Полиномиальные матричные неравенства в задачах анализа систем управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор наук Поздяев Владимир Васильевич

• Поздяев Владимир Васильевич
• доктор наук
• 2018

Оглавление диссертации доктор наук Поздяев Владимир Васильевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ОТКРЫТЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ И

МАТРИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

1.1. 2D-системы

1.1.1. Модели

1.2. Линейные матричные неравенства

1.3. Полиномиальные матричные неравенства

1.3.1. Методы решения

1.4. О задачах анализа 2D-систем

1.5. Концепция и общая структура новых результатов

1.5.1. Методы оптимизации

1.5.2. Методы трансформации к полиномиальным матричным

неравенствам

2. АТОМНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

2.1. Предварительные сведения

2.2. Исходный метод

2.3. Трансформация пространства поиска

2.3.1. Алгоритмы оптимизации

2.3.2. Базовые результаты

2.4. Методы одномерной оптимизации

2.4.1. Обобщение результатов

2.5. Методы многомерной оптимизации

2.5.1. Базовая конфигурация

2.5.2. Редукция

2.5.3. Репатриация решений

2.5.4. Схема основного алгоритма

2.6. Прямые-двойственные методы

3

2.6.1. Базовая форма

2.6.2. Редуцированная форма

2.6.2.1. Уменьшение количества атомов

2.6.2.2. Линейные ограничения

2.6.2.3. Понижение порядка

2.7. Выводы

3. ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ

3.1. Установление разрешимости систем неравенств Ляпунова

3.1.1. Предварительные сведения

3.1.2. Двойственные системы

3.1.3. Вспомогательные результаты

3.1.4. Простейший случай: две пары векторов

3.1.5. Три пары векторов

3.1.6. Выводы

3.2. Методы анализа систем с параметрической неопределённостью

3.2.1. Вспомогательная трансформация

3.2.2. Устойчивость

3.2.3. H∞ -норма

3.2.4. H2 -норма

3.2.5. Выводы

3.3. Методы анализа 2D-систем

3.3.1. Предварительные сведения

3.3.2. Устойчивость

3.3.3. H∞ -норма

3.3.4. H2 -норма

3.3.5. Выводы

4. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ

4.1. Атомная оптимизация

4.1.1. Одномерные задачи

4.1.2. Многомерные задачи

4

4.1.2.1. Задача ПН

4.1.2.2. Задача ПМН

4.1.3. Прямые-двойственные методы. Базовая форма

4.1.4. Прямые-двойственные методы. Редуцированная форма

4.1.4.1. Индивидуализация атомов

4.1.4.2. Обнаружение локальных экстремумов

4.1.4.3. Ограничения редукции

4.2. Двойственные задачи

4.2.1. Разрешимость систем неравенств Ляпунова

4.2.2. Системы с параметрической неопределенностью

4.2.2.1. Устойчивость

4.2.2.2. H∞ - и H2 -нормы

4.2.3. 2D-системы

4.2.3.1. Устойчивость

4.2.3.2. H∞ -норма

4.2.3.3. H2 -норма

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ.

СВИДЕТЕЛЬСТВА О РЕГИСТРАЦИИ

5

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полиномиальные матричные неравенства в задачах анализа систем управления»

ВВЕДЕНИЕ

Работа посвящена исследованию полиномиальных матричных нера-

венств, возникающих в математической теории управления, задачам оптими-

зации при ограничениях в виде этих неравенств и методам их решения. Осо-

бое внимание уделено невыпуклым задачам в задачах анализа устойчивости

и вычисления норм 2D-систем, а также в некоторых версиях классических

задач.

Актуальность темы обусловлена двумя факторами:

• существует ряд задач теории управления, естественным образом сводя-

щихся к задачам оптимизации с участием полиномиальных — но не

линейных — матричных неравенств;

• известные методы решения таких задач имеют слабый баланс характе-

ристик: являются эффективными, но излишне специализированными;

универсальными, но плохо масштабируемыми и т. д.

Рассмотрим их подробнее.

Матричные неравенства и задачи оптимизации при ограничениях в

виде матричных неравенств составляют один из ключевых математических

инструментов современной теории управления. Наиболее изученным и ши-

роко применяемым их классом являются линейные матричные неравенства

(ЛМН) [2; 50; 80]; задачи оптимизации с ограничениями в виде ЛМН и

линейными целевыми функциями далее будем называть задачами ЛМН. Од-

нако возможности линейных матричных неравенств ограничены. Следующим

по возможностям (и сложности) классом задач можно считать задачи с уча-

стием полиномиальных матричных неравенств (ПМН); задачи оптимизации

с ограничениями такого вида и полиномиальными целевыми функциями

далее будем называть задачами ПМН. В общем случае задачи данного типа

 6

невыпуклы, и для их решения необходимы методы глобальной оптимизации.

Из литературы известно (см., например, [53–55]), что к задачам, близ-

ким по структуре к задачам ПМН, сводятся такие задачи теории управления,

как, например, анализ устойчивости, стабилизация и вычисление норм линей-

ных 2D-систем. 2D-системы и их более общий вариант, nD-системы, имеют

фундаментальное значение в решении задач, связанных с такими классами

систем и процессов, как системы с распределёнными параметрами ([59; 86;

105]), распространение возмущений ([74; 79]) и др. Особо отметим одно

из ключевых приложений теории 2D-систем: повторяющиеся процессы и

управление с итеративным обучением (см. [16; 60; 89; 91; 110; 112]). Модели

систем, в которых процессы имеют повторяющуюся природу, встречаются в

управлении промышленными роботами, медицинским оборудованием, хими-

ческими реакторами и другими объектами самого разного вида. Повторения

обычно являются неотъемлемым аспектом функционирования системы, но

возможно также и расширение данного понятия на повторяющееся внешнее

воздействие. Такие модели включают две описывающие время переменные:

номер итерации и время от начала итерации, что и позволяет представлять

их как 2D-системы.

Предложенные на данный момент методы решения задач, связанных с

такими системами, сводят вычисления к нетривиальным операциям с пара-

метризованными ЛМН или построению эквивалентных задач ЛМН. Послед-

ние, представленные в упомянутых выше работах G. Chesi, R. H. Middleton и

др., формально приводят к необходимым и достаточным условиям устойчи-

вости, возможности находить точные значения норм и т. д. Но практическая

полезность данных методов не очень высока ввиду их склонности порож-

дать вспомогательные задачи ЛМН большого размера. Версии же данных

результатов, требующие меньших вычислительных мощностей, являются

существенно более ограниченными и консервативными. В связи с этим пред-

ставляется актуальным исследование иных подходов к данным задачам,

таких как поиск альтернативных форм на основе ПМН и разработка

 7

эффективных способов решения полученных задач, обладающих луч-

шей масштабируемостью и аналогичной или более высокой точностью

результатов.

Дополнительной мотивацией исследований является то, что задачи

аналогичного вида возникают и при работе с системами других типов, на-

пример, системами с параметрической неопределённостью с полиномиальной

зависимостью коэффициентов системы от параметров и ограничениями на

значения параметров в виде ПМН (см. [51; 52]).

На данный момент для задач с участием ПМН разработаны различные

алгоритмы решения, в том числе универсальные алгоритмы, формально

способные решать задачи с ПМН произвольной структуры (см., например,

основанный на построении иерархий ЛМН-аппроксимаций метод в [67]).

Однако универсальные алгоритмы сталкиваются с труднопреодолимой про-

блемой объёма вычислений. Ввиду NP-трудности рассматриваемого класса

задач, такие алгоритмы, не учитывающие происхождение задачи и её инди-

видуальные свойства, способны работать только с задачами относительно

небольшого размера.

Как показывает практика, невыпуклые задачи ПМН, происходящие из

теории управления, обычно имеют «умеренную» невыпуклость, не приводя-

щую к таким эффектам, как, например, экспоненциальный рост количества

локальных экстремумов при увеличении размера задачи. Вследствие этого

дополнительным актуальным направлением исследований является поиск

метода решения задач ПМН, наследующего ключевые характеристики

универсальных методов и при этом имеющего более высокую эффектив-

ность для структур области поиска, характерных для задач теории

управления.

Таким образом, основной мотивацией исследований является низкая

эффективность и слабая масштабируемость существующих методов решения

задач указанного вида, а фундаментальной задачей — улучшение данных

 8

характеристик путём разработки методов решения, специализирующихся на

задачах ПМН, связанных с теорией управления.

Цель работы заключается в формировании новой концепции решения

класса задач теории управления, сводящихся к исследованию параметризо-

ванных матричных неравенств, на основе приведения их к универсальной

форме задач ПМН.

Задачи исследования включают разработку следующей группы мето-

дов.

1. Метод решения задач ПМН, ориентированный на эффективную работу

с характером невыпуклости, типичным для задач ПМН, возникающих в

теории управления. Метод должен удовлетворять следующим базовым

требованиям:

а) он должен позволять упрощать вычисления и уменьшать их объём

в случае, когда есть априорная информация о более простом

характере невыпуклости задачи;

б) его базовая (полная) форма должна быть (в определённом смыс-

ле) эквивалентна одному из универсальных глобальных методов

решения задач ПМН;

в) его минимальная форма должна быть (в определённом смысле)

эквивалентна локальному поиску методом внутренней точки и

иметь аналогичную вычислительную сложность;

г) будучи применена к задачам ЛМН, его минимальная форма долж-

на быть эквивалентна какому-либо из стандартных методов реше-

ния задач данного класса.

2. Методы решения задач анализа динамических систем, по возможности

ориентированные на использование единой промежуточной формы

задач ПМН:

 9

а) метод решения задач об устойчивости 2D-систем;

б) метод решения задач о нахождении H∞ -нормы 2D-систем;

в) метод решения задач о нахождении H2 -нормы 2D-систем;

г) методы решения аналогичных задач для систем с параметрической

неопределённостью.

Методы исследования, применяемые в работе, относятся к теории

дифференциальных уравнений; математической теории управления; теории

устойчивости; линейной алгебре; методам выпуклой и невыпуклой оптимиза-

ции, полуопределённого программирования; теории матричных неравенств;

теории интегральных преобразований.

Научная новизна результатов диссертации заключается в создании

концепции решения параметризованных матричных неравенств путём их

трансформации к универсальной форме задач ПМН с помощью построения

двойственных форм подзадач. В рамках данной концепции разработана

следующая группа методов.

1. Метод оптимизации, спроектированный для эффективного решения

задач ПМН, связанных с теорией управления. Метод занимает проме-

жуточное положение между локальными и глобальными методами и

позволяет контролировать полноту исследования области поиска. Он

предоставляет улучшенный баланс эффективности и универсальности

по сравнению с другими существующими методами.

2. Методы анализа динамических систем, использующие сведение к еди-

ной форме задач ПМН в сочетании с вышеуказанным методом оптими-

зации. Данные методы обладают улучшенной масштабируемостью по

сравнению с существующими аналогами:

• метод анализа устойчивости 2D-систем;

• метод нахождения H∞ -нормы 2D-систем;

 10

• методы анализа устойчивости и вычисления H∞ - и H2 -норм систем

с параметрической неопределённостью.

3. Получены результаты, связанные с тематикой работы и отдельными

элементами общей концепции, но в целом использующие существенно

иные методы решения:

• упрощённый метод вычисления H2 -норм 2D-систем;

• критерии разрешимости задачи о существовании общей квадра-

тичной функции Ляпунова множества линейных систем.

Преимуществами разработанных методов перед существующими аналогами

являются более простые преобразования задач и значительно улучшенная

эффективность метода решения и его масштабируемость при росте количе-

ственных характеристик задачи. Например, даже для систем небольшого

размера решение задач из п. 2 существующими методами требует много-

этапных преобразований к форме ЛМН с числом неизвестных от сотен до

десятков тысяч. В то же время предложенный новый метод позволяет сразу

сформировать задачу ПМН с числом неизвестных около десяти1 и решить

её довольно эффективным способом (см. примеры в тексте диссертации,

параграфы 4.2.2, 4.2.3.1, 4.2.3.2).

Кроме того, улучшены специфичные для конкретных задач особенности:

например, при поиске H2 -нормы 2D-системы вычисляется не верхняя граница

(довольно неточная), как в существующих результатах, а непосредственно

точное значение данной величины (параграф 4.2.3.3 в тексте диссертации).

При этом общий объём вычислений значительно меньше.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе ре-

зультаты могут использоваться при решении перечисленных выше задач

теории управления, а также в иных задачах, сводимых к оптимизационным

1

При использовании предложенного метода это число умножается на количество т. н. атомов, но порядок

величины остаётся тем же.

 11

задачам с участием систем матричных неравенств с аналогичным характе-

ром невыпуклости. Представленный подход и полученные результаты могут

служить основой для дальнейшего развития методов применения ПМН в

задачах теории управления, трансформационных методов оптимизации и

нахождения ещё более эффективных вычислительных схем.

Достоверность и обоснованность положений диссертационной рабо-

ты подтверждается строгим математическим выводом полученных формул и

уравнений и доказательством лемм и теорем.

Личным вкладом соискателя в диссертации и публикациях являются

формирование общей концепции решения рассматриваемых задач; формули-

рование и доказательство теоретических результатов; разработка программ-

ного обеспечения, реализующего и иллюстрирующего данные результаты.

Все новые результаты опубликованы в работах без соавторов.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались

и обсуждались на 14-й международной конференции IEEE «Методы и мо-

дели в автоматике и робототехнике» MMAR-2009 (Мендзыздрое, Польша,

2009); XI международном семинаре им. Е. С. Пятницкого «Устойчивость и

колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2010); международной

конференции «Моделирование, управление и устойчивость» MCS-2012 (Сева-

стополь, Украина, 2012); XIX международной научно-технической конферен-

ции «Информационные системы и технологии» ИСТ-2013 (Нижний Новгород,

2013); XX международной научно-технической конференции «Информаци-

онные системы и технологии» ИСТ-2014 (Нижний Новгород, 2014); XII

всероссийском совещании по проблемам управления ВСПУ-2014 (Москва,

2014); XI всероссийской школе-конференции молодых ученых «Управле-

ние большими системами» УБС-2014 (Арзамас, 2014); XXI международной

научно-технической конференции «Информационные системы и технологии»

ИСТ-2015 (Нижний Новгород, 2015); 1-й международной конференции IFAC

«Моделирование, идентификация и управление нелинейными системами»

 12

MICNON-2015 (Санкт-Петербург, 2015); 8-м симпозиуме IFAC «Проектиро-

вание робастного управления» ROCOND-2015 (Братислава, Словакия, 2015);

12-м международном семинаре IFAC «Адаптация и обучение в управлении и

обработке сигналов» ALCOSP-2016 (Эйндховен, Нидерланды, 2016); 21-й

международной конференции IEEE «Методы и модели в автоматике и робото-

технике» MMAR-2016 (Мендзыздрое, Польша, 2016); 20-м международном

конгрессе IFAC (Тулуза, Франция, 2017).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 25 работ, в том

числе: 16 статей в изданиях из перечня ВАК РФ (14 из них опубликовано в

изданиях, входящих в Web of Science и/или Scopus напрямую или в виде

переводов), две зарегистрированные программы для ЭВМ.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четы-

рёх глав, заключения, списка литературы, включающего 127 наименований,

и приложения. Основная часть работы изложена на 179 страницах, содержит

34 иллюстрации.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты

№ 07-01-92166, № 08-01-97036, № 10-08-00843, № 12-08-31440 (руководство),

№ 13-08-01092) и Минобрнауки РФ (проект № 2.1748.2014/К).

Краткое содержание

В первой главе приведен краткий обзор роли линейных и нелинейных

матричных неравенств в теории управления и методов решения задач с их

участием. Приводятся примеры задач, сводимых к данным формам. Здесь же

представлена основная концепция, стоящая за полученными в диссертации

результатами, а также описание двух соответствующих ей групп методов,

изложенных в двух последующих главах.

Во второй главе описано семейство методов оптимизации, основной

из которых предназначен для решения рассматриваемых в диссертации за-

 13

дач ПМН. Данные методы отталкиваются от метода решения задач ПМН,

основанного на построении иерархий линейных матричных неравенств, и поз-

воляют в характерных для теории управления задачах радикально уменьшить

вычислительную сложность за счёт контролируемого введения консерватиз-

ма, не предотвращающего возможность нахождения глобальных экстремумов.

Рассмотрено несколько вариантов вычислительных схем.

В третьей главе приведены процедуры применения перехода к двой-

ственным формам в различных задачах теории управления с целью их

решения или получения условий разрешимости. В большинстве случаев

целью преобразований является получение задач ПМН, совместимых с мето-

дом, описанным во второй главе. Рассмотрены задачи об устойчивости и H∞ -

и H2 -нормах 2D-систем и систем с параметрической неопределённостью;

задача о существовании общей квадратичной функции Ляпунова множества

линейных систем.

В четвёртой главе представлены примеры использования полученных

методов и сравнение с существующими методами, где это применимо.

В заключении диссертации подведены итоги проведённых исследова-

ний и сформулированы возможные направления дальнейшей работы.

Приложение к диссертации содержит копии свидетельств о регистра-

ции программ для ЭВМ, реализующих представленные в диссертации новые

методы решения задач.

На защиту выносятся

• Новая концепция решения задач теории управления, сводящихся к

параметризованным матричным неравенствам, путём их трансформации

к универсальной форме задач ПМН.

• Разработанная в рамках концепции группа методов:

 14

– новый метод решения задач ПМН;

– методы преобразования к форме ПМН задач анализа устойчивости

и вычисления H∞ -норм 2D-систем;

– методы преобразования к форме ПМН задач анализа устойчи-

вости и вычисления H∞ - и H2 -норм систем с параметрической

неопределённостью.

• Методы, связанные с тематикой работы и воплощающие отдельные

элементы предложенной концепции: упрощённый метод вычисления

H2 -нормы 2D-систем; критерии разрешимости задачи о существовании

общей квадратичной функции Ляпунова множества линейных систем.

 15

1. ОТКРЫТЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ И

МАТРИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

1.1. 2D-системы

Формализм многомерных (nD) систем широко применяется в решении

задач теории управления, связанных с такими классами систем, как повторя-

ющиеся процессы (см. [16; 60; 89; 91; 110; 112]), системы с распределёнными

параметрами ([59; 86; 105]), распространение возмущений ([74; 79]) и др.

Наиболее изученным его вариантом является случай n = 2, в котором обе

независимые переменные могут быть горизонтальной и вертикальной ко-

ординатами на плоскости (модель Роессера [109]), номером повторения и

временем на текущем повторении (повторяющиеся процессы) и т. д.

Ключевым типом задач, рассматриваемых в диссертации, являются

задачи анализа таких систем. Это подразумевает постановку задач того

же рода, что и для обычных динамических систем: в частности, анализ

устойчивости и оценку норм. Однако сложность сопутствующих вычислений

в данном случае существенно выше. Подходы к решению таких задач также

имеют немало общего с традиционными вариантами. Например, условия

устойчивости линейных систем могут быть выражены в терминах свойств

спектров характеристических полиномов (см. [45] для дискретных систем и

[111] для непрерывно-дискретных систем) или специализированных функций

Ляпунова. Последние позволяют применять методы, основанные на линейных

матричных неравенствах и выпуклой оптимизации. Также они совместимы

с более сложными типами задач анализа и синтеза (см., например, [92]).

Общий способ решения, подходящий для нескольких вариантов задач оценки

устойчивости и норм, представлен в [55].

Подход, основанный на функциях Ляпунова, довольно универсален и

 16

в ряде случаев может привести к получению необходимых и достаточных

условий в терминах матричных неравенств различного вида. Таким образом,

задачи анализа 2D-систем можно свести к форме, являющейся качественным

обобщением такого известного инструмента, как задачи оптимизации с уча-

стием линейных матричных неравенств. Далее в данной главе мы приводим

основные модели 2D-систем, а также рассматриваем типы задач с участием

матричных неравенств в порядке возрастания сложности.

1.1.1. Модели

2D-системы имеют ряд возможных представлений.

Классическая модель Роессера [109] имеет вид

      

 xh (i + 1, k)   Ahh Ahv   xh (i, k)   Bh 

 =  +  u(i, k),

xv (i, k + 1) Avh Avv xv (i, k) Bv

  (1.1)

h i xh (i, k)

y(i, k) = Ch Cv   + Du(i, k),

 

xv (i, k)

где i ∈ N0 и k ∈ N0 — дискретные временные переменные, xh ∈ Rnh и

xv ∈ Rnv — «горизонтальная» и «вертикальная» компоненты состояния,

u ∈ Rnu — входные переменные, y ∈ Rny — выходные переменные, Ahh ,

Avh , Ahv , Avv , Bh , Bv , Ch , Cv и D — заданные матрицы соответствующего

размера. Граничные условия в базовом варианте задаются как

xh (0, k) = xh0k ∈ Rnh , xv (i, 0) = xvi0 ∈ Rnv , i, k ∈ N0 .

Модель Роессера имеет две модификации, в которых одна или обе

временных переменных являются непрерывными. Непрерывно-дискретная

 17

модель имеет вид

d

xc (t, k) = Acc xc (t, k) + Acd xd (t, k) + Bc u(t, k),

dt

xd (t, k + 1) = Adc xc (t, k) + Add xd (t, k) + Bd u(t, k), (1.2)

y(t, k) = Cc xc (t, k) + Cd xd (t, k) + Du(t, k),

где t ∈ R и k ∈ N0 — непрерывная и дискретная переменные, xc ∈ Rnc и

xd ∈ Rnd — непрерывное и дискретное состояния, а остальные обозначения

имеют ту же семантику, что и ранее. Непрерывная система Роессера имеет

аналогичную структуру вида

∂

x1 (t1 , t2 ) = A11 x1 (t1 , t2 ) + A12 x2 (t1 , t2 ) + B1 u(t1 , t2 ),

∂t1

∂

x2 (t1 , t2 ) = A21 x1 (t1 , t2 ) + A22 x2 (t1 , t2 ) + B2 u(t1 , t2 ),

∂t2

y(t1 , t2 ) = C1 x1 (t1 , t2 ) + C2 x2 (t1 , t2 ) + Du(t1 , t2 ).

Модель Форназини-Маркезини [62] задаётся как

x(i + 1, j + 1) = A1 x(i + 1, j) + A2 x(i, j + 1) + B1 u(i + 1, j) + B2 u(i, j + 1),

y(i, j) = Cx(i, j) + Du(i, j),

где i, j ∈ N0 ; x ∈ Rnx , y ∈ Rny и u ∈ Rnu — векторы состояния, выхода

и входа, соответственно; A1 , A2 , B1 , B2 , C, D — матрицы соответствующих

размеров; граничные условия задаются как

x(0, j) = x0j ∈ Rnx ; x(i, 0) = xi0 ∈ Rnx .

Из активно изучаемых в настоящее время моделей важное значение

также имеют т. н. повторяющиеся процессы [110; 112]: 2D-процессы, в

которых одна из временных переменных описывает время как в обычных

(1D) динамических системах, а другая указывает номер итерации. Данная

модель представляет систему как последовательность траекторий, которая

строится таким образом, чтобы выходной вектор как функция времени

приближался к желаемому профилю. Получаемая в результате задача т. н.

 18

итеративного обучения может быть сведена к соответствующей задаче о 2D-

системе [60; 91]. В частности, приведение траектории выхода yk (t) системы

ẋk (t) = Axk (t) + Buk (t), yk (t) = Cxk (t),

к виду yd (t) на отрезке t ∈ [0; T ] для заданного T может быть описано

непрерывно-дискретным процессом

h iT h iT

η̇k (t) ek+1 (t) = M ηk (t) ek (t) ,

где ek (t) = yd (t) − yk (t) — ошибка воспроизведения заданной траектории,

Rt

ηk (t) = 0 xk+1 (τ ) − xk (τ ) dτ , и M зависит от A, B, C и матриц коэффи-

циентов, описывающих закон управления. Сходимость процесса обучения

может тогда быть проанализирована через устойчивость полученной 2D-

системы. Соответствующие приложения встречаются в задачах управления

химическими реакциями, проката металла и резания пластов при добыче

угля. Отметим, что существенным отличием повторяющихся процессов от

внешне схожей модели непрерывно-дискретных процессов Роессера является

конечность непрерывного временного интервала (t ∈ [0; T ]), что приводит к

иному определению устойчивости и т. д.

В диссертации рассматриваются результаты, связанные с формами (1.1)

и (1.2).

1.2. Линейные матричные неравенства

История линейных матричных неравенств [2; 39; 80] в анализе динами-

ческих систем началась более ста лет назад, когда в 1892 г. А. М. Ляпунов

опубликовал свою докторскую диссертацию, содержащую фундаментальные

основы современной теории устойчивости (переиздание его работы см. в

[11]). Из этой теории, в частности, следует, что решение дифференциального

уравнения

d

x(t) = Ax(t)

dt

 19

является устойчивым тогда и только тогда, когда существует положительно

определённая матрица P = P T , такая, что

AT P + P A < 0.

Это условие, широко известное сегодня как неравенство Ляпунова, является

одним из простейших примеров линейного матричного неравенства. Оно мо-

жет быть решено в явном виде с помощью линейного матричного уравнения

Ляпунова AT P + P A + Q = 0, где Q = QT — произвольная положительно

определённая матрица. Таким образом, первым ЛМН, использованным для

анализа устойчивости динамической системы, было неравенство Ляпунова,

которое может быть решено аналитически.

В 1940-е годы А. И. Лурье, В. Н. Постников, М. А. Айзерман и ряд

других авторов применили методы Ляпунова к некоторым задачам авто-

матического управления, в частности, к задаче устойчивости системы с

нелинейностью, ограниченной в секторе [10]. Хотя они и не применяли

матричные неравенства в явном виде, их критерии устойчивости фактически

имеют форму ЛМН. Эти неравенства сводились к полиномиальному виду и

далее проверялись вручную (для систем небольших порядков).

В ранние 1960-е годы В. А. Якубович, В. М. Попов, Р. Э. Калман и дру-

гие исследователи сумели свести решение линейных матричных неравенств

в задаче Лурье к несложным графическим критериям, используя т. н. лемму

Калмана-Якубовича-Попова [6; 15; 36; 43], или «частотную теорему». Это

привело к появлению известных критериев Попова, Цыпкина, кругового

критерия и пр. Они могли применяться к системам более высокого порядка,

но не к системам, содержащим более одной нелинейности. С точки зре-

ния ЛМН, эти критерии показывали способ решения линейных матричных

неравенств определённого вида графическим способом. Тогда же, благодаря

пионерским работам В. А. Якубовича [40–43], стала понятна важность ро-

ли ЛМН в теории управления. Отметим, что указанные принципиальные

результаты, в первую очередь метод Ляпунова и лемма Калмана-Якубовича-

 20

Попова, не только послужили фундаментом многих теорем математической

теории управления, но и продолжают использоваться напрямую в решении

задач анализа и синтеза управления системами различного рода, в т. ч.

нелинейными: см, например, [3–5; 7; 12–14; 49].

Во второй половине 60-х была обнаружена связь леммы Калмана-

Якубовича-Попова и её модификаций с критериями о малом коэффициенте

усиления, введёнными Дж. Зеймсом [125; 126] и И. Сэндбергом [113–115], и

оптимальным квадратическим управлением. К 70-м было известно, что ЛМН,

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Поздяев Владимир Васильевич, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Александров А. Ю., Платонов А. В. Об абсолютной устойчивости

одного класса нелинейных систем с переключениями // Автоматика и

телемеханика. — 2008. — № 7. — С. 3–18.

[2] Баландин Д. В., Коган М. М. Синтез законов управления на основе

линейных матричных неравенств. — М. : Физматлит, 2007. — 280 с.

[3] Бобцов А. А., Николаев Н. А. Синтез управления нелинейными систе-

мами с функциональными и параметрическими неопределенностями на

основе теоремы Фрадкова // Автоматика и телемеханика. — 2005. —

№ 1. — С. 118–129.

[4] Бобцов А. А., Николаев Н. А. Управление по выходу линейными

системами с неучтенной динамикой // Автоматика и телемеханика. —

2009. — № 6. — С. 115–122.

[5] Бобцов А. А., Фаронов М. В. Управление по выходу нелинейными

системами с запаздыванием в условиях неучтенной динамики // Из-

вестия Российской академии наук. Теория и системы управления. —

2011. — № 3. — С. 79–87.

[6] Гелиг А. Х., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных

систем с неединственным состоянием равновесия. — М. : Наука,

1978. — 400 с.

[7] Итеративный алгоритм адаптивного управления по выходу с пол-

ной компенсацией неизвестного синусоидального возмущения / А. А.

Бобцов [и др.] // Автоматика и телемеханика. — 2012. — № 8. —

С. 64–75.

 166

[8] Каменецкий В. А., Пятницкий Е. С. Градиентный метод построения

функций Ляпунова в задачах абсолютной устойчивости // Автоматика

и телемеханика. — 1987. — № 1. — С. 3–12.

[9] Лурье А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического

регулирования. — М. : Гостехиздат, 1951. — 216 с.

[10] Лурье А. И., Постников В. Н. К теории устойчивости регулируемых

систем // Прикладная математика и механика. — 1944. — Т. 8, № 3. —

С. 246–248.

[11] Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. — М.-Л. :

Гостехиздат, 1950. — 472 с.

[12] Маликов А. И. Об устойчивости систем с периодическими струк-

турными изменениями // Изв. вузов. Матем. — 1994. — № 7. —

С. 41–48.

[13] Маликов А. И. Эллипсоидальное оценивание решений дифференци-

альных уравнений с помощью матричных систем сравнения // Изв.

вузов. Матем. — 2002. — № 8. — С. 30–42.

[14] Маликов А. И. Эллипсоидальное оценивание состояния дискретных

систем управления с помощью матричных систем сравнения // Изв.

вузов. Матем. — 2004. — № 1. — С. 53–69.

[15] Нелинейные системы. Частотные и матричные неравенства / Под ред.

А. Х. Гелига, Г. А. Леонова, А. Л. Фрадкова. — М. : ФИЗМАТЛИТ,

2008. — 608 с.

[16] Пакшин П. В., Галковский K., Роджерс Э. Линейно-квадратичная

параметризация стабилизирующих управлений в дискретных системах

с двумерной динамикой // Автоматика и телемеханика. — 2011. —

№ 11. — С. 157–173.

 167

[17] Пакшин П. В., Поздяев В. В. Критерий существования общей квад-

ратичной функции Ляпунова множества линейных систем второго

порядка // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2005. —

№ 4. — С. 22–27.

[18] Пакшин П. В., Поздяев В. В. Условия разрешимости системы линей-

ных матричных неравенств второго порядка // Известия РАН. Теория

и системы управления. — 2006. — № 5. — С. 5–14.

[19] Поздяев В. В. Атомная оптимизация для задач с участием полиноми-

альных матричных неравенств // Свидетельство о государственной

регистрации программы для ЭВМ № 2013660619. Зарегистрировано в

Реестре программ для ЭВМ 12.11.2013.

[20] Поздяев В. В. Атомная оптимизация: системы полиномиальных мат-

ричных неравенств и трансформация пространств поиска // Моде-

лирование, управление и устойчивость (MCS-2012): межд. конф. —

Севастополь, 2012. — С. 182–183.

[21] Поздяев В. В. Атомная оптимизация: трансформация пространств поис-

ка в задачах нелинейного программирования [Электронный ресурс] //

XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014.

Труды. CD-ROM. — М. : ИПУ РАН, 2014. — С. 2352–2363.

[22] Поздяев В. В. Задачи вычисления норм 2D-систем // Доклады Акаде-

мии Наук. — 2017. — Т. 475, № 4. — С. 382–385.

[23] Поздяев В. В. О вычислении норм 2D-систем // Автоматика и телеме-

ханика. — 2018. — № 3. — С. 3–20.

[24] Поздяев В. В. О необходимых условиях разрешимости параметризо-

ванных неравенств Ляпунова [Электронный ресурс] // XXI между-

народная научно-техническая конференция «Информационные систе-

мы и технологии» ИСТ-2015. Материалы конференции. CD-ROM. —

Н.Новгород, 2015. — С. 274.

 168

[25] Поздяев В. В. Об аналитическом решении систем матричных нера-

венств, двойственных к системам неравенств Ляпунова // Управление

большими системами. — 2010. — № 28. — С. 58–74.

[26] Поздяев В. В. Об аналитическом решении систем матричных нера-

венств, двойственных к системам неравенств Ляпунова // Устойчи-

вость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов

XI Международного семинара им. Е. С. Пятницкого. — М. : ИПУ

РАН, 2010. — С. 326–328.

[27] Поздяев В. В. Особенности реализации и применения метода атомной

оптимизации в задачах теории управления [Электронный ресурс] //

XIX международная научно-техническая конференция «Информаци-

онные системы и технологии» ИСТ-2013. Материалы конференции.

CD-ROM. — Н.Новгород, 2013. — С. 325.

[28] Поздяев В. В. Параметризованные матричные неравенства в задачах

анализа линейных динамических систем // Журнал вычислительной

математики и математической физики. — 2018. — Т. 58, № 6. —

С. 1–11.

[29] Поздяев В. В. Построение и решение двойственных форм матрич-

ных неравенств в методе атомной оптимизации // Свидетельство о

государственной регистрации программы для ЭВМ № 2014662962.

Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 12.12.2014.

[30] Поздяев В. В. Прямые и двойственные формы в методе атомной

оптимизации для одномерных задач // Динамика сложных систем —

XXI век. — 2014. — № 1. — С. 53–58.

[31] Поздяев В. В. Прямые и двойственные формы линейных релаксаций

в методе атомной оптимизации [Электронный ресурс] // XX между-

народная научно-техническая конференция «Информационные систе-

мы и технологии» ИСТ-2014. Материалы конференции. CD-ROM. —

Н.Новгород, 2014. — С. 321.

 169

[32] Поздяев В. В. Редукция двойственных форм в методе атомной опти-

мизации // Управление большими системами. — 2015. — № 54. —

С. 66–85.

[33] Поздяев В. В. Трансформация пространства поиска в прямых и двой-

ственных системах матричных неравенств // Управление большими

системами (УБС’2014): Материалы XI Всерос. школы-конференции

молодых ученых. — М. : ИПУ РАН, 2014. — С. 312–329.

[34] Поляк Б. Т., Хлебников М. В., Щербаков П. С. Управление линейными

системами при внешних возмущениях: техника линейных матричных

неравенств. — М. : Ленанд, 2014. — 560 с.

[35] Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. —

М. : Наука, 2002. — 303 с.

[36] Попов В. М. Гиперустойчивость автоматических систем. — М. : Наука,

1970. — 453 с.

[37] Пятницкий Е. С., Скородинский В. И. Численные методы построения

функций Ляпунова и критерий абсолютной устойчивости в форме

численных процедур // Автоматика и телемеханика. — 1983. — №

11. — С. 52–63.

[38] Стронгин Р. Г., Гергель В. П., Баркалов К. А. Параллельные методы

решения задач глобальной оптимизации // Известия высших учебных

заведений. Приборостроение. — 2009. — Т. 52, № 10. — С. 25–33.

[39] Чурилов А. Н., Гессен А. В. Исследование линейных матричных

неравенств. Путеводитель по программным пакетам. — СПб. : Изда-

тельство Санкт-Петербургского университета, 2004. — 148 с.

[40] Якубович В. А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости

нелинейных регулируемых систем. I // Автоматика и телемеханика. —

1964. — Т. 25, № 7. — С. 1017–1029.

 170

[41] Якубович В. А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости

нелинейных регулируемых систем. II // Автоматика и телемеханика. —

1965. — Т. 26, № 4. — С. 577–599.

[42] Якубович В. А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости

нелинейных регулируемых систем. III // Автоматика и телемехани-

ка. — 1965. — Т. 26, № 5. — С. 763–768.

[43] Якубович В. А. Решение некоторых матричных неравенств, встреча-

ющихся в теории автоматического регулирования // ДАН СССР. —

1962. — Т. 143, № 6. — С. 1304–1307.

[44] A unifying framework for the circle criterion and other quadratic stability

criteria / R. N. Shorten [et al.] // Proc. European Control Conference

(ECC). — 2003. — Pp. 530–535.

[45] Agathoklis P., Jury E., Mansour M. Algebraic necessary and sufficient

conditions for the stability of 2-D discrete systems // Circuits and Systems

II: Analog and Digital Signal Processing, IEEE Transactions on. —

1993. — Vol. 40, no. 4. — Pp. 251–258.

[46] Amelin K., Granichin O. Randomized control strategies under arbitrary

external noise // Automatic Control, IEEE Transactions on. — 2016. —

Vol. 61, no. 5. — Pp. 1328–1333.

[47] Apkarian P., Tuan H. D. Parameterized LMIs in control theory // SIAM

J. on Control and Optimization. — 2000. — Vol. 38, no. 4. — Pp. 1241–

1264.

[48] Blondel V., Tsitsiklis J. NP-hardness of some linear control design

problems // SIAM J. on Control and Optimization. — 1997. — Vol. 35,

no. 6. — Pp. 2118–2127.

[49] Bobtsov A. A., Pyrkin A. A., Kolyubin S. A. Simple output feedback

adaptive control based on passification principle // International Journal

of Adaptive Control and Signal Processing. — 2014. — Vol. 28, 7-8. —

Pp. 620–632.

 171

[50] Boyd S., Vandenberghe L. Convex optimization. — Cambridge University

Press, 2004. — 727 pp.

[51] Chesi G. LMI techniques for optimization over polynomials in control: a

survey // Automatic Control, IEEE Transactions on. — 2010. — Vol. 55,

no. 11. — Pp. 2500–2510.

[52] Chesi G. Robust static output feedback controllers via robust stabilizability

functions // Automatic Control, IEEE Transactions on. — 2014. — Vol.

59, no. 6. — Pp. 1618–1623.

[53] Chesi G., Middleton R. H. Static feedback design for 2D mixed continuous-

discrete-time systems via LMIs // Proc. European Control Conference

(ECC). — 2015. — Pp. 2859–2864.

[54] Chesi G., Middleton R. H∞ and H2 norms of 2-D mixed continuous-

discrete-time systems via rationally-dependent complex Lyapunov func-

tions // Automatic Control, IEEE Transactions on. — 2015. — Vol. 60,

no. 10. — Pp. 2614–2625.

[55] Chesi G., Middleton R. Necessary and sufficient LMI conditions for

stability and performance analysis of 2-D mixed continuous-discrete-time

systems // Automatic Control, IEEE Transactions on. — 2014. — Vol. 59,

no. 4. — Pp. 996–1007.

[56] Crusius C. A. R., Trofino A. Sufficient LMI conditions for output feedback

control problems // Automatic Control, IEEE Transactions on. — 1999. —

Vol. 44, no. 5. — Pp. 1053–1057.

[57] Curto R. E., Fialkow L. A. The truncated complex K-moment problem //

Transactions AMS. — 2000. — Vol. 352, no. 6. — Pp. 2825–2856.

[58] Delibaşı A., Henrion D. Hermite matrix in Lagrange basis for scaling

static output feedback polynomial matrix inequalities // International

Journal of Control. — 2010. — Vol. 83, no. 12. — Pp. 2494–2505.

 172

[59] Dullerud G., D’Andrea R. Distributed control of heterogeneous sys-

tems // Automatic Control, IEEE Transactions on. — 2004. — Vol. 49. —

Pp. 2113–2128.

[60] Experimentally supported 2D systems based iterative learning control law

design for error convergence and performance / L. Hladowski [et al.] //

Control Engineering Practice. — 2010. — Vol. 18, no. 4. — Pp. 339–348.

[61] Fazel M., Hindi H., Boyd S. P. Log-det heuristic for matrix rank mini-

mization with applications to Hankel and Euclidean distance matrices //

Proc. American Control Conference. Vol. 3. — 2003. — Pp. 2156–2162.

[62] Fornasini E., Marchesini G. Doubly-indexed dynamical systems: state-

space models and structural properties // Mathematical systems theory. —

1978. — Vol. 12, no. 1. — Pp. 59–72.

[63] Goemans M. X., Williamson D. P. Improved approximation algorithms

for maximum cut and satisfiability problems using semidefinite program-

ming // J. ACM. — New York, NY, USA, 1995. — Vol. 42, no. 6. —

Pp. 1115–1145.

[64] Granichin O., Amelina N. Simultaneous perturbation stochastic approx-

imation for tracking under unknown but bounded disturbances // Au-

tomatic Control, IEEE Transactions on. — 2015. — Vol. 60, no. 6. —

Pp. 1653–1658.

[65] Granichin O., Volkovich V., Toledano-Kitai D. Randomized algorithms in

automatic control and data mining. — Springer-Verlag Berlin Heidelberg,

2015. — 251 pp.

[66] Hardy G., Littlewood J., Pólya G. Inequalities. — 2nd ed. — Cambridge

University Press, 1988.

[67] Henrion D., Lasserre J.-B. Convergent relaxations of polynomial ma-

trix inequalities and static output feedback // Automatic Control, IEEE

Transactions on. — 2006. — Vol. 51, no. 2. — Pp. 192–202.

 173

[68] Henrion D., Lasserre J.-B. Detecting global optimality and extracting

solutions in GloptiPoly // Positive Polynomials in Control / ed. by D.

Henrion, A. Garulli. — Berlin, Heidelberg : Springer, 2005. — Pp. 293–

310.

[69] Henrion D., Lasserre J.-B., Löfberg J. GloptiPoly 3: moments, opti-

mization and semidefinite programming // Optimization Methods and

Software. — 2009. — Vol. 24, no. 4–5. — Pp. 761–779.

[70] Homogeneous polynomial forms for robustness analysis of uncertain

systems / G. Chesi [et al.]. — Springer, 2009.

[71] Iwasaki T., Skelton R. Parametrization of all stabilizing controllers via

quadratic Lyapunov functions // Journal of Optimization Theory and

Applications. — 1995. — Vol. 85, issue 2. — Pp. 291–307.

[72] Kamenetskiy V. A., Pyatnitskiy Y. S. An iterative method of Lyapunov

function construction for differential inclusions // Syst. Control Lett. —

1987. — Vol. 8, no. 5. — Pp. 445–451.

[73] Karmarkar N. A new polynomial-time algorithm for linear program-

ming // Combinatorica. — 1984. — Vol. 4, no. 4. — Pp. 373–395.

[74] Knorn S., Middleton R. Stability of two-dimensional linear systems with

singularities on the stability boundary using LMIs // Automatic Control,

IEEE Transactions on. — 2013. — Vol. 58, no. 10. — Pp. 2579–2590.

[75] Kočvara M., Stingl M. PENBMI [Электронный ресурс]. — URL: www.

penopt.com (дата обращения: 01.07.2016).

[76] Kočvara M., Stingl M. PENNON: A code for convex nonlinear and

semidefinite programming // Optimization Methods and Software. —

2003. — Vol. 18, no. 3. — Pp. 317–333.

[77] Lasserre J.-B. Global optimization with polynomials and the problem of

moments // SIAM J. on Optimization. — 2001. — Vol. 11, no. 3. —

Pp. 796–817.

 174

[78] Leibfritz F. COMPle ib: COnstraint Matrix-optimization Problem library —

a collection of test examples for nonlinear semidefinite programs, control

system design and related problems: tech. rep. — 2004.

[79] Li Y., Cantoni M., Weyer E. On water-level error propagation in controlled

irrigation channels // Proc. IEEE Conf. Decision Control and Eur. Control

Conf. — Seville, Spain, 2005. — Pp. 2101–2106.

[80] Linear matrix inequalities in system and control theory / S. Boyd [et

al.]. — Society for Industrial, Applied Mathematics, 1994.

[81] Murty K. G., Kabadi S. N. Some NP-complete problems in quadratic

and nonlinear programming // Mathematical Programming. — 1987. —

Vol. 39, no. 2. — Pp. 117–129.

[82] Nemirovski A. Lecture notes. Interior point polynomial time methods in

convex programming. — 2004.

[83] Nesterov Y., Nemirovskii A. Interior-point polynomial algorithms in

convex programming. — Society for Industrial, Applied Mathematics,

1994.

[84] Nesterov Y., Nemirovsky A. Interior-point polynomial methods in convex

programming: theory and applications. — SIAM, 1993.

[85] Oliveira M. C. D., Geromel J. C., Bernussou J. Extended H2 and H∞

norm characterizations and controller parametrizations for discrete-time

systems // International Journal of Control. — 2002. — Vol. 75, no. 9. —

Pp. 666–679.

[86] On the control of distributed parameter systems using a multidimensional

systems setting / B. Cichy [et al.] // Mechanical Syst. and Signal

Processing. — 2008. — Vol. 22. — Pp. 1566–1581.

[87] Ooba T., Funahashi Y. On a common quadratic Lyapunov function for

widely distant systems // Automatic Control, IEEE Transactions on. —

1997. — Vol. 42, no. 12. — Pp. 1697–1699.

 175

[88] Ooba T., Funahashi Y. Two conditions concerning common quadratic

Lyapunov functions for linear systems // Automatic Control, IEEE Trans-

actions on. — 1997. — Vol. 42, no. 5. — Pp. 719–722.

[89] Owens D. H., Rogers E. Frequency domain Lyapunov equations and

performance bounds for differential linear repetitive processes // Syst.

Control Lett. — 1995. — Vol. 26, no. 1. — Pp. 65–68.

[90] Pakshin P. V. Robust stability and stabilization of the family of jumping

stochastic systems // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applica-

tions. — 1997. — Vol. 30, no. 5. — Pp. 2855–2866.

[91] Paszke W. Analysis and synthesis of multidimensional system classes

using linear matrix inequality methods. — University of Zielona Góra

Press, 2005.

[92] Paszke W., Rogers E., Galkowski K. H2 /H∞ output information-based