Оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для одновыборочных и многовыборочных U-статистик от разнораспределенных случайных величин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Гадасина, Людмила Викторовна

• Гадасина, Людмила Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гадасина, Людмила Викторовна

Введение.

1 Основные понятия.

1.1 Одновыборочные {/-статистики.

1.1.1 Мартингальная структура [/-статистик.

1.1.2 Центральная предельная теорема.

1.1.3 Оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме.

1.2 Многовыборочные [/-статистики.

1.2.1 Мартингальная структура многовыборочных [/-статистик.

1.2.2 Центральная предельная теорема.

1.2.3 Оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме.

1.3 Примеры [/-статистик.

1.4 Вспомогательные сведения.

1.4.1 Лемма о срезках.

1.4.2 Метод характеристических функций (неравенство Эссеена)

1.4.3 Метод рандомизации.

1.4 4 Вспомогательные неравенства и соотношения.

2 Неравенства типа Берри-Эссеена для [/-статистик второй степени.

2.1 Введение.

2.2 Результаты.

2.3 Доказательства.

3 Неравенства типа Берри-Эссеена для [/-статистик произвольной степени.

3.1 Введение.

3.2 Результаты.

3 3 Доказательства.

4 Центральная предельная теорема для многовыборочных и - статистик.

4.1 Введение.

4 2 Результат.

4.3 Доказательство.

5 Неравенства типа Берри-Эссеена для многовыборочных [/-статистик.

5.1 Результаты.

5.2 Доказательства

6 Специальные приложения: [/-статистики на графах.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для одновыборочных и многовыборочных U-статистик от разнораспределенных случайных величин»

Теория (/-статистик начала развиваться после выхода работ Халмоша [32] в 1946 году, где была определена (/-статистика как оценка регулярного функционала, и Гефдинга [34] в 1948 году, где были описаны некоторые свойства (/статистик, доказана центральная предельная теорема, приведены многочисленные примеры.

Являясь обобщением сумм случайных величин, [/-статистики в случае невырожденности асимптотически им эквивалентны Кроме того, (/-статистики проявляют мартингальные свойства, что позволяет применять к ним мартин-гальные предельные теоремы.

Интерес к этому математическому объекту постоянно возрастает и находит широкое применение в различных разделах теории вероятностей и математической статистики, например, в теории оценивания: [27, 41], в теории проверки гипотез: [30, 43, 44, 49, 46] или в теории случайных графов: [24, 50]

Одним из классических вопросов теории вероятностей является нахождение скорости сходимости статистик в центральной предельной теореме. Для (/статистик, построенных по выборке из независимых случайных величин, этот вопрос в настоящее время глубоко исследован.

Целью данной работы является исследование невырожденных одновыбо-рочных и многовыборочных (/-статистик в случае неодинаково распределенных случайных величин. Для одновыборочных (/-статистик - получение оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме при минимальноых моментных предположениях на ядро. Для многовыборочных - доказательство центральной предельной теоремы с оцениванием скорости сходимости в ней

Диссертация состоит из шести глав Первая глава носит обзорный характер. В ней даны основные определения, представлены некоторые свойства и примеры (/-статистик, сделан обзор имеющихся результатов, а также описаны основные методы исследования, применявшиеся автором.

Во второй главе получены оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для (/-статистик второй степени. В третьей главе получены оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для (/статистик произвольной степени.

Четвертая и пятая главы посвящены многовыборочным (/-статистикам. В четвертой главе доказывается центральная предельная теорема, а в пятой изучается скорость сходимости к нормальному закону

В шестой главе расматриваются приложения к конкретным задачам. Рассматриваются примеры (/-статистик, появляющихся при изучении характеристик случайных графов.

По теме диссертации опубликовано 6 работ, они перечислены в конце списка литературы под номерами [52]-[57]. Результаты диссертации докладывались на шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике в Санкт-Петербурге в 2005 г.; на пятой Всероссийской конференции по проблемам науки и высшей школы "Фундаментальные исследования в технических университетах" в Санкт-Петербурге в 2001; на городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике под руководством акад. И.А. Ибрагимова в 2001 г.

1 Основные понятия

1.1 Одновыборочные [/-статистики

Пусть Х\,., Хп - независимые случайные величины со значениями в измеримом пространстве (Х,В), не обязательно имеющие одинаковое распределение. Предположим, что тг > т > 1 и для всех 1 < г\ < . < гт < п рассмотрим функции Фг, 1т : Хт —У И - симметрические относительно своих аргументов, такие что

Е\Фи 1т(Хп,. -,Х1т)\ < оо. Определим [/-статистику ип = ил(Фи гт) = £ Ф„ .„(-у,,.х1т) (1.1)

1<11< <«т<"

Рассмотрим случай, когда Х\,., Хп - независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения в измеримом пространстве (X, В) и имеющие на нем распределение Р. Пусть V - некоторое подмножество множества всех вероятностных распределений на (X, В). Определим для Р е V функционал 9(Р), заданный на? и принимающий значения в И. Пусть в(Р) является параметрическим или регулярным, т е для него существует несмещенная оценка и пусть ш, (т <п) - наименьший объем выборки, для которою существует несмещенная оценка Ф(:Г1,. ,хт), тогда можно записать следующее представление для в(Р) в(Р) =[•■•[ Цхи. ,^т)Р(^1). Р{(1хт) для любого Р е Р, Функция Ф(жх,. ,хт) назывется ядром, а число т> 1 -степенью функционала 6(Р). Не уменьшая общности можно предполагать, что Ф является симметрической функцией относительно своих аргументов, т.к. в противном случае можно рассмотреть симметрическое ядро Фо, определяемое следующим образом где суммирование осуществляется по всем перестановкам (г1}.,гт) чисел (1 ,.,ш).

Тогда, если для симметрического ядра Ф(х\,.,хт) определить II-статистику как ип = ип(Ф)=(") £ Ф(Хг1,.,Х1т), (1.2) / 1<Ц< <1т<П то и„ будет симметрической несмещенной оценкой в(Р), т.к. Е11п = в(Р) для любого Р и п> т.

Замечание. Часто и для случая неодинаково распределенных случайных величин ¿/-статистики определяют с соответствующей нормировкой, будем обозначать такие [/-статистики через ип К гт(Хп,.,Х1т). (13) / 1 <11 < <1т<П

В. Гефдинг [35] показал, что справедливо следующее представление V- статистик т т ип-Еип = ^Ы9г1 .с) = Е Е 9ч =

С= 1 С=1 1<Ц < <1с<п п £&+ Е Л1«2 + ■ ■ ■ + Е 5.1.2 «т» (Ы)

1=1 1<11<12<П 1<«1< <1т<П где дч 1С = дн гс{Хг1,., Х1с) с 1 < гх < . < гс < п, с = 1,., т, - канонические функции, которые определяются как дп ,с= I .[ иаЦ(*х,РиУуи)) П РМУ») = х «=1 *ат\1с Е Е (-1ГЩип\хп,.,хи]-Еип), (1.5)

11<л< где 1т = ги.,гт, 1С = ги.,гс, при этом 1С £ 1т, = и 5Х - ¿-мера

Дирака:

-<л>=и хлаа для любых х € X и А € В.

Канонические функции являются симметическими функциями своих аргументов и обладают свойством полной вырожденности е{9п 1С(ХЧ1- --,Х},. .,х1с)} = О при ] 6 1С.

Рангом {/-статистики называется первое целое число г, для которого выполняются соотношения

9и = 9Ь = • ■ ■ = 91 Г1 = О для любых комбинаций индексов /¡¡/г,.',/гь и существует такой набор индексов {гь г2,., гг} в {1,2,., п}, что

9г 1 1г Ф О

Из определения следует, что г принимает значения 1,2,., т. Если г > 2, то [/-статистика называется вырожденной, если г = 1, то [/-статистика называется невырожденной. В данной работе будем рассматривать только невырожденные [/-статистики. Положим з=\ тогда из условия невырожденности [/-статистики следует О

В случае одинаково распределенных случайных величин разложение Геф-динга имеет следующий вид т /шч

Ъ-0(Р) = Е ' ип(дс) =

С=1 \ с т / \ / \ — 1 т \ п 4 Е с Е дЛ,

С=1 \ / \ / 1<«1< <1 т<п где . с т

9с{х 1,.,хс)= . Ф{уи.,ут)][{йт№у*)-р{<1у*)) П р{4у*) =

11<л< <ц<с

Дисперсия [/-статистики. Положим в1т=ЕФ1т(Хп,.,Х1т),

Тогда по определению дисперсия [/-статистики о\ип) = Е(ип - Еип)2 = т С—1 где означает суммирование по всем индексам Ьс = . ,1с, 1тп-с = Ч,---,1т-с, Лп-с -^ш-с таким, ЧТО

1 < . <1с<п, 1<1х < .< 1т-с <71, 1<31< .< Зт-с < п, к Ф г», к ф Зз, Ч ф За при всех к, я.

Если Хх,., Хп - независимые одинаково распределенные случайные величины, то каждое слагаемое под совпадает с где т1с = Е(Фс-ЕФс)2,

ФС = ФС{ХЬ. .,Хе) = ЕФ(хь. Число таких слага . Тогда

Заключение диссертации по теме «Теория вероятностей и математическая статистика», Гадасина, Людмила Викторовна

Заключение.

Результатами настоящей работы являются оценки скорости сходимости [/статистик в случае неодинаково распределенных случайных величин к нормальному закону при различных предположениях о существовании моментов канонических функций. При этом полученные теоремы обобщают имеющиеся результаты, касающиеся случая одинаково распределенных случайных величин, в частности дают оценку порядка 0(1/\/п) при минимальных моментных условиях на ядро.

Для многовыборочных [/-статистик доказана центральная предельная теорема при близких к оптимальным условиях на канонические функции для выборок состоящих из независимых не обязательно одинаково распределенных случайных величин. Кроме того, получены оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме. Примеры 3 и 4 главы б рассматривают некоторые задачи, в которых появляется необходимость изучения таких [/-статистик

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гадасина, Людмила Викторовна, 2006 год

1. Боровских Ю.В. Аппроксимация рапсределений ¿/-статистик, 1979, Докл. АН УССР, Сер А, 9, с 695-698.

2. Воровских Ю В Теория {/-статистик в гильбертовом пространстве. Киев, 1986, 56 с. (Прерп./АН УССР. Ин-т математики; 86 78).

3. Боровских Ю.В. Аппроксимация многовыборочных /В-статистик. Киев,1988, 56 с. (Прерп./АН УССР. Ин-т математики, 88 72).

4. Боровских Ю.В. Центральная предельная тоерема для /-статистик, 1989, Укр. мат. журн., 41, №2, с. 269-271.

5. Воровских Ю.В. О нормальной аппроксимации /-статистик, 2000, Теор вер. и ее прим., 45, JV°3, с. 469-488.

6. Боровских Ю.В., Королюк В С. Асимптотический анализ распределений статистик. Киев. Наук, думка, 1984. 304 с.

7. Боровских Ю В., Королюк B.C. Мартингальная аппроксимация. Киев: Наук, думка, 1988. 248 с

8. Боровских Ю В, Королюк B.C. Теория /-статистик. Киев: Наук, думка,1989. 384 с.

9. Малевич Т.Д., Абдалимов Б.А. Уточнение предельной теоремы для /статистик, 1970, Изв. АН УзССР, сер. физ -мат. наук, №2, с 6-12.

10. Малевич Т.Д., Абдурахманов Г.Р. Центральная предельная теорема для обобщенных (неоднородных) /-статистик от различно распределенных случайных величин, 1986, Изв. АН УзССР, сер. физ.-мат. наук, №2, с. 28-33

11. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987. 317 с.

12. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2, пер с англ -М.: Мир, 1984. 738 с.

13. Хашимов Ш.А., Абдурахманов Г.Р. Об оценке скорости сходимости в центральной предельной теореме для обобщенных /-статистик, 1998, Теор вер. и ее прим., 43, N°1 с. 69-81.

14. Albermk I.B. A Berry-Esseen bound for /-statistics in non-i.i d. case, 2000, Теор. вер. и ее прим., 13, №2, р 519-533.

15. Albermk I.В., Bentkus V. Berry-Esseen bounds for von Mises and /-statistics, 2001, Liet. matem. rink., 41, №1, p 1-20.

16. Alberink I.В., Bentkus V. Lyapunov type bounds for /-statistics, 2001, Teop. вер и ее прим , 46, JV°4, p. 724-743.

17. Arcones M.A. Limits of Canonical /-Processes and B-valued [/-statistics, 1994, J. Theor. Probab., 7, №2, p. 339-349.

18. Bentkus V., Götze F. On minimal moment assumptions in Berry-Esseen theorems for /-statistics, 1995, Theory Probab. Appl, 40, №3, p. 596-614.

19. Bentkus V., Götze F., Zitikis R. Lower estimates of the convergence rate for U-statistics, 1994, Ann. Probab., 22, №4, p. 1707-1714.

20. Bichel P.J. Edgeworth expansion in nonparametric statistics, 1974, Ann Statist., 2, №1, p. 1-20.

21. Borovsbkh Yu V. /-statistics in Banach Spaces. VSP. Utrecht, The Netherlands, 1996, xii+420 p.

22. Borovshkh Yu V., Korolyuk V.S. Martingale Approximation. VSP. Utrecht, The Netherlands, 1997, xi+342 p.

23. Callaert H., Janssen P. The Berry-Esseen theorem for /-statistics, 1978, Ann. Statist., 6, №2, p 417-421.

24. Ceyhan E., Priebe C.E, Wierman J.C. Relative density of the random r-factor proximity catch digraph for testing spatial patterns of segregation and associations, 2006, Computation Stat к data Analysis, 50, p 1925-1964.

25. Chan Y К, Wierman J. On the Berry-Esseen theorem for /-statistics, 1977, Ann. Probab , 5, №1, p. 136-139.

26. Dwass M. The large-sample power of rank test in the two-samples problem, 1956, Ibid., 27, №2, p. 352-374.

27. Fräser D Nonparametric methods in statistics. New York: Wiley, 1957, 299 p.

28. Friedrich К. О. A Berry-Esseen bound for functions of independent random variables, 1989, Ann. Statist., 17, M, p. 170-183.

29. Ghosh M., Dasgupta R. Berry-Esseen theorem for /-statistics in the non 1.1 d. case, 1982, Colloguia mathematica socieatatis Jänos Bolyai, 32. Nonparametric statistical inference.- Amsterdam: North Holland publishing company, 1, p. 293-313.

30. Gombay E. /-statistics for change ander alternatives, 2001, J. Multivariate Anal., 78, p. 139-158.

31. Grams W.E., Serflmg R J. Convergence rate for /-statistics and related statistics, 1973, Ann. Statist., 1, №1, p. 153-160.

32. Halmos P.R The theory of unibiased estimation, 1946, Ann Math Statist., 17, p 34-43

33. Helmers B, van Zwet W B. The Berry-Esseen bound for /-statistics, 1990, Statistical Decision Theory and Related Topics. III. Gupta, S S. and Berger, I.O. (Eds). Academic Press. New York-London, 1, p. 497-512.

34. Hoeffding W. A class of statistics with asymptotically normal distribution, 1948, Ann. Math. Statist., 19, p 293-325.

35. Hoeffding W. The strong law of large numbers for /-statistics, 1961, Inst. Statist. Mimeo Ser. N>302, p 1-10.

36. Maesono N. On the normal approximation of /-statistics of degree two, 1991, J. Statist. Plann. Inference, 17, N»1, p. 37-50.

37. Mahmoud M.A.W, El-Arishy S M., Diab L S Testing renewal new better than used life distributions based on U-test, 2005, Appl. Math. Mod., 29, p. 784-796

38. Molmary N. A /-statistic test in competing risk models, 2005, C R. Acad Sci. Paris, Ser. I 341, p. 317-322.

39. Puri M.L , Sen P Nonparametric methods in multivariate analysis New York-Wiley, 1971, 432 p.

40. Sen P. On some multisample permutation test based on a class of /-statistics, 1967, J. Amer. Statist. Assoc., 62, N320, p. 1201-1213.

41. Sen P. /-statistics and combination of independent estimators of regular functional, 1967, Calcutta Statist Assoc. Bull, 16, JV°61, p 1-14

42. Sen P. Sequential Nonparametrics- invariance principles and statistical inference. New York: John Wiley and Sons, 1981, 421 p

43. Sugiura N. Multisample and multivariate nonparametric test based on U-statisticsand their asymptotic efficiences, 1965, Osaka J. Math , 2, N°2, p. 385426

44. Svante J, Krzysztov N The asymptotic distributions of generalized /-statistics with applications to random graphs, 1991, Probab Theory Relat Fields, 90, p 341-375.

45. Zhao L., Chen X. Berry-Essen bounds for finite-population /-statistics, 1987, Scientia Sinica, Ser. A, 2, p. 113-127.

46. Гадасина JI.В. О нормальной аппроксимации /-статистик второй степени, 2001, тезисы к докладу. "Фундаментальные исследования в технических университетах", изд СПбГТУ.

47. Гадасина JIВ Граница Берри-Эссеена для /-статистик, 2003, Зап научн сем ПОМИ , 298, с 54-79.

48. Гадасина JIВ Неравенства Берри-Эссеена для /-статистик, 2003, Теор. вер. и ее прим , 48, JV°1, с. 151-155.

49. Гадасина ЛВ О нормальной аппроксимации /-статистик, 2004, Обозрен. прикл. и пром мат., 11, N°2, с. 316-317.

50. Гадасина Л.В. Центральная предельная теорема для многовыборочных /статистик, 2005, Обозрен. прикл. и пром. мат, 12, №2, с. 330-331

51. Гадасина Л.В. Оценки типа Берри-Эссеена для многовыборочных U-статистик, 2005, Зап. научн. сем. ПОМИ., 328, с. 69-90.