Пересечение копий и характер ветвления самоподобных дендритов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Аллабергенова Клара Бекиммат Кизи

• Аллабергенова Клара Бекиммат Кизи
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Аллабергенова Клара Бекиммат Кизи

1.2 Индексное пространство

1.3 Дендриты и их свойства

1.4 Хаусдорфова мера и размерность самоподобных множеств

2 Свойства отделимости для самоподобных дендритов

2.1 Свойства отделимости для самоподобных фракталов

2.2 Слабое условие отделимости для самоподобных дендритов

на плоскости

2.3 О связных компонентах О в условии открытого множества

3 Пересечение копий самоподобных дендритов

3.1 Симметричные полигональные системы

3.2 Типы пересечения копий самоподобных дендритов

3.3 Пересечение копий по нетривиальному самоподобному дендриту

3.4 Д-симметричные системы

3.5 Пересечение копий по полигональному дереву

4 Дендриты в евклидовом и гильбертовом пространствах

4.1 Дендриты в евклидовом пространстве

4.2 Дендриты в гильбертовом пространстве

4.3 Пример дендрита с бесконечным ветвлением в гильбертовом пространстве

Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Пересечение копий и характер ветвления самоподобных дендритов»

Введение

Актуальность темы исследования. Термин «фрактал» был впервые введен [28] Бенуа Мандельбротом в 1975 году, основанный на латинском существительном «Ггае^Б», которое происходит от глагола «&е^еге», означающего «ломать». Единого общепринятого определения фрактального множества не существует. Многие фракталы обладают свойством самоподобия (по крайней мере, приблизительно). Фракталы применяются во многих областях, например, в физике (моделирование сложных процессов и материалов), биологии (моделирование популяций, описание сложных ветвящихся структур), инженерии (фрактальные антенны), экономике (при анализе колебаний курса валют), математической моделировании (моделирование трафика в компютерных сетьях). Кроме того, существуют алгоритмы сжатия изображений с использованием фракталов. В компьютерной графике они используются для построения изображений природных объектов.

До XIX века многие математики занимались в основном функциями, задающими гладкие кривые. Однако в 1829 году Дирихле, рассматривая сходимость тригонометрических рядов, строит пример всюду разрывной функции. В 1831 - 1834 годах Бернард Больцано пытается построить ни-

где не дифференцируемые непрерывные функции. В 1854 году Бернхард

Риман начинает систематически строить примеры «необычных» функ-

• к2

ций. В 1861 году он привёл функцию г(х) = ^ х в качестве примера

к=1

не дифференцируемой непрерывной функции. Но исследовать диффе-ренцируемость этой функции было очень сложно. В 1970 году Джозеф Гервер доказал [18], что эта функция имеет производную в некоторых точках.

В 1872 году знаменитый немецкий математик Карл Вейерштрасс представил в Королевской Прусской академии наук доклад, в котором он привел пример непрерывной функции £ : К ^ К на действительной прямой, которая нигде не дифференцируема. Функция Вейерштрасса определяется с помощью бесконечного ряда

те

п

/(х) = ^ Ьп соъ(апхж),

(х,

п=0

для числа 0 < Ь < 1 и нечетного натурального а > 0, удовлетворяющего условию аЬ > 1 + Щ-. Эта работа опубликована в 1875 году его учеником дю Буа-Реймоном. Данный пример считается первой конструкцией нетривиальной фрактальной кривой в истории математики.

В 1883 году ученик Карла Вейерштрасса, создатель теории множеств, Георг Кантор придумал функцию, которая является примером непрерывной монотонной функции £ : [0,1] ^ [0,1], не являющейся константой, но при этом имеет производную, равную нулю почти всюду. Эта функция называется «канторовой лестницей». Ее производная определена и равна нулю во всех точках, кроме канторова множества. Множество Кантора имеет нулевую меру Лебега, однако оно также счетно-

бесконечное. Более того, оно самоподобное — то есть оно состоит из нескольких частей, которые подобны всему множеству в целом.

В 1904 году в своей работе «Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction geometrique elementaire» шведский математик Хельге фон Кох, пользуясь только геометрическим аппаратом, построил непрерывную кривую, не имеющую касательной ни в одной из своих точек, известную как кривая Коха. Кривая Коха, как и множество Кантора, обладает свойством самоподобия. Это тоже фрактал, хотя Кох, как и Кантор, не думал в таких терминах. В 1905 году Чезаро, изучая работу Хельге фон Коха, указывает на самоподобие кривой Коха.

В 1915 - 1916 годах польский математик Вацлав Серпинский построил треугольник и ковер Серпинского. Эти множества являются одним из важнейших объектов фрактальной геометрии.

В 1914 году немецкий математик Константин Каратеодори разработал общую теорию внешней меры, которая послужила основой для теории измеримых множеств и счетно-аддитивных мер. Основываясь на его работе, Феликс Хаусдорф в 1918 году определил меру с нецелым показателем и дробную размерность, которые соответственно называются мерой и размерностью Хаусдорфа. Более того, он доказал, что хаусдорфова размерность канторова множества равна log3 2. Результаты Хаусдорфа имели важное значение и в топологии. Размерность Хаусдорфа имеет преимущество, так как она определяется для любого множества. Недостатком является то, что ее часто бывает трудно рассчитать или оценить с помощью вычислительных методов.

Во фрактальной геометрии одной из широко используемых размерно-

стей является клеточная размерность, которая была введена в 1930-х годах и имеет простое интуитивно понятное определение. Ее популярность во многом связана с относительной простотой математических расчетов. Клеточную размерность называют по-разному: размерность Мин-ковского, размерность Минковского-Булигана, энтропия Колмогорова, энтропийная размерность, емкостная размерность, метрическая размерность, логарифмическая плотность или информационная размерность.

Одним из крупнейших разделов фрактальной геометрии является теория самоподобных множеств. В 1981 году Джон Хатчинсон [20] ввел понятие самоподобного множества в полном метрическом простанстве. Самоподобное множество — это непустое компактное множество, состоящее из своих образов под действием некоторой системы сжимающих отображений данного метрического пространства в себя.

В 1981 году Хатчинсоном [20] было предложено условие открытого множества (ОБО) для самоподобных множеств в Кга. Для множеств, удовлетворяющих ОБО размерность Хаусдорфа и клеточная размерность совпадают с размерностью подобия, вычисляемой по уравнению Мора-на.

В совместой работе Кристофа Бандта и Зигфрида Графа [7] рассмотрено подмножество 3 = ■ : 1, j Е I*, 1 и j несравнимы} топологической группы С всех подобий в Кга. На С топология равномерной сходимости на компактах еовпадает с топологией поточечной сходимости на конечном подмножестве в Кга, которое не содержится ни в какой гиперплоскости. Авторы доказали, что условие Ы Е 3 и положительность

хаусдорфовой меры самоподобного множества К эквивалентны.

В 1992 году Андреас Шиф [37] доказал, что ОБС и положительность хаусдорфовой меры эквивалентны для самоподобных множеств в Кп. Отсюда следует, что условия Ы </ $ и ОБС также эквивалентны.

Слабое условие отделимости (ШБР) было определено для самоподобных множеств Ка-Синг Лау и Сзе-Ман Нгаи [25] и Мартином Цернером [45]. Если самоподобное множество К имеет ШБР, то хаусдорфова мера К положительна.

Дендрит — это локально связный континуум, который не содержит простой замкнутой кривой [9]. Некоторые авторы называют дендриты ациклическими кривыми [19]. Таким образом, каждый ациклический самоподобный континуум является самоподобным дендритом.

С момента создания теории самоподобных множеств самоподобные дендриты рассматривались многими авторами в их статьях на эту тему. В 1985 году в своей основополагающей работе [19] М. Хата доказал, что множество концевых точек нетривиального самоподобного дендрита имеет бесконечную мощность. Дж. Кигами [22] в 1995 году исследовал метрику кратчайшего пути в посткритически конечных самоподобных дендритах и построил правильные формы Дирихле для таких дендри-тов. Эквивалентность между множествами Жюлиа, являющимися денд-ритами и самоподобными дендритами с двумя образующими, послужила мотивацией для публикации статей [5, 15, 39, 38]. Статья [5] К. Бандта и К. Келлера заслуживает особого внимания, поскольку она содержит критерий графа пересечений, для того, чтобы конечно разветвленный самоподобный континуум являлся дендритом (Предложение 9). Препринт

[6] К. Бандта и Й. Штанке содержит идею главного дерева для посткри-тически конечных самоподобных дендритов.

В 2006 году А. Тетенов [3] доказал, что всякая самоподобная кривая, отличная от прямолинейного отрезка, удовлетворяет ШБР. В 2007 году Бандтом и Рао [8] было доказано, что любой самоподобный континуум на плоскости, обладающий свойством конечного пересечения, удовлетворяет ОБО. Оставался открытым вопрос, удовлетворяют ли ШБР самоподобные дендриты на плоскости?

Особый геометрический подход к построению и изучению самоподобных дендритов был разработан Л. Кристеа и соавторами, которые изучали особый тип фрактальных квадратов являющимися дендритами, называемых лабиринтными фракталами, в работе [10, 11, 12]. В статье [27] рассматриваются динамические свойства непрерывных отображений в дендритах. В статье [41] Д. Дроздова и А. Тетенова приводится классификация топологических типов главных деревьев фрактальных квадратов, являющихся дендритами. Применение полигональных систем к построению самоподобных дендритов было разработано А. Тетеновым и его соавторами в статьях [36, 35]. В этих статьях даются оценки порядков ветвления и определяются условия эквивалентности Липшица и Гельдера для рассматриваемых дендритов.

В работе [3] изучаются аттракторы конечных граф-ориентированных систем сжимающих подобий в Кл, компоненты которых являются жорда-новым дугами. Доказывается, что всякая такая самоподобная жорданова дуга, отличная от отрезка прямой, допускает конечное разбиение на неперекрывающиеся поддуги, каждая из которых также допускает разбиение

на неперекрывающиеся образы поддуг при сжимающих подобиях. Формальное описание этого свойства дается конструкцией мультициппера.

В работе А. Тетенова и А. Кутлимуратова [42] доказывалось, что если самоаффинная дуга допускает сколь малые аффинные сдвиги, то она является дугой параболы или отрезком прямой линии. Если же самоаффинная дуга не является дугой параболы или отрезком прямой, то для нее выполняется аналог слабого условия отделимости, то есть для нее не существует сколь угодно близких к Ы отображений соседств. А из этого получалось, что всякая самоаффинная дуга, отличная от параболы является аттрактором самоаффинного мультициппера, то есть для нее выполняется условие открытого множества.

Цель и задачи исследования. Основной целью диссертации является исследованию пересечения копий самоподобных дендритов на плоскости, а также характеризация точек ветвления самоподобных дендри-тов в евклидовом и гильбертовом пространствах. В работе ставятся следующие вопросы и задачи:

— Обладает ли самоподобный дендрит на плоскости слабым условием отделимости? Каковы конкретные последствия реализации этого свойства для таких дендритов?

— Существуют ли самоподобные дендриты удовлетворяющие условию открытого множества на плоскости у которых несколько копий пересекаются по нетривиальному самоподобному поддендриту?

— Существуют ли самоподобные дендриты копии которых пересекаются по заданному полигональному дереву на плоскости?

— Доказать конечность порядка ветвления точек самоподобных денд-ритов в евклидовом пространстве, удовлетворяющих слабому условию отделимости.

— Доказать существование самоподобных дендритов с бесконечным порядком ветвления в гильбертовом пространстве.

Научная новизна. Полученные в диссертации результаты являются новыми. Все представленные утверждения содержат подробные доказательства.

Положения, выносимые на защиту. Наиболее значимыми являются следующие результаты:

— Доказана теорема о выполнении слабого условия отделимости для самоподобных дендритов на плоскости.

— Доказано существование самоподобных дендритов, копии которых пересекаются по нетривиальному самоподобному поддендриту. Показано, что в этом случае множество связных компонент множества О в условии открытого множества бесконечно.

— Получен алгоритм построения самоподобных дендритов, копии которых пересекаются по полигональному дереву.

— Доказана конечность порядка ветвления точек самоподобных денд-ритов в евклидовом пространстве, удовлетворяющих слабому условию отделимости. Показана конечность порядка ветвления для са-модобных дендритов на плоскости.

— Доказано существование класса самоподобных дендритов с бесконечным порядком ветвления в гильбертовом пространстве. Получена конструкция самоподобного дендрита с бесконечным порядком ветвления в гильбертовом пространстве, удовлетворяющего условию открытого множества. В этом случае его хаусдорфова мера равна нулю. Более того, его размерность Хаусдорфа равна размерности подобия.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Отдельные аспекты работы могут быть применены в научной деятельности математиков специализирующихся на смежных направлениях, таких как теория фракталов, теория динамических систем и топология.

Методология и методы исследования. В работе используются методы современной фрактальной геометрии, в которых сочетаются идеи и подходы из топологии, геометрического анализа, теории меры, функционального анализа, символической динамики, теории гиперпространств и динамических систем.

Степень достоверности и апробация результатов.

Основное содержание диссертации отражено в трех работах автора, опубликованных в журналах, входящих в официальный перечень ВАК и индексируемых в системах цитирования Web of Science и Scopus; эти журналы относятся квартилям Q1, Q3, Q2 по Scimago Journal Rank. Из них одна совместная работа с М. Самуэль и А. В. Тетеновым [46]; одна совместная работа с М. Кадировой [47]; одна работа была сделана автором [48].

В совместных работах [46], [47] формулировки задач и общее руководство их решением и постановка задачи в работе [48] принадлежат А. В. Тетенову. Доказательства вошедших в текст диссертации (её главы 2 и 3) новых теорем из работ [46], [47], [48] и построение всех демонстрационных изображений были проделаны автором. Теорема о выполнении ШБР для самоподобных дендритов на плоскости и теорема о существовании самоподобных дендритов на плоскости, копии которых пересекаются по нетривиальному самоподобному поддендриту из работы [46] были разработаны и доказаны совместно с А.В. Тетеновым. Алгоритм построения самоподобного дендрита, копии которого пересекаются по полигональному дереву из работы [48] и доказательство его корректности с помощью И,-симметричных систем были разработаны автором. Доказательства всех вошедших в текст диссертации (её глава 4) новых теорем из работ [47], [46] и построения всех демонстрационных изображений были проделаны автором.

Достоверность представленных результатов подтверждена подробными доказательствами.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях семинаров «Геометрическая теория функций» Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством д.ф.-м.н., проф. А.Д. Медных, чл. корр. РАН А. Ю. Веснина, д.ф.-м.н., проф. В. В. Асеева; «Римановы поверхности и графы» Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством д.ф.-м.н., проф. А. Д. Медных; на семинаре по геометрическому анализу Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством д.ф.-м.н., проф. С. К. Водопьянова.

Результаты диссертации были представлены на следующих конференциях:

- международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2021» (Москва, ММФ МГУ, 2021);

- международная научная студенческая конференция «МНСК - 2021» (Новосибирск, ММФ НГУ, 2021);

- международная конференция по геометрическому анализу памяти Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, ИМ СО РАН, 2022);

- 1st Al-Khorezmi International Conference on Modern Problems of Mathematics (Uzbekistan, Urgench State University, 2022);

- международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2023» (Москва, ММФ МГУ, 2023);

- международная научная студенческая конференция «МНСК - 2023» (Новосибирск, ММФ НГУ, 2023);

- конференция «Дни геометрии в Новосибирске - 2023» (Новосибирск, ИМ СО РАН, 2023);

- школа-конференция по геометрическому анализу (Новосибирск, ММФ НГУ, 2023);

- международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2024» (Москва, ММФ МГУ, 2024);

- международная конференция по геометрическому анализу, посвященная академику Ю. Г. Решетняку (Новосибирск, ИМ СО РАН, 2024);

- conference Dynamics in Siberia (Novosibirsk, IM SB RAS, 2024);

- студенческая школа- конференция «Математическая весна - 2024», (Нижний Новгород, НИУ «Высшая школа экономики», 2024);

- конференция «Дни геометрии в Новосибирске - 2024» (Новосибирск, ИМ СО РАН, 2024);

- соМегепсе Dynamics in Siberia (Novosibirsk, IM SB RAS, 2025).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключение и списка литературы. Каждая глава, в свою очередь, разбита на несколько параграфов. Работа содержит 22 рисунка. Список литературы содержит 48 наименований, которые приведены в алфавитном порядке. Опубликованные работы автора по теме диссертации выделены в отдельную часть списка литературы. Общий объем диссертации — 86 страниц.

Краткий обзор диссертации. Во введении приводится краткая история о бурно развивающейся в настоящее время теории самоподобных фракталов и самоподобных дендритов. А также приведены цель работы и задачи, научная новизна, теоретическая значимость работы, методология и методы исследования, выносимые на защиту результаты, обоснованность и достоверность результатов. Указаны сведения об апробации работы.

Глава 1 посвящена основным понятиям и определениям, таким как самоподобные множества, индексные пространства, дендриты, мера и размерность Хаусдорфа, которые использовались при представлении результатов диссертации.

Глава 2 посвящена исследованию свойства отделимости самодобных дендритов. Основным результатом является доказательство теоремы о выполнении слабого условия отделимости самоподобных дендритов на плоскости (теорема 2.2.6). А также приведен результат о том, что если

две копии пересекаются по нетривиальному самоподобному поддендриту, то множество связных компонент О в условии открытого множества бесконечно (теорема 2.3.1). Результаты этой главы опубликованы в статье [46].

Глава 3 посвящена изучению пересечения копий самоподобных денд-ритов на плоскости. Рассматривается пересечение копий различных типов самоподобных дендритов. Доказано существование самоподобных дендритов, удовлетворяющих условию открытого множества, копии которых пересекаются по нетривиальному самоподобному поддендриту (теорема 3.3.1). Кроме того, доказано существование самоподобных дендри-тов на плоскости, копии которых пересекаются по данному полигональному дереву (теорема 3.5.3). Результаты этой главы опубликованы в статьях [46], [48].

Глава 4 посвящена исследованию порядка точек ветвления самоподобных дендритов в евклидовом и гильбертовом пространствах. Одним из основных результатов этой главы является конечность порядка ветвления точек самоподобных дендритов, удовлетворяющих слабому условию отделимости (теорема 4.1.1). Этот результат верен в евклидовом пространстве. В гильбертовом пространстве существует система, аттрактором которой К является дендрит, удовлетворяющий условию открытого множества, и в тоже время существует точка в К с бесконечным порядком ветвления (теорема 4.2.6). Доказано, что их размерность совпадает с размерностью подобия, а мера Хаусдорфа в этой размерности равна нулю. В конце данной главы, приведен пример дендрита с бесконечным ветвлением в гильбертовом пространстве. Результаты этой главы опуб-

ликованы в статье [47].

В заключении сформулированы основные выводы, обобщающие полученные научные результаты.

Благодарность

Автор выражает огромную благодарность научному руководителю Андрею Викторовичу Тетенову за полученные знания, всестороннюю поддержку и руководство работой над диссертацией; особую благодарность заведующему кафедрой теории функций Александру Дмитриевичу Медных за важнейшие советы при проведении исследования в диссертации; искреннюю благодарность Ларисе Ивановне Кононенко за внимательное прочтение текста диссертации и помощь в работе.

Я также хочу выразить искреннюю безмерную благодарность моей семье за поддержку в моей научной деятельности и всестороннюю заботу.

Глава 1

Предварительные сведения

1.1 Существование и единственность самоподобных множеств

В начале этого параграфа мы определим самоподобное множество в метрическом пространстве. Мы также приведем теорему о существовании и единственности самоподобных множеств. Прежде всего напомним понятие сжимающих отображений в метрическом пространстве.

Пусть (X, д) — метрическое пространство. Для х Е X и р > 0,

В(х0,р) = {х : х Е X, ¿(х,х0) < р}.

Для любого отображения в : X ^ X в метрическом пространстве (X, ¿) липшицевой постоянной отображения 5 называется число

Ыр в = вир ——(7)—, х,у Е X. х=у а(х,у)

Отображение S называется липшицевым, если Lip S < то, и называется сжимающим, если Lip S < 1. В частности, сжимающее отображение S с коэффициентом г называется подобием, если d(S(х), S(y)) = rd(x,y).

Известно, что S : Rn ^ Rn (S : Н ^ Н, где Н — гильбертово пространство) является подобием тогда и только тогда, когда S = • оъ • O для некоторой гомотетии (х) = гх, сдвига аъ(х) = х — Ъ и ортонорми-рованного (унитарного) преобразования O.

Теперь приведем классическую теорему, называемую принципом сжи-

f е-- 7—Т

мающих отображении или теоремой Банаха о неподвижной точке.

Теорема 1.1.1 ([2], теорема Банаха о неподвижной точке). Пусть (X, d) — полное метрическое пространство, а S : X ^ X сжимающее отображение относительно метрики d. Тогда S имеет единственную неподвижную точку, другими словами, существует единственное решение уравнения S(ж) = х. Более того, если х* — неподвижная точка, то для всех а Е X последовательность Sn(a) сходится к х*.

Определение 1.1.2. Пусть S = {S1, ..., Sm} — система инъектив-ных сжимающих отображений полного метрического пространства (X,d). Существует единственный непустой компакт К С X такой, что

т

К = и Si(K).

г=1

Множество К называют самоподобным относительно S или аттрактором системы S.

Равенство Т(А) = 51(A) U (A) U ... U Sm(A) задает оператор Хатчинсона системы S, который является сжимающим отображением про-

странства С(Х), где С(Х) — множество всех компактных непустых подмножеств X. Согласно теореме Хатчинсона, аттрактор К однозначно определяется через §, и для любого компактного множества А последовательность Тп (А) сходится к К. Далее приводим теорему Хатчинсона и ее краткое доказательство.

Напомним, что если х Е X, А С X, е> 0, то множество

А£ = {х Е А : й(х, А) < е}

называется е-окрестностью множества А, где ¿(х, А) = т£{¿(х, а) : а Е А} — расстояние от точки х до множества А.

Расстояние или метрика между двумя множествами А и В определим как наименьшее е, так что е-окрестность В содержит А, е-окрестность А содержит В

8(А, В) = ^{е : А С В£ и В С А£}.

Простая проверка показывает, что 8 является функцией метрики или расстояния, то есть удовлетворяет трем аксиомам

(I) 5(А, В) > 0 с равенством тогда и только тогда, когда А = В;

(II) 5(А,В) = 6(В,А);

(III) 6(А,В) < 6(А,С) + 6(С,В)

для всех А,В,С Е е(Х).

Метрика 8 известна как метрика Хаусдорфа на С(Х). Кроме того, если (Х,д) полно, тогда (б(Х),8) также полно (см. [21]).

Некоторые элементарные свойства 8, которые мы будем использовать далее

1°. 8(S(A),S(B)) < Lip(S)6(A,B);

2°. s( U Л, U Вг) < sup 8(Аг,Вг). \ i i J i

Теперь мы сформулируем основную теорему этого параграфа, которая обеспечивает существование и единственность самоподобных множеств.

Теорема 1.1.3 ([20], теорема Хатчинсона). Пусть (X,d) — полное метрическое пространство, а Si : X ^ X является сжимающим отображением для г = 1,... ,т. Определим оператор Т : Q(X) ^ Q(X) через

m

Т= U ^г(^). Тогда Т имеет единственную неподвижную точку К.

г=1

Более того, для любого А Е Q(X), Тп(А) стремится к К при п ^ ж относительно метрики Хаусдорфа.

Доказательство. Согласно свойству 2°, мы имеем, что

5(Т(А),Т(В)) = ¿(U St(A), U St(B)) < sup 6(St(A),St(B)).

1<i<m

г г — —

Исходя из свойства 1°,

6(SZ(A),SZ(B)) < Lip(Sz)6(A,B). Обозначая через г = supLip(S'j), имеем

г

8(Т(А),Т(В)) < rS(A,B).

Поскольку Lip Si < 1, то г < 1, следовательно, Т является сжимающим отображением. По условию теоремы, (X, d) полно, отсюда следует, что (C(X),d) также полно. Согласно теореме Банаха о неподвижной точке (теорема 1.1.1), следует, что Т имеет единственную неподвижную точку, более того, Тп(А) стремится к К при п ^ ж для любого А Е C(X). □

Теорема Банаха о неподвижной точке является частным случаем теоремы Хатчинсона (теорема 1.1.3), где т =1. Примеры

1) Канторово множество. Пусть 81 : [0,1] ^ [0,1], г = 1, 2 — сжимающие отображения интервала, определяемого равенствами 81 (ж) = |, 8§(х) = | + §.

Множество Кантора К можно записать в виде множества троичных разложений

те

К ={ £ | : жьж2,... 2}|.

^ га=1 '

Образы точек в К при 81 и 82 соответственно имеют вид

с (хп\ _ 0 ^^ хп ( хп\ _ 2 хп

= 3^3^+г =3^3^+1-

4 га=1 ' п=1 4 га=1 7 га=1

Рис. 1.1: Множество Кантора.

Из этого легко видеть, что К = Б1(К)иБ2(К) и является единственной неподвижной точкой Т. Более того, если возьмем А = [0,1], то последовательность множеств Тга([0,1]) сходится к множеству Кантора К при п — то.

2) Кривая Коха. Рассмотрим четыре сжимающих отображения на плоскости Бг : К2 —; К2, г = 1, 2, 3, 4, определяемых; равенствами Б;(ж) =

Б (ж) = -ж + о

1 /3~ 1

2 2 ■ж+ 3

/3 1 0

_ 2 2

2 3 , где ж = ж1

0 ж2

Б3 (ж) = 1

е К2.

1 /а" 1

2 2 ■ж+ 2

1 /3

2 2 _ _ 6 _

Рис. 1.2: Кривая Коха.

Предположим, что А = [0,1] х {0} £ R2, тогда Тп(А) представляет собой п-й шаг в построении. Предельное множество К = lim Тп(А) соответствует кривой Коха.

3) Треугольник Оерпинского. Рассмотрим три сжимающих отображения : К2 ^ К2, % = 1, 2, 3 определяемых равенствами (ж) = -х,

52 (х) = 2 х +

, S3(x) = 2х +

2

1

4 х1

V3 _ 4 _ , где х =

Х2

е R2

A

T (A)

T 2(A)

K

0

Рис. 1.3: Треугольник Серпинского.

Предположим, что А — равносторонний треугольник с вершинами (0,1), (1, 0) и (2, f), тогда Тп(А) представляет собой п-й шаг в построении. Предельное множество К = lim Тп(А) соответствует

треугольнику Серпинского.

1.2 Индексное пространство

Для натурального числа т Е N положим I = {1,... , т}. Тогда будет

к

обозначать множество П I всех слов длины к. При этом естественно по-

3 = 1

оо

лагать, что 1° = {0}. Символом I* будет обозначаться множество и Iй

п=0

всех конечных слов 1 = г1... гп над алфавитом I, называемых мульти-индексами. Через ц обозначим конкатенацию 1 и Ц, т.е. простое приписывание одного слова к другому. Элементы множества 1° называемого индексным пространством записываются в виде слов бесконечной длины над алфавитом .

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Аллабергенова Клара Бекиммат Кизи, 2026 год

Литература

[1] Асеев В. В., Тетенов А. В, Кравченко А. С. О самоподобных жор-дановых кривых на плоскости // Сиб. мат. журн., 2003, Т. 44, N. 3, С. 481 - 492.

[2] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа, изд. шестое. Москва «Наука», 1989.

[3] Тетенов A. Самоподобные жордановы дуги и граф-ориентированные системы подобий // Сиб. матем. журнал., 2006. Т. 47, № 5. C. 11471153.

[4] Arsove M. G. Some boundary properties of the Riemann mapping function // Proceedings of the American Mathematical Society, 1968. V. 19, N 3.

[5] Bandt C., Keller K. Self-similar Sets 2. A Simple Approach to the Topological Structure of Fractals // Mathematische Nachrichten, 1991. V. 154, N. 1, 27-39.

[6] Bandt C., Stahnke J. Self-similar sets 6. Interior distance on deterministic fractals // Preprint, 1990.

[7] Bandt C., GrafS. Self-Similar Sets 7. A Characterization of Self-Similar Fractals with Positive Hausdorff Measure // American mathematical society, 1992. V. 114, N. 4, P. 995-1001.

[8] Bandt C., Rao H. Topology and separation of self-similar fractals in the plane // Nonlinearity, 2007. V. 20, P. 1463-1474. MR 2327133.

[9] Charatonik J. J., Charatonik W. J. Dendrites // Aportaciones Mat. Comun., 1998. V. 22, P. 227-253.

[10] Cristea L. L., Steinsky B. Curves of infinite length in 4 x 4-labyrinth fractals // Geometriae Dedicata, 2008. V. 141, N. 1, P. 1-17.

[11] Cristea L. L., Steinsky B. Curves of infinite length in labyrinth fractals // Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 2011. V. 54, N. 2, P. 329-344.

[12] Cristea L. L., Steinsky B. Mixed labyrinth fractals // Topology and its Applications, 2017. V. 229 P. 112-125.

[13] Das M., Edgar G. A. Separation properties for graph-directed self-similar fractals // Topology and its Applications, 2005. V. 152, N. 1-2, P. 138156.

[14] Edgar G. Measure, Topology and Fractal Geometry. Springer New York, Undergraduate Texts in Mathematics, 2008.

[15] Eroglu K. I., Rohde S., Solomyak B. Quasisymmetric conjugacy between quadratic dynamics and iterated function systems // Ergodic Theory and Dynamical Systems, 2009. V. 30, N. 6, P. 1665-1684.

[16] Falconer K. J. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, 3rd Edition. John Wiley & Sons, 2014.

[17] Falconer K. J. Geometry of Fractal Sets. Cambridge University Press, 1985.

[18] Gerver J. The Differentiability of the Riemann Function at Certain Rational Multiples of n // American Journal of Mathematics, 1970, V. 92, N. 1, P. 33-55.

[19] Hata M. On the structure of self-similar sets // Japan Journal of Applied Mathematics, 1985. V. 2, P. 381-414.

[20] Hutchinson J. Fractals and Self-Similarity // Indiana University Mathematics Journal. 1981. T. 30. № 5. P. 713-747.

[21] Kigami J. Analysis, on Fractals. Cambridge University Press, N. 143, 2001.

[22] Kigami J. Harmonic Calculus on Limits of Networks and Its Application to Dendrites // Journal of Functional Analysis, 1995. V. 128, N. 1, P. 48-86.

[23] Kotus J., Urbanski M. Meromorphic Dynamics: Abstract Ergodic Theory, Geometry, Graph Directed Markov Systems, and Conformal Measures. Cambridge University Press, 2023.

[24] Kuratowski K. Topology, Volume II. Publisher: Elsevier, 2014.

[25] Lau K. S., Ngai S.M. // Multifractal Measures and a Weak Separation Condition // Advances in Mathematics, 1999. V. 141, N. 1, P. 45-96.

[26] Mekhontsev D. IFSTile (software, IFS tile finder, version 2.67) // https://ifstile.com/, 2023.

[27] Makhrova E. N. Remarks on minimal sets on dendrites and finite graphs // Journal of Difference Equations and Applications, 2023. V. 29, N. 912, P. 1313-1322.

[28] Mandelbrot B. Les objets fractals: forme hasard et dimension. Paris. Flammarion. 1975.

[29] Moore R. L Concerning Triods in the Plane and the Junction Points of Plane Continua // Proceedings of the National Academy of Sciences, 1928. V. 14, N. 1, P. 85-88.

[30] Moran P. A. P. Additive functions of intervals and Hausdorff measure // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1946. T. 42. № 1. C. 15-23.

[31] Matilla P. Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces. Cambridge Studies in Advanced Math. V. 44, Cambridge University Press, 1995.

[32] Mauldin R. D., Williams S. C. Hausdorff dimension in graph directed constructions // Transactions of the American Mathematical Society, 1988. V. 309, N. 2, P. 811-829.

[33] Nakki R. Prime ends and quasiconformal mappings // Journal d'Analyse Mathematique, 1979. V. 35, № 1, P. 13-40.

[34] Rogers C. A. Hausdorff Measures. Cambridge Math. Library, Cambridge University Press, 1998.

[35] Samuel M., Mekhontsev D., Tetenov A. On Dendrites Generated by Symmetric Polygonal Systems: The Case of Regular Polygons // Springer International Publishing AG, 2018. P. 27-35.

[36] Samuel M., Tetenov A. V., Vaulin D. A. Self-similar dendrites generated by polygonal systems in the plane // Siberian Electronic Math Reports, 2017. V. 14, 737-751.

[37] Schief A. Separation properties for self-similar sets // American mathematical society, 1994. V. 122, № 1 P. 111-115.

[38] Sirvent V. F., Thuswaldner J. M. On the Fibonacci-Mandelbrot set // Indagationes Mathematicae, 2015. V. 26, № 1, P. 174-190.

[39] Solomyak B. On the 'Mandelbrot set' for pairs of linear maps: asymptotic self-similarity // Nonlinearity, 2005. Volume 18, № 5, P. 1927-1943.

[40] Stout E. L. Polynomial Convexity. Birkhauser Boston, Progress in Mathematics, 2007.

[41] Tetenov A. V. and Drozdov D. A. On the classification of fractal square dendrites // Advances in the Theory of Nonlinear Analysis and its Applications, 2023. V. 7, № 3, P. 79-96.

[42] Tetenov A., Kutlimuratov A. On the structure of self-affine Jordan arcs in R2 // Demonstratio Mathematica, 2023. V. 56, № 1, P. 1-12.

[43] Tetenov A., Yudin I. and Kadirova M. Finiteness properties for self-similar continua // Discrete and Continuous Dynamical Systems Series S., 2025. doi: 10.3934/dcdss.2025057

[44] Whyburn G. T. Analytic Topology. Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., Vol. 28, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1942; reprinted with corrections 1971.

[45] Zerner M. P. W. Weak separation properties for self-similar sets // Proceedings of the American Mathematical Society, 1996. V. 124, N. 11, P. 3529-3539.

Работы автора по теме диссертации

[46] Allabergenova K., Samuel M., Tetenov A. Intersections of the pieces of self-similar dendrites in the plane // Chaos, Solitons and Fractals, 2024. V. 182, 114805. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0960077924003576

[47] Allabergenova K., Kadirova M. On self-similar dendrites in Hilbert space // Results in nonlinear analysis, 2025. V. 8, № 1, P. 184-192. https://nonlinear-analysis.com/index.php/pub/article/view/604/285

[48] Allabergenova K. B., On self-similar dendrites with the intersection of copies on polygonal trees // Siberian Advances in Mathematics, 2025. V. 35, № 3, P. 178-184. DOI: 10.1134/S1055134425030010