Порядок и квантовые симметрии в структурной теории операторных алгебр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор наук Турилова Екатерина Александровна

• Турилова Екатерина Александровна
• доктор наук
• 2020

Оглавление диссертации доктор наук Турилова Екатерина Александровна

Содержание

Введение

1 Структуры подпространств унитарного пространства и алгебры фон Неймана

1.1 Предварительные сведения

1.2 Классы инвариантных подпространств и классификация алгебр фон Неймана

1.3 Классы инвариантных подпространств в модулярной теории алгебр фон Неймана

1.4 Меры на классах инвариантных подпространств

2 Полнота пространства представления Гельфанда-Наймарка-Сигала йордановых алгебр

2.1 Предварительные сведения

2.2 Пространство представления Гельфанда-Наймарка-Сигала

2.3 Пространство представления Гельфанда-Наймарка-Сигала

для выпуклых комбинаций чистых состояний

2.4 Состояния на спин-факторах

2.5 Полнота унитарного пространства Гельфанда-Наймарка-Сигала

3 Спектральный порядок и сохраняющие его преобразования

3.1 Предварительные сведения

3.2 Спектральный порядок на AW^-алгебрах

3.3 Спектральный центр AW*-алгебры

3.4 Спектральные симметрии на алгебре фон Неймана

3.5 Спектральные симметрии на AW*-алгебре

3.6 Спектральные автоморфизмы неограниченных операторов

4 Структура ассоциативных подалгебр йордановых алгебр

4.1 Предварительные сведения

4.2 Унитальные ассоциативные подалгебры JБW-aлгeбpы

4.3 Неунитальные ассоциативные подалгебры JБW-aлгeбpы

4.4 Унитальные ассоциативные подалгебры ,1Б-алгебры

4.5 Неунитальные ассоциативные подалгебры JB-aлгeбpы

4.6 Абелевы подалгебры алгебр фон Неймана

5 Ортогональные меры на пространстве состояний и абелевы подалгебры

5.1 Предварительные сведения

5.2 Структуры ортогональных мер и абелевы подалгебры

5.3 Изоморфизмы упорядоченных структур ортогональных мер

5.4 Изоморфизмы упорядоченных структур мер на пространстве инвариантных состояний

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Порядок и квантовые симметрии в структурной теории операторных алгебр»

Введение

Во многих областях математики одной из наиболее важных проблем является классификация соответствующих структур с точностью до изоморфизма, что часто может быть сделано с помощью инвариантов. Инвариантные конструкции, имеющие отношение к операторным алгебрам, помимо фундаментального математического имеют и важное прикладное значение, являясь адекватным инструментом для формализованного описания "квантового мира". Начатое с гильбертовых пространств и самосопряженных операторов, действующих в этих пространствах, Дж. фон Нейманом ([120]), это описание впоследствии было расширено до общей теории операторных алгебр, разработанной в 30-40-х годах прошлого века самим Дж. фон Нейманом и Ф. Дж. Мюрреем ([117], [118], [119], [121]). Развитием этих идей можно считать и общую теорию С*-алгебр, начало которой было положено в 1943 г. в работе И. Гельфанда и М. Наймарка [2].

Также преимущество использования операторных алгебр в физике заключается в том, что они могут использоваться для описания как квантовых, так и классических систем. Поскольку наблюдаемые и симметрии квантовой системы обычно отождествляются с самосопряженными и унитарными операторами, действующими в некотором гильбертовом пространстве, операторные алгебры могут быть использованы для описания квантовых систем. С другой стороны, классические системы обычно описываются фазовыми (функциональными) пространствами, а это снова позволяет использовать для описания классических систем операторные алгебры. Таким образом, операторные алгебры можно, в определенном смысле, считать оптимальным инструментом для описания класси-

ческого и квантового взаимодействия, которое и по сей день достаточно подробно обсуждается не только с математической и физической, но и с филосовской точки зрения ([111], [112]) под общим термином "борифика-ция": все наблюдения на квантовых системах должен быть выражены в терминах классической физики [17]. Важным инструментом здесь является система подалгебр операторной алгебры, элементы которой отождествляются с фрагментами классической информации квантовой системы, соответствующей алгебре. Таким образом, в системе подалгебр содержится вся доступная информация о квантовой системе, что делает этот объект естественным инвариантом для операторных алгебр, учитывающим, среди прочего, и структурные свойства алгебры. Кроме этого, интересным представляется исследование симметрий изучаемых объектов как обратимых преобразований, полностью сохраняющих структуру объекта. Так, например, симметрией банахова пространства является линейный изометрический изоморфизм, а симметрией гильбертова пространства - унитарный оператор. Но даже в самых элементарных случаях симметрии достаточно разнообразны. Основными объектами, для которых изучаются квантовые симметрии (симметрии в контексте квантовой теории), являются множество чистых нормальных состояний на алгебре всех ограниченных линейных операторов, действующих в гильбертовом пространстве, самосопряженная часть алгебры всех ограниченных линейных операторов В(Н), действующих в гильбертовом пространстве Н, как йорданова алгебра, семейство ортопроекторов, действующих

Н

ра эффектов для алгебры В(Н) как выпуклое множество. Нас же в большей степени интересуют симметрии в алгебраической квантовой теории. Особое внимание уделяется симметриям Йордана С*-алгебры (йордано-

вым изоморфизмам на самосопряженной части С*-алгебры, снабженной йордановым произведением а о Ь = |(аЬ + Ьа)), симметриям типа Людвига на алгебре эффектов, симметриям фон Неймана (изоморфизмам

ортомодулярного частично упорядоченного множества ортопроекторов операторной алгебры), симметриям типа Бора (порядковых изоморфизмах на системах коммутативных или ассоциативных подалгебр), а также связям между ними. Следует отметить, что указанная любопытная классификация симметрий не является общеупотребительной. В подобном виде ее можно найти в монографии Н. Ландсмана [113].

Исследование симметрий квантовых структур, снабженных отношением порядка, проводимое в данной работе, изучение связей и комбинаций между ними, влияние этих связей не только на структурные свойства алгебр, но и на полноту соответствующего унитарного пространства, дает возможность объединить характеризации структуры алгебр фон Неймана в терминах инвариантных относительно коммутанта этой алгебры подпространств, описание полноты пространства представления Гельфанда-Наймарка-Сигала различных типов алгебр, преобразования, сохраняющие порядок на эффект-алгебрах и системах подалгебр, упорядоченные по Шоке ортогональные меры на пространствах состояний, а также позволяет увидеть в неожиданном ракурсе структурную теорию операторных алгебр в целом.

Структура подпространств унитарного пространства представляет собой аппарат, необходимый для программы аксиоматизации квантовой механики. Исследования в этой области с той или иной степенью интенсивности проводятся с момента появления математических основ квантовой теории. В отличие от замкнутых подпространств унитарного пространства, ортозамкнутые и расщепляющие подпространства могут вы-

деляться прозрачными алгебраическими условиями, отражающими основные физические аксиомы. В 1967 году И.Амемия и X.Араки, вдохновленные работой К.Пирона [126], доказали в [11], что унитарное пространство является полным тогда и только тогда, когда система ортоза-мкнутых подпространств является ортомодулярным множеством. Этот результат, получивший название теоремы Амемия-Араки, послужил сигналом для дальнейшего изучения взаимодействия алгебраической (порядковой) и метрической структур унитарного пространства. Система расщепляющих подпространств унитарного пространства в этом контексте исследовалась П.Птаком и Х.Вебером [128], [129], А.Двуреченским [54], [62], [34], обобщившим результаты Ж.Каттанео и Дж.Марино [32] и Х.Гросса и Х.Келлера [77]. Интересны в этой связи и результаты С. Гад-дера [78], [79], [80]. Также были получены алгебраические критерии полноты унитарного пространства в терминах других выделенных семейств подпространств [31], [58], [60], [20], [23], [69], [70], [71], [72], [30]. Например, в [58] было доказано, что унитарное пространство является полным тогда и только тогда, когда семейство подпространств Фулпса-Гэндалла этого унитарного пространства представляет собой ортомодулярное множество. Также в этой работе продемонстрирована актуальность этого результата для тестовых пространств в аксиоматике квантовой механики. Полнота унитарного пространства в контексте квазирасщепляюгцих подпространств, введенных Д.Бухаджаром и Э.Кеткути, исследовалась в [20], [24].

Первый критерий полноты в терминах теории меры был получен П. Пта-ком и Я.Хамхалтером в [90], где было показано, что сепарабельное унитарное пространство полно тогда и только тогда, когда на классе орто-замкнутых подпространств существует хотя бы одна ненулевая счетно-

аддитивная вероятностная мера. Эта работа вдохновила многих авторов, которые, следуя предложенным методам, расширили критерии полноты в терминах меры на различные классы подпространств и меры различных типов. Результаты в этой области были получены А.Двуреченским, С.Пульмановой, Дж. Марино, Э. Кеткути и другими авторами [33], [48], [49], [50], [54], [55], [56], [57], [59], [61].

Важность и актуальность исследований систем подпространств иллюстрируется, например, и тем фактом, что они представляют собой структуры подпространств с ортодополнением в общем контексте. Так Дж.Уилбур в [150] показал, что решетка с ортодополнением всех подпространств (замкнутых) бесконечномерного комплексного локально выпуклого пространства, топология Макки которого не слаба, изоморфна семейству всех ортозамкнутых подпространств в некотором унитарном пространстве. Этот результат позволил обобщить классическую теорему Микки-Кику тин и ([106], [107]) следующим образом: комплексное пространство Макки, топология которого не слаба, изоморфно гильбертову пространству всякий раз, когда семейство всех его подпространств является ортомодулярным частично упорядоченным множеством.

Нас же в большей степени интересует связь между полнотой унитарного пространства и соотношением между классами подпространств. В унитарном пространства £ со скалярным произведением (•, •) для X С Б определим

X^ = {х е Б | (х,у) =0 Уу е X}. Следуя терминологии А.Двуреченского ([50], [55], [57]) определим

Е(Б) = {X С Б | X 0 X^ = Б}-

множество всех расщепляющих подпространств пространства Б;

Е4(5) = {X С ^ | X 0 X^ = 5}-множество всех квазнрасщепляющнх подпространств пространства

^(5) = {X С 5 | X = X

множество всех ортозамкнутых подпространств пространства

Следующая теорема суммирует усилия многих авторов (А. Двуречен-ский, П. Птак, С. Пульманова, Н. Вебер и других), детально изложенные в работах [21], [48], [84], [85].

Теорема 0.1. Пусть Б - унитарное пространство. Следующие условия являются эквивалентными:

(!) 5 полно.

(11) Е(5) является решеткой.

(ш) Е(5) = ^(5).

Еще раз отметим, что существует интересный контраст между ор-тозамкнутыми и расщепляющими подпространствами. Структура Е(5) всегда ортомодулярна, но она никогда не является решеткой, если 5 неполно. С другой стороны, ^(5) является решеткой, но никогда ор-томодулярной решеткой, если только 5 не является полным.

Следующая теорема, касающаяся характеризации полноты пространства в терминах квазирасщепляюгцих подпространств, была доказана Д. Бухаджаром, Э. Кеткути и Н. Вебером в [23]:

Теорема 0.2. Пусть 5 - унитарное пространство, имеющее орто-нормированный базис. Тогда, 5 является полным тогда и только тогда, когда Е(5) = Е*(5).

Еще одна линия исследований была инициирована автором совместно с А.Н. Шерстневым в [135]. Для получения более общих решеток подпространств, представляющих интерес как с математической, так и с физической точек зрения, можно использовать замещение решетки Ь(И) всех подпространств гильбертова пространства И ее подрешеткой, состоящей

И

ответствуюгцие ортопроекторы принадлежат заданной алгебре фон Неймана М, действующей в И. (Решетка всех подпространств Ь(И) может быть рассмотрена в такой ситуации как частный случай, соответствующий алгебре фон Неймана всех ограниченных линейных операторов, И

странства, которые инвариантны относительно операторов из коммутанта М' алгебры М. "Процедура отбора "приводит к решеткам, которые могут быть безатомными, модулярными и могут обладать свойствами непрерывной геометрии ([109]). Эта процедура была основной идеей работы Дж. фон Неймана и Ф. Мюррея ([117]), а также классической работы Дж. Биркхофа и Дж. фон Неймана ([15]). Не менее продуктивной является работа с семействами подпостранств унитарного пространства, присоединенного к алгебре фон Неймана, действующей в гильбертовом пространстве, являющимся пополнением исходного унитарного. Такой подход позволяет смотреть на рассматриваемое унитарное пространство как на некоторый линеал, плотный в гильбертовом пространстве. В этом случае устанавливаются интересные взаимосвязи между структурными свойствами (типами) алгебр фон Неймана, алгебраическими свойствами классов подпространств и свойствами состояний в модулярной теории Томиты-Такесаки ([142], [143], [144], [145]). Результаты, полученные в этой области в главе 1 позволяют говорить о некотором новом подхо-

де к классификации алгебр фон Неймана в терминах классов подпространств, присоединенных к этой алгебре. Изначально классы подпространств унитарного пространства, присоединенного к алгебре фон Неймана, рассматривались в контексте полноты унитарного пространства, то есть было важно найти такой тип алгебр фон Неймана, для которого совпадение классов инвариантных подпространств было бы возможным и в случае неполного пространства. Это было достаточно быстро сделано ([135]), а именно было показано, что для абелевой алгебры фон Неймана любое присоединенное подпространство является расщепляющим в случае произвольного унитарного пространства, тем самым для абелевой алгебры фон Неймана М были доказаны равенства

Ем(5) = ЕМ (5) = (5) = ¿м(Я).

Поиск ответа на возникший далее вопрос о построении цепочки попарно различных классов подпространств подходящего унитарного пространства, присоединенных к некоторой алгебре фон Неймана (отличной от "стандартного" случая М = В(Н)), оказался более трудным и интересным. Необходимая конструкция была построена в рамках пространства представления Гельфанда-Наймарка-Сигала алгебры В(Н), ассоциированного с точным нормальным полуконечным весом, обладающим ограниченной производной Радона-Никодима [151]. Данная работа продолжает исследования классов инвариантных подпространств в контексте полноты унитарного пространтва, порядковых свойств и вопроса существования мер на классах подпространств с точки зрения типологии алгебр фон Неймана. Важными инструментами в этом исследовании являются две самые, на мой взгляд, красивые конструкции, связанные с алгебрами фон Неймана: тензорное произведение алгебр фон Неймана

и представления Гельфанда-Наймарка-Сигала, ассоциированные с весом или состоянием.

Вопрос полноты рано или поздно возникает при рассмотрении любого унитарного пространства. В контексте операторных алгебр пространство со скалярным произведением возникает в рамках конструкции Гель-фанда - Наймарка - Сигала, которая представляет собой один из наиболее плодотворных результатов в теории операторных алгебр и современного функционального анализа в целом. Одна из идей конструкции, исследование которой было начато в работе И. Гельфанда и М. Наймарка 1943 года ([2], [74]), состоит в использовании положительного функционала ^ на С*-алгебре А с целью получения билинейной формы (• , • на А с помощью равенства

(а,Ь= р(Ь*а) (а,Ь е А).

Данная билинейная форма в общем случае не является скалярным произведением.

Рассматривая замкнутый левый идеал

Ср = { а е А | р(а*а) = 0 }, получаем унитарное пространство

Осуществляя пополнение этого пространства по указанному скалярному произведению, получаем гильбертово пространство Ир, представление алгебры А в В(Ир) и такой циклический вектор е Ир, что

Р(а) = (^ ) (а еА),Ир = пр(А)^. Конструкция Гельфанда-Наймарка-Сигала в некотором смысле представляет собой мост между двумя взглядами на природу С*-алгебр. С

одной стороны, С*-алгебру можно рассматривать как особую банахову алгебру, обладающую определенными свойствами. С другой стороны, мы имеем определение в терминах гильбертова пространства, позволяющее рассматривать С*-алгебру как замкнутую ^-подалгебру алгебры всех ограниченных линейных операторов, действующих в некотором гильбертовом пространстве.

В 1947 году И.Сигал замечает, что пу является неприводимым тогда и тогда тогда, когда ^ представляет собой чистое состояние [133]. Еще одним важным моментом в этом направлении стала прославленная теорема транзитивности Р. Кадисона 1957 года, которая утверждает, что любая неприводимая С*-алгебра является алгебраически неприводимой [103]. Более точно, пусть А - неприводимая алгебра, действующая в

Н

пространства X С Н и каждого ограниченного линейного оператора действующего в Н, существует такой элемент а € А, который совпадает с £ на X.

Объединяя результаты И. Сигала и Р. Кадисона, получаем, что пространство Ау полно, когда ^ есть чистое состояние. Действительно, Ау может быть идентифицировано с подпространством {пу(а)£у | а € А} в Ну. Но если пу неприводимо, то это пространство должно совпадать со всем Ну. Следовательно, Ау изоморфно Ну и также является полным. Другими словами, осуществлять процедуру пополнения в рамках конструкции Гельфанда-Наймара-Сигала в этом случае бессмысленно. В этом констексте возникает другой интересный вопрос: для каких других состояний пространство Ау с рассматриваемым скалярным произведением является автоматически полным. Ответ на этот вопрос был дан Г. Хальперном [82], который показал, что Ау полно только в том слу-

чае, если ф является выпуклой комбинацией конечного числа чистых состояний. Это демонстрирует глубокие связи между выпуклой геометрией состояний и метрическими свойствами пространства Гельфанда-Наймарка-Сигала.

В работе Э. Кеткути и Я. Хамхалтера [35] было показано, что пространство Гельфанда-Наймарка-Сигала, определенное посредством равенства

(а,Ь) = ф(Ь*а) + ф(а*Ь),

является полным тогда и только тогда, когда ф есть выпуклая комбинация конечного числа чистых состояний.

Обращаясь к моделям квантовой системы, стоит заметить, что модель, основанная на йордановых структурах, в определенном смысле обобщает операторно-алгебраический подход, который основан на С*-алгебрах или алгебрах фон Неймана. Самосопряженная часть С*-алгебры или более общей йордановой алгебры представляет пространство всех наблюдаемых характеристик квантовой физической системы. В этой модели скалярное произведение (а, Ь имеет смысл корреляции между двумя квантовыми наблюдениями а и Ь в состоянии ф. Хотя математический формализм квантовой теории использует в основном язык С*-алгебр, кажется более естественным начинать с йордановых банаховых алгебр ^В-алгебр) и состояний на них. Действительно, в некотором смысле это и было первоначальное намерение Дж. фон Неймана, Ю. Вигнера и других основоположников математических основ квантовой теории [101]. Важность роли йордановых структур в квантовой теории была детально разобрана Дж.Эмхом ([65], [66]) и Н. Ландсманом ([111]) (можно также обратить внимание на относительно недавние работы [68] и [73]). Поэто-

му исследование пространств Гельфанда-Наймарка-Сигала, порождаемых состояниями на йордановых алгебрах, может рассматриваться как анализ некоторых базисных вероятностных структур квантовой теории.

В главе 2 мы обобщаем результат Г. Хальперна на случай Порди новых банаховых алгебр и показываем, что А* полно тогда и только тогда, когда р представляет собой выпуклую комбинацию чистых состояний. Также мы получаем явное описание унитарных пространств Гельфанда-Наймарка-Сигала, порожденных выпуклыми комбинациями чистых состояний различного вида.

Сначала мы фокусируемся на пространстве представлений Гельфанда-Наймарка-Сигала факторов типа 1п,п > 4, которое порождается чистым состоянием. Используя обобщение теоремы транзитивности Кади-сона для йордановых алгебр, которое сделал Э. Стёрмер в [136], [137], мы описываем пространство А* в терминах вещественных подпространств исходного комплексного гильбертова пространства с вещественной или кватернионной, в случае необходимости, структурой. Из этого описания немедленно следует полнота. Однако, в отличие от этого случая, не все состояния на йордановых банаховых алгебрах порождают гильбертово пространство представлений. Как хорошо известно [9], фактор М| эрмитовых матриц размерности 3 х 3 над числами Кэли (октанионами) непредставима никаким гильбертовым пространством. Следовательно, мы не можем применять в этом случае технику получения гильбертова пространства, используемую для С*-алгебр. Вместо этого мы будем ис-

А

А**. Мы показываем, что полнота А* эквивалентна полноте А*«, где р** представляет собой каноническое нормальное продолжениер на А**. Это позволяет нам свести проблему исследования полноты к представлени-

ям, порожденным нормальными состояниями на JBW-aлгeбpax и установить полноту пространства представлений в случае состояний, сконцентрированных на прямых слагаемых А**, которые изоморфны Ы^.

Существует и еще одно поразительное различие между С*-алгебрами и алгебрами Йордана. В настоящее время хорошо известно, что каждая рефлексивная С*-алгебра должна быть конечномерной, но существует бесконечномерная ^ТВ-алгебра, называемая спин-фактором, которая является рефлексивной. Этот феномен проявляется в наших исследованиях через пространства представлений, порожденных состояниями, носители которых во втором дуальном имеют бесконечную размерность. Это невозможно в контексте С*-алгебр. Таким образом мы приходим к состояниям нового типа, которые мы называем состояниями спин-фактора. Получив описания таких состояний в терминах канонического следа на спин-факторе, мы устанавливаем, что выпуклая комбинация вышеупомянутых состояний также порождает полные пространства представления Гельфанда-Наймарка-Сигала. В итоге мы получаем, что для состояния ф на JB-aлгeбpе А пространство представления Ар полно тогда и

ф

стых состояний. Этот результат интересным образом согласуется с результатами главы 1, в которой показано, что пространство полно то-

ф

чистых состояний.

В 3 главе мы возвращаемся к исследованию алгебр фон Неймана и их алгебраических обобщений AW*-алгебр с точки зрения так называемых "квантовых спектральных симметрий". Симметрии квантовой системы являются одним из интересных разделов в области квантовых структур и вычислительных аспектов квантового формализма. Основу этой тео-

рии положила теорема Вигпера ([147], [149]), которая описывает преобразования, сохраняющие вероятности перехода квантовой системы. Нам интересна математическая версия этой теоремы (в терминах квантовых логик), которая определяет преобразования решетки ортопроекторов алгебры всех ограниченных линейных операторов, сохраняющие порядок и ортогональность, с помощью унитарного/антиунитарного оператора. В случае алгебры фон Неймана такие преобразования описываются в теореме Дая с помощью йордановых ^-изоморфизмов [63].

Некоторое время назад стали появляться теоремы типа Вигпера для спектрального порядка на квантовых эффектах. Алгебра эффектов (эффект-алгебра), снабженная спектральным порядком, является естественным расширением решетки ортопроекторов со стандартным операторным порядком. Переход от ортопроекторов к эффектам интересен как с математической, так и с физической точки зрения: переход от наблюдаемых с двухточечным спектром (ортопроекторов) к наблюдаемым со спектром [0; 1] (эффектам).

"Стандартное" отношение порядка на множестве всех ограниченных линейных самосопряженных операторов В(Н)ва, действующих в гиль-

Н

зом: для любых а, Ь € В(Н)ва

а < Ь, если (а£, £) < (Ь£, £)

для любого £ € Н.

Замечательный результат, полученный Р. Кадисоном [102] в 1951 году, состоит в том, что семейство В(Н)ва, наделенное таким порядком, представляет собой антирешетку, что означает существование точной верхней

и точной нижней граней только для сравнимых элементов рассматриваемого частично упорядоченного множества. Однако можно рассмотреть и другой порядок, называемый спектральным, который организует частично упорядоченное множество самосопряженных ограниченных операторов в полную решетку, как показано, например в работе М.Ф. Олсо-на [123], который ввел и изучал понятие спектрального порядка. С точки

а

Ьа гций лучу (-то; Л] мажорирует аналогичный спектральный ортопроек-Ь

женные операторы соответствуют наблюдаемым, спектральный порядок означает, что функция распределения одной наблюдаемой меньше функции распределения другой наблюдаемой при каждом состоянии системы. (Еще раз заметим, что операторный подход к квантовой механике довольно подробно изложен, например, в [84].)

Спектральный порядок переоткрывался несколько раз. Наряду с М. Ф. Олсоном, спектральный порядок был введен У. Арвесоном [13], изучавшим однопараметрические группы автоморфизмов С*-алгебр. Ч. Аке-манн и Н. Вивер изучали связи между мажорантами в смысле спектрального порядка и условным математическом ожиданием на алгебрах фон Неймана [7]. Спектральный порядок как таковой систематически изучался Т. Като и X. де Гроотом в [110] и [76] соответственно.

Для любого элемента а из В(Н)ва существует семейство {(Ел(а)}л€к ортопроекторов из В(Н), называемое спектральным разложением или, разложением единицы, для которого выполняются условия:

(!) Л < М Ел(а) < Е(а);

(и) Ел(а) = Ы^> л Е^(а);

(ш) Е\(а) = 0, если Л < —||а||; Е\(а) = 1, если Л > ||а||.

Спектральный порядок на В(И)ва определяется следующим образом:

а <Б Ь, если ЕЛ(Ь) < Ех(а) УЛ е К.

Заметим, что спектральный порядок отличен от стандартного. Действительно, пусть И = С2. Рассмотрим

р = (00)Ь= (11

Тогда

р < Ь, но р Ь , поскольку для Л = | — 2л/5 < 1, являюгцегося собственным значением

( 1 (1 — /5) \

Ь, Е\(Ь) - ортопроектор на С , Е\(р) - ортопроектор на

V 1 )

(0)

С , то есть ЕЛ(Ь) < Ел(р).

\Ч

Стоит также заметить, что для элемента самосопряженного оператора а из алгебры фон Неймана М семейство {(Ел(а)}лем лежит в М. Таким образом, можно говорить о понятии спектрального порядка на алгебре фон Неймана.

Следует учесть, что практически все работы, в которых фигурировал спектральный порядок, посвящались спектральному порядку на алгебре ограниченных операторов, действующих в некотором гильбертовом пространстве, на алгебре фон Неймана и на алгебре матриц. Незначительные результаты были получены для спектрального порядка на неограниченных самосопряженных операторах. Можно обратить в этой связи

внимание на работы [12], [86], [87], [115], [123]. В работе спектральный порядок вводится и изучается для АЖ*-алгебр.

Кроме спектрального порядка как такового нас интересуют в большей степени так называемые "квантовые спектральные симметрии" - преобразования, этот спектральный порядок сохраняющие. Другими словами, нас интересует описания спектральных порядковых автоморфизмов на эффект-алгебре алгебр фон Неймана и АЖ*-алгебр и их связей с соответствующими автоморфизмам решеток ортопроекторов. Заметим, что структура ортопроекторов алгебры фон Неймана, рассматриваемая как ортомодулярная решетка, есть показательный пример квантовых логик [84]. Автоморфизмы таких квантовых логик полностью представлены замечательной теоремой Г. Дайя [63], которая гласит, что любой ортоморфизм решетки ортопроекторов алгебры фон Неймана, не содержащей прямых слагаемых типа 12) единственным образом продолжается до йорданова *-автоморфизма па самой алгебре. Алгебра эффектов Е (М) алгебры фон Неймана М, наделенная спектральным порядком и естественным отношением ортогональности, также является "расширением" решетки ортопроекторов до полной решетки. Поэтому возникает очевидный вопрос о возможности распространения теоремы Дайя в этом контексте. Первая версия теоремы типа Дайя для спектральных решеток была доказана Я. Хамхалтером в [86]. Было показано, что любой ортоавтоморфизм р спектральной решетки эффектов алгебры М распространяется до йорданова *-автоморфизма на М, если толь ко р сохраняет операторы, кратные единичному. Описание общих спектральных автоморфизмов (не обязательно сохраняющих ортогональность или скалярные операторы) было дано в замечательной работе Л. Молнара и П. Шермла [115] для алгебры всех ограниченных линейных операторов,

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Турилова Екатерина Александровна, 2020 год

Список литературы

[1] Аюпов Ш. А. Классификация и представление упорядоченных йор-дановых алгебр/ Ш. А. Аюпов. - Ташкент: ФАН, 1986. - 123 с.

[2] Гельфанд И.М. О включении нормированного кольца в кольцо операторов в гильбертовом пространстве / И. М. Гельфанд, М. А. Наймарк// Матем. сборник. 1943. - Т. 12, № 2. - С. 197-213.

[3] Мерфи Дж. C*-алгебры и теория операторов/ Дж. Мерфи. - М.: Факториал, 1997. - 336 с.

[4] Шерстнев А.Н. К общей теории состояний на алгебрах фон Неймана/ А.Н. Шерстнев// Функц. анализ и его прилож. - 1974. - Т. 8, № 3. - С. 89 - 90.

l

Шерстнев// Изв. ВУЗов. Матем. - 1977. - № 8. - С. 88-91.

[6] Шерстнев А.Н. Методы билинейных форм, в некоммутативной теории меры и интеграла/ А.Н. Шерстнев,- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 264 с.

[7] Akemann С.Minimal upper bounds of commuting operators / C. Akemann, N. Weaver// Proc. Amer.Math. Soc. - 1996. - Vol. 124, № 11. - 3. 3469-3476.

[8] Albert A. A Structure Theory for Jordan Algebras/ A. Albert// Ann. of Math. - 1947 . - Vol. 48, № 3. - P. 546-567.

[9] Alfsen E. M. A Galfand-Neumark Theprem for Jordan Algebras/ E. M. Alfsen, F.W.Shultz, E. Stormer// Advan. in Math. - 1978. - Vol. 28. -P. 11 - 56.

[10] Alfsen E.M. State spaces of Operator Algebras/ E.M. Alfsen, F.W. Shultz. - Basel: Birkhauser, 2001. - 350 p.

[11] Amemiya I. A remark on Piron's paper/l.Amemiya and H.Araki// Publ. Res. Inst. Math. Sci. A. - 1957. - Vol. 2, № 3. - P. 423-427.

[12] Ando T. Majorization, doubly stochastic matrices, and comparison of eigenvaluesj T. Ando// Lin. Alg. and Its Applic. - 1989. - Vol. 118. -P. 163-248.

[13] Arveson W. On groups of automorphisms of operator algebrasj W. Arveson// Journ. of Fimc. Anal. - 1974. - Vol. 15, № 3. - P. 217-243.

[14] Berberian S. Bear *-Ringsf S. Berberian. - Berlin: Springer, 1972. -301 p.

[15] Birkhoff G. The logic of quantum mechanics/ G. Birkhoff, J. von Neumann// Ann. Math. - 1936. - Vol. 37,- P. 823-824.

[16] Blackadar B. Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebrasj B. Blackadar. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 2006. - 517 p.

[17] Bohr N. Discussion with Einstein on Epistemological Problems in Atomic Physics/ N. Bohr// The Library of Living Philosophers, Volume 7. Albert Einstein: Philosopher-Scientist/ ed. by P.A. Schilpp. - Open Court, 1949. - P. 199-241.

[18] Bratteli O. Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics, 1/ 0. Bratteli, D. W. Robinson. - Berlin: Springer, 1997. - 500 p.

[19] Bratteli O. Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics, 2j O. Bratteli, D. W. Robinson. - Berlin: Springer, 1997. - 517 p.

[20] Buhagiar D. Quasi-splitting sub spaces in a pre Hilbert space/ D. Buhagiar, E. Chetcuti// Math. Nachr. - 2007. - Vol. 280, № 5-6. -P. 479 484.

[21] Buhagiar D. Algebraic and measure-theoretic properties of classes of subspaces of an inner product space/ D. Buhagiar, E. Chetcuti, A. Dvurecenskij// Handbook of Quantum Logic and Quantum Structures, Quantum Structures. - Amsterdam: Elsevier. - 2007. - P. 75-120.

[22] Buhagiar D. Only "free" measures are admissible on F(S) when S is incompletej D. Buhagiar, E. Chetcuti// Proc. Am. Math. Soc. - 2008. -Vol. 136. - P. 919-922.

[23] Buhagiar D. Orthonormal bases and quasi-splitting subspaces in pre-Hilbert spacesj D. Buhagiar, E. Chetcuti, H. Weber// Journ. Math. Anal. Appl. - 2008. - Vpl. 345. - P. 725-730.

[24] Buhagiar D. Quasi-splitting subspaces and Foulis-Randall subspaces/ D. Buhagiar, E. Chetcuti, A. Dvurechenskij// Journ. Math. Phys. -2011. - Vol. 52, № 12. - 123508.

[25] Bunce L. J. Quantum measures and states on Jordan algebras/ L. J. Bunce, J. D. M. Wright// Commun. Math. Phys. - 1985. - Vol. 98. -P. 187-202.

[26] Bunce L. J. Continuity and linear extensions of quantum measures on Jordan operator algebras/ L. J. Bunce, J. D. M. Wright// Math. Scand. _ 1989. - Vol. 64. - P. 300-306.

[27] Bunce L. J. The Mackey Gleason problemj L. J. Bunce, J. D. M. Wright// Bull. Am. Math. Soc. - 1992. - Vol. 26, № 2. - P. 288-293.

[28] Bunce L. J. The Mackey-Gleason problem for vector measures on projections in von Neumann algebras/ L. J. Bunce, J. D. M. Wright// Journ. London Math. Soc. - 1994. - vol.49, № 2. - P. 133-149.

[29] Busch P. Operational Quantum Physics/ P. Busch, M. Grabowski, P. Lahti. - Berlin: Springer, 1995. - 232 p.

[30] Cattaneo G. Spectral decomposition of pre-Hilbert spaces as regard to suitable classes of normal closed operators/ G.Cattaneo, G.Marino// Bolletino U.M.I. - 1982. - Vol. 6, № 1-B. - P. 451-466.

[31] Cattaneo G. Ordering of families of sub spaces of pre-Hilbert spaces and Dacey pre-Hilbert spacesf G.Cattaneo, G.Franco, G.Marino// Bolletino U.M.I. - 1987. - Vol. 7, № 1-B. - P. 167-183.

[32] Cattaneo G. Completeness of inner product spaces with respect to splitting subspacesf G.Cattaneo and G.Marino// Lett, in Math. Phys. - 1986. - Vol. 11.- P.15-20.

[33] Chetcuti E. A finitely additive state criterion for the completeness of inner product spacesj E. Chetcuti, A. Dvurecenskij// Lett, in Math. Phys. - 2003. - Vol. 63. - P. 221-227.

[34] Chetcuti E. The state-space of the lattice of orthogonally closed subspacesf E. Chetcuti, A. Dvurecenskij // Glasg. Math. Journ. - 2005.

- Vol. 47. - P. 213-220.

[35] Chetcuti E. Completeness of *-symmetric Gelfand-Naimark-Segal inner product spaces j E. Chetcuti, J. Hamhalter// Q. J. Math. - 2012.

- Vol. 63. - P. 367-373.

[36] Connes A. A factor not isomorphic to itself/ A. Connes// Ann. Math.

- 1962,- Vol. 101, № 3. - P. 536-554.

[37] Connes A. On the spatial theory of von Neumann algebras/ A. Connes// Journ. Funct. Anal. - 1980. - V. 35, № 2. - P. 153-164.

[38] Dixmier J. Les algèbres d'opérateur .s dans V espace Hilbertien (algèbres de von Neumann)/ J. Dixmier. - Paris: Gauthier - Villars, 1969. - 367 p.

[39] Döring A. Generalised Gelfand Spectra of Nonabelian Unital C* -Algebras I: Categorical Aspects, Automorphisms and Jordan Structure/ A. Döring. - arXiv:1212.2613.

[40] Döring A. Generalised G elf and Spectra of Nonabelian Unital C*-Algebras II: Flows and Time Evolution of Quantum Systems/ A. Döring. - arXiv:1212.4882.

[41] Döring A. Usharp Values, Domains and Topos/ A. Döring, R.S. Barbosa// Chapter in Quantum Field Theory and Gravity. - Berlin: Springer, 2012. - P. 65-95.

[42] Döring A. Abelian subalgebras and the Jordan structure of von Neumann algebras/ A. Döring, J. Harding// Houston Journ. Math. - 2016. - Vol. 42, № 2. - P. 559 - 568.

[43] Döring A. A topos foundations for theories of physics: I, Formal languages for physics/ A. Döring, C. J. Isham// Journ. Math. Phys. -2008. - Vol. 49. - P. 534-515.

[44] Döring A. A topos foundations for theories of physics: II, Daseinisation and the liberation of quantum theory/ A. Döring, C. J. Isham// Journ. Math. Phys. - 2008. - Vol. 49. - P. 534-515.

[45] Döring A. A topos foundations for theories of physics: III, Quantum theory and the representation of physical quantities with arrows, A: E ^ PR./ A. Döring, C. J. Isham// Journ. Math. Phys. - 2008. - Vol. 49. - P. 534-515.

[46] Döring A. A topos foundation for theories of physics: IV. Categories of systemsf A. Döring, C. J. Isham// Journ. Math. Phys. - 2008. - Vol. 49. - 953518.

[47] Dunford N. Linear Operators // N. Dunford, J.T. Schwartz. - New York: Wiley Classical Library, 1988. - 872 p.

[48] Dvurecenskij A. Gleason's theorem and completeness of inner product spacesf A. Dvurecenskij, L. Misik// Inter. Journ. Theor. Phys. - Vol. 27. - P. 417-426.

[49] Dvurecenskij A. A signed measure completeness criterion/ A. Dvurecenskij, S. Pulmannova// Lett, in Math. Phys. - 1989. - Vol. 17. - P.253-261.

[50] Dvurecenskij A. States on families of sub spaces of pre-Hilbert spaces/ A. Dvurecenskij// Lett, in Math. Phys. - 1989. - Vol. 17. - P. 19-24.

[51] Dvurecenskij A. Finitely additive states and completeness of inner product spaces/ A. Dvurecenskij, T. Neubrunn, S. Pulmannova// Found. Phys. - 1990. - V. 20. - P. 1091- 1102.

[52] Dvurecenskij A. Regular states and countable additivity on quantum logicsj A. Dvurecenskij, T. Neubrunn, S. Pulmannova// Proc. Amer. Math. Soc. - 1992. - V. 114. - P. 931 - 938.

[53] Dvurecenskij A. Regular charges and completeness of inner product spacesj A. Dvurecenskij// Atti Sem. Mat. Fis. Univ. di Modena. -1993. - Vol. 41. - P. 269-285.

[54] Dvurecenskij A. Regular measures and inner product spaces / A.Dvurecenskij// Inter. Journ. of Theor. Phys. - 1992. - Vol. 31, № 5. - P. 889-905.

[55] Dvurecenskij A. Quantum logics and completeness criteria of inner product spacesj A.Dvurecenskij// Inter. Journ. of Theor. Phys. - 1992.

- Vol. 31, № 10. - P. 1899-1907.

[56] Dvurecenskij A. Regular charges and completeness of inner product spacesj A.Dvurecenskij// Atti. Sem. Mat. Fis. Univ. Modena. - 1993.

- Vol. XLI. - P. 269-285.

[57] Dvurecenskij A. Gleason's Theorem nad Its Applicationsj A.Dvurecenskij. - Kluwer - Dordrecht, Boston, London: Academic Publishers, 1993. - 348 p.

[58] Dvurecenskij A. Test spaces, Dacey spaces, and completeness of inner product spacesj A.Dvurecenskij, S.Pulmannova// Lett, in Math. Phys. _ 1994. _ Vol. 32. - p. 299-306.

[59] Dvurecenskij A. Frame functions and completeness of inner product spacesj A.Dvurecenskij// Ann. Inst. Henri Poincare. - 1995. - Vol. 62. - P. 429-438.

[60] Dvurecenskij A. Test spaces and characterizations of quadratic spaces/ A. Dvurecenskij// Inter. Journ. of Theor. Phys. - 1996. - Vol. 35, №. 10. - P. 2093-2106.

[61] Dvurecenskij A. Measures and decomposable measures on effects of a Hilbert spacej A. Dvurecenskij// Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena. _ 1997. _ Vol. XLV. - P. 259-288.

[62] Dvurecenskij A. A new algebraic criterion for completeness of inner product spacesj A.Dvurecenskij// Lett, in Math. Phys. - 2001. - Vol. 58. - P. 205-208.

[63] Dye H.A. On the geometry of projections in certain operator algebras/ H.A. Dye// Ann Math. - 1955. - Vol. 61. - P. 73-89.

[64] Effros E. Tensor products of operator algebras/ E. Effros, E. Lance// Advances in Math. - 1977. - Vol 25. - 34 p.

[65] Emch G.G.Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory/ G. G. Emch. - New York: Wiley, 1972. - 352 p.

[66] Emch G.G.Mathematical and Conceptual Foundations of 20th-century Physics/ G. G. Emch. - Amsterdam, New York, Oxford, 1984. - 548 p.

[67] Emch G. G. Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory/ G. G. Emch. - New York: Dover, 2009. - 352 p.

[68] Falceto F. Reduction of Lie-Jordan algebras and quantum states/ F. Falceto, L. Ferro, A. Ibort, G. Marmo//Journ. Phys A: Math and Theor. - 2013. - Vol. 46, № 1. - 015201.

[69] Foulis D.J. An approach to empirical logic/ D. J. Foulis, C. H. Randall// Amer. Math. Monthly. - 1970. - Vol. 77. - P. 363-374.

[70] Foulis D.J. Lexicographic orthogonality/ D. J. Foulis, C. H. Randall// Journ. Combinat. Th. - 1971. - Vol. 11. - P. 157-162.

[71] Foulis D.J. Operational statistics I: Basic concepts/ D. J. Foulis, C. H. Randall// Journ. Math. Phys. - 1972. - Vol. 13. - P. 1667-1675.

[72] Foulis D.J. Properties and operational propositions in quantum mechanicsf D. J. Foulis, C. H. Randall// Found. Phys. - 1983. - Vol. 13. - P. 843-857.

[73] Fucchi P. Defining quantumness via Jordan product/ P. Fucchi, L. Ferro, G. Marmo, S. Paszacio// Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2014. - Vol. 47, № 3. - 035301.

[74] Gelfand I. On the embeddings of normed rings into the ring of operators in Hilbert space/ I. Gelfand, M. Neumark// Mat. Sb. - 1954. - Vol. 12, № 2. - P. 197-213.

[75] Gleason A.Measures on the closed subspaces of a Hilbert space/ A. Gleason// Journ. Math, and Mech. - 1957. - V. 6, № 6. - P. 885 -893.

[76] de Groote H. F. On the canonical lattice structure on the effect algebra of a von Neumann algebra/ H. F. de Groote// arXiv: math-ph/0410018vl. - 2004.

[77] Gross H. On the definition of Hilbert space/ H.Gross and A.Keller// Manuscripta Math. - 1977. - Vol.23.- P.67-90.

[78] Gudder S.P. Inner product spaces/ S. P. Gudder// Amer. Math. Monthly. - 1974. - Vol. 81. - P. 29 - 36.

[79] Gudder S.P. Correction to Inner product spaces/ S.P. Gudder // Amer. Math. Monthly. - 1975. - Vol. 82. - P. 251 - 252.

[80] Gudder S.P. Second correction to Inner product spaces/ S.P. Gudder, S. J. Holland// Amer. Math. Monthly. - 1975. - Vol. 82. - P. 818.

[81] Haagerup U. Normal weights on W*-algebras/ U. Haagerup// J. Funct. Anal. - 1975. - V. 19, № 3. - P. 302 - 317.

[82] Halpern H. Finite sums of irreducible functionals on C*-algebras/ H. Halpern// Proc. Amer. Math. Soc. - 1967,- Vol. 18. - P. 352-358.

[83] Deep Beauty: Understanding the Quantum World Through Mathematical Innovation/ ed. by H. Halvorson. - Cambridge: Cambridge University Press, 2011. - 486 p.

[84] Hamhalter J. Quantum Measure Theory/ J. Hamhalter. - Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2003.- 418 p.

[85] Hamhalter J. Quantum structures and operator algebras/ J. Hamhalter// Handbook of Quantum Logic and Quantum Structures, Quantum Structures. - Amsterdam: Elsevier. - 2007. - P. 285-333.

[86] Hamhalter J. Spectral order of operators and range projections/ J. Hamhalter// J.Math. Anal. Appl. - 2007. - Vol. 331. - P. 1122-1134.

[87] Hamhalter J. Spectral Latticesj J. Hamhalter// Inter. Journ. of Theor. Phys. - 2008. - Vol. 47. - P. 245-251.

[88] Hamhalter J. Isomorphisms of ordered structures of Abelian C*-subalgebras of C*-algebras/ J. Hamhalter// Journ. Math. Anal. Appl.

- 2011. - Vol. 383. - P. 391-399.

[89] Hamhalter J. Dye's Theorem and Gleason's Theorem for AW*-algebras/ J. Hamhalter// Journ. Math. Anal Appl. - 2015. - Vol. 422, № 2. - P. 1103-1115.

[90] Hamhalter J. A completeness criterion for inner product spaces/ J. Hamhalter, P.Ptak// Bull. London Math. Soc. - 1987. - Vol. 19. - P. 259-263.

[91] Hanche-Olsen H. Jordan Operator Algebrasf H. Hanche-Olsen, E. Stormer. - Boston-London-Melbourne: Pitman Advanced Publish Program, 1984. - 183 p.

[92] Harding J. Subalgebras of orthomodular lattices/ J. Harding, M. Navara//Order. - 2011. - Vol. 28. - P. 549-563.

[93] Heunen C. Characterizations of categories of commutative C*-subalgebrasf C. Heunen// Communications in Mathematical Physics.

- 2014. - Vol. 331, № 1. - P. 215-238.

[94] Heunen C. The many classical faces of quantum structures/ C. Heunen// Entropy. - 2017. - Vol. 19, № 4, 144. - P. 1-21.

[95] Heunen C. A topos for algebraic quantum theory/ C. Heunen, N.P. Landsman, B. Spitters// Commun. Math. Phys. 2009. - Vol. 291. - P. 63-110.

[96] Heunen C. Bonification of operator algebras and quantum logic/ C. Heunen, N. P. Landsman, B. Spitters// Deep Beauty Understanding the Quantum World Through Mathematical Innovation/ ed. by H. Halvorson. - Princeton University, 2011 - P. 217-313.

[97] Heunen C. Bohrification of operator algebras and quantum logic/ C. Heunen, N. P. Landsman, B. Spitters// Synthese. - 2012. - Vol. 186. -P. 719-752.

[98] Heunen C. Domains of commutative C*-subalgebras/ C. Heunen, B. Lindenhovius. - arXiv:1504.02730v8, 27 Feb 2019.

[99] Heunen C. Active Lattices Determine AW *-algebras/ C. Heunen, M. L. Reyes// Journ. of Math. Anal and App. - 2014. - Vol. 416. - P. 289-313.

[100] Jordan P. Uber Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik/ P. Jordan// Nachr. Akad. Wiss. Göttingen. Math. Phys. Kl. I.- 1933. - Vol. 41. - P. 209-217.

[101] Jordan P. On an algebraic generalisation of the quantum mechanical formalism/ P. Jordan, J. von Neumann, E. Wigner// Ann. of Math. -1934. - Vol. 35. - P. 29-64.

[102] Kadison R. Order properties of bounded self-adjoint operators/ R/ Kadison// Proc. Amer. Math. Soc. - 1951. - Vol. 2. - P. 505-510/

[103] Kadison R. Irreducible operator algebras/ R. Kadison// Proc. Natl. Acad. Sci. USA. - 1957. - Vol. 43. - P. 273-276.

[104] Kadison R.V. Fundamentals of the Theory of Operator Alegebras, // R. V. Kadison, J. R. Ringrose. - New York: Academic, 1983. - 398 p.

[105] Kadison R.V. Fundamentals of the Theory of Operator Alegebras, II/ R. V. Kadison, J. R. Ringrose. - New York: Academic, 1986. - 1074 p.

[106] Kakutani S. Two characterizations of real Hilbert space/ S.Kakutani, G.W.Mackey// Ann. of Math. - 1944. - Vol. 45, № 2. - P. 50-58.

[107] Kakutani S. Ring and lattice characterizations of complex Hilbert spacef S.Kakutani, G.W.Mackey// Bull. Amer. Math. Soc. - 1956. -Vol. 52. - P. 727-733.

[108] Kaplansky I. Projections in Banach algebras/ I. Kaplansky// Ann.of Math. - 1951. - Vol. 53, № 2. - P. 235-249.

[109] Kaplansky I. Any orthocomplemented complete modular lattice is a continuous geometry/ I. Kaplansky// Ann. of Math. - 1955. - Vol. 61. - P. 524-541.

[110] Kato T. Spectral order and a matrix limit theorem/ T. Kato Linear and Multilinear Algebra. - 1979. - Vol. 8. - P. 15-19.

[111] Landsman N.P. Mathematical Topics Between Classical and Quantum Mechanics/ N. P. Landsman. - New York: Springer-Verlag, 1998.

[112] Landsman N.P. Between Classical and Quantum/ N.P. Landsman// Handbook of Philosophy of Science, Volume 2: Philosophy of Physics/ ed by J. Earman, J. Butter. - Oxford: Elsevier, 2007. - P. 417-553.

[113] Landsman N.P. Foundation of Quantum Theory: From Classical Concepts to Operator Algebras/ N. P. Landsman. - SpringerOpen, 2017. - 881 p.

[114] Lindenhovius B.C(A): PhD thesis/ B. Lindenhovius, Radbound University. - Nijmegen, 2016. - 241 p.

[115] Molnar L. Spectral Order Automorphisms of the Spaces of Hilbert Space Effects and Observablesf L. Molnar, P. Semrl// Lett, in Math. Phys. -2007. - Vol. 80. - P. 239-255.

[116] Lukes J. Integral Representation Theory, Applications to Convexity, Banach Spaces, and Potential Theory/ J. Lukes, J. Maly, I. Netuka, J. Spurny. - Berlin, New York: de Gruyter, 2010. - 715 p.

[117] Murray F. On rings of operators/ F. Murray, J. von Neumann// Ann. Math. - 1936. - Vol. 37. - P. 116 - 229.

[118] Murray F.On rings of operators, II / F. Murray, J. von Neumann// Trans. Amer. Math. Soc. - 1937. - Vol. 41. - P. 208 - 248.

[119] Murray F.On rings of operators, IV / F. Murray, J. von Neumann// Ann. Math. - 1943. - Vol. 44. - P. 716 - 808.

[120] von Neumann J. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik -Berlin: Springer-Verlag, 1932.

[121] von Neumann J. On rings of operators, III// J. von Neumann// Ann. Math. - 1940. - Vol. 41. P. 94 161.

[122] Ogasawara T. A theorem on operator algebras/ T. Ogasawara// Journ. Sei. Hiroshima Univ. - 1955. - Vol. 18. - P. 307-309.

[123] Olson M.P. The Selfadjoint Operators of a Von Neumann Algebra Form a Conditionally Complete Lattice/ M.P. Olson// Proc. Amer. Math. Soc. - 1971. - Vol. 28, № 2. - P. 537-544.

[124] Ozawa M. A Classification of Type I AW*-algebras and Boolean Valued, Analysis/ M. Ozawa// Journ. Math. Soc. of Japan. - 1984. - Vol. 36, № 4. - P. 589-608.

[125] Pedersen G. The Radon-Nicodym Theorem for von Neumann albebras/ G. Pedersen, M. Takesaki// Acta Math. - 1973. - V. 130, № 1-2. - P. 53 - 87.

[126] Piron C. Axiomatique quantiquef C.Piron// Helv. Phys. Acta. - 1964. - Vol. 37. - P. 439-468.

[127] Planeta A. Spectral order for unbounded oparatorsj A. Planeta, J. Stochel// Journ. Math. Anal. App. - 2012. - Vol. 389. - P. 1029-1045.

[128] Ptak P. Two remarks on the subspace poset of an inner product space/P.Ptak, H.Weber// Contributions to General Algebra, 10, Proceedings of the Klagenfurt Conference, May 1997. - Verlag Johannes Heyn, Klagenfurt, 1998.

[129] Ptak P. Lattice properties of subspace families in an inner peoduct space/ P.Ptak, H.Weber// Proc. Amer. Math. Soc. - 2001. - Vol. 129, m. - P. 2111-2117.

[130] Saito K. On Defining AW*-algebras and Rick,art C*- algebras/ K. Saito, J.D.M. Wright// Quart. Journ. Math. - 2015. - Vol. 66, № 3. - P. 979989.

C*

Saito, J. D. M. Wright. - London: Springer-Verlag, 2015. - 257 p.

C* W*

1971. - 256 p.

[133] Segal I. E. Irreducible representations of operator algebras/ I. E. Segal// Bull. Amer. Math. Soc. - 1947. - Vol. 53. - P. 73-88.

[134] Sherman S. Order in operator algebras/ S. Sherman// Amer. Jour. Math. - 1951. - Vol. 73. - P. 227-232.

[135] Sherstnev A.N. Classes of subspaces affiliated with a von Neumann algebra/ A.N.Sherstnev and E.A.Turilova// Russ. Journ. of Math. Phys. - 1999. - Vol. 6, № 4. - P. 420-434.

[136] Stormer E. Jordan algebras of Type // E. Stopmer// Trans. Amer. Math. Soc. - 1965. - Vol. 120. - P. 438-447.

[137] Stormer E. Irreducible Jordan algebras of self-adjoint operators/ E. Stopmer// Trans. Amer. Math. Soc. - 1968. - Vol. 130. - P. 153-166.

[138] Stratila S. Modular theory in operator algebras/ S. Stratila. - Bucuresti: Editura Academiei; Tunbridge Wells: Abacus Press, 1981. - 492 p.

[139] Stratila S. Lectures on von Neumann algebras/ S. Stratila, L. Szido. -Bucuresti: Editura Academiei; Tunbridge Wells: Abacus Press, 1979. -478 p.

[140] Stratila S. Operator Algebras, Part 2/ S. Stratila, L. Szido. - Timisoara, 1995,- 54 p.

[141] Strocchi F. An Introduction to the Mathematical Structure of Quantum Mechanics/ F. Strocchi. - Advanced Series in Mathematical Physics, T. 28. - Singapore: World Scientific, 2008. - 180 p.

[142] Takesaki M. Tomita's theory of modulas Hilbert algebras and its applications/ M. Takesaki// Lect. Notes Math. - 1970. - Vol. 128. -123 p. (перевод: Математика (сб. переводов). - 1974. - Т. 18, № 3. -С. 83 - 122; № 4. С. 34 63.)

[143] Takesaki М. Theory of Operator Algebras, I/ M. Takesaki. - Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2002. - 415 p.

[144] Takesaki M. Theory of Operator Algebras, II/ M. Takesaki. - Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2003. - 518 p.

[145] Tomita M. Standard forms of von Neumann algebras/ M. Tomita// The V-th funct. anal, sympos. of the Math. Soc. of Japan. - Sendai, 1967.

[146] Topping D. M. Jordan algebras of self-adjoint operators/ D. M. Topping// Mem. Amer.Math. Soc. - 1965. - Vol. 53. - 48 p.

[147] Uhlhorn U. Representation of symmetry transformations in quantum mechanics/ U.Uhlhorn// Arkiv Fyzik. - 1962. - Vol. 23. - P. 307-340.

[148] Weaver N. Mathematical Quantization. Studies in Advanced Mathematics/ N. Weaver. - London: Chapman-Hall, 2001. - 296 p.

[149] Wigner E.P. Group Theory and Its Applications to the Quantum Theory of Atomic Spectra/ E.P.Wigner. - New York: Academic Press Inc, 1959. - 372 p.

[150] Wilbur W. J. Quantum logic and locally convex spaces/ W.J.Wilbur// Trans, of American Math. Soc., - 1975. - Vol. 207. - P. 343-360.

Публикации автора по теме диссертации

[151] Турилова Е.А. О некоторых классах подпространств, присоединенных к алгебре фон Неймана, в пространстве представления алгебры B(H)7 ассоциированного с весом/ Е.А.Турилова// Изв. вузов. Матем. - 2006. - № 9. - С. 58-66; Russian Math. (Iz. VUZ). - 2006. - 50:9. - P. 55-62.

[152] Turilova E. Measures on classes of subspaces affiliated with a von Neumann algebra/E. Turilova// Int. Journ. Theor. Phys. - 2009. - Vol. 48, № 11. - P. 3083-3091.

[153] Turilova E. Subspace Structures in Inner Product Spaces and von Neumann Albebras/E. Turilova//Int. Journ. Theor. Phys. - 2011. -Vol. 50, № 12. - P.3812-3820.

[154] Turilova E. Structure of associative subalgebras of Jordan operator algebras/J. Hamhalter, E. Turilova// Quart. Journ. Math. - 2013. -Vol. 64, № 2. - P. 397-408.

[155] Turilova E. Affiliated subspaces and structure of von Neumann Albebras/J. Hamhalter, E. Turilova// Journ. Oper. Theor. - 2013. -Vol. 69, № 1. - P. 101-115.

[156] Turilova E. Affiliated subspaces and infiteness of von Neumann albebras/J. Hamhalter, E. Turilova// Math. Nachr. - 2013. - Vol. 286, № 10. - P. 976-985.

[157] Turilova E. Automorphisms of Order /tructures of Abelian Parts of Operator Algebras and Their Role in Quantum Theory/J. Hamhalter, E. Turilova// Int. Journ. Theor. Phys. - 2014. - Vol. 53, № 10. - P. 3333-3345.

[158] Turilova E. Classes of Invariant Subspaces for Some Operator Algebras/J. Hamhalter, E. Turilova// Int. Journ. Theor. Phys. - 2014. - Vol. 53, № 10. - P. 3397-3408.

[159] Turilova E. Automorphisms of spectral lattices of unbounded positive operatorsf E. Turilova// Lobachev. Journ. Math. - 2014. - Vol. 35, №

3. - P. 259 - 263.

[160] Turilova E. Automorphisms of spectral lattices of positive contractions on von Neumann Albebras/ E. Turilova// Lobachev. Journ. Math. -

2014. - Vol. 35, № 4. - P. 354 - 358.

[161] Turilova E. Probability structures in subspace lattice approach to foundations of quantum theory/ E. Turilova// Lith. Math. Journ. -

2015. - Vol. 55, № 2. - P. 263-269.

[162] Turilova E. Completeness of Inner Product Spaces Induced by States on Jordan and C*-Algebras/ E. Turilova// Int. Journ. Theor. Phys. -2015. - Vol. 54, № 12. - P. 4229 - 4236.

[163] Turilova E. Spectral order on AW*-algebras and its preservers/ J. Hamhalter, E. Turilova// Lobachev. Journ. Math. - 2016. - Vol. 37, №

4. - P. 439-448.

[164] Turilova E. Completeness of Gelf'and-Neumark-Segal inner product space on Jordan algebras/ J. Hamhalter, E. Turilova// Math. Slov.

- 2016. - Vol. 66, № 2. - P. 459-468.

[165] Turilova E. Orthogonal Measures on State Spaces and Context Structure of Quantum Theory/ J. Hamhalter, E. Turilova// Int. Journ. Theor. Phys. - 2016. - Vol. 55, № 7. - P. 3353-3365.

[166] Turilova E. Quantum Spectral Symmetries/ J. Hamhalter, E. Turilova// Int. Journ. Theor. Phys. - 2017. - Vol. 56, № 12. - P. 3807-3818.

[167] Turilova E. A. Spectral Order on Unbounded Operators and their Symmetries/J. Hamhalter, E.A. Turilova I'clien. Zap. Kaz. Univer.-Ser. Fiz.-Mat. Nauki. - 2018. - Vol. 160, № 2. - P. 293-299.

[168] Turilova E. Choquet Order and Jordan Maps/ J. Hamhalter, E. Turilova// Lobachev. Journ. Math. - 2018. - Vol.39, № 3. - P. 340347.

[169] Turilova E. Jordan invariants of von Neumann algebras given by abelian subalgebras and Choquet order on state spaces/ J. Hamhalter, E. Turilova// Int. Journ. Theor. Phys. - 2019. DOI: 10.1007/sl0773-019-04157-w (опубликовано on-line)

[170] Turilova E.A. Choquet Order and Jordan Morphisms of Operator Algebrasf J. Hamhalter, E.A.Turilova// Journ. Math. Seien. - 2019.

- Vol.241, № 4. - P. 501-506.

[171] Тури, юна E.A. Упорядоченные структуры абелевских подалгебр операторных алгебр/ Е.А. Турилова, Я. Хамхалтер// Труды мат.

центра им. H. И. Лобачевского. - Казань: Казан, ун-т, 2013. - Т. 46.

- С. 438 - 440.

[172] Турилова Е.А. Классы подпространств унитарного пространства, присоединенного к собственно бесконечной алгебре фон Неймана/ Е.А. Турилова, Я. Хам хил тер Труды мат. центра им. Н. И. Лобачевского. - Казань: Казан, ун-т, 2013. - Т. 46. - С. 436 - 438.

[173] Turilova Е. Spectral order for positive contraction in operator algebras/ J. Hamhalter, E. Turilova// Труды мат. центра им. H. И. Лобачевского. - Казань: изд-во Казан. мат. общ., изд-во Ак. наук РТ, 2015.

- Т. 51. - С. 516 - 519.

[174] Turilova E. Orthogonal Measures on State Spaces and Context Structure of Quantum Theory/ J. Hamhalter, E. Turilova//Уфим. мат. конф.: сб. тез. - Уфа: РИЦ БашГУ, 2016. - С. 176-178.

[175] Turilova E. Choquet order of orthogonal measures and abelian subalgebras/ J. Hamhalter, E. Turilova// Мат. межд. конф. по алгебре, анализу и геометрии. Казань, Казан. ун-т, изд-во Ак. наук РТ, 2016. - С. 50 - 51.

[176] Турилова Е. А. Порядок Шоке и йордановы морфизмы операторных алгебр/ Е. А. Турилова, Я. Хамхалтер// Дифф. ур. Мат. физ., Нт. науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Темат. обз. - 140. -ВИНИТИ РАН, М., 2017. - С. 119-124.

[177] Турилова Е. Преобразования, сохраняющие спектральный порядок/ Е. Турилова, Я. Хамхалтер// Труды мат. центра имени Н.И. Лобачевского. - Казань, 2017. - Т. 54. - С. 367-369.