Пирсовские слои и цепи полуколец тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Марков, Роман Владимирович

• Марков, Роман Владимирович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Марков, Роман Владимирович

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

1 ПИРСОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУКОЛЕЦ

1.1 Основные определения: полукольцо, идемпотенты, идеалы

1.2 Регулярные идеалы, конгруэнция Пирса

1.3 Функциональные представления полуколец

2 ПИРСОВСКИЕ СЛОИ ПОЛУКОЛЕЦ

2.1 Свойства пирсовских слоёв произвольных полуколец

2.2 Свойства пирсовских слоёв некоторых классов полуколец

3 ПИРСОВСКИЕ ЦЕПИ ПОЛУКОЛЕЦ

3.1 Определение и свойства пирсовской цепи полукольца

3.2 Применение пирсовских цепей полуколец

3.3 Пирсовские цени полуколец с инволюцией

3.4 Пирсовские цепи полумодулей

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Пирсовские слои и цепи полуколец»

Введение

Диссертация посвящена исследованию полуколец и полумодулей над полукольцами методами функциональных представлений. Исследование ведется следующим образом. Выделяется класс полуколец с богатой булевой алгеброй центральных дополняемых идемпотентов. Для таких полуколец существует нетривиальный пирсовскпй пучок. Устанавливается связь (характеризация) исследуемого полукольца с его пирсовскими слоями. Пирсовские слои полуколец могут иметь достаточный набор центральных дополняемых идемпотентов, что позволяет перейти к рассмотрению пирсовских слоев пирсовского слоя. На этой идее строится конструкция нирсовской цепи конгруэнций на полукольце, которая применяется для исследования исходного полукольца.

Рассмотрим два источника (п две составляющие) диссертационного исследования — теорию пучковых представлений алгебр и теорию полуколец.

Пучки используются в математике с 1945 года, когда их открыл Ж. Лере. Усилиями прежде всего А. Гротендика и участников его семинара пучки становятся важным инструментом алгебраической топологии. Интересующие пас применения пучков для исследований алгебраических систем появились сначала в монографии Р. Годемапа [1] в 1961, а затем в работе опя!ь же Гротендика [2]. Именно с именем последнего связано первое (1960 г.) изоморфное функциональное представление коммутативного кольца с единицей сечениями пучка. С точки зрения пучковых представлений пучок можно понимать, во-первых, как обобщение конструкции алгебры С(Х) непрерывных функций на топологическом простанстве. Отличительной особенностью пучка (Р, X) при этом является то, что функции принимают значения не в одном объекте, а в различных алгебрах для различных точек из X. Во-вторых, пучковое представление алгебры А (более точно, факторное представление) можно понимать как подпрямое произведение алгебр Ах той же сигнатуры, что и у А, индексированных точками некоторого топологического пространства. На дизъюнктном объединении Ах вводится топология, естественным образом связанная с топологией на X и "связывающая"алгебры Ах в пучок.

Вслед за Гротендиком были построены другие пучковые конструкции и получены изоморфные представления. Отметим некоторые наиболее важные результаты и их авторов. 14. Ламбек [3] построил пучок (1965 г.), в коммутативном случае сопадающем с ограничением пучка Гротендика, а позже обобщил его для симметрических колец и модулей [3]. В 1900 г. И. Дауне п К. Хоффман [<1] дали изоморфное представление бирегз'лярного кольца не обязательно с единицей. Серия работ была связана с представлениями строго гармонических п гельфандовых колец (Кох, Малви, Хоффман, Сименс [5-8]). Большое число работ по этой тематике привело к концу 80-годов к появлению общих конструкций (компактность представлений, их полнота и др.), выявлению связей между различными функциональными представлениями, и, как следствие, оформлению теории пучковых представлений (колец) Серия результатов по представлениям были получены для ограниченных дистрибутивных решеток, почтп-колец, решеточно упорядоченных групп и колец, универсальных [9-11].

Наиболее важным представлением для наших исследований является представление, связанное с именем Пирса. В фундаментальной работе [12] Р. С. Пирсом построены пучки колец п .модулей на сгоуновском пространстве кольца. Любое кольцо изоморфно кольцу сечений своего пирсовского пучка, но нетривиальные представления получаются только для колец с «большой» булевой алгеброй центральных идемиотептов. При изучении таких колец (регулярных, бирегулярных, заменяемых и пр.) хорошо зарекомендовали методы с использованием свойств их пирсовских пучков [13, И]. К пример}', в работе Д. В. Тюкавкипа [15] пирсовскпй пучок используется при изучении регулярных колец с инволюцией.

Дальнейшее изучение пирсовского пучка и его применение осуществлено в работах В. Д. Беджеса и В. Стефенсона [3 3, 16, 17], в которых они ввели понятие пирсовской цепи. Идея этой конструкции следующая: центральным идемпотентам кольца при пирсовском представлении соответствуют глобальные сечения, принимающие в каждом слое пирсовского пучка либо ноль, либо единицу. Однако, в слоях могут быть нетривиальные наборы центральных идемпотентов, и, следовательно, возможно содержательное пирсовское представление слоев. Эта процедура «построения пирсовских слоев для ранее построенных пирсовских слоев» и приводит к пирсовской цепи идеалов. Авторами даются некоторые приложения этой конструкции.

На русском языке основы теории пучковых представлений колец изложены в монографии Е. М. Вечтомова [18]; элементы теории пирсовских цепей колец - в монографии А. А. Туганбаева [!')].

Главным объектом диссертации является полукольцо, именно для полуколец в дайной работе строится пирсовские представления, исследуются и применяются их пирсовские слои и пирсовские цепи.

Под полукольцом будем понимать алгебраическую систему, отличающуюся от ассоциативного кольца с 1, возможно, необратимостью операции сложения.

Впервые термин полукольцо возник в работах Г. С. Вандивера [20] в 1934г., однако, фактически полукольца использовались с конца 1ХХ века в вопросах аксиоматики натуральных и неотрицательных рациональных чисел.

С конца 80-х годов XX века повышенное внимание к полукольцам обуславливалось, помимо внутренних потребностей теории, многочисленными приложениями полуколец в других областях, таких как теория автоматов, оптимального управления, формальных языков, графов и некоторых других [21-24].

Полукольца оказались хорошим объектом для применения к их изучению пучков. Первые результаты по представлениям полуколец получены В.В. [24,25], теория пучковых представлений полуколец изложена в [20,27]. Функциональные представления полуколец и полутел рассматривались также Е. М. Вечтомовым [28], О. В. Старостиной [29], А. В. Чераневой [30], Р. Асаном и Р. Латифом [31].

Приступим к характеристике диссертации.

Целью данной работы является изучение свойств пирсовских слоев полуколец и построение па их основе теории пирсовских цепей полуколец.

Для достижения поставленных целей в диссертации решаются следующие общие задачи:

1. Выделить классы полуколец, допускающие нетривиальные пирсовские представления.

2. Исследовать свойства пирсовских слоев полуколец, получить характеризации полуколец свойствами пирсовских слоев.

3. Построить пирсовские цени конгруэнций полуколец и полумодулей, исследовать их свойства и применить к конкретным классам полуколец.

Научная новизна:

1. приведено прямое доказательство теоремы об изоморфизме функционального представления Пирса;

2. исследованы свойства пирсовской цепи конгруэнций полукольца;

3. исследованы полукольца в терминах пирсовских слоев, пирсовских цепей и/или пучковых представлений;

4. получены характеризации полуколец, близких к регулярным;

5. полученные для полуколец результаты перенесены на случаи полумодулей и полуколец с инволюцией;

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории полуколец, полумод_улей, а также в теориях пучковых представлений других алгебраических структур.

Апробация результатов работы. Основные результаты работы докладывались на:

1. Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения — Международная конференция, посвященная 190-летию И.М. Виноградова (Россия, Саратов, 2011г);

2. Современные проблемы алгебры и математической логики — Молодежная школа конференция (Россия, Казань, 2011г);

3. Современные проблемы математики — Международная (43-я всероссийская) молодежная школа-конференция (Россия, Екатеринбург, 2012г);

4. Алгебра и линейная оптимизация — Международная конференция, посвященная 100-летию С.Н. Черникова (Россия, Екатеринбург, 2012г);

5. International Conference on Algebra, dedicated to the 100th anniversary of S.M. Shernicov (Украина, Киев, 2012г);

6. Современные проблемы математики — Международная (44-я всероссийская) молодежная школа-конференция (Россия, Екатеринбург, 2013г);

7. Лобачевские чтения — 12-я молодежная научная школа-конференция (Россия, Казань, 2013г);

8. Современные проблемы математики — Международная (45-я всероссийская) молодежная школа-конференция, посвященная 75-летию В.И Бердышева (Россия, Екатеринбург, 2014г);

9. Алгебра и математическая логика: теория и приложения — международная конференция (Россия, Казань, 2014г);

10. Тенденции и перспективы развития математического образования — XXXIII Международный научный семинар преподавателей математики и информатики университетов и педагогических вузов (Россия, Киров, 2014г).

Публикации. Основные результаты но теме диссертации изложены в 15 печатных изданиях, 2 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 10 — в тезисах докладов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. Полный объем диссертации 84 страницы текста. Список литературы содержит 58 наименований.

Краткое изложение результатов диссертации.

Глава I.

Первый параграф является вводным, в нём определяется основной объект исследования — полукольцо:

Определение 1.1 Непустое множество Б с бинарными операциями + и ■ называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:

1. (Б. +) — коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;

2. (Б. • ) — полугруппа с нейтральным элементом 1;

/У. Умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон;

4- Оя, = 0 = а0 для любого а, 6 Б,

а также его необходимые элементы: идемпотенты, дополняемые идемпотенты; идеалы, главные идеалы. Здесь же доказываются некоторые свойства идемпотептов.

Предложение 1.1 Дополнение ех к центральному дополняемому идемпогпенту е является центральным дополняемым идемпотентом и задается однозначно.

Во втором параграфе определяются регулярная и пирсовская конгруэнции, доказывается корректность их определений.

Определение 1.9 Идеал А полукольца Б назовем регулярным, если он порожден некоторым множеством централысых дополняемых идемпотентов.

Пусть А — регулярный идеал.

Введем отношение Од на полукольце Б такое, тпо а = Ь{9а) «е1 = Ьех для некоторого дополняемого идемпотеита с; 6 А.

Предложение 1.2 Отношение 0А является конгруэнцией.

Далее доказывается, что дополняемые идемпотенты полукольца образуют булево кольцо, множество максимальных идемпотентов которого является нульмерным компактом и называется ппрсовским спектром.

Определение 1.13 Обозначим "через BS множество всех центральных дополняемых идемпотентов.

Определение 1.14 Пусть MaxBS — мноо/сество всех максимальных идеалов булева кольца BS. Если регулярный идеал А полукольца S порождается некоторым M £ MaxBS, то А-регулярную конгруэнцию 6д назовем конгруэнцией Пирса и обозначил1 5м-

Мноэюество (В S, ©, •) с введенной операцией сложения е©/ = е f±+eA-J' и полукольцевым ултоо/сением образует булево кольцо.

Определим открытые множества на MaxBS следующим образом: D(Â) = {M Е MaxBS : А M} для любого идеала А кольца BS.

Предложение 1.4 [27] Топологическое пространство MaxBS является нульмерным компактом с базисом открытых множеств вида D(e).

Все перечисленные результаты используются в третьем параграфе для определения пир-совского пучка.

Третий параграф посвящен определению и описанию структуры пирсовского пучка полуколец. Вначале вводится общее определение функционального пучка полуколец.

Определение 1.21 Тройка (Р, Т\,Х) называется пучком полуколец, если выполняются следующие условия:

1. X и Р — топологические пространства;

2. тг : Р —> X — локальный гомеоморфизм;

3. Для каждой точки х G X множество Рх — тг~1(х) является полукольцом;

4- Полукольцевые операции непрерывны;

5. Отображения Oui, ставящие као/сдой точке х е X соответственно ноль 0Х и единицу 1Х полукольца Рх, непрерывны.

Поясняются термины: базисное, накрывающее пространство, слой пучка, глобальное сечение пучка. Очевидное следствие определения пучка полуколец: множество всех глобальных сечений пучка полуколец — полукольцо гобальных сечений.

Далее па основе введенных определений показана корректность определения пирсовского пучка.

Дизъюнктное объединение P(S) = Ù{S/5m '■ M G MaxBS} над топологическим пространством MaxBS является пучком полуколец. Он называется пирсовским пучком полуколец.

Для каждого M G MaxBS полукольцо S/5м называется пирсовским слоем пучка P(S) в точке M.

Для примера, а также с целыо использования в последующих доказательствах приводятся определения пучков Ламбека и Корниша.

Затем формулируется и доказывается основная теорема параграфа. Теорема об изоморфизме функционального представления Пирса:

Теорема 1.1 [25,27] Для любого полукольца S отображение а : S —» Г(P(S), MaxBS), а{а) = а является функциональным представлением и изоморфизмом междгу S и полукольцом всех глобальных сечений его пирсовского пучка.

Для функциональных представлений Ламбека и Корниша формулируется аналогичный результат.

В ряде случаев пучки Ламбека, Пирса и Корниша для одного и того же полукольца могут совпадать:

Свойство 1.2 Пирсовский пучок (P(S), Max BS), пучок Корниша (K(S), Max S) и пучок Ламбека (L(S), Max S) полукольца S совпадают тогда и только тогда, когда максимальные идеалы из S разделяются центральными дополняемыми идемпотентами, т. с. для любых M ф N G Max S найдется такой е G BS, что с G M \ N.

Глава II.

Первый параграф содержит доказательства свойств, необходимых для характеризации конкретных классов полуколец.

Предложение 2.1 Пусть А — собственный регулярный идеал, р — А-регулярная конгруэнция, h : S S/р — естественный гомоморфизм.

1. Если S/p не является пирсовским слоем полукольца S, то существует такой центральный дополняемый идемпотент е G S, что выполняются условия:

A^A + eS^S, Л С A + e±S ф S, S = (Л + eS) + (Л + ех5), А = (А + eS)(A + e±S) = (Л + exS)(A + eS) - (Л + eS) П (Л +

h(S) h(eS) © hi^S).

2. Если S/p — пирсовский слой полукольца Sue — дополняемый идемпотент в S, то либо е G А, либо е1 G Л.

S. Если полукольцо S/p неразложимо, то S/p — пирсовский слой полукольца S.

4■ Любой идемпотенгп ё G S/p поднимается по модулю конгруэнции р.

5. Произвольное конечное множество ортогональных идемпотентов ё\,...,ёп полукольца S/p поднимается до некоторого мпоэ/сества е1,...,еп ортогональных идемпотентов полукольца S.

6. Произвольное счетное множество ортогональных идемпотентов {ëï}?^ полукольца S/p поднимается до некоторого счетного множества {е*}^j ортогональных идемпотентов полукольца S.

Следующее утверждение показывает, что некоторые «хорошо записываемые свойства» поднимаются с пирсовских слоев до исходного полукольца. Предложение является естественным полукольцевым аналогом результата Пирса [12, prop. 3.4].

Предложение 2.2 Пусть (P{S),Max S) — пирсовский пучок полукольца S, /,g -многочлены с целыми неотрицательными коэффициентами от некоммутирующих пере-мениых Xi,... ,xn,yi,... ,ут (п ^ 0, m ^ 0), и ai,..., ап — произвольные элементы из S. Если условие

(3 (h,...,pmeS/PM)

f(âu..., ân, Pi,.. .,/Зт)(М) = g(â i,... , ân. ft,... , 0m)(M)

выполнено в каждом пирсовском слое S/рм полукольца S, то для некоторых bi,..., bm G S верно

¡{ai,..., an, b\,... ,bm) = g(au ... ,a„,6b ... ,6m).

Расширения этого свойства на случай пирсовской цепи и дополнительных условий представлено в следующей главе (теорема 3.1); применение — в следующем параграфе.

Второй параграф описывает применение методов и свойств пирсовских слоев к харак-теризацпи некоторых классов полуколец.

Определение 2.5 Полукольцо S называется симметрическим (слабо симметрическим), если для любых a,b,c,d G S выполняется abc = abd <=> acb = adb (bc — bd 4=> cb = db).

Определение 2.7 Полукольцо S называется регулярным, если разрешимо уравнение axa — а для любого a G S; полукольцом с делением, если любой ненулевой элемент из S обратим.

Предложение 2.3 Для полукольца Б равносильны условия:

1. Б — регуляруюе слабо симметрическое полукольцо, каждый идслтотент которого является центральным дополняемым идемпотентом;

2. все пирсовские слои полукольца Б являются полукольцами с делением.

Определение 2.10 Полукольцо Б называется агр-полуколъцом, если Б ~ абелево регулярное положительное полукольцо; агр-полукольцо называется булевым, если каэюдый его идемпотеит является дополняемъш идемпотентом.

Определение 2.4 Для полукольца Б равносильны условия:

1. Б — булево полукольцо;

2. все пирсовские слои полукольца Б являются полутелами.

Определение 2.3 Полукольцо, в котором а11 = 0 влечет а = 0, назовем полукольцом без нильпотентных элементов.

Предложение 2.5 Для полукольца Б равносильны следующие условия:

1. Б — полукольцо без нильпотентных элементов;

2. все пирсовские слои полукольца Б — полукольца без нильпотентных элементов.

Определение 2.12 Полукольцо Б называется бирегулярным, если каждый главный идеал из Б порождается центральным дополняемым идемпотентом.

Определение 2.13 Полукольцо Б называется простым, если нулевой идеал является наибольшим собственным идеалом в Б.

Предложение 2.С Полукольцо Б бирегуляр'но тогда и только тогда, когда все пирсовские слои полукольца Б — простые полукольца.

Предложение 2.7 Для полукольца Б равносильны условия:

1. Б — бирегулярпое полукольцо без нильпотентных элементов;

2. все пирсовские слои полукольца Б — простые полукольца без делителей нуля.

Определение 2.14 Полукольцо Б назовем заменяемым справа, если для любых а,Ъ € Б, таких, что а + Ь = 1, найдется такой дополняемый идемпотент е, что е £ аБ, е± € ЬБ.

Определение 2.15 Полукольцо Б называется строго гармоническим, если для различных лшксималъных идеалов М и N из Б найдутся такие элементы т € М \ N и ??-6 N \ М, что тБп = 0.

Определение 2.9 Полукольцо называется абелевым, если каэ/сдый его идемпотеит централе} t.

Предложение 2.8

1. Для произвольного строго гармонического полукольца S совпадают пучки Ламбека и Корниша па Max S.

2. Для произвольного абелева заменяелюго справа полукольца S совпадают пучки Ламбека, Корниша на Max S и пучок Пирса.

Во всех указанных случаях соответствующие представления полуколец являются изоморфными.

Предложение 2.9 Для полукольца S равносильны условия:

1. као/сдый элемент из S является центральным дополняемьш идемпопгентом;

2. все пирсовские слои полукольца S двухэлементны.

Предложение 2.10 Для полукольца S равносильны условия:

1. S — абелево полукольцо;

2. для каэюдого собственного регулярного идеала Л полукольцо SjpA абелево, где рА — Л-регулярная конгруэнция;

3. все пирсовские слои полукольца S — абелевы полукольца.

Эти п некоторые другие свойства иллюстрируют широкое применение пучковых методов к полукольцам. В некоторых из перечисленных свойств, например, в доказательстве свойства абелевых полуколец, используются только алгебраические свойства пучка. В других — топологические методы.

Глава III.

В первом параграфе определяется пирсовская цепь конгруэнции полукольца, доказываются простейшие свойства пирсовской цепи:

Далее доказывается основная теорема о переносе свойств по слоям пирсовкой цепи:

Теорема 3.1 о многочленах Пусть S — полукольцо, ai,... ,ат € S,fi,gi (i = 1 ... k) — многочлены с целыми неотрицательными коэффициентами от некомлгутируюгцих переменных :;;ь ... ,:г;т,Уь • • • ,Уп- Через hp : S —> S/p обозначиль естественный эпиморфизм. Равносильны условия:

1. /¿(о,],..., пт, ьп) — <7 ¿(аь..., ат, Ьь ... ,Ъп), г — 1... к для некоторых Ъ\,...,Ъп £

2 — 5. для ка'лсдого факторполуколъца, пирсовского слоя, неразложимого факторполу-колъца, пп-фактора 5/р существуют такие Ь\,... ,Ьп € Б/р, что справедливы равенства:

и(Ь.р(а 0,.... Н0{ат)лЬи . . . ,Ьп) = &(/гр(а1),...,/гр(ат),6 ь ... ,£>„)

где г = 1... к.

Смысл теоремы заключается в переносе свойств полуколец, удовлетворяющих условиям, от факторов полукольца по конгруэнциям пирсовской цепи к исходным полукольцам.

Второй параграф показывает способы применения теоремы из предыдущего параграфа для некоторых классов полуколец:

Теорема 3.2 Для полукольца 5 равносильны условия:

1. Б — заменяелюе справа полукольцо;

2. все пирсовские слои полукольца 5" — заменяемые справа полукольца;

3. все тг-факторы для Б — заменяемые справа полукольца.

Теорема 3.3 Для полукольца 5 равносильны условия:

1. 5 — правое полукольцо Безу;

2. Все пирсовские слои полукольца 5 — правые полукольца Безу;

3. Все неразлоясимые фткторполукольца полукольца Б — правые полукольца Безу;

4■ Все гт-факт.оры для 5 — правые полукольца Безу.

Третий и четвертый параграфы третьей главы повествуют о способах переноса структур пирсовских слоев и пирсовских цепей на другие объекты. В качестве примера объектов взяты полукольца с инволюцией и полумодули.

Определение 3.5 Полукольцо Б называется полукольцом с инволюцией, если в нел1 введена унарная операция * так, что выполнены следующие условия:

1. (о -I- Ь)* = а' + Ь*;

2. {а'У = а;

3. (аЬУ = Ъ* а*;

для всех а, Ь 6 5*.

Определение 3.10 Коммутативная полугруппа (Л,+,0) называется правым полумодулем над полукольцом 5 (или 5-полумодулем), если задано умножение справа элементов а Е А па элементы в Е 5, обозначаемое аз, и при этом для любых а,Ь Е Е 5 выполняются условия:

1. а(я£) = (ав)Ь,

2. (а + Ь)ь- — а я + Ьз,

3. а(в + ¿) = аэ + а£,

4■ а • 1 = а,

5. 0 • в = а • 0 = 0.

Перечисленные в главе 3 примеры иллюстрируют возможность переноса пирсовских слоев и цепей на другие стрз'ктуры, показывая, что ппрсовский слон и пирсовская цепь могут рассматриваться не только для изучения колец и полуколец, но и как универсальный инструмент исследования различных объектов, па которых могут быть определены центральные (дополняемые) идемпотенты.

Определение 3.25 Полумодуль А$ называется правым полумодулем Везу, если каждый конечно порожденный подполумодуль из Л^ циклический.

Теорема 3.9 Для правого полумодуля Аз равносильны условия:

1. Л5 — правый полумодуль Безу;

2. Все пирсовские слои полумодуля Л^ — правые полумодули Безу;

3. Все строго неразлооюимые фактор-полумодули полумодуля Л$ — правые полумодули Безу.

Результаты диссертации опубликованы в пяти научных журналах.

Материалы в изданиях из перечня ВАК:

— [43] Р.В.Марков. Пирсовское представление полуколец с инволюцией // Изв. вузов. Матем. - 2014. - Т. 4. - С. 18-24.

— [44] Р.В.Марков, В.В.Чермных. О пирсовских слоях полуколец // Фундамент, и прикл. матем. - 2014. - Т. 19:2. - С. 171-186.

Материалы в других изданиях:

— [45] Р.В.Марков, В.В.Чермных. Пирсовские цепи полуколец // Вестник Сыктывкарского университета. - 2013. - Т. 14. — С. 88-103.

— [46] Р.В.Марков. Пирсовские цепи полумодулей // Матем. вестн. педвузов и университетов Волго-Вятского региона. — 2014. — Т. 15. — С. 109-121.

— [47| Р.В.Марков. Хорновские формулы и пирсовские цепи полуколец // Чебышевский сб. - 2014. - Т. 14:4. - С. 159-166.

Автор благодарит научного руководителя, д.ф-м п., профессора Чермных Василия Владимировича за неоценимую помощь в написании данной работы.

Глава 1

ПИРСОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУКОЛЕЦ

1.1 Основные определения: полукольцо, идемпотенты, идеалы

Определение 1.1. Непустое множество 5 с бинарными операциями + и ■ называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:

1. (Ь\ +) — коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;

2. {8, • ) — полугруппа с нейтральным элементом 1;

3. Умпоэ/сеиие дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон; 0а = 0 = аО для любого а £ 5\

Определение 1.2. Элемент е полукольца Б называется мультипликативным идем-потснтом, если е ■ е — е.

Определение 1.3. Мультипликативный идемпогпент е полукольца Б называегпся цен-тралъ'ным дополняемым идемпотентом, если:

1. е — центральный: (Ух £ Б)(ех = хе);

2. е — дополняемый: (Зех 6 5)(е + е1- — ^ее1- — 0).

Предложение 1.1. Дополнение в1 к центральному дополняемому идемпотенту е является центральным дополняемым иделтотентол1 и задается од^юзначно.

Доказательство. Во-первых,

е-1 = е±{е + е1) = ехе + е±2 = е^2. Поскольку е — центральный идемпотент, то е1хе = 0 — ехсх. Поэтому

ехх = ехх(е + е-1) = е±хе + e±xeJ' = = е^хе1 + 0 = е1хе± + exe± = (е-1 + e)xcL = хех

для любого X е S.

По определению центрального дополняемого идемпотента, е — дополнение к е1. Пусть е' также дополнение к е. Тогда

е1 = е-(е + ё) = е~ё = ее' + е±ё = (е + е±)е' = ё.

Предложение доказано.

□

Определение 1.4. Непустое подмножество I полукольца S называется левым идеалом полукольца S, если для любых элементов a,b Е I,s Е S элементы а + Ь и sa принадлежат I. Симметричным образом определяется правый идеал. Непустое подмнооюество, являющееся одновременно левым и правым идеалом, называется двусторонним идеалом или просто идеалом полукольца S.

Примерами идеалов являются следующие подмножества: {0} — пулевой идеал и S — идеал, совпадающий со всем полукольцом, — тривиальные идеалы, присутствующие в любом полукольце. Заметим, что 0 содержится в любом идеале в силу аксиомы 4 из определения 1.1 полукольца.

Определение 1.5. Идеал, отличный от полукольца S, называется собственным. Очевидно, любой (левый) идеал I является собственным тогда и только тогда, когда I не содерэ/сит обратимых элементов.

Определение 1.6. Наименьший из всех (левых) идеалов, содержащих элемент п 6 S, называется (левыл<.) главным идеалом, пороэюденным элементом а. Будем обозначать его (а) или SaS; односторонние главные идеалы — Sa и aS — левый и правый соответственно.

Поскольку а £ (а), то идеалу (а) будут принадлежать элементы sat для произвольных s, íe5ii их всевозможные конечные суммы. Несложно убедиться, что такие элементы будут образовывать идеал, и значит, главный идеал (а) будет в точности совпадать с множеством {J^ sai : s, L 6 S} всевозможных конечных сумм. Строение односторонних главных идеалов еще проще. Сумма элементов ¿^а и s2a будет элементом такого же вида sa. = (sj + S2)a и поэтому Sa = {sa : s € S}. Аналогично для правого главного идеала.

Определение 1.7. Собственный двусторонний идеал Р полукольца S называется первичным, если АВ С Р влечет А С Р или ВСЯ для любых идеалов А и В.

Определение 1.8. Собственный идеал М полукольца S называется максимальным идеалом, если М С А влечет М = А для каждого идеала А.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Марков, Роман Владимирович, 2015 год

Литература

1. Р.Годемаи. Алгебраическая топология и теория пучков. — М.: Ип. лит., 1961.

2. A.Grothcndieck, J.Dieudonne. Elements de Geometric Algebrique 1. — Paris, I.H.E.S., 1960.

3. J.Lambec. On representation of modules by sheaves of factor modules // Can. Math. Bui P.

- 1971. - Vol. 14. - Pp. 359-368.

4. J.Dauns, K.H.Hofmann. The representation of biregular rings by sheaves // Math. Z. — 1966.

- Vol. 91. - Pp. 103-123.

5. K.Koh. On a representation strongly harmonic ring by sheaves // Pacif. J. Math. — 1972. — Vol. 41, no. 2. - Pp. 459-468.

6. C.J.Mulvey. A generalization of Gelfand duality // J.Algebra. — 1979. — Vol. 56, no. 2. — Pp. 499-505.

7. K.H.Hofmann. Representations of algebras by continuous sections // Bull. Amer. Math. Soc.

- 1972. - Vol. 78, no. 3. - Pp. 291-373.

8. II.Simmons. Sheaf representation of strongly harmonic rings // Proc. Roy Soc. — 1985. — Vol. A99, no. 3-4. - Pp. 249-268.

9. K.Keimel. The representation of lattice ordered groups and rings by sections in sheaves // Led. Notes Math. - 1971. - Vol. 248. - Pp. 2-96.

10. G.Szeto. The sheaf representation of near-rings and its applications // Comm. Algebra. — 1977. - Vol. 5. - Pp. 773-782.

11. G.Georgescu. Pierce representations of distributive lattices // Kobe J. Math. — 1993. — Vol. 10. - Pp. 1-11.

12. R.S.Pierce. Modules over commutative regular rings // Mem. Amer. Math. Soc. — 1967. — Vol. 70. - Pp. 1-112.

13. W.D.Burgess, W.Stephenson. An analogue of the Pierce sheaf for non-commutative rings // Comm. Algebra. - 1978. - Vol. 6. - Pp. 863-886.

14. S.D. Comer. Representation by algebras of sections over Boolean spaces // Pacific. Math. — 1971. - Vol. 38. - Pp. 29-38.

15. Д.В.Тюкавкии. Пирсовскпе пучки для колец с инволюцией. — М.: МГУ, 1982.

16. W.D.Burgess, W.Stephenson. Pierce sheaves of non-commutative rings // Comm. Algebra. — 1976. - Vol. 39. - Pp. 512-526.

17. W.D.Burgess, W.Stephenson. Rings all of whose Pierce stalks are local // Canad. Math. Bull.

1979. - Vol. 22. - Pp. 159-164.

18. Е.М.Вечгполюв. Функциональные представления колец. — М.: Изд-во МПГУ, 1993.

19. А.А.Туганбаев. Теория колец. Арифметические модули и кольца. — М.: МЦНМО, 2009.

20. H.S. Vandiver. Note on a simple type of algebra in which the cancellation law of addition does not hold // Bull. Amer.Math. Soc. - 1934. - Vol. 40. - Pp. 914-920.

21. Е.М.Вечтомов. Введение в полукольца. — Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 2000.

22. J.S.Golan. Semirings and Their Applications. — KluwerAcad. Publ., 1999.

23. B.B. Черлтых. Полукольца. — Киров: Вятский гос. пед.университет, 1997.

24. В.В. 11ерлтых. Представления положительных полуколец сечениями // УММ. — 1992. — Vol. 47, по. 5. - Pp. 193-194.

25. B.B. Чермных. Пучковые представления полуколец // Успехи мат. наук. -- 1993. — Т. 48. - С. 185-186.

26. В.В. Черлтых. Функциональные представления полуколец и полумодулей: Дис. ... д-ра физ-мат. наук. — Екатеринбург: МММ УрО РАН, 2007.

27. В.В. Т1ермных. Функциональные представления полуколец // Фундалгент. и прикл. машем. - 2012. - Т. 17. - С. 111-227.

28. Е.М.Вечгполюв, А.В.Михалев, В.В. Чермных. Абелево регулярные положительные полукольца // Труды семинара им. И.Г.Петровского. -— 1997. — Т. 20. — С. 282-309.

29. О.В.Старостина. Строение абелево-регулярных положительных полуколец // Чебышевский сборник. — 2005. — Vol. 6, по. 4. — Pp. 142-151.

30. Е.М.Вечтомов, А.В.Т1ернаева. Полутела с образующей // Вестник удмуртского университета. — 2009. — Vol. 3. — Pp. 25-33.

31. J.Ahsan, R.Latif. Representations of weakly regular semirings by sections in a presheaf // Comm. Algebra. - - 1993. - Vol. 21, no. 8. - Pp. 2819-2835.

32. К.И.Бейдар, А.В.Михалев. Ортогональная полнота и алгебраические системы // Успехи мат. наук. — 1985. — Т. 40. — С. 79-115.

33. Элементарная топология / О.Я.Виро, О.А.Иванов, Н.Ю.Пецветаев, В.М.Харламов. — Москва, МЦН.МО, 2010.

34. Дж. Колли. Общая топология. — М.: Наука, 1968.

35. Г.Вредон. Теория пучков. — М.: Наука, 1988.

36. W.H.Cornish. 0—ideals, congruences and sheaf representations of distributive lattices // Rev. Roum. Math. Pures Appl. - 1977. - Vol. 22. - Pp. 200-215.

37. B.B. Т1ермных. О полном пучковом представлении полуколец // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. — 2005. — Т. 3. — С. 163-165.

38. K.Koh. On functional representations of ring without nilpotent elements // Canad. Math. Buh. - 1971. - Vol. 14. - Pp. 349-352.

39. A.B.Carson. Representation of regular rinds of finite index // ,J. Algebra. — 1976. — Vol. 39.

- Pp. 512-526.

40. B.A.Davey. Sheaf spaces and sheaves of universal algebras // Math. Z. — 1973. — Vol. 134.

- Pp. 275-290.

41. S.Telernan. Representation par faisceaux des modules surles anneaux harmoniques // C.r.Acad.Sci. - 1969. - Vol. 17. - Pp. 753-756.

42. Л. А. Скорняков. Общая алгебра. Том 1. — М.: Наука, 1990.

43. Р.В.Марков. Пирсовское представление полуколец с инволюцией // Изв. вузов. Матем.

- 2014. - Т. 4. - С. 18-24.

44. Р.В.Марков, B.B. Черлтых. О пирсовских слоях полуколец // Фундамент, и прикл. машем. - 2014. - Т. 19:2. - С. 171-186.

45. Р.В.Марков, В.В.Т1ермных. Пирсовские цепи полуколец // Вестник Сыктывкарского университета. — 2013. — Т. 14. — С. 88-103.

46. Р.В.Марков. Пирсовские цепи полумодулей // Матем. вести, педвузов и университетов Волго-Вятского региона. — 2014. — Т. 15. — С. 109-121.

47. Р.В.Марков. Хорновские формулы и пирсовские цепи полуколец // Чебышевский сб. — 2014. - Т. 14:4. - С. 159-166.

48. Р.В.Марков, В.В.Т1ермных. Полукольца, близкие к регулярным и их пирсовские слои // Труды МММ УрО РАН. - 2015. - Т. 21. - С. ?

Тезисы докладов на конференциях

49. Р.В.Марков, В.В. Черлтых. О пирсовских цепях полуколец // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: тез. докл. VIII Междунар. конф., посвященной 190-летшо И.М. Виноградова (Саратов, 12 - 17 сентября 2011 г.). - Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2011. - С. 47-48

50. Р. В.Марков. О пирсовских слоях полуколец // Алгебра и математическая логика: материалы международной конференции, посвященной 100-лстшо со дня рождения профессора В.В. Морозова, и молодежной школы конференции «Современные проблемы алгебры и математической логики»; Казань, 25 - 30 сентября 2011. - Казань : КФУ, 2011. - С. 130-132

51. Р.В.Марков. О пирсовских цепях полумодулей // Современные проблемы математики: тезисы Международной (43-й Всероссийской) молодежной школы-конференции. -Екатеринбург : ИММ УРО РАН, 2012. - С. 61-62

52. Р.В.Марков, В.В. Черлтых. Пирсовское представление полуколец с инволюцией // Алгебра и линейная оптимизация: Тезисы Международной конференции «Алгебра и линейная оптимизация», посвященная ЮО-ленпо С.Н. Черникова, 14-19 мая 2012 г. -Екатеринбург : издательство «УМЦ-УПИ», 2012. - С. 108-111

53. Р.В.Марков. On characterization of regular semirings by Pierce chains // Book of abstracts of the "International Conference on Algebra", dedicated to the 100th anniversary of S.M. Shernikov - Kyiv : 1нстптут математики HAU Укра'ши, 2012. - P. 91

54. Р.В.Марков. О пирсовских цепях полуколец с инволюцией // Современные проблемы математики: тезисы Международной (44-й Всероссийской) молодежной школы-конференции. - Екатеринбург : ИММ УРО РАН, 2013. - С. 46-48

55. Р.В.Марков. О пирсовских цепях полумодулей // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского: Материалы двенадцатой молодежной научной школы-конференцип «Лобачевские чтения - 2013» (Казань, 24-29 октября, 2013г.). - Казань: Казан, ун-т, 2013. - Т. 47. - С. 114-116

56. Р.В.Марков. Некоторые применения пирсовских цепей полуколец // Современные проблемы математики и ее приложений: труды 45-й Международной молодежной школы-конференции, посвященной 75-летию В.И Бердышева. - Екатеринбург : ИММ УРО РАН, 2014. - С. 32-35

57. Р.В.Марков. Применение пирсовских цепей полуколец // Алгебра и математическая логика: теория и приложения: Материалы международной конференции 2-6 июня 2014 - Казань : КФУ, 2014. - С. 103

58. Р.В.Марков. О пирсовских слоях полуколец // Тенденции и перспективы развития математического образования: Материалы XXXIII Международного научного семинара преподавателей математики и информатики университетов и педагогических вузов -Киров ВятГГУ, 2014. - С. 210