Параметризация каустик фредгольмовых функционалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Чемерзина, Елена Викторовна

• Чемерзина, Елена Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чемерзина, Елена Викторовна

Список основных обозначений

Введение.

I. Элементы локального анализа фредгольмовых функционалов

1. Фредгольмовы функционалы на линейных пространствах

1.1. Фредгольмовы операторы.

1.2. Фредгольмовы функционалы.

1.3. Локальный анализ фредгольмовых функционалов

2. Фредгольмовы функционалы на многообразиях

2.1. Функционалы на банаховых многообразиях с бесконечномерными римановыми оснащениями

2.2. Критические орбиты и квазиинвариантные подмногообразия.

3. Бифуркационые диаграммы функционалов.

4. Редуцирующие схемы.

4.1. Схема Пуанкаре.

4.2. Нелокальная схема Ляпунова - Шмидта

4.3. Ритцевская аппроксимация ключевой функции

4.4. Схема Морса - Ботта

4.5. Общая редуцирующая схема.

II. Алгоритм Релея — Шредингера и параметризация каустик

1. Алгоритм Релея - Шредингера и его обобщение

1.1. Параболические множества функционалов

1.2. Построение спектрального множества.

1.3. Случай простого собственного значения

2. Вычисление асимптотик более высокого порядка . . . 643. Возмущение кратного собственного значения.

4. О параметризации квазиинвариантного сфероида

5. Примеры параметризации каустик.

5.1. Пример 1 (через вычисление детерминанта)

5.2. Пример 2 (по новой схеме).

5.3. Фредгольмовы функционалы с простейшими особенностями.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Параметризация каустик фредгольмовых функционалов»

Аналитические и топологические методы изучения экстремалей гладких параметрических семейств гладких функционалов на банаховых многообразиях представляет интерес как для общей теории особенностей гладких функционалов V(x,t), так и для "соседних" областей науки — теории управления, теории фазовых переходов в кристаллах и родственных материалах, теории бифуркаций решений вариационных краевых задач и т.д.

В бифуркационном анализе экстремалей выделяются следующие две важнейшие задачи: 1) описание геометрического строения каустик (бифуркационных диаграмм функций) и 2) описание bif—раскладов, соответствующих компонентам связности дополнения к каустике (в базе деформации).

Решение этих задач достаточно продуктивно осуществляется на основе схем конечномерной редукции [8], [17], [23], [43].

Первый шаг в изучении любой особенности — определение и вычисление мод бифуркации {е;}"=1, что в конечном итоге дает возможность представления любой бифурцирующей экстремали в форме

Е6-е> + о(0, (0.1)

3=1 где £ = (£i, . ,£п)т — критическая точка ключевой функции (зависящих от закритического приращения управляющего параметра).

В анализе обычных критических точек моды бифуркации чаще всего определяются как собственные функции главной части оператора Гессе (производной Фреше градиента) в заданной критической точке.

Вслед за построением бифуркационных мод в полный рост встает задача построения и анализа нормальной формы ключевой функции. Основу для ее решения дают схемы конечномерных редукций [8], [17], [43] и конструкции теории особенностей гладких функций [3].

Таким образом, локальную параметризацию каустики (бифуркационной диаграммы функций [3]) в конечнократной особой точке для гладкого параметрического семейства гладких фредгольмовых функционалов в принципе можно производить посредством схем конечномерной редукции. Однако данный подход, при всех своих достоинствах, требует в практических применениях, во-первых, выполнения условия версальности, гарантирующего конечную определенность ключевой функции, и, во-вторых, весьма трудоемких вычислений (при приближенном построении канонического отображения пространства управляющих параметров на базу ограниченной миниверсальной деформации генотипа особенности).

В работе [53] был предложен прямой подход к построению параметризации каустики, свободный от условия версальности и требующий существенно меньше вычислений. Этот подход основан на теории Релея - Шредингера [48], [32], [38] возмущений симметричных линейных операторов или, более точно, на алгоритме Релея

Шредингера вычисления возмущенных простых собственных значений и собственных векторов, разложенных в степенные ряды по малым приращениям управляющих параметров, а также на методе квазиинвариантных подмногообразий, ранее разработанном в [44].

Классический алгоритм Релея - Шредингера в своем первоначальном виде был создан Лордом Релеем (1894) [69] при исследовании колебаний твердых тел, а затем обобщен Е. Шредингером (1926) [71] при разработке методов вычисления энергии возмущенной квантовой системы. Впоследствии этот алгоритм развивался физиками Леннардом - Джонсом, Вигнером, Бриллюэном [32] и др., а также математиками — Реллихом, Секефальви - Надем, Ка-то, Блохом, Фридрихсом и др. (см. [48]). Первая наиболее полная математическая разработка была дана Ф. Реллихом (1936), применившим принцип сведения (редукции) к соответствующей задаче построения асимптотических разложений собственных векторов и собственных значений для операторов в конечномерном пространстве (для точечного спектра).

На идее редукции спектральной задачи для самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве (с точечным спектром) к аналогичной задаче в конечномерном пространстве основан и известный "метод промежуточных задач" Ароншайна - Вейнстейна

N1).

Следует подчеркнуть, что подавляющая совокупность работ была посвящена случаю однопараметрического пучка операторов. Так, Реллих рассматривал лишь отдельные примеры операторных пучков с двумя параметрами, вскрывающие трудности переноса теории на случай многопараметрических пучков.

Некоторые аспекты многопараметрических спектральных задач изучали Ф. Аткинсон [59], С.Г. Крейн, В.П. Трофимов [26], Т.Я. Азизов [1], А.Г. Баскаков [4] и др.

Подходы к решению задач теории возмущений для общих операторных пучков (с дискретным спектром), основанные на методе Ляпунова - Шмидта, развивались в работах В.А. Треногина [13].

Изучение гладких операторных пучков методами теории особенностей гладких отображений было начато В.И. Арнольдом [2].

В данной работе изложены теоретические основы нового подхода, разработанного автором диссертации, и описаны некоторые его применения.

Как уже отмечалось, целью нового подхода является непосредственное изучение каустики в рамках исходного функционального пространства управлений.

Отметим, что аналогичная цель (описание гиперповерхности особых точек) ставилась в работе [9] при изучении фазовых пространств с особенностями для динамических уравнений типа Соболева.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чемерзина, Елена Викторовна, 2003 год

1. Азизов Т.Я. Основы теории линейных операторов с индефинитной метрикой / Т.Я. Азизов, И.О. Иохвидов. - М.: Наука, 1986. - 352 с.

2. Арнольд В.И. О матрицах, зависящих от параметров / В.И. Арнольд // Успехи матем. наук. 1971. - Т. 26, вып. 2. - С.101-114.

3. Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений. Монодромия и асимптотика интегралов / В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Г>сейн Заде. - М.: Наука, 1984. - 336 с.

4. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов / А.Г. Баскаков. Воронеж: ВорГУ, 1987. - 164 с.

5. Бардин Б.С. Локальная теория существования периодических волновых движений бесконечной балки на нелинейно упругом основании / B.C. Бардин, С.Д. Фурта // Актуальные проблемы классической и небесной механики. М.:"Эльф",1998. - С.13-22.

6. Бергер М.С. Теория ветвления в случае нелинейных эллиптических дифференциальных уравнений и систем / М.С. Бергер // Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения; Под ред. Келлер Дж.Б., Антман С.М. М.: Мир, 1974. -С.71-128.

7. Бобылев Н.А. Леммы Морса для функционалов вариационного исчисления / Н.А. Бобылев, Ю.М. Бурман // Функц. анализ и его прил. 1991. - Т.25, iVQ3. - С.1-11.

8. Бобылев Н.А. Геометрические методы в вариационных задачах / Н.А. Бобылев, С.В. Емельянов, С.К. Коровин. М.: Магистр, 1998. - 658 с.

9. Бокарева Т.А. Сборки Уитни фазовых пространств некоторых полулинейных типа Соболева / Т.А. Бокарева, Г.А. Свиридюк // Матем. заметки. 1994. - Т.55, iVQ3. - С.3-10.

10. Болотин С.В. Периодические решения системы с гироскопическими силами / С.В. Болотин // Прикл. матем. и механ. -1987. Т.51, вып.4. С.686-687.

11. Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера / Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // Успехи мат. наук.- 1977.- Т.32 Вып.4.- С.3-54.

12. Брекер Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы / Т. Бре-кер, Л. Ландер. М.: Мир, 1977. - 208 с.

13. Ваинберг М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин. М.: Наука, 1968. - 528 с.

14. Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях / С. Гулд. М.: Мир, 1970. - 328 с.

15. Заваровский Ю.Н. О методе Ляпунова Шмидта для вариационных задач с параметром / Ю.Н. Заваровский; Воронеж.гос.ун-т. - Воронеж, 1961. - 13 с. - Деп. в ВИНИТИ, iVa 478 - 82.

16. Зачепа В.Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений / В.Р. Зачепа, Ю.И. Сапронов. Воронеж: ВорГУ, 2002. - 185 с.

17. Иллс Дж. Основания глобального анализа / Дж. Иллс // Успехи мат. наук. 1969. - Т.24, '№• 3. - С.157-210.

18. Иллс Дж. Фредгольмовы структуры / Дж. Иллс // Успехи мат. наук. 1971. - Т.26, №■ 6. - С.213-240.

19. Кадченко С.И. Новый метод вычисления первых собственных значений дискретных несамосопряженных операторов / С.И. Кадченко //В кн.: Уравнения соболевского типа. Челябинск: Чел-ГУ. 2002. - С.42-59.

20. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезически / В. Клин-генберг. М.: Мир, 1982. - 416 с.

21. Красносельский М.А. Применение вариационных методов в задаче о точках бифуркации / М.А. Красносельский // Мат. сборник. 1953. - Т.ЗЗ, 3. - С.199-214.

22. Красносельский М.А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления /М.А. Красносельский, Н.А. Бобылев, Э.М. Муха-мадиев // ДАН СССР. 1978. - Т. 240, №■ 3. - С.530-533.

23. Красносельский М.А. Приближенное решение операторных уравнений / М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрей-ко, Я.Б. Рутицкий, В.Я. Стеценко. М.: Наука, 1969. - 456 с.

24. Красносельский М.А. Бифуркационные значения параметров в вариационных задачах / М.А. Красносельский, Э.М. Мухама-диев, А.В. Покровский // ДАН СССР. 1980. - Т. 225, №■ 2. -С.282-286.

25. Крейн С.Г. О голоморфных оператор функциях нескольких комплексных переменных / С.Г. Крейн, В.П. Трофимов // Функциональный анализ и его приложения. - 1969. Т. 3, вып. 4. - С.85-86.

26. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / С. Ленг. М.: Мир, 1967. - 204 с.

27. Милнор Дж. Теория Морса / Дж. Милнор. М.:Мир, 1965. -184 с.

28. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлин. М.: Наука, 1970.

29. АНтропольский Ю.О. Доотпдження коливанъ в системах з роз-подшеними параметрами (асимптотичш методи) /Ю.О. Мггро-польский, Б.1. Мосеенков. Видавництво Кшвського ушверси-тету, 1961. - 123 п.

30. Мотт Н. Волновая механика и ее применения /Н. Мотт, И. Снеддон. М.: Наука, 1966. - 428 с.

31. Мухамадиев Э.М. О группах гомологии критических точек гладких функций / Э.М. Мухамадиев // Докл. АН Тадж. ССР. -1983. Т. 26, 9. - С.553-557.

32. Постников М.М. Введение в теорию Морса / М.М. Постников. М.: Наука, 1971. - 567 с.

33. Постон Т. Теория катастроф и ее приложения / Т. Постон, И. Стюарт. М.: Мир, 1980. - 608 с.

34. Пуанкаре А. Избранные труды (в 3 т.). Том 2: Новые методы небесной механики. Топология. Теория чисел / А. Пуанкаре. -М.: Наука, 1972. - 1000 с.

35. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике / К. Ректорис. М.: Мир, 1980. - 608 с.

36. Рид М. Методы современной математической физики: Т. 4. Анализ операторов / М. Рид, Б. Саймон. М.: Мир, 1982. - 428 с.

37. Садовничий В.А. О классической формуле первого регуляри-зованного следа оператора Лапласа с нечетным потенциалом на сфере / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский // Труды сем. им И.Г.Петровского. 1996. Вып. 19. - С.37-72.

38. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции и локальный анализ фредгольмовых уравнений. Диссертация на соискание степени доктора физ.-мат. наук / Ю.И. Сапронов. Воронеж, 1991. -231 с.

39. Сапронов Ю.И. Нелокальные конечномерные редукции в вариационных краевых задачах / Ю.И. Сапронов // Матем. заметки. 1991. - Т.49, iVQ 1. - С.94-103.

40. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах / Ю.И. Сапронов // Успехи мат. наук. 1996. -Т.51. - Вып.1. - С.101-132.

41. Сапронова Т.Ю. О методе квазиинвариантных подмногообразий в теории фредгольмовых функционалов / Т.Ю. Сапронова // В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж: ВорГУ, 2000. - С.107-124.

42. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Успехи матем. наук. 1994. Т. 49, вып. 4.- С.47-74.

43. Сидоркин А.С. Доменная структура в сегнетоэлектриках и родственные материалы / А.С. Сидоркин. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. - 240 с.

44. Треногин В.А. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркации, симметрия / В.А. Треногин, Н.А. Сидоров, Б.В. Логинов // ДАН СССР. 1989. - Т.309, №■ 2. - С.286-289.

45. Фридрихе К. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве / К. Фридрихе. М.: Мир, 1969. - 232 с.

46. Хуссаин М.А. О двухмодовых бифуркациях равновесий упругой балки с квадратичной упругой силой / М.А. Хуссаин // Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ, 2003. С.132-139.

47. Царев С.Л. О глобальной распрямляемости гладких функций с единственной критической точкой / С.Л. Царев // Труды матем. факультета ВГУ. Воронеж: ВорГУ, 1996. - N- 1 (новая серия).- С.92-96.

48. Царев С.Л. Глобальное сравнение эквивариантных конечномерных редукций для гладкого G-инвариантного функционала / C.JL Царев // Труды матем. факультета ВГУ. Воронеж: Вор-ГУ, 1998. - №■ 3 (новая серия). - С.73-76.

49. Царев С.Л. Один вариант леммы Морса и его приложения к нелинейным вариационным задачам / С.Л. Царев //В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж: ВорГУ, 2000. - С. 132-136.

50. Чемерзина Е.В. Об одной схеме вариационного подхода в теории возмущений Релея Шредингера / Е.В. Чемерзина // Сб. статей аспирантов и студентов матем. факультета ВГУ. - Воронеж: ВорГУ, 2000. - С.70-74.

51. Чемерзина Е.В. Обобщенные формулы Релея Шредингера и каустики функционалов с параметрами / Е.В. Чемерзина // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тез. докладов / Владимир: Влад-ГУ, 2002. С. 141-142.

52. Чемерзина Е.В. Об одном обобщении алгоритма Релея Шредингера в случае кратного собственного собственного значения / Е.В. Чемерзина // Математические модели и операторные уравнения / Воронеж: ВорГУ, 2003. Том 2. - С. 140-146.

53. Чемерзина Е.В. О каустике параметрических семейств фредгольмовых функцианалов / Е.В. Чемерзина // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции (ВЗМШ). Воронеж: ВорГУ, 2003. С.279-280.

54. Чемерзина Е.В. Параметризация бифуркационной диаграммы функций в случае одномерного и двумерного вырождения / Е.В. Чемерзина // Сборник статей молодых ученых математического факультета ВГУ / Воронеж: ВорГУ, 2003. С.128-138.

55. Чемерзина Е.В. Каустики гладких параметрических семейств фредгольмовых функционалов / Е.В. Чемерзина // Воронеж: ВорГУ. НИИ математики. Препринт N9. Ноябрь, 2003. 47 с. — (http://www.main.vsu.ru/ ^matfak/events/chemer/).

56. Atkinson F.V. Multiparameter Spectral theory / F.V. Atkinson // Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968). P.l-27.

57. Banach S. Uber mehrdeutige stetige Abbildungen / S. Banach, S. Mazur // Studia Math. S. 1934. - P.174-178.

58. Bott R. Nondegenerate critical manifolds / R.Bott // Ann. of Math. Ser. 2. 1954. 60, N2. - P.248-261.

59. Conley C.C., Zehnder E. The Birkhoff-Lewis fixed point theorem and a conyecture of V.I.Arnol'd / C.C. Conley, E. Zehnder E.// Invent. Math, 1983. V.73. P.33-49.

60. Ляпунов A.M. Sur les figures d'equilibre peu differentes des el-lipsoides d'une masse liquide homogene donee d'un mouvement de rotation, p.l / A.M. Ляпунов // Зап. Акад. наук, С.-Петербург, 1906.

61. Marsden J.E. Qualitative Methods in Bifurcation Theory / J.E. Marsden // Bull. Amer. Math. Soc. 1978. - V.84, №■ 6.

62. Marsden J.E. On the Geometry of the Liapunov-Schmidt Procedure / J.E. Marsden // Lecture Notes in Mathematics. N.-Y.: Springer-Verlag, 1979, - V. 755. - P.77-82.

63. Morse M. The Critical Points of a Function of n Variables / M. Morse // Trans. Am. Math. Soc. 1931. - V. 33. - P. 72-91.

64. Morse M. The calculus of variations in the large / M. Morse. -New York, 1934.

65. Nashed M.Z. Global invertibility in nnolinear functional analysis / M.Z. Nashed, J.E. Hernander // Fixed point theory and applications. Word Scientific Publishing, River Edge, NJ. 1992. - P.229-247.

66. Rayleigh Lord. The Theury of Sound / Lord Rayleigh. 1894.

67. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgle-ichungen, Theil 3: Uber die Auflosung der nichtlinearen Integral-gleichungen und Verzweigung ihrer Losungen / E. Schmidt // Math. Ann. 1908. - V.65. - P.370-399.

68. Schrddinger E. Ann. der Phys. 80, 437. 1926.

69. Tromba A. A Sufficient Condition for a Critical Point of a Functional to be a Minimum and its Application to Plateau's Problem / A. Tromba // Matematische Annalen. 1983. - V. 263 - P.303-312.