Плюригармонический анализ Фурье и теория функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Дубцов, Евгений Сергеевич

• Дубцов, Евгений Сергеевич
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Дубцов, Евгений Сергеевич

Введение

Основные обозначения и определения

Работы автора по теме диссертации

Глава 1. Плюригармонический анализ мер

1.1. Меры Хенкина

1.2. Плюригармонические меры и сингулярные множества

1.3. Плюригармонические произведения Рисса

1.4. Ь2-обобщенные произведения Рисса

1.5. Ь°°-обобщенные произведения Рисса

1.6. Ь2-допустимые мажоранты

1.7. Большие размерности

1.8. Многомерная теорема Ивашева-Мусатова

1.9. Сверточные степени срез-мер

Глава 2. Гладкие меры и их интегралы Пуассона

2.1. Гладкие меры на сфере

2.2. Меры Зигмунда и симметричные меры

2.3. Кубы и параллелепипеды

2.4. Гармонические продолжения

2.5. Критическая скорость убывания

Глава 3. Факторизация и задачи теории функций

3.1. Факторизационная теорема для класса Неванлинны

3.2. Ограниченные функции из малого пространства Блоха

3.3. Внутренние функции из малого пространства Блоха

3.4. Исправленные внешние функции и пространства Бесова

3.5. Слабо внешние внутренние функции

3.6. Циклические функции и теорема о короне

3.7. Слабо внешние функции с предписанным модулем

3.8. Операторы композиции и обратный сдвиг Лейбензона

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Плюригармонический анализ Фурье и теория функций»

Настоящая работа в первую очередь посвящена исследованию функций и мер, заданных на единичной комплексной сфере

5 = 5„ = {СеС" : |С| = 1}, п > 2.

Отметим, что сфера является однородным пространством, а именно, 5 = и(п)/и(п — 1), где Ы{п) обозначает группу всех унитарных операторов на гильбертовом пространстве С".

Задачи гармонического анализа. Общие конструкции абстрактного гармонического анализа могут быть явно реализованы на сфере 5 в терминах пространств Н(р,д), (р,я) Е

Определение. Зафиксируем размерность п. Векторное пространство Н{р, д) по определению состоит из однородных гармонических многочленов бистепени (р, д) £ Это означает, что рассматриваемые полиномы имеют степень р по переменным 22,., гп, степень д по переменным 21,¿2,., гп и общую степень р + Тот же символ будет использоваться для сужения Н(р, </) на сферу 5.

Часто Н(р, д) называют пространством комплексных сферических гармоник.

Обозначим символом а нормированную меру Лебега на сфере. Отметим, что ь\а)= е Н(р,д).

Особенности гармонического анализа на 5 удачно иллюстрирует следующее правило умножения для пространств Н(р,д): если / £ Н(р,д) и д £ Н(г, в), то произведение /д принадлежит сумме ь е=о где Ь = гшп(р, в) + тт(д, г). Доказательства сформулированных фактов и дальнейшие сведения о комплексных сферических гармониках изложены в главе 12 монографии [17].

Обозначим символом М(£) пространство всех комплексных регулярных борелевских мер на сфере 5. Пусть Крд(г,£) — воспроизводящее ядро для пространства Н(р,д) С Ь2(сг). Тогда многочлен

М*) = { кр*(*> 0 МО (* € называют Н(р, (^-проекцией меры // е М(5). Обозначение зрес(ц) используется для спектра меры /х £ М(5) в терминах комплексных сферических гармоник. А именно, по определению полагаем эрес(^) = {(р, д) € 7?+ : Црд{г) ^ О, 2 е 5} .

Если п = 1 (одномерный случай), то многие пространства Н(р,д) являются тривиальными: Н(р, д) = {0} при рд ф 0. Далее, в этом случае имеет место равенство Кро(г,£) = поэтому многочлены /хро непосредственно выражаются через коэффициенты Фурье: //ро(>г) = /г(р)г? для р £ г+, 2 € Т = {С € С : |С| = 1}.

Всюду ниже будем отождествлять функцию / £ и меру /сг £

М(5). Таким образом, изложенные выше определения распространяются на функции из пространства Ь1{Е>).

В первой главе диссертации решаются задачи гармонического анализа, мотивированные изучением общего принципа неопределенности и поиском количественных границ применимости данного принципа. А именно, вводится и исследуется понятие сингулярного спектрального множества (разделы 1.1-1.2). При этом естественно возникает вопрос о построении С^-плюригармонических сингулярных мер. Соответствующая задача и ее обобщения, связанные с классической теоремой Ивашева-Мусатова, решаются с помощью плюригармонических произведений Рисса (разделы 1.3-1.9).

Вторая глава практически целиком посвящена изучению влияния свойств меры на свойства ее интеграла Пуассона и наоборот. Конкретные исследуемые свойства таковы: ограничения на модуль непрерывности (раздел 2.1), свойство Зигмунда и симметричность (разделы 2.2-2.5).

Задачи теории функций. Во многих случаях конкретный выбор рассматриваемых вопросов гармонического анализа обусловлен задачами теории функций в единичном комплексном шаре в = Вп = {С е сп : 1С1 < 1}, П> 2.

Классическим примером подобного взаимодействия гармонического анализа и теории функций может служить взаимопроникновение анализа Фурье на единичной окружности Т и теории функций в единичном круге Р = {( 6 С : |£| < 1}. Соответствующие одномерные результаты часто мотивируют многомерные задачи, исследуемые в главе 3.

В третьей главе собраны приложения, которые в первую очередь обусловлены поиском правильных аналогов теоремы о канонической факторизации. Изучаются следующие случаи: классы Неванлинны и Смирнова в шаре (раздел 3.1), малое пространство Блоха в шаре (разделы 3.2-3.3), аналитические пространства Бесова в круге (раздел 3.4). Дальнейшее развитие данной темы связано с задачами о (слабо) внешних функциях и циклических векторах (разделы 3.5-3.7). Несколько обособленный вопрос об операторах композиции рассмотрен в разделе 3.8.

Компактные операторы Ганкеля. Также отметим, что связующим элементом между вопросами, рассматриваемыми в диссертации, оказывается свойство компактности для операторов типа Ганкеля.

Зафиксируем множество (спектр) Л С и положим

4(5) = {/€ Ь2(5) : 8Рес(/)СА}.

Рассмотрим ортогональный проектор К\ : -£>2(£) —> £д(5) (проектор Коши-Сегё).

Каждая функция (символ) <р £ Ь°°(5) порождает Л-спектральный оператор типа Ганкеля (кратко, А-оператор Ганкеля) Н\}1р : Ь2(8) —> 1^2(5) с помощью формулы

НаМ = <рКл№ - Ккш

Определение. Спектр Л С обладает свойством компактного оператора Ганкеля (кратко, Л Е (КГ)), если преобразование Н\г(р сохраняет пространство С (Б) и оператор Н\>1р : С(5) С(5) компактен для каждого многочлена <р на сфере 5.

Сформулированное свойство оказывается решающим при изучении мер Хенкина (раздел 1.1), а также при построении и исследовании плю-ригармонических произведений Рисса (разделы 1.3-1.9 и 3.3) и подобных объектов (см., например, раздел 3.2). Наконец, Л'.Г-свойство позволяет доказать факторизационную теорему для класса Неванлинны в шаре (раздел 3.1).

Чтобы немедленно получить иллюстрацию применения подобного свойства компактности рассмотрим правильные тройки, введенные А.Б. Александровым в статье [2]. Здесь уместно отметить, что рассуждения из работы [2] служат отправной точкой для конструкции плюригармонического произведения Рисса.

Правильные тройки и тугие подпространства. Пусть К — се-парабельное топологическое компактное пространство и // — конечная положительная регулярная борелевская мера на К. В пространстве непрерывных функций С (К) зафиксируем подпространство X. Всюду ниже символом <р будем обозначать произвольную строго положительную непрерывную функцию на К. Положим по определению

Определение. Тройка (Х,К,ц) называется правильной, если выполнено одно из следующих эквивалентных свойств:

П1) Существует число т > 0 такое, что для всех ср выполнена оценка

П2) Для каждой функции (р и любого числа е > 0 существует функция / 6 X такая, что < <р всюду и /х{|/| ф (р] < £.

Далее, напомним, что в работе [43] Б. Коул и Т. Гамелин ввели весьма близкое к КГ-свойству понятие тугого (tight) пространства. Исследование строго тугих пространств было начато С. Сакконе в статье [84] (см. также обзоры [85] и [54]). По определению замкнутое подпространство X С С (К) называется строго тугим, если обобщенный оператор Ганкеля Sg : X —>■ С(К)/Х, действующий по правилу / fg + является компактным для каждой функции д £ С (К).

Правильные тугие пространства. Для получения вышеупомянутой иллюстрации рассмотрим ограниченную область V С Сп и положим X = A(V) = С(Т>) fVHo/(P). Отметим, что подпространство X С С(V) является строго тугим, если V — это строго псевдовыпуклая область с границей класса С2.

Напомним, что С. Сакконе ([85], предложение 6.1) доказал равно

Xv = {feX:\f\< <р}. сильность следующих свойств:

Т1) Пространство X С С{Т>) является строго тугим.

Т2) Если последовательность {/}} С X ограничена и сходится к нулю поточечно на Р, то для всех д Е С{Т>) выполнено свойство ->0 при .7-*оо.

Таким образом, имеет место следующий факт.

Предложение. Пусть пространство А{Т>) является строго тугим. Рассмотрим положительную меру \1 £ М(дТ>). Тогда правильность тройки (Л(Х>), дТ>, ¡г) равносильна следующему свойству:

ПЗ) Для любого числа е > 0 существует такая непостоянная функция / Е А(V), что |/| < 1 всюду и /м{|/| ф 1} < е.

Доказательство. Свойство (ПЗ) является частным случаем свойства (П2). Поэтому достаточно проверить, что (ПЗ) =Ф- (П1). Для этого зафиксируем строго положительную функцию <р £ С{дТ>). Выберем столь малое е > 0, что условие < е гарантирует оценку у2 ¿р < ^ I <р2 ¿¡1.

ЗЕ ^ идЪ

Свойство (ПЗ) доставляет соответствующую функцию /£ Е А(Т>). По предположению пространство А(Т>) является строго тугим, а также степени // Е А(Т>) сходятся к нулю поточечно на V. Поэтому можно воспользоваться свойством (Т2) для д = 3<р/4. Следовательно, существует функция / Е А(Т>) такая, что |/| < <р и ц{|/| > <р/2} > 1 — £. Таким образом, |/|2^>/*

Иными словами, свойство (П1) выполнено для т = 1/5. □

Основные обозначения и определения

В = Вп — единичный шар из С", п > 1. 5 = 5П = дВп — единичная сфера.

Ы = Ы{п) — группа всех унитарных операторов на гильбертовом пространстве С".

V = рп и а = ип — нормированные меры Лебега на шаре В и сфере Я соответственно.

При п = 1 часто удобно использовать специальные обозначения: Ю) = Ви Т = ар, тп = (71.

М(5) — пространство всех комплексных регулярных борелевских мер на сфере 5.

1^(5) = 1^(5, <т). Функция / £ ^(Б) отождествляется с мерой € о- = рг(сг), где рг : С" \ {0} —>• СР"-1 ■— каноническая проекция. А = Ап — мера Лебега на Ж", п > 1.

Запись -С Ц2 означает, что мера //1 абсолютно непрерывна относительно меры Если меры ¡.1\ и Ц2 взаимно сингулярны, то используется обозначение Мера // называется сингулярной, если /г и соответствующая мера Лебега взаимно сингулярны.

Гармонический анализ на сфере.

Н(р, я) — пространство однородных гармонических многочленов бистепени (р, д) £ #(/?,</)-проекция меры ¡л 6 М(5). spec(//) = {{p,q) G Z2 : ¡ipq ф 0} — спектр меры /х G M(S). Мера fi G M(5) называется плюригармонической, если spec(^) С {(p, i) G Z2. : pq = 0} .

Пусть Л С Тогда

Ma(5) = {li G Af(5) : spec(/i) С Л};

L\(S) = {/ G L2(S) : spec(/) С Л}. Аналогично определяется пространство C\(S).

А'л : L2(S) -> L\(S) — ортогональный проектор.

Ядра и интегралы Пуассона. Ядро Пуассона в шаре:

P[ji] — интеграл Пуассона меры ц G M(S): Jsp(z, () ¿КО

Инвариантное ядро Пуассона в шаре: irrai5)"

V[fi] — инвариантный интеграл Пуассона меры /i G M(S):

ПФ)= [ V(z,0d»(0. Js

Ядро Пуассона для верхнего полупространства:

Р(х,у) = Ру(х)=Сп У ^ (ж G М", > 0), lklr + r) 2 где константа Сп выбрана таким образом, что P(x,y)d\(x) = l.

JRn

Пространства голоморфных функций.

• 7iol(V) — пространство всех голоморфных функций в области V.

• НР(В) — классическое пространство Харди (р > 0):

HP (В) = {/ <= Ш(В) : \\f\\pHP = sup [ \f{rQ\pda{Q I 0<r<lJs fg\f*(0\pМО <

Символ /* обозначает граничные значения функции /. Как обычно, мы будем отождествлять НР(В) и пространство граничных значений HP(S).

• = {/ G Hoi (В) : Ц/Цоо = supz€5 \f(z)\ < оо}.

• ЛР(В) — весовое пространство Бергмана (р > 0, а > —1):

AUB) = |/ 6 Hcl(B) : = J |/(г)|'(1 - |г|2)" dv(z) < <х,} .

Также в главе 3 вводятся и изучаются следующие пространства:

• N(B) — класс Неванлинны;

• N+(B) — класс Смирнова;

• Bq(B) — малое пространство Блоха;

• Лр(Ю)) — аналитические пространства Бесова (0 < р < 2);

• Ид(В) — весовые пространства Харди (q > 0).

Организация работы. Диссертация разделена на три главы; результаты, полученные в первых двух главах, используются в третьей. Главы состоят из разделов. Для нумерации утверждений и формул используются номер раздела и номер по порядку.

Работы автора по теме диссертации

1. Дубцов Е.С. Правильные унитарно инвариантные пространства на комплексной сфере // Записки научных семинаров ПОМИ. 1998. Т. 255. С. 54-81.

2. Дубцов Е.С. Многомерная теорема Ивашева-Мусатова и срез-меры // Алгебра и анализ. 2002. Т. 14. Вып. 6. С. 101-128.

3. Дубцов Е.С. Слабо внешние внутренние функции // Функциональный анализ и его приложения. 2003. Т. 37. Вып. 2. С. 7-15.

4. Дубцов Е.С. Ограниченные циклические функции в шаре // Записки научных семинаров ПОМИ. 2003. Т. 303. С. 102-110.

5. Дубцов Е.С. Слабо циклические векторы с заданным модулем // Записки научных семинаров ПОМИ. 2003. Т. 303. С. 111-118.

6. Doubtsov Е. Approximation on the sphere by Besov analytic functions // Studia Mathematica. 1997. V. 124. No. 2. P. 179-192.

7. Doubtsov E. Corrected outer functions // Proceedings of the American Mathematical Society. 1998. V. 126. No. 2. P. 515-522.

8. Doubtsov E. Henkin measures, Riesz products and singular sets // Annales de l'Institut Fourier (Grenoble). 1998. V. 48. No. 3. P. 699728.

9. Doubtsov E. Singular measures with small H(p,q)-projections // Arkiv for Matematik. 1998. V. 36. No. 2. P. 355-361.

10. Doubtsov E. Little Bloch functions, symmetric pluriharmonic measures and Zygmund's dichotomy // Journal of Functional Analysis. 2000. V. 170. No. 2. P. 286-306.

11. Doubtsov E. Nevanlinna functions as quotients // Proceedings of the American Mathematical Society. 2000. V. 128. No. 10. P. 2899-2901.

12. Doubtsov E. Leibenzon's backward shift and composition operators // Proceedings of the American Mathematical Society. 2001. V. 129. No. 12. P. 3495-3499.

13. Doubtsov E. An inner function which is not weak outer // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences de Paris. Sér. I. 2002. V. 334. No. 11. P. 957-960.

14. Doubtsov E., Nicolau A. Symmetric and Zygmund measures in several variables // Annales de l'Institut Fourier (Grenoble). 2002. V. 52. No. 1. P. 153-177.

1 Плюригармонический анализ мер

Как отмечалось во введении, исследуемые в данной главе вопросы мотивированы эвристическим "принципом неопределенности", который может быть сформулирован следующим образом:

Если ненулевая мера сосредоточена на малом множестве, то ее преобразование Фуръе не может быть слишком малым.

Многочисленные конкретные проявления данного общего принципа представлены, например, в монографии [60]. В частности, классическая теорема братьев Риссов утверждает, что при ¡1 6 М{Т) из условия ¡г(к) = 0 для всех к £ Ъ- следует, что мера (1 абсолютно непрерывна.

Зафиксируем множество (спектр) А С Напомним, что по определению Мд(5) = М(5) : эрес(//) С Л}. Далее, положим

Мд(£) = {¿г5: — сингулярная часть некоторой меры // 6 Мл(5)}.

Отметим, что в таких обозначениях теорема братьев Риссов приобретает следующий компактный вид: М|+(Т) = {0}. Многомерные обобщения данного результата были получены в статье [36]. Например, множество Мд(5) тривиально, если Л С {(р, </) € : < ер} для некоторого е < 1.

Первая цель данной главы — исследовать спектральные множества, для которых заключение теоремы братьев Риссов не выполняется; точнее искомые множества должны обладать следующим довольно редким свойством.

Определение. Множество Л С называется сингулярным, если

1.0.1) множества Мд(5) и М%2+\А(8) нетривиальны;

1.0.2) если Мд(5) и ь>£ -Л^дл(•->)' то (взаимН0 сингулярны).

Пусть ф Е 1*+. Положим р-Я)(я-<Э) = Ь р>Я, <?>«и{(о,о)}.

В разделе 1.2 будет установлен следующий результат.

Теорема 1.0.1 Для всех Е множество является сингулярным.

Спектр Л(0) является естественным объектом в комплексном анализе, так как врес^) С Л(0) тогда и только тогда, когда интеграл Пуассона гев) является плюригармонической функцией. Соответствующие меры называют плюригармоническими. Отметим, что в теории плюрипотен-циала термин "плюригармоническая мера" применяется для совершенно иного объекта. По аналогии, если ярес^) С Л(ф), то будем говорить, что мера ¡1 является плюригармонической. Отметим, что добавление точки (0,0) к множеству А(<5) позволяет рассматривать положительные (^-плюригармонические меры.

Для доказательства свойства (1.0.2) будет использован аппарат мер Хенкина (см. раздел 1.1), а также асимптотическая формула типа Буля-Виноградова-Хрущева (теорема 1.2.1).

Далее, свойство (1.0.1) фактически известно для всех А(ф). Действительно, в статье [7] показано, что тройка (Сд^) (£),£, с) является правильной в смысле работы [2] (см. введение). Таким образом, результаты статьи [2] гарантируют, что / {0}. Последний факт порождает задачи о свойствах элементов множества с точки зрения анализа Фурье. Отправной точкой для дальнейших результатов служат классические утверждения на окружности о существовании сингулярных мер с малыми (в определенном смысле) коэффициентами Фурье. Отметим, что соответствующие конструкции мотивированы поиском количественных границ применимости принципа неопределенности. В частности, такие утверждения можно формализовать с помощью следующего понятия поточечной допустимой мажоранты.

Определение. Функция И : —У называется Т-допустимой, если существует сингулярная вероятностная непрерывная мера /1 Е М(ТГ) такая, что ¡г(к) = 0(1г(\к\)) при к —> оо.

Для решения аналогичных многомерных задач в разделах 1.3-1.5 введены и исследованы плюригармонические произведения Рисса, которые, возможно, представляют самостоятельный интерес. Приложения построенных произведений Рисса к вопросам о допустимых мажорантах изложены в разделах 1.6-1.8. Дальнейшие приложения будут даны в главе 3.

Наконец, отметим, что для ф-плюригармонической меры // определены срез-меры ^ £ М(Т) для ¿--почти всех £ Е СРП-1. Более того, в слабом смысле верны интегральные представления где // обозначает сингулярную часть меры ц (ц^) (детали изложены в разделе 1.2). Таким образом, возникают естественные вопросы о возможных свойствах семейства {/^^^ср"-1* Наиболее полные ответы на такие вопросы удается получить с помощью Ь°°-обобщенных произведений Рисса (см., например, разделы 1.8-1.9).

1.1 Меры Хенкина

Основываясь на результатах Ж. Бургейна о свойстве Дан форд а-Пет-тнса, Дж. Сима и Р. Тимони ввели в работе [42] следующее понятие.

Определение. Пусть А — банахова алгебра. Рассмотрим линейное подпространство X С А. Алгебра Бургейна Х$ по определению состоит из таких элементов / £ А, что если ^ —> 0 слабо в X.

В статье [30] Ж. Бургейн фактически показал, что подпространство X С С (К) обладает свойством Данфорда-Петтиса, если Хв — С (К). Весьма близкое абстрактное понятие (вместо слабой сходимости рассматривается слабая* сходимость) оказывается полезным при исследовании мер Хенкина, соответствующих подпространству

Алгебры Хенкина. В последующих определениях предполагается, что К — компактное хаусдорфово пространство, р — положительная регулярная борелевская мера на А', замкнутый носитель меры р совпадает с К и подпространство X С С (К) замкнуто.

Определение. Функциональная последовательность С X называется (X, /^-последовательностью (кратко, /»-последовательностью), если

Замечание. Иными словами, предполагается, что fj —> 0 слабо* относительно двойственности (^(р), L°°(p)) (здесь X С С(К) С L°°(p)). В частности, \\fj\\C(K) = ||/j||oo < const.

X С С (К). для всех д 6 Ll(p).

Определение. Рассмотрим замкнутое подпространство X С С (К). Алгеброй Хенкина Х%{р) (относительно меры р) называется множество таких функций (р € С [К), что для каждой /9-последовательности С X.

Следующее стандартное наблюдение (ср. [42]) оправдывает использование термина алгебра в сформулированном определении.

Предложение 1.1.1 Пространство Хц(р) является замкнутой подалгеброй пространства С (К).

Доказательство. Предположим, что является /9-последовательностью.

1) Пусть <¿>1,^2 € Х<н(р). Тогда существуют функции ду Е X такие, что \\ipifj + <7/||оо -> 0 при ] —» оо. Отметим, что является р-последовательностью, следовательно, существуют Е X такие, что 11^20.? + ^||оо -> 0 при ] —¥ оо. В сумме получаем

- Моо < \\<Р2\\ОО\\<Р1^ + ^||оо + 11^2^- + Мое 0.

Иными словами, Е Хц(р).

2) Не умаляя общности, предположим, что ||//||оо < 1- Пусть

С Х%{р) и \\ipk — (^Цоо —> 0 при к —» оо. Выберем число к Е N такое, что - «^Цоо < г; тогда ||/,•<£> +< £ + \\/^<рк + АГЦоо < при достаточно большом j. □

Определение. Элемент ц Е М(К) называется (X, р)-мерой (или мерой Хенкина), если cpfj + ХЦоо 0 при ] -> оо для каждой /^последовательности С X.

Замечание. Безусловно, множество мер Хенкина замкнуто по норме пространства М(К).

Предложение 1.1.2 Предположим, что Х-ц(р) = С (К). Пусть р является (Х,р)-мерой и пусть А <С р. Тогда А является (X, р)-мерой.

Доказательство. Рассмотрим /^-последовательность {/у}^ и функцию (р £ С (К). Определение алгебры Хенкина доставляет последовательность С X такую, что + д^\оо —> 0 при 3 —> оо. Отметим, что {д^^х является ^-последовательностью. Таким образом, так как р является мерой Хенкина. Итак, с одной стороны, (рр — мера Хенкина для всех <р £ С (К). С другой стороны, Л = фр для ф Е L^l^l). Так как множество мер Хенкина замкнуто, то Л является мерой Хенкина. □

Имеется большое количество работ об алгебрах Бургейна, порожденных подпространствами различных равномерных алгебр (такие задачи для нескольких комплексных переменных изучаются, например, в статье [66], где также приведены дальнейшие ссылки). Многие из соответствующих утверждений имеют аналоги в случае алгебр Хенкина. Однако, далее наше внимание будет сконцентрировано на случае К = S и р — а.

Меры Хенкина на сфере. Напомним, что Р[р] обозначает интеграл Пуассона меры ц Е M(S).

Предложение 1.1.3 Последовательность {fj}^i С X С C(S) является а-последовательностью тогда и только тогда, когда

1.1.1) P[fj]{z) 0 пРи 3 оо для всех z Е В и

1.1.2) ll/jlloo < const для всех j £ N. fj<p dp = (fjcp - (jj) dp + gj dp 0,

Доказательство. Предположим, что свойства (1.1.1) и (1.1.2) выполнены, а также д Е Ь1(а). Положим -РГЫ(С) = Р[д](г()) 0 < г < 1, £ Е 5. В силу теоремы Фубини имеем

J йа = J (д - Рг[д]) йа + J Рг[^]д йа

1Л1|со|Ь-РгЫ|11 + ||Д[Л]|1оо1Ы1ь Отметим, что \\д — РгЫЦх —> 0 при г —»• 1—, а также стремится к нулю равномерно на компактных подмножествах шара. Следовательно, /¿р ¿а —> 0 при ] —^ оо.

Для проверки обратной импликации предположим, что {//1^1 является ^-последовательностью. Если г £ В, то Р(г,-) Е Ь1{а), поэтому свойство (1.1.1) выполнено. Далее, свойство (1.1.2) имеет место для всякой /^-последовательности. □

Ниже всюду предполагается, что из включения / Е X следует, что

РАП е х.

Предложение 1.1.3 позволяет установить связь между (X, <т)-мерами и аннулятором X1- = {/л Е М(5) : = 0 для всех / Е X}. Если

X = А(5) := {/ Е С(5) : Р[/] Е Ло1(В)} (шар-алгебра), то следующее утверждение является теоремой Вальского ([17], раздел 9.2). Покажем, как рассуждение Р.Э. Вальского работает в общем случае.

Теорема 1.1.4 Пусть ц является (Х,а)-мерой и е > 0. Тогда существует функция д Е Ь1(а) такая, что ||<7||1 < и Ц—дсг Е х-1.

Сначала установим один вспомогательный факт.

Лемма 1.1.5 Пусть А является (Х,а)-мерой и е > 0. Тогда существует функция Н Е Ь1{а) такая, что ||/г||1 < ||А|| и ||А — На\\х* < £.

Доказательство. Положим иг = РГ[А], 0 < г < 1. Достаточно проверить, что

Шп ||А — ига\\х* = 0. 21

Действительно, в этом случае остается положить И = иг для достаточно большого г.

Предположим, что рассматриваемый предел не равен нулю. Тогда существуют 6 > 0, г^ -> 1 и fj Е X, ||//||оо < 1, такие, что £ для всех ] Е N. сIX- ¡¡иГ} с1а 75 ив

По теореме Фубини }иг йа — /г <1Х, следовательно, 6 для всех $ Е N. №)-ЬМ)] ¿40

Положим по определению д^(х) — ^(г) — fj(rjz), г Е В. Отметим, что 9А*) ~~^ О Для всех 2 Е В. Таким образом, в силу предложения 1.1.3 ! является сг-последовательностью. Следовательно, ^д](1Х О при ] —У оо по определению меры Хенкина. Полученное противоречие доказывает лемму. □

Доказательство теоремы 1.1.4. Выберем числа е^ > 0 такие, что оо

-пни* >°2

Положим ¡л = /л и предположим в качестве индукционной гипотезы, что I > 1, це является (X, сг)-мерой и < ее- По теореме Хана

Банаха \\це — ре\\ < ее для некоторой меры ре Е XЛемма 1.1.5 (примененная к X = не — ре) доставляет функцию де Е такую, что ||<^||1 < ее и \\/ле — ре — де&\\х* < £е+1- Положим по определению ре+1 = Ре~ 9е<т

Отметим, что ре+1 является мерой Хенкина, таким образом, индукционный переход завершен.

Положим д = 9], тогда д Е Ь\а) и \\д\\г < £у

Имеем ц = 4- Pj + 9зи Для всех ^ £ поэтому

I оо l-QL7 = Щ+1 ^ дЗа'

3=1 ^£+1

Так как Е X-1, то получаем оо оо

На* - < НА'тНх- + ^ 1Ы11 - + £з 0

1 ¿=¿+1 прп £ —» оо. Иными словами, ц — да Е Xх. Доказательство теоремы 1.1.4 завершено. □

Теперь рассмотрим ¿/-инвариантные подпространства пространства С (Б). А именно, для А С положим

X = Сл(5) = {/ € С(5) : 8рес(/) С Л}.

Рассмотрим проектор Коши-Сегё К\ : Ь2(5) —У Ь\(3) и предположим, что 6 Ь°°(5). Напомним, что действие Л-спектрального оператора типа Ганкеля ^ : £2(5) —> Ь2(в) задается с помощью формулы Д\,<£>[/] = <рКА[/] - КА[<р/].

Отметим следующее свойство дополнения: + = 0.

Далее, напомним, что по определению Л Е (КГ), если оператор ' С(£>) С (Б) компактен для каждого многочлена кр на сфере 5.

Предложение 1.1.6 Предположим, что Л Е (КГ), мера р Е М(5) положительна, замкнутый носитель меры р равен 5 и оператор КА ограничен относительно Ь2(р)-нормы. Тогда СА(3)%(р) = С(Б).

Доказательство. Рассмотрим полином <р и (СА(Б), ^-последовательность Отметим, что КА[(р/^ Е С\(в), поэтому включение <р Е Сл(5)и(р) следует из свойства \\cpfj - КаМД||с(5) 0.

Для проверки последнего свойства предположим обратное: пусть 11ЯЛ^[Л]||С(5) 0. Так как Ц/^-Цод < 1 и Л Е (КГ), то существует подпоследовательность {л}^ такая, что Н\}<р[^к] —д в пространстве С(Б) для некоторой функции д ф 0. С другой стороны, /,- —0 слабо в пространстве Ь2(р) и оператор К\ ограничен на Ь2(р), следовательно, На, 0 слабо в Ь2(р). Получено противоречие.

Напомним, что алгебры Хенкина замкнуты, таким образом, доказательство завершено. □

Для Е,Е С положим

Л = А(Е, Р) = {(р, д) е : ц 6 Е или р е Е}.

Удобно представлять множество Ъ\ как первый квадрант целочисленной решетки. Тогда А(£1, .Р) есть объединение горизонтальных и вертикальных лучей.

Следствие 1.1.7 Пусть А = А(Е, Р) или А = Ъ\\А(Е, Р) для конечных множеств Е,Е С Предположим, что р является (Сл(З'), сг)-мерой и V <С Р- Тогда и является (Сд(5), а)-мерой.

Доказательство. Свойство А(Е, Р) Е (-К-0 установлено в работе [7]. Поэтому достаточно применить предложения 1.1.6 и 1.1.2. □

Следствие 1.1.8 Предположим, что множество А удовлетворяет условиям следствия 1.1.7. Пусть р Е ^(Б) + Сл(5')± и V р- Тогда и 6 Ь1(3) + Сл(З')-1-.

Доказательство. Воспользуемся следствием 1.1.7 и теоремой 1.1.4. □

В завершение этого раздела приведем иные простые примеры алгебр Хенкина, порожденных унитарно инвариантными подпространствами.

Пример. Для 1 G Z+ положим D(£) = {(p,q) G Z+ : p — q = £}. Пусть d — простое число, а также оо оо О

Л= U D(£d) или A = [jD(£) или Л = (J Г>(£).

-00 £=0 £=—оо

ТогдаСЛ(5ЬИ = СЛ(5).

Доказательство. 1) Положим А = Ca(S)h(ct). Отметим, что А является ¿/-инвариантной подалгеброй пространства C(S). Так как C\(S) является алгеброй, то Ca(S) С А.

2) Предположим, что А (]L C\(S), тогда А = С(5), так как C\(S) является максимальной ¿/-инвариантной подалгеброй пространства C(S) ([17], теоремы 12.4.7 и 12.5.6). Зафиксируем точку £ G S. Пусть гп£ обозначает меру Лебега на окружности

Тс = {АС : А G Т}.

Предполагается, что d > 1, поэтому при А G Т имеем АkrriQ G C^S)1-для некоторого А; G Z. В частности, Актп^ является мерой Хенкина. Так как А = C(S), то т£ — мера Хенкина в силу предложения 1.1.2.

С другой стороны, выберем многочлены такие, что fj G

H(j,j), /(£) = 1, |/| < 1 на S. Тогда {fj}^ является сг-последователь-ностью и fs fj dm^ = 1 для всех j G N. Полученное противоречие завершает рассуждение. □

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Дубцов, Евгений Сергеевич, 2004 год

1. Александров А.Б. Существование внутренних функций в шаре // Мат. сб. 1982. Т. 118. Вып. 2. С. 147-163.

2. Александров А.Б. Внутренние функции на компактных пространствах // Функц. анализ и его прил. 1984. Т. 18. Вып. 2. С. 1-13.

3. Александров А.Б. Теория функций в шаре // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1985. Т. 8. С. 115-190.

4. Александров А.Б. Собственные голоморфные отображения из шара в полидиск // Докл. АН СССР. 1986. Т. 286. Вып. 1. С. 11-14.

5. Виноградов С.А. Умножение и деление в пространстве аналитических функций с производной, суммируемой по площади, и близких к нему пространствах // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1995. Т. 222. С. 45-77.

6. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. -— М.: Мир, 1984.

7. Дубцов Е.С. Некоторые вопросы гармонического анализа на комплексной сфере // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. мат. мех. астрон. 1995. Вып. 1. С. 15-21.

8. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: Мир, 1965.

9. Ивашев-Мусатов О.С. О коэффициентах тригонометрических нуль-рядов // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1957. Т. 21. С. 559-578.

10. Макаров Б.М. Пример сингулярной меры, эквивалентной своему квадрату по свертке // Вестн. Ленинград, ун-та. Сер. мат. мех. астрон. 1968. Вып. 2. С. 51-54.

11. Макаров Н.Г. Вероятностные методы в теории конформных отображений // Алгебра и анализ. 1989. Т. 1. Вып. 1. С. 3-59.

12. Мергелян С.Н. Об одном интеграле для аналитических функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1951. Т. 15. С. 395-400.

13. Никольский Н.К. Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа. Труды МИАН. Т. 120. — Л.: Наука, 1974.

14. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. — М.: Наука, 1980.

15. Пеллер В.В., Хрущев C.B. Операторы Ганкеля, наилучшие приближения и стационарные гауссовские процессы // Успехи мат. наук. 1982. Т. 37. Вып. 1. С. 53-124.

16. Рудин У. Теория функций в поликруге. — М.: Мир, 1974.

17. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из С". — М.: Мир, 1984.

18. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. — М.: Мир, 1973.

19. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. — М.: Мир, 1974.

20. Хенкин Г.М. Уравнение Г. Леви и анализ на псевдовыпуклом многообразии, II // Мат. сб. 1977. Т. 102. Вып. 1. С. 71-108.

21. Шапиро Г. Некоторые замечания о весовой полиномиальной аппроксимации голоморфных функций // Мат. сб. 1967. Т. 73. С. 320-330.

22. Aleksandrov A.B. Essays on non locally convex Hardy spaces // Lect. Notes in Math. 1981. V. 864. P. 1-89.

23. Aleksandrov A.B., Anderson J.M., Nicolau A. Inner functions, Bloch spaces and symmetric measures // Proc. London Math. Soc. 1999. V. 79. P. 318-352.

24. Aleman A., Richter S., Sundberg C. Beurling's theorem for the Bergman space // Acta Math. 1996. V. 177. P. 275-310.

25. Anderson J.M., Fernandez J.L., Shields A.L. Inner functions and cyclic vectors in the Bloch space // Trans. Amer. Math. Soc. 1991. V. 323. P. 429-448.

26. Anderson J.M. On division by inner factors // Comment. Math. Helv. 1979. V. 54. P. 309-317.

27. Andersson M. On the Hp corona problem // Bull. Sci. Math. 1994. V. 118. P. 287-306.

28. Bishop C. Bounded functions in the little Bloch space // Pacific J. Math. 1990. V. 142. P. 209-225.

29. Bishop C. An indestructible Blaschke product in the little Bloch space // Publ. Math. 1993. V. 37. P. 95-109.

30. Bourgain J. The Dunford-Pettis property for the ball-algebras, the polydisc-algebras and the Sobolev spaces // Studia Math. 1984. V. 77. P. 245-253.

31. Bourgain J. Applications of the spaces of homogeneous polynomials to some problems on the ball algebra // Proc. Amer. Math. Soc. 1985. V. 93. P. 277-283.

32. Brossard J. Intégrale d'aire et supports d'une mesure positive // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. I. 1983. V. 296. P. 231-232.

33. Brown G. Riesz products and generalized characters // Proc. London Math. Soc. 1975. V. 30. P. 209-238.

34. Brown G., Hewitt E. Continuous singular measures equivalent to their convolution squares // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1976. V. 80. P. 249-268.

35. Brown G., Hewitt E. Continuous singular measures with small Fourier-Stieltjes transforms // Adv. in Math. 1980. V. 37. P. 27-60.

36. Brummelhuis R.J.M. An F. and M. Riesz theorem for bounded symmetric domains // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1987. V. 37. P. 139150.

37. Carleson L. On mappings, conformai at the boundary //J. d'Analyse Math. 1967. V. 19. P. 1-13.

38. Carmona J.J., Donaire J.J. The converse of Fatou's theorem for Zyg-mund measures // Pacif. J. Math. 1999. V. 191. P. 207-222.

39. Cascante C., Ortega J.M. Convergence in nonisotropic regions of harmonic functions in Bn H Studia Math. 1999. V. 134. P. 269-298.

40. Chang S.Y.A., Wilson J.M., Wolff T.H. Some weighted norm inequalities concerning the Schrôdinger operator // Comment. Math. Helv. 1985. V. 60. P. 217-246.

41. Cima J.A., Mercer P.R. Composition operators between Bergman spaces on convex domains in Cn // J. Operator Theory. 1995. V. 33. P. 363-369.

42. Cima J., Timoney R. The Dunford-Pettis property for certain planar uniform algebras // Michigan Math. J. 1987. V. 34. P. 99-104.

43. Cole B.J., Gamelin T.W. Tight uniform algebras and algebras of analytic functions // J. Funct. Anal. 1982. V. 46. P. 158-220.

44. Cowen C.C., MacCluer B.D. Composition operators on spaces of analytic functions. — Boca Raton: CRC Press, 1995.

45. Dupain Y. Gradients des fonctions intérieures dans la boule unité de Cn // Math. Z. 1986. V. 193. P. 85-94.

46. Dupain Y. Fonctions intérieures dans la boule unité de C" dont les fonctions traces sont aussi intérieures // Math. Z. 1988. V. 198. P. 191206.

47. Duren P.L. Smoothness of functions generated by Riesz products // Proc. Amer. Math. Soc. 1965. V. 16. P. 1263-1268.

48. Duren P.L., Romberg B.W., Shields A.L. Linear functionals on Hp spaces with 0 < p < 1 //J. Reine Angew. Math. 1969. V. 238. P. 3260.

49. Duren P.L., Shapiro H.S., Shields A. Singular measures and domains not of Smirnov type // Duke Math. J. 1966. V. 33. P. 247-254.

50. Falconer K. Fractal geometry. Mathematical foundations and applications. — Chichester: Wiley, 1990.

51. Falconer K. Techniques in fractal geometry. — Chichester: Wiley, 1997.

52. Fefferman R.A., Kenig C.E., Pipher J. The theory of weights and the Dirichlet problem for elliptic equations // Ann. of Math. 1991. V. 134. P. 65-124.

53. Frazier A.P. The dual space of Hp of the polydisc for 0 < p < 1 // Duke Math. J. 1972. V. 39. P. 369-379.

54. Gamelin T.W., Kislyakov S.V. Uniform algebras as Banach spaces // Handbook of the geometry of Banach spaces. Paris: Elsevier, 2001. V. 1. P. 671-706.

55. García-Cuerva J., Rubio de Francia J.L. Weighted Norm Inequalities and Related Topics. — North-Holland, 1985.

56. Gardiner F.P., Sullivan D.P. Symmetric structures on a closed curve // American J. Math. 1992. V. 114. P. 683-736.

57. Gowda M.S. Nonfactorization theorems in weighted Bergman and Hardy spaces on the unit ball of Cn (n > 1) // Trans. Amer. Math. Soc. 1983. V. 277. P. 203-212.

58. Graham G.C., McGehee O.C. Essays in Commutative Harmonic Analysis. — Berlin-New York: Springer-Verlag, 1979.

59. Hare K.E., Roginskaya M. Multipliers of spherical harmonics and energy of signed measures // Ark. Mat. 2003. V. 41. P. 281-294.

60. Havin V., Jöricke B. The Uncertainty Principle in Harmonic Analysis. — Berlin-New York: Springer-Verlag, 1994.

61. Hedenmalm H., Korenblum B., Zhu K. Theory of Bergman spaces. — Berlin-New York: Springer-Verlag, 2000.

62. Henkin G.M. Approximation of functions on pseudoconvex domains and Leibenzon's theorem // Bull. Acad. Polon. Sei. Ser. Sei. Math. Astronom. Phys. 1971. V. 19. P. 37-42.

63. Henriksen В.S. A peak set of Hausdorff dimension 2n—1 for the algebra A(D) in the boundary of a domain D with C°°-boundary in Cn // Math. Ann. 1982. V. 259. P. 271-277.

64. Hewitt E., Zuckerman H.S. Singular measures with absolutely continuous squares // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1966. V. 62. P. 399-420. Corrigendum, ibid. 1967. V. 63. P. 367-368.

65. Hruscëv S.V., Vinogradov S.A. Free interpolation in the space of uniformly convergent Taylor series // Lect. Notes in Math. 1981. V. 864. P. 171-213.

66. Izuchi K. Bourgain algebras of the disc, polydisc and ball algebras // Duke Math. J. 1992. V. 66. P. 503-519.

67. Kahane J.P. Trois notes sur les ensembles parfaits linéaires // Enseignement Math. 1969. V. 15. P. 185-192.

68. Keldysh M.V. Sur l'approximation en moyenne par polynômes des fonctions d'une variable complexe // Мат. сб. 1945. T. 16. С. 1-20.

69. Korenblum В. A Beurling-type theorem // Acta Math. 1977. V. 138. P. 265-293.

70. Kôrner T.W. Uniqueness for trigonometric series // Ann. of Math. 1987. V. 126. P. 1-34.

71. Llorente J.G. Boundary values of harmonic Bloch functions in Lips-chitz domains: a martingale approach // Potential Anal. 1998. V. 9. P. 229-260.

72. Low E. A construction of inner functions on the unit ball in C™ // Invent. Math. 1982. V. 67. P. 223-229.

73. MacCluer B.D. Compact composition operators on Hp(Bx) // Michigan Math. J. 1985. V. 32. P. 237-248.

74. MacCluer B.D., Mercer P.R. Composition operators between Hardy and weighted Bergman spaces on convex domains in C" // Proc. Amer. Math. Soc. 1995. V. 123. P. 2093-2102.

75. Menchoff D.E. Sur l'unicité du développement trigonométrique // C. R. Acad. Sei. Paris. Sér. A-B. 1916. V. 163. P. 433-436.

76. Peyrière J. Etude de quelques propriétés des produits de Riesz // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1975. V. 25. P. 127-169.

77. Piranian G. Two monotonie, singular, uniformly almost smooth functions // Duke Math. J. 1966. V. 33. P. 255-262.

78. Riesz F. Uber die Fourierkoeffizienten einer stetigen Funktion von beschränkter Schwankung // Math. Z. 1918. V. 2. P. 312-315.

79. Roberts J.W. Cyclic inner functions in the Bergman spaces and weak outer functions in Hp (0 < p < 1) // Illinois J. Math. 1985. V. 29. P. 25-38.

80. Rudin W. The radial variation of analytic functions // Duke Math. J. 1955. V. 22. P. 235-242.

81. Rudin W. Zeros of holomorphic functions in balls // Indag. Math. 1976. V. 38. P. 57-65.

82. Rudin W. New constructions of functions holomorphic in the unit ball of Cn. — Providence: Amer. Math. Soc., 1986.

83. Ryll J., Wojtaszczyk P. On homogeneous polynomials on a complex ball // Trans. Amer. Math. Soc. 1983. V. 276. P. 107-116.

84. Saccone S. Banach space properties of strongly tight uniform algebras // StudiaMath. 1995. V. 114. P. 159-180.

85. Saccone S. Tight uniform algebras // Holomorphic Spaces. MSRI Publications. Cambridge: Cambridge University Press, 1998. V. 33. P. 135-154.

86. Sarason D. Functions of vanishing mean oscillation // Trans. Amer. Math. Soc. 1975. V. 207. P. 391-405.

87. Sarason D. Blaschke products in Bo // Lect. Notes in Math. 1984. V. 1043. P. 337-338.

88. Shapiro H.S. Weakly invertible elements in certain function spaces, and generators in tl // Michigan Math. J. 1964. V. 11. P. 161-165.

89. Shapiro H.S. Monotonie singular functions of high smoothness // Michigan Math. J. 1968. V. 15. P. 265-275.

90. Shapiro J.H. Mackey topologies, reproducing kernels, and diagonal maps on the Hardy and Bergman spaces // Duke Math. J. 1976. V. 43. P. 187-202.

91. Shapiro J.H. Remarks on F-spaces of analytic functions // Lect. Notes in Math. 1977. V. 604. P. 107-124.

92. Shapiro J.H. Cluster set, essential range, and distance estimates in BMO // Michigan Math. J. 1987. V. 34. P. 323-336.

93. Shapiro J.H. Composition operators and classical function theory. — Berlin-New York: Springer-Verlag, 1993.

94. Skoda H. Valeurs au bord pour les solutions de l'opérateur d", et car-actérisation des zéros des fonctions de la classe de Nevanlinna // Bull. Soc. Math. France. 1976. V. 104. P. 225-299.

95. Smirnov V.l. Sur les valeurs limites des fonctions, régulières à l'interieur d'un cercle // >K. JleHiiHrp. (J)H3.-MaT. 06-Ba. 1929. T. 2. C. 22-37.

96. Smith W. Inner functions in the hyperbolic little Bloch class // Michigan Math. J. 1998. V. 45. P. 103-114.

97. Stephenson K. Construction of an inner function in the little Bloch space // Trans. Amer. Math. Soc. 1988. V. 308. P. 713-720.

98. Ullrich D. A Bloch function in the ball with no radial limits // Bull. London Math. Soc. 1988. V. 20. P. 337-341.

99. Zhu K. Operator theory in function spaces. — New York: Marcel Dekker, 1990.