Относительные равновесия маятниковых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Евдокименко, Артем Петрович

• Евдокименко, Артем Петрович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Евдокименко, Артем Петрович

Введение

Глава 1. Устойчивость и ветвление относительных равновесий математического маятника с точкой подвеса, скользящей по вращающейся эллиптической рамке

1.1 Постановка задачи

1.2 Тривиальные относительные равновесия и их устойчи- 11 вость

1.3 Преобразование уравнений

1.4 Разложения решений по параметру в случае А ф 0 и 16 А ф V - 2 ^ ф 1 и щр ф 1)

1.5 Разложения решений по параметру в случае А — и — 2 20 (ря/л = 1)

1.6 Разложения решений по параметру в случае А = те = 1)

1.7 Бифуркационная диаграмма

1.8 Таблица 1.1. Конфигурации маятника

1.9 Рисунки

Глава 2. Устойчивость и ветвление относительных равновесий трехзвенного маятника во вращающейся системе отсчета

2.1 Постановка задачи

2.2 Тривиальные положения равновесия и их устойчи- 32 вость

2.3 Преобразование уравнений

2.4 Исследование устойчивости решений

2.5 Предельные решения

2.6 Разложения решений, ответвляющихся от собственных предельных точек и их устойчивость

2.6.1 Решения, ответвляющиеся от точки (0,0)

2.6.2 Решения, ответвляющиеся от точки (0, У0~)

2.6.3 Решения, ответвляющиеся от точки (0,

2.6.4 Решения, ответвляющиеся от точки (Хц , 0)

2.6.5 Решения, ответвляющиеся от точки

2.6.6 Решения, ответвляющиеся от ненулевых пре- 55 дельных точек

2.7 Решения, для которых одна или обе переменные неограничены при е —>

2.7.1 Решения, для которых X —> 0, У —¥ оо при 56 е ->

2.7.2 Решения, для которых X —А ф 0, У —оо, 56 при е

2.7.3 Решения, для которых обе переменные стре- 57 мятся к бесконечности при е ->

2.8 Бифуркационная диаграмма

2.9 Таблица 2.1. Конфигурации маятника

2.10 Рисунки 73 Приложение

П.1 Построение разложений решений, ответвляющихся от 77 точек (О,!^), по параметру и их устойчивость

П.2 Построение разложений решений, ответвляющихся от точки (X¿",0), по параметру и их устойчивость П.З Построение разложений решений, ответвляющихся от точки (Хо~,0), по параметру и их устойчивость П.4 Построение разложений решений, ответвляющихся от 97 ненулевых предельных точек, по параметру и их устойчивость

П.5 Построение разложений по параметру решений вида

X -)> 0, У -» оо, при е ->• О П.6 Построение разложений по параметру решений вида

X А ф О, Y оо, при е О П.7 Построение разложений по параметру решений, для 114 которых обе переменные стремятся к бесконечности при е —0, и их устойчивость

Глава 3. Устойчивость и ветвление установившихся движений гиростата, подвешенного на стержне в центральном гравитационном поле

3.1 Постановка задачи

3.2 Простейшие семейства установившихся движений и их 131 устойчивость

3.3 Дальнейшее исследование семейств установившихся 140 движений

3.4 Рисунки

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Относительные равновесия маятниковых систем»

Динамика многозвенных систем представляет собой быстро развивающийся и, одновременно, один из самых трудных разделов теоретической механики. Интерес к подобным задачам обусловлен их многочисленными приложениями в таких разделах механики, как робототехника и динамика космического полета. При этом основная трудность в изучении таких систем обуславливается наличием многих степеней свободы и связанной с ней необходимостью анализа большого числа нелинейных уравнений со многими неизвестными. В диссертации рассмотрены несколько частных случаев систем многих тел: маятниковые системы в однородном и центральном поле тяготения.

Изучение динамики тела, подвешенного на струне (стержне) к вращающейся вокруг вертикали горизонтальной оси, в однородном поле тяжести берет свое начало в экспериментальных исследованиях, проводившихся под руководством М.А. Лаврентьева. Теоретические исследования динамики тела со струнным приводом развивались А.Ю. Ишлинским, В.В. Румянцевым, С.А. Мирером, В.А. Сарычевым и многими другими [1, 14-17, 22-24, 26].

Так, В.В. Румянцевым [26] были выведены уравнения движения тела и проведен их анализ, в частности, показано существование интегралов энергии и площадей. Особый интерес вызвали частные решения уравнений движений, названные перманентными вращениями, т.е. такие движения, при которых тело и струна вращаются вокруг вертикали как единое целое, а в системе координат, вращающейся вместе с телом, они находятся в положении относительного равновесия, а также предельные движения системы, т.е. ее поведение при больших угловых скоростях. Исследованию этих вопросов посвящено большое число работ (см. обзоры [17], [24]), в частности, перманетные вращения осесимметричного тела с подвесом, смещенным с оси симметрии, ист следовались в [15], его предельные режимы - в [16]. В случав крепления подвеса к оси симметрии полное исследование перманетных вращений выполнено в [14], [23], предельные режимы исследованы в [22].

Рассмотренная в настоящей работе маятниковая система в центральном гравитационном поле тяготения представляет собой частный случай орбитальной тросовой системы (ТС), т.е. системы нескольких твердых тел или точек с наложенными на них связями, допускающими их относительное перемещение, в космическом пространстве.

Впервые идею практического использования тросовых систем в космических исследованиях высказал К.Э.Циолковский [31]. Свое дальнейшее развитие она получила в проекте Ю.Н. Арцутанова «космический лифт», который предложил использовать трос, одним концом закрепленный на Земле а другим концом находящийся на орбите или другом небесном теле, для доставок груза или межпланетного переле-^ та [2]. Однако теоретический расчет [39] показал невозможность реализовать такой проект из-за отсутствия материалов необходимой прочности. В последние годы развитие нанотехнологий и связанная с этим возможность получения сверхпрочных и сверхтонких волокон позволили дать подобным проектам «второе дыхание», в частности, один из проектов HACA предусматривает построение системы типа «космический лифт» к 2050 году.

В дальнейшем было предложено более 20-ти различных вариантов применения тросовых систем в космосе [3], их число постоянно растет. Фундаментальные результаты в исследовании динамики орбитальных тросовых систем принадлежат В.В. Белецкому [3]. Задаче динамики орбитальных тросовых систем посвящено большое количество теоретических исследований, предложены различные модели тросовой системы различной степени сложности, начиная с модели двух точек, связанных невесомой нерастяжимой нитью, до модели нескольких тел или гиростатов), связанных весомым деформируемым тросом, учтены также возможные ударные взаимодействия в таких системах. Классифицированы возмущающие факторы, влияющие на движение ТС (несферичность Земли, неидеальность троса, влияние атмосферы, магнитных и электрических сил, возникающих в тросе, светового давления), даны их численные оценки [4], [5-7], [9-13], [19,20], [25], [27-29], [33-49].

Проведены исследования в космосе с экспериментальными орбитальными тросовыми системами [34].

Большое число работ посвящено также вопросам управления орбитальными объектами с помощью тросовых систем [34], [36], [41-46].

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы. Во введении обосновывается актуальность темы, ее научная новизна, дается краткий исторический обзор и краткое содержание диссертации.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Евдокименко, Артем Петрович

Заключение

В диссертации рассмотрены три задачи об относительных равновесиях маятниковых систем: относительные равновесия маятников в однородном и центральном поле тяготения. Было показано, что, несмотря на относительную простоту изучаемых моделей, рассмотренные механические системы обладают достаточно большим набором нетривиальных равновесных конфигураций. В процессе анализа также была получена единая структура уравнений для определения относительных равновесий во всех трех задачах. Было показано, что для всех рассмотренных механических систем эти уравнения представимы в виде В(х)х = 0, где В (ж) - матрица, х - вектор. Используя указанную структуру уравнений, исследование относительных равновесий возможно было провести по единой схеме во всех случаях, при этом для маятника на эллиптической рамке и для тройного маятника при больших угловых скоростях исследование проведено полностью.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Евдокименко, Артем Петрович, 2004 год

1. А гарева О.Ю. О перманетных вращениях осесимметричного тела, подвешенного на струне // Вестн. Моск. ун-та. Сер 1. Мат. Мех. 1987. т. С. 45-51.

2. Арцутанов Ю.Н. В космос без ракет // Знание-сила. 1969. №7. С. 25.

3. Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. М.:Наука, 1990. 329 с.

4. Белецкий В.В., Новикова Е. Т. О пространственном движении связки двух тел на орбите // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. №5. С. 23-28.

5. Белецкий В.В. Прикладные задачи динамических биллиардов // Нелинейная механика/ под ред. В.М. Матросова и др. М.:Физмат-лит, 2001. С. 402-430.

6. Болотина Н.Е., Вильке В. Г. Об устойчивости положений равновесия гибкой тажелой нити, привязанной к спутнику на круговой орбите // Космич. исследования. 1978. Т.16. №4. С. 621-626.

7. Бурое А.А., Трогер X. Об относительных равновесиях подвешенного на тросе гиростата в центральном ньютоновском поле // ПММ. 1998. Т.62. №. С. 1049-1052.

8. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.:Наука, 1969. 528 с.

9. Верещагин И.Ф., Иванов А.П. Об относительном движении связки твердого тела и точки на круговой орбите // Проблемы аналитической механики, теории устойчивости и управления. М.:Наука, 1975. С. 105-109.

10. Воронцова В. JI. Влияние аэродинамики на вращение и ориентацию искусственного спутника-связки двух тел / / Автореферат на соискание уч. ст. кандидата физ.-мат. наук. М.:2000. 12 с.

11. Докучаев Л.В., Ефименко Г. Г. Влияние атмосферы на относительное движение связки двух тел на орбите // Космич. исследования. 1972. Т.10. т С. 57-65.

12. Ефименко Г.Г. Пространственное движение связки двух тел под действием гравитационных и аэродинамических сил // Космич. исследования. 1973. Т.Н. №3 С. 484-486.

13. Жук В.И., Шахов Е.М. О колебаниях спутника-зонда малой массы под действием аэродинамических и гравитационных сил // Космич. исследования. 1990. Т.28. №6. С. 820-830.

14. Исаков A.B., Мирер С.А., Сарычев В.А. Положения относительного равновесия осесимметричного тела, подвешенного на стержне // Препринт Ин-та Прикладной математики АН СССР. 1987. №94. 36 с.

15. Ишлинский А.Ю., Стороженко В.А., Темченко М.Е. О движении осесимметричного твердого тела, подвешенного на струне // Изв. АН СССР, МТТ. 1979. №. С. 3-16.

16. Ишлинский А.Ю., Стороженко В.А., Темченко М.Е. О стационарных движениях вращающегося на струне осесимметричного твердого тела // Динамика и устойчивость управляемых систем. Киев.: Институт математики АН УССР. 1977. С. 3-20.

17. Ишлинский А.Ю., Стороженко В.А., Темченко М.Е. Динамика быстровращающихся на струне твердых тел и некоторые смежные вопросы (обзор) // Прикладная механика. 1994. Т.ЗО. №8. С. 3-30.

18. Карапетян A.B. Устойчивость стационарных движений. М.: Эди-ториал УРСС, 1998. 165 с.

19. Косенко И. И. Вычислительная модель ударных взаимодействий в орбитальной тросовой системе / / Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. Часть 1. М.: ВЦ РАН, 2001. С. 37-51.

20. Косенко И.И. Степанов С. Я. Устойчивость положений относительного равновесия орбитальной связки с учетом ударных взаимодействий / / Тезисы XXVIII академических чтений по космонавтике. М.:2004.

21. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.:Наука, 1975. 432 с.

22. Мирер С. А., Одинцова С.А., Сарычев В.А. Предельные стационарные режимы твердого тела на струнном приводе // ПММ. 1989. Т.53. т. С. 38-44.

23. Мирер С.А., Одинцова С.А., Сарычев В.А. Перманетные вращения осесимметричного тела на стержне. Классификация систем // Препринт Ин-та Прикладной математики АН СССР. 1987. № 170. 28 с.

24. Мирер С.А., Сарычев В.А. О стационарных движениях тела на струнном подвесе // Нелинейная механика/ под ред. В.М. Мат-росова и др. М.:Физматлит, 2001. С. 281-322.

25. Набиуллин М.К. Устойчивость и стабилизация положений равновесия орбитальной тросовой системы // Нелинейная механика/ под ред. В.М. Матросова и др. М.:Физматлит, 2001. С. 402-430.

26. Румянцев В.В. К динамике тела, подвешенного на струне // Изв. АН СССР, МТТ. 1983. №. С. 5-15.

27. Садов Ю.А. Об устойчивости равновесных конфигураций орбитальной тросовой системы с невесомым тросом в однородной атмосфере // Тезисы XXVIII академических чтений по космонавтике. М.:2004.

28. Сарычев В. А. Положения равновесия маятника в спутнике // Кос-мич. исследования. 2000. Т.38. №1. С. 71-77.

29. Сарычев В. А. Положения равновесия системы спутник-несимметричный маятник на круговой орбите // Космич. исследования. 2000. Т.38. №4. С. 412-422.

30. Степанов С. Я. Симметризация критериев знакоопределенности симметричных квадратичных форм// ПММ. 2002. Т.66. №6. С. 979-987

31. Циолковский К.Э. Путь к звездам. М.:Изд-во АН СССР, 1967.

32. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.:ГТТИ, 1946. 204 с.

33. Burov АTroger Н. On relative equilibria of an orbital pendulum suspended with a tether / / Вторые Поляховские чтения: Избранные труды. Спб.:Изд-во Нии Химии С.-Петербургского ун-та. 2000. С. 73-81.

34. Angrilli F., Bortolami S.B., Lorezini Е.С., Rupp С. С. Control and Flight Performance of Tethered Satellite Small Expendable Deployment System-II //J. Guidance. 1986. Vol. 10. №. P. 233-241.

35. Ashenberg J., Lorezini E.C. Dynamics of a Dual-Probe Tethered System //J.Guidance. Vol.20. №6. P. 1265-1271.

36. Banerjee A.K., Kane T.R. Pointing Control, with Tethers as Actuar tors, of a Space Station Supported Platform // J. Guidance. 1992. Vol. 16. №. 396-399.

37. Burov A. A. On collinear relative equilibrium of a tethered gyrostat in a central Newtonian field // Institut fur Mechanik Technische, Universitat Wien, 1996, 32 pp.

38. Crellin E.B., Janssens F., Poelaert D., Steiner W., Troger H. On Balance and Variational Formulations of the Equation of Motion of a Body Deploing Along a Cable // J. of Applied Mechanics. 1997. Vol. 64. June. P. 369-374.

39. Isaacs J.D., Vine A.S., Brander H., Backus G.E. Satellite elongation into a true "Skyhook"// Science. 1966. Vol.151, №.3711. P.682.

40. Kumar P., Pellegrino S. Kinematic bifurcations in the simulation of deployable structures // Computational Methods for Shell and Spatial Structures IASS-IACM 2000, Athens. Greece.

41. Kumar K., Kumar K.D. Tethered dual spacecraft configuration: a solution to attitude control problems //Aerosp. Sci. Technol. 4(2000). P. 495-505.

42. Martinez-Sanches M., Gavit S.A. Orbital Modifications Using Forced Tether-Length Variations //J. Guidance. 1986. Vol. 10. №3. P. 233241.

43. Misra A.K., Modi V.J. Deployment and Retrieval of Shuttle Supported Tethred Satellites //J. Guidance. 1981. Vol. 5. №3. P. 278-285.

44. Moccia A., Vetrella S., Grossi M. Attitude Dynamics and Control of a Vertical Interferometric Radar Tethered Altimeter // J.Guidance. 16 (1993). P. 264-269.

45. No T.S., Cochran J.E. Jr. Dynamics and Control of Tethered Flight Vehicle // J. Guidance. 1995. Vol. 18. №. P. 66-72.

46. Pascal M., Djebli A., El Bakkali L. On Fast Retrival Law for Tethered Satellite // Acta Astronáutica. 2002. Vol.56 №8 P. 461-470.

47. Schagerl M., Steindl A., Troger H. Dynamical analysis of the deployment process of tethered satellite systems // IUTAM-IASS Symposium on Deployable Structures: Theory and Applications. Kluwer Acad. Publ. 2000. P. 345-354.

48. J.L. Synge On the behaviour, according to newtonian theory, of a plumb line or pendulum attached to an artificial satellite // Proc. R.I.A. 1959. Vol. 60 Sec. A. P. 1-6.

49. Li Sheng Wang, Shuh-Jye Ghern, Chin-Wen Shin On the Dynamics of a Tethered Satellite System // Arch. Rational. Mech. Anal. 127 (1994). P. 297-318.

50. Евдокименко А.П. О положениях равновесия трехзвенного маятника с вращающейся точкой подвеса // Вестн. Моск. ун-та. Сер I. Мат. Мех. 2000. № С. 52-54.

51. Евдокименко А.П. Об устойчивости и бифуркации установившихся движений симметричного гиростата, подвешенного на стержне в центральном гравитационном поле // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. Часть 1. М.: ВЦ РАН, 2001. С. 134-147.

52. Евдокименко А.П. Об установившихся движениях гиростата, подвешенного на стержне в центральном гравитационном поле // ПММ. 2005. (принята к печати)j