Оценки линейных функционалов в классе ограниченных функций, не принимающих нулевого значения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Романова, Светлана Владимировна

• Романова, Светлана Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Романова, Светлана Владимировна

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ В КЛАССЕ В.

§ 1. Дифференциальные уравнения типа Левнера.

§2. Формализация экстремальных задач в классе В.

§3. Общий вид коэффициентов для экстремальной функции линейного непрерывного функционала.

§4. Асимптотические оценки линейных функционалов.

Глава 2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ

ФУНКЦИОНАЛОВ В КЛАССЕ В.

§5. Необходимые условия локального экстремума для канонических функций

§6. Достаточные условия локального экстремума для канонических функций.

§7. Достаточные условия локального максимума для канонических функций в случае п=2,3,

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценки линейных функционалов в классе ограниченных функций, не принимающих нулевого значения»

Проблема оценки тейлоровских коэффициентов в различных классах аналитических функций является одной из центральных в геометрической теории функций комплексного переменного.

В данной диссертации рассматривается класс В - аналитических в единичном круге

D = {z: \z\ < 1} функций / с разложением +0,2 + ., которые удовлетворяют в D условию:

Задача об оценке коэффициентов заключается в определении sup \ап\. еД

Существование экстремальной функции для этой задачи очевидно, поскольку В представляет собой нормальное семейство, которое становится компактным, если к нему присоединить функцию /(2) = 0. Так как функция, тождественно равная нулю, не может давать решения задачи, то экстремальная функция принадлежит классу В.

Ясно, что тах|я0| = 1. Оценка для первого коэффициента появилась в [1] в ей

1932 году и в явном виде доказана в [2]. Для \а2\ точная оценка была получена во многих работах (см. [3], [4]).

В 1968 году Кшиж [5] высказал гипотезу об оценке коэффициентов в этом классе функций, а именно, он предположил, что 2 max! a J = -,Vw > 1, /«л1 п1е с равенством для функций вида AF(fc"), где \Я\ - Щ = 1 и

F(z) = exd- = - + - z +. 1J e e

В 1977 году Хамел, Шейнберг, Зальцман [3] вариационным методом получили оценку для \а}\. Позднее Браун [13], Делин Тан [42], Эрмерс[8] и другие доказали, что шах|а4| = -. Во всех этих работах было значительное использование компьютерных вычислений. Оценку для пятого коэффициента получил Самарис [39].

Кроме того, тривиальная оценка \ап\ <, \,п = 1,2,. была улучшена

Хоровицем [7] а„\ <, 1 —~ + -sin — = 0.9998. ' л| Ъл л 12 и в [8] получено незначительное улучшение этой оценки kl<:- + -sin— = 0.9991. 1 5 л 20 2

Но обе эти оценки довольно далеки от - = 0.75.

Поскольку класс В инвариантен относительно вращения, можно ограничить рассмотрение такими функциями/из класса В, для которых ao=f(0)>0. Ввиду неравенства о <а0<\, можно положить а0 - е~', где 0 < / < «>.

Класс функций /еВ, для которых а0 = обозначим через В(t).Ясно, что всякую функцию класса B(t) можно представить в виде /(г) = e~'p(z), где p(z) функция класса Каратеодори Р, то есть таких аналитических в D функций которые удовлетворяют условию Re p{z) > 0, г е D.

Существует аналитическая в D функция <y(z), такая что если / е £(/), то где |a?(z)|^ 1 ,:еДю(0) = 0.

Напомним, что функция f(z) называется подчиненной в D функции F(z), f(z) -< F(z), если она может быть представлена в D в форме f(z)=F(a(z)), гдеeo(z) любая функция, удовлетворяющая условиям леммы Шварца [9]. Формулу (1) можно записать следующим образом

В статьях [3], [4] техника метода подчинения была применена к классу В. Основным средством метода подчинения является теорема Рогозинского [10] и теорема Каратеодори [11].

В [4] с помощью метода подчинения получаются оценки для |a,J и \а2\

1) а,| <2/<г'для всех />0 и

2/<Г',0</£2 (2/2 -2/)е"',/>2. 2

Отсюда видно, что |а2| < е

Применение метода подчинения позволяет также получить асимптотические оценки для [ал| при /, близких к 0, или при достаточно больших t.

Обозначим

В [4] приведены следующие теоремы. Теорема А

Пусть п>0 фиксированное целое. Тогда существует число т{п) < 1 такое, что для любой функции/е В, для которой |я0[ > т(п), имеем \а„\ £ 4, где |я0) = е~', \\mm{n) = 1.

Теорема В

Пусть п>1 фиксированное целое. Тогда существует число М(п)>0 такое, что для любой функции f е В, для которой |я0| £ М(п), имеем \а„\ <, Д,, где \а0\ = е~',

Mm М(п) = 0.

Поскольку класс В тесно связан с классом Р, то в классе В имеется интегральное представление для функций этого класса. Используя это интегральное представление авторы работы [3] привели дифференциальное уравнение типа Левнера для класса B(t). С помощью этого уравнения в той же работе были получены оценки для |д,|,|а2|. Но попытка применить теорию

Левнера к задаче об оценке коэффициентов приводит к очень сложным вычислениям для «>3. Однако для /7=3 может быть применен вариационный метод. К сожалению, вычисления для nt 4 становятся тоже весьма сложными. В [3] приведен также следующий результат. Теорема С zn А

Для любого п > 1 функция Fx (z") = exd —— доставляет строгий локальный максимум для Кеапсреди всех функций / е В, удовлетворяющих условию /(0) > 0.

В этой же работе поставлены некоторые задачи о возможном расширении гипотезы Кшижа, а также задачи об оценке коэффициентов в некоторых подклассах класса В.

В подклассе Bs однолистных функций авторы [3] доказали результат. Теорема D оо

Пусть f(z) = ^anz" принадлежит классу Bs. п-0

Тогда |а,| < 12 - 8-72. Оценка точна и реализуется функцией g(z), отображающей D на единичной круг с разрезом вдоль (-1,0], для которой g(0) = л/2-1.

В дальнейшем Прохоров, Шинал [12] получили оценку в Bs для второго коэффициента методом оптимизации:

1 21 (1 + df где d* = 0.1414. корень уравнения d4 + Ad3 + 6d2 -&d+l = o. Оценка точна и достигается для функции f(2) = V(1 + <ff - 2(1 -6d* + dt2)z + (1 + d')2z2 -(l-d'Xl- z) + d*)2 - 2(1 - 6d* + d'2)z + (1 + d'fz2 + (1 - d'yi - z)' отображающей единичный круг на круг с радиальным разрезом вдоль (-1,0].

Авторы статьи [3] поставили также задачу об оценке в классе B(tf) функций класса В, принадлежащих также классу Харди ff, \<>р<ю. Ясно, что В = £(#").

Было высказано предположение, что max \а \ = I — Г, где — + — = 1, \е) р q и максимум достигается для функции 1 z"-l ехРзг z" +1

Некоторые результаты в этом подклассе были получены Брауном [13] и Раджгопалом [14].

Было предложено также рассматривать класс ограниченных функций, не принимающих некоторого значения а > 0. Самарис [15] нашел оценки в этом классе для |a0l>kl>M > зависящие от а.

В общем случае гипотеза Кшижа представляет собой очень сложную задачу. Фактически задача об оценке коэффициентов в классе В эквивалентна задаче об оценке нелинейного функционала, зависящего от коэффициентов plt р2,. ,р„ в классе Каратеодори.

Для иллюстрации сложности задачи об оценке коэффициентов приведем результат для одного подкласса. В [16] рассматривается подкласс B0(n)czB, порождаемый классом Р(п) с.Р со свойствамир2~рз~••• =pn-i=0. Справедлива следующая теорема. Теорема Е

Пусть п=3,4,. данное целое и предположим, что а) Если 1/7,1 < 1 и к = л/1-|а|2 , то имеем: п

1 k2)l

1 + £)п-(1-£)п v п\

-(1 -к*Г-г. '</,(*) п\ •

Kl^te".

1 + £)"*' - (1 - £)"*' - 2к{\ - к2 У t p f/-'

1 + Лг)" - (1 - Лг)" ' п\ ' где

Ь) Если |рх\ = 1, то имеем с) Если 1< и то имеем cos<p = г^-г, sin (р = rif -1, т т к! sin(w + \)<р + sin <p

1 Г1 co&(psmnq> cos"<р п\ sin(« +1 )<р t<t2{<p) t = t2iv) cos<psmn<p sin(w + l)0>-sin^

1 Г1 cos q> sin n ф cos" ф n\ где t2{(p) = n) cos^Vsin^l"-1 л ^ ^ я sm пф 0<,ф<> n +1

Все приведенные выше оценки точны.

Используя эту теорему, Левандовский, Шинал доказывают оценку \а\<>- в е классе В0(п) для п=3,4,.

Также в работе [17] были получены точные оценки еще в одном подклассе В. Там рассматривался класс В0(п, к) с В, порождаемый классом Р(п,к)аР, содержащим функции p(z) класса Каратеодори со свойствами рi~P2~■■■ =Ры=Рк+1=- —pn-i=0. Для подкласса В0(п,к) гипотеза Кшижа также доказана.

Важную роль в задаче об оценке коэффициентов играют функции Ft(z), выступающие в роли канонических. Даже для этих функций доказательство гипотезы Кшижа очень сложно. Это связано со сложностью формулы для Ап\ которые тесно связаны с многочленами Лагерра (см. [18]). Используя определение полиномов Лагерра порядка а:

J0 w- zeD'l>0легко получаем, что п-0 и таким образом, справедлива формула

4,(0 = е~%1)(20, л = 1,2. 4,(0•

В [19] Батеман определил так называемые k-функции по формуле я

1 * кп(х) = -jcos(xtg0-пв)с1в, х>0,п = 0,1,2,. и заметил, что Te~xL?\2x).

Для A„(t) имеется следующее интегральное представление

An{t) = {-\)n^\cos{ttge-2ne)det t> 0, п = 1,2,.

Отсюда видно, что оценки для |йги| и в частности для |Д,(/)| важны также и в области ортогональных многочленов. Коэпф и Шмерсау [20] были первыми, кто обнаружил связь между гипотезой Кшижа и k-функциями Батемана и доказали некоторые глубокие результаты, касающиеся этих функций и полиномов Лагерра [20].

Из результатов Руни [21] е

-ГСф2

2 пГ п-1,2. 2

2я+1/2«!' видим, что 2

Конечно, константа Л/„ не наилучшая, но она меньше - для п > 5. е

Задача об оценке линейных функционалов является основной темой данной диссертации. Актуальность задачи иллюстрируется проблемой Ландау[22], который в классе ограниченных функций получил точную оценку для функционала |а, +а2 + .+а„|, эквивалентную оценке линейного функционала

Re(fl, +а2 +. + ап).

Левандовский, Шинал [23] рассматривали проблему Ландау в классе В и получили, что

Обе оценки точны.

Перейдем теперь к разъяснению содержания и структуры диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, которые содержат семь

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Романова, Светлана Владимировна, 2003 год

1. Levin V., Aufgabe 163, Jber. Deutsch. Math.-Verein. 43 (1933), 113; Losung, ibid. 44(1934), 80-83 (solutions by W. Fenchel and E. Reissner).

2. Shapiro H. S., Problem 4468, Amer. Math. Monthly 59 (1952), 45; solution (by M. S. Robertson) ibid. 60 (1953), 131-132.

3. Hummel J. A., Scheinberg S., Zalcman L. A coefficient problem for bounded nonvanishing functions // i. Analyse Math. 1977. - vol. 31.- p. 169-190.

4. Peretz R. Applications of subordination theory to the class of bounded nonvanishing functions //Complex Variables. 1992. - vol. 17.- p. 213-222.

5. Krzyz J. Coefficient problem for bounded nonvanishing functions // Ann. Polon. Math. -1968. vol. 70.- p. 314.

6. Peretz R. The Krzyz problem and polynomials with zeros on the unit circle// Computational Methods and Function Theory 2001: Abstracts of the Fourth CMFT Conference, Aveiro (Portugal), June 25-29, 2001. p. 75.

7. Horowitz C. Coefficients of nonvanishing functions inH"// Israel J. Math. — 1978.-vol. 30.-p. 285-291.

8. Ermers R. Coefficient estimates for bounded nonvanishing functions // Wibro Dissertatiedrukkerij, Helmond, 1990.

9. Prokhorov D. V., Szynal J. Coefficient estimates for bounded nonvanishing functions// Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. mathem. 1981.- vol. 29.-no. 5-6.- p. 223-230.

10. Brown J. E .On a coefficient problem for nonvanishing Iffunctions// Complex Variables.- 1985.- vol. 4.-p.253-265.

11. Rajagopal С. T. On inequalities for analytic functions// Amer. Math. Monthly.- 1963.- vol.60.-p. 693-695.

12. Samaris N. An extension of Krzyz's conjencture// J. Сотр. Appl. Math.-2001.-vol. 137.-p. 13-18.

13. Lewandowski Z., Szynal J. On the Krzyz conjecture and related problems, in: Laine, Martio (Eds.), XVIth Rolf Nevanlinna Colloquium, Walter de Gruyter, Berlin.- 1996.- p. 257-268.

14. Lewandowski Z., Szynal J. On the Krzyz conjecture and related problems II// Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska, Sect.A.- 1998.- vol. 52.- N1.- p. 73-82.

15. Lewandowski Z., Szynal J. An upper boundfor the Laguerre polynomials// J. Сотр. Appl. Math.-1998.- vol. 99.-p. 529-533.

16. Bateman H. The к-function, a particular of the confluent Hypergeometricfunction// Trans. Amer. Math. Soc.-1931.-vol. 33.-p. 817-831.

17. Koepf W., Schmersau D. Bounded nonvanishing functions and Bateman functions// Complex Variables- 1994.- vol. 25.- p. 237-259.

18. Rooney P. G. Further inequalities for generalized Laguerre polynomials// C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada- 1985.- vol. 7.- p. 273-275.

19. Landau E.Abschatzungen der Koefftcientsumme einer Potenzreihe// Arch. Math. Phys. -1913.-21.-p. 42-50.

20. Lewandowski Z., Szynal J. The Landau problem for bounded nonvanishing functions//J. Сотр. Appl. Math.- 1999.-vol. 105.-p. 367-369.

21. Александров И. А., Параметрические продолжения в теории однолистных функций, М.: Наука, 1976.-344с.

22. Романова С. В., Асимптотические оценки линейных функционалов для ограниченных функций, не принимающих нулевого значения// Современные проблемы теории функций и их приложения :тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы.-Саратов.-2002.-с. 172-173.

23. Романова С. В., Асимптотические оценки линейных функционалов для ограниченных функций, не принимающих нулевого значения// Известия вузов. Математика.-2002.-№ 11.-С.83-85.

24. Романова С. В., Оценки линейных функционалов для ограниченных функций, не принимающих нулевого значения//Ыжшжш&. Механика.: Сб. науч. тр. 2002. Вып. 4. С. 123-125.

25. Романова С. В., Свойства линейных функционалов для ограниченныхфункций, не принимающих нулевого значения// Саратов. Гос. ун-т.-Саратов,2002.-13с.- Деп. в ВИНИТИ 25.06.02, N 1180-В2002.

26. Peretz R. Some properties of extremalfunctions for Krzyz problem// Complex Variables.-1991.-vol. 16.-p. 1-7.

27. Szapiel W. A new approach to the Krzyz conjencture// Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska, Sect. A .-1994.-vol. 58.-N. 13.-p. 167-192.

28. Понтрягин JI. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф., Математическая теория оптимальных процессов,М.: Наука, 1976.-392с.

29. Кудрявцев Л. Д., Курс математического анализа, т.2.-2-е изд., перераб. и ДОП.-М.: Высшая школа, 1988.- 576 с.

30. Ganczar A., Michalska М., Szynal J. The conjencture parallel to the Krzyz conjencture// Computational Methods and Function Theory 2001: Abstracts of the Fourth CMFT Conference, Aveiro (Portugal), June 25-29, 2001. p. 95.

31. Голузин Г. M., Геометрическая теория функций комплексного переменного.-2-е изд. -М.: Наука, 1966.-628с.

32. Kortram R. A. Coefficients of bounded nonvanishing functions// Indag. Math., New Ser. -1993.-vol. 4.- N4.- p.471-478.

33. Гамкрелидзе P. В. Основы оптимального управления, Тбилиси: издательство Тбилисского университета, 1975.-230с.

34. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, -2-е изд.-М.: Наука, 1968.-496 с.

35. Рудин У. Основы математического анализа, М.: Мир, 1976.- 319с.

36. Samaris N. A proof of Krzyz's conjecture for the fifth coefficient// Complexvariables 2003. - vol. 48. - N. 9. - p. 753-766.

37. Riesz F. Sur certains systemes singuliers d 'equations integrates// Ann. l'ecolenorm. 1911. - vol. 28. - p. 33-62. 11

38. Herglotz G. Uber Potenzreihen mitpositiven reelen Teil in Einheitskreise// Ber; verh. Sachs. Acad. wiss. Leipzig. 1911. - vol. 63. - p. 501-511.

39. Delin Tan. Coefficient estimates for bounded nonvanishing functions// Chinese Ann. Math. A4. 1983. - p. 97-104. (Chinese)

40. Романова С. В. Асимптотические оценки функционалов в классе ограниченных функций, не принимающих нулевого значения// Саратов. Гос. ун-т. Саратов, 2003. - 6 с. - Деп. в ВИНИТИ 18. 07. 2003,N1424-В2003.