Параллельные методы липшицевой глобальной оптимизации для выбора параметров математических моделей сложных объектов и процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор наук Баркалов Константин Александрович

• Баркалов Константин Александрович
• доктор наук
• 2021

Оглавление диссертации доктор наук Баркалов Константин Александрович

ВВЕДЕНИЕ

1. ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ В ЗАДАЧАХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОБЪЕКТОВ И ПРОЦЕССОВ

1.1. Локально-оптимальные и глобально-оптимальные решения

1.2. Обзор известных подходов к решению задач глобальной оптимизации

1.3. Глобальная оптимизация в невыпуклых и неодносвязных областях, основанная на редукции к базовой задаче

1.3.1. Базовый алгоритм глобального поиска

1.3.2. Учет ограничений, включая ограничения, определенные не во всей области изменения параметров

1.3.3. Редукция размерности задачи с использованием кривых, заполняющих пространство

1.3.4. Многошаговая схема редукции размерности задачи

1.4. Основные результаты главы

2. УСКОРЕНИЕ ВЫБОРА РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ГЛОБАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

2.1. Введение переменного порядка проверки ограничений для сокращения объема вычислений

2.2. Ускорение процесса поиска решения путем использования локального уточнения

2.3. Учет ограниченной точности при реализации решений

2.4. Ускорение решения задач с гладкими функциями

2.5. Учет метрических свойств многомерного пространства при редукции размерности

2.5.1. Множественные отображения на основе сдвига развертки

2.5.2. Множественные отображения на основе вращения развертки

2.5.3. Индексный метод с множественными отображениями

2.6. Основные результаты главы

3. СУПЕРКОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ВЫБОРА ГЛОБАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

3.1. Параллельные алгоритмы оптимизации для вычислительных систем с общей памятью

2

3.1.1. Параллельный алгоритм глобального поиска

3.1.2. Параллельный алгоритм для решения серии задач оптимизации

3.2. Использование вычислительных систем с разделяемой памятью для глобальной оптимизации с множественной разверткой

3.2.1. Редукция многомерных задач к семейству связанных одномерных

3.2.2. Организация параллельных вычислений

3.2.3. Параллельный алгоритм с использованием распределенной памяти

3.2.1. Результаты экспериментов

3.3. Использование систем с разделяемой памятью на основе обобщенной схемы редукции размерности

3.3.1. Обобщенная многошаговая схема редукции размерности

3.3.2. Результаты экспериментов

3.4. Использование гетерогенных вычислительных ресурсов современных суперкомпьютеров

3.4.1. Использование графических ускорителей

3.4.2. Использование сопроцессоров Intel Xeon Phi

3.4.3. Гибридный алгоритм, использующий центральные процессоры и ускорители вычислений

3.5. Основные результаты главы

4. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗРАБОТАННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГЛОБАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

4.1. Обзор существующих программных решений

4.2. Архитектура разработанной программной библиотеки Globalizer

4.2.1. Программные компоненты системного уровня

4.2.2. Программные компоненты прикладного уровня

4.3. Программная реализация библиотеки Globalizer

4.3.1. Основные классы системного и прикладного уровней

4.4. Технологические аспекты применения программной системы Globalizer

4.4.1. Задача оптимизации как динамически подключаемая библиотека

4.4.2. Запуск консольного решателя из командной строки

4.4.3. Запуск консольного решателя из графической оболочки

4.4.4. Постановка задачи в системе управления кластером

3

4.4.5. Визуализация полученных результатов

4.5. Оценки характеристик библиотеки при решении модельных задач

4.5.1. Физическая задача как тест

4.5.2. Генерация серии задач

4.5.3. Результаты численных экспериментов

4.6. Основные результаты главы

5. РЕШЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНЫХ ВАРИАНТОВ

5.1. Оптимальный выбор параметров алгоритмов машинного обучения

5.1.1. Содержательная постановка задачи

5.1.2. Постановка задачи оптимизации

5.1.3. Результаты численных экспериментов

5.2. Выбор параметров модели для прогнозирования потребления воды

5.2.1. Содержательная постановка задачи

5.2.2. Задача оптимизации и исходные данные

5.2.3. Результаты численных экспериментов

5.3. Задача идентификации параметров модели региональной экономики

5.3.1. Содержательная постановка задачи

5.3.2. Описание модели региональной экономики

5.3.3. Результаты численных экспериментов

5.4. Оптимизация процесса охлаждения капли в потоке газа

5.4.1. Содержательная постановка задачи

5.4.2. Физическая и математическая модель газодинамической задачи

5.4.3. Интеграция Globalizer и ANSYS Workbench

5.4.4. Результаты численных экспериментов

5.5. Основные результаты главы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Параллельные методы липшицевой глобальной оптимизации для выбора параметров математических моделей сложных объектов и процессов»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования. Проектирование новых технических систем, объектов и процессов помимо использования новых материалов, эффектов и явлений (что определяет общую структуру проектируемого объекта) включает в себя также выбор наилучшей комбинации параметров проектируемого объекта (геометрических размеров, прочностных характеристик и т.п.). При этом количественная оценка характеристик объекта проводится не на нем самом, а путем численного эксперимента с его математическими моделями [105].

Одной из основных схем поиска наилучшей комбинации параметров является процедура поиска минимума одной из характеристик, вычисляемой на основе модели объекта, при ограничениях на другие характеристики. Эти характеристики сложного объекта в возникающих задачах оптимизации с ограничениями обычно не заданы аналитическими выражениями, а вычисляются с помощью специальных программ (говорят, что характеристики заданы как «черный ящик»).

Если в такой задаче искомый наилучший набор параметров можно определить путем локальных улучшений, переходя от одного набора параметров к другому (лучшему), то поиск решения не потребует анализа всех возможных вариантов. Для таких задач разработаны эффективные методы локальной оптимизации [71, 92, 94, 113, 133, 135].

Однако для многих сложных задач характерна ситуация, когда таких локально-оптимальных решений (т.е. не улучшаемых локальными изменениями) существует несколько и нужно найти лучшее из них. Это лучшее решение для многоэкстремальной задачи называют глобально-оптимальным. Типичными примерами задач глобальной оптимизации с функциями вида «черный ящик» являются задачи идентификации неизвестных параметров математических моделей исследуемых процессов по экспериментальным данным [6, 76, 83, 132].

Задачи глобальной оптимизации относятся к числу наиболее сложных постановок оптимизационных задач, т.к. глобальный экстремум является интегральной характеристикой задачи и его отыскание требует вычисления значений функ-

ции в узлах некоторой (случайной или регулярной) сетки во всей области допустимых изменений параметров. При этом допустимая область, где наборы параметров удовлетворяют ограничениям, может состоять из не связных частей, т.е. может быть неодносвязной.

Проработанность методов локальной оптимизации предопределила многочисленные попытки тем или иным образом адаптировать данные методы к многоэкстремальным задачам. Среди подобного рода подходов можно выделить методы, основанные на идее мультистарта (запуск локального поиска в областях притяжения различных локальных решений). Исследования различных мультистар-товых схем начаты еще в 60-х годах прошлого века (см., например, [84, 104, 141, 178]) и до сих пор не утратили своей популярности [181, 225]. Большой вклад в развитие методов построения регулярных и случайных сеток для мультистарто-вых методов внесли работы Жиглявского А.А., Растригина Л.А., Соболя И.М., А. Жилинскаса (A. Zilinskas).

В последние годы получили широкое распространение так называемые биоинспирированные оптимизационные алгоритмы, основанные на моделировании природных процессов и явлений. Типичными примерами здесь являются генетические и популяционные алгоритмы [68, 78, 96, 147, 157]. Однако все подобные методы содержат случайную компоненту (например, операции скрещивания и мутации в генетических или миграции в популяционных алгоритмах), поэтому для них возможны лишь вероятностные оценки точности получаемых решений. Данное направление методов глобальной оптимизации представлено в работах Карпенко А.П., Кочетова Ю.А., Курейчика В.М., Курейчика В.В. и многих других исследователей.

Особые классы задач глобальной оптимизации возникают, когда характеристики проектируемого объекта заданы зависимостями от параметров, описанными аналитически. В этом случае можно сделать дополнительные предположения о структуре функций, входящих в постановку задачи, что позволяет свести решение многоэкстремальной задачи к решению локальных задач. Одним из примеров являются задачи d.c.-оптимизации (difference of convex — разность выпуклых), в ко-

6

торых невыпуклые многоэкстремальные функции представляются как разность двух выпуклых функций [121, 218, 219]. Еще одно направление развития методов глобальной оптимизации, использующих предположения о структуре функций решаемой задачи, основано на построении вогнутых минорант многоэкстремальных функций и связанных с ними отсечений [70, 134, 142]. Методы, основанные на структурных свойствах функций решаемой задачи, представлены в работах Булатова В.П., Стрекаловского А.С., Хамисова О.В., Е. Хансена (E. Hansen), Н. Са-хинидиса (N. Sahinidis), Х. Туя (H. Tuy).

В случае, когда аналитические выражения для функций задачи не известны (а именно такая ситуация является типичной для выбора лучших решений в прикладных задачах проектирования сложных объектов), эффективные методы могут быть основаны на предположении, что данные функции удовлетворяют условию Липшица (в этом случае говорят о задачах липшицевой оптимизации). Указанное предположение является математической моделью ограниченности изменения характеристик проектируемого объекта при ограниченном изменении его параметров.

Методы решения задач липшицевой оптимизации составляют важнейшее направление развития методов глобальной оптимизации и являются объектом исследований многих российских и зарубежных ученых. Первые алгоритмы были предложены в начале 70-х годов Евтушенко Ю.Г. [85], Пиявским С.А. [110], Стронгиным Р.Г. [122], Б. Шубертом (B. Shubert) [213]; с тех пор данное направление продолжает активно развиваться. В нашей стране в разработку методов липшицевой оптимизации внесли свой вклад исследования Сухарева А.Г. [130, 131], Евтушенко Ю.Г. [86, 87, 148,], Посыпкина М.А. [88, 112, 149], Стронги-на Р.Г. [123, 216], Сергеева Я.Д. [117, 208], Гергеля В.П. [72, 158]. Среди зарубежных ученых можно отметить Я. Пинтера (J. Pinter) [196], П. Хансена (P. Hansen) [165], Д. Джонса (D. Jones) [174, 176], А. Жилинскаса (A. Zilinskas) [217] и Ю. Жилинскаса (J. Zilinskas) [193, 194].

Новые возможности для решения сложных прикладных задач оптимизации возникли с появлением мощных многопроцессорных вычислительных систем.

Эффективная реализация этих новых возможностей требует использования новых методов распараллеливания вычислений. Данная диссертационная работа посвящена развитию параллельных алгоритмов решения задач глобальной оптимизации с невыпуклыми ограничениями, основанных на информационно-статистическом алгоритме глобального поиска, предложенном Стронгиным Р.Г. Практическая значимость задач липшицевой оптимизации, а также большое количество публикаций в данной области подтверждают актуальность темы исследований.

Научной проблемой, на решение которой направлено диссертационное исследование, является проблема разработки параллельных алгоритмов и схем их практической реализации для эффективного решения вычислительно-трудоемких многомерных задач глобальной оптимизации с невыпуклыми ограничениями.

Целью исследований являются создание системы моделей, методов и программных средств для решения многомерных задач глобальной оптимизации с невыпуклыми ограничениями на суперкомпьютерных системах.

Для достижения этой цели решаются следующие задачи исследования:

1. Построение модели процесса решения вычислительно-трудоемких задач оптимизации, основанной на сведении многомерной задачи к набору связанных задач меньшей размерности, решение которых может осуществляться параллельно.

2. Разработка обобщенной схемы редукции размерности для задач глобальной оптимизации, сочетающей схему вложенной (рекурсивной) оптимизации и отображения типа кривой Пеано.

3. Разработка параллельных алгоритмов, использующих обобщенную схему редукции размерности и ориентированных на современные гетерогенные вычислительные системы.

4. Исследование способов ускорения сходимости параллельных алгоритмов, основанных на более полном использовании доступной информации о решаемой задаче (наличие в-резервированных решений, информация о локальном поведении функций задачи).

5. Реализация параллельной программной библиотеки для решения задач многоэкстремальной оптимизации с использованием суперкомпьютеров; интеграция разработанных программных средств с современными пакетами численного моделирования для решения прикладных оптимизационных задач.

Объектом исследований являются задачи липшицевой оптимизации, возникающие при выборе оптимальных параметров математических моделей сложных объектов и процессов.

Предметом исследований являются математические модели, параллельные алгоритмы и программные комплексы для решения вычислительно-трудоемких задач глобальной оптимизации с невыпуклыми ограничениями на суперкомпьютерных системах.

Научной новизной работы является совокупность моделей и методов решения задач глобальной оптимизации, основанных на обобщенной схеме редукции размерности и ориентированных на использование в суперкомпьютерных системах. В отличие от известных подходов к параллельному решению задач глобальной оптимизации (ориентированных, как правило, на использование алгоритмов одного типа на однородных процессорах) предложенная обобщенная схема редукции размерности позволяет использовать различные алгоритмы управления выбором очередных итераций на основе накапливаемой информации с учетом возможной гетерогенной архитектуры вычислительной системы (центральные процессоры, графические ускорители, сопроцессоры).

Выделены следующие основные элементы научной новизны:

1. Концепция многоуровневой декомпозиции параллельных вычислений в задачах глобальной оптимизации. Использование многоуровневой декомпозиции позволило разработать параллельные программные средства, эффективно использующие потенциал современных суперкомпьютерных систем, включая общую и распределенную память, ускорители вычислений (Соответствует области исследований п. 3 паспорта специальности).

2. Модель организации параллельных вычислений в задачах глобальной оптимизации, основанная на сведении исходной многомерной задачи к системе свя-

занных одномерных задач с использованием множества кривых Пеано (разверток). Предложенная модель позволяет разрабатывать параллельные алгоритмы, учитывающие основные свойства близости в метрике многомерного пространства и обеспечивающие равномерную сходимость к решению каждой одномерной задачи (Соответствует областям исследований п. 3, 4 паспорта специальности).

3. Обобщенная схема редукции размерности, сочетающая идеи вложенной (рекурсивной) оптимизации и редукцию размерности с использованием кривых, заполняющих пространство (разверток). Новизна предложенной рекурсивной схемы состоит в использовании различных алгоритмов глобальной оптимизации на разных уровнях рекурсии в соответствии со свойствами решаемой задачи и гетерогенной архитектурой вычислительной системы (Соответствует областям исследований п. 5, 9 паспорта специальности).

Соответствие паспорту специальности. Предложенные в диссертации концепция многоуровневой декомпозиции, модель организации параллельных вычислений и оптимизационные методы на их основе были разработаны на базе исследования системных связей между многомерной задачей глобальной оптимизации и эквивалентным ей множеством информационно-связанных задач меньшей размерности, что соответствует п. 3-5, 9 паспорта специальности 05.13.01 «Системный анализ, управление и обработка информации»: «Разработка критериев и моделей описания и оценки эффективности решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации», «Разработка методов и алгоритмов решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации», «Разработка специального математического и алгоритмического обеспечения систем анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации», «Разработка проблемно-ориентированных систем управления, принятия решений и оптимизации технических объектов».

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Концепция многоуровневой декомпозиции параллельных вычислений в задачах глобальной оптимизации, позволяющая эффективно использовать гетерогенные вычислительные ресурсы современных суперкомпьютерных систем.

2. Математическая модель параллельных вычислений в задачах глобальной оптимизации, основанная на сведении исходной многомерной задачи к серии связанных задач меньшей размерности и их параллельном решении.

3. Параллельные алгоритмы глобальной оптимизации, разработанные в рамках предложенной математической модели, ориентированные на решение задач условной оптимизации с частично определенными функциями.

4. Способы ускорения сходимости параллельных алгоритмов глобальной оптимизации на основе более полного учета доступной информации о решаемой задаче.

5. Параллельная программная библиотека GlobaHzer для решения задач глобальной оптимизации с невыпуклыми ограничениями; решение с помощью библиотеки GlobaHzer оптимизационных задач из разных областей приложений.

Достоверность и обоснованность результатов определяется использованием математического аппарата информационно-статистической теории глобального поиска и обеспечивается строгими доказательствами выдвигаемых положений, проведением вычислительных экспериментов на сериях из многих сотен модельных задач, а также решением вычислительно-трудоемких прикладных оптимизационных задач из разных областей науки и техники.

Практическая значимость работы. Предложенные в рамках диссертационного исследования модели параллельных вычислений и методы глобальной оптимизации на их основе могут быть использованы для решения вычислительно-сложных задач выбора наилучшей комбинации параметров проектируемых объектов или процессов. Разработанные методы применялись при решении ряда оптимизационных задач из разных областей приложений, в том числе: выбор энергоэффективного режима работы аэроклиматической трубы [10, 23], оптимизация параметров алгоритмов машинного обучения [13], выбор оптимальных парамет-

11

ров системы прогнозирования потребления воды [37], идентификация параметров модели региональной экономики [6].

Публикации по теме работы. По материалам диссертации опубликованы 64 работы, в том числе: одна монография (в соавторстве) [11], 37 статей в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, включая 10 статей в российских журналах [1-10] и 27 публикаций в библиографических базах Scopus/Web of Science [12-37].

Апробация и внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы использовались при выполнении проектов ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (№ 14.B37.21.0878, 14.В37.21.039), Российского фонда фундаментальных исследований (№ 11-01-00682, 11-07-97017, 19-07-00242), Российского научного фонда (№ 15-11-30022, 16-11-10150).

Результаты работы используются в учебном процессе Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (акт о внедрении приведен в Приложении A), а также представлялись в рамках всероссийских молодежных научных школ «Высокопроизводительные вычисления, оптимизация и приложения» 2015 - 2017 гг. Разработанная в рамках диссертационного исследования библиотека Globalizer используется в Пермском национальном исследовательском политехническом университете, Национальном исследовательском университете ИТ-МО, планируется к использованию в Институте системного программирования РАН (акты о внедрении приведены в Приложении A). На разработанное программное обеспечение получены свидетельства о регистрации программ для ЭВМ [39-41] (Приложение Б).

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих международных и всероссийских конференциях [42-64]: Всероссийская конференция молодых ученых «Технологии Microsoft в теории и практике программирования» (Нижний Новгород, 2008, 2009); Всероссийская научная конференция «Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах» (Казань, 2008, Владимир, 2009, Пермь, 2010, 2014, Нижний Новгород, 2011, 2012); Международная научная конференция «Параллельные вычислительные технологии» (Уфа, 2010, Челябинск, 2013, Архангельск,

12

2016, Казань, 2017); Международная суперкомпьютерная конференция «Научный сервис в сети Интернет» (Абрау, 2012 - 2014); Международная конференция «Numerical Computations: Theory and Algorithms» (Фалерна, Италия, 2013, 2016); Международная конференция «Engineering and Applied Sciences Optimization» (Греция, 2014); Международная конференция «Суперкомпьютерные дни в России» (Москва, 2015 - 2019); Международная конференция «Parallel Computing Technologies» (Санкт-Петербург, 2013, Петрозаводск, 2015, Нижний Новгород, 2017); Международная конференция «Learning and Intelligent Optimization» (Неаполь, Италия, 2016, Нижний Новгород, 2017).

Личный вклад автора заключается в разработке основных теоретических положений, в разработке и реализации параллельных алгоритмов, выносимых на защиту. Автором разработаны основные модули программной библиотеки Globalizes Автором ставились и решались задачи проведения экспериментов на модельных и прикладных задачах оптимизации. Вклад автора в основные опубликованные работы был определяющим. Все представленные в диссертации положения, выносимые на защиту, получены лично автором, либо под его руководством.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы (225 наименований). Общий объём работы — 284 страницы.

В первой главе приведена постановка задачи глобальной оптимизации с ограничениями как модели выбора в оптимальном проектировании, сделан краткий обзор известных методов решения задач данного класса, рассмотрены проблемы, возникающие при решении подобных задач. Приведены наиболее важные положения подхода к решению задач глобальной оптимизации в невыпуклых не-односвязных областях, основанного на редукции к базовой задаче. При этом оптимальный выбор сводится к отысканию глобального минимума многоэкстремальной функции при наличии невыпуклых ограничений вида <р(у*) = min{<p(y),y £ D,gj(y) < 0,1 <j< т}, D = {yERN-.ai<yi<bi,l<i< N],

где Б есть область возможных значений вектора параметров у, а функции 5 (у) представляют характеристики объекта, которые должны быть ограничены в искомом решении.

Предполагается, что целевая функция ^(у) (обозначаемая в дальнейшем также (у)) и левые части ограничений .дДу), 1 < У < ш, могут быть многоэкстремальными функциями, удовлетворяющими условию Липшица

\gjiy') - 9](у")| < ЦЬ- у"II' У'>У" е БД < У < т + 1,

с априори неизвестными константами ¿у, 1 < у < ш + 1. Предполагается также, что процедура вычисления значений функций задачи в некоторой точке (называемая в дальнейшем испытанием) может быть трудоемкой операцией.

В соответствии с концепцией редукции к базовой задаче решение многомерных задач сводится к решению соответствующим им одномерных, а решение задач с ограничениями - к решению задач без ограничений. Использование данной концепции позволяет применять для решения многомерных задач условной оптимизации эффективные методы одномерной оптимизации. В сочетании со способами распараллеливания, ориентированными на эффективное управление пулом процессоров и памятью, это приводит к разработке новых параллельных алгоритмов для решения задач глобальной условной оптимизации.

Ключевым подходом здесь является редукция размерности с использованием кривых Пеано (называемых также кривыми, заполняющими пространство). Непрерывное однозначное отображение у(х), отображающее отрезок [0,1] на Ы-мерный гиперкуб Б, позволяет свести многомерную задачу условной минимизации в области Б к одномерной задаче условной минимизации на отрезке [0,1]

^(у(х*)) = шт{р(у(х)):х £ [0,1],5у(у(х)) < 0,1 < у < ш}. Отметим, что теоретическая кривая Пеано у(х) является предельным объектом и на практике заменяется ее аппроксимацией (разверткой) с заданной точностью 2_м, где целое число М > 1 является параметром. Рассматриваемая схема редукции размерности сопоставляет многомерной задаче с липшицевыми целевой

функцией и ограничениями одномерную задачу, в которой соответствующие функции удовлетворяют равномерному условию Гельдера

Шу(х'))-д](у(х"))\<К]\х'-х"\Я, х',х" £ [ОД],1 <] < т + 1, где N есть размерность исходной многомерной задачи, а коэффициенты К] связаны с константами Липшица исходной задачи соотношениями К < 2L;VNTЗ.

Во второй главе рассмотрены различные подходы к ускорению сходимости алгоритмов глобальной оптимизации. Первый из них основан на введении переменного порядка проверки ограничений задачи. Так как проведение испытания в рассматриваемых алгоритмах подразумевает последовательную проверку ограничений до обнаружения первого нарушенного, то вычислительные затраты на проведение испытания будут зависеть от порядка, в котором вычисляются ограничения задачи. В задачах липшицевой оптимизации ограничение, нарушенное в некоторой точке области поиска, не будет выполняться и в окрестности этой точки. Если в точках этой окрестности начинать испытания с проверки выполнимости указанного ограничения, то затраты на проведение испытания будут снижены. Предложен соответствующий алгоритм с адаптивным порядком проверки ограничений.

В § 2.2 рассмотрен способ ускорения, основанный на учете е-резервированных решений в задачах многоэкстремальной оптимизации. Существование е-резервированных решений можно интерпретировать как некоторый аналог условий регулярности в классических задачах нелинейного программирования. Введение в алгоритм дополнительного набора параметров е1,...,ет (значения которых соответствуют координатам вектора резервов ек) позволяет значительно снизить плотность последовательности испытаний в окрестности границы допустимой области.

В § 2.3 и § 2.4 изложены подходы к учету информации о локальном поведении функций задачи (как без использования значений производных функций задачи, так и с использованием указанных значений). Для задач липшицевой оптимизации можно предположить, что местонахождение глобального оптимума бо-

лее вероятно в окрестностях тех точек испытаний, которым соответствуют малые нормированные значения целевой функции. Использование этого предположения позволяет ускорить процесс попадания точек испытаний в область притяжения глобального оптимума. Рассмотрены модификации решающих правил алгоритма, которые позволяют форсировать сходимость к решению задачи на заключительной фазе поиска.

В заключительном параграфе главы рассматриваются схемы, позволяющие более полно учитывать информацию о близости точек в многомерном пространстве при редукции размерности с использованием кривых Пеано (разверток). Из свойств развертки следует, что любым двум близким точкам х',х" £ [0,1] будут соответствовать близкие образы у' = у(х'), у" = у (х ") в многомерной области Б. Обратное утверждение не верно, т.е. двум близким точкам у ', у ' ' £ Б могут соответствовать существенно далекие прообразы х', х' ' £ [0 , 1 ] . Это означает, что при редукции многомерной задачи к одномерной происходит потеря информации о близости точек испытаний в многомерном пространстве.

Возможным способом преодоления этого недостатка является использование множества разверток вместо единственной кривой у (х) . Предложен новый способ построения указанного множества разверток и его использования в многомерном алгоритме глобального поиска. Модификации (по сравнению с алгоритмом, использующим единственную развертку) заключаются в изменении схемы проведения испытания и обработки его результатов. Сформулирована теорема о сходимости метода; приведены результаты численных экспериментов.

В третьей главе обсуждаются концепция многоуровневой декомпозиции параллельных вычислений в задачах глобальной оптимизации, позволяющая эффективно использовать гетерогенные вычислительные ресурсы современных суперкомпьютерных систем.

В § 3.1 рассмотрен способ распараллеливания алгоритма глобального поиска, ориентированный на использование общей памяти. Последовательный алгоритм глобального поиска построен на основе информационно-статистической мо-

16

дели, согласно которой каждому интервалу поиска сопоставляется ха-

рактеристика Я(1). Нормированная характеристика может интерпретироваться как некоторая оценка вероятности нахождения в данном интервале точки глобального минимума, и на к-й итерации последовательного метода точка (к+1)-го испытания выбирается в интервале с максимальной характеристикой. Тогда для организации параллельных вычислений с использованием р потоков можно одновременно проводить р испытаний в р интервалах, имеющих наибольшие характеристики, т.е. в интервалах, имеющих наибольшие вероятности локализации в них глобального оптимума. Приведена вычислительная схема алгоритма, даны достаточные условия его сходимости и оценки эффективности распараллеливания.

В § 3.2 представлен способ организации параллельных вычислений при одновременном решении серии оптимизационных задач. Данный способ ориентирован как на достижение равномерной сходимости к решениям всех задач серии, так и на равномерную загрузку используемых вычислительных устройств.

В процессе решения множества задач полезно как можно раньше иметь оценки решений сразу во всех задачах. При этом оценки оптимума во всех задачах желательно иметь с примерно одинаковой точностью. Запуск в параллельной вычислительной системе множества независимых процессов, каждый из которых будет решать одну задачу из серии, обладает рядом недостатков. Во-первых, будет наблюдаться дисбаланс вычислительной нагрузки между процессорами. Если решение /-й задачи требует значительно меньшего числа итераций метода, чем решение у-й задачи, то в этом случае процессор, решающий /-ю задачу, будет простаивать. Во-вторых, в фиксированный момент времени оценки оптимума в разных задачах будут получены с разной точностью. Более простые задачи будут решены с высокой точностью, в то время как более сложные задачи будут решены менее точно. В данном параграфе предлагается метод решения серии задач глобальной оптимизации, который будет обеспечивать как равномерную загрузку всех используемых ядер/процессоров, так и равномерную сходимость к решениям всех задач серии.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Баркалов Константин Александрович, 2021 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Баркалов, К.А. Параллельные вычисления в задачах многоэкстремальной оптимизации / К.А. Баркалов, С.В. Сидоров, В.В. Рябов // Вестник Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского. — 2009. — № 6(1). — С. 171-177.

2. Стронгин, Р.Г. Параллельные методы решения задач глобальной оптимизации / Р.Г. Стронгин, В.П. Гергель, К.А. Баркалов // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. — 2009. — Т. 52, №10. — С. 25-32.

3. Баркалов, К.А. О некоторых способах балансировки локального и глобального поиска в параллельных алгоритмах глобальной оптимизации / К.А. Баркалов, В.В. Рябов, С.В. Сидоров // Вычислительные методы и программирование. — 2010. — Т. 11, № 2. — С. 189-194.

4. Баркалов, К.А. Оценки эффективности параллельного индексного метода глобальной оптимизации / К.А. Баркалов // Вестник Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского. — 2011. — № 3(2). — С. 13 □ 19.

5. Баркалов, К.А. Алгоритм решения задач условной глобальной оптимизации с использованием производных / К.А. Баркалов // Вестник Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского. — 2012. — № 5(2). — С. 22-27.

6. Гергель, В.П. Глобальная оптимизация в идентификации многосекторной модели экономики нижегородской области / В.П. Гергель, Н.Н. Оленев, В.В. Рябов, К.А. Баркалов, С.В. Сидоров // Вестник Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского. — 2013. — № 3(1). — С. 223-230.

7. Лебедев, И.Г. Реализация параллельного алгоритма глобального поиска на GPU / И.Г. Лебедев, К.А. Баркалов // Вестник ПНИПУ. Аэрокосмическая техника. — 2014. — № 39. — С. 64-82.

8. Баркалов, К.А. Использование параллельных характеристических алгоритмов для решения многомерных задач глобальной оптимизации / К.А. Баркалов // Вестник ЮУрГУ. Серия: Вычислительная математика и информатика. — 2014. — Т. 3, № 4. — С. 116-123.

9. Баркалов, К.А. Реализация параллельного алгоритма поиска глобального экстремума функции на Intel Xeon Phi / К.А. Баркалов, И.Г. Лебедев, В.В. Совра-сов, А.В. Сысоев // Вычислительные методы и программирование. — 2016. — Т. 17, № 1. — С. 101-110.

10. Калюлин, С.Л. Интеграция программных комплексов Globalizer и ANSYS для оптимизации процессов охлаждения капли в потоке газа / С.Л. Калюлин, В.Я. Модорский, К.А. Баркалов, В.П. Гергель, Ю.А. Лаптева, Е.А. Козинов // Научно-технический вестник Поволжья. — 2017. — № 5. — С. 145-148.

11. Стронгин, Р.Г. Параллельные вычисления в задачах глобальной оптимизации / Р.Г. Стронгин Р.Г., В.П. Гергель, В.А. Гришагин, К.А. Баркалов. — М.: Издательство Московского университета, 2013. — 280 с.

12. Barkalov, K. Parallel scalable algorithms with mixed local-global strategy for global optimization problems / K. Barkalov, V. Ryabov, S. Sidorov // Lecture notes in computer science. — 2010. — V. 6083. — P. 232-240.

13. Barkalov, K. SVM regression parameters optimization using parallel global search algorithm / K. Barkalov, A. Polovinkin, I. Meyerov, S. Sidorov, N. Zolotykh // Lecture notes in computer science. — 2013. — V. 7979. — P. 154-166.

14. Barkalov, K. Multilevel scheme of dimensionality reduction for parallel global search algorithms / K. Barkalov, V. Gergel. // OPT-i 2014. An International Conference on Engineering and Applied Sciences Optimization (Kos Island, Greece, 4-6 June 2014). — 2014. — P. 2111-2124.

15. Barkalov, K. Use of Xeon Phi coprocessor for solving global optimization problems / K. Barkalov, V. Gergel, I. Lebedev // Lecture notes in computer science. — 2015. — vol. 9251. — P. 307-318.

16. Barkalov, K. Solving GENOPT problems with the use of ExaMin solver / K. Barkalov, A. Sysoyev, I. Lebedev, V. Sovrasov // Lecture notes in computer science. — 2016. — vol. 10079. — P. 283-295.

17. Barkalov, K. Solving multidimensional global optimization problems using graphics accelerators / K. Barkalov, I. Lebedev // Communications in computer and information science. — 2016. — vol. 687. — P. 224-235.

252

18. Barkalov, K. Solving global optimization problems on GPU cluster / K. Barkalov, V. Gergel, I. Lebedev // AIP Conference Proceedings. — 2016. — vol. 1738. — art. no. 400006

19. Modorskii, V.Ya. Optimization in design of scientific products for purposes of cavitation problems / V.Ya. Modorskii, D.F. Gaynutdinova, V.P. Gergel, K.A. Barkalov // AIP conference proceedings. — 2016. — V. 1738. — art. no. 400013.

20. Strongin, R. New approach to parallel solving a set of global optimization problems / R. Strongin, K. Barkalov, K. Nikolaev // AIP Conference Proceedings. — 2016. — vol. 1776. — art. no. 060002.

21. Barkalov, K. Local tuning in multilevel scheme of parallel global optimization / K. Barkalov, I. Lebedev // AIP Conference Proceedings. — 2016. — vol. 1776. — art. no. 060006.

22. Barkalov, K. Parallel global optimization on GPU / K. Barkalov, V. Gergel // Journal of Global Optimization. — 2016. — V. 66, №1. — P. 3-20.

23. Kalyulin, S.L. Optimization of drop characteristics in a carrier cooled gas stream using ANSYS and Globalizer software systems on the PNRPU high-performance cluster / S.L. Kalyulin, E.V. Shavrina, V.Y. Modorskii, K.A. Barkalov, V.P. Gergel // Communications in computer and information science. — 2017. — vol. 753. — P. 331-345.

24. Barkalov, K. Comparing two approaches for solving constrained global optimization problems / K. Barkalov, I. Lebedev // Lecture notes in computer science. — 2017. — vol. 10556. — P. 301-306.

25. Barkalov, K. Parallel algorithm for solving constrained global optimization problems / K. Barkalov, I. Lebedev // Lecture Notes in Computer Science. — 2017. — vol. 10421. — P. 396-404.

26. Sysoyev, A. Globalizer — a parallel software system for solving global optimization problems / A. Sysoyev, K. Barkalov, V. Sovrasov, I. Lebedev, V. Gergel // Lecture notes in computer science. — 2017. — V. 10421. — P. 492-499.

27. Sysoyev, A.V. Globalizer Lite: a software system for solving global optimization problems / A.V. Sysoyev, A.S. Zhbanova, K.A. Barkalov, V.P. Gergel // Communications in computer and information science. — 2017. — V. 753. — P. 130-143.

28. Sysoyev, A. Solving time-consuming global optimization problems with Globalizer software system / A. Sysoyev, K. Barkalov, V. Sovrasov, I. Lebedev, V. Gergel // Communications in computer and information science. — 2017. — V. 793. — P. 108-120.

29. Barkalov, K. Test problems for parallel algorithms of constrained global optimization / K. Barkalov, R. Strongin // Lecture notes in computer science. — 2017. — V. 10556. — P. 18-33.

30. Barkalov, K. Solving a set of global optimization problems by the parallel technique with uniform convergence / K. Barkalov, R. Strongin // Journal of global optimization. — 2018. — vol. 71(1). — P. 21-36.

31. Strongin, R.G. Generalized parallel computational schemes for time-consuming global optimization / R.G. Strongin, V.P. Gergel, K.A. Barkalov, A.V. Sysoyev // Lobachevskii journal of mathematics. — 2018. — vol. 39 (4). — P. 576-586.

32. Gergel, V. Globalizer: A novel supercomputer software system for solving time-consuming global optimization problems / V. Gergel, K. Barkalov, A. Sysoyev // Numerical algebra, control and optimization. — 2018. — V. 8, № 1. — P. 47-62.

33. Barkalov, K.A. High performance computing for global optimization problems / K.A. Barkalov, V.P. Gergel // Journal of physics: conference series. — 2018. — vol. 1096(1). — art. no. 012097.

34. Barkalov, K. Comparison of dimensionality reduction schemes for parallel global optimization algorithms / K. Barkalov, V. Sovrasov, I. Lebedev // Communications in computer and information science. — 2019. — vol. 965. — P. 50-62.

35. Gergel, V. A global optimization algorithm for non-convex mixed-integer problems / V. Gergel, K. Barkalov, I. Lebedev // Lecture notes in computer science. — 2019. — vol. 1135. — P. 78-81.

36. Gergel, V. A flexible generator of constrained global optimization test problems / V. Gergel, K. Barkalov, I. Lebedev, M. Rachinskaya, A. Sysoyev // AIP Conference Proceedings. — 2019. — vol. 2070. — art. no. 20009.

37. Candelieri, A. Tuning hyperparameters of a SVM-based water demand forecasting system through parallel global optimization / A. Candelieri, I. Giordani, F. Archetti, K. Barkalov, I. Meyerov, A. Polovinkin, A. Sysoyev, N. Zolotykh // Computers and operations research. — 2019. — V. 106. — P. 202-209.

38. Barkalov, K. Adaptive global optimization based on nested dimensionality reduction / K. Barkalov, I. Lebedev // Advances in intelligent systems and computing. — 2020. — vol. 991. — P. 48-57.

39. Свидетельство РФ на программу для ЭВМ Программная система решения задач многомерной многоэкстремальной оптимизации / Баркалов К.А., Сысоев А.В., Сидоров С.В. (Россия); заявитель ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» — № 2013617404; заявка №2013614926 от 17.06.2013; дата регистрации 13.08.2013.

40. Свидетельство РФ на программу для ЭВМ Программный модуль Globalizer GPU для численного решения задач многомерной глобальной оптимизации с использованием графических процессоров / Баркалов К.А., Лебедев И.Г., Сысоев А.В. (Россия); заявитель ФГАОУ ВО «Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» — № 2020614022, заявка № 2020613147 от 18.03.2020; дата регистрации 25.03.2020.

41. Свидетельство РФ на программу для ЭВМ Программный модуль Globalizer BMS для численного решения задач многомерной глобальной оптимизации на основе блочной многошаговой схемы / Баркалов К.А., Лебедев И.Г., Сысоев А.В. (Россия); заявитель ФГАОУ ВО «Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» — № 2020614023, заявка № 2020613148 от 18.03.2020; дата регистрации 25.03.2020.

42. Баркалов, К.А. Параллельная реализация характеристического алгоритма глобальной оптимизации с использованием технологии OpenMP // К.А. Баркалов // Технологии Microsoft в теории и практике программирования: Материалы конференции. — Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2008. — С. 18-21.

43. Баркалов, К.А. Об опыте решения задач многоэкстремальной оптимизации на высокопроизводительных кластерных системах / К.А. Баркалов, В.В. Рябов, С.В. Сидоров, А.В. Сысоев // Технологии Microsoft в теории и практике программирования: Материалы конференции. — Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2008. — С. 21-25.

44. Баркалов, К.А. Исследование методов глобальной оптимизации на некоторых классах многоэкстремальных задач / К.А. Баркалов, С.В. Сидоров, В.В. Рябов // Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах (HPC-2008): Материалы VIII международной конференции. — Казань: Изд-во КГТУ, 2008. —С. 127-131.

45. Гергель, В.П. Параллельные методы решения задач глобальной оптимизации / В.П. Гергель, К.А. Баркалов, С.В. Сидоров // Технологии Microsoft в теории и практике программирования: Материалы конференции. — Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2009. — С. 70-73.

46. Баркалов, К.А. Использование кривых Пеано в параллельной глобальной оптимизации / К.А. Баркалов, В.В. Рябов, С.В. Сидоров // Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах: Материалы IX международной конференции-семинара. — Владимир: Изд-во Владимирского государственного университета, 2009. — С. 44-47.

47. Баркалов, К.А. Масштабируемые параллельные алгоритмы глобальной оптимизации со смешанной локально-глобальной стратегией / К.А. Баркалов, В.В. Рябов, С.В. Сидоров // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2010): Труды международной научной конференции. — Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2010. — C. 402-409.

48. Баркалов, К.А. Оценки эффективности параллельного индексного метода глобальной оптимизации / К.А. Баркалов, В.В. Рябов, С.В. Сидоров // Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах: Материалы X международной конференции. — Пермь: Изд-во ПГТУ, 2010. — С. 62-70.

49. Баркалов, К.А. О решении задач глобальной оптимизации на многопроцессорных вычислительных системах / К.А. Баркалов // Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах: Материалы XI всероссийской конференции. — Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2011. — С. 27-31.

50. Баркалов, К.А. Параллельный алгоритм глобального поиска для решения задач многоэкстремальной оптимизации / К.А. Баркалов // Научный сервис в сети Интернет: поиск новых решений: Труды Международной суперкомпьютерной конференции (г. Новороссийск). - М.: Изд-во МГУ, 2012. — С. 330-332.

51. Баркалов, К.А. Оптимизация параметров SVM-регрессии с использованием алгоритма глобального поиска / К.А. Баркалов, И.Б. Мееров, А.Н. Половинкин, С.В. Сидоров, Н.Ю. Золотых // Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах: Материалы XII Всероссийской конференции. — Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2012. — С. 29-33.

52. Гергель, В.П. Достижение экзафлопсной производительности в задачах глобальной оптимизации / В.П. Гергель, К.А. Баркалов // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2013): Труды международной научной конференции. — Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2013. — С. 312-317.

53. Баркалов, К.А. О перспективах использования ускорителей при решении задач глобальной оптимизации / К.А. Баркалов, А.В. Горшков // Научный сервис в сети Интернет: все грани параллелизма: Труды Международной суперкомпьютерной конференции (г. Новороссийск). - М.: Изд-во МГУ, 2013. — С. 218219.

54. Barkalov, K. Parallel global optimization for the problem of a regional economy model identification / K. Barkalov, N. Olenev // Numerical Computations: Theory

and Algorithms: Proceedings of the International conference. — Falerna (CZ), Italy, 2013. — P. 45.

55. Баркалов, К.А. Использование параллельных характеристических алгоритмов для решения многомерных задач глобальной оптимизации / К.А. Баркалов // Научный сервис в сети Интернет: многообразие суперкомпьютерных миров: Труды Международной суперкомпьютерной конференции (г. Новороссийск). — М.: Изд-во МГУ, 2014. — С. 97-101.

56. Баркалов, К.А. Об одном классе тестовых задач для параллельных методов глобальной оптимизации / К.А. Баркалов // Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах: Материалы XIV международной конференции (г. Пермь). — Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2014. — С. 45-49.

57. Лебедев, И.Г. GPU-реализация алгоритма глобального поиска / И.Г. Лебедев, К.А. Баркалов // Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах: Материалы XIV международной конференции (г. Пермь). — Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2014. — С. 254-261.

58. Сысоев, А.В. Блочная многошаговая схема параллельного решения задач многомерной глобальной оптимизации / А.В. Сысоев, К.А. Баркалов, В.П. Гергель // Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах: Материалы XIV международной конференции (г. Пермь). — Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2014. — С. 425-432.

59. Сысоев, А.В. MPI-реализация блочной многошаговой схемы параллельного решения задач глобальной оптимизации / А.В. Сысоев, К.А. Баркалов, В.П. Гергель, И.Г. Лебедев // Суперкомпьютерные дни в России: Труды международной конференции (г. Москва). — М.: Изд-во МГУ, 2015. — С. 61-68.

60. Баркалов, К.А. Решение задач глобальной оптимизации на гетерогенных кластерных системах / К.А. Баркалов, В.П. Гергель, И.Г. Лебедев, А.В. Сысоев // Суперкомпьютерные дни в России: Труды международной конференции (2 г. Москва). — М.: Изд-во МГУ, 2015. — С. 411-419.

61. Баркалов, К.А. Реализация параллельного алгоритма поиска глобального экстремума функции на Intel Xeon Phi / К.А. Баркалов, И.Г. Лебедев, В.В. Совра-

258

сов В.В., Сысоев А.В. // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2016): Труды международной научной конференции. — Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2016. — С. 68-80.

62. Баркалов, К.А. Распределение вычислительной нагрузки при параллельном решении серии задач оптимизации / К.А. Баркалов, К.А. Николаев // Суперкомпьютерные дни в России: Труды международной конференции (г. Москва). — М.: Изд-во МГУ, 2016. — C. 589-595.

63. Баркалов, К.А. Решение задач глобальной оптимизации на графических ускорителях / К.А. Баркалов, И.Г. Лебедев // Суперкомпьютерные дни в России: Труды международной конференции (г. Москва) — М.: Изд-во МГУ, 2016. — C. 640-650.

64. Баркалов, К.А. Исследование масштабируемости алгоритма глобальной оптимизации на классе задач варьируемой сложности / К.А. Баркалов, И.Г. Лебедев // Суперкомпьютерные дни в России: Труды международной конференции (Москва). — М.: Изд-во МГУ, 2017. — C. 753-754.

65. Антух, А.Э. Исследование эффективности архитектуры CUDA для аппроксимации множества Парето с помощью метода роя частиц / А.Э. Антух, А.П. Карпенко, А.С. Семенихин // Вестник ЮУрГУ. — 2011. — №37 (254). — C. 63-70.

66. Баландин, Д.В. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств / Д.В. Баландин, М.М. Коган. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 281 с.

67. Баландин, Д.В. Оптимальное по Парето обобщенное Я2-управление и задачи виброзащиты / Д.В. Баландин, М.М. Коган // Автоматика и телемеханика. — 2017. — №8. — C. 76-90.

68. Батищев, Д.И. Генетические алгоритмы решения экстремальных задач: Учеб. пособие / Под ред. Львовича Я.Е. / Д.И. Батищев. — Воронеж: ВГТУ, 1995. — 64 c.

69. Боресков, А.В. Параллельные вычисления на GPU. Архитектура и программная модель CUDA / А.В. Боресков и др. — М.: Издательство Московского университета, 2015. — 336 с.

70. Булатов, В.П. Метод отсечения в Еп+1 для решения задач глобальной оптимизации на одном классе функций / В.П. Булатов, О.В. Хамисов // Ж. вычисл. ма-тем. и матем. физ. — 2007. — Т. 47, № 11. — С. 1830-1842.

71. Васильев, Ф.П. Методы оптимизации / Ф.П. Васильев. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 824 с.

72. Гергель, В.П. Об одном способе учета значений производных при минимизации многоэкстремальных функций / В.П. Гергель // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1996. — Т. 36, №6. — С. 51-67.

73. Гергель, В.П. Абсолют. Программная система для исследования и изучения методов глобальной оптимизации / В.П. Гергель, Р.Г. Стронгин. —Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1998. — 141 с.

74. Гергель, В.П. Теория и практика параллельных вычислений / В.П. Гергель. — М.: Интернет-университет информационных технологий - ИНТУИТ.РУ, 2007.

— 424 с.

75. Гергель, В.П. Высокопроизводительные вычисления для многопроцессорных многоядерных систем / В.П. Гергель. — М.: Издательство Московского университета, 2010. — 544 с.

76. Гергель, В.П. Параллельные методы глобальной оптимизации в идентификации динамической балансовой нормативной модели региональной экономики /

B.П. Гергель, В.А. Горбачев, Н.Н. Оленев, В.В. Рябов, С.В. Сидоров // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. — 2011.

— № 25 (242). — С. 4-15.

77. Гергель, В.П. Лекции по параллельным вычислениям: учеб. пособие / В.П. Гер-гель, В.А. Фурсов. — Самара: Изд-во СГАУ, 2009. — 164 с.

78. Гладков, Л.А. Генетические алгоритмы / Л.А. Гладков, В.В. Курейчик, В.М. Курейчик. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 320 с.

79. Горбачев, В.А. Идентификация модели добывающего сектора экономики Монголии / В.А. Горбачев, Н.Н. Оленев // VI Московская международная конференция по исследованию операций (0RM2010). — М.: МАКС Пресс, 2010. —

C. 97-98.

80. Городецкий, С.Ю. Нелинейное программирование и многоэкстремальная оптимизация / С.Ю. Городецкий, В.А. Гришагин. — Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2007. — 489 с.

81. Гришагин В.А. Операционные характеристики некоторых алгоритмов глобального поиска / В.А. Гришагин // Проблемы случайного поиска. — Рига: Зинатне, 1978.— №.7. — С. 198-206.

82. Гришагин, В.А. Оптимизация многоэкстремальных функций при монотонно унимодальных ограничениях / В.А. Гришагин, Р.Г. Стронгин // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. — 1984. — № 4. — С. 203-208.

83. Губайдуллин, И.М. Применение индексного метода глобальной оптимизации при решении обратных задач химической кинетики / И.М. Губайдуллин,

B.В. Рябов, М.В. Тихонова // Вычислительные методы и программирование. — 2011. — Т. 12, №1. — С. 137-145.

84. Гурин, Л.С. Комбинация метода Монте-Карло с методом скорейшего спуска при решении некоторых экстремальных задач / Л.С. Гурин, В.П. Лобач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1962. — Т. 2, № 3. — С. 499-502.

85. Евтушенко, Ю.Г. Численный метод поиска глобального экстремума функций (перебор на неравномерной сетке) / Ю.Г. Евтушенко // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1971. — Т. 11, №6. — С. 1390-1403.

86. Евтушенко, Ю.Г. Метод половинных делений для глобальной оптимизации функции многих переменных / Ю.Г. Евтушенко, В.А. Ратькин // Техническая кибернетика. — 1987. — № 1. — С. 119-127.

87. Евтушенко, Ю.Г. Параллельный поиск глобального экстремума функций многих переменных / Ю.Г. Евтушенко, В.У. Малкова, А.А. Станевичюс // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2009. — Т. 49, №2. — С. 255-269.

88. Евтушенко, Ю.Г. Применение метода неравномерных покрытий для глобальной оптимизации частично целочисленных нелинейных задач / Ю.Г. Евтушенко, М.А. Посыпкин // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2011. — Т. 51, № 8. —

C. 1376-1389.

89. Жиглявский, А.А. Методы поиска глобального экстремума / А.А. Жиглявский, А.Г. Жилинскас. — М.: Наука, 1991. — 248 с.

90. Завриев, Н.К. Исследование математических моделей экономики средствами системы ЭКОМОД / Н.К. Завриев, И.Г. Поспелов, Л.Я. Поспелова // Математическое моделирование. — 2003. — №15(8). — С. 57-74.

91. Зеленков Ю.А. Использование суперкомпьютеров в машиностроении. Опыт НПО «Сатурн» // В сб.: Суперкомпьютерные технологии в науке, образовании и промышленности / Ред.: Садовничий В.А., Савин Г.И., Воеводин Вл.В. — М.: Издательство Московского университета, 2009. — 232 с.

92. Измаилов, А.Ф. Численные методы оптимизации / А.Ф. Измаилов, М.В. Соло-дов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. — 320 с.

93. Калюлин, С.Л. Численное моделирование газодинамического потока в замкнутой малогабаритной аэродинамической трубе / С.Л. Калюлин, В.Я. Модорский, Р.В. Бульбович // Научно-технический вестник Поволжья. — 2016. — № 5. — С. 192-195.

94. Карманов, В.Г. Математическое программирование / В.Г. Карманов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 264 с.

95. Карпенко, А.П. Глобальная безусловная оптимизации роем частиц на графических процессорах архитектуры СЦОА / А.П. Карпенко, Е.Ю. Селиверстов // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. — 2010. — № 4. — С. 5.

96. Карпенко, А.П. Современные алгоритмы поисковой оптимизации. Алгоритмы, вдохновленные природой: учебное пособие / А.П. Карпенко. — М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. — 446 с.

97. Карр, Ч. Количественные методы принятия решений в управлении и экономике / Ч. Карр, Ч. Хоув. — М.: Мир, 1966. — 464 с.

98. Клеменков, Г.П. Моделирование процессов обледенения летательных аппаратов в аэроклиматических трубах / Г.П. Клеменков, Ю.М. Приходько, Л.Н. Пу-зырев, А.М Харитонов // Теплофизика и аэромеханика. — 2008. — Т. 15, № 4. — С. 563 - 572.

99. ЛОГОС. Пакет программ инженерного анализа и суперкомпьютерного моделирования (интернет-страница). — http://logos.vniief.ru/ (доступ свободный)

100. Лотов, А.В. Многокритериальные задачи принятия решений: Учебное пособие / А.В. Лотов, И.И. Поспелова. — М.: МАКС Пресс, 2008. — 197 с.

101. Малков, В.П. Оптимизация упругих систем / В.П. Малков, А.Г. Угодчиков. — М: Наука, 1981. — 288 с.

102. Маркин, Д.Л. Метод решения многоэкстремальных задач с невыпуклыми ограничениями, использующий априорную информацию об оценках оптимума / Д.Л. Маркин, Р.Г. Стронгин // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1987. — Т.27, № 1. — С.52-61.

103. Маркин, Д.Л. О равномерной оценке множества слабоэффективных точек в многоэкстремальных многокритериальных задачах оптимизации / Д.Л. Маркин, Р. Г. Стронгин // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1993. — Т. 33, № 2. — С. 195-205.

104. Моцкус, И.Б. Об одном способе распределения случайных испытаний при решении многоэкстремальных задач / И.Б. Моцкус // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1964. — Т. 4, № 2. — С. 380-385.

105. Неймарк, Ю.И. Математическое моделирование как наука и искусство / Ю.И. Неймарк. — Нижний Новгород : Изд-во Нижегородского ун-та, 2010. — 404 с.

106. Оленев, Н.Н. Модель оценки инновационного потенциала региональной экономики / Н.Н. Оленев // Экономика депрессивных регионов: Проблемы и перспективы развития региональных экономик: Труды международной научно-практической конференции / Под ред. В.И. Беляева, И.Н. Дубины, О.П. Мам-ченко — Барнаул: Изд-во Алтайского гос. ун-та, 2007. — С. 178-188.

107. Оленев, Н.Н. Исследование влияния теневого оборота на социально-экономическое положение в Республике Алтай / Н.Н. Оленев, В.С. Стародубцева // Региональная экономика: теория и практика. — 2008. — № 11(68). — С. 32-37.

108. Оленев, Н.Н. Имитационная модель развивающейся экономики на примере

республики Таджикистан / Н.Н. Оленев, Х.Ю. Солиев // Математика. Компью-

263

тер. Образование: Сб. трудов XVII международной конференции. — Ижевск: Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика», 2010. — Т. 2. — С. 173-181.

109. Офёркин, И.В. Реализация поддержки параллельных вычислений в программах докинга SOLGRID и SOL / И.В. Офёркин, А.В. Сулимов, О.А. Кондакова,

B.Б. Сулимов // Вычислительные методы и программирование. — 2011. — Т. 12, №1. — С. 9-23.

110. Пиявский, С.А. Один алгоритм отыскания абсолютного экстремума функций /

C.А. Пиявский // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1972. — Т. 12, № 4. — С. 888-896.

111. Попов, М.В. Эффективная реализация точных алгоритмов решения задач дискретной оптимизации на графических ускорителях / М.В. Попов, М.А. Посып-кин // Современные информационные технологии и ИТ-образование. — 2018.

— Т.14, № 2. — C. 408-418.

112. Посыпкин, М.А. Решение задач глобальной оптимизации в среде распределенных вычислений / М.А. Посыпкин // Программные продукты и системы. — 2010. — №1. — С. 23-29.

113. Пшеничный, Б.Н. Численные методы в экстремальных задачах / Б.Н. Пшеничный, Ю.М. Данилин. — М.: Наука, 1975. — 320 с.

114. Растригин, Л.А. Теория и применение случайного поиска / Л.А. Растригин (ред.). — Рига: Зинатне, 1969. — 309 с.

115. Растригин, Л.А. Случайный поиск / Л.А. Растригин. — М.: Знание, 1979. — 64 с.

116. Романов, А.Н. Компьютерный дизайн лекарственных средств: программа докинга SOL / А.Н. Романов, Ф.В. Григорьев, А.В. Сулимов, С.В. Лущекина, Я.Б. Мартынов, В.Б. Сулимов // Вычислительные методы и программирование.

— 2008. — Т. 9, №3. — С. 213-233.

117. Сергеев, Я.Д. Диагональные методы глобальной оптимизации / Я.Д. Сергеев, Д.Е. Квасов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. — 352 с.

118. Соболь, И.М. Численные методы Монте-Карло / И.М. Соболь. — М.: Наука, 1973. — 312 с.

119. Соболь, И.М. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями / И.М. Соболь, Р.Б. Статников. — М.: Наука, 1981. — 175 с.

120. Соболь, И.М. Точки, равномерно заполняющие многомерный куб / И.М. Соболь. — М.: Знание, 1985. — 32 с.

121. Стрекаловский, А.С. Элементы невыпуклой оптимизации / А.С. Стрекалов-ский. — Новосибирск: Наука, 2003. — 356 с.

122. Стронгин, Р.Г. Многоэкстремальная минимизация / Р.Г. Стронгин // Автоматика и телемеханика. — 1970. — Т. 7. — С. 63-67.

123. Стронгин Р.Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах (информационно-статистические алгоритмы) / Р.Г. Стронгин. — М.: Наука, 1978. — 240 с.

124. Стронгин, Р.Г. Минимизация многоэкстремальных функций при невыпуклых ограничениях / Р.Г. Стронгин, Д.Л. Маркин // Кибернетика. — 1986. — №4. — С.63-69.

125. Стронгин, Р.Г. Поиск глобального оптимума / Р.Г. Стронгин. — М.: Знание, 1990. — 48 с.

126. Стронгин, Р.Г. Параллельная многоэкстремальная оптимизация с использованием множества разверток / Р.Г. Стронгин // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1991. — Т.31, №8. — С. 1173-1185.

127. Стронгин, Р.Г. О сходимости индексного алгоритма в задачах условной оптимизации с s-резервированными решениями / Р.Г. Стронгин, К.А. Баркалов // Математические вопросы кибернетики. — 1999. — № 8. — С. 273-288.

128. Стронгин, Р.Г. Метод глобальной оптимизации с адаптивным порядком проверки ограничений / Р.Г. Стронгин, К.А. Баркалов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2002. — Т. 42, № 9. — С. 1338-1350.

129. Сулимов, В.Б. Докинг. Молекулярное моделирование для разработки лекарств / В.Б. Сулимов, А.В. Сулимов. — М.: ИИнтелл, 2018. — 348 с.

130. Сухарев, А.Г. Оптимальный поиск экстремума / А.Г. Сухарев. — М.: Изд-во МГУ, 1975. — 100 с.

131. Сухарев, А.Г. Глобальный экстремум и методы его отыскания / А.Г. Сухарев // В кн. Математические методы в исследовании операций. — М.: Изд.МГУ, 1981. — C. 4-37.

132. Тихонова, М.В. Параллельная условная глобальная оптимизация при математическом моделировании кинетики химических реакций / М.В. Тихонова,

B.В. Рябов, С.И. Спивак, И.М. Губайдуллин // Вычислительные методы и программирование. — 2013. — Т. 14, № 2. — С. 262-268.

133. Уайлд, Д.Дж. Методы поиска экстремума / Д.Дж. Уайлд. — М.: Наука, 1967. — 268 с.

134. Хамисов, О.В. Глобальная оптимизация функций с вогнутой опорной минорантой / О.В. Хамисов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2004. — Т. 44, № 9. —

C.1552-1563.

135. Химмельблау, Д. Прикладное нелинейное программирование / Д. Химмельб-лау. — М.: Мир, 1975. — 535 с.

136. Якобовский, М.В. Введение в параллельные методы решения задач / М.В. Яко-бовский. — М.: Издательство Московского университета, 2013. — 328 с.

137. Ali, M. A numerical evaluation of several stochastic algorithms on selected continuous global optimization test problems / M. Ali, Ch. Khompatraporn, Z.B. Zabinsky // Journal of global optimization. — 2005. — V. 31. — P. 635-672.

138. Altair: A global technology company (web page). — https://www.altair.com/ (accessed January 1, 2020)

139. ANSYS: Engineering simulation software (web page). — http://www.ansys.com/ (accessed January 1, 2020)

140. Boender, C.G.E. Stochastic methods / C.G.E. Boender, H.E. Romeijn // In: R. Horst, P.M. Pardalos (Eds.). Handbook of Global Optimization — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1995. — P. 829-869.

141. Brooks, S.H. A discussion of random methods for seeking maxima / S.H. Brooks // Operations Research. — 1958. — V. 6. — P. 244-251.

142. Bulatov, V.P. Methods for solving multi-extremal problems (global search) / V.P. Bulatov // Annals of Operations Research. — 1990. — V. 25, № 1. — P. 253277.

143. Bussieck, M.R. General Algebraic Modeling System (GAMS)/ M.R. Bussieck, A. Meeraus // In: J. Kallrath (Ed.). Modeling languages in mathematical optimization. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2004. — P. 137-157.

144. DISLIN: A high-level plotting library (web page). — https://www.mps.mpg.de/dislin (accessed January 1, 2020)

145. Donkor, E.A. Urban water demand forecasting: review of methods and models / E.A. Donkor, T.A. Mazzucchi, R. Soyer, J.A. Roberson // Journal of water resources planning and management. — 2014. — V. 140. — P. 146-159.

146. Egorov, I.N. IOSO optimization toolkit — novel software to create better design / I.N. Egorov, G.V. Kretinin, I.A. Leshchenko, S.V. Kuptzov // 9th AIAA/ISSMO symposium on multidisciplinary analysis and optimization. — Atlanta: AIAA, 2002. — art. no. 2002-5514.

147. Eiben, A.E. Introduction to evolutionary computing / A.E. Eiben, J.E. Smith. — Berlin, Heidelberg: Springer, 2015. — 287 p.

148. Evtushenko, Yu.G. Numerical methods for global optimization / Yu.G. Evtushenko, M.A. Potapov, V.V. Korotkikh // In: C.A. Floudas, P.M. Pardalos (Eds.) Recent advances in global optimization. — Princeton: Princeton University Press, 1992. — P. 274-297.

149. Evtushenko, Y. A deterministic approach to global box-constrained optimization / Y. Evtushenko, M. Posypkin // Optimization letters. — 2013. — V. 7, № 4. — P. 819-829.

150. Fasano, G. Modeling and optimization in space engineering / G. Fasano, J.D. Pinter (Eds.). — New York: Springer, 2013 — 404 p.

151. Ferreiro, A.M. An efficient implementation of parallel simulated annealing algorithm in GPUs / A.M. Ferreiro, J.A. Garcia, J.G. Lopez-Salas, C. Vazquez // Journal of global optimization. — 2013. — V. 57, № 3. — P. 863-890.

152. Floudas, C.A. State of the art in global optimization: computational methods and applications / C.A. Floudas, P.M. Pardalos (Eds.). — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1996. — 654 p.

153. Fröhlich, H. Efficient parameter selection for support vector machines in classification and regression via model-based global optimization / H. Fröhlich, A. Zell // In: IEEE International joint conference on neural networks. — 2005. — V. 3. — P. 1431-1436.

154. Gablonsky, J.M. A locally-biased form of the DIRECT algorithm / J.M. Gablonsky, C.T. Kelley // Journal of global optimization. — 2001. — V. 21, № 1. — P. 27-37.

155. Garcia-Martinez, J.M. A GPU implementation of a hybrid evolutionary algorithm: GPuEGO / J.M. Garcia-Martinez, E.M. Garzon, P.M. Ortigosa // Journal of supercomputing. — 2014. — V. 70, № 2. — P. 684-695.

156. Gaviano, M. Software for generation of classes of test functions with known local and global minima for global optimization / M. Gaviano, D.E Kvasov, D. Lera, Ya.D. Sergeev // ACM transactions on mathematical software. — 2003. — V. 29, № 4. — P. 469-480.

157. Gendreau, M. Handbook of metaheuristics / M. Gendreau, J.-Y. Potvin (Eds.). — New York: Springer. 2010. — 648 p.

158. Gergel, V.P. A global optimization algorithm for multivariate functions with lipschitzian first derivatives / V.P. Gergel // Journal of Global Optimization. — 1997.

— V. 10, № 3. — P. 257-281.

159. Gergel, V.P. Parallel computing for globally optimal decision making on cluster systems / V.P. Gergel, R.G. Strongin // Future generation computer systems. — 2005.

— V. 21, № 5. — P. 673-678.

160. Gergel, V. An approach for generating test problems of constrained global optimization / V. Gergel // Lecture notes in computer science. — 2017. — V. 10556. — P. 314-319.

161. Goryachih, A.S. Multidimensional global optimization method using numerically calculated derivatives / A.S. Goryachih, M.A. Rachinskaya // Procedia computer science. — 2017. — V. 119. — P. 90-96.

162. Grishagin, V.A. Parallel characteristical global optimization algorithms / V.A. Grishagin, Ya.D. Sergeyev, R.G. Strongin // Journal of global optimization. — 1997.

— V.10, №2. — P.185-206.

163. Hansen, E.R. Global optimization using interval analysis / E.R. Hansen. — New York: Marcel Dekker, 1992. — 230 p.

164. Hansen, E.R. Global optimization using interval analysis: revised and expanded / E.R. Hansen, G.W. Walster. — Boca Raton: CRC Press, 2003. — 728 p.

165. Hansen, P. Lipschitz optimization / P. Hansen, B. Jaumard // In: R. Horst, P.M. Pardalos (Eds.) Handbook of Global Optimization. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1995. — P. 407-493.

166. Hastie, T. The elements of statistical learning / T. Hastie, R. Tibshirani, J. Friedman.

— New York: Springer, 2008. — 767 p.

167. He, J. Design and implementation of a massively parallel version of DIRECT / J. He, A. Verstak, L.T. Watson, M. Sosonkina // Computational optimization and applications. — 2008. — V. 40, № 2. — P. 217-245.

168. Herrera, M. Predictive models for forecasting hourly urban water demand / M. Herrera, L. Torgo, J. Izquierdo, R. Pérez-García // Journal of hydrologic engineering. — 2010. — V. 387. — P. 141-150

169. Hill, J.D. A search technique for multimodal surfaces / J.D. Hill // IEEE Transactions on systems science and cybernetics. — 1969. — V. 5, № 1. — P. 2-8.

170. Holmstrom, K. (2004) The TOMLAB optimization environment / K. Holmstrom, M.M. Edvall // In: J. Kallrath (Ed.). Modeling languages in mathematical optimization. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2004. — P. 369-376.

171. Hwu, W. GPU Computing Gems: Emerald Edition / W. Hwu. — San Francisco: Morgan Kaufmann, 2011. — 886 p.

172. Ito, K. Optimization support vector regression hyperparameters based on cross-validation / K. Ito, R. Nakano // Proceedings of the international joint conference on neural networks. — 2003. — V. 3. — P. 2077-2083.

173. Jin, R. Comparative studies of meta-modeling techniques under multiple modeling criteria / R. Jin, W. Chen, T.W. Simpson // Structural and multidisciplinary optimization. — 2001. — V. 23, № 1. — P. 1-13.

174. Jones, D.R. Lipschitzian optimization without the Lipschitz constant / D.R. Jones, C.D. Perttunen, B.E. Stuckman // Journal of Optimization Theory and Applications.

— 1993. — V. 79, № 1 — P. 157-181.

175. Jones, D. Efficient global optimization of expensive black-box functions / D. Jones, M. Schonlau, W. Welch // Journal of global optimization. — 1998. — V.13. — P. 455-492.

176. Jones, D.R. The DIRECT global optimization algorithm / D.R. Jones // In: C. Floudas, P. Pardalos (Eds.). The encyclopedia of optimization. — Heidelberg: Springer, 2009. — P. 725-735.

177. Kalyulin, S.L. Numerical design of the rectifying lattices in a small-sized wind tunnel / S.L. Kalyulin, V.Ya. Modorskii, A.P. Paduchev // AIP conference proceedings.

— 2016. — V. 1770. — art. no. 030110.

178. Karnopp, D.C. Random search techniques for optimization problems / D.C. Karnopp // Automatica. — 1963. — V. 1. — P. 111-121.

179. Kearfott, R.B. GlobSol user guide / R.B. Kearfott // Optimization methods and software. — 2009. — V. 24, № 4-5. — P. 687-708.

180. Kindratenko, V. Numerical computations with GPUs / V. Kindratenko (ed.). — New York: Springer, 2014. — 405 p.

181. Krityakierne, T. SurrOgate MultiStart algorithm for use with nonlinear programming for global optimization / Krityakierne T., Shoemaker C.A. // International transactions in operational research. — 2017. — V. 24, № 5. — P. 1139-1172.

182. Langdon, W.B. Graphics processing units and genetic programming: an overview / W.B. Langdon // Soft Computing. — 2011. — V. 15, № 8. — P. 1657-1669.

183. Lin, Y. The global solver in the LINDO API / Y. Lin, L. Schrage // Optimization methods and software. — 2009. — V. 24, № 4-5. — P. 657-668.

184. Locatelli, M. Global optimization: theory, algorithms, and applications / M. Locatelli, F. Schoen. — Philadelphia: Society for industrial and applied mathematics, 2013. — 445 p.

185. Luque, G. Parallel genetic algorithms. theory and real world applications / G. Luque, E. Alba. — Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2011. — 184 p.

186. Mala-Jetmarova, H. Lost in optimisation of water distribution systems? A literature review of system operation / H. Mala-Jetmarova, N. Sultanova, D. Savic // Environmental Modelling & Software. — 2017. — V. 93. — P. 209-254.

187. Mamo, T.G. Urban water demand forecasting using the stochastic nature of short term historical water demand and supply pattern / T.G. Mamo, I. Juran, I. Shahrour // Journal of water resource and hydraulic engineering. — 2013. — V. 2, № 3. — P. 92-103.

188. Mantovani, R.G. Effectiveness of random search in SVM hyper-parameter tuning / R.G. Mantovani, A.L. Rossi, J. Vanschoren, B. Bischl, A.C. de Carvalho // Proceedings of the International Joint Conference on Neural Networks. — IEEE, 2015. — art. no. 7280664.

189. Momma, M. A pattern search method for model selection of support vector regression / M. Momma, K.P. Bennett // Proceedings of SIAM conference on data mining. — Philadelphia: SIAM, 2002. — P. 261-274.

190. Mongeau, M. Comparison of public-domain software for black box global optimization / M. Mongeau, H. Karsenty, V. Rouze, J.B. Hiriart-Urruty // Optimization methods and software. — 2000. — V. 13, № 3. — 203-226.

191. NLopt: A free/open-source library for nonlinear optimization (web page). — https://nlopt.readthedocs.io (accessed January 1, 2020)

192. OpenFOAM. Open source software for CFD (web page). — https://openfoam.org/ (accessed January 1, 2020)

193. Paulavicius, R. Parallel branch and bound for global optimization with combination of Lipschitz bounds / R. Paulavicius, J. Zilinskas, A. Grothey // Optimization methods and software. — 2011. — V. 26, № 3. — P. 487-498.

194. Paulavicius, R. Globally-biased DISIMPL algorithm for expensive global optimization / R. Paulavicius, Y. Sergeyev, D. Kvasov, J. Zilinskas // Journal of global optimization. — 2014. — V. 59, № 2-3. — P. 545-567.

195. Pardalos, P.M. Advances in stochastic and deterministic global optimization / P.M. Pardalos, A. Zhigljavsky, J. Zilinskas (Eds.).— Springer, 2016. — 309 p.

196. Pinter, J.D. Global optimization in action: continuous and Lipschitz optimization: algorithms, implementations and applications / J.D. Pinter. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1996. — 480 p.

197. Pinter, J.D. Software development for global optimization / J.D. Pinter // In: P.M. Pardalos, T.F. Coleman (Eds.). Lectures on global optimization. — Fields Institute Communications, 2009. — V. 55 — P. 183-204.

198. Ren, Yu. Determination of optimal SVM parameters by using GA/PSO / Yu. Ren, G. Bai // Journal of computers. — 2010. — V. 5, № 8. — . 1160-1168.

199. Rios, L.M. Derivative-free optimization: a review of algorithms and comparison of software implementations / L.M. Rios, N.V. Sahinidis // Journal of global optimization. — 2013. — V. 56, №3. — P. 1247-1293.

200. Romeijn, H.E. Global optimization by random walk sampling methods / H.E. Romeijn. — Amsterdam: Thesis Publishers, 1992. — 143 p.

201. Sagan, H. Space-filling curves / H. Sagan. — New York: Springer, 1994. — 194 p.

202. Sahinidis, N.V. BARON: A general purpose global optimization software package / N.V. Sahinidis // Journal of global optimization. — 1996. — V.8, № 2. — P. 201205.

203. Schluter, M. Extended ant colony optimization for non-convex mixed integer nonlinear programming / M. Schluter, J.A. Egea, J.R. Banga // Computers & Operations Research. — 2009. — V. 36, № 7. — P. 2217-2229.

204. SciPy: A Python-based ecosystem of open-source software for mathematics, science, and engineering (web page). — https://scipy.org (accessed January 1, 2020)

205. Sergeyev, Ya.D. Multidimensional global optimization using the first derivatives / Ya.D. Sergeyev // Computational mathematics and mathematical physics. — 1999. — V. 39, №5. — P. 711-720.

206. Sergeyev, Ya.D. Parallel asynchronous global search and nested optimization scheme / Ya.D. Sergeyev, V.A. Grishagin // Journal of Computational Analysis and Applications. — 2001. — V. 3, № 2. — P. 123-145.

207. Sergeyev, Ya.D. Global search based on efficient diagonal partitions and a set of Lipschitz constants / Ya.D. Sergeyev, D.E. Kvasov // SIAM journal on optimization.

— 2006. — V. 16, №3. — P. 910-937.

208. Sergeyev, Y.D. Introduction to global optimization exploiting space-filling curves / Y.D. Sergeyev, R.G. Strongin, D. Lera. — New York: Springer, 2013. — 125 p.

209. Sergeyev, Y.D. A deterministic global optimization using smooth diagonal auxiliary functions / Y.D. Sergeyev, D.E. Kvasov // Communications in nonlinear science and numerical simulation. — 2015. — V. 21, № 1-3. — P. 99-111.

210. Sergeyev, Ya.D. Emmental-type GKLS-based multiextremal smooth test problems with non-linear constraints / Ya.D. Sergeyev, D.E. Kvasov, M.S. Mukhametzhanov // Lecture notes in computer science. — 2017. — V. 10556. — P. 383-388.

211. Shahriari, B. Taking the human out of the loop: a review of bayesian optimization / B. Shahriari, K. Swersky, Z. Wang, R.P. Adams, N. de Freitas // Proceedings of the IEEE. — 2016. — V. 104, № 1. — P. 148-175.

212. Shekel, J. Test functions for multimodal search technique/ J. Shekel // In: Proceedings of the 5 th Princeton conference on information science systems. — Princeton: Princeton University Press, 1971. — P. 354-359.

213. Shubert, B.O. A sequential method seeking the global maximum of a function / B.O. Shubert // SIAM Journal on numerical analysis. — 1972. — V. 9, № 3. — P. 379-388.

214. Sovrasov, V. Comparison of several stochastic and deterministic derivative-free global optimization algorithms / V. Sovrasov // Lecture notes in computer science.

— 2019. — V. 11548. — P. 70-81.

215. Strongin, R.G. Algorithms for multi-extremal mathematical programming problems employing the set of joint space-filling curves / R.G. Strongin // Journal of global optimization. — 1992. — V. 2. — P. 357-378.

216. Strongin, R.G., Global optimization with non-convex constraints. Sequential and parallel algorithms / R.G. Strongin, Ya.D. Sergeyev. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2000. — 704 p.

217. Törn, A.A. Global Optimization / A.A. Törn, A. Zilinskas // Lecture Notes in Computer Science. — 1989. — V. 350.

218. Tuy, H. D.C. optimization: theory, methods and algorithms / Tuy H. // In: R. Horst, P.M. Pardalos (Eds.). Handbook of global optimization. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1995. — p. 149-216.

219. Tuy, H. Convex Analysis and Global Optimization / H. Tuy. — Springer, 2016. — 505 p.

220. Vapnik, V. The nature of statistical learning theory / V. Vapnik. — New York: Springer-Verlag, 1996. — 188 p.

221. Venkataraman, P. Applied optimization with MATLAB programming/ P. Venkataraman. — New York: John Wiley & Sons, 2009. — 544 p.

222. Wu, M.C. An hourly streamflow forecasting model coupled with an enforced learning strategy / M.C. Wu, G.F. Lin // Water. — 2015. — V. 7, № 11. — P. 5876-5895.

223. Zhigljavsky, A.A. Theory of Global Random Search / A.A. Zhigljavsky. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1991. — 341 p.

224. Zhigljavsky, A. Stochastic global optimization / A. Zhigljavsky, A. Zilinskas. — New York: Springer, 2008. — 262 p.

225. Zilinskas, A. Multistart with early termination of descents / A. Zilinskas, J. Gillard, M. Scammell, A. Zhigljavsky // Journal of global optimization. — 2019. — https://doi.org/10.1007/s10898-019-00814-w

ПРИЛОЖЕНИЕ А Акты о внедрении результатов диссертационной работы

АКТ

о внедрении результатов диссертационного исследования Баркалова Константнна Александровича «Параллельные методы липшицевой глобальной оптимизации для выбора параметров математических моделей сложных объектов и процессов», представленной на соискание ученой степени доктора технических паук-

Настоящим актом государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет» (ПНИПУ) подтверждает, что результаты исследований Баркалова Константина Александровича в области параллельных алгоритмов липшицевой глобальной оптимизации используются в Центре высокопроизводительных вычислительных систем ПНИПУ при исследовании задач гидро- и газодинамики каналов сложной формы. Методы глобальной оптимизации, реализованные в разработанной Варкаловым К.А. библиотеке С1оЬаП7.ег, были использованы:

1. При исследовании процессов, протекающих в климатической аэродинамической грубе, позволяющей моделировать широкий спектр полетных условий, связанных с обледенением;

2. При выборе параметров моделей центробежных насосов с целью стабилизации напора жидкости на выходе.

Директор ЦВВС ПНИПУ, Д.Т.Н., проф.

Иг/

В.Я. Модорский

АКТ

о внедрении результатов диссертационного исследования Баркалова Константина Александровича «Параллельные методы липшицевой глобальной оптимизации для выбора параметров математических моделей сложных объектов и процессов», представленной на соискание ученой степени доктора технических наук

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «11ациональный исследовательский университет ИТМО» (Университет ИТМО) подтверждает, что результаты исследования Баркалова Константина Александровича в области параллельных алгоритмов липшицевой глобальной оптимизации использованы в Университете ИТМО при разработке программной платформы для организации интерактивных вычислений на высокопроизводительных ресурсах \VFWrapper (в рамках выполнения проекта «Вычислительные шаблоны для высокопроизводительных многомасштабных вычислений» ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2014-2020 годы»), В частности, разработанные в диссертационной работе методы решения задач глобальной оптимизации использовались для определения оптимальных параметров алгоритмов планирования выполнения ресурсоемких распределенных приложений.

Старший научный сотрудник НЦКР к.т.н.

Д.А. Насонов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ

Институт системного программирования

о возможности внедрении результатов диссертационного исследования

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт системного программирования им. В.П. Иванникова» (ИСП РАН) подтверждает, что результаты диссертационного исследования Баркалова Константина Александровича «Параллельные методы липшицевой глобальной оптимизации для выбора параметров математических моделей сложных объектов и процессов», представленной на соискание ученой степени доктора технических наук, планируются к использованию в ИСП РАН.

В частности, параллельные методы глобальной оптимизации, разработанные и реализованные Баркаловым К.А. в библиотеке 01оЬаПгег, планируется применять для решения задач выбора оптимальных параметров работы:

- ветроэнергетических установок (ВЭУ) - выбор взаимного расположения ветроустановок, угла поворота гондолы двигателя, угловой скорости вращения лопастей, обеспечивающих максимальную суммарную мощность всех ВЭУ в ветропарке;

- противообледенительных систем (ПОС) пассажирских самолетов - выбор параметров работы ПОС, обеспечивающих испарение всей соударяющейся массы воды в пределах нагреваемой зоны исходя из доступной мощности.

21 августа 2020 г. Баркалов К.А. выступил на семинаре по системному программированию под руководством академика РАН, А.И. Аветисяна с докладом "Параллельные методы липшицевой глобальной оптимизации для выбора

им.В.П. Иванникова Российской академии наук (исп ран)

ул. Александра Солженицына, д. 25, Москва, 109004 телефон: [phone], факс: [phone], http://www.isvras.ru ОКПО 34581057, ОГРН 1037700067327, ИНН/КПП 7709006125/770901001

л. с я 2 с рек* 32? -¿bzo На №

В диссертационный совет Д 212.165.05 при НГТУ им. P.E. Алексеева 603950, г. Н. Новгород, ул. Минина, 24

справка

параметров математических моделей сложных объектов и процессов". Состоялось научное обсуждение доклада, были даны рекомендации по улучшению содержание доклада со стороны профессоров А.Н. Томилина и А.И. Аветисяна. Научная работа Баркалова К.А. получила положительный отзыв.

Врио директора ИСП РАН

Академик РАН

А.И. Аветисян

утверждаю

АКТ

внедрения в учебный процесс Института информационных технологий, математики и механики Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

результатов диссертации Баркалова К.А. «ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЛИПШИЦЕВОЙ ГЛОБАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ ВЫБОРА ПАРАМЕТРОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СЛОЖНЫХ ОБЪЕКТОВ И ПРОЦЕССОВ»

Мы, нижеподписавшиеся, комиссия в составе председателя - заместителя директора по учебно-методической работе ИИТММ, к.ф.-м.н, доцента Кузенкова O.A., и членов: заместителя заведующего кафедрой Математического обеспечения и суперкомпьютерных технологий ИИТММ ННГУ, к.т.н., доцента Меерова И.Б. и доцента кафедры Математического обеспечения и суперкомпьютерных технологий ИИТММ ННГУ, к.т.н. Сысоева A.B. составила настоящий акт в том, что результаты диссертационного исследования Баркалова К.А. «Параллельные методы липшицевой глобальной оптимизации для выбора параметров математических моделей сложных объектов и процессов» (научный консультант - д.ф.-м.н., профессор Стронгин Р.Г.) были внедрены в учебный процесс института в 2020/2021 учебном году при преподавании курсов «Многопроцессорные вычислительные системы и параллельное программирование» (третий курс бакалавриата ИИТММ ННГУ), «Модели выбора решений» (первый курс магистратуры ИИТММ ННГУ), а также использованы при проведении серии всероссийских научных школ для молодых ученых «Высокопроизводительные вычисления, оптимизация и приложения» в 2015 - 2017 гг.

Председатель:

заместителя директора по учебно-методической работе ИИТММ, к.ф.-м.н., доцент

Кузенков O.A.

Члены комиссии:

зам. зав. каф. МОСТ ИИТММ,

Мееров И.Б.

к.т.н., доцент

доцент каф. МОСТ ИИТММ,

Сысоев A.B.

ПРИЛОЖЕНИЕ Б Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ