Полные плоские строго причинные лоренцевы многообразия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Мещеряков, Евгений Александрович

• Мещеряков, Евгений Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мещеряков, Евгений Александрович

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Полные плоские строго причинные лоренцевы многообразия.

1.2 Левосимметричные алгебры.

2 Геометрия

2.1 Основная конструкция.

2.2 Характеристическая кривая.

2.3 Классификация с точностью до почти причинной изометричности

2.4 Классификация маломерных многообразий

2.5 Накрытия и вложения.

3 Причинные структуры и порядок

3.1 Предварительные сведения.

3.2 Четырехмерный случай.

3.3 Случай произвольной размерности.

4 Аффинные просто транзитивные действия на пространствах Мин-ковского

4.1 Просто транзитивные унипотентные действия на пространствах Мин-ковского.

4.2 Нильпотентные левосимметричные ^-алгебры как алгебры Ли.

4.3 Полные плоские строго причинные унипотентные лоренцевы многообразия вида С/Г

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полные плоские строго причинные лоренцевы многообразия»

Полные плоские лоренцевы многообразия могут быть определены в терминах дифференциальной геометрии как геодезически полные лоренцевы многообразия с нулевыми кривизной и кручением. Они характеризуются тем, что имеют атлас, в котором отображения перехода принадлежат группе Пуанкаре "Рп. Полнота означает, что любое аффинное отображение отрезка I в М, где I С Ж, продолжается до аффинного отображения М —М. Другими словами, это полные аффинные многообразия с согласованной лоренцевой метрикой. Все многообразия этого класса могут быть реализованы в виде М — Мп/Г, где — п-мерное пространство-время Минковского и Г — дискретная подгруппа группы Пуанкаре Тп (группа аффинных автоморфизмов М„), действующая свободно и собственно разрывно. В этом случае Г = (М). Фиксируя начало координат о, можно отождествить Мп с набором (V, £), где V — вещественное векторное пространство, £ — лоренцева форма сигнатуры (+,-,.,-).

В статье [15] были описаны, с точностью до конечных накрытий, полные плоские причинные лоренцевы многообразия, удовлетворяющие следующему условию: прошлое и будущее любой точки р & М замкнуто в некоторой окрестности этой точки. Следуя [15], будем называть такие многообразия строго причинными. Точнее, в [15] была дана конструкция группы Г, позволяющая построить все такие многообразия с точностью до конечных накрытий. В частности, было показано, что У допускает разложение У — Уо 0 У\ такое, что Г действует на Уо линейными ортогональными преобразованиями, £ отрицательно определена на Уо, а У\/Г — полное плоское строго причинное лоренцево многообразие. При этом Г содержит подгруппу конечного индекса, изоморфную Zn, а ортогональное представление Г в Уо можно выбирать произвольно. Таким образом, задача сводится к случаю Уо = 0, что и предполагается в дальнейшем.

Как показано в настоящей работе, случай Vo = 0, с точностью до конечных накрытий, характеризуется свойством унипотентности группы голономии М (теорема 2.1). При этом упомянутое выше действие группы Г можно построить, зная лишь группу голономии. Условимся для краткости называть полные плоские строго причинные лоренцевы многообразия с унипотентной группой голономии унипотентными. В дальнейшем по умолчанию предполагается, что М унипотентно.

Унипотентному многообразию сопоставляется набор четырех неотрицательных целых чисел (сигнатура) и кривая (парабола, которая может вырождаться в луч или точку), расположенная в конусе неотрицательных матриц. Показано, что многообразие можно задать этим набором (парабола рассматривается с точностью до некоторых преобразований конуса). Описаны накрытия и вложения унипотентных многообразий. Исследуется причинная структура на них, т.е. прошлое и будущее точек многообразия. Охарактеризованы унипотентные многообразия, допускающие реализацию в виде Н/Т, где Н — группа Ли, действующая просто транзитивно на пространстве Минковского. Для этого описаны просто транзитивные действия нильпотентных групп Ли на пространствах Минковского.

Рассматриваемый класс многообразий лежит в пересечении двух довольно хорошо изученных областей геометрии: полных аффинных многообразий (см. обзоры [4] и [12]) и структур причинности в лоренцевых многообразиях; главным стимулом к изучению последних является общая теория относительности (см. например [9, 13]). К их общей части относятся некоторые работы хроногеометрической школы А.Д. Александрова (ссылки можно найти в [19]), а также статьи [8, 14, 15].

Полные аффинные многообразия изучались в 60-х годах в связи с вопросом Ауслендера: верно ли, что фундаментальная группа полного компактного плоского аффинного многообразия является виртуально разрешимой? В общем случае вопрос остался без ответа, но при некоторых условиях на многообразия ответ положительный (см. [4, 12]). Если

М некомпактно, то 7Гх(М) может быть свободной неабелевой. Пример был построен Маргулисом в [21].

В работе Фрида [14] вопрос Ауслендера рассматривался для лорен-цевых компактных многообразий размерности четыре; в [14] описаны двухконцовые причинные многообразий, которые могут быть реализованы в виде Н/Г, где Н — подгруппа группы Пуанкаре, действующая просто транзитивно на Мп, а Г — её дискретная подгруппа.

Причинные многообразия из работы [14] не являются строго причинными. С другой стороны, нетривиальные строго причинные полные плоские лоренцевы многообразия не являются глобально гиперболическими. Последний класс многообразий довольно хорошо изучен. К тематике этой работы ближе всего статья Барбо [8], где исследовались плоские лоренцевы (не обязательно полные) глобально гиперболические многообразия. Из полученных в ней результатов (как и из [15]), следует, что нетривиальных полных плоских лоренцевых глобально гиперболических многообразий не существует. Таким образом, среди плоских лоренцевых многообразий рассматриваемый в данной работе класс — строго промежуточный между классами причинных и глобально гиперболических многообразий.

В статье [15] приведен простейший из всех возможных нетривиальный пример строго причинного полного плоского лоренцева многообразия М = МЦ/Г, где Г = Оно обладает следующим свойством. М представляется в виде дизъюнктного объединения М+ и М° и М~, где М+ и М~ открыты, а М° замкнуто (более того, М° — аффинная гиперплоскость). Для любой точки р Е М+ её будущее Ер замкнуто, а прошлое Рр не замкнуто и содержит светоподобную прямую. Кроме того, М допускает обращающий время инволютивный автоморфизм, переставляющий М+ и М~ (таким образом, будущее точки из М~ не замкнуто). Для точек из прошлое и будущее замкнуты и не содержат светоподобных прямых.

В работе [15] показано, что фундаментальная группа строго причинного полного плоского лоренцева многообразия виртуально абелева. Поэтому М допускает конечное накрытие произведением тора и евклидова пространства. Накрывающее пространство может быть реализовано как топологически тривиальное векторное расслоение над М^/Г, где к < п и пространство Минковского М& вложено в Мп как аффинное Г-инвариантное подпространство, Г унипотентна в М/-, а группа голо-номии определяет линейное представление Г в слое. Это позволяет редуцировать проблему к случаю унипотентной группы Г. С точностью до конечных накрытий есть два типа многообразий: эллиптические и параболические. Первый состоит из многообразий, допускающих рима-нову метрику с аффинными картами. Другими словами, линейные части преобразований из Г сохраняют некоторую положительно определенную квадратичную форму; тогда Г содержит подгруппу конечного индекса, которая действует параллельными переносами на пространственно-подобные векторы. Для многообразий второго типа (параболических), Г — решетка в векторной группе Т, действие которой в Мп свободно и квадратично на Т.

Данная работа продолжает исследования, начатые в [15], а также содержит более полную информацию по многообразиям рассматриваемого класса. Она состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

Первая глава содержит определения и предварительные сведения по строению полных плоских строго причинных лоренцевых многообразий.

Вторая глава посвящена геометрии таких многообразий. В ней приводится конструкция, по которой могут быть построены все унипотентные (т.е. с унипотентной группой голономии) полные плоские строго причинные лоренцевы многообразия, а также дается частичная их классификация. Каждому многообразию сопоставляется набор из четырех натуральных чисел, называемый сигнатурой, и парабола в конусе положительно определенных матриц определенного размера (парабола может вырождаться в луч или точку). Дается также полная классификация многообразий с точностью до почти причинной изометрии. Для малых размерностей (четыре или пять) приводиться алгоритм, позволяющий сказать когда два многообразия причинно изометричны. Любое конечнолистное аффинное накрытие многообразий рассматриваемого класса индуцируется накрытием торов. Доказано, что произвольное конформное аффинное накрытие является гомотетичным. Каждое гомотетичное накрытие можно представить в виде композиции гомотетии и изометричного накрытия. Таким образом, классификация конформных аффинных накрытий сводится к описанию изометричных накрытий. Если М = У/Г — полное плоское строго причинное многообразие, которое локально изометрично накрывается многообразием М', то М' = У/Г', где Г' — подгруппа Г. Аналогична ситуация с вложениями: произвольное конформное вложение гомотетично. Если М' —> М — гомотетичное вложение, то многообразие М' может быть реализовано в виде У/Г', где V' — подпространство У и Г' — подгруппа Г (впрочем, Г' — не произвольная подгруппа). Основные результаты этой главы были опубликованы в [30, 32].

Третья глава посвящена описанию причинной структуры полного плоского строго причинного лоренцева многообразия. Понятие причинной структуры вводится в [9]. Не вдаваясь в подробности, можно считать, что задание причинной структуры на многообразии — это определение прошлого и будущего произвольной точки. В главе вводится понятие существенных прошлого и будущего и описывается их строение. Был получен критерий замкнутости (существенных) прошлого и будущего (оказалось, что, как правило, хотя бы одно из них не замкнуто). Установлена связь между характеристической кривой многообразия и свойством (существенного) будущего (прошлого) быть незамкнутым: если характеристическая парабола не вырождена, то для любой точки многообразия либо (существенное) прошлое, либо (существенное) будущее не замкнуто. Если характеристическая кривая вырождается в луч, то существует аффинная гиперплоскость, точки которой характеризуются наличием замкнутых прошлого и будущего; если она вырождается в точку, то все точки многообразия имеют замкнутые прошлое и будущее (эта ситуация отвечает эллиптическим многообразиям).

Основная цель четвертой главы состоит в ответе на вопрос: когда многообразие рассматриваемого класса можно представить в виде однородного пространства Н/Т, где Н — просто транзитивная на подгруппа группы Пуанкаре? Для этого в ней приводиться описание просто транзитивные действия нильпотентных групп Ли на пространствах Минков-ского. Приведенное описание было получено независимо от работы [16], где были описаны просто транзитивные действия всех групп Ли на пространствах Минковского, в том числе и нильпотентных. Поэтому в работу включено полученное описание. При построении описания использовался аппарат левосимметричных алгебр. Понятие левосимметричной алгебры и этот термин были введены Винбергом в статье [27] в связи задачей классификации выпуклых однородных конусов (задача была сведена к описанию аффинных просто транзитивных действий групп Ли на таких конусах); согласно обзору [10], эквивалентный алгебраический аппарат определялся многими авторами (включая Кэли в 1890 году). Лево-симметричные алгебры находятся во взаимно однозначном соответствии с аффинными действиями групп Ли, для которых орбита точки общего положения открыта, а ее стабилизатор дискретен. Просто транзитивные группы отвечают алгебрам, в которых все операторы правого умножения нильпотентны (их называют полными). Сохранение группой лоренцевой формы равносильно кососимметричности операторов левого умножения. В монографии Вольфа [3] приведена классификация просто транзитивных действий на лоренцевых многообразиях размерности три (см. также [7]). В размерности четыре все такие действия описаны Фридом в работе [14], в произвольной размерности это сделано Гуедири в работе [16]. В четвертой главе охарактеризованы полные левосимметричные алгебры, отвечающие нильпотентным группам, в которых операторы левого умножения кососимметричны относительно лоренцевой формы. Это позволяет дать критерий возможности реализации полного плоского строго причинного многообразия в упомянутом выше виде Н/Г.

Автор благодарен своему научному руководителю Гичеву Виктору Матвеевичу за постановку задач, а также за постоянный интерес и внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мещеряков, Евгений Александрович, 2008 год

1. Винберг Э.Б., Горбацевич В.В. и Онищик A. JL Строение групп Ли и алгебр Ли // Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления, том 41, 1989, с. 5-258

2. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. Москва: Наука, 1982, 480 с.

3. Abels Н. Properly Discontinuous Groups of Affine Transformations // A Survey, Geometriae Dedicata, vol. 87, 2001, p. 309-333.

4. Andersson L., Barbot Т., Benedetti R., Bonsante F., Goldman W. M., Labourie F., Scannell K. P. and Schlenker J. M. Notes on a paper of Mess // Geometriae Dedicata vol 126, №1, 2007, p. 47-70.

5. Auslander L. Simply transitive groups of affine motions // American Journal of mathematics, vol. 99. №4, p. 809-826.

6. Auslander L. and Markus L. Flat Lorentz 3-manifolds // Amer. Math. Soc. Memoir, 1969.

7. Barbot T. Globally hyperbolic flat space-times // Journal of Geometry and Physics №53, 2005, p. 123-165.

8. Beem, J.K. and Ehrlich, P.E. Global Lorentzian geometry // Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 2nd ed., vol. 202, Marcel Dekker, New York, 1996.

9. Bürde D. Left-symmetric algebras, or pre-Lie algebras in geometry and physics // CEJM, №4(3), 2006, p. 323-357.

10. Burde D. Simple left-symmetric algebras with solvable Lie algebra // Manuscripta mathematica, vol. 95. 1998, p. 397-411.

11. Charette V., Drumm, T., Goldman, W. and Morill M. Complete Flat Affine and Lorentzian Manifolds // Geometriae Dedicata, vol. 97, 2003, p. 187-198.

12. Ellis G. and Hawking S. The large scale structure of space-time // Cambridge Monographs on Mathematical Physics, No. 1, Cambridge University Press, London, New York, 1973.

13. Fried D. Flat Spacetimes // J. Diff. Geom., vol. 26, 1987, p. 385-396.

14. Gichev V.M. and Morozov O.S. On Flat Complete Causal Lorentzian Manifolds // Geometriae Dedicata, vol. 116, 2005, p. 37-59.

15. Guediri M. Compact flat spacetimes // Differential Geometry and its Applications, vol. 21, Issue 3, 2004, p 283-295.

16. Guediri M. On the geodesic connectedness of simply connected Lorentz surfaces // Annales de la faculté des sciences de Toulouse Ser. 6, vol. 6, №3, 1997, p. 499-510.

17. Guediri M. On the geodesic connectedness of simply connected Lorentz surfaces // Annales de la faculté des sciences de Toulouse Ser. 6, vol. 10, №1, 2001, p. 33-34.

18. Guts A.K. Semigroups in foundations of geometry and axiomatic theory of space-time // in: Semigroups in Algebra, Geometry and Analysis, (editors K.-H. Hofmann, J.D. Lawson, E.B. Vinberg), Walter de Gruyter, Berlin, New York, 1995, p. 56-76.

19. Helmstetter J. Radical et grouppe formel d'une algebre symetrique a gauche // Ann. Inst. Fourier., Grenoble, vol. 29, 1979, p. 17-35.

20. Margulis G. Free properly discontinuous groups of affine transformations // Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 272, 1983, p. 937-940.

21. Margulis G. Complete affine locally flat manifolds with a free fundamental group //J. Soviet Math., vol. 134, 1987, p. 129-134.

22. Mess G. Lorentz spacetimes of constant curvature // Geometriae Dedicata, vol 126, №1, 2007, p. 3-45.

23. Milnor J. On fundamental groups of complete affinely flat manifolds // Adv. in Math., vol. 25, 1977, p. 178-187.

24. Romero A. and Sanchez M. Projective Vector Fields on Lorentzian Manifolds // Geometriae Dedicata vol 93, №1, 2002, p. 95-105.

25. Segal Dan. The structure of complete left-symmetric algebras // Math. Ann., vol. 293, 1992, p. 569-578.

26. Vinberg E.B. Convex homogenous cones // Transl. Moscow Math. Soc., vol. 12, 1963, p. 340-403.

27. Wolf, J.A Spaces of constant curvature // University of Californnia, Berkley, California, 1972.Публикации по теме диссертации:

28. Мещеряков Е.А. Классификация плоских полных строго причинных лоренцевых многообразий // Вестн. Ом. ун-та., №3, 2007, с.

29. Мещеряков Е.А. Накрытия полных плоских строго причинных лренцевых многообразий // Вестн. Ом. ун-та., №2, 2008, с. 11-16.

30. Мещеряков Е.А. О плоских полных строго причинных лоренцевых многообразиях // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 38-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2007, ISBN 5-7691-1490-8. С. 50-54.

31. Гичев В.М. и Мещеряков Е.А. О геометрии плоских полных лоренцевых строго причинных многообразий // Сиб. матем. журнал, т. 48, №1, 2007, с. 75-88.6.9.