Особенности распределения межзвездных пылевых частиц в гелиосфере. тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Годенко Егор Алексеевич

• Годенко Егор Алексеевич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Годенко Егор Алексеевич

Введение

Глава 1. Теоретические основы моделирования распределения

межзвездной пыли в гелиосфере

1.1 Введение к главе

1.2 Динамика пылинок в гелиосфере

1.2.1 Центрально-симметричные силы гравитационного притяжения и радиационного давления

1.2.2 Электромагнитная сила

1.2.3 Результирующая сила внутри гелиосферной ударной

волны (упрощенное выражение для главы 2)

1.2.4 Гелиосферный токовый слой

1.3 Подходы к моделированию распределения межзвездной пыли в гелиосфере

1.3.1 Модель распределения пыли в эйлеровых переменных (кинетическая)

1.3.2 Метод Монте-Карло

1.3.3 Модель распределения пыли в лагранжевых переменных

1.3.4 Полный лагранжев метод, или лагранжев метод Осипцова

1.4 Заключение к главе

Глава 2. Исследование распределения пыли внутри

гелиосферной ударной волны

2.1 Введение к главе

2.2 Распределение пыли в случае стационарного фокусирующего магнитного поля

2.3 Исследование особенностей, возникающих на каустиках

2.4 Влияние дисперсии скорости пылевых частиц в межзвездной

среде на особенности распределения пыли

2.5 Влияние радиационного давления и гравитации на распределение пыли

2.6 Влияние нестационарности магнитного поля на распределение

пыли

2.7 Заключение к главе

Глава 3. Электрический заряд пылинок в гелиосфере и ее

окрестностях

3.1 Введение к главе

3.2 Основные процессы, влияющие на электрический заряд пылинок

3.2.1 Прилипание протонов и электронов из окружающей плазмы к пылинке

3.2.2 Вторичная электронная эмиссия

3.2.3 Фотоэлектронная эмиссия

3.3 Подходы к описанию заряда пылевых частиц

3.4 Результаты моделирования заряда

3.4.1 Равновесный заряд

3.4.2 Релаксация заряда при пересечении гелиопаузы

3.5 Заключение к главе

Глава 4. Влияние гелиосферного ударного слоя на

распределение пыли

4.1 Введение к главе

4.2 Модель распределения пыли

4.2.1 Распределение параметров плазмы в гелиосфере и ее окрестностях

4.2.2 Технические детали метода Монте-Карло

4.3 Результаты моделирования

4.3.1 Прохождение пылинок через границы гелиосферы

4.3.2 Влияние границ гелиосферы на распределение пыли в окрестности Солнца

4.3.3 Чувствительность распределения пыли в окрестности Солнца к изменению параметров ЛМС

4.4 Заключение к главе

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Приложение А

А.1 Сглаживание функции полярности

A.2 Производные от поля результирующей силы внутри гелиосферной ударной волны

Приложение Б

Б.1 Равенство нулю компонент матрицы Якоби для траекторий,

находящихся в плоскости х =

Б.2 Алгоритм получения случайных значений для компонент начальной скорости пылинки, которые удовлетворяют нормальному распределению

Приложение В

B.1 Сечение столкновений пылинки с частицами плазмы

В.1.1 Обычное кулоновское взаимодействие

В.1.2 Учет поляризации пылинки под действием

электрического поля частицы плазмы

В.2 Уменьшение размерности интеграла для вычисления токов, связанных со столкновением частиц окружающей плазмы с

пылинкой

В.3 Суммарный поток фотонов

В.4 Вероятностный подход к описанию заряда

В.4.1 Функция распределения равновесного заряда в

гелиосфере и ее окрестностях

В.5 Время релаксации заряда в гелиосфере: упрощенная оценка

Приложение Г

Г.1 Распределение концентрации и компонент средней скорости

частиц пыли размером a = 250 нм перед гелиосферной ударной волной

Г.2 Распределение концентрации пылинок разных размеров в

плоскости г = 0 в различные моменты времени

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Особенности распределения межзвездных пылевых частиц в гелиосфере.»

Введение

Солнце движется относительно окружающей его локальной межзвездной среды (ЛМС) со скоростью ~ 26.4 км/с [10]. В системе координат, связанной с Солнцем, поток ЛМС движется по направлению к покоящемуся Солнцу, причем скорость потока является сверхзвуковой (число Маха ~ 2). Плазменная компонента ЛМС вступает во взаимодействие с солнечным ветром - потоком, состоящим преимущественно из протонов, электронов и альфа-частиц, который, начиная с расстояний в несколько солнечных радиусов, также является сверхзвуковым. В результате взаимодействия двух сверхзвуковых потоков образуется структура из двух ударных волн (гелиосферной и головной) и тангенциального разрыва между ними (гелиопаузы), которая называется гелиосферным ударным слоем [11]. На ударных волнах сверхзвуковые потоки плазмы тормозятся до дозвуковых скоростей, а тангенциальный разрыв отделяет область распространения солнечного ветра (гелиосферу) от ЛМС. На Рисунке 1 представлена качественная картина описанного течения. На течение в целом и, в частности, на положение поверхностей разрыва значительное влияние оказывает нейтральная компонента межзвездной среды, которая взаимодействует с плазмой посредством перезарядки атомов водорода и протонов [12].

Помимо плазменной и атомарной компонент, в ЛМС присутствует также пылевая компонента, частицы которой могут проникать в гелиосферу. Межзвездные пылинки представляют собой твердые тела достаточно произвольной формы. Суммарная масса пылевых частиц в межзвездной среде составляет приблизительно 1 % от массы межзвездного газа [13]. Размеры пылинок находятся в достаточно широком диапазоне от нескольких нанометров до нескольких микрон [14; 15]. Из-за прилипания частиц окружающей плазмы на поверхность пылинки, фотоэмиссии и вторичной электронной эмиссии частицы пыли приобретают ненулевой электрический заряд [см., например, 16], что делает их траектории чувствительными к гелиосферному и межзвездному магнитным полям. Из анализа межзвездного поглощения известно, что в межзвездной среде присутствуют в основном кремниевые и углеродные частицы [см., например, 17; 18]. При этом в Солнечной системе на настоящий момент были обнаружены лишь кремниевые частицы по данным космического аппарата (КА) Cassini [19]. Отсутствие углеродных частиц предположительно вызвано существенной

Рисунок 1 — Качественная картина взаимодействия солнечного ветра и ЛМС. Поверхности разрыва: TS (termination shock) - гелиосферная ударная волна, HP (heliopause) - гелиопауза, BS (bow shock) - головная ударная волна.

величиной силы радиационного давления солнечных фотонов, которая не позволяет этим пылинкам проникать на малые гелиоцентрические расстояния [см., например, 20; 21].

Прямые измерения межзвездной пыли были осуществлены в рамках нескольких миссий (КА Ulysses, Galileo, Cassini, Helios, Stardust), но наиболее значимые с научной точки зрения экспериментальные данные были получены на КА Ulysses [22]. Это стало возможным благодаря тому, что орбита КА Ulysses выходила за пределы плоскости эклиптики, и, следовательно, процесс определения того, что измеренная пылинка имеет именно межзвездное происхождение (а не межпланетное), был существенно проще, чем в рамках других миссий. В работе [2s] на основе полученных данных были вычислены потоки межзвездной пыли вдоль траектории КА Ulysses и показано, что их величина существенно меняется в течение миссии. Это свидетельствует о неоднородности распределения межзвездных пылевых частиц в гелиосфере. Причина возникающих неодно-родностей заключается в совокупном влиянии на траектории пылинок трех основных сил: гравитационного притяжения к Солнцу, радиационного давления солнечных фотонов и электромагнитной силы. Для исследования упомянутых

неоднородностей необходимо проводить анализ на основе численного моделирования распределения межзвездных пылевых частиц в гелиосфере, чему и посвящена настоящая диссертационная работа.

Таким образом, целью диссертационной работы является исследование особенностей распределения межзвездных пылевых частиц в гелиосфере и на ее границе.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Изучены особенности распределения межзвездной пыли внутри ге-лиосферы. В частности, определены области накопления частиц и исследованы механизмы возникновения этих областей. Для этого были разработаны две модели распределения пыли: 1) кинетическая модель, 2) модель холодного газа. С помощью разработанных моделей были проведены вычисления для частиц, обладающих различными свойствами, а также для различных конфигураций гелиосферного магнитного поля.

2. Исследовано изменение заряда межзвездных пылевых частиц при их движении внутри гелиосферы и в области гелиосферного ударного слоя. Для этого была разработана модель для вычисления заряда пылинок и проведены расчеты для частиц пыли различных размеров. С помощью дополнительных вычислений определены границы применимости предположения о равновесности заряда пылинок в гелиосфере.

3. Изучено влияние гелиосферного ударного слоя на распределение межзвездной пыли. Для этого была разработана кинетическая модель распределения пыли, в которой одновременно учитывается прохождение частиц через границы гелиосферы и нестационарность гелиосферного магнитного поля. С помощью построенной модели для частиц различных размеров проведены вычисления для двух случаев: с учетом и без учета эффектов гелиосферного ударного слоя.

4. Исследована чувствительность распределения пыли в окрестности Солнца к изменению параметров ЛМС. Для этого с помощью разработанной кинетической модели были проведены вычисления с использованием различных распределений параметров окружающей плазмы.

Актуальность диссертационной работы обеспечивается необходимостью корректного (на основе адекватных численных моделей) анализа имеющихся

прямых измерений межзвездной пыли (КА Ulysses, Cassini, New Horizons), а также составления научных программ исследований будущих миссий (Interstellar Probe, Interstellar Express). В настоящий момент также готовится к запуску (запланирован на май 2025 г.) КА Interstellar Mapping and Acceleration Probe (IMAP), на борту которого будет установлен прибор по измерению пыли IDEX, обладающий значительно более совершенными техническими характеристиками, по сравнению с аналогичными приборами на КА Ulysses и Cassini. Информация, полученная на основе прямых измерений пыли (величины потоков, распределение пылинок по размерам, химический состав), представляет собой большую ценность, поскольку космическая пыль играет существенную роль во множестве физических процессов, происходящих в межзвездном пространстве, таких как: 1) перенос вещества в межзвездной среде, 2) образование сложных (в том числе органических) молекул, S) формирование протопланет-ных дисков, 4) рассеивание и поглощение электромагнитного излучения.

В работе впервые показано, что анализ распределения межзвездной пыли в окрестности Солнца может служить новым способом удаленной диагностики параметров ЛМС. Это открывает новый путь для исследования ЛМС и физических процессов на границе гелиосферы.

Помимо этого, изучение распределения пыли в гелиосфере естественным образом связано с более общими исследованиями распределения пыли в аст-росферах, что является актуальным вопросом в настоящий момент в связи с большим количеством экспериментальных данных, получаемых современными телескопами, работающими в инфракрасном диапазоне (см., например, James Webb Space Telescope, Wide-field Infrared Survey Explorer). Анализ пылевых оболочек вокруг звезд представляется на данный момент одним из наиболее перспективных способов исследования свойств соответствующих звездных ветров.

Научная новизна:

1. Впервые обнаружены области накопления межзвездной пыли, возникающие в окрестности каустик - огибающих траекторий пылевых частиц. С помощью модели холодного газа показано, что концентрация пыли стремится к бесконечности при приближении к каустикам. В рамках кинетического подхода исследовано влияние дисперсии скорости пылевых частиц на формирование данных областей.

2. Впервые установлено, что распределение пыли в окрестности Солнца чувствительно к изменению параметров невозмущенной ЛМС - в частности, к изменению направления межзвездного магнитного поля.

3. Впервые исследовано влияние гелиосферного ударного слоя на распределение пыли в окрестности Солнца. Разработанная для этого кинетическая модель распределения пыли, которая одновременно учитывает эффекты гелиосферного ударного слоя и нестационарность гелиосферного магнитного поля, на данный момент не имеет аналогов.

4. Впервые проведены оценки времени релаксации электрического заряда пыли при прохождении частиц через границы гелиосферы. Также впервые проверена корректность предположения о равновесности заряда пылевых частиц для вычисления траекторий и распределения концентрации пыли в гелиосфере и ее окрестностях.

Теоретическая и практическая значимость работы. В работе показано, что при анализе распределения межзвездной пыли внутри гелиосферы необходимо учитывать прохождение пылинок через гелиосферный ударный слой, поскольку эта область существенно влияет на распределение пыли в окрестности Солнца. Соответственно, разработанная кинетическая модель, в которой одновременно учитываются эффекты гелиосферного ударного слоя и нестационарность гелиосферного магнитного поля, является уникальным инструментом, с помощью которого можно проводить корректный анализ экспериментальных данных. В частности, с помощью данной модели можно будет провести анализ данных КА Ulysses и впервые оценить концентрацию и распределение по размерам пылевых частиц в ЛМС.

Помимо этого, с использованием разработанной модели можно осуществлять планирование научной программы измерения пылевых частиц в рамках миссий по изучению дальней гелиосферы. Результаты, полученные с помощью разработанной модели, представляют большую ценность при определении наиболее подходящих сценариев измерения пыли на КА Interstellar Express (CNSA; запуск запланирован на 2025-2026 гг.), а также при определении траектории КА Interstellar Probe (NASA; запуск запланирован на середину-конец 2030-х годов). Обнаруженные в диссертационной работе особенности распределения пыли, возникающие на каустиках, представляют большую значимость для разработки и

научного обоснования будущих миссий по исследованию межзвездной пыли в окрестности Солнца.

Важный практический результат также заключается в том, что в работе впервые продемонстрирована чувствительность распределения межзвездной пыли в окрестности Солнца к изменению параметров невозмущенной ЛМС. Данный результат открывает новый способ удаленной диагностики этих параметров, поэтому анализ имеющихся и будущих экспериментальных данных по межзвездной пыли позволит обеспечить независимую оценку этих параметров.

Методология и методы исследования. В диссертационной работе для моделирования распределения пыли рассматриваются две модели: 1) кинетическая модель, 2) модель холодного газа. Кинетическая модель основана на решении кинетического уравнения для функции распределения. Для решения кинетического уравнения используется метод Монте-Карло. Модель холодного газа основана на решении уравнения неразрывности в лагранжевых переменных. Для решения этого уравнения применяется полный лагранжев метод, или, как его еще называют в литературе, лагранжев метод Осипцова [24; 25]. Для одних задач, рассматриваемых в диссертационной работе, более целесообразно применять кинетическую модель (например, для исследования влияния границ гелиосферы на распределение пыли), а для других, напротив, более эффективным оказывается использование модели холодного газа (например, для поиска и исследования особенностей распределения пыли).

Для моделирования условий окружающей плазмы в третьей и четвертой главах диссертации используется распределение, полученное из модели глобальной структуры гелиосферы, представленной в работах [26—28]. Для вычисления формы гелиосферного токового слоя применяется кинематический подход, основанный на предположении о том, что гелиосферное магнитное поле вморожено в солнечный ветер.

В третьей главе для вычисления заряда пылинок используется приближение равновесного заряда, границы применимости которого подробно обсуждаются в этой же главе.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Показано, что межзвездное и гелиосферное магнитные поля в области гелиосферного ударного слоя приводят к существенным изменениям в распределении межзвездной пыли в окрестности Солнца.

2. Доказано, что распределение межзвездной пыли в окрестности Солнца чувствительно к изменению параметров невозмущенной ЛМС, в частности, к изменению направления межзвездного магнитного поля.

3. Показано, что под действием электромагнитной силы внутри гелиосфе-ры в окрестности каустик - огибающих траекторий пылевых частиц -образуются области накопления пыли. При приближении к каустикам концентрация пыли стремится к бесконечности, однако возникающая особенность является интегрируемой.

4. Продемонстрировано, что учет хаотической скорости пыли в направлении, перпендикулярном плоскости солнечного экватора, приводит к тому, что сингулярности плотности пропадают.

5. Обосновано использование приближения локально равновесного заряда для частиц межзвездной пыли радиусом ^ 100 нм в гелиосфере.

Достоверность представленных в диссертационной работе результатов обоснована тем, что для моделирования использовались различные модели (кинетическая и холодного газа), которые при тестировании показывали одинаковые результаты. При использовании метода Монте-Карло в кинетическом подходе для контроля ошибки вычислялась относительная статистическая погрешность во всей области. Соответственно, количество траекторий, используемых для моделирования, выбиралось таким образом, чтобы величина погрешности не превышала 5 %. Для приближенного вычисления траекторий размер шага интегрирования выбирался так, чтобы при его уменьшении в 10 раз отклонение траектории на выходе из расчетной области не превышало 5 %. Достоверность результатов также подтверждается тем, что теоретические концепции, на которых основаны вычисления, были ранее уже рассмотрены в рамках более простых моделей.

Тестирование модуля, ответственного за приближенное вычисление траекторий, проводилось с помощью сравнения результатов моделирования с известными аналитическими решениями для простейших случаев (движение в поле центрально-симметричных сил или в однородном магнитном поле). На отдельных примерах также проводилось сравнение с результатами, полученны-

ми в рамках известных в литературе моделей распределения пыли из работ [29—31]. При разработке всех численных моделей проводилась дополнительная отладка программ с целью выявления наиболее оптимальных параметров расчетных сеток, шагов интегрирования и количества моделируемых частиц.

Апробация работы. Результаты исследований, вошедших в диссертационную работу, докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах кафедры аэромеханики и газовой динамики механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова (зав. кафедрой - д.ф.-м.н., проф. Краснобаев К.В.), семинарах лаборатории физической газовой динамики Института проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН (рук. - д.ф.-м.н., проф. Баранов В.Б.), семинарах лаборатории межпланетной среды Института космических исследований РАН (рук. - д.ф.-м.н., проф. Измоденов В.В.), а также на международном семинаре по исследованию внешней гелиосфе-ры OH/VLISM (рук. - к.ф.-м.н. Проворникова Е.А.). Основные положения и результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались на российских и международных конференциях, в том числе на:

— международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (МГУ, Москва, 2018 - 2024 гг.);

— конференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные космические исследования» (ИКИ РАН, Москва, 2018 - 2024 гг.);

— конференции «Физика плазмы в солнечной системе» (ИКИ РАН, Москва, 2018 - 2025 гг.);

— конференции «Ломоносовские чтения» (МГУ, Москва, 2020 г., 2023 г., 2024 г.);

— 45-ой научной ассамблее COSPAR (Пусан, Южная Корея, 2024 г.);

— Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (СПб-ПУ, Санкт-Петербург, 2023 г.);

— школе-конференции «Исследование экзопланет: от Солнечной системы к экзопланетам» (САО РАН, п. Нижний Архыз, Карачаево-Черкесская р., 2021-2022 гг.);

— на Всероссийской конференции «Звездообразование и планетообразова-ние» (АКЦ ФИАН, Москва, 2022 г., 2024 г.);

— 9th International Conference on the Physics of Dusty Plasmas (ИКИ РАН, Москва, 2022 г.);

— международной конференции Fourth Virtual Workshop on Numerical Modeling in MHD and Plasma Physics: Methods, Tools, and Outcomes (Новосибирск, 2021 г.);

— конференции международных математических центров мирового уровня (Сочи, 2021 г.);

- конференции Interstellar Probe Study Exploration Workshop (United States, 2020 г.);

- конференции GRDI "Helio-plasmas" Workshop (Cargese, France, 2018 г.).

Публикации и личный вклад автора. Положения, выносимые на защиту, основаны на работах [1—7] из списка публикаций автора по теме диссертации, вклад автора в которые является основным. Всего соискателем опубликовано 9 статей в рецензируемых журналах из перечня ВАК, включая 4 статьи в журналах первого и второго квартилей (Q1/Q2) международной базы Web of Science (WoS). Все публикации соответствуют теме диссертации.

Все результаты, выносимые на защиту, были получены лично автором диссертации. Постановки задач, рассмотренных в диссертационной работе, принадлежат научному руководителю. Автором осуществлялись: разработка и тестирование всех численных программ, проведение расчетов, анализ полученных результатов, сравнение результатов с экспериментальными данными, подготовка и написание текстов публикаций, а также переписка с редакциями журналов и рецензентами.

Структура и объем диссертации. Общий объем диссертации, состоящей из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений, составляет 172 страницы. В работе содержится 59 иллюстраций. Список используемой литературы состоит из 81 библиографической ссылки.

Первая глава диссертации посвящена теоретическим аспектам моделирования распределения межзвездной пыли в гелиосфере. В разделе 1.1 представлен обзор работ по данной тематике. Далее в разделе 1.2 обсуждается динамика пылевых частиц в гелиосфере, а в разделе 1.3 изложены подходы, которые используются в работе для описания и моделирования распределения пыли. Раздел 1.4 содержит выводы и заключение к главе 1.

Во второй главе диссертации исследуется распределение межзвездных пылевых частиц в области сверхзвукового солнечного ветра. В разделе 2.1 представлено введение к главе 2 и описание модельного случая стационарного

фокусирующего магнитного поля. В разделе 2.2 представлены результаты моделирования, полученные с помощью кинетической модели, для частиц разных размеров в случае, когда на пылинки действует только электромагнитная сила. В разделе 2.3 продемонстрированы результаты, полученные с помощью модели холодного газа в аналогичной постановке. Далее поочередно изучается влияние различных эффектов на распределение пыли: дисперсии скорости пыли в межзвездной среде (раздел 2.4), центрально-симметричных сил радиационного давления и гравитации (раздел 2.5) и нестационарности гелиосферного магнитного поля (раздел 2.6). Раздел 2.7 содержит выводы и заключение к главе 2.

В третьей главе диссертации подробно исследуется изменение заряда пылевых частиц в гелиосфере и ее окрестностях. В разделе 31 представлено введение к главе 3. В разделе 3.2 описаны основные процессы, которые влияют на формирование заряда пылинок, а в разделе 3.3 - подходы для вычисления заряда частиц. В разделе 3.4 продемонстрированы результаты моделирования равновесного заряда и исследована релаксация заряда до равновесных значений при пересечении гелиопаузы. Раздел 3.5 содержит выводы и заключение к главе 3.

В четвертой главе изучается влияние гелиосферного ударного слоя на траектории и распределение межзвездной пыли. В разделе 41 представлено введение к главе 4. В разделе 4.2 описана используемая в данной главе кинетическая модель распределения пыли. В разделе 4.3 продемонстрированы результаты моделирования, полученные с использованием описанной модели. В разделе 4.3.1 исследуется прохождение пылинок через границы гелиосферы, в разделе 4.3.2 - как это прохождение влияет на распределение пыли в окрестности Солнца, а в разделе 4.3.3 проверяется чувствительность распределения пыли в окрестности Солнца к изменению направления межзвездного магнитного поля. Раздел 4.4 содержит выводы и заключение к главе 4.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю Владиславу Валерьевичу Измоденову за помощь в выполнении работы.

Работа была выполнена при поддержке Российского научного фонда (грант № 19-12-00383), Московского центра фундаментальной и прикладной математики (проект "Газодинамические и магнитогидродинамические модели в задачах астрофизики") и Фонда развития теоретической физики и математики "БАЗИС"(грант № 18-1-1-22-4).

Автор искренне благодарит Сергея Николаевича Сударикова за поддержку в рамках персональной стипендии для аспирантов кафедры аэромеханики и газовой динамики механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.

Глава 1. Теоретические основы моделирования распределения межзвездной пыли в гелиосфере

1.1 Введение к главе 1

Теоретические исследования распределения межзвездной пыли в гелиосфере начались в 1970-х годах, т.е. еще до первого обнаружения этих пылинок на КА Ulysses в 1993 году [22]. Так, в работе [32] впервые было рассмотрено проникновение пылинок в Солнечную систему и выдвинута идея о формировании области гравитационной фокусировки частиц межзвездной пыли в окрестности Солнца. Сразу после этого в работе [33] было показано, что на траектории частиц, помимо силы гравитационного притяжения и радиационного давления, также влияет электромагнитная сила, поскольку пылинки при движении в плазме приобретают ненулевой электрический заряд. В работах [34; 35] были впервые проведены вычисления распределения пыли с помощью метода Монте-Карло. В этих работах рассматривалось влияние всех упомянутых сил на движение пылинок и даже учитывалась нестационарность гелиосфер-ного магнитного поля. В частности, были введены понятия фаз фокусировки и дефокусировки магнитного поля, в течение которых положительно заряженные пылевые частицы, соответственно, притягиваются к плоскости солнечного экватора или отталкиваются от нее.

Следующая волна интереса к исследованию межзвездной пыли была связана с экспериментальными данными, которые были получены на КА Ulysses. В работах [36—38] было проведено моделирование распределения пыли с учетом полученных из астрономических наблюдений ограничений на химический состав частиц. Вычисления проводились для кремниевых частиц с добавлением кислорода, магния и железа, а соответствующие молекулы получили специальное название - астрономические силикаты [39]. Построенная модель была использована для интерпретации экспериментальных данных, полученных на КА Ulysses с 1992 г. по 2000 г. В этот период были также проведены первые исследования динамики пылинок на достаточно больших расстояниях от Солнца (от 40 а.е. и до границы гелиосферы). В работе [40] было показано, что мелкомасштабная "волнообразная" структура гелиосферного токового слоя около

границы гелиосферы позволяет пылинкам практически беспрепятственно преодолевать эту область.

Развитие модели, представленной в работах [36—38], было проведено спустя приблизительно 15 лет в работах [29; 41], где были рассмотрены различные конфигурации гелиосферного магнитного поля и проведено параметрическое исследование для большого набора значений определяющих параметров. В этих работах был подробно изучен механизм фильтрации пылевых частиц внутри ге-лиосферной ударной волны. Усовершенствованная модель была применена для анализа полного набора (с 1992 г. по 2007 г.) экспериментальных данных, полученных на КА Ulysses [42], однако авторы соответствующей работы сделали вывод о том, что для ответов на оставшиеся после их анализа вопросы необходима модель, в которой рассматриваются траектории пылинок не только внутри гелиосферной ударной волны, но и в гелиосферном ударном слое. Помимо этого, разработанная модель была применена для вычисления потоков межзвездной пыли на орбите Земли [43], что может быть полезно в свете готовящихся миссий по исследованию пыли [44].

Учет влияния границ гелиосферы в моделях распределения межзвездной пыли был впервые осуществлен в работе [45]. В этой работе была исследована фильтрация мелких пылинок на границе гелиосферы в условиях стационарного гелиосферного магнитного поля, соответствующего солнечному минимуму 1996 года. Было показано, что при данных условиях большая часть пылинок размером 100-200 нм не проникают в гелиосферу из-за влияния магнитного поля в окрестности гелиопаузы. Следующий шаг к моделированию распределения пыли с учетом влияния гелиосферного ударного слоя был сделан в работе [30]. В данной работе были проведены вычисления траекторий и распределения частиц пыли различных размеров в диапазоне от 10 нм до 1000 нм для двух стационарных конфигураций гелиосферного магнитного поля: фокусирующей и дефокусирующей. Также впервые было учтено изменение электрического заряда пылинок в гелиосфере и ее окрестностях, которое возникает из-за существенно меняющихся параметров окружающей плазмы. Было показано, что маленькие частицы пыли (^ 10 нм) совсем не проникают в гелиосферу из-за упомянутой выше фильтрации, а крупные пылинки (^ 1000 нм) делают это практически беспрепятственно. При этом пылинки остальных размеров могут частично фильтроваться на границе гелиосферы в зависимости от рассматриваемой конфигурации магнитного поля. Эффекты гелиосферного ударного слоя

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Годенко Егор Алексеевич, 2025 год

Список литературы

10. Witte, M. Kinetic parameters of interstellar neutral helium. Review of results obtained during one solar cycle with the Ulysses/GAS-instrument / M. Witte // Astronomy and Astrophysics. — 2004. — Nov. — Vol. 426. — P. 835—844. — DOI: 10.1051/0004-6361:20035956.

11. Баранов, В. Б. Модель взаимодействия солнечного ветра с межзвездной средой / В. Б. Баранов, К. В. Краснобаев, А. Г. Куликовский // Доклады Академии наук. — 1970. — Т. 194. — С. 41—44.

12. Baranov, V. B. Model of the solar wind interaction with the local interstellar medium numerical solution of self-consistent problem / V. B. Baranov, Y. G. Malama // Journal of Geophysical Research. — 1993. — Sept. — Vol. 98, A9. — P. 15157—15164. — DOI: 10.1029/93JA01171.

13. Dust in the Local Interstellar Wind / P. C. Frisch [et al.] // The Astrophysical Journal. — 1999. — Nov. — Vol. 525, no. 1. — P. 492—516. — DOI: 10.1086/307869.

14. Weingartner, J. C. Dust Grain-Size Distributions and Extinction in the Milky Way, Large Magellanic Cloud, and Small Magellanic Cloud / J. C. Weingartner, B. T. Draine // The Astrophysical Journal. — 2001. — Feb. — Vol. 548, no. 1. — P. 296—309. — DOI: 10.1086/318651.

15. Wang, S. Very Large Interstellar Grains as Evidenced by the Mid-infrared Extinction / S. Wang, A. Li, B. W. Jiang // The Astrophysical Journal. — 2015. — Sept. — Vol. 811, no. 1. — P. 38. — DOI: 10.1088/0004-637X/811/ 1/38.

16. Kimura, H. The Electric Charging of Interstellar Dust in the Solar System and Consequences for Its Dynamics / H. Kimura, I. Mann // Astrophysical Journal. — 1998. — May. — Vol. 499, no. 1. — P. 454—462. — DOI: 10.1086/305613.

17. Draine, B. T. Interstellar Dust Grains / B. T. Draine // Annual Review of Astronomy and Astrophysics. — 2003. — Jan. — Vol. 41. — P. 241—289. — DOI: 10.1146/annurev.astro.41.011802.094840.

18. Tielens, A. G. G. M. Interstellar polycyclic aromatic hydrocarbon molecules. / A. G. G. M. Tielens // Annual Review of Astronomy and Astrophysics. — 2008. — Sept. — Vol. 46. — P. 289—337. — DOI: 10.1146/annurev.astro.46. 060407.145211.

19. Flux and composition of interstellar dust at Saturn from Cassini's Cosmic Dust Analyzer / N. Altobelli [et al.] // Science. — 2016. — Vol. 352, no. 6283. — P. 312—318. — DOI: 10.1126/science.aac6397.

20. Kimura, H. Radiation pressure on porous micrometeoroids / H. Kimura, I. Mann // Meteroids 1998 / ed. by W. J. Baggaley, V. Porubcan. — 01/1999. — P. 283.

21. Kimura, H. Radiation Pressure and the Poynting-Robertson Effect for Fluffy Dust Particles / H. Kimura, H. Okamoto, T. Mukai // Icarus. — 2002. — June. — Vol. 157, no. 2. — P. 349—361. — DOI: 10.1006/icar.2002.6849.

22. Discovery of Jovian dust streams and interstellar grains by the Ulysses spacecraft / E. Grun [et al.] // Nature. — 1993. — Apr. — Vol. 362, no. 6419. — P. 428—430. — DOI: 10.1038/362428a0.

23. Strub, P. Sixteen Years of Ulysses Interstellar Dust Measurements in the Solar System. II. Fluctuations in the Dust Flow from the Data / P. Strub, H. Krüger, V. J. Sterken // The Astrophysical Journal. — 2015. — Oct. — Vol. 812, no. 2. — P. 140. — DOI: 10.1088/0004-637X/812/2/140.

24. Osiptsov, A. N. Lagrangian Modelling of Dust Admixture in Gas Flows / A. N. Osiptsov // Astrophysics and Space Science. — 2000. — Oct. — Vol. 274. — P. 377—386. — DOI: 10.1023/A:1026557603451.

25. Osiptsov, A. N. Development of the Full Lagrangian Approach for Modeling Dilute Dispersed Media Flows (a Review) / A. N. Osiptsov // Fluid Dynamics. — 2024. — Apr. — Vol. 59, no. 1. — P. 1—48. — DOI: 10.1134/ S0015462823602425.

26. Izmodenov, V. V. Three-dimensional Kinetic-MHD Model of the Global Heliosphere with the Heliopause-surface Fitting / V. V. Izmodenov, D. B. Alex-ashov // The Astrophysical Journal Supplement Series. — 2015. — Oct. — Vol. 220, no. 2. — P. 32. — DOI: 10.1088/0067-0049/220/2/32.

27. Izmodenov, V. V. Magnitude and direction of the local interstellar magnetic field inferred from Voyager 1 and 2 interstellar data and global heliospheric model / V. V. Izmodenov, D. B. Alexashov // Astronomy and Astrophysics. — 2020. — Jan. — Vol. 633. — P. L12. — DOI: 10.1051/0004-6361/201937058.

28. Izmodenov, V. V. The strong effect of electron thermal conduction on the global structure of the heliosphere / V. V. Izmodenov, D. B. Alexashov // MNRAS. — 2023. — May. — Vol. 521, no. 3. — P. 4085—4090. — DOI: 10.1093/mnras/stad741.

29. The flow of interstellar dust into the solar system / V. J. Sterken [et al.] // Astronomy and Astrophysics. — 2012. — Feb. — Vol. 538. — A102. — DOI: 10.1051/0004-6361/201117119.

30. Trajectories and Distribution of Interstellar Dust Grains in the Heliosphere / J. D. Slavin [et al.] // The Astrophysical Journal. — 2012. — Nov. — Vol. 760, no. 1. — P. 46. — DOI: 10.1088/0004-637X/760/1/46.

31. Interstellar dust distribution outside the heliopause: deflection at the heliospheric interface / D. B. Alexashov [et al.] // MNRAS. — 2016. — May. — Vol. 458, no. 3. — P. 2553—2564. — DOI: 10.1093/mnras/stw514.

32. Bertaux, J. L. Possible evidence for penetration of interstellar dust into the Solar System / J. L. Bertaux, J. E. Blamont // Nature. — 1976. — July. — Vol. 262, no. 5566. — P. 263—266. — DOI: 10.1038/262263a0.

33. Levy, E. H. Penetration of interstellar dust into the solar system / E. H. Levy, J. R. Jokipii // Nature. — 1976. — Nov. — Vol. 264. — P. 423. — DOI: 10.1038/264423a0.

34. Gustafson, B. A. S. Streaming of interstellar grains in the Solar System / B. A. S. Gustafson, N. Y. Misconi // Nature. — 1979. — Nov. — Vol. 282, no. 5736. — P. 276—278. — DOI: 10.1038/282276a0.

35. Morfill, G. E. The motion of charged dust particles in interplanetary space - II. Interstellar grains / G. E. Morfill, E. Grün // Planetary and Space Science. — 1979. — Oct. — Vol. 27, no. 10. — P. 1283—1292. — DOI: 10.1016/0032-0633(79)90106-5.

36. Landgraf, M. Modeling the motion and distribution of interstellar dust inside the heliosphere / M. Landgraf // Journal of Geophysical Research. — 2000. — May. — Vol. 105, A5. — P. 10303—10316. — DOI: 10.1029/1999JA900243.

37. Aspects of the mass distribution of interstellar dust grains in the solar system from in situ measurements / M. Landgraf [et al.] // Journal of Geophysical Research. — 2000. — May. — Vol. 105, A5. — P. 10343—10352. — DOI: 10.1029/1999JA900359.

38. Penetration of the heliosphere by the interstellar dust stream during solar maximum / M. Landgraf [et al.] // Journal of Geophysical Research: Space Physics. — 2003. — Oct. — Vol. 108, A10. — P. 8030. — DOI: 10.1029/ 2003JA009872.

39. Greenberg, J. M. What are the true astronomical silicates? / J. M. Greenberg, A. Li // Astronomy and Astrophysics. — 1996. — May. — Vol. 309. — P. 258—266.

40. Czechowski, A. Penetration of interstellar dust grains into the heliosphere / A. Czechowski, I. Mann // Journal of Geophysical Research: Space Physics. — 2003. — Oct. — Vol. 108, A10. — P. 8038. — DOI: 10.1029/2003JA009917.

41. The filtering of interstellar dust in the solar system / V. J. Sterken [et al.] // Astronomy and Astrophysics. — 2013. — Apr. — Vol. 552. — A130. — DOI: 10.1051/0004-6361/201219609.

42. Sixteen Years of Ulysses Interstellar Dust Measurements in the Solar System. III. Simulations and Data Unveil New Insights into Local Interstellar Dust / V. J. Sterken [et al.] // The Astrophysical Journal. — 2015. — Oct. — Vol. 812, no. 2. — P. 141. — DOI: 10.1088/0004-637X/812/2/141.

43. Heliospheric modulation of the interstellar dust flow on to Earth / P. Strub [et al.] // Astronomy and Astrophysics. — 2019. — Jan. — Vol. 621. — A54. — DOI: 10.1051/0004-6361/201832644.

44. Interstellar Mapping and Acceleration Probe (IMAP): A New NASA Mission / D. J. McComas [et al.] // Space Science Reviews. — 2018. — Dec. —Vol. 214, no. 8. — P. 116. — DOI: 10.1007/s11214-018-0550-1.

45. Linde, T. J. Interstellar dust filtration at the heliospheric interface / T. J. Linde, T. I. Gombosi // Journal of Geophysical Research. — 2000. — May. — Vol. 105, A5. — P. 10411—10418. — DOI: 10.1029/1999JA900149.

46. Gustafson, B. A. S. Physics of Zodiacal Dust / B. A. S. Gustafson // Annual Review of Earth and Planetary Sciences. — 1994. — Vol. 22. — P. 553—595. — DOI: 10.1146/annurev.ea.22.050194.003005.

47. Burns, J. A. Radiation forces on small particles in the solar system / J. A. Burns, P. L. Lamy, S. Soter // Icarus. — 1979. — Oct. — Vol. 40, no. 1. — P. 1—48. — DOI: 10.1016/0019-1035(79)90050-2.

48. Interstellar Dust in the Solar System / V. J. Sterken [et al.] // Space Science Reviews. — 2019. — Oct. — Vol. 215, no. 7. — P. 43. — DOI: 10.1007/ s11214-019-0607- 9.

49. Katushkina, O. A. Infrared dust arcs around stars - I. Effect of the radiation pressure / O. A. Katushkina, V. V. Izmodenov // MNRAS. — 2019. — July. — Vol. 486, no. 4. — P. 4947—4961. — DOI: 10.1093/mnras/stz1105.

50. Baranov, V. B. Model representations of the interaction between the solar wind and the supersonic interstellar medium flow. Prediction and interpretation of experimental data / V. B. Baranov, V. V. Izmodenov // Fluid Dynamics. — 2006. — Sept. — Vol. 41, no. 5. — P. 689—707. — DOI: 10.1007/s10697-006-0089-9.

51. Smith, E. J. The heliospheric current sheet / E. J. Smith // Journal of Geophysical Research. — 2001. — Aug. — Vol. 106, A8. — P. 15819—15832.

52. Parker, E. N. Dynamics of the Interplanetary Gas and Magnetic Fields. / E. N. Parker // The Astrophysical Journal. — 1958. — Nov. — Vol. 128. — P. 664.

53. Cassini between Earth and asteroid belt: first in-situ charge measurements of interplanetary grains / S. Kempf [et al.] // Icarus. — 2004. — Oct. — Vol. 171, no. 2. — P. 317—335. — DOI: 10.1016/j.icarus.2004.05.017.

54. Jokipii, J. R. Effects of drift on the transport of cosmic rays. IV - Modulation by a wavy interplanetary current sheet / J. R. Jokipii, B. Thomas // The Astrophysical Journal. — 1981. — Feb. — Vol. 243. — P. 1115—1122. — DOI: 10.1086/158675.

55. Hoeksema, J. T. The Large-Scale Structure of the Heliospheric Current Sheet During the ULYSSES Epoch / J. T. Hoeksema // Space Science Reviews. — 1995. — Apr. — Vol. 72, no. 1/2. — P. 137—148. — DOI: 10.1007/ BF00768770.

56. Computing the Dust Distribution in the Bow Shock of a Fast-moving, Evolved Star / A. J. van Marle [et al.] // The Astrophysical Journal Letters. — 2011. — June. — Vol. 734, no. 2. — P. L26. — DOI: 10.1088/2041-8205/734/2/L26.

57. Седов, Л. Механика сплошной среды. Том 1. / Л. Седов. — м.:Наука, 1970. — 492 с.

58. Hoang, T. Revisiting Acceleration of Charged Grains in Magnetohydrodynamic Turbulence / T. Hoang, A. Lazarian, R. Schlickeiser // The Astrophysical Journal. — 2012. — Mar. — Vol. 747, no. 1. — P. 54. — DOI: 10.1088/0004-637X/747/1/54.

59. Yan, H. Dust Dynamics in Compressible Magnetohydrodynamic Turbulence /

H. Yan, A. Lazarian, B. T. Draine // The Astrophysical Journal. — 2004. — Dec. — Vol. 616, no. 2. — P. 895—911. — DOI: 10.1086/425111.

60. Redfield, S. The Structure of the Local Interstellar Medium. IV. Dynamics, Morphology, Physical Properties, and Implications of Cloud-Cloud Interactions / S. Redfield, J. L. Linsky // The Astrophysical Journal. — 2008. — Jan. — Vol. 673, no. 1. — P. 283—314. — DOI: 10.1086/524002.

61. Pauls, H. L. Interaction of a nonuniform solar wind with the local interstellar medium / H. L. Pauls, G. P. Zank // Journal of Geophysical Research. — 1996. — Aug. — Vol. 101, A8. — P. 17081—17092. — DOI: 10.1029/ 96JA01298.

62. Pogorelov, N. V. Probing Heliospheric Asymmetries with an MHD-Kinetic model / N. V. Pogorelov, J. Heerikhuisen, G. P. Zank // The Astrophysical Journal Letters. — 2008. — Mar. — Vol. 675, no. 1. — P. L41. — DOI: 10.1086/529547.

63. Kimura, H. Filtering of the interstellar dust flow near the heliopause: the importance of secondary electron emission for the grain charging / H. Kimura,

I. Mann // Earth, Planets and Space. — 1999. — Nov. — Vol. 51. — P. 1223—1232. — DOI: 10.1186/BF03351596.

64. Dwek, E. Dust-gas interactions and the infrared emission from hot astrophysical plasmas. / E. Dwek, R. G. Arendt // Annual Review of Astronomy and Astrophysics. — 1992. — Jan. — Vol. 30. — P. 11—50. — DOI: 10.1146/annurev.aa.30.090192.000303.

65. Weingartner, J. C. Photoelectric Emission from Interstellar Dust: Grain Charging and Gas Heating / J. C. Weingartner, B. T. Draine // Astrophysical Journal, Supplement. — 2001. — June. — Vol. 134, no. 2. — P. 263—281. — DOI: 10.1086/320852.

66. Draine, B. T. Collisional Charging of Interstellar Grains / B. T. Draine, B. Sutin // Astrophysical Journal. — 1987. — Sept. — Vol. 320. — P. 803. — DOI: 10.1086/165596.

67. Draine, B. T. On the physics of dust grains in hot gas. / B. T. Draine, E. E. Salpeter // Astrophysical Journal. — 1979. — July. — Vol. 231. — P. 77—94. — DOI: 10.1086/157165.

68. Weingartner, J. C. Photoelectric Emission from Dust Grains Exposed to Extreme Ultraviolet and X-Ray Radiation / J. C. Weingartner, B. T. Draine, D. K. Barr // Astrophysical Journal. — 2006. — July. — Vol. 645, no. 2. — P. 1188—1197. — DOI: 10.1086/504420.

69. Bohren, C. Absorption and scattering of light by small particles / C. Bohren, D. Huffman. — 1983.

70. Draine, B. T. Scattering by Interstellar Dust Grains. II. X-Rays / B. T. Draine // Astrophysical Journal. — 2003. — Dec. — Vol. 598, no. 2. — P. 1026—1037. — DOI: 10.1086/379123.

71. Future Exploration of the Outer Heliosphere and Very Local Interstellar Medium by Interstellar Probe / P. C. Brandt [et al.] // Space Science Reviews. — 2023. — Mar. — Vol. 219, no. 2. — P. 18. — DOI: 10.1007/s11214-022-00943-x.

72. A far-infrared survey of bow shocks and detached shells around AGB stars and red supergiants / N. L. J. Cox [et al.] // Astronomy and Astrophysics. — 2012. — Jan. — Vol. 537. — A35. — DOI: 10.1051/0004-6361/201117910.

73. An astrosphere around the blue supergiant к Cas: possible explanation of its filamentary structure / O. A. Katushkina [et al.] // MNRAS. — 2018. — Jan. — Vol. 473, no. 2. — P. 1576—1588. — DOI: 10.1093/mnras/stx2488.

74. Magnetic Field Observations in the Very Local Interstellar Medium by Voyagers 1 and 2 / L. F. Burlaga [et al.] // The Astrophysical Journal. — 2022. — June. — Vol. 932, no. 1. — P. 59. — DOI: 10.3847/1538-4357/ac658e.

75. Соболь, И. Численные методы Монте-Карло / И. Соболь. — м.:Наука, 1973. — 312 с.

76. Spitzer, L. The Dynamics of the Interstellar Medium. I. Local Equilibrium. / L. Spitzer // Astrophysical Journal. — 1941. — May. — Vol. 93. — P. 369. — DOI: 10.1086/144273.

77. Jackson, J. D. Classical Electrodynamics / J. D. Jackson. — 1962.

78. Mezger, P. G. The origin of the diffuse galactic far infrared and sub-millimeter emission / P. G. Mezger, J. S. Mathis, N. Panagia // Astronomy and Astrophysics. — 1982. — Jan. — Vol. 105, no. 2. — P. 372—388.

79. Mathis, J. S. Interstellar radiation field and dust temperatures in the diffuse interstellar medium and in giant molecular clouds / J. S. Mathis, P. G. Mezger, N. Panagia // Astronomy and Astrophysics. — 1983. — Nov. — Vol. 128. — P. 212—229.

80. Gail, H.-P. On the charge distribution of interstellar dust grains. / H.-P. Gail, E. Sedlmayr // Astronomy and Astrophysics. — 1975. — July. — Vol. 41, no. 3/4. — P. 359—366.

81. Meyer-Vernet, N. Flip-flop of electric potential of dust grains in space / N. Mey-er-Vernet // Astronomy and Astrophysics. — 1982. — Jan. — Vol. 105, no. 1. — P. 98—106.

Список рисунков

1 Качественная картина взаимодействия солнечного ветра и ЛМС. Поверхности разрыва: TS (termination shock) - гелиосферная ударная волна, HP (heliopause) - гелиопауза, BS (bow shock) -головная ударная волна.......................... 8

1.1 Траектории пылинок под действием центрально-симметричных сил гравитационного притяжения и радиационного давления. Слева показан случай, когда гравитация преобладает над радиационным давлением (в = 0.5), справа - наоборот (в = 1.5). В центре желтым цветом обозначено положение Солнца, стрелка красного цвета показывает направление движения пыли в невозмущенной ЛМС (ось у направлена противоположно этому направлению, ось z -перпендикулярно). Пунктирная линия синего цвета на правом рисунке соответствует в-конусу [аналитическое выражение см., например, в 49], внутрь которого пылинки не проникают при заданном значении параметра в...................... 23

1.2 Система координат, которая используется для исследования эффектов внутри гелиосферной ударной волны. Плоскость голубого цвета (z = 0) соответствует плоскости солнечного экватора. Стрелка красного цвета показывает направление вектора скорости невозмущенной ЛМС относительно Солнца.......... 25

1.3 Области с положительной (красного цвета) и отрицательной (синего цвета) полярностью гелиосферного магнитного поля в плоскости х = 0 внутри гелиосферной ударной волны для четырех моментов времени: t = 1 год, 4 года, 8 лет, 12 лет. Линия пересечения областей красного и синего цвета - гелиосферный токовый слой. Предполагается, что углы наклона и поворота

плоской части токового слоя задаются с помощью формул (1.19). . . 30

2.1 Схематичное представление движения пылинок для исследования

эффектов, возникающих внутри гелиосферной ударной волны. . . . 41

2.2 Стационарная фокусирующая конфигурация гелиосферного магнитного поля. Область красного цвета соответствует положительной полярности, область синего цвета - отрицательной полярности, а линия их пересечения (плоскость ^ = 0) - токовому слою. Стрелками показано направление движения пыли в невозмущенной ЛМС (и, соответственно, самой ЛМС) относительно Солнца.................................... 41

2.3 Траектории пылинок размером а = 300 нм в случае, когда на частицы действует только электромагнитная сила (в = 1), а гелиосферное магнитное поле является стационарным и фокусирующим............................... 43

2.4 Распределение концентрации (показано цветом) пыли в плоскости х = 0 для частиц размером а = 200 нм, 300 нм, 400 нм. Значение параметра в = 1. Стрелками белого цвета показано направление движения пылинок в невозмущенной ЛМС относительно Солнца. Размеры ячеек расчетной области: Ду х Д^ = 0.1 а.е. х 0.01 а.е. Количество моделируемых частиц N = 2 • 106.............. 44

2.5 Распределение концентрации пыли вдоль линии х = 0 а.е., у = 10

а.е. для тех же случаев, что и на Рисунке 2.4.............. 45

2.6 Траектории (те же самые, что и на Рисунке 2.3) и концентрация (показана цветом) частиц вдоль этих траекторий, вычисленная с помощью лагранжева метода Осипцова.................. 46

2.7 Зависимость значения концентрации пыли в ячейке, содержащей фиксированную точку каустики, от линейного размера ячейки Ду = Д^ = Д^. Для исследования рассматриваются частицы размером а = 300 нм и в = 1. Концентрация вычисляется в ячейке, содержащей точку внешней каустики при х = 0 а.е., у = 10 а.е., с помощью кинетической модели...................... 47

2.8 Траектории двух частиц размером а = 300 нм и в = 1, которые на граничной плоскости располагаются на расстоянии 0.2 а.е. друг от друга. Штриховая линия красного цвета соответствует каустике. На вставках в увеличенном масштабе показано взаимное положение частиц на границе и около точки пересечения одной из траекторий с каустикой. Стрелки внутри вставок показывают вектор скорости (усредненный по сегменту, представленному на вставке) пылевой частицы, траектория которой изображена в зеленом цвете....... 48

2.9 Траектория и ненулевые компоненты матрицы Якоби вдоль траектории для пылинки размером а = 300 нм и в = 1. Цветом вдоль траектории показана концентрация пыли. Линия красного цвета показывает значение якобиана, вычисленное с помощью выражения (2.5)............................... 49

2.10 Распределение концентрации пыли в плоскости х = 0 для частиц размером а = 300 нм и в = 1 при разных значениях дисперсии скорости пыли в направлении, перпендикулярном плоскости солнечного экватора: = 100 м/с, 200 м/с, 500 м/с, 1000 м/с. Дисперсия в направлении, параллельном плоскости солнечного

экватора, не учитывается: ау = 0..................... 52

2.11 Распределение концентрации пыли вдоль линии х = 0 а.е., у = 10

а.е. для тех же случаев, что и на Рисунке 2.10.............. 52

2.12 Пучки траекторий частиц размером а = 300 нм (в = 1),

начинающих свое движение из участка шириной 0.5 а.е. на границе расчетной области, для различных значений дисперсии скорости пыли в направлении, перпендикулярном плоскости солнечного экватора: = 100 м/с, 200 м/с, 500 м/с, 1000 м/с. Для каждого случая для наглядности также показаны траектории, которые начинают движение с границ того же участка, но при отсутствии

хаотических скоростей........................... 54

2.13 Распределение концентрации пыли в плоскости х = 0 для частиц размером а = 300 нм и в = 1 при разных значениях дисперсии скорости пыли в направлении, параллельном плоскости солнечного экватора: = 100 м/с, 200 м/с, 500 м/с, 1000 м/с. Дисперсия в направлении, перпендикулярном плоскости солнечного экватора, не учитывается: = 0............................. 55

2.14 Распределение концентрации пыли вдоль линии х = 0 а.е., у = 10

а.е. для тех же случаев, что и на Рисунке 2.13.............. 55

2.15 Распределение концентрации пыли в плоскости х = 0 для частиц размером а = 300 нм и трех значений параметра в = 0.5,1,1.5. Стрелками белого цвета показано направление движения пылинок в невозмущенной ЛМС относительно Солнца. Пунктирные линии белого цвета, проходящие через начало координат (положение Солнца) параллельно осям, показаны для наглядности......... 57

2.16 Траектории двух частиц размером а = 300 нм и в = 1.5, которые на граничной плоскости располагаются на расстоянии 0.2 а.е. друг от друга. Штриховая линия красного цвета соответствует в-конусу (см. раздел 1.2.1). На вставках в увеличенном масштабе показано взаимное положение частиц на границе и около в-конуса. Стрелки внутри вставок показывают вектор скорости (усредненный по сегменту, представленному на вставке) пылевой частицы, траектория которой изображена в зеленом цвете............ 58

2.17 Траектории частиц размером а = 300 нм (линии черного цвета) и полярность гелиосферного магнитного поля (линии синего цвета) вдоль этих траекторий при различных значениях параметра £0. Координаты пылинок на граничной плоскости у = 100 а.е.:

х0 = 0 а.е., х0 = 1 а.е. Красными стрелками и соответствующими подписями показаны промежутки времени, когда полярность магнитного поля остается постоянной в течение достаточно продолжительных промежутков времени. Подпись и стрелка зеленого цвета (на левой верхней панели) соответствуют промежутку времени между началом двух последовательных участков траектории с одинаковой полярностью............. 60

2.18 Траектории пылинок размером а = 300 нм и в = 1 в плоскости х = 0 при различных значениях параметра ¿0. Рассматриваются траектории, которые на границе у = 100 а.е. распределены равномерно вдоль оси ^ с шагом 0.2 а.е. в промежутке [-5 а.е., 5 а.е.]. 62

2.19 Траектории и концентрация пыли вдоль этих траекторий (показана цветом), вычисленная с помощью лагранжева метода Осипцова, для частиц размером а = 300 нм и в = 1 в плоскости х = 0 при t0 = 7 лет и 14 лет. Рассматриваются траектории, которые на границе у = 100 а.е. распределены равномерно вдоль оси z с шагом 0.02 а.е. в промежутке [-1 а.е., 1 а.е.]................... 63

3.1 Зависимость коэффициента вторичной электронной эмиссии от полной энергии первичного электрона окружающей плазмы. Разный тип линий соответствует пылинкам разных размеров: штриховая - а = 10 нм; сплошная - а = 100 мн; штрих-пунктирная

- а = 1000 нм. Данные для построения графиков взяты из [63]. ... 72

3.2 Зависимость коэффициента фотоэлектронной эмиссии от энергии поглощаемого фотона для нейтральных (обладающих нулевым зарядом) пылинок. Разный тип линий соответствует пылинкам разных размеров: штриховая - а = 10 нм; сплошная - а = 100 мн; штрих-пунктирная - а = 1000 нм. Данные для построения

графиков взяты из [68]........................... 74

3.3 Система координат, которая используется в главах 3 и 4. Плоскость голубого цвета (у = 0) соответствует BV плоскости. Стрелки красного цвета показывают направление векторов скорости плазмы и индукции магнитного поля в невозмущенной ЛМС. Ось Os соответствует оси вращения Солнца. .................. 77

3.4 Распределение плотности (красная линия) и температуры (синяя линия) вдоль направления upwind, полученное из модели глобальной структуры гелиосферы [26—28]. Вертикальные штриховые линии соответствуют положению поверхностей разрыва (TS - гелиосферная ударная волна, HP - гелиопауза, BS - головная

ударная волна). .............................. 78

3.5 Значение равновесного поверхностного потенциала пылинок вдоль направления upwind. Разные цвета соответствуют пылинкам разных размеров. Вертикальные штриховые линии показывают положение поверхностей разрыва..................... 79

3.6 Зависимость токов для различных физических процессов от поверхностного потенциала пылинки размером а = 100 нм в различных частях гелиосферы и ее окрестностей: панель A - 10 а.е. от Солнца вдоль направления upwind, панель B - 100 а.е., панель C - 150 а.е., панель D - 1000 а.е. Разные цвета соответствуют токам от разных физических процессов. Линия черного цвета -алгебраическая сумма токов. Вертикальная пунктирная линия коричневого цвета показывает значение равновесного потенциала,

т.е. потенциала, при котором алгебраическая сумма токов равна нулю. 80

3.7 Изменение поверхностного потенциала при пересечении гелиопаузы для пылинок разных размеров: верхние графики (линии синего цвета) - а = 1000 нм; средние графики (красного цвета) - а = 100 нм; нижние графики (зеленого цвета) - а = 10 нм. Тип линии соответствует способу вычисления заряда: сплошные линии - с помощью уравнения (3.7), т.е. динамически; штрих-пунктирные - с помощью уравнения (3.8), т.е. равновесно. Вертикальные пунктирные линии черного цвета соответствуют пересечению пылинкой гелиопаузы из ЛМС в гелиосферу, остальные линии черного цвета - пересечению, наоборот, из гелиосферы в ЛМС. Цветные вертикальные пунктирные линии показывают момент установления равновесного заряда по критерию (3.9).......... 83

3.8 Распределение концентрации пылинок размером а = 100 нм, вычисленное с помощью метода Монте-Карло, в окрестности гелиопаузы в BV плоскости для двух способов определения заряда: панель A - с помощью уравнения (3.8), т.е. равновесно; панель B -с помощью уравнения (3.7), т.е. динамически. Линия черного цвета показывает положение гелиопаузы. Размеры ячеек расчетной области: 1 а.е. х 1 а.е. х 1 а.е., величина относительной статистической ошибки в каждой ячейке не превышает 5 %. Граничное условие в кинетической модели ставится на расстоянии Z0 = 1000 а.е. от Солнца. На панели C для наглядности представлено одномерное распределение концентрации вдоль линий х = -5.5 а.е. (графики красного цвета), х = 0.5 а.е. (синего цвета). Тип линии соответствует способу определения заряда: сплошные линии - динамически; штрих-пунктирные - равновесно........ 85

3.9 Распределение концентрации пылинок размером а =10 нм, вычисленное с помощью метода Монте-Карло, в окрестности гелиопаузы в BV плоскости для двух способов определения заряда: панель A - с помощью уравнения (3.8), т.е. равновесно; панель B -с помощью уравнения (3.7), т.е. динамически. Линия черного цвета показывает положение гелиопаузы. Размеры ячеек расчетной области: 1 а.е. х 1 а.е. х 1 а.е., величина относительной статистической ошибки в каждой ячейке не превышает 5 %. Граничное условие в кинетической модели ставится на расстоянии Z0 = 1000 а.е. от Солнца. На панели C для наглядности представлено одномерное распределение концентрации вдоль линий х = -11.5 а.е. (графики красного цвета), х = -7.5 а.е. (синего цвета), х = 1.5 а.е. (зеленого цвета). Тип линии соответствует способу определения заряда: сплошные линии - динамически; штрих-пунктирные - равновесно. .................... 87

4.1 Распределение параметров плазмы в гелиосфере и ее окрестностях вдоль направления upwind (ось z) из модели глобальной структуры гелиосферы [26—28]. Линиям красного цвета соответствуют компоненты скорости плазмы, линиям синего цвета - компоненты индукции магнитного поля. Вертикальными пунктирными линиями черного цвета показано положение поверхностей разрыва: TS -гелиосферная ударная волна, HP - гелиопауза, BS - головная ударная волна................................ 92

4.2 Распределение компоненты индукции магнитного поля Вх в плоскостях у = 0 (слева) и х = 0 (справа) из модели глобальной структуры гелиосферы [26—28]. Белыми линиями показано положение поверхностей разрыва. Стрелками черного цвета показано направление векторов скорости плазмы и индукции магнитного поля в невозмущенной ЛМС................. 93

4.3 Угол наклона плоской части токового слоя к плоскости солнечного экватора в зависимости от времени. Красная линия соответствует равномерному изменению этого угла, синяя - данным Wilcox Solar Observatory (http://wso.stanford.edu/Tilts.html). Угол наклона меняется в диапазоне от 0° до 360°, чтобы учесть переполюсовку гелиосферного магнитного поля в середине 22-летнего цикла солнечной активности................. 94

4.4 Области с положительной (красного цвета) и отрицательной (синего цвета) полярностью магнитного поля внутри гелиосферной ударной волны в плоскости у = 0 в различные моменты времени: панель A - 1986 г., панель B - 1992 г., панель C - 1997 г., панель D - 2004 г. Линия пересечения областей красного и синего цвета -гелиосферный токовый слой. Штриховая линия серого цвета -проекция плоскости солнечного экватора на плоскость у = 0, стрелкой показана ось вращения Солнца (направление на север). Для угла наклона плоской части токового слоя к плоскости солнечного экватора используются данные WSO............ 95

4.5 Области с положительной (красного цвета) и отрицательной (синего цвета) полярностью магнитного поля во внутреннем ударном слое в плоскости у = 0 (в окрестности направления upwind) в те же моменты времени, что и на Рисунке 4.4. Для угла наклона плоской части токового слоя к плоскости солнечного экватора используются данные WSO. Линиями белого цвета показано положение гелиосферной ударной волны и гелиопаузы. . . 96

4.6 Схематичное представление (в плоскости у = 0) граничных условий для модели 1 (Z0 = 1000 а.е.) и модели 2 (Z0 = 75 а.е.). Линиями черного цвета показано положение поверхностей разрыва из модели гелиосферы [26—28]. Стрелки зеленого цвета соответствуют направлению векторов скорости плазмы и индукции магнитного

поля в невозмущенной ЛМС........................ 99

4.7 Распределение концентрации частиц пыли размером а = 250 нм (в = 1.264) в плоскости у = 0 в различные моменты времени. Для вычислений была использована модель 1. Размеры ячеек расчетной области: 2 а.е. х 2 а.е. х 2 а.е. х 1 год. Линиями белого цвета показано положение гелиосферной ударной волны и гелиопаузы. Стрелки черного цвета соответствуют линиям тока...........100

4.8 Распределение концентрации частиц пыли размером а = 250 нм (в = 1.264) в плоскости х = 0 в различные моменты времени. Для вычислений была использована модель 1. Размеры ячеек расчетной области: 2 а.е. х 2 а.е. х 2 а.е. х 1 год. Линиями белого цвета показано положение гелиосферной ударной волны и гелиопаузы. Стрелки черного цвета соответствуют линиям тока...........101

4.9 Траектория частицы размером а = 250 нм от начала движения до пересечения с гелиосферной ударной волной. Слева в верхнем ряду показана трехмерная траектория, снизу - зависимости х(г) и у(х). Справа в верхнем ряду продемонстрирована зависимость компонент скорости частицы от координаты ^, снизу - в увеличенном масштабе зависимость компоненты скорости уу и полярности гелиосферного магнитного поля вдоль траектории от координаты ^ во внутреннем ударном слое. Вертикальные пунктирные линии соответствуют точкам пересечения пылинки с гелиопаузой (НР) и головной ударной волной (ББ)...........102

4.10 Компоненты скорости плазмы (сверху) и индукции магнитного поля (снизу) вдоль траектории частицы в ЛМС. Левая граница соответствует пересечению пылинки с гелиопаузой (г ~ 116 а.е.). Вертикальная пунктирная линия соответствует пересечению

частицы с головной ударной волной (ББ).................104

4.11 Распределение концентрации и средней скорости частиц пыли размером а = 250 нм в плоскостях z = const. Левый столбец соответствует плоскости z = 1000 а.е., т.е. невозмущенному потоку, средний столбец - плоскости z = 120 а.е., т.е. распределению перед гелиопаузой, правый столбец - плоскости z = 75 а.е., т.е. распределению перед гелиосферной ударной волной. В правом столбце показано распределение для промежутка времени 2003-2004 гг. (для двух других столбцов распределение является стационарным). Штриховая линия в правом столбце соответствует проекции плоскости солнечного экватора, стрелкой показана ось вращения Солнца (направление на север)................105

4.12 Распределение концентрации частиц пыли размером а = 250 нм (в = 1.264) в плоскости z = 0 в различные моменты времени. Размеры ячеек расчетной области: 0.5 а.е. х 0.5 а.е. х 0.5 а.е. х 1 год. Штриховая линия соответствует положению плоскости солнечного экватора, стрелкой показана ось вращения Солнца (направление на север)...........................107

4.13 Разность между результатами, представленными на Рисунке 4.12. . . 108

4.14 Траектории частиц размером а = 250 нм. В верхнем ряду показаны траектории в трехмерном пространстве, в нижнем ряду - проекция этих траекторий на плоскость, образованную осью вращения Солнца и вектором скорости vlism невозмущенной ЛМС относительно Солнца. Левый столбец соответствует случаю, когда частицы на плоскости z = 75 а.е. имеют скорость, равную vlism, а правый столбец - когда скорость частиц отклонена так, как если бы они прошли через гелиосферный ударный слой. Линия синего цвета соответствует оси вращения Солнца, поверхность голубого цвета -плоскости солнечного экватора......................110

4.15 Зависимость координаты у (сверху) и компоненты скорости vy (снизу) от координаты z для частицы размером а = 250 нм. Красным цветом показана траектория, для моделирования которой было использовано распределение плазмы с <Xbv = 120°, зеленым -с <Xbv = 140°. Левая граница соответствует пересечению пылинкой гелиопаузы в случае &bv = 120°......................113

4.16 (Сверху) Распределение концентрации частиц пыли размером а = 250 нм в плоскости ^ = 0 в различные моменты времени в случае, когда для распределения параметров окружающей плазмы используется модель с аву = 140°. (Снизу) Разность между распределениями, вычисленными на основе моделей гелиосферы с аВу = 120° и аВу = 140°..........................114

В.1 Зависимость безразмерного сечения столкновений а от

безразмерной кинетической энергии частицы плазмы е. Разные

цвета соответствуют разным значениям параметра V (отношение

заряда пылинки к заряду частицы плазмы). Пунктирными

линиями показаны результаты, полученные с помощью формулы

(В.6), т.е. без учета поляризации пылинки, сплошными - с

помощью формулы (В.18), т.е. с учетом поляризации..........157

В.2 Спектр солнечного (цветные пунктирные) и межзвездного

фонового (пунктирная линия черного цвета) излучения на разных

расстояниях от Солнца. Сплошными линиями показан спектр

общего (солнечного и межзвездного фонового вместе) излучения.

Разные цвета соответствуют разным расстояниям от Солнца:

красный - 10 а.е., синий - 100 а.е., зеленый - 1000 а.е.........160

В.3 Функция распределения равновесного заряда пылинок размером а =100 нм в различных точках в гелиосфере и ее окрестностях (в тех же точках, что используются для анализа на Рисунке 3.6). Вертикальная пунктирная линия черного цвета представляет собой среднее значение по распределению, линия зеленого цвета -значение равновесного заряда, вычисленное с помощью уравнения (3.8). Закрашенные области показывают для наглядности интервалы полуширины а (красного цвета), 2а (оранжевого цвета), 3а (голубого цвета) вокруг среднего значения, где а - дисперсия по распределению................................162

В.4 Отношение тед/т* в БУ плоскости (у = 0) для пылинок двух разных размеров: слева - а = 100 нм; справа - а = 1000 нм. Линиями белого цвета показано положение поверхностей разрыва в этой плоскости. Время релаксации тед вычислено с помощью выражения (В.37)..............................164

Г.1 Распределение концентрации и компонент средней скорости частиц пыли размером а = 250 нм перед гелиосферной ударной волной (в плоскости ^ = 75 а.е.). Распределение в каждом ряду соответствует определенному промежутку времени (указан в левом столбце). Размеры ячеек расчетной области: 1 а.е. х 1 а.е. х 1 а.е. х 1 год. Штриховая линия соответствует проекции плоскости солнечного экватора, стрелкой показана ось вращения Солнца (направление на

север).....................................166

Г.2 Распределение концентрации пыли в плоскости ^ = 0 в различные моменты времени для частиц размером а = 150 нм (в = 1.595). Размеры ячеек расчетной области: 0.5 а.е. х 0.5 а.е. х 0.5 а.е. х 1 год. Штриховая линия соответствует положению плоскости солнечного экватора, стрелкой показана ось вращения Солнца

(направление на север)...........................167

Г.3 Распределение концентрации пыли в плоскости ^ = 0 в различные моменты времени для частиц размером а = 200 нм (в = 1.453). Размеры ячеек расчетной области: 0.5 а.е. х 0.5 а.е. х 0.5 а.е. х 1 год. Штриховая линия соответствует положению плоскости солнечного экватора, стрелкой показана ось вращения Солнца

(направление на север)...........................168

Г.4 Распределение концентрации пыли в плоскости ^ = 0 в различные моменты времени для частиц размером а = 300 нм (в = 1.096). Размеры ячеек расчетной области: 0.5 а.е. х 0.5 а.е. х 0.5 а.е. х 1 год. Штриховая линия соответствует положению плоскости солнечного экватора, стрелкой показана ось вращения Солнца

(направление на север)...........................169

Г.5 Распределение концентрации пыли в плоскости ^ = 0 в различные моменты времени для частиц размером а = 500 нм (в = 0.639). Размеры ячеек расчетной области: 0.5 а.е. х 0.5 а.е. х 0.5 а.е. х 1 год. Штриховая линия соответствует положению плоскости солнечного экватора, стрелкой показана ось вращения Солнца

(направление на север)...........................170

Г.6 Разность между соответствующими результатами,

представленными на Рисунках Г.2 и Г.3.................171

Г.7 Разность между соответствующими результатами,

представленными на Рисунках Г.4 и Г.5.................172

Приложение А

А.1 Сглаживание функции полярности

Для того чтобы использовать лагранжев метод Осипцова, необходимо вычислить частные производные от компонент силы (1.15) по координатам х, у и z. Однако чтобы это сделать, нужно чтобы функция р = p(t. r) обладала достаточной степенью гладкости, а заданная выражением (1.18) она не просто не гладкая, но даже не непрерывная, поскольку терпит разрыв при пересечении гелиосферного токового слоя. Поэтому заменим разрывную функцию (1.18) на непрерывно-дифференцируемую функцию:

-1.

p(t, r) = P(h) = l{ 2 (!)3 -1 (!).

1.

h> 6.

6 ^ h ^ -Ь, h < -6.

(А.1)

где, как и раньше, К = пхх + пуу + пхВычислим также производную от введенной функции полярности по переменной К:

dp dh

0.

263 26.

0.

h> 6. 6 ^ h ^ -6. h < -6.

(А.2)

Поскольку функция д.р/&к, заданная выражением (А.2), является непрерывной, то р(Н) является непрерывно-дифференцируемой, чего нам вполне достаточно для возможности использования метода Осипцова. Отметим, что значение безразмерного параметра 6 должно быть достаточно мало, чтобы траектории пылинок не отличались от случая, когда функция полярности является разрывной. В данной работе для всех вычислений использовалось значение

6 = 10

-5

А.2 Производные от поля результирующей силы внутри

1 и и

гелиосферной ударной волны

Вычислим, по определению, частные производные от компонент силы (1.15) в момент времени £ в точке с координатами х,у, х, что необходимо для вычисления правой части дифференциальных уравнений на поиск компонент % в (1.35):

дЪ = - - ег Гдрх \ (А 3)

дх г3 г2 г3 \дх / дРх 3уРх ехг др

д 2 3 д

д 2 3

дРу 3хРу еуг др

дРу в — 1 3уРу ег (др

д 3 2 3

дРу 3хРу еу (др д 2 3

(&+

ЭРг в — 1 3гРг Ф" + у-)др

(А.4)

д Рх 3 % Рх ех др \ ,. -=--^Т —[д~гг + Р) (А.5)

(А.6)

дх г2 г3 дх

—^ (+р) (А7>

— % £г+р (А.8)

дт = —+ 4 + У2)ТГ + 2^) (А 9)

дх г2 г3 \ дх )

^ = — ^ + £ + Л% + (А-10)

22

дх г3 г2 + г3 дх ()

В выражениях (А.3)-(А.11) осталось только определить частные производные от функции полярности по координатам. Напомним, что по причине того, что силовые линии магнитного поля вморожены в солнечный ветер, имеем:

,х,у, х) =p(t,x, у, I) = p(h), (А.12)

где точки (£, х, у, х) и (Ь, х, у, х) связаны соотношениями (1.16). Тогда по теореме о сложной функции:

)

ду dh \ дхду ' дуду ' дхду ' д£ ду^

др dp i дНдх дНду дНдх dh dt i (А 13) д х dh х д х д д х д д х д д х

др dp I дНдх дНду дНдх дН д1 \ ,, „ <х

= + ^^ + + (А.14)

др dp i дНдх дНду дНдх дН д1 . (А 15)

дх d^ I дх дх ду дх дх дх д1дх

где dp/dk задается выражением (А.2), а производные от Н по переменным х, у, z, t:

дН • Л • / Л , Г-Л

тр = пх = sin Л sin ц, (А.16)

д х

дН . _ ,. . _N

— = nv = — sin Л cos ц (А.17)

д

Н

— = nz = cos Л, (А.18)

д

дН дпх дпч дпг — = х—— + у—+ z—— =

~ ( Л . d^

= х cos Л sin ц— + sin Л cos ц^ +

V di di)

_ ( л d^ . . Нц\

— cos Л cos ц— + sin Л sin ц— — d d

НЛ

—zsin Л—, d

(А.19)

где Л = Л(£), ( = ((£) - некоторые заданные функции углов. Для равномерного вращения токового слоя с периодами Тзс = 22 года и Тв = 25 дней будут справедливы, соответственно, следующие выражения:

Л(4) = ^ , ^ = , (А.20)

((-) ^ , . (А.21)

Т8^Ь18М & Т8^Ь18М

Отметим, что параметры Ь* и уыбм, с помощью которых в разделе 1.2.3

проводилось обезразмеривание, появляются из-за того даны в безразмерном виде. Последние производные, сать:

дх Яо У2 + 22

дх Ь* (х2 + у2 + 22)3/2'

дх Яо ух

ду Ь* (х2 + у2 + 22)3/2 ,

дх Яо гх

дг Ь* (х2 + у2 + г 2)3/2,

д^ _ Яо ух

дх Р* (х2 + у2 + 22)3/2 ,

д^ _ Яо + X2

ду Ь* (х2 + у2 + г2)3/2'

ду _ Яо уг

дг Ь* (х2 + у2 + 22)3/2 ,

дг Яо гх

дх Ь* (х2 + у2 + г 2)3/2,

дг Яо гу

ду Ь* (х2 + у2 + 22)3/2 ,

дг Яо х2 + у2

дг Ь* (х2 + У2 + ^2)3/2'

дг УЫБМ X

дх + у2 + 22

дг УЫБМ У

ду \/х2 + у2 + г2

дг УЫБМ г

дг ^ ^х2 + у2 + г2

(А.22)

(А.23)

(А.24)

(А.25)

(А.26)

(А.27)

(А.28)

(А.29)

(А.30)

(А.31)

(А.32)

(А.33)

где аналогично обезразмеривающие параметры Ь* и уцбм появляются из-за того, что переменные х, у, г даны в безразмерном виде. Отметим, что в данном

случае членами дЬ/дх,д1/ду,д1/дг не пренебрегается, хотя они и пропорциональны величине к _ Уывм/у вы ~ 0.06, потому что члены, с которыми они суммируются, пропорциональны величине Яо/Ь* ~ 0.014, т.е. имеют тот же порядок малости.

Приложение Б

Б.1 Равенство нулю компонент матрицы Якоби для траекторий,

находящихся в плоскости х = 0

Покажем, что для траекторий, которые находятся в плоскости х = 0, в случае стационарного фокусирующего токового слоя тождественно равны нулю некоторые компоненты матрицы Якоби: Зху, Зхх, Зух, Зхх. Начнем с компоненты Зху, для вычисления которой используются следующие уравнения:

а х.

а

= П

х

Ж = дРх т + Мк т + Мк т

Л = дх ихУ + ду °УУ + дх '

(Б.1)

Согласно формулам (А.4), (А.5), в плоскости х = 0 значения функций дРх/ду и дРх/дх равны нулю, поэтому получаем упрощенные уравнения для

вычисления Зху и Пху:

Л ^ху _ П

л = п ху '

_ дР:,

— д£х_ Т Л = дх иху•

(Б.2)

Решение Зху(¿) = 0, Пху(¿) = 0 удовлетворяет уравнениям (Б.2) и начальным условиям, которые для однородного потока на границе, по определению, выглядят следующим образом: Зху = 0, Пху = 0. В силу единственности решение Зху(¿) = 0, Пху(¿) = 0 и будет искомым решением для компонент Зху и Пху. Нетрудно понять, что для компоненты Зхх справедливы абсолютно аналогичные рассуждения.

Для компонент Зух и Зхх выпишем соответствующие им уравнения вместе:

ё ^ух

л

ё ^XX

Л

л

= П

х

дру. т + дру. т + дру. т

дх °хх + ду °ух + дг °*х,

= п,

(Б.3)

Ж. т + Ж т + т

дх °хх + ду °ух + дг

Согласно формулам (А.6), (А.9), в плоскости х = 0 значения функций дРу/дх и дРх/дх равны нулю (производная др/дх равна нулю для стационарного фокусирующего токового слоя), поэтому получаем упрощенные уравнения

для вычисления 3ух, 3.

<и,

УХ

<И

ух

dt

гх dt

^ух 1

= дГуТ + дГуТ = ду °УХ + дг

^XX 1

= дЦт + дЦт

= ду °УХ + дг

(Б.4)

dí _ ду "Ух

Аналогично в силу того, что и для данных компонент начальные условия будут нулевые, то решение 3ух(г) = 3гх() = 0.ух(г) = = 0 удовлетворяет

уравнениям (Б.4) и начальным условиям, поэтому является искомым.

Б.2 Алгоритм получения случайных значений для компонент начальной скорости пылинки, которые удовлетворяют нормальному

распределению

С помощью метода обратных функций [75] по значениям случайной величины у, равномерно распределенной на отрезке [0, 1], можно получать значения любой другой случайной величины с заданной плотностью распределения. Так, например, в случае, когда нужно разыграть начальные координаты частицы (х0,у0), которые распределены равномерно в некотором прямоугольнике [Х/ ,ХГ] х [1/,УГ], вводятся случайные величины ух и уу, распределенные равномерно на отрезке [0, 1]. Тогда формально из следующих выражений:

Х0 Уо

Ух ( <1х , У, = (-**- (Б.5)

Гж У хг -х , ь У 1 -1 1 ;

XI ъ

можно получить формулы, связывающие значения х0 и ух и значения у0 и уу:

Х0 = Х1 + уж(Хг -Хг), У0 = 1 + Уу(1 - 1). (Б.6)

Поэтому получая значения случайных величин ух и уу, можно с помощью формул (Б.6) получать значения случайных величин хо и уо. Для того чтобы получить значения ух и уу используются специально подобранные датчики псевдослучайных чисел [75] - последовательности чисел, которые получаются на основе сложных алгоритмов (т.е., вообще говоря, случайными не являются), и которые удовлетворяют свойствам последовательности случайных чисел.

Для случайных величин, имеющих нормальное распределение - как, например, для компонент начальной скорости пылинки уур и в выражении (2.8) - формулы, аналогичные (Б.5), выглядят следующим образом:

Однако из выражений (Б.7) не получится напрямую получить формулы, которые связывают значения уур и уюу и значения и уюх, поскольку соответствующие интегралы не выражаются в квадратурах. Это проблему можно обойти с помощью специального приема. Для определенности рассмотрим далее случайную величину уг,о.

Введем дополнительную случайную величину г^о, которая имеет такую же плотность распределения, как и уг,0. Пусть у!, у2 - случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [0, 1]. Тогда проведем следующую цепочку преобразований:

(Б.7)

— 00

— 00

— 00 —00

J ! ехР ^ —2 +2 = /уг = + , Уф = агС;ап ^^^ /

«2,0

—оо —оо

о о

о

о

(Б.8)

После этого можно выразить значения случайных величин, г>ф;о и vro через значения y1 и у2:

vip,o = 2nyi, vr,o = - ln(1 - 72), (Б.9)

что позволяет с помощью обратной замены выразить значение случайной величины vz,0 через у1 и у2:

Vz,o = Oz\/- ln(1 - Y2) cos (2nYi). (Б.10)

Для получения значения случайной величины vVi0 процедура будет аналогичной.

Приложение В

В.1 Сечение столкновений пылинки с частицами плазмы

В.1.1 Обычное кулоновское взаимодействие

Рассмотрим пылинку радиусом а с зарядом ( = Ze (^ - целое число) и частицу плазмы с зарядом ^ = Zie и массой mi, движущуюся со скоростью V относительно пылинки на достаточно большом расстоянии от нее (на бесконечности). Получим выражение для сечения столкновений в случае, когда учитывается только обычное кулоновское взаимодействие между заряженными частицами. В этом случае потенциал взаимодействия между пылинкой и частицей плазмы будет равен (напомним, что мы используем Гауссовы единицы измерения):

Фо,,( Z,r) = (В.1)

где г - расстояние между центром пылинки и частицей плазмы. Используя законы сохранения полной механической энергии и момента импульса частицы плазмы, можно выписать следующие уравнения:

т^у2 = т^2 . д^е

2 = 2 п , (В.2)

У*Г* = V Ьо,г,

где г* - кратчайшее расстояние между пылинкой и частицей плазмы, V* - скорость частицы плазмы в точке, где достигается кратчайшее расстояние г*, Ь0^ - расстояние от частицы плазмы до линии, параллельной скорости этой частицы и проходящей через центр пылинки, в начальный момент времени, когда частица плазмы находилась на достаточно большом расстоянии от пылинки (прицельный параметр). Тогда, для того чтобы вычислить сечение столкновений в данном случае, нужно предположить, что г* = а, и исключить из системы уравнений (В.2) параметр V*, в результате чего получится следующее уравнение:

2 2а2 а

откуда можно выразить искомое сечение с"о,г [76]:

2 2Ъ\г д^е - +— , (В.3)

с,,, = < = па2 1 - ^ ) (В.4)

т^у2а

Для удобства введем безразмерные параметры:

)

т^2а л

О 2 ' У * = -' ао, г = -:

2с/2 дг па

и в безразмерном виде получим следующее выражение для сечения:

тги и, л со,г /-П ГХ

Р = о 2 , V = —, Оо,г = —^, (В.5)

22

а0,г = 1 - -, (В.6)

р ■

которое справедливо при — ^ 1. При — > 1 получаем, что кинетическая энергия частицы плазмы на бесконечности меньше, чем потенциальная энергия взаимодействия частиц пыли и плазмы на поверхности пылинки, т.е. столкновения не происходит, и в этом случае, соответственно, ао,« = 0.

В.1.2 Учет поляризации пылинки под действием электрического

поля частицы плазмы

Кулоновский потенциал (В.1) учитывает взаимодействие между пылинкой и частицей плазмы, как если бы они были двумя точечными зарядами. Однако размеры пылинки существенно больше размеров частицы плазмы, поэтому пылинка поляризуется под действием электрического поля, создаваемого заряженной частицей плазмы. В результате потенциал взаимодействия между пылинкой и частицей плазмы несколько видоизменяется, по сравнению с обычным кулоновским потенциалом, и будет выглядеть следующим образом [см. параграф 2.3 в 77]:

Ф!, , ( г, Г) = ^ - «2о1_.. (В.7)

г 2г2 (г2 — а2)