Поля высоких порядков в вершине трещины при ползучести с учетом вида нагружения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат технических наук Бойченко, Наталья Валерьевна

• Бойченко, Наталья Валерьевна
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Бойченко, Наталья Валерьевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1.

ГЛАВА 1. МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ И МЕХАНИЗМЫ

РАЗРУШЕНИЯ ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ.

1.1. Механизмы разрушения при ползучести с учетом параметра структуры материала.

1.2. Уравнения ползучести.

1.3. Структура полей параметров НДС в вершине трещины.

1.4. Поля в вершине трещины с учетом членов высоких порядков.

1.5. Численный анализ параметров НДС области вершины трещины.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НДС ТЕЛА С ТРЕЩИНОЙ В УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ ПРИ

ДВУХОСНОМ НАГРУЖЕНИИ.

2.1 Метод расчета и интерпретации параметров НДС в вершине трещины при ползучести с учетом членов высоких порядков.

2.2. Расчетная схема МКЭ пластины с центральной трещиной при двухосном нагружении.

2.3. Метод интерпретации результатов.

ГЛАВА 3. ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ОБЛАСТИ ВЕРШИНЫ ТРЕЩИНЫ

ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ.

3.1. Поля напряжений в условиях сочетания упругости, пластичности и ползучести.

3.2. Кинетика напряженного состояния при ползучести в зависимости от вида нагружения.

3.3. Анализ угловых распределений компонент тензора напряжений в области вершины трещины.

3.4. Сравнение численных и аналитических результатов.

• ГЛАВА 4. ПОЛЯ ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ В УСЛОВИЯХ

ДВУХОСНОГО НАГРУЖЕНИЯ.

4.1. Кинетика зон пластичности и ползучести в области вершины трещины.

4.2. Анализ распределения компонент тензора скоростей деформации ползучести в зависимости от вида нагружения. ш 4.3. Характер перераспределения деформаций по времени ползучести.

4.4. Сравнение численных и аналитических результатов расчета полей скоростей деформаций в области вершины трещины при ползучести.

ГЛАВА 5. АМПЛИТУДНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ТРЕХЧЛЕННОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ПОЛЕЙ НДС ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ.

5.1. Влияние времени выдержки под нагрузкой на амплитудные коэффициенты.

5.2. Влияние вида нагружения на амплитудные коэффициенты.

5.3. Количественная оценка составляющих трехчленного разложения полей напряжений области вершины трещины.

5.4. Аппроксимационное уравнение зависимости амплитудного коэффициента А2 от исследуемых факторов.

• ВЫВОДЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Поля высоких порядков в вершине трещины при ползучести с учетом вида нагружения»

Практика эксплуатации оборудования большого ресурса, работающего в условиях повышенных температур, показала, что с течением времени в условиях термосилового нагружения в зонах концентрации накапливаются и развиваются дефекты типа трещин вследствие исчерпания запасов длительной прочности и ползучести конструкционного материала. Критические, с точки зрения несущей способности и ресурса, элементы конструкций, такие как ротора паровых турбин, содержат технологические и конструктивные концентраторы напряжений, что не позволяет исключить при эксплуатационных условиях нагружения возникновения в них локальных пластических деформаций. Более того, именно в этих областях с течением времени накапливаются повреждения, приводящие к образованию и развитию микро- и макротрещин. В дисках роторов паровых турбин под действием центробежной и контурной нагрузки реализуются деформации ползучести. Таким образом, анализ несущей способности дисков роторов паровых турбин при наличии исходной и накопленной эксплуатационной поврежденности должен проводиться для сочетания состояний упругости, пластичности и ползучести. Диски роторов паровых турбин в эксплуатации подвержены двухосному нагружению различной интенсивности, что говорит о необходимости учета двухосности при расчетах напряженно-деформированного состояния области вершины трещины.

Долгое время считалось, что напряжения и перемещения в области вершины трещины при ползучести с достаточной точностью можно описать при любых условиях внешнего нагружения на основе одночленного асимптотического представления типа Хатчинсона-Райса-Розенгрена (ХРР). Однако, как показывают исследования последних лет, однопараметрический подход ХРР-типа в определении напряженно-деформированного состояния дает приближенное решение, которое в ряде случаев двухосного нагружения содержит существенные погрешности. В связи с этим возникает необходимость моделировать состояние в вершине трещины с учетом членов более высоких порядков на основе двух- и трехчленного разложения параметров напряженно-деформированного состояния (НДС) в ряд по радиусу.

В этой связи в настоящей работе поставлена цель обосновать модель поведения материала в нелинейной области вершины трещины с учетом членов высоких порядков и разработать метод расчета амплитудных коэффициентов и угловых распределений членов высоких порядков через непосредственный учет двухосности внешнего нагружения для среды сочетающей свойства упругости, пластичности и ползучести. В работе рассматривается поведение материала в условиях мягкого нагружения при плоской деформации (ПД).

Для достижения поставленной цели перед автором были поставлены следующие задачи:

• разработка методики определения параметров НДС области вершины трещины с учетом членов высоких порядков в условиях упругости, пластичности и ползучести;

• проведение комплексного анализа структуры полей параметров НДС в области вершины трещины через члены высоких порядков на основе непосредственного учета условий двухосного нагружения;

• оценка влияния вида двухосного нагружения и времени ползучести на поведение параметров НДС в нелинейной области вершины трещины;

• обоснование модели трехчленного представления параметров НДС области вершины трещины при ползучести.

Научная новизна работы состоит в:

• разработке и численном обосновании модели состояния в нелинейной области вершины трещины при ползучести;

• количественной оценке влияния вида двухосного нагружения и времени ползучести на поля НДС в области вершины трещины при ползучести;

• разработке методики и комплекса программ исследования количественных и качественных характеристик области вершины трещины с учетом членов высоких порядков для условий сочетания свойств упругости, пластичности и ползучести

Результаты научной деятельности автора нашли отражение в диссертации, которая состоит из введения, пяти глав, выводов и списка литературы из 103 наименований.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Бойченко, Наталья Валерьевна

выводы

Проведенный в данной работе анализ НДС области вершины трещины в условиях сочетания упругости, пластичности и ползучести с учетом членов высоких порядков позволяет сделать следующие выводы.

1. Предложена и обоснована модель напряженно-деформированного состояния в нелинейной области вершины трещины с учетом членов высоких порядков и дано ее численное и аналитическое обоснование.

2. Разработана и реализована методика исследования поведения параметров НДС при различных вариантах двухосного нагружении с учетом членов высоких порядков при ползучести.

3. Определено, что именно члены высоких порядков воспроизводят влияние двухосного нагружения.

4. Установлено явление и предложен механизм перераспределения жесткости напряженного состояния на продолжении трещины по стадиям ползучести в зависимости от вида двухосного нагружения.

5. В результате выполненных расчетов установлены качественные и количественные эффекты влияния двухосности нагружения на параметры НДС области вершины трещины при ползучести.

6. Получено аналитическое описание зависимости амплитудных коэффициентов Aj, от исследованных факторов коэффициента двухосности, долговечности и расстояния до вершины трещины.

7. Представление полей НДС в нелинейной области вершины трещины с учетом членов высоких порядков показало, что их совокупный вклад может достигать 40% по отношению к первому ХРР-члену, что предопределяет необходимость их учета при анализе эффектов двухосного нагружения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Бойченко, Наталья Валерьевна, 2006 год

1. Баренблатт Г.И. О хрупких трещинах продольного сдвига / Баренблатт Г.И., Черепанов Г.П. // Прикл. мех. и матем. 1961. - 25 с.

2. Бойченко Н.В. Количественная оценка составляющих трехчленного разложения полей напряжений области вершины трещины при ползучести / Н.В. Бойченко //Труды Академэнерго. 2005.- 1.- С. 109-113.

3. Болотин В.В. Многопараметрическая механика разрушения / Болотин В.В. // В кн.: Расчеты на прочность. Вып. 25. М.: Машиностроение. -1984.-С. 12-33.

4. Болотин В.В. Объединенные модели в механике разрушения / Болотин В.В. // Изв. АН ССР. Мех. тверд, тела. 1984. - № 3. - С. 127-137.

5. Вайншток В. А. Сравнение двух численных методов расчета коэффициентов интенсивности напряжений / Вайншток В.А. // Пробл. прочн.- 1977.-№9.-С. 80-83.

6. Вессел Э. Новые методы оценки сопротивления металлов хрупкому разрушению. / Вессел Э., Кларк У., Прайл У. // М. Мир. - 1972. 280с.

7. Вычислительные методы в механике разрушения. Под ред. С. Атлури.-М.: Мир. 1990. - 392 с.

8. Голованов А.И. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел / А.И. Голованов, Д.В. Бережной. Казань: Изд-во «ДАС». - 2001. - 301 с.

9. Голованов А.И. Расчет больших деформаций неупругих тел в комбинированной лагранжево-эйлеровой постановке / Голованов А.И., Кузнецов С.А. // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского,-2002-. 15. С. 5-28.

10. Гольдштейн Р.В. Разрушение и формирование структуры / Гольдштейн Р.В, Осипенко Н.М. // ДАН СССР . 1978. - № 240. - С. 829-832.

11. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / Зенкевич О. //- М.: Мир. 1975.-С. 541.

12. Качанов J1.M. Теория ползучести / Качанов JI.M. // Гос. издательство физмат литературы,- 1968.

13. Качанов JI.M. Основы механики разрушения / Качанов JI.M. // М.1. Наука.- 1974

14. Качанов JI.M. Механика пластичных сред / Качанов JI.M. // М. Наука. -1978

15. Лебедев А.А. Исследование предельного состояния пластин, ослабленных трещинами сложной формы / Лебедев А.А., Бойко А.В. //

16. Пробл. прочн. 1982. - № 4. с. 56-60.

17. Леонов М.Я. Розвиток найдр1бшших трщин у твердому тш / Леонов М.Я., Панасюк В.В. // Прикл. механжа. 1959. - № 4. - С. 391-401.

18. Махутов Н.А. Деформационные критерии разрушения и расчет элементов конструкций на прочность / Махутов Н.А. М.: Машиностроение. - 1981.-271 с.

19. Морозов Е.М. Метод конечных элементов в механике разрушения /

20. Ь Морозов Е.М., Г.П. Никишков. М.: Наука. - 1980. - 256 с.

21. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин / Морозов Н.Ф. -М.: Наука. 1984.-255 с.

22. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Мусхелишвили Н.И. М.: Наука. - 1966.

23. Никишков Г.П. Метод виртуального роста трещины для определения коэффициентов интенсивности напряжений Ki и К2 / Никишков Г.П.,

24. Вайншток В.А. //Пробл. прочн. 1980. - 6 - С. 26-31.

25. Панасюк В.В.- Киев: Наукова думка. 1968. - 246 с.

26. Панасюк В.В. Применение метода граничной интерполяции для приближенного решения упругопластических задач теории трещин / Панасюк В.В., Панько И.Н., Васькив И.В. // ФХММ. 1984. - № 20. - С. 61-66.

27. Панасюк В.В. К вопросу о приближенном определении напряженно-деформированного состояния в упругопластических телах, ослабленных трещинами / Панасюк В.В., Панько И.Н., Тымяк Н.И. // ФХММ. 1989. -№ 25. - С. 44-50.

28. Писаренко Г.С. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии / Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Киев: Наукова думка. - 1976. - 416 с.

29. Проблемы механики деформируемого твердого тела. Межвузовский сб./ под ред. Н.Ф. Морозова Л.: Изд-во Ленинград ун-т. - 1982. - вып. 14.

30. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций / Работнов Ю.Н. // М. Наука. 1966

31. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Работнов Ю.Н.-М.: Наука, 1988.

32. Работнов Ю.Н. Проблемы механики деформируемого твердого тела / Работнов Ю.Н. М.: Наука. - 1991. - 196с.

33. Рид В. Теория дислокаций / Рид В. // Металлургиздат. 1957.

34. Салли А. Ползучесть металлов и жаропрочные сплавы. / Салли А. // Оборонгиз. -1953.

35. Си Д.С. Механика разрушения и проектирование / Си Д.С. // Конструирование и технология машиностроения / Тр. амер. общ. инженеров-механиков. 1976. - № 4. - С. 113-120.

36. Сиратори М. Вычислительная механика разрушения / Сиратори М., Миеси Т., Мацусита X. М.: Мир. - 1986. - 334 с.

37. Слепян Л.И. Механика трещин / Слепян Л.И. Л.:Судостроение. - 1981. -273 с.

38. Тартыгашева A.M. Анализ эффектов стеснения в вершине трещины при двухосном нагружении с учетом членов высоких порядков / Тартыгашева A.M. //

39. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения / Черепанов Г.П. М.: Наука. - 1974.-540 с.

40. Шлянников В.Н. Анализ НДС области вершины трещины в вязко-упругом пластическом материале при симметричном мягком и жестком нагружении / В.Н. Шлянников, Б.В. Ильченко, Н.В. Бойченко // Известия ВУЗов. Проблемы энергетики.-2003. -1.- С.139-152.

41. Шлянников В.Н. Введение в метод конечных элементов. / Шлянников В.Н., Ильченко Б.В. // Казань: Изд-во КГЭУ.- 2004.

42. Шлянников В.Н. Влияние вида напряженного состояния на поведение роторной стали при ползучести в условиях близких к разрушению / В.Н. Шлянников, Н.В. Бойченко, Б.В. Ильченко // Известия РАН. Энергетика. -.2006. 2. - С.91-100.

43. Шлянников В.Н. Вычислительная механика деформирования и разрушения / Шлянников В.Н.// Казань: Изд-во КГЭУ.- 2001

44. Шлянников В.Н. Кинетика НДС области вершины трещины при ползучести/ В.Н. Шлянников, Б.В. Ильченко, Н.В. Бойченко // Ежегодник. Казанский физико-технический институт им. Е.К. Завойского. -2003.- с. 176-180.

45. Шлянников В.Н. Поля деформаций при ползучести в условиях двухосного нагружения / В.Н. Шлянников, Н.В. Бойченко // Труды Академэнерго.-2006. 1. - С Л 58-165.

46. Шлянников В.Н. . Поля напряжений и деформаций при ползучести для материала диска паровой турбины с повреждением / В.Н. Шлянников, Н.В. Бойченко// Материалы докладов национальной конференции по теплоэнергетике НКТЭ-2006. 2. Казань, 2006. - С.22-25.

47. Шлянников В.Н. Расчет амплитудных коэффициентов при ползучести для материала диска паровой турбины / В.Н. Шлянников, Н.В. Бойченко, Б.В. Ильченко // Известия РАН. Энергетика. 2006. -2.-С.83-90.

48. Шлянников В.Н. Соотношение между параметрами стеснения и повреждения через плотность энергии деформации / Шлянников В.Н. // Известия Академии наук. Энергетика. 1998. - № 5. -С. 52-62.

49. Шлянников В.Н. Упруго-пластический вариант МКЭ для смешанных форм развития трещин / Шлянников В.Н. // Известия вузов СССР. Авиационная техника. 1987. - № 1. - С. 82-89.

50. Andersson Н. A finite element representation of the stable crack-growth / Andersson H. //Journ. Mech. Phys. Solids. 1973. -21.- P. 337-357.

51. ANSYS Structural Analysis Guide. 001245. Fifth Edition // SAS IP. Inc. -1999.

52. ANSYS Theory Reference. 001242. Eleventh Edition // SAS IP. Inc. 1999.

53. Betegon C. Two-parameter characterization of elastic-plastic crack-tip fields / Betegon C., Hancock J.W. // J. Appl. Mech. 1991. - 58. - P. 104-110.

54. Chang T.C. Creep crack growth in an elastic-creeping material / Chang T.C., Popelar C.H., Staab G.H. // Int. J. Fract. 1986

55. Chao Y.J. Higher-order asymptotic crack-tip fields in power-law creeping material / Chao Y.J., Zhu X.K., Zhang L. // Int. J. Solid. Struct. 2001. - 38. -P. 3853-3875.

56. Eftis J. Biaxial load effects on the crack boarder elastic strain energy and strain energy rate. / Eftis J. et al // Eng. Fract. Mech. 1977. - 9. - P. 753-764.

57. Eftis J. Crack border stress and displacement equations revisited. / Eftis J., Subramonian N., Liebowitz H. // Eng. Fract. Mech. 1977. - 9. - P. 189-210.

58. Eftis J. The inclined crack under biaxial load. / Eftis J., Subramonian N. // Eng. Fract. Mech. 1978. - 10. - P. 43-67.

59. Ehler. A FEA of creep deformation in specimen containing a macroscopic crack / Ehlers, Riedel H. Advanses in Fracture Research. 1981 V.2

60. Goldstrein R.V. Brittle fracture of solids with arbitrary cracks / Goldstrein R.V., Salganik R.L. // Int. Journ. Fract. 1974. - 10. - P. 507-523.

61. Griffits A.A. The phenomenon of rupture and flow in solids / Griffits A.A. // Phil. Trans. Roy. Soc. London A. 1920. - 221. - P. 163-198.

62. Hellen Т.К. Non-linear fracture mechanics and finite elements / Hellen Т.К., Blackburn W.S. // Eng. Comput.- 1987. 4. - P. 2-14.

63. Hellen Т.К. The calculation of stress intensity factors for combined tensile and shear loading / Hellen Т.К., Blackburn W.S. // Int. Journ. Fract.- 1975.11.- P. 605-617.

64. Hilton P.D. Applications of the finite element method to the calculations of stress intensity factors / Hilton P.D., Sih G.C. // Mechanics of Fracture. Methods of Analysis and Solution of Crack Problems. 1973. - 1.- P. 426483.

65. Hilton P.D. A specialized finite element approach for three-dimensional crack problems / Hilton P.D. // Plates and shalls with cracks mechanics of fracture. 1974.-3.-P. 273-298.

66. Hilton P.D. Plastic intensity factors for cracked plates / Hilton P.D., Hutchinson J.W. //Eng. Fract. Mech. 1971. - 3. - P. 435-451.

67. Hilton P.D. Plastic intensity factors for cracked plates subjected to biaxial loading / Hilton P.D. // Int. Journ. Fract. 1973. - 9. - P. 149-156.

68. Hoff N.J. Quarterly of Applied Mechanics / Hoff N.J. //- 1954.- 12. -P. 49-55.

69. Hui C.Y. The asymptotic stress and strain field near the tip of a growing crack under creep condition / Hui C.Y., Riedel H. // Int. Journ. Fract. 1981. - 17. -P. 409-425.

70. Hutchinson J.W. Constitutive behavior and crack tip fields for materials under going creep-constrained grain behavior boundary cavitation / Hutchinson J.W.1. Acta metal.-1983

71. Hutchinson J.W. Fundamentals of the phenomenological theory of nonlinear fracture mechanics / Hutchinson J.W. // Journ. Appl. Mech. 1983. - 50. - P. 1042-1051.

72. Hutchinson J.W. Plastic stress and strain fields at a crack tip / Hutchinson J.W. // Journ. Mech. Phys. Solids. 1968. - 16. - P. 337-347.

73. Hutchinson J.W. Singular behaviour at the end of a tensile crack in ahardening material / Hutchinson J.W. // Journ. Mech. Phys. Solids. 1968. -16.-P. 13-31.

74. Larsson S.G. Influence of non-singular stress terms and specimen geometry on small-scale yielding at crack tips in elastic-plastic materials / Larsson S.G, Carlsson A.J. //J. Mech. Phys. Solids 21: 263-272. 1973.

75. Leevers P.S. Inherent stress biaxiality in various fracture specimen geometriesh / Leevers P.S, Radon J.C. // Int. J. Fract. 1982. - 19. - P. 311-325.

76. Li F.Z. Characterization of near tip stress and deformation fields in creeping solids / Li F.Z, Needleman A, Shih C.F. // Int. J. Fract. 1988. - 36. - P. 163186.

77. Li F.Z. Creep crack growth rates by grain boundary cavitation: crack tip fields and crack growth rates under transient conditions / Li F.Z, Needleman A, Shih C.F.//J. Appl. Mech. 1988i 1

78. Liebowitz H. Finite element methods in fracture mechanics / Liebowitz H, Moyer E.T. // Computer & Structures. 1989. - 31. - P. 1-9.

79. Matvienko Y.G. Some problems in linear and nonlinear fracture mechanics / Matvienko Y.G, Morozov E.M. // Eng. Fract. Mech. 1987. - 28. - P. 127138.

80. Nguyen B.N. On higher-order crack-tip fields in creeping solids / Nguyen B.N, Onck P.R, E. van der Giessen. // J. Appl. Mech, Trans ASME 2000. -67. - P. 372-382.

81. Nikishkov G. P. An algorithm and f computer program for the three-term asymptotic expansion of elastic-plastic crack tip stress and displacementfields / Nikishkov G. P. // Engng. Fract. Mech. 1995. - 50. - P.65-83.

82. Nikishkov G. P. Calculation of the second fracture parameter for finite cracked bodies using a three-term elastic-plastic asymptotic expansion / Nikishkov G. P., Briickner-Foit A., Munz D. // Engng. Fract. Mech. 1995. -52. - P.685-701.

83. O'Dowd N.P. Applications of two parameter approaches in elastic-plasticj fracture mechanics / O'Dowd N.P. // Engineering Fracture Mechanics 1995.52. P. 445-465.

84. O'Dowd N.P. Family of crack-tip fields characterized by a triaxiality parameter. I. Structure of fields. / O'Dowd NP, Shih CF // J Mech Phys Solids -1991.-39.-P. 989-1015

85. Rice J. R. A path Independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks / Rise J.R.// ASME/ 1967

86. Rice J.R. Limitations to the small yielding approximation for crack tipplasticity / Rice J.R. // Journ. Mech. Phys. Solid. 1974. - 22. - P. 17-26.

87. Rice J.R. Plane strain deformation near a crack tip in a power-law hardening material / Rice J.R., Rosengren G.F. // Journ. Mech. Phys. Solids. 1968. - 16. -P. 1-12.

88. Riedel H. Creep deformation at crack tip in elastic-viscoplastic solids / Riedel H. // J. Mech. Phys. Solids. 1981

89. Riedel H. Tensile cracks in creeping solids / Riedel H., Rice J.R. // Engng. Fract. Mech. ASTM STP 700. 1980

90. Engineering MRL E-147. 1983

91. Sih G.S. Strain-energy-density factor applied to mixed mode crack problems / Sih G.S. // Int. Journ. Fract. 1974. - 10. - P. 305-321

92. Shlyannikov V.N. Elastic-plastic mixed mode fracture criteria and parameters / Shlyannikov V.N.// Springer, Berlin, 2003. - 248 p.

93. Wang X. Elastic T-stress for cracks in test specimens subjected to non'' uniform stress distributions / Wang X. // Engng. Fract. Mech. 2002. - 69. - P.1339-1352.

94. Williams M.L. On the stress distribution at the base of a stationary crack. / Williams M.L. // J. Appl. Mech. -1957. 24. - P. 109-114.

95. Yang S. Higher order asymptotic fields in a power law hardening material / Yang S., Chao Y.J., Sutton N.A. // Engng. Fract. Mech. 1993. - 45. - P. 1-20.

96. Yang S. FEA of creep fracture initiation in a model superallow material /

97. Yang S., Sutton N.A. Deng X, Lyons J.S. // Int. J. Fract. 1996

98. Yang S. On the fracture of solids characterized by one or two parameters: theory and practice / Yang S., Chao Y.J., Sutton N.A. // J. Mech. Phys. Solids -1994.

99. Yuan F.G. Crack-tip fields in elastic-plastic material under plane stress mode I л) loading / Yuan F.G., Yang S. // Int. J. Fract. 1997. - 85. - P. 131-155.

100. Zhu X.K. Characterization of constraint of fully plastic crack-tip fields in non-hardening materials by the three-term solution / Zhu X.K., Chao Y.J. // Int. J. Solid. Struct. 1999. - 36. - P. 4497-4517.