Оценки объемов многогранников в пространстве Лобачевского тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Егоров Андрей Александрович

• Егоров Андрей Александрович
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Егоров Андрей Александрович

Содержание

Введение 3 Глава 1. Объемы прямоугольных гиперболических многогранников И

1.1. Случай компактных многогранников

1.2. Фуллерены как гиперболические многогранники

1.3. Случай идеальных многогранников

1.4. Скрученные антипризмы и их объемы

1.5. Многогранники с конечными и идеальными вершинами 45 Глава 2. Объемы обобщенных гиперболических многогранников

2.1. Верхнии оценки объемов в общем случае

2.2. Учет числа треугольных граней и тривалентных вершин

2.3. Примеры применения полученных оценок объемов 61 Глава 3. Разбиение дополнений к узлам и зацеплениям на многогранники

3.1. Верхние оценки объемов через число скручиваний

3.2. Применение оценки к гипотезе об объеме и детерминанте

3.3. Разбиение дополнений к узлам на октаэдры. Представление

группы виртуальных кос

Заключение

Работы автора по теме диссертации

Список литературы 99 Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценки объемов многогранников в пространстве Лобачевского»

Введение

Актуальность темы исследования. Диссертационная работа посвящена изучению многогранников в гиперболическом пространстве (пространстве Лобачевского), оценкам объемов многогранников через их комбинаторику, и приложениям полученных результатов к теории гиперболических узлов и зацеплений.

Нас будут интересовать многогранники в гиперболическом пространстве Н3. Вычисление объемов таких многогранников довольно трудная задача. Первые результаты на эту тему были получены еще основателями гиперболической геометрии. Лобачевский [16] и Больяи [31] доказали две, отличные друг от друга, формулы для объема гиперболического бипрямоугольного тетраэдра. Необходимые и достаточные условия реализации трехмерного многогранника заданного комбинаторного типа с предписанными двугранными углами как остроугольного многогранника конечного объема в гиперболическом пространстве описываются теоремами Андреева [10, 11], доказанными в начале 1970-х годов. Многогранник здесь может иметь вершины, как внутри пространства (конечные вершины), так и на на его границе (идеальные вершины). Условия из теорем Андреева формулируются в виде линейных уравнений и неравенств, которые определяются комбинаторикой одномерного скелета (1-скелета) многогранника. Более того, если реализация многогранника в Н3 существует, то она единственна с точностью до изометрии пространства. Таким образом, объем остроугольного гиперболического многогранника полностью определяется комбинаторикой его 1-скелета и двугранными углами. Таким образом, выделяются два подхода к вычислению объемов многогранников. Первый подход состоит в том, чтобы зафиксировать комбинаторику многогранника, а углам разрешить меняться. Основным инструментом при таком подходе является формула Шлефли. Шлефли [81] вывел формулу, в которой дифференциал объема сферического тетраэдра выражается через длины ребер и дифференциалы двугранных углов. Для гиперболических многогранников формула Шлефли была доказана позже, см., например, [13]. В работе 1982 года Милнор [68] определил функцию, которую он назвал функцией Лобачевского, в терминах которой с тех пор часто и вычисляют объемы гиперболических многогранников. В той же работе Милнор вывел формулу объема идеального гиперболического

тетраэдра - объем идеального тетраэдра ровняется сумме трех функций Лобачевского от двугранных углов тетраэдра. Формулу объема тетраэдра более общего вида - тетраэдра с хотя бы одну идеальной вершиной, нашел Э. Б. Винберг [9]. В той же работе приведена формула объема произвольной гиперболической пирамиды с вершиной на абсолюте. Формулы объема произвольного гиперболического тетраэдра были получены в работах Ю. Чо и X. Кима [41], Дж. Мураками и У. Яно [71], Дж. Мураками и А. Ушиджимы [70]. Второй поход состоит в том, чтобы фиксировать двугранные углы и менять комбинаторику. Например, можно рассматривать многогранники только с прямыми двугранными углами - прямоугольные многогранники. К. Аткинсон [24] вывел верхние и нижние оценки на объемы гиперболических многогранников с прямыми (|) двугранными углами и для многогранников со всеми двугранными углами равными

Т. Иное [56] привел начальный список 825, вычисленных приближенно, объемов прямоугольных многогранников с конечными вершинами. В работе [1] приведен начальный список, вычисленных приближенно, объемов прямоугольных многогранников с идеальными вершинами (идеальных прямоугольных многогранников). Этот подход реализован в первой главе диссертации, в ней рассматриваются многогранники, двугранные углы которых прямые, но их комбинаторика может меняться.

Кроме многогранников с конечными и идеальными вершинами, рассматривают и так называемые обобщенные многогранники - многогранники в трехмерном гиперболическом пространстве, вершины которых могут быть конечными, идеальными или усеченными. Белетти показал [28], что максимум объемов обобщенных гиперболических многогранников с одним и тем же 1-скелетом достигается па соответствующем идеальном прямоугольном гиперболическом многограннике. Таким образом, появляется возможность использовать знания об объемах идеальных прямоугольных гиперболических многогранников для оценки объемов обобщенных гиперболических многогранников.

Многогранники играют важную роль в теории трехмерных многообразий. Из теоремы жесткости Мостова [69] следует, что объем гиперболического многообразия является топологическим инвариантом. В силу этого, вычисления объемов и оценки объемов имеют приложения в теории гиперболических трехмерных многообразий. Важным классом таких многообразий являются дополнения к гиперболическим узлам и зацеплениям

в трехмерной сфере. В случае зацеплений это дополнение часто можно представить в виде объединения нескольких прямоугольных гиперболических многогранников. Например, дополнение к зацеплению Уайдхеда можно представить как идеальный прямоугольный октаэдр с отождествленными гранями, а дополнени к кольцам Борромео можно представить как уже объединение двух идеальных прямоугольный октаэдров. Дополнение к любому аугментированному зацеплению представляется как объединение двух идентичных экземпляров некоторого идеального прямоугольного многогранника [74]. С помощью процедуры аугментации операций любое гиперболическое зацепление или узел можно привести к аугментированному зацеплению, объем дополнения к которому всегда больше объема дополнения к изначальному зацеплению. Это позволяет использовать идеальные прямоугольные многогранники для оценки объемов дополнений к произвольным гиперболическим зацеплениям. Для узлов (зацеплений с одной компонентой) вопрос о связи с прямоугольными многогранниками пока не ясен. В работе 2021 года [39] А. Чампаниркар, И. Кофман и Д. Парсель, основываясь на приближенных вычислениях объемов идеальных прямоугольных многогранников из [1], сформулировали гипотезу о прямоугольных узлах - узлах, дополнение к которым представляется в виде объединения прямоугольных идеальных многогранников. Гипотеза состоит в том, что прямоугольных узлов не существует. Некоторый прогресс в доказательстве гипотезы достигнут в работе [49]. А в работе [59] показано, что в утолщенных поверхностях прямоугольные узлы существуют. Заметим, что существует и другие подходы к разбиению доплнений к зацеплениям на многогранники. Например, Д. Терстон [88] предложил подход, в рамках которого дополнение к произвольному гиперболическому зацеплению, если удалить из него две точки, может быть представлено в виде объединения октаэдров. Хиками и Иное [55] использовали этот подход для построения представления группы кос.

Цель исследования. Целью диссертационного исследование является развитие теории многогранников в пространстве Лобачевского и теории трехмерных гиперболических многообразий. А именно, изучение объемов многогранников в трехмерном пространстве Лобачевского, а также

объемов гиперболических узлов и зацеплений, то есть объемов трехмерных гиперболических многообразий, являющихся дополнениями к узлам и зацеплениям в трехмерной сфере.

Задачи исследования. В диссертационном исследовании ставились следующие задачи.

(1) Изучить множество объемов для различных классов прямоугольных гиперболических многогранников: имеющих только конечные вершины; имеющих только идеальные вершины; а также имеющих как конечные, так и идеальные вершины. Получить оценки на объемы многогранников в терминах их комбинаторных параметров.

(2) Изучить множество объемов обобщенных гиперболических многогранников, то есть гиперболических многогранников, допускающих конечные, идеальные и усеченные вершины. Получить оценки на объемы многогранников в терминах их комбинаторных параметров.

(3) Изучить связь между объемами узлов и зацеплений и объемами гиперболических многогранников. Получить оценки объемов узлов и зацеплений в терминах параметров их диаграмм.

Научные результаты, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие научные результаты.

(1) Верхние оценки объемов компактных прямоугольных гиперболических многогранников через число вершин многограника.

(2) Верхние оценки объемов идеальных прямоугольных гиперболических многогранников через число вершин многогранника.

(3) Верхние оценки объемов прямоугольных гиперболических многогранников с конечными и идеальными вершинами через число конечных и идеальных вершин многогранника.

(4) Верхние оценки объемов обобщенных гиперболических многогранников, учитывающие количество ребер, количество треугольных граней и количество трехвалентных вершин многогранника.

(5) Верхняя оценка объемов гиперболических узлов и зацеплений, имеющих приведенные диаграммы с не менее, чем восемью скручиваниями.

(6) Продолжение на группу виртуальных кос представления Хиками-Иное группы кос, связанное с разбиением дополнения узла на идеальные октаэдры.

Результат (1) приведен в теореме 1.8, он был получен в работах [3, 5, 4]. Результат (2) приведен в теореме 1.13, он был получен в работах [1, 3, 4]. Результат (3) приведен в теореме 1.23, он был получен в работе [4]. Результат (4) приведен в теореме 2.4, а результат (5) приведен в теореме 3.1, они оба былы получены в работе [2]. Результат (6) приведен в теореме 3.12, он был получен в работе [6]

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. При этом, результаты (1) и (2) улучшают оценки, полученные К. Аткинсоном в 2011 году в работе [24], а результат (5) улучшает оценку, полученную М. Лакенби, А. Эголом и Д. Терстоном в 2004 г. в работе [64].

Теоретическая и практическая значимость работы. Настоящая работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации представляют интерес для специалистов по гиперболической геометрии и теории узлов. Помимо полученных результатов в работе сформулировано несколько гипотез, основанных на многочисленных компьютерных вычислениях объемов. Отметим, что основываясь на вычисленных в работе объемах идеальных прямоугольных многогранников, А. Чампанеркар, И. Кофман и Дж. Парсель в 2021 г. сформулировали гипотезу о том, что не существует прямоугольных гиперболических узлов [39]. В параграфе 3.2 показано, что результаты параграфа 3.1 позволяют расширить класс узлов и зацеплений для которых верна гипотеза об объеме и детерминанте. Установленная в параграфе 1.2 на примере изомеров фулле-рена С60 корреляция между объемами гиперболических прямоугольных фуллеренов и стабильностью соответствующих химических соединений может найти применение в структурной химии.

Публикации. Основные результаты автора, приведенные в диссертации, опубликованы в восьми работах, шесть из которых являются статьями в рецензируемых научных журналах [1, 2, 3, 4, 5, 6]. Все указанные статьи опубликованы в журналах, которые индексируются в Web of Science или Scopus.

Личный вклад автора. Все результаты диссертации получены лично соискателем. В статьях [1, 2, 3, 5] доказательства теорем, лемм и утверждений были написаны лично автором. А. Ю. Весниным осуществлена постановка задачи, написаны введения, скорректированы некоторые доказательства. В работе [4] идея доказательства пунктов (1) и (2) теоремы 1.1 принадлежит С. А. Александрову, идея доказательства пункта (3) теоремы 1.1. принадлежит Н.В. Богачеву, доказательства теоремы 1.2 и теоремы 1.3 были получены лично соискателем, постановка задачи и корректировка некоторых доказательств осуществлялись А.Ю. Весниным. Статья [6] написана лично соискателем. В диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично ее автору.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на всероссийской молодежной научной конференции «Все грани математики и механики» (г. Томск, ТГУ, 2019, 2024); международной конференции «Группы и квандлы в маломерной топологии» (г. Томск, ТГУ, 2019, 2020, 2021, 2024); «Международной конференции по геометрическому анализу в честь 90-летия академика Юрия Григорьевича Решетня-ка» (г. Новосибирск, ИМ СО РАН, 2019); конференции «Геометрия, топология и динамика» (г. Новосибирск, 2021); «Конференции международных математических центров мирового уровня» (г. Сочи, Сириус, 2021); «VIII Russian-Chinese Conference on Knot Theory and Related Topics» (онлайн, 2021); конференции «Knot theory and Applications» (г. Томск, ТГУ,

2022); международной конференции «Геометрия и топология трехмерных многообразий» (г. Сочи, Сириус, 2022); "Второй конференции Математических центров России" (г. Москва, МГУ, МИАН, 2022); международной конференции «9th China-Russia Conference on Knot Theory and Related Topics» (Китай, Jilin University, 2023); международной конференции «Геометрические и алгебраические методы в теории узлов» (г. Сочи, Сириус,

2023); конференции «Алгебраическая топология, гиперболическая геометрия и компьютерный анализ данных» (г. Томск, ТГУ, 2023); «IV Конференции математических центров России» (г. Санкт-Петербург, СПБГУ,

2024); «10-й российско-китайской конференции по теории узлов и смежным вопросам» (г .Сочи, Сириус, 2024); конференции «Алгебраическая топология, гиперболическая геометрия и компьютерный анализ данных» (г. Москва, НИУ ВШЭ, 2024).

Исследования, проводившиеся по теме диссертации, поддерживались Российским фондом фундаментальных исследований и Фондом развития теоретической физики и математики «Базис».

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, проведен краткий анализ существующих работ других авторов по указанной тематике, обозначены цели работы, сформулированы основные результаты, выносимые на защиту. Также в этом разделе приведены список публикаций автора по теме диссертации и список конференций, на которых были апробированы результаты из диссертации.

Глава 1 состоит из 5-ти параграфов. В параграфах 1.1 и 1.2 обсуждаются компактные прямоугольные многогранники, доказываются верхние оценки на объемы этих многогранников, которые улучшают ранее существовавшие оценки. Выдвигаются гипотезы о комбинаторной структуре многогранников с максимальным объемом, когда число вершин зафиксировано. Кроме того, в параграфе 1.2 обсуждаются фуллерены, которые рассматриваются как гиперболические многогранники, демонстрируется гиперболических объемов фуллеренов с химической стабильностью соответствующих химических соединений.

В параграфах 1.3 и 1.4 обсуждаются идеальные прямоугольные многогранники, доказывается верхние оценки на объемы этих многогранников, которые улучшают ранее существовавшие оценки. Выдвигаются гипотезы о комбинаторной структуре многогранников с минимальным и максимальным объемом, когда число вершин многогранников зафиксировано. В связи с последним в параграфе 1.2 вводятся два новых класса многогранников - скрученные антипризмы и многогранники с изолированными треугольными гранями (1Т11-многогранники). Доказывается несколько утверждений об многогранниках из этих классов.

В параграфе 1.5 обсуждается прямоугольные многогранники, которые имеют конечные и идеальные вершины. Доказывается верхняя оценка на

объемы этих многогранников, которая улучшают ранее существовавшие оценки.

Глава 2 состоит из 3-х параграфов. В параграфе 2.1 обсуждаются обобщенные гиперболические многогранники и доказываются верхние оценки на объемы этих многогранников, учитывающие число ребер многогранника.

В параграфе 2.2 доказывается верхние оценки, которые кроме числа ребер также учитывают количество трехвалентных вершин многогранника и количество его треугольных граней.

В параграфе 2.3 обсуждается применение теорем из параграфов 2.1 и 2.3 к конкретным классам многогранников, таким как: пирамиды, призмы, двухвершинные пирамиды.

Глава 3 состоит из 2-х параграфов. Глава посвящена применению, полученных в предыдущих главах, результатов к теории узлов и зацеплений. В параграфе 3.1 доказывается оценка на объемы дополнений к гиперболическим зацеплениям с большим числом скручиваний, которая улучшает оценку Лакенби-Эгола-Терстона.

В параграфе 3.2 обсуждается применение оценки из параграфа 3.1 к так называемой гипотезе об объеме и детерминанте. Кроме того, в данном параграфе улучшается несколько оценок, связывающих гиперболический объем и детерминант зацеления.

В параграфе 3.3 строится представление для группы виртуальных кос УВП7 продолжающее представлении Хиками-Иноуе, связанное с разбиением дополнения к узлу на октаэдры.

В приложении приведены таблицы с объемами и картинки графов многогранников, на которые автор ссылается в основном тексте диссертации.

Глава 1. Объемы прямоугольных гиперболических

многогранников

В данном разделе нас будут интересовать многогранники в трехмерном гиперболическом пространстве Н3 с прямыми двугранными углами. Вершины многогранника, которые лежат на границе Н3 будем называть идеальными. Остальные вершины будем называть конечными. Многогранники, у которых все вершины идеальные, принято называть идеальными. Многогранники, у которых все вершины конечные, принято называть компактными (или ограниченными).

Необходимые и достаточные условия того, что многогранник реализуется как прямоугольный гиперболический многогранник можно получить как весьма частный случай следующей теоремы (которую принято называть теоремой Андреева) об остроугольных многогранниках конечного объема, которая была доказана в работе Андреева 1970 года [11].

Для формулировки теоремы на понадобится ввести понятие призматического элемента. Пусть среди граней ^, некоторого трехмерного многогранника смежными являются каждая с последующей, а последняя с первой, и только они, и никакие три не пересекаются в одной вершине. Будем говорить, что грани Р^,.., ^образу ют й-угольный призматический элемент.

Теорема 1.1. [11] Пусть Р- плоский полиэдральный граф, из каждой вершины которого выходит три или, четыре ребра, иР - не граф тетраэдра. Следующие условия являются необходимым,и и достаточными условиями существования в пространстве Н3 выпуклого многогранника конечного объема с 1-скелетом Р и с двугранными углами, а^ < п/2:

1.0 < аг] < ж/2.

2. Если Р^ь ~ вершина многогранника Р, то для суммы двугранных углов при, ребрах, смежных Р^и, выполняется а^ + + аы > п, если Р,т - вершина, то для суммы двугранных углов при, ребрах, смежных Р^ы, выполняе тся а^ + о^ + ац + ац = 2п.

3. Если Р^), Рь - треугольный призматический элемент, то а^ + &зк + < п.

4. Если ^ - четырехугольный призматический элемент, то а^ + о^ + аы + ац < 2ж.

5. Если Р - треугольная призма с основаниями Р1 и Р2, то а13 +

«14 + «15 + «23 + «24 + «25 < 3я\

6. Если среди граней Рь смежными являются Р{ и Р^), Fj и Ри, а Р{ и ^ - не смежные, но сходятся в одной вершине (соприкасаются) и все три грани не сходятся в одной вершине, то «у + азк < п.

Причем такой многогранник Р единственнен с точностью до изомет-рии пространетва.

Замечание 1.2. Условие на валентности вершин в формулировке теоремы не является ограничением. В [11] показано, что в каждой конечной вершине остроугольного многогранника сходятся три грани, а в каждой идеальной вершине три или четыре грани.

Замечание 1.3. Необходимые и достаточные условия того, что многогранник реализуется как компактный прямоугольный многогранник были получены чуть ранее в 1967 году А. В. Погореловым [17]. В следствии этого, компактные прямоугольные гиперболические многогранники иногда называют многогранниками Погорелова.

Нам будет удобно также воспользоваться результатом И. Ривина [78], который касается произвольных выпуклых идеальных гиперболических многогранников и сформулирован в терминах двойственного графа. Следующая теорема обощает теорему Андреева на случай идеальных многогранников, которые не являются остроугольными.

Теорема 1.4. [78] Пусть Р - плоский полиэдральный граф каждом,у ребру е которого приписан вес /ш(е). Пусть Р* - граф, двойственный графу Р, и каждому его ребру е*, двойственному ребру е, приписан вес и)*(е*) = п — /ш(е). Р может быть реализован как выпуклый идеальный многогранник ей3 с двугранными углами ,ш(е) при его ребрах если и только если выполнены следующие условия:

(1) 0 < т*(е*) < п для всех е;

(2) если ребра ... ,е*к ограничивают, грань в Р*, то

и1*(е*1) + и)*(е*2) + ... + и!*(е*к) = 2п;

(3) если ребра е\, е\,..., е*к образуют цикл в Р*, который не ограничивает, грань, то

Причем такой многогранник Р единственнен с точностью до изомет-рии прост,ра,нет,ва.

Идеальные гиперболические многогранники интересны и с точки зрения евклидовой геометрии - это в точности те многогранники, которые вписываются в шар. Это соответствие и теорема Ривина позволили решить проблему Якоба Штейнера о возможности описании сферы вокруг многогранника.

В случае прямоугольного многогранника веса ребер и веса двойственных ребер в теореме Ривина равны ж/2 и все грани Р* являются четырёхугольниками. Соответственно, все вершины многогранника являются четырехвалентными.

Традиционно, объемы многогранников в трехмерном гиперболическом пространстве вычисляют через функцию

которую Дж. Милнор ввел в обзоре [68] и назвал функцией Лобачевского. Милнор показал, что объем идеального тетраэдраТ(а, 7) в трехмерном гиперболическом пространстве с двугранными углами а, ¡3 и 7 (имеется в виду, что при одной из вершин двугранные углы равны а, 7, где а + ¡3 + 7 = двугранные углы при противолежащих гранях тетраэдра совпадают) вычисляется по формуле:

и!*(е1)) + т*(е*) + ... + и)*(е*к) > 2ж.

о

уо1(Т )) = А(а)+А(Р) + Д(7).

Ниже мы будем использовать величину ^ = 3А(^/3), которая равна объему гиперболического правильного (все двугранные углы равны) идеального тетраэдра. У такого тетраэдра все двугранные углы равны п/3 и он имеет наибольший объем среди всех гиперболических тетраэдров конечного объема. С точностью до шести знаков имеем

(1) щ = 1,014941.

Обозначим через у8 объем идеального прямоугольного октаэдра. Разбивая идеальный прямоугольный октаэдр на четыре идеальных тетраэдра с двугранными углами а = ^/2, ¡3 = ^/4, 7 = ^/4, и учитывая, что Л(к/2) = 0, получаем

= 8Л (^ = 3.66386.....

В 2009 году К. Аткинсон доказал [24] следующие верхние и нижние оценки объемов многогранников через число вершин.

Теорема 1.5. [24] Если Р - компактный прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник с V вершинами, то

у8 ЛГ у8 / 1/т / 5^3 лг 25

32 ' У — 4" - У°1(Р) < Т" ' У — Т^

Теорема 1.6. [24] Если Р - идеальный прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник с V вершинами, то

щ ЛГ у8 ^ 1/т ЛГ О

— • V--^ у°1(^) ^ — • V — 2у8.

4 2 v ; 2 8

Теорема 1.7. [24] Если Р прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник с > 0 идеальным и и Ур конечными вершинами, то

4 ■ ^ + 32 ■ ^ — Т - ¥°1(Р' <2 ■ ^ + ИГ ■ ^ — Т.

Далее в этой главе мы улучшим верхнюю оценку в каждом из случаев.

Подробно про пространство Лобачевского и многогранники в нем мож-

но посмотреть в книжке Ратклифа [76].

1.1. Случай компактных многогранников. Пусть Р - компактный прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник. Обозначим через У число его вершин, через Е — число ребер, а через Р - число граней. Эйлерова характеристика многогранника Р равна V — Е + Е = 2. Каждая вершина компактного прямоугольного трехмерного гиперболического многогранника инцидентна ровно трем ребрам, откуда ЗУ = 2Е и Е = 1V + 2. Обозначим через рк число ^-угольных граней многогранника Р. Из теоремы 1.1 следует, что р- = 0 и р4 = 0, а из предыдущих тождеств, что

= Р, кРк = ЗУ, и р5 = 12 + ^2(к — 6)рк.

к^Ъ к^Ъ к^7

В данном подразделе будет доказана следующая теорема, которая улучшает верхнюю оценку из теоремы 1.5 и соответствует основному результату (1).

Теорема 1.8. Пусть Р - компактный прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник с V > 20 вершинами. Тогда, имеют место следующие неравенства.

(1) Если Р не является додекаэдром, то есть V > 24, то

уо1(Р) < ^ • (V — 14).

(2) Если Р имеет к-угольную грань, где к > Ъ, то

мт^5^ т/ Ък + 3Ъ ) < -8- •V--^—

(3) Если V > 807 то

уо1(Р) ^ ^ • (V — 16).

8

Доказательство. Пункты (1)-(2) доказываются в подпараграфе 1.1.1. Пункт (3) доказывается в подпараграфе 1.1.2. Доказательства пунктов (2)-(3) опубликованы в работе [4]. А доказательство пункта (1) в работе [3]. □

Нами были проведены масштабные вычисления приближенных объемов компактных прямоугольных многогранников. Pix результаты приведены в таблице 3 и на рисунке 1, на котором точки соотвествуют многогранникам, сплошные линии соотвествуют верхней и нижней оценкам из теоремы 1.5, а пунктирная линия соотвествует оценке из пупка (1) теоремы 1.8.

5.0

2.5- ^——^^

22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Число вершин

РИС. 1. Компактные прямоугольные гиперболические многогранники и оценки на их объемы.

1.1.1. Доказательство пунктов (1) и (2) теоремы 1.8. В силу того, что мы исключаем из рассмотрения додекаэдр единственный компактный прямоугольный многогранник с менее чем 24 вершинами (см. 3), достаточно доказать (1) пункт теоремы для V > 24. Для начала нам потребуется доказать несколько лемм.

Лемма 1.1. Пусть Р - компактный прямоугольный гиперблический многогранник сУ > 20 вершинами. Пусть Р\ и Р2 - две грани Р такие, что Р\ является щ-угольником, а Р2 является п2-угольником, п\,п\ >

Ъ

™1(Р) < ^ • (V — щ — п2). 8

Доказательство. Мы рассмотрим два случая в соответствии с тем, смежны грани Р1? Р2 или нет.

(1) Пусть Р1 и Р2 не являются смежными. Построим по индукции семейство прямоугольных многогранников, прикладывая к многогранникам копии многогранника Р. А именно, положим Р1 = Р. Определим Р2 = Р1 Р отождествляя две копии многогранника Р вдоль грани Ръ Очевидно, что Р2 - прямоугольный многогранник, имеющий 2V — 2п1 вершин и уо1(Р2) = 2уо1(Р). Многогранник Р2 имеет по крайней мере одну грань, изометричную Р2. Приложим к этой гране многогранник Р вдоль его грани Р2. Обозначим полученный многогранник через Р- = Р2 Р = Р1 Р Р. Очевидно, что Р- - прямоугольный многогранник, имеющий 3V—2п1 — 2п2 вершин и уо1(Р3) = Зуо1(Р). Продолжая процесс добавления многогранника Р, поочередно, через грани Р1 и Р2, получим многогранник Р2к+1 = Р2к—1 Ри^2 Р, где к > 1. Очевидно, что Р2к+1 прямоугольный многогранник, имеющий (2к + — 2кп1 — 2кп2 вершин и уо1((Р2^+1)) = (2к + 1) уо1(Р).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Егоров Андрей Александрович, 2026 год

Список литературы

[9] Алексеевский Д. В., Винберг Э.Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны // Геометрия - 2. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления. 1988. Т. 29. С. 5-146. 4

[10] Андреев Е. М. О выпуклых многогранниках в пространствах Лобачевского // Матем. сб. 1970. Т. 81, № 3. С. 445-478. 3

[11] Андреев Е. М. О выпуклых многогранниках конечного объема в пространстве Лобачевского // Матем. сб. 1970. Т. 83, № 2. С. 256-260. 3, 11, 12

[12] Веснин А. Ю. Прямоугольные многогранники и трехмерные гиперболические многообразия // Успехи математических наук. 2017. Т. 72, № 2. С. 147-190. 25

[13] Винберг Э.Б. Объемы неевклидовых многогранников // Успехи матем. наук. 1993. Т. 48, № 2. С. 17-46. 3

[14] Дынников II. А. Об одном отображении Янга-Бакстера и упорядочении Деорнуа // Успехи математических наук. 2002. Т. 57, №. 3. С. 151-152. 85

[15] Ероховец Н. Ю. Трехмерные прямоугольные многогранники конечного объема в пространстве Лобачевского: комбинаторика и конструкции // Труды МИЛИ. 2019. Т. 305. С. 86-147. 40

[16] Лобачевский Н. И. Полное собр. соч. Т. 3. // М.-Л. 1951. 551 с. 3

[17] Погорелов А. В. О правильном разбиении пространства Лобачевского // Матем. заметки. 1967. Т. 1, № 1. С. 3-8. 12

[18] Adams С. Hyperbolic Structures on Link Complements: Ph.D. thesis. University of Wisconsin, 1983. 67

[19] Adams C. Thrice-punctured spheres in hyperbolic 3-manifolds // Trans. Amer. Math. Soc. 1985. Vol. 287. P. 645-656. 73

[20] Adams C. Bipyramids and bounds on volumes of hyperbolic links // Topology and its Applications. 2017. Vol. 222. P. 100-114. 56, 57, 69

[21] Adams C. Triple crossing number of knots and links //J. Knot Theory Ramifications. 2013. Vol. 22, No 2. P. 1350006. 68

[22] Albertazzi E., Domene C., Fowler P. W., Heine Т., Seifert G., Van Alsenoy C., Zerbetto F. Pentagon adjacency as a determinant of fullerene stability // Phys. Chem. Chem. Phys. 1999. Vol. 1. P. 29132918. 27

[23] Artin E. Theory of braids // Ann. of Math. (2). 1947. Vol. 48. P. 101-126. 83

[24] Atkinson C. Volume estimates for equiangular hyperbolic Coxeter polyhedra // Algebraic & Geometric Topology. 2009. Vol. 9. P. 1225-1254. 4, 7, 14

[25] Atkinson C. Two-sided combinatorial volume bounds for non-obtuse hyperbolic polyhedra // Geometriae Dedicata. 2011. Vol. 153. P. 177-211. 64

[26] Bao X., Bonahon F. Hyperideal polyhedra in hyperbolic 3-space // Bull. Soc. Math. France. 2002. Vol. 130, No. 3. P. 457-491. 53

[27] Bardakov V., Vesnin A., Wiest B. Dynnikov coordinates on virtual braid groups // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. 2012. Vol. 21, No. 5. P. 1250052. 85, 95

[28] Belletti G. The maximum volume of hyperbolic polyhedra // Trans. Amer. Math. Soc. 2021. Vol. 374. P. 1125-1153. 4, 53, 54

[29] Bigelow S., Ramos E., Yi R. The Alexander and Jones polynomials through representation of rook algebra // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. 2012. Vol. 21, No. 12. 85

[30] Bogachev N., Guschin D., Vesnin A. On quasi-arithmeticity of hyperbolic hybrids // URL: https: //arxiv.org/abs/2307.07000. 66

[31] Bolyai J. Appendix. The theory of space. Budapest, 1987. 238 p. 3

[32] Brinkmann G., Dress A. W. M. A constructive enumeration of fullerenes // Journal of Algorithms. 1997. Vol. 23. P. 345-358. 25

[33] Brinkmann G., Greenberg S., Greenhill C., McKay B.D., Thomas R., Wollan P. Generation of simple quadrangulations of the sphere // Discrete Mathematics. 2005. Vol. 305. P. 33-54. 39, 55

[34] Brinkmann G., Goedgebeur J., McKay B. The Generation of Fullerenes // Journal of Chemical Information and Modeling. 2012. Vol. 52. P. 2910-2918. 25

[35] Burton S. D. The determinant and volume of 2-bridge links and alternating 3-braids // New York Journal of Mathematics. 2018. Vol. 24. P. 293-316. 78, 79, 80

[36] Burton B. A. The next 350 million knots // Leibniz Int. Proc. Inform. 2020. Vol. 164. P. 25:1-25:17. 67

[37] Champanerkar A., Kofman I., Lalin M. Mahler measure and the Vol-Det Conjecture // Journal of the London Mathematical Society. 2019. Vol. 99, No. 3. P. 872-900. 78

[38] Champanerkar A., Kofman I., Purcell J.S. Geometrically and diagrammatically maximal knots // Journal of the London Mathematical Society. 2016. Vol. 94, No. 3. P. 883-908. 78

[39] Champanerkar A., Kofman I., Purcell J. Right-angled polyhedra and alternating links // Algebr. Geom. Topol. 2022. Vol. 22, No. 2. P. 739-784. 5, 7

[40] Cho J., Yoon S., Zickert C.K. On the Hikami-Inoue conjecture // Algebraic and Geometrical Topology. 2020. Vol. 20. P. 279-301. 85

[41] Cho Yu., Kim H. On the volume formula for hyperbolic tetrahedra // Discrete Comput. Geom. 1999. Vol. 22. P. 347-366. 4

[42] Dasbach O. T., Lin X.-S. A volumish theorem for the Jones polynomial of alternating knots // Pacific J. Math. 2007. Vol. 231, No. 2. P. 279-291. 70

[43] Dasbach O., Tsvietkova A. A refined upper bound for the hyperbolic volume of alternating links and the colored Jones polynomial // Math. Res. Lett. 2015. Vol. 22. P. 1047-1060. 69, 76

[44] Dasbach O., Tsvietkova A. Simplicial volume of links from link diagrams // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 2019. Vol. 166, No. 1. P. 75-81. 69

[45] Doslic T. Cyclical Edge-Connectivity of Fullerene Graphs and (k, 6)-Cages // Journal of Mathematical Chemistry. 2003. Vol. 33. P. 103-112. 25

[46] Egorov A., Vesnin A. The Vol-Det Conjecture for highly twisted alternating links // URL: https: //arxiv.org/abs/2411.11711. 77

[47] Futer D., Kalfagianni E., Purcell J. S. Dehn filling, volume, and the Jones polynomial //J. Differential Geom. 2008. Vol. 78, No. 3. P. 429-464. 76

[48] Fowler P. W., Manolopoulos D. E. An Atlas of Fullerenes. Calendron Press, 1995. 392 p. 27

[49] Gan H. C. Alternating links with totally geodesic checkerboard surfaces // Algebraic & Geometric Topology. 2021. Vol. 21. P. 3107-3122. 5

[50] Guéritaud F., Futer D. On canonical triangulations of once-punctured torus bundles and two-bridge link complements // Geom. Topol. 2006. Vol. 10. P. 1239-1284. 71

[51] Geomview. URL: www.geomview.org. 26

[52] Gotin K. Representation of virtual braid groups to rook algebra and virtual link invariants //J. Knot Theory Ramifications. 2017. Vol. 26, No. 6. P. 1742002. 85

[53] Goussarov M., Polyak M., Viro O. Finite-type invariants of classical and virtual knots // Topology. 2000. Vol. 39, No. 5. P. 1045-1068. 84

[54] Grunbaum B., Motzkin T. S. The number of hexagons and the simplicity of geodesies on certain polyhedra // Canadian J. Math. 1963. Vol. 15. P. 744-751. 27

[55] Hikami K., Inoue R. Braids, complex volume and cluster algebra // Algebraic & Geometric Topology. 2015. Vol. 15. P. 2175-2194. 5, 83, 85, 86, 87, 88, 91

[56] Inoue T. Exploring the list of smallest right-angled hyperbolic polyhedra // Experiment. Math. 2019. Vol. 31. No. 1 P. 165^183. 4

[57] Ito T. Special alternating knots with sufficiently many twist regions have no chirally cosmetic surgeries // URL: https://arxiv.org/pdf/2301.09855. 79, 80, 81

[58] Kawauchi A. A survey of knot theory. Birkhâuser. 1996. 423 p. 67, 70

[59] Kaplan-Kelly R. Right-angled links in thickened surfaces // Geom. Dedicata. 2024. Vol. 218, No. 113. P. 113. 5

[60] Kellerhals R. A polyhedral approach to the arithmetic and geometry of hyperbolic chain link complements //J. Knot Theory Ramifications. 2023. Vol. 32, No. 07, P. 2350052.

[61] Kolpakov A. On the optimality of the ideal right-angled 24-cell // Algebraic & Geometric Topology. 2012. Vol. 12. P. 1941-1960. 38

[62] Kroto H., Heath J., O'Brien S. et al. C60: Buckminsterfullerene // Nature. 1985. Vol. 318. P. 162-163. 25

[63] Kwon A. Fully Augmented Links in the Thickened Torus // URL: https://arxiv.org/abs/2007. 12773. 72

[64] Lackenby M. The volume of hyperbolic alternating link complements // Proc. London Math. Soc. 2004. Vol. 88. P. 204-224. 7, 68, 71, 72, 73, 74, 78

[65] Lickorish W.B.R. An introduction to knot theory. Springer, 1997. 204 p. 77

[66] Livingston C., Moore A.H. Knotlnfo: Table of Knot Invariants. URL: http://knotinfo.math. indiana.edu. 70, 78

[67] Manturov V. Recognition of virtual braids //J. Math. Sci. 2005. Vol. 131, No. 1. P. 267-286. 95

[68] Milnor J. Hyperbolic geometry: the first 150 years // Bull. Amer. Math. Soc. 1982. Vol. 6. P. 9-24. 3, 13, 56

[69] Mostow G. D. Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of the hyperbolic space forms // Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 1968. P. 53-104. 4

[70] Murakami J., Ushijima A. A volume formula for hyperbolic tetrahedra in terms of edge lengths //J. Geom. 2005. Vol. 83, No. 1-2. P. 153-163. 4

[71] Murakami J., Yano M. On the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron // Commun. Anal. Geom. 2005. Vol. 13. P. 379-400. 4

[72] Petronio C., Vesnin A. Two-sided bounds for the complexity of cyclic branched coverings of two-bridge links // Osaka J. Math. 2009. Vol. 46. P. 1077-1095. 71

[73] Purcell J. S. Hyperbolic knot theory. Amer. Math. Soc., 2020. 369 p. 72

[74] Purcell J. S. An introduction to fully augmented links // Contemp. Math. 2011. Vol. 541. P. 205-220. 5, 72

[75] Purcell J. S. Volumes of highly twisted knots and links // Algebraic & Geometric Topology. 2007. Vol. 7. P. 93-108. 78

[76] Ratcliffe J. G. Foundations of Hyperbolic Manifolds. Springer, 1994. 800 p. 14, 41

[77] Reti T., Laszla I. On the Combinatorial Characterization of Fullerene Graphs // Acta Polytechnica Hungarica. 2009. Vol. 6, No. 5. 27

[78] Rivin I. A characterization of ideal polyhedra in hyperbolic 3-space // Ann. of Math. (2). 1996. Vol. 143, No. 1. P. 51-70. 12

[79] Roeder R. K. W. Constructing Hyperbolic Polyhedra Using Newton's Method // Experiment. Math. 2007. Vol. 16, No. 4. P. 463-492. 26

[80] Rolfsen D. Knots and Links. Publish or Perish, 1990. 67

[81] Schlafli L. On the multiple integral ff... f dxdy ...dz // Quart. J. Math. 1858. Vol. 2. P. 269-300; 1860. Vol. 3. P. 54-68, 97-108. 3

[82] SnapPy. URL: https://snappy.math.uic.edu. 67, 78

[83] Stoimenow A. Graphs, determinants of knots and hyperbolic volume // Pacific J. Math. 2007. Vol. 232, No. 2. P. 423-451. 78, 79, 80, 82

[84] Sure R., Hansen A., Schwerdtfeger P., Grimme S. Comprehensive study of all 1812 C60 isomers // Phys. Chem. Chem. Phys. 2017. Vol. 19. P. 14296-14305. 28

[85] Thurston W. P. The Geometry and Topology of 3-manifolds. Princeton University Notes, 1980. 40

[86] Thurston W.P. The Geometry and Topology of Three-Manifolds. Amer. Math. Soc., 2022. 53, 63, 65, 67

[87] Ushijima A. A volume formula for generalized hyperbolic polyhedra // Math. Appl. 2006. Vol. 581. P. 249-265. 53, 62

[88] Thurston D. Hyperbolic volume and the Jones polynomial. Handwritten notes, 1999. 5, 83

Приложение

таблица 3. Компактные прямоугольные гиперболические многогранники с V < 46 вершинами.

Ф вершин Ф многогранников Ф разных объемов мин.объем макс, объем

20 1 1 4.306208 4.306208

22 0 0 - -

24 1 1 6.023046 6.023046

26 1 1 6.967011 6.967011

28 3 3 7.563249 8.000234

30 4 4 8.612415 8.946606

32 12 12 9.019053 9.977170

34 23 23 9.730847 10.986057

36 71 71 10.416044 12.084191

38 187 187 11.058763 13.138893

40 627 627 11.708462 14.222648

42 1970 1952 12.352835 15.300168

44 6833 6771 12.996118 16.397833

46 23384 23082 13.637792 17.486616

таблица 4. Идеальные прямоугольные гиперболические многогранники с V < 15 вершинами.

Ф вершин Ф многогранников Ф разных объемов мин.объем макс, объем

6 1 1 3.663863 3.663863

7 0 0 - -

8 1 1 6.023046 6.023046

9 1 1 7.327725 7.327725

10 2 2 8.137885 8.612415

И 2 2 9.686908 10.14916

12 9 7 10.149416 12.046092

13 И 7 11.801747 13.350771

14 37 17 12.106298 14.832681

15 79 31 13.813278 16.331571

ТАБЛИЦА 5. Минимальные и максимальные по объему идеальные прямоугольные многогранники, 14 < п < 18.

ргшп ртах

г14 14

ТАБЛИЦА 6. Минимальные и максимальные по объему идеальные прямоугольные многогранники, 19 < п < 23.

пшш ^19

ПШ1П ^20

ршт ^21

ршт г22

ршт ^23

ршах ^19

ршах ^20

ршах ^21

ршах г22

шах ^23