematischen Wissenschaften, Bd.4, Teil 4, Teubner, Leipzig, 1914, p. 601-694.

251. Herrmann L.R. A bending analysis for plates // Proc. (First) Conf. on Matrix Methods in Struct. Mech.- AFFDL -TR-66-80, Oct. 1965, p. 577-604.

252. Herrmann L.R. Finite element bending analysis of plates // J. Engng. Mech. Div. ASCE, 93, No. EM-5, 1967, p. 13-26.

253. Hrenikoff A. Solution of problems in elasticity by the framework method // J. Appl. Mech, 8, 1941, p. 169-175.

254. Ни H.C. On some variational principles in the theory of elasticity and plasticity // Scintia Sinica, 4, N1, 1955, p. 33-54.

255. Hughes T.J.R, Taylor R.L, Hilber H. Reduced finite element systems in dynamics which retain full rate of convergence // 3rd Int. Conf. Struct. Mech. React. Technol, London, 5, Part M, 1975, Amsterdam, p. 1.9/1-1.9/14.

256. Ispolov Yu.G, Vlasova Т.Е. Asymptotic analysis of Reissner's plate finite element model // Труды 2 Междунар. конф. "Асимптотич. методы в механике", С.-Петербург, 13-16 окт. 1996, AiM'96 СПб, 1997, с. 105-112.

257. Johnson С. On the convergence of a mixed finite element method for plate bending problems // Numer. Math, 21, N1, 1973, p. 43-62.

258. Karchevsky M.M. On mixed finite element method in nonlinear theory of thin shell // International Conference "Optimization of finite element approximations", Abstracts, June 25-29, 1995, St.-Petersburg, Russia, p. 60.

259. Kim Y.Y., Kim J.G. A simple and efficient mixed finite element for axisymmet-ric shell analysis // Int. J. Numer. Meth. Eng., 39, N11, 1996, p. 1903-1914.

260. Kim J.G., Kim Y.Y. A new higher-order hybrid-mixed curved beam element // Int. J. Numer. Meth. Eng., 43, N5, 1998, p. 925-940.

261. Kikuchi F., Ando Y. Rectangular finite element for plate bending analysis based on Hellinger-Reissner's variational principle // J. Nuclear Sci. and Tech., 9, 1972, p. 28-35.

262. Kikuchi F., Ando Y. A new variational functional for the finite element method and its application to plate and shell problems // Nuclear Engin. and Design, 21, 1972, p. 95-113.

263. Kikuchi F., Ando Y. On the convergence of a mixed finite element scheme for plate bending // Nuclear Engin. and Design, 24, 1973, p. 357-373.

264. Krysko V.A., Pavlov S.P. Finite element scheme based on the mixed variation wording for biharmonic problem // International Conf. "Optimization of finite element approximations", Abstracts, June 25-29, 1995, St.-Petersburg, Russia, p.65-66.

265. Lee Ho-Jun, Saravanos Dimitris A. A mixed multi-field finite element formulation for thermopiezoelectric composite shells // Int. J. Solids and Struct., 37, N36, 2000, p. 4949-4967.

266. Lemarie' P.G. Une nouvelle base d'ondelettes de L2(Rn) // J. Math. Pures et Appl., 67, 1988, p. 227-236.

267. Lemarie'-Rieusset P.G. Ondelettes ge'ne'ralise'es et fonctions d'e'chelle a' support compact // Rev. Mat. Iberoam., 9, N2, 1993, p. 333-371.

268. Li X., Crook A.J.L., Lyons L.P.R. Mixed strain elements for non-linear analysis // Eng. Comput., 10, N3, 1993, p. 223-242.

269. Li X.K.,Cescotto S., Duxbury P.G. A mixed strain element method for pressure-dependent elastoplasticity at moderate finite strain // Int. J. Numer. Meth. Eng., 43, N1, 1998, p. 111-129.

270. Malkus D. S., Hughes T. Mixed finite element method reduced and selective integration techniques: a unification of concepts // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., 15, N1, 1978, p. 63-81.

271. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelet orthonormal bases of L2(R) // Trans. Amer. Math. Soc., 315, N1, 1989, p. 69-87.

272. Meftah F., Reynouard J.M. A multilayered mixed beam element in gradient plasticity for the analysis of localized failure modes // Mech. Cohesive-Friction. Mater., 3, N4, 1998, p. 305-322.

273. Mercier B. Numerical solution of the biharmonic problem by mixed finite elements of class C° // Boll. Unione Mat. Ital., 10, N1, 1974, p. 133-149.

274. Meyer Y. Ondelettes sur l'intervalle // Rev. Math. Iberoamericana, 7, 1992, p. 115-133.

275. Mirza F.A., Olson M.D. The mixed finite element method in plane elasticity // Int. J. Numer. Meth. Eng., 15, N2, 1980, p. 273-289.

276. Miyoshi T. A finite element method for the solutions of fourth order partial differential equations // Kumamoto J. Sci. (Math.), 9, 1973, p. 87-116.

277. Naghdi P.M. Foundations of elastic shell theory // Progress in Solid Mech., 4, N2, Amsterdam: North-Holland Publ. comp., 1963, p. 1-52.

278. Nakazawa M. A note on the convergence of nonconforming finite element solutions in plate bending // J. Faculty Textile Science and Technol. Shinshu University, N70, 1976, p. 15^10.

279. Nataraj N., Brattacharyya P.K., Balasundaram S., Gopalsamy S. On a mixed-hybrid finite element method for anisotropic plate bending problems // Int. J. Numer. Meth. Eng., 39, N23, 1996, p. 4063^1089.

280. Noor A.K. Multipleconfiguration analysis via mixed method // J. Struct. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng., 100, N9, 1974, p. 1991-1997.

281. Noor A.K., Andersen C.M. Mixed isoparametric finite element models of laminated composite shells // Comp. Meth. Appl. Mech. and Eng., 11, N3, 1977, p. 255-280.

282. Noor A.K., Andersen C.M. Mixed isoparametric elements for Saint-Venant tor-tion // Comp. Meth. Appl. Mech. and Eng., 6, N2, 1975, p. 195-218.

283. Noor A.K., Stephens W.B., Fulton R.E. An improved numerical process for solution of solid mechanics problems // J. Computers and Structures, 3, N6, 1973, p. 1397-1437.

284. Oden J.T., Reddy J.N. Some observations on properties of certain mixed finite element approximations // Int. J. Numer. Meth. Eng., 9, N4, 1975, p. 933-938.

285. Oden J.T., Reddy J.N. Mixed conjugate finite-element approximations of linear operators//J. Struct. Mech., 1,N1, 1972, p. 113-131.

286. Oden J.T., Reddy J.N. On dual-complementary variational principles in mathematical physics // Int. J. Eng. Sci., 12, N1, 1974, p. 1-29.

287. Pereira E.M.B.R., Freitas J.A.T. A mixed-hybrid finite element model based on orthogonal functions // Int. J. Numer. Meth. Eng., 39, N8, 1996, p. 1295-1312.

288. Pian T.H.H. Variational and finite element methods in structural analysis // Isr. J. Technol., 16, N1-2, 1978, p. 23-33.

289. Pian T.H.H., Sumihara K. Hybrid SemiLoof elements for plates and shells based upon a modified Hu-Washizu principle // Comput. and Struct., 19, N1-2, 1984, p. 165-173.

290. Piltner R., Taylor R.L. A systematic construction of B-bar functions for linear and non-linear mixed-enhanced finite elements for plane elasticity problems // Int. J. Numer. Meth. Eng., 44, N5, 1999, p. 615-639.

291. Prato C.A. Shell finite element method via Reissner's principle // Int. J. Solids and Struct., 5, N10, 1969, p. 1119-1133.

292. Putcha N.S., Reddy J.N. A mixed shear flexible finite element for the analysis of laminated plates // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., 44, N2, 1984, p. 213-227.

293. Quadrelli B.M., Atluri S.N. Analysis of flexible multibody systems with spatial beams using mixed variational principles // Int. J. Numer. Meth. Eng., 42, N6, 1998, p. 1071-1090.

294. Raviart P.A. Hybrid finite element methods for solving 2nd order elliptic equations // Top. Numer. Anal. 2, London New York, 1975, p. 141-155.

295. Reddy J.N. A note on mixed variational principles for initial-value problems // Quart. J. Mech. and Appl. Math, 28, N1, 1975, p. 123-132.

296. Reddy J.N, Oden J.T. Mixed finite-element approximations of linear boundary-value problems // Quart. Appl. Math, 33, N3, 1975, p. 255-280.

297. Reissner E. The effect of transverse-shear deformation on the bending of elastic plates // J. Appl. Mech, 12, No. 2, 1945, p. A.69-A.77.

298. Reissner E. On a variational theorem in elasticity // J. Math. Phys, 29, No. 2, 1950, p. 90-95.

299. Reissner E. Variational considerations for elastic beams and shells // J. Engin. Mech. Div, Proc. ASCE, 88, No. EMI, 1962, p. 23-57.

300. Reissner E. A note on variational principles in elasticity // Int. J. Solids and Struct, 1, N 1, 1965, p. 93-95.

301. Reissner E. On a certain mixed variational theorem and a proposed application // Int. J. Numer. Meth. Eng., 20, N 7, 1984, p. 1366-1368.

302. Rigby F.H, Webster J.J, Henshell R.D. Hybrid and Hellinger-Reissner plate and shell finite elements // Hybrid and mixed finite elem. meth. Int. Symp, Atlanta, 8-10 Apr, 1981, Chichester e.a, 1983, p. 73-92.

303. Ritz W. Uber eine neue Methode zur Lo sung gewisser Variations Probleme der Mathematischen Physik // J. reine und angew. Math, 135, 1908, p. 1-61.

304. Simo J.C, Rifai M.S. A class of mixed assumed strain methods and the method of incompatible modes // Int. J. Numer. Meth. Eng., 29, N8, 1990, p. ,1595-1638.

305. Steele C.R, Kim Y.Y. Modified mixed variational principle and the state-vector equation for elastic bodies and shells of revolution // Trans. ASME J. Appl. Mech, 59, N3, 1992, p. 587-595.

306. Strang G. Approximation in the finite element method // Numer. Math, 19, 1972, p. 91-98.

307. Strang G. Piecewise polynomials and the finite element method // Bull. Amer. Math. Soc., 79, 1973, p. 1128-1137.

308. Strang G. Wavelets // Amer. Sci., 82, N3, 1994, p. 250-255.

309. Strang G., Fix G. Fourier analysis of the finite element method in Ritz-Galerkin Theory // Stud. Appl. Math., 48, N3, 1969, p. 265-273.

310. Strelkov N.A. Universally optimal wavelet basis of Sobolev spaces // International Conference "Optimization of finite element approximations", Abstracts, June 25-29, 1995, St.-Petersburg, Russia, p. 88.

311. Stro mberg J.O. A modified Franklin system and higher order spline systems on Rn as unconditional bases of Hardy spaces // Repts. Dep. Math. Univ. Stockholm, N21, 1981,21 p.

312. Stro mberg J.O., Torchinsky A. Weights Sharp maximal functions and Hardy spaces // Bull. Amer. Math. Soc., 3, N3, 1980, p. 1053-1056.

313. Subbotin Yu.N., Patsko N.L. B-splines in the finite element method // International Conference "Optimization of finite element approximations", Abstracts, June 25-29, 1995, St.-Petersburg, Russia, p. 88-89.

314. Tchamitchian Ph. Biorthogonalite' et the'orie des ope'rateurs // Rev. Math. Iberoamericana, 3, 1987, p. 163-189.

315. Tseng J., Olson M.D. The mixed finite element method applied to two-dimensional elastic contact problems // Int. J. Mumer. Meth. Eng., 17, N7, 1981, p. 991-1014.

316. Tseng Y.P., Chou L.C. A partial hybrid plate element formulation for free vibrations of laminated plates // J. Sound and Vibr., 164, N2, 1993, p. 251-266.

317. Underwood P.G., Park K.P. A variable-step central difference method for structural dynamics analysis Part 2. Implementation and performance evaluation //Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., 23, N3, 1980, p. 259-279.

318. Valid R. The structural stability criterion for mixed principles // Hybrid and mixed finite elem. meth. Int. Symp., Atlanta, 8-10 Apr., 1981, Chichester e.a., 1983, p. 289-323.

319. Valid R. The nonlinear principles of complementary energy in shell theory, statics and dynamics. I. Statics // Eur. J. Mech. A., 11, N5, p. 625-651.

320. Voros G.M. Variational principle for discontinuous stress-displacement field // Теоретична и приложна механика. Трети Конгрес, 13-16.IX, Варна, 1977, София, р. 344-347.

321. Washizu К. On the variational principles of elasticity and plasticity // Massachusetts Institute of Technology, Aeroelastic and Structures Research Laboratory, Technical Report 25-18, Cambridge, Massachusetts, March 1955.

322. Wempner G. The complementary potentials of elasticity, extremal properties and associated functionals // Trans. ASME, 59, N3, p. 568-571.

323. Yang J.S. A generalized variational principle for piezoelectromagnetism in an elastic medium //Arch. Mech., 43, N6, p. 795-798.

324. Zheludev V.A. On signal processing by means of periodic spline wavelets // International Conference "Optimization of finite element approximations", Abstracts, June 25-29, 1995, St.-Petersburg, Russia, p. 93.

325. Zenisek A. Interpolation polynomials on the triangle // Numer. Math., 15, 1970, p. 283-296.

326. Zenisek A. Polynomial approximation on tetrahedrons in the finite element method // J. Approximation Theory, 7, N4, 1973, p. 334-351.

327. Zenkour Ashraf M. Natural vibration analysis of symmetrical cross-ply laminated plates using a mixed variational formulation // Eur. J. Mech. A., 19, N3, 2000, p. 469-485.

328. Zhou Y., Wang J., Zheng X. Application of wavelet Galerkin fem to bending of beam and plate structures // Appl. Math, and Mech. Engl. Ed., 19, N8, 1998, p. 745-755.

329. Zienkiewicz O.C. The generalized finite element method state of the art and future directions // Trans. ASME: J. Appl. Mech, 50, Dec. 1983, p. 1210-1217.

330. Научные работы автора по теме диссертации:

331. Вариационно-разностный метод в теории упругих колебаний, основанный на вариационном принципе Рейсснера // Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1976, №5, с. 112-119. Соавтор: Фридман В.М.

332. О точности одного вариационно-разностного метода // Исследование оп-тим. металлоконструкций и деталей подъемно-трансп. машин. Межвуз. научн. сб, вып. 2, Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 1978, с. 38-46.

333. О свойствах операторов дифференциальных и вариационно-разностных уравнений теории оболочек // Исследование оптим. металлоконструкций и деталей подъемно-трансп. машин. Межвуз. научн. сб, вып. 3, Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 1980, с. 72-78.

334. Проекционный метод Галеркина в задаче о малых деформациях криволинейного стержня // Механика и процессы управления. Динамика и прочность машин, приборов и аппаратуры. Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 1981, с. 9-12.

335. Сравнительная оценка вариационно-разностных методов расчета пластин с учетом деформации сдвига // Известия вузов. Строительство и архитектура, N12, 1982, с. 51-54.

336. О разновидности метода конечных элементов. // Прикладная механика, 1982, т. 18, N 7, с. 29-33. Соавтор: Санкин Ю.Н.

337. Об одном видоизменении вариационного принципа Рейсснера в линейной теории упругих колебаний // Прикл. матем. и механика. Межвуз. научн. сб., вып. 1, Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 1983, с. 26-38. Соавтор: Фридман В.М.

338. Вариационно-разностный метод в теории толстых пластин // Прикл. матем. и механика. Дифф. уравнения механики. Межвуз. научн. сб., вып. 2, Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 1983, с. 32-41.

339. О вариационном принципе Рейсснера и связанных с ним вариационно-разностных методах // В сб. Киевского ун-та "Исслед. краевых задач матем. физики", Киев, 1983, с. 90-98. Деп в УкрНИИНТИ 17.11.83, N1274 Ук-Д83. (РЖ Мех., N3, 1984, ЗВ144Деп)

340. О третьей форме функционала Рейсснера в нелинейной теории оболочек // Винница: Винниц. политехи, ин-т, Деп. в УкрНИИНТИ 19.12.84, N2125 Ук-84 Деп., Юс. (РЖ Мех., N5, 1985, 5В142Деп)

341. О построении выпуклых смешанных функционалов в механике деформируемого твердого тела // Винница: Винниц. политехи, ин-т, Деп. в УкрНИИНТИ 21.05.85, N1080 Ук-85 Деп., 10 с. (РЖ Мех., N9, 1985, 9В5Деп)

342. О проекционно-разностном методе связанном с использованием ступенчатых функций // Винница: Винниц. политехи, ин-т, Деп. в УкрНИИНТИ 21.05.85, N1081 Ук-85 Деп, 11 с. (РЖ Мех, N9, 1985, 9В309Деп)

343. Центральные разностные отношения в проекционных и вариационных разностных методах теории оболочек // Прикл. матем. и механика. Исслед. по механике. Межвуз. научн. сб, вып. 4, Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 1986, с. 88-96.

344. Проекционно-сеточные методы в теориях стержней и пластин. // Тезисы докл. Республ. научн. конф. "Дифф. и интегр. уравнения и их приложения", 22-24 сентября 1987 года, часть 1, Одесса: изд-во Одесского ун-та, с. 157.

345. Функции Куранта в смешанном методе конечных элементов // Винница: Винниц. политехи, ин-т, Деп. в УкрНИИНТИ 10.03.88, № 635 Ук-88, 21 с. (РЖ Мех, N8, 1988, 8В206Деп)

346. О формах смешанных функционалов и методе конечных элементов // Винница: Винниц. политехи, ин-т, Деп. в УкрНИИНТИ 10.03.88, № 636 Ук-88, 29 с. (РЖ Мех., N8, 1988, 8В485Деп)

347. О скорости сходимости одного вариационно-разностного метода // Прикл. матем. и механика. Исслед. по механике сплошных сред. Межвуз. научн. сб., вып.5, Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 1990, с. 78-83.

348. Смешанный метод конечных элементов в задачах оптимального распределения материала пластин // Тезисы докл. зонального семинара "Вопросы оптим. проектир. конструкций и расчет их рацион, усиления", 12-13 ноября 1990 года, Пенза, с. 41-42.

349. О смешанных вариационно-сеточных методах, связанных с использованием простейших базисных функций // Материалы Всесоюзной конф. "Актуальные проблемы прикл. матем.", 20-22 мая 1991 года, том 1, Саратов, с. 55-58.

350. О способах удовлетворения граничных условий в двух смешанных вариационно-сеточных методах // Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1991, №4, с. 185-189.

351. Об использовании одного смешанного вариационно-сеточного метода в задачах оптимизации пластин и оболочек // Тезисы докл. Межгосудар. научн. конф. "Экстремальные задачи и их прилож.", 1992, Н. Новгород: ННГУ, с. 75.

352. Динамика элементов датчиков давления // Тезисы докл. Научн. Совещания "Термовязкоупругопластические процессы деформирования в элементах конструкций", Канев, 27-29 мая 1992 года, Киев: Ин-т электродинамики АН Украины, с. 14. Соавтор: Вельмисов П.А.

353. О некоторых смешанных численных вариационных методах механики деформируемого тела // Тезисы докл. Междунар. конф. "Ньютон и проблемы механики твердых и деформир. тел", 22-27 марта 1993 г., С.-Петербург, с. 12.

354. Модифицированные функции Куранта и связанные с ними смешанные вариационно-сеточные методы // Тезисы докл. Украинской конф. "Моделир. и исслед. устойчивости систем", 24-28 мая 1993 года, часть 1, Киев: общество "Знание" Украины, с. 82.

355. Расчет динамики упругого элемента датчика с учетом теплового воздействия // Тезисы докл. 27-й научно-технич. конф. Ульян, политехнич. ин-та, февраль 1993 г., Ульяновск: УлПИ, 1993, с. 11-14. Соавторы: Афанасьев Ю.В., Вельмисов П.А., Егоров A.B.

356. Смешанный вариационно-сеточный метод в задачах статики и динамики геометрически нелинейных упругих и вязкоупругих пластин // Тезисы докл. Украинской конф. "Моделир. и исслед. устойчивости систем", 16-20 мая 1994 года, Киев: изд-во Киев, ун-та, с. 78.

357. Динамика вязкоупругой тонкостенной конструкции, взаимодействующей с жидкостью // Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами. Межвуз. научн. сб. Саратов: СГТУ, 1994, с. 49-56. Соавтор: Вельмисов П.А.

358. Об одном обобщении функций Куранта // Теория функций и приближений. Труды 7-й Саратовской зимней школы, 30 января 4 февраля 1994 годапамяти проф. А.А.Привалова). Межвуз. сб. научи, трудов, часть 3, Саратов: изд-во Сарат ун-та, 1995, с. 36-40.

359. О построении непрерывных взаимоортогональных финитных функций // Ульяновск: Филиал МГУ. Деп. в ВИНИТИ 11.04.95, N989-B95, 9 с. (РЖ Математика, N7, 1995, 7Б30Деп). Соавтор: Цыплов М.П.

360. Экстремальные свойства некоторых функционалов механики деформируемого твердого тела // Ученые записки Ульян, гос. ун-та. Фундамент, проблемы матем. и механики, вып. 1, часть 1, Ульяновск: УлГУ, 1996, с. 136-139.

361. О смешанных вариационно-сеточных методах теории стержней, пластин и оболочек и разрешимости систем сеточных уравнений // Тезисы докл. Украинской конф. "Моделир. и исслед. устойчивости систем", 20-24 мая 1996 года, Киев: Изд-во Киев, ун-та, с. 86.

362. О неравномерной сходимости одного смешанного метода конечных элементов // Механика и процессы управления. Сб. научн. трудов. Ульяновск: Ул-ГТУ, 1996, с. 59-65.

363. Ортогональные базисы финитных функций в математическом моделировании механических систем // Тезисы докл. XI Междунар. конф. по проблемам теор. кибернетики, 10-14 июня 1996 года, Ульяновск: СВНЦ, с. 122-123. Соавтор: Цыплов М.П.

364. Взаимоортогональные финитные функции и метод конечных элементов // Тезисы докл. VII Четаевской конф. "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", 10-13 июня 1997 года, Казань: КГТУ, с. 151. Соавтор: Лукашанец Н.Ч.

365. Смешанный вариационно-сеточный метод в задачах о свободных изгиб-ных колебаниях пластин // International Conference "Modelling and investigationof systems stability", Thesis of conference reports, May 19-23, 1997 , Kiev, p.88. Соавтор: Арзамаскин A.H.

366. О построении обобщенных В-сплайнов, порождающих сеточные базисы взаимоортогональных финитных функций // Ульяновск: Ульян, гос. ун-т. Деп в ВИНИТИ 4.04.97, N1075-B97, 13 с. Соавтор-.Лукашанец Н.Ч.

367. О методе Галеркина для эллиптических задач, связанном с использованием ортогональных финитных базисных функций // Ученые записки Ульян, гос. ун-та. Фундамент, проблемы матем. и механики. Вып. 4, 1997, Ульяновск: Ул-ГУ, с. 62-65.

368. Ортогональные финитные базисные функции, связанные с треугольной сеткой // Ученые записки Ульян, гос. ун-та. Фундамент, проблемы матем. и механики. Вып. 1(5), 1998, Ульяновск: УлГУ, с. 163-171. Соавтор: Лукашанец Н.Ч.

369. Ортогональные финитные функции и их применение в методе конечных элементов // Тезисы докл. Воронежской школы "Современные проблемы механики и прикл. матем.", 21-29 апреля 1998 года, Воронеж: ВГУ, с. 165.

370. Смешанный вариационно-сеточный метод теории оболочек, связанный с ортогональными финитными функциями // Труды научн. конф. "Математич. моделир. физич, экономич, социальных систем и процессов", 8-11 сентября 1998 года, Ульяновск: УлГУ, с. 9-10.

371. Ортогональные финитные функции и связанный с ними смешанный вариационно-сеточный метод решения задач теории оболочек // Труды 8-й меж-вуз. конф. "Математич. моделир. и краевые задачи", 26-28 мая 1998 года, часть 1, Самара: СамГТУ, с. 98-100.

372. Метод конечных элементов теории упругости. Смешанные вариационные формулировки. Ульяновск: изд-во Средневолжского научн. центра, 1998, 168 с.

373. Ортогональные финитные функции в вариационно-сеточном методе теории криволинейных стержней // Труды 9-й межвуз. конф. "Математич. моделир. и краевые задачи", 25-27 мая 1999 года, часть 1, Самара: СамГТУ, с. 120-123. Соавтор: Мелентьев А.Ю.

374. О сеточных базисах ортогональных финитных функций // Журнал вычислит, математики и матем. физики. 1999, т. 39, N7, с. 1158-1168. Соавтор: Лукашанец Н.Ч.

375. Методы конечных элементов теории криволинейных стержней // Математич. моделир. в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов: Труды XVIII Междунар. конф., том 3, СПб.: НИИХ СпбГУ, 2000, с. 29-35. Соавтор: Мелентьев А.Ю.

376. Ортогональные финитные функции в задачах на собственные колебания упругих оболочек // Ученые записки Ульян, гос. ун-та. Фундамент, проблемы матем. и механики. Вып. 1, т.8, 2000, с. 67-74. Соавтор: Леонтьев A.B.

377. Вариационно-сеточный метод теории криволинейных стержней // Ученые записки Ульян, гос. ун-та. Фундамент, проблемы матем. и механики. Вып. 1, т. 8, 2000, с. 75-79.Соавтор: Мелентьев А.Ю.

378. Методы конечных элементов теории криволинейных стержней // Труды 3-й Междунар. конф. "Математич. моделир. физич., экономич., социальных систем и процессов", 26-30 июня 2000 года, Ульяновск: УлГУ, с. 26. Соавтор: Мелентьев А.Ю.

379. Ортогональные двумерные и трехмерные финитные функции на треугольных и тетраэдальных сетках // Труды 3-й Междунар. конф. "Математич. моделир. физич., экономич., социальных систем и процессов", 26-30 июня 2000 года, Ульяновск: УлГУ, с. 31.

380. Ортогональные финитные функции в задачах на собственные колебания упругих оболочек // Математическое моделирование, т. 12, N3, 2000, с. 31-32. Соавтор: Леонтьев A.B.

381. О сходимости смешанных вариационно-сеточных методов // Тезисы докл. VI Междунар. конф. "Современные проблемы естествознания", 21-25 августа 2000 г., С.-Петербург, Россия, с. 30.

382. Применение ортогональных финитных функций, связанных с треугольными сетками, в математическом моделировании // Материалы Всеросс. научн. конф. "Математич. моделир. в научн. исследованиях", 27-30 сентября 2000 г, часть I, Ставрополь: СГУ, с. 54-58.

383. О сходимости вариационно-разностного метода // Труды 10-й межвуз. конф. "Математич. моделир. и краевые задачи", 29-31 мая 2000 года, часть 3, Самара: СамГТУ, с. 94-96.

384. Численный метод решения задач динамики криволинейных стержней // Труды 11-й межвуз. конф. "Математич. моделир. и краевые задачи", 29-31 мая 2001 года, часть 2, Самара: СамГТУ, с. 74-77. Соавтор: Мелентьев А.Ю.

385. Трехмерные ортогональные финитные функции // Труды 11-й межвуз. конф. "Математич. моделир. и краевые задачи", 29-31 мая 2001 года, часть 3, Самара: СамГТУ, с. 80-83. Соавтор: Яшин Д.А.

386. Ортогональные финитные функции на тетраэдральных сетках // Обозрение прикл. и промышл. математики, т.8, вып. 2, 2001, с. 633. Соавтор: Яшин Д.А.

387. О сходимости смешанного вариационно-сеточного метода теории пластин // Труды 4-й Междунар. научно-технич. конф. "Математич. моделир. физич.экономия, технич, социальных систем и процессов" (10-12 декабря 2001 г.), Ульяновск: УлГУ, 2001. с. 92-94.

388. Ортогональные финитные функции в задачах на собственные значения // Журнал вычислит, математики и матем. физики, том 41, N6, 2001, с. 874-880.

389. Ортогональные финитные функции на треугольных сетках и смешанный вариационно-сеточный метод, связанный с их применением // Журнал вычислит, математики и матем. физики, том 41, N7, 2001, с. 1090-1098. Соавтор: Лукашанец Н.Ч.

390. О методах конечных элементов, связанных с применением ортогональных финитных функций // Обозрение прикл. и промышл. математики, т. 8, вып.1, 2001, с. 252-253.

391. Ортогональные финитные функции на треугольных сетках // Обозрение прикл. и промышл. математики, т.8, вып. 2, 2001, с. 632-633.

392. Об одной системе ортогональных финитных функций, связанных с треугольной сеткой // Вестник Ульян, гос. технич. ун-та. Естественные науки, N3, 2001, Ульяновск: УлГТУ, с. 37^2.

393. Вариационно-сеточный метод решения задач о свободных колебаниях упругих пластин // Труды Средневолжского математического общества, т.3-4, N1,2002, с. 73-79.

394. О сходимости вариационно-разностного метода // Труды Средневолжского математического общества, т.3-4, N1, 2002, с. 221-223.

395. Ортогональные финитные функции в вариационно-сеточных методах теории криволинейных стержней // Математическое моделирование, т. 14, N 2, 2002, с. 39-50. Соавтор: Мелентьев А.Ю.

396. Об ортогональных сплайнах, связанных с треугольными сетками // Труды Средневолжского математического общества, т.3-4, N1, 2002, с. 168-174. Соавтор: Красильников А.Р.

397. Ортогональные сплайны и вариационно-сеточный метод // Математическое моделирование, т. 14, N 3, 2002, с. 117-127.

398. О сходимости смешанного вариационно-сеточного метода // Сибирский журнал вычислит, математики, т. 5, N1, 2002, с. 25-34.

399. Разработка вариационно-разностных методов расчета упругих систем с распределенными параметрами // Отчет по НИР 7-83/78. N гос. регистрации: 79014065, Ульян, политехи, ин-т, Ульяновск, 1980, 150 с. Соавтор: Санкин Ю.Н.

400. Разработка вариационно-разностных методов расчета упругих систем с распределенными параметрами // Отчет по НИР 7-01. N гос. регистрации: 018285057, Ульян, политехи, ин-т, Ульяновск, 1983, 16 с. Соавтор: Санкин Ю.Н.