Периодические контрастные структуры в уравнениях типа реакция-адвекция-диффузия в случае быстрой реакции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат наук Никулин Егор Игоревич

• Никулин Егор Игоревич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Никулин Егор Игоревич

Введение

Глава 1. Периодическая контрастная структура в случае

несбалансированной реакции

1.1 Постановка задачи. Первоначальные предположения

1.2 Построение асимптотики решения

1.3 Построение асимптотики кривой переходного слоя

1.4 Обоснование построенной асимптотики

1.5 Асимптотическая устойчивость решения

1.6 Пример периодической контрастной структуры типа ступеньки

1.7 Приложение. Модель динамики популяции насекомых фитофагов

1.7.1 Описание модели

1.7.2 Особенности модели, рассматриваемой в данной работе

Глава 2. Периодическая контрастная структура в критическом

случае

2.1 Постановка задачи. Первоначальные предположения

2.2 Построение формальной асимптотики

2.3 Обоснование построенной асимптотики

2.4 Асимптотическая устойчивость решения

2.5 Пример периодической контрастной структуры типа ступеньки

Глава 3. Периодическая контрастная структура в случае

слабой адвекции

3.1 Постановка задачи. Первоначальные предположения

3.2 Построение формальной асимптотики

3.3 Построение асимптотики кривой переходного слоя

3.4 Обоснование построенной асимптотики

3.5 Асимптотическая устойчивость решения

3.6 Пример периодической контрастной структуры в случае слабой линейной адвекции

Стр.

3.6.1 Постановка задачи

3.6.2 Достаточные условия

3.6.3 Основной результат

Глава 4. Двумерная периодическая контрастная структура в

случае несбалансированной нелинейности

4.1 Постановка задачи. Первоначальные требования

4.2 Построение формальной асимптотики решения

4.3 Построение асимптотики кривой переходного слоя

4.4 Обоснование построенной асимптотики

4.5 Асимптотическая устойчивость решения

4.6 Пример периодической контрастной структуры типа ступеньки

Глава 5. Периодическая контрастная структура в случае

сбалансированной нелинейности

5.1 Построение формальной асимптотики

5.2 Обоснование построенной асимптотики

5.3 Асимптотическая устойчивость решения

Список литературы

Введение

Многие физические явления достаточно хорошо описываются соответствующими математическими моделями. При этом неизбежным является тот факт, что рядом факторов при составлении математической модели приходиться пренебречь. Как правило, каждый фактор соответствует определенному члену, фигурирующему в уравнении, и учет малых, на первый взгляд, факторов приводит к добавлению к первоначальной задаче новых членов, умноженных на малый параметр. Такие члены называются возмущениями исходной задачи, а соответствующая задача - возмущенной. Оказывается, что решение возмущенной задачи может вести себя совершенно по-разному: либо оно слабо изменяется и близко к решению исходной задачи, либо оно изменяется существенным образом, и в таком случае факторы, которые были приняты за малые, по существу таковыми не являются. В первом случае возмущение называется регулярным, а во втором - сингулярным. Таким образом, выбор факторов, которыми можно пренебречь в данной математической модели - важный момент при ее постановке. Кроме того, в случае сингулярного возмущения метод решения задачи, как правило, более сложен, чем в случае регулярного, и потому такие задачи требуют глубокого исследования.

Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения - это уравнения, в которых малый параметр стоит перед старшей производной. Эта область активно развивается в последние десятилетия. Интерес к нелинейным сингулярно возмущенным задачам обусловлен их большой значимостью в приложениях, таких как химическая кинетика [1], астрофизика [2], биология [3; 4], социология и др.

Положил начало этому направлению в науке академик А. Н. Тихонов [6—8]. Им была рассмотрена задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, одна часть которых содержит малый параметр при производных, а другая часть не содержит его. Результат сформулирован в виде теоремы, называемой теоремой о предельном переходе, в которой утверждается, что при определенных условиях решение поставленной задачи существует, единственно и стремится к решению вырожденной задачи в определенной области.

На протяжении нескольких десятилетий были разработаны различные методы, позволяющие строить асимптотическое и численное [9; 10] приближение решений сингулярно возмущенных задач. Наиболее известными среди асимптотических методов являются метод пограничных функций [11; 12], метод согласования асимптотических разложений [13; 14], метод регуляризации [15], методы типа ВКБ [16; 17] , метод релаксационных колебаний [18; 19], метод осреднения [20; 21] и многие другие. Асимптотический метод пограничных функций, автором которого является профессор Московского университета Васильева А. Б., широко используется в настоящее время и развивается на новые классы задач.

Следует отметить, что доказательство существования решения с построенной на основе метода пограничных функций асимптотикой, такое, как приводится, например, в работах [22; 23], имело значительные технические трудности. Н.Н. Нефедовым был предложен новый подход к решению этой проблемы - применение метода дифференциальных неравенств на основе модификации построенной формальной асимптотики [24]. Метод дифференциальных неравенств в теории дифференциальных уравнений известен давно, впервые сформулирован в работе Чаплыгина для начальных задач, затем развит М. Нагумо на краевые задачи, после П. Файф [25], Д.Х. Саттингер [26] и Г. Аманн [27] обобщили его на случай краевые задач для дифференциальных уравнений в частных производных, а в монографии С. В. Пао [28] приводятся теоремы о дифференциальных неравенствах для интегро-дифференциальных уравнений. Метод, предложенный Н.Н. Нефедовым, значительно ускорил развитие теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений - на его основе был исследован широкий круг задач (см. обзоры [29—31]). Кроме того, в дальнейшем, базируясь на методе Н. Н. Нефедова, В. Ф. Бутузов и И. В. Неделько разработали методику доказательства единственности и устойчивости решения сингулярно возмущенных задач [32].

Данная работа посвящена изучению важных в приложениях двумерных и одномерных сингулярно возмущенных краевых задач с условием периодичности по времени типа «реакция-адвекция-диффузия», в которых реактивный член велик по сравнению с другими (случай так называемой быстрой реакции), а адвективный член либо мал, либо отсутствует. В общем виде одномерная задача

выглядит следующим образом:

е2 ~ | - - Р= О,

2 I'д2и ди\ ., ,ди

• I —

(х,г) е в := {(х,г) е В2: 0 < ж < м е В}, (1)

в[и(0,г,е)] = и(-)(г), в[и(1,г,е)] = и(+)(г), г е В, и(х,Ь,е) = и(х,Ь + Т,е), (х,Ь) еВ.

Здесь А(и,х,Ь,е) и В(и,х,Ь,е) - соответственно адвективный и реактивный члены, В - оператор, задающий граничные условия, а е > 0 - малый параметр.

Известно (см. [12; 29; 30]), что краевые сингулярно возмущенные задачи типа «реакция-диффузия» и «реакция-адвекция-диффузия» при определенных условиях могут иметь решения, обладающие областями резкого изменения. Такие решения называются контрастными структурами. Начало теории контрастных структур в сингулярно возмущенных задачах было положено в работах А. Б. Васильевой и В. Ф. Бутузова [33—39]. В работах [24; 40—44], а также во многих других исследовались вопросы существования и свойства контрастных структур типа ступеньки - так называются решения, которые в окрестности точки (или кривой в многомерном случае) перехода быстро изменяются от одного корня вырожденного уравнения к другому его корню.

Одной из первых работ, где исследуется решение уравнения типа «реакция-диффузия» с переходными слоями, является статья [45]. В ней рассматривается двумерная задача, для которой строится асимптотическое разложение решения, при некоторых предположениях на основе обобщенной теоремы о неявных функциях обосновывается существование решения с внутренним переходным слоем и пограничным слоем. Кроме того, доказывается экспоненциальное убывание функций, описывающих пограничный и переходный слои.

В работе [46] была рассмотрена сингулярно возмущенная эллиптическая задача типа «реакция-диффузия» в двумерной области, где на основе метода пограничных функций строится асимптотика решения с пограничным и внутренним переходным слоем, путем ее модификации конструируются верхнее и нижнее решения. Доказывается теорема о существовании решения с построенной асимптотикой в виде контрастной структуры типа ступенька. Работа [47] посвящена исследованию обобщения этой задачи на многомерный случай при условии сбалансированной реакции, в ней находится асимптотическое разложение решения, а также предлагается новый метод в исследовании многомерных

задач с внутренними слоями - метод сингулярного предела задачи на собственные значения — SLEP-метод. В статье [48] уравнение из [24] рассматривается со слабой линейной адвекцией в некритическом и в критическом случаях, применяется новый подход к построению асимптотики кривой переходного слоя.

В ряде работ рассматриваются периодические по времени контрастные структуры, в которых строится асимптотика решения и обоснование проводится методом дифференциальных неравенств. Так, в работе [41] исследовано одномерное уравнение «реакция-диффузия», а в [43] изучен критический случай для уравнения из [41]), статья [40] посвящена исследованию одномерного уравнения с зависимостью нелинейности в правой части уравнения из [41] от производной искомой функции по координате, умноженной на малый параметр (слабая адвекция), а в [49] построена асимптотика до произвольного порядка п для задачи из [42].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Периодические контрастные структуры в уравнениях типа реакция-адвекция-диффузия в случае быстрой реакции»

Актуальность темы

Различные направления теории нелинейных сингулярно возмущенных задач интенсивно разрабатываются как у нас в стране, так и за рубежом. Об этом свидетельствует ряд международных конференций, состоявшихся в последние годы и посвященных теории сингулярных возмущений. а также конференций, посвященные внутренним слоям. Эти работы активно ведутся учеными в США - P.Fife, B. McLeod P. Bates, N. Alikakos, Danielle Hilhorst и др. — в Японии - Н. Motano, H. Morita K. Sakamoto, Vimura, Nishiura и др, эти работы широко представлены в специальном выпуске журнала «DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS» Volume 37, Number 2, February 2017, посвященном памяти Поля Файфа; в Германии и Австрии - известный специалист в области динамических систем В. Fidler и его ученики, L. Recke, K. Scheider и др. - результаты этих и других специалистов представлены в трудах конференции 'Patterns of Dynamics 2016', проведенной в Берлине в честь юбилея Бернольда Фидлера. Современное состояние асимптотического анализа сингулярно возмущенных задач с пограничными и внутренними слоями можно получить из обзора [50]. Ряд интересных результатов представлен также в работах [51—53].

Следует отметить, что применение численных методов для сингулярно возмущенных задач, имеющих резкие внутренние переходные слои, вызывает определенные трудности. Асимптотический анализ позволяет оптимизировать численный алгоритм, предоставляя некоторую априорную информацию о решении, в частности, информацию об области локализации переходного слоя (см.

[54]). Ряд интересных результатов в области численного решения сингулярно возмущенных задач с пограничными слоями получен в работах [55—57]. Отметим, что результаты по разработке и обоснованию численных методов для задач с пограничными слоями используют результаты теории сингулярных возмущений. Об этом свидетельствует международная конференция «Numerical Methods for Problems with Layer Phenomena», проведенная в апреле 2016 в Москве.

Кроме того, как уже говорилось, сингулярно возмущенные задачи с внутренними переходными слоями имеют большое число приложений, где часто требуется определение точного местоположения области с большими градиентами искомых физических величин, а также поведения самих физических величин вблизи нее. В частности, теория контрастных структур привлекается при моделировании процессов переноса в приземном слое атмосферы (см. [58—62]), в задачах нефтедобычи ( [63—66]), в физике полупроводников ( [67; 68]), может быть привлечена во многих биологических задачах, например, в моделях динамики популяций (см. [3; 4] и последний пункт главы 1).

Диссертационная работа представляется к защите по специальности 01.01.03 и представляет собой исследование математическими методами математических проблем, возникающих в механике жидкостей и газов, термодинамике и биологии, а также разработку соответствующего математического аппарата. Таким образом, настоящая работа удовлетворяет указанным в паспорте специальности критериям.

Целью данной работы является исследование контрастных структур типа ступенька в сингулярно возмущенных задачах реакция-адвекция-диффузия вида (1). Рассматриваемые задачи:

1. Случай малой адвекции и несбалансированной быстрой реакции.

2. Случай малой адвекции и сбалансированной быстрой реакции.

3. Случай слабой адвекции и быстрой реакции.

4. Двумерный случай быстрой несбалансированной реакции.

5. Двумерный случай быстрой сбалансированной реакции.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

— построить формальную асимптотику для решения и для внутреннего переходного слоя;

— обосновать существование решения с построенной асимптотикой, используя и развивая метод дифференциальных неравенств;

— доказать асимптотическую по Ляпунову устойчивость и обосновать локальную единственность найденного решения.

Научная новизна:

1. Метод пограничных функций, разработанный А. Б. Васильевой и развитый в работах Н.Н. Нефедова, В.Ф. Бутузова и др., модифицирован и обобщен на новые классы задач, указанные выше, в результате построены асимптотические разложения для решений этих классов задач.

2. Для каждого класса задач проведено обоснование построенной асимптотики, исследована асимптотическая устойчивость и локальная единственность решения, при этом были использованы и развиты известные результаты, основанные на методе дифференциальных неравенств.

Практическая значимость

1. Результаты, полученные в данной работе, могут быть использованы при исследовании математических моделей процессов, описываемых уравнениями реакция-адвекция-диффузия в случае с быстрым реактивным членом, допускающими решения типа контрастных структур. В частности, они могут быть интересны ученым, занимающимся задачами механики жидкости и газа, а также проблемами динамики популяций.

2. На основе проведенного в работе асимптотического анализа периодических контрастных структур в дальнейшем могут быть исследованы новые типы задач, для которых могут быть использованы методы и идеи, содержащиеся в данной работе.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Асимптотический анализ периодических по времени контрастных структур в различных классах сингулярно возмущенных задач типа реакция-адвекция-диффузия с быстрым реактивным членом.

2. Разработка алгоритма построения асимптотического разложения решения, в том числе асимптотики для локализации внутреннего переходного слоя в указанных типах задач.

3. Строгое математическое обоснование результатов. Доказательство существования решения с построенным асимптотическим разложением,

а также асимптотической устойчивости и локальной единственности решений указанных типов задач.

Краткое содержание работы

Во введении повествуется о возникновении и развитии асимптотических методов в теории сингулярно возмущенных задач, приводится литературный обзор основных результатов, сделанных в этой области, а также говорится об актуальности темы, о новизне работы, ее целях и практической значимости.

В главе 1 исследована сингулярно возмущенная периодическая задача для параболического уравнения реакция-адвекция-диффузия при малой адвекции. Рассмотрен случай существования внутреннего переходного слоя в условиях несбалансированной нелинейности. Построено асимптотическое разложение решения, для обоснования построенной асимптотики используется асимптотический метод дифференциальных неравенств. Исследована асимптотическая по Ляпунову устойчивость периодического решения, доказательство основано на применении теоремы Крейна Рутмана. Результаты главы опубликованы в работе Nefedov N. N., Nikulin E. I. "Existence and stability of periodic contrast structures in the reaction-advection-diffusion problem". Russian Journal of Mathematical Physics 22, 2 (2015), 215-226, а также применены в работе D. Lukyanenko, N. Nefedov, E. Nikulin and V. Volkov "Use of asymptotics for new dynamic adapted mesh construction for periodic solutions with an interior layer of reaction-diffusion-advection equations". Lecture Notes in Computer Science 10187 (2017), 107-118.

Постановка задачи:

(

2 i'd2u ди\ 2 ,du N

£ | - dt ) - £ A(u,x,t,e)д- - F(u,x,t,e) = 0,

(x,t) € D := {(x,t) € R2 :0 < x < 1,t € R], д-и (0,t,£) = u(-)(t), д-и (lM)=u(+)(t), teR, u(x,t,e) = u(x,t + T,e), (x,t) eD.

(2)

Будем предполагать выполненными следующие условия: (А1) Пусть А(и,х,Ь,е),Р(и,х,1,е),и(0\1),и(1\1) - достаточно гладкие по своим аргументам в рассматриваемой области и Т-периодические по функции.

(А2) Вырожденное уравнение Р(и,х^,0) = 0 имеет ровно три изолированных Т-периодических по Ь решения ), ), ср(+) (ж,£), которые

являются упорядоченными:

Ф(-)(ж,^} < ф(0)(ж,^} < ф(+)(жД (хе Г).

Для этих корней выполняются неравенства

(А3) ^(Ф(±),^,0} > 0,^(Ф(0),^,0} < 0, (х,1) е В.

Введем обозначение :

ф(+) (х,г)

'(хЛ}:= I р^^

(А4) Пусть уравнение I(х,Ь) = 0 имеет изолированное Т-периодическое по £ решение х0(Ъ), лежащие в интервале (0,1).

Следующее условие накладывает ограничение на корень х0:

(А5) Корень х0(Ь) уравнения I(х,Ь} = 0 удовлетворяет неравенству

д1

—ыад < 0, т е я.

Условия (А4), (А5) выделяют так называемый случай несбалансированной реакции.

Обозначим через ип(х,Ъ,£} частичные суммы порядка п построенных асимптотических рядов, а через ап(х^,е)вп(х^,е) - соответственно нижнее и верхнее решения п-го порядка задачи (2).

На основе асимптотического метода дифференциальных неравенств доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.1 Если выполнены условия (а1)-(а5), то при достаточно малых £ существует решение и(х,Ь,£} задачи (2), являющееся контрастной структурой типа ступеньки, причем имеет место оценка

\ип(х,Ь,£} - и(х$,£}\ < С£п+\ (х,г) е Т).

Теорема 1.2 Пусть выполнены условия (а1)-(а5). Тогда решение и(х,Ь,£} асимптотически устойчиво по Ляпунову с областью устойчивости по крайней мере [а0(ж,0,£},в0(ж,0,£}] и, следовательно, и(х,Ь,£} - единственное решение задачи (1.1) в этой области. В последнем пункте главы приводится приложение в виде математической модели динамики популяций, которой при определенных условиях соответствует задача (2).

В главе 2 исследована сингулярно возмущенная периодическая задача для параболического уравнения реакция-адвекция-диффузия (2) при малой адвекции. Рассмотрен случай существования внутреннего переходного слоя в условиях сбалансированной реакции. Построено асимптотическое разложение решения. Для обоснования построенной асимптотики используется асимптотический метод дифференциальных неравенств. На основе этого же метода исследована асимптотическая по Ляпунову устойчивость периодического решения. Результаты главы опубликованы в работе Нефедов Н.Н., Никулин Е.И. "Существование и устойчивость периодических контрастных структур в задаче реакция-адвекция-диффузия в случае сбалансированной нелинейности". Дифференциальные уравнения 53, 4 (2017), 524-537.

Аналогичная задача без адвекции рассматривалась в работе [43] Пусть выполнены условия (A1)-(A3), а вместо условий (A4)-(A5) потребуем выполнение следующего предположения.

(Б4) Потребуем выполнение следующего условия баланса реакции

I(x,t) = 0, (x,t) е D.

Уравнение для отыскания нулевого приближения для кривой переходного слоя:

^ = 9(xo,t), (3)

где g(xo,t) - известная периодическая по Т функция. Функция x0(t) должна удовлетворять требованию периодичности

x0(t)=x0(t + T). (4)

Потребуем выполнение условия

(Б5) Пусть задача (3), (4) имеет изолированное решение 0 < x0(t) <

l,t е R.

Уравнения для определения Xi(t) - коэффициентов более высоких порядков

dx ■

-mit)ltt +d(t)xi = fi(t), i = 2,..., (5)

где m(t), d(t), fi(t) - известные Т-периодические функции t.

xl(t) = xl(t + T). (6)

Пусть также выполнено требование

(Б6)

Т

1 [ б,(г}

Т ] т(Ъ} 0

сИ =: (10 < 0.

Это неравенство гарантирует отсутствие нетривиальных Т-периодических решений у однородного уравнения (5), следовательно, задача (5), (6) при любом % = 1,2,... имеет единственное периодическое решение.

В рассматриваемом критическом случае, т.е. если выполнены условия (А1)-(А3), (Б4)-(Б6), справедливы теоремы, аналогичные теоремам 1.1 и 1.2, изменяется лишь область устойчивости - по крайней мере это область [а.1(ж,0,£},Р1(ж,0,£}] ширины 0(£2}.

В главе 3 рассматриваются периодические решения с внутренним переходным и пограничным слоями для сингулярно возмущенного параболического уравнения типа «реакция-адвекция-диффузия». Построена асимптотика произвольного порядка точности для таких решений и доказана теорема существования решения с построенной асимптотикой. Разработан эффективный алгоритм построения асимптотического приближения для кривой локализации переходного слоя. Чтобы обосновать построенную таким образом асимптотику, используется метод дифференциальных неравенств. Кроме того, доказана асимптотическая устойчивость решения по Ляпунову. Доказательство этого факта основано на так называемом методе сжимающихся барьеров.

Рассматривается сингулярно возмущенная задача типа реакция-адвекция-диффузия, в которой при адвекции стоит коэффициент £:

2 (д2и ди\ лди ,

£ М - т) = £А(и,Х,'} д* + Г(ЩХМ},

(х,г} е в := {(х¿} е Я2: -1 < х < 1,г е Я], (7)

и(-1,г,£} = и(-)(г}, и(1$,£} = и(+)(1} геЯ, и(х,Ь,£} = и(х,Ь + Т,£}, Ь е Я, -1 ^ X ^ 1.

Такой случай называют в литературе (см. [42]) случаем слабой зависимости правой части от производной , по этой причине будем называть задачу (3.1) случаем слабой адвекции. При выполненных условиях, аналогичных требованиям (А1)-(А5), на основе метода дифференциальных неравенств для задачи (3.1) доказана теорема о существовании и асимптотической устойчивости решения в виде периодической контрастной структуры типа ступеньки с областью устойчивости ширины 0(£}.

Результат удалось применить к классу задач со слабой линейной адвекцией (см. последний пункт главы 3), он опубликован в работе Нефедов, Н.Н., Никулин, Е.И. "Существование и асимптотическая устойчивость периодического решения с внутренним переходным слоем в задаче со слабой линейной адвекцией". Моделирование и анализ информационных систем 25, 1 (2018), 125-132.

В главах 4, 5 исследована сингулярно возмущенная периодическая по времени задача для параболического уравнения реакция-диффузия в двумерной области. Рассмотрен случай существования внутреннего переходного слоя в условиях сбалансированной и несбалансированной быстрой реакции. Построено асимптотическое разложение решения. Для обоснования построенной асимптотики используется асимптотический метод дифференциальных неравенств. Исследована асимптотическая по Ляпунову устойчивость периодического решения. Результаты главы 4 опубликованы в работе Нефедов Н.Н., Никулин Е.И. Существование и устойчивость периодических решений уравнения реакция-диффузия в двумерном случае. Моделирование и анализ информационных систем 23, 3 (2016), 342-348.

Постановка задачи:

*)

(8)

△и - — ) - F(u,x,y,t,£) = О,

(x,y,t) е Dt := {(x,y,t) е R3 : (x,y) е D,t е R}, ди

—(x,y,t,e) = 0, (x,y) е r,t е R, u(x,y,t,e) = u(x,y,t + Т,е), (x,y) е D,t е R,

где △ = Л2 + jj2, а производная берется по внутренней нормали к гладкой границе Г заданной двумерной области D, а £ > 0 - малый параметр. Задача представляет собой двумерный аналог задачи, исследованной в [43].

Она рассматривается при условиях, совершенно аналогичных условиям задачи (2) для некритического и критического случаев. Доказаны теоремы существования и асимптотической устойчивости, аналогичные теоремам 1.1, 1.2. Результаты глав 4 и 5 опубликованы в работе Nefedov N. N., Nikulin E. I. Existence and asymptotic stability of periodic solutions of the reaction-di usion equations in the case of a rapid reaction. Russian Journal of Mathematical Physics. — 2018. — Vol. 25, no. 1. — P. 88-101.

Глава 1. Периодическая контрастная структура в случае несбалансированной реакции

Прежде всего заметим, что обозначения, вводимые в каждой главе, имеют силу только на протяжении этой главы, если не оговорено противное.

1.1 Постановка задачи. Первоначальные предположения

Рассмотрим следующую сингулярно возмущенную задачу типа реакция-адвекция-диффузия в случае малой адвекции, естественно возникающую в математических моделях с быстрой реакцией:

В работе [43] рассматривалась аналогичная задача для уравнения реакция-диффузия. В данной главе исследуется влияние адвективного члена, в частности, на положение внутреннего переходного слоя, причем применяется несколько видоизмененный метод нахождения асимптотики для положения внутреннего переходного слоя, упрощающий процедуру построения.

Для обоснования построенной асимптотики использовался асимптотический метод дифференциальных неравенств, базирующийся на известных теоремах сравнения и развивающий идеи использования формальных асимптотик для построения верхних и нижних решений в задачах с внутренними и пограничными слоями (см. [24]). В главе также доказывается асимптотическая устойчивость по Ляпунову и локальная единственность найденного периодического решения. При этом используется подход, описанный в работе [69], основанный на теореме Крейна Рутмана.

Будем предполагать выполненными следующие условия:

Ые(и) := £2 - е2А(и,х$,е)---Р(и,х$,е) = О,

(х,г) е В •= {(х^) е Я2:0 < х < М е Я}, ^(0М) = и(-)(1), ^(1м) = и(+)(1), гея, и(х^,е) = и(х,Ь + Т,е), (х,Ь) еВ.

дх

дх

(1.1)

(А1) Пусть А(и,х,Ь,£),Р(и,х,1,£),и(0\1),и(1\1) - достаточно гладкие по своим аргументам в рассматриваемой области и Т-периодические по £ функции.

(А2) Вырожденное уравнение Р(и,х^,0) = 0 имеет ровно три изолированных Т-периодических по Ь решения ), ф(0\х,1), ср(+) (ж,£), которые являются упорядоченными:

^(-)(х,г) < ^(0)(х,г) < ^(+)(х,г), (х,г) е В.

Для этих корней выполняются неравенства

(А3) Ри(ф(±),х,1,0) > 0,Ри(у(0),х,1,0) < 0, (х,1) е В.

Известно (см., например, [29], [41]), что задачи, аналогичные (1.1), могут иметь решения как с пограничными слоями вблизи концов отрезка [0,1], так и внутренние переходные слои. В данной главе рассматривается решение, которое для любого момента времени £ при £ ^ 0 на части интервала (0,х*(Ъ,£)) стремится к корню ф(-\х,1) , а на другой части (х*(1 ,£),1) к другому корню ф(+)(х,Ь) . В окрестности точки х*(Ь,£) возникает область быстрого изменения решения - решение в этой области называется внутренним переходным слоем. Такие решения называются контрастными структурами, а кривая х*(р,£) - кривой переходного слоя, ее положение заранее неизвестно. Определим положение кривой переходного слоя условием пересечения решения и корня вырожденного уравнения ср(0) (ж,£):

Ф(0\х*,г) = и(х*,г,£). (1.2)

Кривая х = х*(Ь,£) разделяет область В на подобласти Ви В- левую и правую относительно этой кривой.

1.2 Построение асимптотики решения

Опишем построение формального асимптотического решения периодической краевой задачи (1.1). Позже мы докажем существование решения (1.1) вблизи этого формального асимптотического приближения.

Для построения формальной асимптотики задача (1.1) разбивается на две. Слева от переходного слоя в области й(-) рассматривается задача

(д ^и ди

- ) - е2А(и,х,г,е}- Р(и,х,г,е} = 0,

(х,г} е Б(-) := {(х,г} е Я2:0 <х< х*(г ,е},г е Я], —(0^,е} = и(0), и(х*(t,£}№} = у(0)(х*,г}, геЯ, и(х,г,е} = и(х,г + т,е}, (х,г} ей(-\

Справа от переходного слоя в области Й(+ рассматривается задача

(д ^и ди

- ) - е2А(и,х,г,е} — - Р(и,х,Ь,е} = 0,

(х,г} е о(+) := {(х,г} е Я2: х*(г,е} <х< 1,г еЯ], и(х*(г,е}м} = у(0)(х*,г}, — (1,г,е} = и(1), гея, и(х,г,е} = и(х,г + Т,е}, } ей(+).

Далее для функций асимптотики в области Йиспользуем обозначение (-}, в области Й(+ - (+}, а символ (±} будем писать, подразумевая функции как для левой, так и для правой частей асимптотики. Построим асимптотику в виде ряда по степеням е, не предполагая разложенной в такой ряд функцию х*(Ь,е}, которую считаем известной:

и (±)(х,г,е} = й(±\х,Ь,е} + Q(±)(^,t,е} + П^т^е}, (1.3)

где регулярная часть

и(±)(х,Ъ,е} = ^^(х^} + еи(±\х,1} + ... + епй(±\х,1} + ..., пограничная часть в окрестности х = 0 для и(- и в окрестности х = 1 для и(+ , П(±)(т,1,е} = П^т^} + еП(±)(т,1} + ... + епП(п±)(т,1} + ...,

где

х/е, х ^ х*^,е},

т=

[(ж - 1}/е, х > х*(Ь,е}, и часть внутреннего переходного слоя в окрестности х*(Ъ,е}, £ = (х -х*^ ,е}}/е

Q(±)(Ш} = Q(t)(Ш} + еQ(f)(t,t,е} + ... + е^(Ш} + ...,

члены которой зависят не только от аргументов (Е^), но и от £. Отметим, что уравнения, из которых эти члены находятся, содержат функции, зависящие от х*(Ь,£) и (Ь,£), что и объясняет наличие у членов Q^ аргумента £. В принципе, можно было бы рассматривать функции х*(1 ,£), (I,£) как аргументы Qi, однако тогда бы изменился вид оператора дифференцирования по времени при действии на внутренний переходный слой.

Для определенности, рассматриваем переход от корня ф(-) к корню ф(+).

Метод пограничных функций (см. [12]) с учетом особенностей параболического оператора (см. [70], [71]) приводит к последовательности задач для определения коэффициентов асимптотических рядов (1.3), из которых, в частности, получим й\-\х,Ъ) = ), й0+\х,1) = ). Функции

),г = 1,2,3,..., а также пограничные функции П±\т,1) строятся стандартным образом, и мы это построение здесь рассматривать не будем.

Рассмотрим подробно построение функций внутреннего переходного слоя. Оператор

2 д2 2д

£2--£2 -,

дх2 д1'

действуя на функции Qi(Е,t,£), приобретает вид

д2 дх*и,£) д 2 д

+ £-ттт - £2 тг-.

д I2 Ы д Е Ы'

Члены ,£) определяются из следующих задач:

= р (¿^ ) + Qыtx. т>

о Е

Q{0±)(0,t,£)+й{±)(x*,t) = у(0)(х*,1), (Ы)

^0±](±^,г,£) = 0.

Известно (см. , например, [29]), что для каждого £ задача (1.4) имеет единственное монотонное по Е решение, причем имеют место следующие оценки (см. [42]):

-,0|Е| (1.5)

где С0,С0 ,к, к' - некоторые положительные константы. Введем функции

й(±)(Еи) :=й0±)(х*,1 ) + Q0±)(Е7,t,£),

которые, согласно (1.4) , являются решениями задач

г) 2<п(±)

— =Р (и(±),х*,1,0},

д£2 V , , ,

и(±^(0^,е} = у(0)(х*,г}, и(±)(±ж,г,е} = у(±)(х*,г}.

Эти функции понадобятся нам в дальнейшем.

Функции Q1±) определяются из следующих задач:

э^ зр• (±) ,±)

(1.6)

а е ди ^1 =Г( ,

Q(l±)(0,t,е}+г^((±)(x*,t } = 0, Q((±'\±(X),0,t,е} = 0,

дQ

(±)

д £

*е}{ - Ж + А*) + £(

дР* дё^

дР

:= ^-(Ш}( -^ + А*) + £ ( (Х*^} + +

ди дх

)

ЗР *

дх I де ' (1.7)

где символы " ~ ", " * " над и справа от функции означают, что ее значение берется при аргументе (и^±Л) (£,Ь ,е} ,х* ,0}.

Решение задач (1.7) представляется в явном виде (см., например, [29]):

±)(£,1,е}

у(±)(0,1,е}

+ у(±) (Ш}( (у(±)(з ¿,е}} 2/ у(±)(п,1,е}г({±)(п,1,е} ^з,

(1.8)

±00

где г)(±)(£,г,е} = , причем г)(±)(£,г,е} > 0 при всех £,г е Я,х* е (0,1}.

Для Ql±) справедлива оценка (см. [12])

где С1,к1 - некоторые положительные константы.

(1.9)

Замечание 1.1. Заметим, что из вида уравнения (1.4) следует, что в функциях Q0±>) (£$,е}, у(±\£$,е}, считая Ь,х* параметрами, мы можем перейти к другому набору аргументов (£,Ь,х*}. В дальнейшем мы будем пользоваться обоими наборами аргументов, для каждого конкретного случая выбирая наиболее удобный.

£

в

Функции определяются из аналогичных задач:

о ^ д_Р1 & ±) = Л±)

д Е2 диQг " '

0±\0и) + ) = 0, (1Л0)

Q<±)(±^,í,£) = 0,

где г\±\е$,£) - известные функции. Решения задач (1.10) также выписываются в явном виде, аналогичном (1.8).

1.3 Построение асимптотики кривой переходного слоя

Одной из ключевых проблем построения асимптотики является построение асимптотики кривой перехода х*(Ъ ,£). Для этого используется условие С1-сшивания. Непрерывность асимптотики на кривой х*(р,£) выполняется за счет согласованности асимптотик и (-) и и (+) в силу условия (1.2). Потребуем также непрерывности первых производных асимптотики на этой кривой (условие С1- сшивания).

Рассмотрим разность

ди (+)(х*,1,е) ди (-)(х*,г,е) дQ<0+) (0,г,е) дQ<0-)(0,t,£)

+ £

дх

£

дх

д Е

д Е

ди0+\х*, Ь) дQ[+)(0,t,£) (дй[-)(х*^) дQ[-)(0,t,£)

дх

+

д Е

дх

+

д Е

+... .

(1.11)

Тогда условие С1 -сшивания приобретает вид

ди(+)(х*,1,£) ди(-)(х*,г,£)

дх

£

дх

= 0,г е Я.

(1.12)

Используя замечание 1.1 и переходя к переменным (Е^,х*), введем функцию Н(х* ) := V (+)(0 ,Ь,х*) - V)( \0,Ь,х*). Для функций V известны следующие представления (см. [29]):

ф(0)( х*1)

2

" =2

(1.13)

()+)(Е,г,х* )) =2 ! р (и,х*,г,0)(1,и,

ф(0)( х*1г)

$ = / Р^^

Тогда для функции Н справедливо следующее выражение:

Н) = -ош-)+ ¥-40^) ! Р(1Л4)

Используя (1.8), сделаем следующие преобразования:

I дх д Е I

дх д Е

д +) ( *+)_ д^-^ ( ^(Р^) , -(-)( А-)(0,^£)

дх (х,г) дх (х,г) щ (х,г))+)(0и)+Щ ^^))-)(0М)

-то

11

У(+)(Ц,1,£)г1+)(ц,1,фц + ч_) ^ . У(-\ц,1,£)г 1-\ц,1,£)¿Ц

)+)(0,г,£) ] к х" У1 1 )(-)(0,г,£)

О О

1 Г I ч дР*

= Кт Ъ(±)(Ш,£) + ^Р-ц) М

У(±)(0,1,£у] у " ' у I у " ' у дх

О

+ ! ¿»(пи) + [ #¿¡±-¡1

ОО

= С1 (х* (I ,Ф) + ^т^К (х* (I ,Ф).

(1.15)

Здесь [ ]+ означает разность между выражениями, помеченными символами + и -,

1

С1(х*(1 ,е},1} := [-

1С д Р1 *

ъЩй^^ ^Чп^А-ъ^'Н пМп

0

+ ( х(±)(чм}^(Ы}]±,

К(х*(1 ,е},1) := [:

(1.16)

х(±)(0,г,х*}

(г>(±)(ч,г,х*}}Щ+_.

В силу замечания 1.1 правые части равенств (1.16) зависят от переменных

_ ди— (х*,г) , дд\+>(0хе) ( ди— (х*,г) , дд(-)(0м)

(х*,1). Обозначая Сг(е,1) = "-^-дхХт^ + д1 2,3,..., перепишем условие (1.12) в виде:

ди(_)(х*,1,е} ди(-)(х*,г,е}

'(-) (х*

1 (-)/

д х

+

д£

=

е

дх дх

н (х*(г ,е},г) + е[С1(х*(г ,е},г) +

К (х*(1 ,е},1)) + е2С2(е,1) + ... = 0.

(1.17)

Раскладывая х*(Ъ,е} в ряд по степеням е:

х*(Ь,е} = х0(Ь) + ех^) + е2х2(1) + ..., из (1.17) получим для С 1-сшивания следующее выражение:

(1.18)

ди(_)(х*,г,е} ди(-)(х*,г,е} е----е—

дх

Н (х0,Ь) + е

(

дх

дН

дх

йх0

х=х°

Х1(г) + САх=х° + 1х=х° I +

хКг) д2н

2 дх2

+ Х2(г)

х= х°

дН

дх

+ хл(г)

+ К|х=х° + °'21е=0

х= х° + ... = 0.

дС1 дх

+

х= х°

йх0 дК (И дх

х= х°

(1.19)

Приравняем к нулю по очереди коэффициенты при степенях е в (1.19). В нулевом порядке получим

н (х0 ) = 0.

(1.20)

1

2

е

Введем обозначение для интеграла в (1.14):

ф(+) (х,г)

1(х^} := ! Р(и,х,Ъ,0}(1и.

V(-)(х!)

Тогда равенство (1.20) ввиду положительности г)(± ведет к уравнению

1(х,г }=0. (1.21)

Потребуем выполнения следующего условия

(А4) Пусть уравнение (1.21) имеет изолированное Т-периодическое по £ решение х0(£}, лежащее в интервале (0,1}.

Следующее условие накладывает ограничение на корень х0: (А5) Корень х0(Ь} уравнения 1(х,Ь} = 0 удовлетворяет неравенству

^(х0(г},г} < 0, УгеЯ.

Условия (А4), (А5) выделяют так называемый случай несбалансированной реакции. Возможен также случай сбалансированной реакции, или критический случай, реализующийся при тождественном равенстве нулю функции 1(х,Ь}, он будет изучен в следующей главе.

Определим член первого порядка для х*(Ь,е}. При е1 равенство (1.19) дает

дН

дх

Х1а} + С1\х=п + *%>К\х=хо = 0. (1.22)

х= х°

В силу (1.20) у(~\0,1,х0} = (0¿,х0}, т.е. у(£$,х0} - непрерывная по £ функция в рассматриваемой области. Поэтому здесь и далее индекс (±} в выражениях для х(£^, х0} можно опустить. Подставляя равенства (1.16) в (1.22), получим уравнение для нахождения х1(£}:

Х1 + 1 ИМИ - ^}+ ^£ + = 0, (1.23)

-то

где символ " ~ " над функцией означает, что ее значение берется при аргументе (и(±)(£,1,Х0 },Х0^,0}.

Уравнение (1.23) разрешимо в силу условия (А5), таким образом, коэффициент 1-го порядка в разложении (1.18) определен.

Выписывая следующие приближения в соотношении (1.19), получим алгебраические задачи для х():

+ I, = О 1, (1.24)

где ^ (¿)-известные на г-ом шаге Т-периодические функции t.

Таким образом, мы указали формальный алгоритм, по которому определяются все неизвестные функции х() и все члены асимптотики (1.3). Поскольку функции А,В,и(± достаточно гладкие, формальная асимптотика может быть построена до любого порядка п. Из построения следует, что она удовлетворяет уравнению (1.1) с невязкой порядка £п+1.

1.4 Обоснование построенной асимптотики

Обозначим через ип(х,Ь,£) частичные суммы порядка п построенных асимптотических рядов, в которых аргумент Е у Q-функций заменен на Еп :=

( п+1 ■ \ п+1 ■ -(-) -(+) 1х - £гХг(Ь) I /£, а х* на х*п(Ъ,£) := £1%г&). В подобластях Вп ) и В(),

\ г=0 ) г=0

на которые область В разделяется кривой х*п при построении ип(х,Ь,£) используются функции Q(К и Q(+S) соответственно. Заметим, что функция ип(хр,£) непрерывна в В, а ее производная —' разрывна на кривой х = хп(1 ,£), причем, как следует из (1.19), разность левых и правых производных на этой кривой составляет величину порядка 0(£п). Имеет место

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Никулин Егор Игоревич, 2018 год

Список литературы

1. Butuzov V. F. Singularly perturbed problems in case of exchange of stabilities / V. F. Butuzov, N. N. Nefedov, K. R. Schneider // Journal of Mathematical Sciences. — 2004. — Т. 121, № 1. — С. 1973—2079.

2. Vasil'Eva A. Stability of contrasting solutions of nonlinear hydromagnetic dynamo equations and magnetic fields reversals in galaxies / A. Vasil'Eva, A. Nikitin, A. Petrov // Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. -1994. — Т. 78, № 1—4. — С. 261—279.

3. Волны миграции и пространственная динамика насекомых фитофагов / Ф. С. Березовская [и др.] // Сибирский экологический журнал. — 1999. — № 4. — С. 347—357.

4. Разжевайкин В. Н. Модели динамики популяций / В. Н. Разжевайкин. — Вычислительный центр им. А.А. Дородницына Российской акад. наук, 2006.

5. Дмитриев М. Г. Анализ модели"власть-общество"для случая двух устойчивых рас пределений власти / М. Г. Дмитриев, А. П. Петров // Математические методы и приложения. Труды девятых математических чтений МГСУ. — 2002. — С. 150—154.

6. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра / А. Н. Тихонов // Матем. сб. — 1948. — Т. 22, № 64. — С. 193—204.

7. Тихонов А. Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры / А. Н. Тихонов // Матем. сб. — 1950. — Т. 27, № 69. — С. 147—156.

8. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных / А. Н. Тихонов // Математический сборник. — 1952. — Т. 31, № 3. — С. 575—586.

9. Дулан Э. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем / Э. Дулан, Д. Миллер, У. Шилдерс. — 1983.

10. Боглаев Ю. П. О численных методах решения сингулярно возмущенных задач / Ю. П. Боглаев // Дифференциальные уравнения. — 1985. — Т. 21, № 10. — С. 1804—1806.

11. А. Б. Васильева. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных / А. Б. Васильева // УМН. — 1963. — Т. 18, 3(111). — С. 15—86.

12. Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. — Высшая школа Москва, 1990. — С. 208.

13. Ильин А. М. Метод сращивания асимптотических разложений /

A. М. Ильин, П. Горьков, Е. В. Леликова // ДАН СССР. — 1989. — Т. 217. — С. 1033—1036.

14. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач / А. М. Ильин. — Наука, 1989.

15. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений / С. А. Ломов. — 1981.

16. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях /

B. П. Маслов. — 1977.

17. Маслов В. П. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики / В. П. Маслов, М. В. Федорюк. — 1976.

18. Мищенко Е. Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания / Е. Ф. Мищенко, Н. Х. Розов. — Издательство "Нау^ Главная редакция физико-математической литературы, 1975.

19. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах / Е. Ф. Мищенко [и др.] // М.: Физматлит. — 1995. — Т. 328.

20. Крылов Н. М. Введение в нелинейную механику / Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов. — R&C Dynamics Ижевск, 2004.

21. Бахвалов Н. С. Осреднение процессов в периодических средах / Н. С. Бахвалов, Г. П. Панасенко. — 1984.

22. Васильева А. Б. Контрастные структуры типа ступеньки для сингулярно возмущенного квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка / А. Б. Васильева // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1995. — Т. 35, № 4. — С. 520—531.

23. Васильева А. Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. — 1973.

24. Нефедов Н. Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями / Н. Н. Нефедов // Дифференциальные уравнения. — М., 1995. — Т. 31, № 7. — С. 1132—1139.

25. Fife P. C. Comparison principles for reaction-diffusion systems: irregular comparison functions and applications to questions of stability and speed of propagation of disturbances / P. C. Fife, M. M. Tang // Journal of Differential Equations. — 1981. — Т. 40, № 2. — С. 168—185.

26. Sattinger D. Monotone Methods in Nonlinear Elliptic and Parabolic Boundary Value Problems / D. Sattinger // Indiana Univ. Math. J. — 1972. — Т. 21, вып. 11. — С. 979—1000.

27. Amann H. Periodic solutions of semilinear parabolic equations / H. Amann // Nonlinear analysis. — 1978. — Т. 1. — С. 29.

28. Pao C. V. Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations / C. V. Pao. — Springer Science Business Media, 1993. — URL: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4615-3034-3.

29. Васильева А. Б. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов, Н. Н. Нефедов // Фундаментальная и прикладная математика. — М., 1998. — Т. 4, № 3. — С. 799—851.

30. Бутузов В. Ф. Асимптотическая теория контрастных структур (обзор) /

B. Ф. Бутузов, А. Б. Васильева, Н. Н. Нефедов // Автомат. и телемех. — 1997. — Т. 7. — С. 4—32.

31. Васильева А. Б. Сингулярно возмущенные задачи с пограничными и внутренними слоями / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов, Н. Н. Нефедов // Труды Математического института им. ВА Стеклова РАН. — 2010. — Т. 268. -

C. 268—283.

32. Бутузов В. Ф. Асимптотическая устойчивость решений сингулярно возмущенных краевых задач с пограничными и внутренними слоями / В. Ф. Бутузов, И. В. Неделько // Дифференциальные уравнения. — 2000. — Т. 36, № 2. — С. 198—208.

33. Васильева А. Б. Асимптотика решения интегро-дифференциального уравнения с малым параметром при производной / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1964. - Т. 4, № 4. - С. 183-191.

34. Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В. Ф. Бутузов, А. Б. Васильева, М. В. Фе-дорюк // Итоги науки и техники. Серия «Математический анализ». -1969. - С. 5-73.

35. Бутузов В. Ф. Об асимптотике решения типа контрастной структуры /

B. Ф. Бутузов, А. Б. Васильева // Математические заметки. - 1987. -Т. 42, № 6. - С. 831-841.

36. Бутузов В. Ф. Об асимптотической теории контрастных пространственных структур / В. Ф. Бутузов, А. Б. Васильева // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1988. - Т. 28, № 3. -

C. 346-361.

37. Васильева А. Б. Асимптотика периодических решений некоторых систем с малой диффузией / А. Б. Васильева, В. Т. Волков // Математическое моделирование. - 1989. - Т. 1, № 4. - С. 150-154.

38. Васильева А. Б. О существовании решений типа контрастных структур / А. Б. Васильева, А. В. Павельев // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1990. - Т. 30, № 1. - С. 72-86.

39. Васильева А. Б. К вопросу об устойчивости решений типа контрастных структур / А. Б. Васильева // Математическое моделирование. - 1990. -Т. 2, № 1. - С. 119-125.

40. Васильева А. Б. О контрастной структуре типа ступеньки для одного класса нелинейных сингулярно возмущенных уравнений второго порядка / А. Б. Васильева, М. А. Давыдова // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1998. - Т. 38, № 6. - С. 938-947.

41. Нефедов Н. Н. Асимптотический метод дифференциальных неравенств для исследования периодических контрастных структур: существование, асимптотика, устойчивость / Н. Н. Нефедов // Дифференц. ур-ния. -2000. - Т. 36, № 2. - С. 262-269.

42. Васильева А. Б. О периодических решениях параболической задачи с малым параметром при производных / А. Б. Васильева // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2003. — Т. 43, № 7. -С. 975—986.

43. Волков В. Т. Развитие асимптотического метода дифференциальных неравенств для исследования периодических контрастных структур в уравнениях реакция-диффузия / В. Т. Волков, Н. Н. Нефедов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — М., 2006. -Т. 46, № 4. — С. 615—623.

44. Божевольнов Ю. В. Движение фронта в параболической задаче реакция-диффузия / Ю. В. Божевольнов, Н. Н. Нефедов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2010. — Т. 50, № 2. — С. 276—285.

45. Fife P. C. Interior transition layers for elliptic boundary value problems with a small parameter / P. C. Fife, W. Greenlee // Russian Mathematical Surveys. — 1974. — Т. 29, № 4. — С. 103—131.

46. Нефедов Н. Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями / Н. Н. Нефедов // Дифференциальные уравнения. — 1995. — Т. 31, № 7. — С. 1142—1149.

47. Multi-dimensional stationary internal layers for spatially inhomogeneous reaction-diffusion equations with balanced nonlinearity / N. Nefedov, K. Sakamoto [и др.] // Hiroshima Mathematical Journal. — 2003. — Т. 33, № 3. — С. 391—432.

48. Nefedov N. N. Contrast structures in singularly perturbed quasilinear reaction-diffusion-advection equations / N. N. Nefedov, M. A. Davydova // Differential Equations. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 688—706. — URL: http://dx.doi.org/ 10.1134/S0012266113060049.

49. Nefedov N. N. Periodic contrast structures in systems of the reaction-diffusion-advection type / N. N. Nefedov, M. A. Davydova // Differential Equations. — 2010. — Т. 46, № 9. — С. 1309—1321. — URL: http://dx.doi.org/10.1134/ S0012266110090077.

50. Kumar M. Singular perturbation problems in nonlinear elliptic partial differential equations: a survey / M. Kumar, A. K. Singh // International Journal of Nonlinear Science. — 2014. — Т. 17, № 3. — С. 195—214.

51. Sakamoto K. Infinitely many fine modes bifurcating from radially symmetric internal layers / K. Sakamoto // Asymptotic Analysis. — 2005. — Т. 42, № 1, 2. — С. 55—104.

52. Magnus R. The implicit function theorem and multi-bump solutions of periodic partial differential equations / R. Magnus // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A: Mathematics. — 2006. — Т. 136, № 3. — С. 559—583.

53. Del Pino M. Resonance and interior layers in an inhomogeneous phase transition model / M. Del Pino, M. Kowalczyk, J. Wei // SIAM Journal on Mathematical Analysis. — 2007. — Т. 38, № 5. — С. 1542—1564.

54. Use of Asymptotics for New Dynamic Adapted Mesh Construction for Periodic Solutions with an Interior Layer of Reaction-Diffusion-Advection Equations / D. Lukyanenko [et al.] // Lecture Notes in Computer Science. — 2017. Vol. 10187. — P. 107—118.

55. Franz S. The capriciousness of numerical methods for singular perturbations / S. Franz, H.-G. Roos // SIAM review. — 2011. — Т. 53, № 1. — С. 157—173.

56. Franz S. Greens function estimates for a singularly perturbed convection-diffusion problem / S. Franz, N. Kopteva // Journal of Differential Equations. — 2012. —

Т. 252, № 2. — С. 1521—1545.

57. Kopteva N. Numerical analysis of a 2d singularly perturbed semilinear reaction-diffusion problem. / N. Kopteva // NAA. — Springer. 2008. — С. 80—91.

58. Давыдова М. А. Об одной модельной задаче для уравнения реакция-диффузия-адвекция / М. А. Давыдова, С. А. Захарова, Н. Т. Левашова // Журнал вычислительной математики и математической физики. — М., 2017. — Т. 57, № 9. — С. 1548—1559.

59. Давыдова М. А. Асимптотический анализ в задаче моделирования процесса переноса газовой примеси в приповерхностном слое атмосферы / М. А. Давыдова, Н. Т. Левашова, С. А. Захарова // Моделирование и анализ информационных систем. — 2016. — Т. 23, № 3. — С. 283—290.

60. Влияние пространственной неоднородности растительности и рельефа на перенос С02 и малых газовых компонент в приземном слое атмосферы / Ю. В. Мухартова [и др.] // ББК 28в6 М34. — 2015. — С. 127.

61. Трехмерное моделирование турбулентного переноса в приземном слое атмосферы с применением теории контрастных структур / Н. Т. Левашова [и др.] // Компьютерные исследования и моделирование. — 2016. — Т. 8, № 2. — С. 355—367.

62. Левашова Н. Т. Два подхода к описанию турбулентного переноса в приземном слое атмосферы / Н. Т. Левашова, Ю. В. Мухартова, А. В. Ольчев // Математическое моделирование. — 2017. — Т. 29, № 5. — С. 46—60.

63. Формирование и динамика фронта в одной модели реакции-диффузии-адвекции / В. Т. Волков [и др.] // Математическое моделирование. -2010. — Т. 22, № 8. — С. 109—118.

64. Моделирование динамики фронта внутрипластового горения / Н. Е. Грачев [и др.] // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. — 2010. — Т. 11, № 1. — С. 306—312.

65. Оценка параметров фронта внутрипластового горения при закачке воздуха в нефтяной пласт / В. Т. Волков [и др.] // Нефтяное хозяйство. — 2010. — № 4. — С. 93—95.

66. Волков В. Т. Численно-асимптотическое исследование модели движения фронтов в задачах нефтедобычи / В. Т. Волков, Н. Н. Нефедов, Н. Е. Грачев // Материалы международной научно-практической конференции "Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии". — ТГПУ им. Л.Н. Толстого Тула, 2011. — С. 115—116.

67. Белянин М. П. О внутреннем переходном слое в одной задаче теории полупроводниковых плёнок / М. П. Белянин, А. Б. Васильева // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1988. — Т. 28, № 2. — С. 224—236.

68. Об асимптотическом подходе к задаче синтеза полупроводникового прибора / М. П. Белянин [и др.] // Математическое моделирование. — 1989. — Т. 1, № 9. — С. 43—63.

69. Nefedov N. Comparison principle for reaction-diffusion-advection problems with boundary and internal layers / N. Nefedov // Numerical Analysis and Its Applications - 5th International Conference, NAA 2012, Lozenetz, Bulgaria, June 15-20, 2012, Revised Selected Papers. Vol. 8236. — Springer Berlin: 2013. — P. 62—72. — (Lecture Notes in Computer Science).

70. Nefedov N. Existence and asymptotic stability of periodic solutions with an interior layer of reaction-advection-diffusion equations / N. Nefedov, L. Recke, K. Schneider // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2013. — Т. 405, № 1. — С. 90—103.

71. Васильева А. Б. Сингулярно возмущенные задачи с пограничными и внутренними слоями / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов, Н. Н. Нефедов // Труды Математического института им.В.А.Стеклова РАН. — 2010. — № 268. — С. 268—283.

72. Соболевский П. Е. Оценки функции Грина уравнений в частных производных второго порядка параболического типа. / П. Е. Соболевский // ДАН СССР. — 1961. — Т. 138, № 2. — С. 313—316.

73. Murray J. D. Lectures on nonlinear-differential-equation models in biology / J. D. Murray. — Clarendon Press, 1977.

74. Murray J. D. Mathematical biology. I, volume 17 of Interdisciplinary Applied Mathematics / J. D. Murray. — 2002.

75. Vasil'eva A. On periodic solutions of a parabolic problem with a small parameter at the derivatives / A. Vasil'eva // Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. — 2003. — Т. 43, № 7. — С. 975—986.

76. Fife P. C. Semilinear elliptic boundary value problems with small parameters / P. C. Fife // Archive for Rational Mechanics and Analysis. — 1973. — Т. 52, № 3. — С. 205—232.