Полиномиальные тождества в нильалгебрах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Аладова, Елена Владимировна

• Аладова, Елена Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Аладова, Елена Владимировна

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1 Основные определения

1.2 Вспомогательные факты

Глава 2. Полиномиальные тождества в нильалгебрах над полем характеристики р>

2.1 Предварительные результаты

2.2 Построение алгебры Вп и ее свойства

2.3 Доказательство основной теоремы

Глава 3. Некоторые неконечнобазируемые системы тождеств с тождеством вида хп = О

3.1 Некоторые дополнительные следствия леммы 1.

3.2 Неконечнобазируемая система тождеств над полем характеристики 3, содержащая тождество х12 =

3.3 Неконечнобазируемая система тождеств над полем характеристики р > 3, содержащая тождество х6р =

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полиномиальные тождества в нильалгебрах»

Тождества являются одним из важнейших объектов исследования в теории универсальных алгебр. Теория тождеств представляет собой достаточно разветвленный раздел алгебраической науки. Язык тождеств позволяет описывать многие свойства алгебраических систем и их классов, а изучение тождеств конкретных алгебраических объектов помогает исследовать структуру этих объектов, выяснять взаимосвязи между различными объектами и их классами.

Начало изучения тождеств как абстрактных объектов было связано с решением вполне конкретных задач. Одной из таких задач является знаменитая проблема Бернсайда 1902 года о периодических группах: является ли конечной группа с конечным числом порождающих и с тождеством хп = 1, где п фиксированное натуральное число? Эта проблема породила различные ее варианты и в полном объеме не решена до сих пор.

Исследования по проблеме Бернсайда в группах способствовали рассмотрению аналогичных вопросов и в других алгебраических структурах (полугруппах, кольцах, алгебрах и др.).

Огромную роль в развитии науки о тождествах сыграла проблема конечной базируемости, впервые поставленная Б. Нейманом для групп в 1935 году в докторской диссертации: верно ли, что произвольная система групповых тождеств является следствием своей конечной подсистемы?

Проблема, поставленная Б. Нейманом, долгое время оставалась открытой и была решена отрицательно. В 1970 году А.Ю. Ольшанский [26] доказал, что существуют системы групповых тождеств, не эквивалентные никакой конечной системе, в том же году С.И Адяном [1] и М. Воэн-Ли [44] были построены первые примеры ^ таких систем.

Вариант проблемы конечной базируемости для ассоциативных алгебр известен как проблема Шпехта: верно ли, что любая система полиномиальных тождеств ассоциативных алгебр конеч-нобазируема?

Первоначально этот вопрос, сформулированный В. Шпех-том [43] в 1950 году, был поставлен для ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики. А.И. Мальцев [18] поставил вопрос в иной формулировке: существуют ли неконечнобазируе-мые системы тождеств ассоциативных колец?

Первые результаты, связанные с данной проблематикой, принадлежат В.Н. Латышеву [20], [21]. А первые контрпримеры к проблеме конечной базируемости для алгебр были получены в i' классе алгебр Ли в 70-е годы, поскольку вопрос о конечной базируемости систем полиномиальных тождеств представляет интерес не только для ассоциативных алгебр, но и для других классов алгебр (алгебр Ли, альтернативных, йордановых алгебр). В 1970 году М. Воэн-Ли [45] построил пример неконечнобазируемого многообразия алгебр Ли над полем характеристики 2, затем в 1974 году В. Дренски [14] построил пример неконечнобазируемого многообразия алгебр Ли над полем произвольной положительной характеристики. Отметим, что проблема конечной базируемости для алгебр Ли над полем нулевой характеристики до сих пор остается открытой.

В 1980 году Ю.А. Медведев [25] построил пример неконечнобазируемого многообразия альтернативных алгебр над полем характеристики 2, соответствующий пример в случае поля характеристики 3 построен С.В. Пчелинцевым [28].

Ю.П. Размыслов [29] доказал конечную базируемость многообразия алгебр матриц второго порядка над полем нулевой характеристики. Многообразиям, порожденным различными матричными алгебрами, посвящены работы Г.К. Генова [6], Г.К. Генова и П.Н. Сидерова [8], А.Н. Красильникова[19] и др.

Нематричными многообразиями занимались В.Н. Латышев [22]-[24], Г.К. Генов [7], А.П. Попов [27], в частности, они показали шпехтовость нематричных многообразий алгебр над полем характеристики нуль.

Полное решение проблемы конечной базируемости систем полиномиальных тождеств в той формулировке, которую дал В. Шпехт, было получено в 1987 году А.Р. Кемером [17]. В серии своих работ [16], [17] А.Р. Кемер показал, что любая система полиномиальных тождеств ассоциативных алгебр над полем характеристики нуль конечнобазируема.

В случае поля ненулевой характеристики ситуация оказалась иной. В 1999 году вышли статьи А.Я. Белова [3], А.В. Гришина [12] и В.В. Щиголева [30], в которых были построены примеры неконечнобазируемых систем тождеств ассоциативных алгебр над полем положительной характеристики (см. также [4], [13], [37],

31])

Необходимо отметить, что на сегодняшний день все существую-^ щие примеры неконечнобазируемых систем тождеств ассоциативных алгебр над полем простой характеристики получены с использованием неконечнопорожденных Т-пространств. Понятие Т-пространства было впервые введено А.В. Гришиным в [9]. Он стал систематически изучать Т-пространства с точки зрения их конечной порожденности (см. работы [10], [11], [36]) и получил первый пример неконечнопорожденного Т-пространства над полем характеристики 2 [10] (см. также [12]). Над полем характеристики р > 2 неконечнопорожденные Т-пространства были позднее построены Щиголевым [31], [32].

Отметим, что построенная А.В. Гришиным [12], [37], [38] не-конечнобазируемая система тождеств над полем характеристики 2 включает тождество х32 = 0, а построенная В.В. Щиголе-f: вым [30] система над полем характеристики р > 2 — тождество x2p3(2p+i) — 0. С другой стороны, над полем характеристики р тождество хп = 0 не может быть включено ни в какую неконечнобазируемую систему, если п < р. Действительно, согласно теореме Нагаты-Хигмана-Дубнова-Иванова ([41], [40], [34], см. также [35]) из тождества хп = 0 при п < р следует тождество нильпотентности Х\Х2. £fcnp = 0 для некоторого кП)Р, зависящего от п и р. А любая система, содержащая тождество нильпотентности, конечно-базируема (см., например, [2]).

После построения А.В. Гришиным примера неконечнобазируе-мого многообразия асоциативных алгебр над полем характеристики 2 с тождеством ж32 = 0 на семинаре по теории колец кафедры высшей алгебры МГУ им был сформулирован естественно возникающий вопрос: каким может быть минимальный индекс ниле-вости, чтобы многообразие оставалось неконечнобазируемым?

Настоящая работа посвящена изучению проблемы неконечной базируемости систем полиномиальных тождеств в нильалгебрах над полем положительной характеристики. В частности, в ней рассматривается следующая

Проблема Для каких натуральных п тождество хп = 0 может быть включено в неконечнобазируемую систему тождеств ассоциативных алгебр над полем характеристики р?

Над полем характеристики 2, как было отмечено выше, А.В. Гришин [37] построил неконечнобазируемую систему тождеств, включающую тождество ж32 = 0. Аналогичная система с тождеством я6 = 0 была построена Ч.К. Гуптой и А.Н. Красиль-никовым в [39]. Также уже отмечалось, что над полем характеристики р > 3 В.В. Щиголев [30] построил неконечнобазируемую систему с тождеством х2р3(2р+1^ = 0. В [32] им была построена аналогичная система с тождеством x2pi+pi+1 = 0. Для р = 3 результат В.В. Щиголева был улучшен автором [46]. С помощью модификации конструкции, использованной в [39], нами была построена неконечнобазируемая система тождеств над полем характеристики 3, содержащая тождество х12 = 0 (система В.В. Щиголева в этом случае содержит тождество хш = 0 [30] или ж64 = 0 в [32]). Аналогичную модификацию конструкции из [39], хотя и ценой гораздо больших усилий, можно осуществить и для произвольного р > 3. Это позволяет построить над полем характеристики р > 3 неконечнобазируемую систему с тождеством ж6р = 0 (см. работы автора и А.Н. Красильникова [52], [53], [54]).

Цель работы. Построение неконечнобазируемой системы тождеств нильалгебр над полем характеристики р > 3, содержащей тождество х2р = 0.

Научная новизна и практическая ценность. Все результаты работы являются новыми. Основными результатами можно считать:

1. Построение неконечнобазируемой системы тождеств нильалгебр над полем характеристики 3, содержащей тождество х12 = 0.

2. Построение неконечнобазируемой системы тождеств нильалгебр над полем характеристики р> 5, содержащей тождество х6р = 0.

3. Построение неконечно базируемой системы тождеств нилъ-алгебр над полем характеристики р > 3, содержащей тождество х2р = 0.

Пока остается открытым вопрос о конечной порожденности многообразия нильалгебр над полем характеристики р с тождеством хп = 0 для р < п < 2р. В связи с этим хотелось бы выяснить, верна ли следующая

Гипотеза Над полем характеристики р > 3 каждая система полиномиальных тождеств ассоциативных алгебр, содержащая тождество хп = 0 для п < 2р, является конечнобазируемой.

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении многообразий алгебр над полем положительной характеристики.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре по теории групп под руководством АЛ. Шмель-кина (МГУ, 2003), на семинаре по теории колец под руководством В.А. Артамонова, В.Н. Латышева, А.В. Михалева (МГУ, 2004), на научном семинаре кафедры алгебры Московского педагогического государственного университета.

Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях:

Международном семинаре "Алгебра и линейная оптимизация", посвященном 90-летию со дня рождения С.Н. Черникова (Екатеринбург, 2002), Международной алгебраической конференции, посвященной памяти З.И. Боревича (Санкт-Петербург, 2002), V

Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, 2003), X Международной конференции "Groups and Group Rings" (Устрон, Польша, 2003), Международной конференции "Algebras, Modules and Rings" (Лиссабон, Португалия, 2003), IV Международной алгебраической конференции на Украине (Львов, Украина, 2003).

Результаты диссертации изложены в работах [46] - [55].

Автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору А.Н. Красильникову за постановку задачи, полезные замечания и внимание к работе и кандидату физико-математических наук, профессору Г.А. Карасеву за всестороннюю помощь и поддержку в период обучения в аспирантуре, а также доктору физико-математических наук, профессору А.В. Гришину за полезные обсуждения вопросов по теме диссертации.

Содержание диссертации

Во введении приводится краткий обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности рассматриваемых задач, а также кратко излагаются полученные в диссертации результаты.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Аладова, Елена Владимировна, 2004 год

1. Адян С.И. Бесконечные неприводимые системы групповых тождеств // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1970. Т. 34. С. 715734.

2. Бахтурин Ю.А., Ольшанский А.Ю. Тождества // Итоги наг уки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления. Т. 18. М.гВИНИТИ, 1988. С. 117-240.

3. Белов А.Я. О нешпехтовых многообразиях // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. N 1. С. 47-66.

4. Белов А.Я. Контрпримеры к проблеме Шпехта // Математический сборник. 2000. Т. 191. N 3. С. 13-24.

5. Бокуть Л.А., Львов И.В., Харченко В.К. Некоммутативные кольца // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления. Т. 18. М.гВИНИТИ, 1988. С. 5-116.

6. Генов Г.К. Базис тождеств алгебры матриц третьего порядка над конечным полем // Алгебра и логика. 1981. Т. 20. N 4. С. 365-388.

7. Генов Г.К. Некоторые шпехтовы многообразия ассоциативных алгебр // Плиска. 1981. N 2. С. 30-40.

8. Генов Г.К., Сидеров П.Н. Базис тождеств алгебры матриц четвертого порядка над конечным полем. I, II // Сердика. 1982. N 8. С. 313-323, 351-366.

9. Гришин А.В. О конечной базируемости систем обобщенных многочленов // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1990. Т. 54. N 5. С. 899-927.

10. Гришин А.В. Бесконечно базируемое Т-пространство над полем характеристики 2 // Тезисы докладов международной конференции по алгебре и анализу, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева. Казань: Изд-во КГУ. 1994. С. 29.

11. Гришин А.В. О конечной базируемости абстрактных Т-пространств // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т. 1. N 3. С. 669-700.

12. Гришин А.В. Примеры не конечной базируемости Т-пространств и Т-идеалов в характеристике 2 // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. N 1. С. 101-118.

13. Гришин А.В. Многообразие асоциативных колец не шпехтово // Успехи мат. наук. 1999. Т. 54. N 5. С. 193-194.

14. Дренски B.C. О тождествах в алгебрах Ли // Алгебра и логика. 1974. Т. 13. N 3. С. 265-290.

15. Кемер А.Р. О нематричных многообразиях // Алгебра и логика. 1980. Т. 26. N 3. С. 255-283.

16. Кемер А.Р. Многообразия и ^-градуированные алгебры j j Изв. АН СССР. Сер. мат. 1984. Т. 48. N 5. С. 1042-1059.

17. Кемер А.Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр // Алгебра и логика. 1987. Т. 26. N 5. С. 597-641.

18. Коуровская тетрадь: нерешенные вопросы теории групп. 13-е изд. Новосибирск: Изд. ин-та матем. СО АН СССР. 1995.

19. Красильников А.Н. О тождествах алгебр Ли с нильпотентным коммутантом над полем конечной характеристики // Математические заметки. 1992. Т. 51. Вып. 3. С. 47-52.

20. Латышев В.Н. Обобщение теоремы Гильберта о конечности базисов // Сиб.мат.ж. 1966. Т. 7. N 6. С. 1422-1424.

21. Латышев В.Н. О шпехтовости некоторых многообразий ассоциативных колец // Алгебра и логика. 1969. Т. 8. N 6. С. 660673.

22. Латышев В.Н. О некоторых многообразиях ассоциативных алгебр // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1973. Т. 37. N 5. С. 1010-1037.

23. Латышев В.Н. Конечная базируемость некоторых колец // Успехи мат. наук. 1977. Т. 32. N 4. С. 259-262.

24. Латышев В.Н. Нематричные многообразия ассоциативных алгебр // Дис. на соиск. уч. степ. докт. физ.-мат. наук. М.: МГУ. 1977.

25. Медведев Ю.А. Пример многообразия разрешимых альтернативных алгебр над полем характаристики 2, не имеющего конечного базиса тождеств // Алгебра и логика. 1980. Т. 19. N 3. С. 300-313.

26. Ольшанский А.Ю. О проблеме конечного базиса тождеств в группах // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1970. Т. 34. N 2. С. 376384.

27. Попов А.П. О шпехтовости некоторых многообразий ассоциативных алгебр // Плиска. 1981. N 2. С. 41-53.

28. Пчелинцев С.В. О почти шпехтовом многообразии альтернативных алгебр над полем характеристики 3 // Математический сборник. 2000. Т. 191. N 6. С. 127-144.

29. Размыслов Ю.П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль // Алгебра и логика. 1973. Т. 12. N 1. С. 83-113.

30. Щиголев В.В. Примеры бесконечно базируемых Т-идеалов // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. N 1. С. 307-312.

31. Щиголев В.В. Примеры бесконечно базируемых Т-пространств // Математический сборник. 2000. Т. 191. N 3. С. 143-160.

32. Щиголев В.В. Бесконечно базируемые Т-пространства и Т-идеалы // Дис. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ. 2002.

33. Drensky V. Free algebras and Pi-algebras. Springer-Verlag Singapore, Singapore. 2000. xii+271 pp.

34. Dubnov J., Ivanov V. Sur l'abaissement du degre des polynomes en affineurs // C.R. (Doklady) Acad. Sci. USSR. 1943. Vol. 41. P. 96-98.

35. Formanek E. The Nagata-Higman theorem // Acta Appl. Math. 1990. Vol. 21. P. 185-192.

36. Grishin A.V. On the finite basis property of T-spaces over field of finite characteristic // Proceedings of Tainan-Moscow Algebra Workshop. 1994. P. 225-227.

37. Grishin A.V. On non-Shpechtianness of the variety of associative rings that satisfy the identity ж32 = 0 // Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc. 2000. Vol 6. P. 50-51 (electronic).

38. Grishin A.V. The variety of associative rings, which satisfy the identity x32 = 0, is not Specht // In: Formal power series and algebraic combinatorics (Moscow, 2000). Berlin: Springer, 2000. P. 686-691.

39. Gupta C.K., Krasilnikov A.N. A non-finitely based system of polinomial identities which contains the identity x6 = 0 // Quart. J. Math. 2002. Vol. 53. P. 173-183.

40. Higman G. On a conjecture of Nagata // Proc. Camb. Philos. Soc. 1956. Vol. 52. P. 1-4.

41. Nagata M. On the nilpotency of nil algebras // J. Math. Soc. Japan. 1953. Vol. 4. P. 296-301.

42. Rowen L.H. Ring theory. Boston: Academic Press, 1991. xxvii+623 pp.

43. Specht W. Gesetze in Ringen // Math. Z. 1950. Vol. 52. P. 557589.

44. Vaughan-Lee M.R. Uncountably many varietes of group // Bull. London Math. Soc. 1970. Vol. 2. P. 280-286.

45. Vaughan-Lee M.R. Varietes of Lie algebras // Quart .J. Math. 1970. Vol. 21. N 83. P. 297-308.

46. Аладова E.B. Неконечнобазируемое многообразие нильалгебр над полем характеристики 3 // Алгебра и линейная оптимизация: труды международного семинара. Екатеринбург, Институт математики и механики УрО РАН, 2002. С. 5-11.

47. Аладова Е.В. Неконечнобазируемые системы тождеств в ниль-алгебрах над полем характеристики 3 // МПГУ, 2002. Деп. в ВИНИТИ 16.10.2002, N 1764-В2002.10 с.

48. Аладова Е.В. Тождества в нильалгебрах над полем характеристики 3 // Тезисы докладов Международной алгебраической конференции, посвященной памяти З.И. Боревича. СПб.: ПОМИ им. В.А. Стеклова, 2002. С. 9-10.

49. Аладова Е.В. Неконечнобазируемое многообразие нильалгебр над полем характеристики 3 // Актуальные проблемы математики, физики, информатики и методики их преподавания (юбилейный сборник 130 лет МПГУ), М., Прометей, 2003. С. 25-28.

50. Aladova E.V., Krasilnikov A.N. A non-finitely based system of polynomial identities in nil-algebras over a field of characteristic p> Ъ // The Tenth International Conference "Groups and Group Rings". Abstracts. Ustron, Poland, 2003. P. 16-17.

51. Aladova E.V., Krasilnikov A.N. Identities in nil-algebras over a field of a prime characteristic // International Conference on Algebras, Modules and Rings. Abstracts. Lisboa, Portugal, 2003.P. 39-40.