Перемещения простых атомов (водород, гелий и их изотопов) через кристалл с учетом проявления квантовых особенностей в системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Плотникова Вера Исламовна

• Плотникова Вера Исламовна
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Плотникова Вера Исламовна

Введение

Глава 1. Обзор литературы и выбор объектов исследования

1.1. Выбор объектов для изучения возникновения нелинейных явлений модели кристаллической решётки

1.2. Различие энергии активации диффузионного процесса лёгких атомов в

кристаллической решётке кремния и активационной энергией

солитона, включающего в себя лёгкий инородный атом

Глава 2. Модель движения инородного атома в упорядоченной структуре

2.1. Построение пробной функции Лагранжа

2.2. Структура кремния

2.3. Приближение локальных цепей упорядоченной структуры

2.4. Построение шестимерного пространства в приближении локальных цепочек

Выводы по второй главе

Глава 3. Уравнения движения в шестимерном пространстве

3.1. Преобразование потенциала в виде билинейной формы

3.2. Уравнения движения

3.2.1 Преобразование левой части системы уравнений движения

3.3. Дефекты

3.3.1. Приближение локальных цепей при наличии вакансии

3.3.2. Дефект Френкеля

3.4. Преобразование потенциала У

3.5. Переход к одномерному движению

3.6. Адиабатическое преобразование

3.7. Упрощение уравнений движения

3.8. Дискретность перемещения инородного атома, закон сохранения импульса

3.9. Раскрытие потенциала У

Выводы по третьей главе

Глава 4. Дискретная модель движения Френкеля-Конторовой

4.1. Солитон Френкеля-Конторовой и его решение

4.2. Перемещение солитона Френкеля-Конторовой

4.3. Энергия солитона

4.3.1. Вычисление билинейной формы

4.3.2. Построение линейного пространства

4.3.3. Энергия солитона

4.3.4. Полная энергия солитона

4.4. Приведение энергии к релятивисткой форме

4.5. Лагранжиан инородного атома

Выводы по четвертой главе

Глава 5. Влияние поляризуемости инородного атома на перемещение солитона

5.1. Оценка постоянной взаимодействия ау инородного атома с окружением

5.2. Учёт квантовых состояний атома

5.3. Связь эффективной массы с поляризуемостью

5.4. Зависимость эффективной массы от поляризуемости

Выводы по пятой главе

Глава 6. Влияние дефекта Френкеля на перемещение солитона

Выводы по шестой главе

Глава 7. Переход к полевой форме уравнения Бт-Гордона

7.1. Переход от дискретной модели описания перемещения инородного

атома к полевой форме

Выводы по седьмой главе

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Перемещения простых атомов (водород, гелий и их изотопов) через кристалл с учетом проявления квантовых особенностей в системах»

Актуальность темы

Диссертация посвящена исследованию движения инородного атома в кристаллической решетке - теме актуальной как для фундаментальной науки, так и приложений в электронике, атомной энергетике и других областях современной науки.

Обычно такое перемещение рассматривают как частицу, движущуюся через заданное потенциальное поле, сформированное атомами кристаллической решетки. Одной из характеристик перемещения является частота прыжков где т — масса инородного атома. Согласно этому соотношению, имеем, что чем больше масса, тем реже и медленнее будут происходить такие переходы атома в соседние положения. При таком описании не понятно, как частица действует на поле и поле на частицу.

Воздействие среды на атом описывают в рамках приближения уравнения Ланжевена [37]. Но времена, по которым усредняется это воздействие, значительно превышают время взаимодействия частиц среды с инородным атомом.

При низких температурах лёгкие атомы могут проявлять себя как квантовые частицы, поскольку, для них, размер длины волны де-Бройля может оказаться сопоставимой с постоянной решётки, через которую перемещается лёгкий атом. И при учёте проявления квантовых свойств при движении лёгких атомов они рассматриваются, опять же, как частицы, проявляющие волновые свойства [29, 33, 39].

В данной работе предлагается учесть, что лёгкие атомы - они же являются простыми атомами (водород, гелий и их изотопы) перемещаются через кристалл не как частица, а как коллектив, состоящий из самого легкого (простого) атома и сопровождающих его обратимых смещений атомов окружения решетки. С этой точки зрения работа является актуальной, поскольку, во-первых, в ней

продемонстрирован переход от сложного многомерного движения к одномерному движению.

Во-вторых, показано, что инородный лёгкий атом способен перемещаться через поле кристаллической решётки только в виде коллектива, состоящего из самого лёгкого атома и сопровождающих его обратимых смещений атомов решётки. И движение этого коллектива описывается одномерным и прямолинейным движением солитона.

Целью данной работы является выявление особенностей перемещения простого атома (водорода, гелия и их изотопов) в решетке кремния.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Построить модель перемещения инородного легкого атома в неупорядоченной структуре кремния.

2. Из исходного (пробного) Лагранжиана получить систему уравнений движения инородного простого атома (и его изотопов) и его окружения.

3. Свести сложное многомерное движение инородного легкого атома к прямолинейному равномерному движению в виде солитона Френкеля-Конторовой для регулярной структуры и нерегулярной структуры.

4. Исследовать дискретную модель перемещения солитона Френкеля-Конторовой.

5. Вычислить энергию солитона в релятивистской форме.

6. Учесть влияние квантового состояния легких атомов и их изотопов на поляризуемость и на возможность перемещения солитона.

7. Проследить влияние дефекта Френкеля на перемещение солитона

8. Произвести переход к полевой форме уравнения ят-Гордона. Научная новизна:

1. Рассматривается сложное многомерное перемещение инородного легкого атома в алмазоподобной решетке кремния, которое сводится к одномерному прямолинейному перемещению коллектива. Этот коллектив представляет собой солитон, состоящий из простого атома и

сопровождающих его обратимых смещений ближайших атомов окружения. Перемещение такого коллектива описано солитоном Френкеля-Конторовой.

2. Найдена зависимость эффективной массы солитона от поляризуемости простого атома или его изотопов.

3. В коллективном характере перемещения инородного атома через наноструктуры кристалла учитываются квантовые состояния самого атома.

4. При детальном рассмотрении солитонов Френкеля-Конторовой для атома водорода и его изотопов и атома гелия и его изотопов был получен, на основе выстроенной теории, изотопный эффект. Методология и методы исследования.

Принцип Гамильтона. Рассмотрение потенциальной энергии взаимодействия инородного атома с окружением в приближении локальных цепочек, при условии, что в каждой из этих цепочек содержатся инородный атом. Используются локальные законы сохранения. Решается многомерная система нелинейных дифференциальных зацепляющихся уравнений. Вычисляется энергия солитона. Находятся уравнения движения для системы «инородный атом + кристалл с дефектами», где в качестве дефектов выбраны вакансия и дефект Френкеля.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. В результате использования законов симметрии, допускаемых свойствами функции Лагранжа, получен переход от сложного многомерного движения инородного легкого атома (водорода и его изотопов и гелия и его изотопов) в кристаллической неупорядоченной решетке кремния к одномерному прямолинейному движению в виде солитона Френкеля-Конторовой, соответствующего одномерной функции Лагранжа.

2. Солитон Френкеля-Конторовой представляет собой коллектив, состоящий из самого легкого атома и сопровождающих его обратимых смещений атомов окружения.

3. Получен изотопный эффект перемещения атомов водорода и гелия (и их изотопов), показывающий, что солитоны «тяжелого» изотопа перемещаются быстрее, чем солитоны «легких» атомов и изотопов.

4. Рассмотрено влияние квантового состояния инородного легкого атома на возможность перемещения солитона Френкеля-Конторовой.

5. Выполнен переход от дискретной модели к полевой в виде инвариантного уравнения si-Гордона.

Достоверность и апробация работы. Достоверность приведённых в диссертационной работе результатов подтверждается тем, что из исследований, проведённых на больших размерностях [1, 24, 25], ситуации с меньшими размерностями возникают, как частный случай [8, 40, 41].

Другой стороной, косвенно подтверждающей достоверность исследований и выкладок, в частности, касающихся изотопного эффекта является увеличение коэффициента диффузии дейтерия в кремнии с понижением температуры по сравнению с поведением коэффициента диффузии для водорода [43].

Основные результаты работы докладывались на научных мероприятиях: S XXIX Международной конференции студентов, аспирантов и молодых

учёных «Ломоносов» - 2022. S 18th International (Hybrid) Conference on Diffusion in Solids and Liquids, DSL 2022.

S VIII фестивале науки в Московском государственном областном

педагогическом университете. 2023 г. S XXX Международной конференции студентов, аспирантов и молодых

учёных «Ломоносов» - 2023. S Международной научной конференции молодых ученых «Наука на благо

человечества - 2023». S V Международной научно-практической конференции «Проблемы теории и практики инновационного развития и интеграции современной науки и

образования» в рамках IX Международного Фестиваля науки Государственного университета просвещения. S Кроме этого, все результаты докладывались на научных семинарах кафедры фундаментальной физики и нанотехнологии ГУП. Личный вклад. Автор лично изучил и обобщил материал, связанный с темой диссертации, непосредственно участвовал в разработке плана исследований; самостоятельно исследовал поведение легких атомов водорода и гелия (и их изотопов) в алмазоподобной решетке кремния и выводил соотношения и уравнения, представленные в диссертационной работе, формулировал выводы по исследованию. По результатам диссертационной работы автор писал научные статьи и выступал с докладами на конференциях.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 7 публикациях, из них 2 статьи изданы в периодических научных журналах, индексируемых Web of Science и Scopus, 2 статьи в журналах, входящих в Перечень ВАК, 3 - в тезисах докладов.

Глава 1. Обзор литературы и выбор объектов исследования

При описании перемещения инородного атома через кристалл, по-видимому, наиболее полным является метод молекулярной динамики [3, 23, 35]. В этом методе задаются потенциалы взаимодействия атомов кристаллической решётки и потенциал взаимодействия инородного атома с окружением.

Примерами использования этого метода к инородным атомам водорода, гелия и дефектам в кристалле в разных конденсированных средах могут служить работы [28, 31, 42, 47]. В общем они сводятся к рассмотрению перемещения инородного атома как частицы в потенциальном поле с заданной конфигурацией, образованной атомами решетки. Движение, например, определяется частотой прыжков т.е. чем больше масса инородного атома, тем реже и

медленнее он будет передвигаться по решётке. При таком подходе не ясно как именно действует частица на поле и поле - на частицу. Правда, воздействие инородного атома на потенциальное поле решётки проявляется в возбуждении фононной подсистемы решётки. Но атом решётки при взаимодействии с инородным атомом участвует в двух видах движения - (1) в колебательном движении около равновесного положения, коллективный характер этих колебательных движений проявляется в виде фононной подсистемы решётки [6, 9] и (2) независимом смещении атома решётки (самого его равновесного положения), вызванного взаимодействием с инородным атомом. Вот этот второй тип смещения нигде не принимается во внимание при рассмотрении перемещения инородного атома в кристалле.

Воздействие среды на инородный атом описывают в рамках приближения уравнения Ланжевена [37]. Но времена, по которым усредняется это воздействие значительно превышают время взаимодействия частиц среды с инородным атомом. И детали взаимного воздействия атома на окружение и окружения на атом нивелируются.

При низких температурах лёгкие атомы могут проявлять себя как квантовые частицы, поскольку, для них, размер длины волны де-Бройля может

оказаться сопоставимой с постоянной решётки, через которую перемещается лёгкий атом. И при учёте проявления квантовых свойств при движении лёгких атомов они рассматриваются только, опять же, как частицы, проявляющие волновые свойства [29, 33, 39].

В нашем случае, который и является предметом диссертации, перемещение простого атома через решётку (и неупорядоченную решётку) возникает как коллективное перемещение, состоящее из самого лёгкого атома и обратимых смещений атомов решётки, сопровождающих его. Было найдено, что такое поведение описывается солитоном Френкеля-Конторовой [23, 40, 41]. При переходе к полевой форме такого перемещения возникают уравнения sin —Гордона. В таком случае отметим, что эти уравнения относится к интегрируемым нелинейным дифференциальным уравнениям [2, 59], решения которых возникают в виде солитонов. И именно интегрируемость этих нелинейных уравнений и существования их устойчивого решения в виде солитона служит причиной их использования для модельного описания многих физических явлений в виде моделей одномерной цепочки, вдоль которой может перемещаться сама дислокация (модель Френкеля-Конторовой [10]), либо заряд в кристалле воды [5], либо в виде «доменной стенки» между разными фазами [2]. Полевые уравнения sin —Гордона, уравнения-^4, Клейна-Гордона-Фока также, в одномерном случае, демонстрируют существование устойчивых решений в виде солитонов. Уравнения sin —Гордона, уравнения-^4, Клейна-Гордона-Фока и уравнения Френкеля-Конторовой находят широкое применение к различным моделям в современной физике [4, 5, 19, 45, 59].

Особое место в описании интегрируемых и неинтегрируемых уравнений и выявлении физических свойств решений этих уравнений в виде солитонов занимают работы [14, 15,17]. Теория солитонов активно развивается и находит широкое применение в современных задачах [52, 53, 56, 49, 58].

Во всех этих случаях, за исключением [48], рассматривается только одномерное движение для нелинейного уравнения потому, что оно является, в отличие от других размерностей, интегрируемым и дающим устойчивое решение

в виде солитона. В таком случае, причины, выделяющие одномерное движение и делающие эту одномерность «исключительной», понятны. Однако, как возникает одномерность в сложном движении инородного атома в кристаллическом поле решётки и каковы причины возникновения одномерности, остаётся не понятным. С этой точки зрения, задача по выяснению перехода от сложного многомерного движения инородного атома через кристаллическую решётку к одномерному варианту его перемещения становится актуальной.

1.1. Выбор объектов для изучения возникновения нелинейных явлений модели кристаллической решётки

Чтобы выяснить и продемонстрировать возможность перехода от сложного многомерного движения инородного атома через кристаллическую решётку к одномерному варианту его перемещения были выбраны два объекта.

Первый объект касается выбора самого инородного атома. В качестве инородного атома рассматриваются атом водорода и атом гелия. Эти два типа атомов являются легчайшими атомами. Лёгкий атом является синонимом простого атома, и наоборот. Каждый из этих типов атомов, во-первых, обладает набором изотопов и это позволит выяснить влияние массы атома на его перемещения. Масса атома в этом случае выступает как его классическая характеристика. Во-вторых, независимо от массы атома и его изотопов, эти лёгкие атомы могут пребывать в разных квантовых состояниях. Реакция атома в разных квантовых состояниях (его поляризуемость) на воздействие внутрикристаллического поля решётки различна. Это предполагает возможность исследования того, как влияет квантовое состояние атома на его перемещение как классического объекта.

Второй объект касается выбора среды, в которую помещён и может перемещаться инородный лёгкий атом. В качестве такой среды выбрана

кристаллическая структура кремния. Кристалл кремния обладает алмазоподобной решёткой. Эта решётка обладает богатым набором междоузлий [46, 47, 32], по которым могут перемещаться инородные лёгкие атомы. Междоузлия этой решётки позволяют разместить в них и атом водорода и атом гелия. Но здесь возникает проблема.

1.2. Различие энергии активации диффузионного процесса лёгких атомов в кристаллической решётке кремния и активационной энергией солитона, включающего в себя лёгкий инородный атом

Проблема связана с сопоставлением результатов, полученных в настоящей работе с исследованиями поведения водорода и гелия в решётке кремния. В данной работе при переходе от многомерного пространства, в котором движется атом, к одномерному, в котором движется коллектив, состоящий из самого инородного атома и сопровождающих его обратимых смещений ближайших атомов решётки в виде солитона, появляется энергия активации такого движения. Но такая энергия - энергия активации солитона, содержащего в себе атом водорода или атом гелия в сопровождении обратимых смещений ближайших атомов решётки кремния - нигде и никогда не измерялась. Но измерялась энергия активации атомов водорода (или гелия) в диффузионных процессах при их устойчивом существовании (как дефектов) в соответствующих междоузлиях кристаллической решётки кремния. По физическим свойствам эти два типа энергии активации совершенно различны. Энергия активации в диффузионном процессе носит статистический характер - это энергии многих одинаковых инородных атомов для перехода из многих одинаковых позиций в соседние одинаковые же позиции в кристалле. А энергия активации солитона -это энергия, требуемая не атому, а коллективу, состоящему из самого инородного атома и сопровождающих его обратимых смещений атомов решётки. И энергия активации солитона носит не статистический характер, а

характер одиночного объекта (солитона) нелинейной механики. Тем не менее, существующие экспериментальные и теоретические данные по энергии активации диффузионного процесса могут помочь оценить и сопоставить хотя бы по порядку этой величины то, как сильно отличаются энергия активации солитона от энергии активации диффузионного процесса. Поэтому ниже приводятся некоторые данные по активационной энергии диффузионного процесса атомов водорода (Таблица 1) и атомов гелия в решётке кремния.

Водород, как и гелий, в кремнии рассматривается как дефект. Все работы рассматривают и водород, и гелий в междоузлиях исключительно с позиций устойчивости этих дефектов [28, 31]. И водород, как дефект может присутствовать в виде атомарного водорода, либо в виде положительно или отрицательного иона, либо в виде молекулы, которая может быть также заряжена. Физическая величина, используемая для описания устойчивости разных атомных дефектов есть энергия формирования (или энергия растворения) водорода в кремнии.

Миграционный барьер - энергия активации (барьер, который нужно преодолеть, чтобы начать перемещение атома водорода равен 7,37 • 10-20 Дж и не зависит от знака иона водорода).

Нейтральный атом водорода выглядит более способным двигаться свободно по решётке с очень малыми энергетическими барьерами. В случае Н и отрицательного (Н-) тетраэдрическое междоузельное положение является самым низким по энергии [60, 61].

Кроме перемещения водорода по кремнию, рассматривали перемещение его изотопов [36, 43, 44]. Работа описывает количественное определение статических и динамических свойств локально устойчивых состояний моноатомного водорода и дейтерия. Обращают внимание на то, что атомы дейтерия связываются в междоузлиях сильнее, чем атомы водорода [43]. В [60] рассмотрены особенности растворения водорода, дейтерия и трития в плёнках кремния. Рассматривают так называемый изотопный эффект. Но этот эффект сводится лишь к тому, что более тяжёлые изотопы участвуют в колебательном

движении атомов решётки кремния с более низкими частотами (т.е. чем больше масса, тем меньше частота колебаний атома в связи с атомом кремния). Частота колебаний убывает с массой - это стандартно и обычно.

Но в работе [43] было обнаружено, что коэффициент диффузии дейтерия оказывается выше коэффициента диффузии водорода (Таблица 1). Другими словами, с понижением температуры более «тяжёлый» атом движется быстрее лёгкого атома водорода.

Таблица 1 - Коэффициенты диффузии

Температура [К] В (водород) Б(дейтерий) М

850 1,48 • 10-6 1,30 • 10-6

298 5,03 • 10-9 5,84 • 10-9

200 6,70 • 10-11 8,70 • 10-11

Для гелия. Гелий проникает в тетраэдрические позиции, и энергия формирования такого дефекта меняется в пределах 1,23 • 10-19 — 2,05 • 10-19 Дж [31, 42], а энергия активации диффузии равна 2,88 • 10-19 Дж [51].

Таким образом, для рассмотрения перемещения атомов водорода и его изотопов и атомов гелия и его изотопов будем рассматривать только тетраэдрические позиции междоузельных положений. Тетраэдрические конфигурации междоузлий и тетраэдрические связи атомов кремния в решётке позволяют продемонстрировать в полной мере переход от многомерного сложного перемещения инородного лёгкого атома к одномерному способу движения.

Глава 2. Модель движения инородного атома в упорядоченной структуре

2.1. Построение пробной функции Лагранжа

Рассмотрим перемещение инородного атома в упорядоченной структуре. Для определенности будем рассматривать кристаллическую решетку кремния, в которую внедрен атом водорода.

В совершенной кристаллической решетке кремния перемещение водорода (и его изотопов) осуществляется по междоузлиям [38, 54, 55]. Для описания такого сложного перемещения атома водорода используем формализм принципа Гамильтона [12, 13, 34], идея которого заключается в том, что кинетическая энергия Т лёгкого атома и его энергия взаимодействия V. с окружением неизвестны. Но атом может перемещаться. И это возможно благодаря разности этих величин (Г — Эта разность и представляет собой функцию Лагранжа [12, 13], свойства которой позволяют уточнить характер взаимодействия инородного атома с окружением и вывести новый, коллективный характер перемещения инородного атома через упорядоченную и неупорядоченную конденсированную среду.

Составим пробную функцию Лагранжа:

п

2

2

МпСп 1

, V 1 у Гс Л (с

+ 7 2

Р

(2.1)

где т —масса Н — атома;

Мп — масса 51 —атома в п —ой позиции;

7— вектор смещения внедренного атома в кристаллической решетке; сп — вектор смещения п —ого атома кремния в п —ой позиции; ас — постоянная упругого взаимодействия между атомами решетки. Нижний индекс Д означает набор координат.

Отметим, что функция Лагранжа (2.1) состоит из двух частей: верхняя строчка описывает перемещение лёгкого атома в потенциальном поле ^(Г, ближайшего окружения решетки, вторая строчка описывает поведение атомов решётки кремния. При этом потенциальное поле ^(Г, {^п}) зависит от

положения самого лёгкого атома Г и положений атомов решётки {^п}. Чтобы найти уравнения движения лёгкого атома в решётке кремния нужно знать, что представляет собой потенциальная энергия ^(Г, {^п}). А для того, чтобы найти и вычислить эту величину важно знать локальное строение решётки кремния вблизи междоузлия, в котором находиться лёгкий атом (водорода).

2.2. Структура кремния

Кристаллическая решетка кремния кубическая гранецентрированная типа алмаза, в которой каждый атом окружен четырьмя другими [20]. На Рисунке 2.1 представлена кристаллическая решетка кремния, для которой характерна периодичность в расположении атомов. Белыми шарами обозначены междоузлия.

В кристаллической решетке (Рисунок 2.1) можно выделить следующие междоузлия: £/, Ж, Г, 7, К, ^,71, Ж1,71. Параметр решетки кремния составляет 0,543 нм. Атомный радиус кремния = 0,134 нм.

Объем междоузлия кремния составляет 9,63-10-30м3, в то время как объем атома водорода, при атомном радиусе водорода 0,12 нм, равен 7,24-10-30м3 [16, 20]. Это говорит о том, что атом водорода может поместиться в этом междоузлии. Тогда перемещение инородного атома (атома водорода) имеет следующий путь: из междоузлия и в междоузлие ; либо из междоузлия и сначала перейти в междоузлие К, а потом попасть в или из и в Г, из Т в 1 и из 1 в

Рисунок 2.1 - Алмазоподобная решетка кремния. Белыми шарами обозначены

тетраэдрические позиции междоузлий

2.3. Приближение локальных цепей упорядоченной структуры

Атом водорода взаимодействует с атомами кремния ближайшего окружения. Пользуясь аналогией с [40], в приближении парного взаимодействия, можно выделить следующие пары взаимодействия атома водорода с соседними 51 —атомами решетки (Рисунок 2.2):

5£П_1Я и Я5£п; и Я5£п+1; 5£П+1Я и Я5£п+2; и Я5£п+2; (2.2)

•^п+2^ и Я51п_х; 51П_ХЯ и Я51п+1. Такие пары удобнее записать в виде в виде, например, таких сочетаний Я51У:

51пЯ51п+1, 51пЯ51п+2,

51п-1Я51п+1,

которые являются частью локальных цепочек (Рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 - Схема связей инородного атома (водорода) с решеткой в упорядоченной среде. Атомы ближайшего окружения кристаллической решетки для удобства пронумерованы следующим образом: п — 1, п,

п + 1, п + 2, и т.д.

Локальные цепочки обязательно содержат инородный атом и атомы решетки ближайшего окружения (в соответствии с Рисунком 2.2):

"• 51п-у51п-551п-з Н ^1п+151п+з "•;

"• 51п-у51п-551п-з Н 51п+2^1п+4 "•;

(2.3)

Эти цепочки рассматриваются как независимые.

Таким образом, для тетраэдрической позиции междоузлия, в которой находится атом водорода (и число ближайших соседних к атому водорода атомов

кремния равно 4) число локальных цепочек равно 6. Упругому взаимодействию атома водорода с окружением, которое теперь выражается через цепочки (2.3) можно сопоставить потенциал

С другой стороны, перемещение атома водорода участвует в перемещении из одной позиции в соседнюю. Это эквивалентно переходу п ^ п + 2. Например,

Я 51п+2^1п+4 ••• ^

^¿п-4^п-2^п^п+2 Я 51п+451п+6 ". (2.3а)

Этот переход, (2.3а), предполагает существование трансляционного потенциала, перетаскивающего атом водорода из одной позиции в соседнюю, Рисунок 2.2. Тогда из соотношений (2.3) и (2.3а) можно сделать вывод, что перемещение инородного атома предполагает воздействие двух различных полей: упругого поля, , каждой из цепочек (2.3) вызванного ближайшими соседями инородного атомами и поля вызывающего перемещение этого атома из п — ой позиции в соседнюю (см. (2.3а)).

^1+^2. (24) Теперь будем раскрывать смысл каждой части этого потенциала. Но прежде, необходимо учесть особенность введения локальных цепочек (2.3), связанное с возникновение нового многомерного пространства, в котором может перемещаться каким-то образом атом водорода.

2.4. Построение шестимерного пространства в приближении локальных

цепочек

Отметим, что локальные цепочки всегда будут содержать инородный атом. Каждой такой цепочке (2.3) можно сопоставить вектор уу (у = 1,2,3,4,5,6). Каждый вектор уу указывает на выход атома водорода из соответствующей цепочки. Для удобства записи при переходе в соседнюю позицию, будем учитывать только лишь ближайшие атомы кремния к атому водорода.

( 51п Я 51п+2 ~/1, 51п Я

с-П ос-1 3 (2.5)

51п-1 Я 51п+2 -у^ {51п+2 Я 51п+1 ~]?б.

Поскольку цепочки независимы, то и вектора

У1,У2,У3,У4,У5,У6. (2.5 а)

оказываются независимыми. Тогда, принимая, что эти векторы образуют линейно независимую комбинацию, можно ввести на этих векторах шестимерное пространство. Примечание.

Отметим, что при построении линейно независимых векторов (2.5 а), их можно выбрать так, чтобы только один из них был бы направлен в сторону соседней позиции. Такое расположение векторов (2.5 а) поможет сильно упростить уравнения движения.

Пользуясь независимостью цепочек (2.3), и учитывая, что смещения ближайших атомов кремния также описываются шестимерными векторами

смещения , запишем полную упругую силу, приложенную к инородному атому, со стороны окружения, которая представляет собой сумму попарно-независимых сил, действующих в каждой цепочке независимо. В общем виде проекция силы, действующая на инородный атом со стороны окружения, на любое из шести направлений имеет следующий вид:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Плотникова Вера Исламовна, 2024 год

Список литературы

1. Аскерова В.И., Калашников Е.В. Влияние поляризуемости лёгкого атома (и его изотопов) на его перемещение в виде солитона Френкеля-Конторовой по алмазоподобной решётке. Вестник Государственного университета просвещения. Серия: Физика-Математика. № 2, 2023. с. 2028.

2. Бишоп А. Солитоны и физические возмущения. В кн.: Солитоны в действии. М.: Мир, 1981, с. 72-101.

3. Бойко Г.Г., Бережной Г.В. Пути миграции гелия в а —кварце по данным метода молекулярной динамики. Физика и химия стекла, том 29, .№1, 2003. с. 65- 75.

4. Браун О.М., Кившарь Ю.С. Модель Френкеля-Конторовой, Концепции, методы, приложения. Пер.с англ. под ред. А.В. Савина - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. 536 с.

5. Давыдов А.С. Солитоны в молекулярных системах. Киев: Наукова Думка, 1984. 288 с.

6. Давыдов А.С. Теория твердого тела. М.: Наука, 1976. 640 с.

7. Каган Ю. Электронный поляронный эффект и квантовая диффузия тяжелой частицы в металле / Ю. Каган, Н. В. Прокофьев // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1986. - Т. 90, № 6. - С. 2176-2195.

8. Калашников Е.В., Толстихин И.Н., Певзнер Б.З. Перемещение атома гелия через кристалл кварца с дислокациями // Физика твёрдого тела. Т. 52. 2010. Вып. 7. С. 1283-1290.

9. Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел. М.: Наука, 1967. 492 с.

10. Конторова Т.А., Френкель Я.И. К теории пластической деформации и двойникования// Журнал экспериментальной и теоретической физики. Т. 8.1938. Вып. 1. с. 89-95.

11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: ФИЗМАТЛИТ, 2019. 800 с.

12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Механика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018. 224 с.

13. Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: Мир, 1965. 408 с.

14. Маханьков В. Г., Рыбаков Ю. П., Санюк В. И. Локализованные нетопологические структуры: построение решений и проблемы устойчивости //Успехи физических наук. 1994, том 164, №. 2, с. 121-148.

15. Маханьков В. Г., Рыбаков Ю. П., Санюк В. И. Модель Скирма и сильные взаимодействия (к 30-летию создания модели Скирма) //Успехи физических наук. 1992, том 162, №. 2, с. 1-61.

16. Рабинович, В.А. Краткий химический справочник / В.А. Рабинович, З.Я. Хавин. Л.: Химия, 1978. 392с.

17. Рыбаков Ю. П., Терлецкий С. А. Динамика солитонов во внешних полях и квантовая механика //Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science. 2004, №. 12, с. 88-112.

18. Савин А.В., Зубова Е.А., Маневич Л.И. Динамика топологических солитонов в системе слабосвязанных цепей. Высокомолекулярные соединения, Серия А, том 47, №4, 2005. с.637-651

19. Солитоны в действии // Под ред. К. Лонгрена и Э.Скотта : Пер. с англ. М.: Мир, 1981. 312 с.

20. Торопов, Н.А. Элементарный кремний / Н.А. Торопов, И.Ф. Андреев. Л.: Химия, 1978. 392с.

21. Трухачёв Ф.М., Васильев М.М., Петров О.Ф. Солитонные токи. Теплофизика высоких температур, 2020, том 58, №4, c.563-583;

22. Френкель Я.И. Введение в теорию металлов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1958. 368 с.

23. Халмуродов Х.Т., Алтайский М.В., Пузынин И.В., Дардин Т., Филатов Ф.П. Методы молекулярной динамики для моделирования физических и

биологических процессов. Физика Элементарных Частиц и атомного ядра, том.34, №2, 2003. с.474-515.

24. Askerova V. I., Kalashnikov E. V. Moving an atom by swapping places across a crystal lattice without vacancies. Journal of Physics: Conference Series. 2056 012023, 2021.

25. Askerova V.I., Kalashnikov E.V. Movement of a hydrogen atom through interstices in a diamond-like lattice // Defect and Diffusion Forum vol. 420, 2022. pp. 162-171.

26. Atkins P. W. et al. Physical chemistry for the life sciences. Oxford University Press, 2023, p.544.

27. Bethe H.A., Salpeter E. Quantum Mechanics of One and Two Electron Atoms. Springer, Berlin, 1957.

28. Bilteanu L., Posselt M., Crocombette J. P. Hydrogen Diffusion in Silicon-An ab initio Study of Hydrogen Kinetic Properties in Silicon //arXiv preprint arXiv:1111.6455. 2011.

29. Bittner E.R., Light J.C. Quantum stochastic approach for molecular/surface scattering. Adsorption resonances of He atoms on Xe overlayers. The Journal of Chemical Physics. v.101 (3) 1994 p.2448-2454

30. Chang K., Hurst R.P. Dipole polarizabilities of the 23S1 and 2% states of He and Li+. Phys.Rev. 152. 1966. pp. 35-41.

31. Eddin A. C., Pizzagalli L. First-principles calculations of helium and neon desorption from cavities in silicon. Journal of Physics: Condensed Matter. Vol. 24. № 17. 2012. p. 175006.

32. Estreicher S. K. Structure and Dynamics of Point Defects in Crystalline Silicon. Physica Status Solidi (b) Vol. 217, 2000. pp.513-532.

33. Flinn C.P., Stoneham A.M. Quantum Theory of diffusion with application to light interstitials in metals. Phys Rev.B. Vol.1, №10, 1970, p.3966-3978

34. Gablinger D. Notes on The Sine Gordon Equation [Электронный ресурс]. -Режим доступа: https://www2.mathematik.uni-halle.de/dohnal/SOLIT WAVES/SGEhandout4.pdf

35. Haile J. M. Molecular Dynamics Simulation: Elementary Methods. John Wiley & Sons. New York: 1992, 489 p.

36. Herring C., Johnson N. M., Van de Walle C. G. Energy levels of isolated interstitial hydrogen in silicon. Physical Review B. Vol. 64, No 64, 2001. pp. 125209.

37. Jing-Tao Lu, Bing-Zhong Hua, Per Hedegardb, Mads Brandbygec. Semi-classical generalized Langevin equation for equilibrium and nonequilibrium molecular dynamics simulation. Preprint submitted to Prog. Surf. Sci. February 6, 2018, p.1-23

38. Jones Sc.W. Diffusion in Silicon. IC Knowledge LLC, April 25, 2008, 68 pp.

39. Kagan Yu., Klinger M.I. Theory of quantum diffusion of atoms in crystals. Journ.Phys.C: Solid State Phys., vol.7., 1974, p.2791-2807.

40. Kalashnikov E., Tolstikhin I., Lehmann B., Pevzner B. Helium transport along lattice channels in crystalline quartz. Journ. Phys. Chem. Solids.v.64, 2003. pp.2293-2300.

41. Kalashnikov E.V., Tolstikhin I.N., Krylova N.A. Motion Equations of Helium Atom through Ordered and Disordered Quartz Structure // Defect and Diffusion Forum. vol. 380, 2017. pp. 98-106.

42. Kaplan D. R., Corbett J. W., Weigel C. Calculations on the properties of helium in silicon. Phys. Status Solidi (b);(German Democratic Republic). Vol. 94. № 2. 1979.

43. Kelsey M. Forsythe and Nancy Makri. Path integral study of hydrogen and deuterium diffusion in crystalline Silicon. J. Chem. Phys., Vol. 108, №2 16, 1998, pp.6819-6828.

44. Kosteski T., Kherani N.P., Stradins P., Gaspari F., Shmayda W.T., Sidhu L.S. and Zukotynski S. Tritiated amorphous silicon betavoltaic devices. IEE Proc.-Circuits Devices Syst., Vol. 150, No. 4, August 2003, pp.274-281

45. Kukushkin S. A., Osipov A. V. Soliton model of island migration in thin films. Surface science. Vol.329. №. 1-2. 1995.pp. 135-140.

46. Lindefeltt U., Zunger A. Interstitial transition atom impurities in silicon: electronic structure and lattice relaxation J. Phys. C: Solid State Phys., 17 6047, 1984.

47. Lindsey J. Munro and David J. Wales, Defect migration in crystalline Vol.59, №6, 1999, p.3969-3980.

48. Malomed B. A. Multidimensional dissipative solitons and solitary vortices. Chaos, Solitons & Fractals. vol. 163. 2022. p. 112526.

49. Malomed B. A. Soliton models: Traditional and novel, one-and multidimensional //Low Temperature Physics. 2022. Vol. 48. №. 11. pp. 856895.

50. Mehrer H. Diffusion in solids: fundamentals, methods, materials, diffusion-controlled processes. Springer Science & Business Media, 2007.

51. Oliviero E. et al. Helium implantation in silicon: the effects of implantation temperature. Materials Science and Engineering: B. Vol. 102. №. 1-3. 2003. pp. 222-227.

52. Rybakov Y. P., Kamalov T. F. Bell's Theorem and Entangled Solitons // International Journal of Theoretical Physics. 2016. Vol. 55. pp. 4075-4080.

53. Rybakov Y. P., Kamalov T. F. Entangled solitons and stochastic q-bits // Physics of Particles and Nuclei Letters. 2007. Vol. 4. №. 2. p. 119-121.

54. Shirai K., Hamada I. and Katayama-Yoshida H. Dynamics of hydrogen in silicon. AIP Conference Proceedings 1583, 69, 2014, p.69-74.

55. Stavola M. The 5th International Symposium on Advanced Science and Technology of Silicon Materials (JSPS Si Symposium) //Nov. vol. 10. №. 14. 2008. pp. 337-343.

56. Stefano Cremonesi, Patrick E. Dorey. Solitons III (2021-22), Department of Mathematical Sciences, Durham University. November 7, 2021, p.1-96.

57. Stewart A.I. Dipole polarizabilities of 21,3S states in the helium isoelectronic sequence. Phys.B, Ser.2, 1969. pp.1309-1312.

58. Takyi I., Barnes B., Tornyeviadzi H. M., Ackora-Prah J. Scattering of kinks in noncanonical sine-Gordon Model //Turkish Journal of Physics. - 2022. Vol. 46. №. 1. pp. 37-50.

59. Theodorakopoulos N. Nonlinear physics (solitons, chaos, discrete breathers). Konstanz, June 2006, 174 p.

60. Van de Wallea C.G. Hydrogen in silicon: Fundamental properties and consequences for devices. J. Vac. Sci. Technol. A 16.3., 1998, pp.1767-1771.

61. Van deWalle C.G., Bar-Yam Y., Pantelides S.T. Theory of Hydrogen Diffusion and Reactions in Crystalline Silicon. Phys.Rev.Letters. Vol.60, № 26, 1988, pp.2761-2764.

62. Wang S., Carlier J., Campistron P., Xu W., Callens-Debavelaere D., Nongaillard B., Ndieguene A. A 45° silicon mirror for acoustic propagation parallel to the plane of the substrate. Journal of Physics: Conference Series 269, №1, 2011. pp.012009.