Построение и исследование кубатурных формул с пограничным слоем для интегрирования функций из пространств Wmp(En) тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Булгатова, Елена Николаевна

• Булгатова, Елена Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Булгатова, Елена Николаевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Кубатурные формулы для областей с кусочно-гладкими границами.

§1.1 Кубатурные формулы для областей с гладкими границами.

§1.2 Построение кубатурных формул для эллипса.

§ 1.3 Кубатурные формулы для области с кусочно-гладкой границей.

§ 1.4 Вычисление интеграла с помощью кубатурных формул, содержащих значения функции и её производных.

ГЛАВА 2. Весовые кубатурные формулы.

§2.1 Основные понятия и определения.

§2.2 Весовые кубатурные формулы с пограничным слоем в пространстве W™ (Еп ).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение и исследование кубатурных формул с пограничным слоем для интегрирования функций из пространств Wmp(En)»

Теория кубатурных формул сложилась как новое направление математики в 60-е годы в результате исследований C.JI. Соболева и прочитанного им курса лекций по теории кубатурных формул в Новосибирском государственном университете в 1965-1966 годах.

В связи с появлением в 1974 году монографии «Введение в теорию кубатурных формул» С.Л. Соболева, это направление математики, предметом которого является приближение интегралов формулами механических квадратур, превратилось из набора отдельных формул для вычисления кратных интегралов в новую математическую дисциплину, тесно связанную с другими разделами математики: анализом, теорией функций, функциональным анализом, теорией дифференциальных уравнений, алгеброй, теорией чисел.[56] В диссертационной работе основной целью является построение и исследование асимптотической оптимальности кубатурных формул для областей с кусочно-гладкой границей в пространстве Соболева Wp(En) и весовых кубатурных формул в пространстве Соболева W™ (-£„). Для достижения цели ставятся задачи:

- построение и исследование кубатурных формул для областей с гладкими и кусочно-гладкими границами;

- построение и исследование эрмитовых кубатурных формул для области с гладкой границей;

- получение асимптотически оптимального функционала погрешности исследованных кубатурных формул и явного вида коэффициентов этого функционала погрешности;

- исследование весовых кубатурных формул с пограничным слоем.

Объектом исследования в данной работе служат весовые кубатурные формулы приближенного вычисления многомерных интегралов и кубатурные формулы, в которых участвуют как значения самой функции, так и значения ее производных. Область интегрирования Q при этом ограничена кусочно-гладкой границей [51].

Для приближенного вычисления интеграла по области Q предлагается использовать кубатурную формулу, то есть приближенное равенство вида

1) n к=1 или g(x)cp{x)dx «XX CakDacp(xk), (2) п к=1 \а\<ст где х-точка п-мерного пространства Еп, а — (ах,а2,---,(хп) - мультииндекс,

II,,, (*)/(*) (*) Ж а\ = а1 + а2 + —ь , хх ' = х\ \ ., х), ' - узлы, д\аШк)) = D>{*{k)) = dx?Jx2 коэффициенты, а порядок старшей производной, - весовая функция и N— число узлов.

При этом само приближенное значение интеграла представляется в виде линейной комбинации значений функции <р(х) и значений ее производных: I 2 (-1 f\ciD"s(x-x^UX)ck, к=\\а\<а пк=\\сс\<огде <5(х) - известная функция Дирака.

Интегрируемые функции считаем элементами некоторого банахова пространства В, вложенного в пространство непрерывных функций: с=с=с(П). (3)

Функционалом погрешности кубатурной формулы (2) называется обобщенная функция /п (х) вида N s к-\\а\<сг где £a (x) - характеристическая функция области Q.

Из условия вложения (3) следует, что функционал погрешности /q (х) вида la(x),<p(x))= l^dx-Y £ C?W*W) =

Q А=1Ы<(Т V '

•I

А:=1|с»г|<сг V 7

4) p{x~)dx является линейным непрерывным функционалом в пространстве 5 и его норма определяется формулой

IK4. =sup%^J = sup = Cf,*),

Р*° Ш\в НИ ' где В* - пространство, сопряженное пространству В.

Пусть Х = = l,2,.,ivj - узлы кубатурной формулы, Р = jc*,к = 1,2,.,iV,|Qr| < <т| - коэффициенты кубатурной формулы и - совокупность узлов и коэффициентов кубатурной формулы. о

Кубатурная формула (2) с функционалом погрешности 1о.[х) в виде (4) называется наилучшей в пространстве В, если в* inf suplfef^ inf d(xk,C?,N) = d mJ* Mb (") 1 ; r „ ^ т k>Ci,N

5)

Нахождение минимума (5) по называют экстремальной задачей теории кубатурных формул.

Функция Фо(х) называется экстремальной функцией в пространстве В, если выполняется равенство (x),(pQ (х)^ = ||/п (*)||5* \<Ро •

Функционал погрешности 1п а а x,X,P,N а а зависящий от X,P,N называется асимптотически наилучшим, если /Q а а x,X,P,N е В*, и для любого функционала ln{x,X,P,N^B* выполняется условие lim la(x,X,P,N)

N-> оо lC2 a a x,X,P,N в* 1.

B"

Узлы и коэффициенты обозначаются соответственно через х,С% и называются асимптотически наилучшими.

Действительное число / > О называется порядком сходимости формулы (1) над пространством В при 7V-»oo, если указаны константы 1Х >0 и /2 >О, которые не зависят от N и для которых выполнено соотношение lxN~l < < l2N~l. (6)

Пусть узлы кубатурной формулы (2) расположены на решетке Г(й#|0) = {х = Н/3], detH = = hH= 1,2,.,7V, Н - квадратная матрица порядка п х п.

Функционал погрешности /q а Л x,P,N с узлами на решетке, зависящии от

Р и N, называется асимптотически оптимальным, если /Q

Г £ Л x,P,N еВ и для любого /Q (х, Р, N^j е В* выполняется условие lim

N->oo Л Q х, P,N в*

В своих исследованиях различные постановки экстремальной задачи для функции одной переменной рассматривали С.М. Никольский [30], C.JI. Соболев [51], В.И. Крылов [23], Н.П. Корнейчук [15] и другие, в том числе для вероятностных методов Н.С. Бахвалов [1], Г.А. Михайлов [25], И.М. Соболь

Для решения экстремальной задачи теории кубатур в п-мерном пространстве Еп C.JI. Соболевым был предложен функциональноаналитический подход. Он дал определение кубатурных формул с регулярным пограничным слоем, указал способ построения таких кубатурных с узлами на решетке с шагом h и доказал, что они асимптотически оптимальны в гильбертовом пространстве L™ [51].

Основные достоинства формул с регулярным пограничным слоем заключаются в уменьшении объема работы при вычислении их коэффициентов и асимптотической оптимальности в гильбертовом пространстве .

Остановимся более подробно на основных результатах C.JI. Соболева по теории кубатурных формул, полученных функционально-аналитическим методом.

В монографии C.JI. Соболева [51] дана оценка сверху нормы функционала погрешности /q(x) при помощи экстремальной функции <р0(х) из Щ, на

Нахождение экстремальной функции ср0 (х) связано с решением полигармонического уравнения порядка т

57]. которой функционал погрешности принимает наибольшее значение.

7) p0(x) = (-l )mG(x)*&(x) + P{x)

8) где G(x)- фундаментальное решение уравнения (7), Р(х) - произвольный многочлен степени ниже т. Норма функционала погрешности определяется соотношением ОД */£(*) */*(-*) х=0

9)

Норма функционала погрешности с регулярным пограничным слоем /q(x) удовлетворяет асимптотическому равенству п (mesQ)2 Вт(Н)2 hm (l + 0{h)),

10) где Вт{Н)= X

Р*О\2ТГН~УР

2 m '

Для оценки снизу нормы функционала погрешности с заданной решеткой узлов и с произвольными коэффициентами в пространстве важную роль играет функция cph (х), обладающая следующими свойствами:

1. cph{hHР) = 0, то есть обращается в нуль в узлах решетки;

2. (ph{x) = 0, если х £ Q;

С ее помощью C.JI. Соболевым получена оценка снизу нормы любого функционала погрешности /п(х) в пространстве а, zf

1 1 > (mesCl)2 Bm{H)2 hm (l + OQi)).

11)

В дальнейшем это новое направление математики развивали его ученики В.И. Половинкин, Ц.Б. Шойнжуров, М.Д. Рамазанов, Г.Н. Салихов, Х.М. Шадиметов, Л.В. Войтишек, М.В. Носков, B.JI. Васкевич и другие, обобщая результаты C.JI. Соболева на другие функциональные пространства.

Ц.Б. Шойнжуров [71] впервые исследовал кубатурные формулы в негильбертовом пространстве C.JI. Соболева W™ с нормой

HI

W™{En) r a dx p 1 1 1<рс<ю- + — = 1, (12)

P P зависящей от функции и её производных порядков га =2/, т - любое т т положительное число и (1 - А) 2 <р(х) = F + j 2 F(p{£), где v(£) = F<p(x)= \(p[x)e-2ni^dx, = есть прямое

Ъ К и обратное преобразование Фурье.

Здесь требование ортогональности функционала к многочленам степени ниже т не является обязательным в отличие от пространства Z^ (Еп) •

Экстремальная функция <р0(х), соответствующая функционалу р(х), как решение нелинейного уравнения Эйлера получена с помощью преобразования Фурье и норма функционала погрешности в W™ в явном виде равна Ш шт* гур

J.S ^

GC •

13)

II ™' '

Е„ \а\<т где е2т (х) ~ фундаментальное решение т -метагармонического уравнения

1-А)" в*, (*) = *(*).

В.И. Половинкин рассматривал последовательности функционалов с пограничным слоем в негильбертовом пространстве L™ (Q) , 1 <р < со, с нормой И J Q а\=тУа] ) dx 00

14)

В частности, в [36] им доказано, что при нечетном т кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны ва при четном т расширен класс функционалов с регулярным пограничным слоем и построены асимптотически оптимальные функционалы с пограничным слоем в да

М.Д. Рамазанов ввел пространство рассмотрел кубатурные формулы с ограниченным пограничным слоем, с использованием основных операций анализа. Построил формулы с пограничным слоем, отличные от формул с регулярным пограничным слоем для ограниченных областей с гладкими и кусочно-гладкими границами и показал их асимптотическую оптимальность в (Q).

М.В. Носков установил условия разложимости эрмитовых кубатурных формул в декартовы произведения формул меньшей размерности и доказал теорему, позволяющую определить точность сомножителей, исходя из точности самого декартова произведения [32].

B.JI. Васкевич исследовал кубатурные формулы в пространствах гармонических функций Бергмана в\ . Элементами в\ являются функции класса W\ (Q), гармонические в ограниченной области Q [8].

Ц.Б. Шойнжуров в работе [71] исследовал функционал погрешности кубатурной формулы с пограничным слоем в пространстве W™ с нормой (12) и получил для функционала погрешности следующую оценку 1 р 1

Ilk Mils* ={mesQ) р

В таком виде константу, входящую в главный член нормы функционала нельзя улучшить.

Выделение в явном виде главного члена в оценке нормы функционала погрешности имеет важное значение, так как при заданном N он позволяет выполнить необходимое приближение с заранее заданной точностью. J

Лп I

2л1Н~Хрх

2жН~х/з\ т с dx tin{\ + 0(h)) (15)

Один из способов построения кубатурных формул основан на интерполировании. Решением задачи об интерполировании функций в одномерном случае занимались такие выдающиеся ученые, как Ньютон, Лагранж, Эйлер, Эрмит, Котес, Грегори, Гаусс, П.Л. Чебышев, А.А. Марков, С.М. Никольский и другие. Многомерные интерполяционные формулы исследовались в работах С.Л. Соболева [51], С.М. Никольского [30], Н.С. Бахвалова [1], И.П. Мысовских [28], В.И. Половинкина [35], М.Д. Рамазанова [48], Ц.Б. Шойнжурова [77] и других.

Пусть в ограниченной области Q пространства Еп задана система узлов

JvW

BN={x

Задача интерполирования состоит в построении многочлена Р(х) степени не выше т, совпадающего с данной функцией <р(х) в точках х^

В классической постановке такой многочлен записывается в виде

P(jc) = pS~lxa = J(p(x), где a = {aba2,.;Cin) — мультииндекс, \а\ = ах+а2-\-----ха =х"1х2г.х"п

II (т + п)\ одночлен от п переменных степени \а , М = --—

11 т\п\ число всех одночленов от п переменных степени не выше т, S = (0 . xW ум). и = - вектор-строка значений функций р(х) в точках х^ системы BN. В дальнейшем предполагаем, что система точек принадлежит основной решетке х^=Н/3^к\ Пусть области fXs]

Qhr такие, 4to£q (x) = sq - - Ну , Q*r = Clh/ n Q. Здесь fi0 c= Q и носитель ri у h функционала /Qq (x) выходит за пределы основной области Q0.

В работе C.JI. Соболева [53] построены интерполяционные операторы Jh, определенные над Z,™ {Еп) или L™(Q) и сопоставляющие ^eZ^C^) кусочно-многочленные интерполяционные функции J'^p^x) - ^Jy(p(x), где

В работе Ц.Б. Шойнжурова [70] построены интерполяционные операторы с пограничным слоем и ньютоновской системой узлов и интерполяционные кубатурные формулы с весом над пространством

В работе В.И. Половинкина [33] дано определение равномерно распределенного интерполяционного оператора, определенного над пространством Ёр(Еп). В работе [35] определены интерполяционные операторы с регулярным пограничным слоем и доказано, что соответствующие им интерполяционные кубатурные формулы асимптотически оптимальны при весе из Ь2.

В работе М.Д. Рамазанова [48] построены формулы высокой точности, связанные с универсальной асимптотической оптимальностью.

Идея применения замены переменных при построении кубатурных формул с узлами на криволинейной решетке использовалась Ц.Б. Шойнжуровым [73] и М.Д. Рамазановым [45].

В данной работе используется разложение единицы на сумму финитных функций для локализации построения кубатурной формулы.

Рассмотрим разложение единицы в пространстве Е^. Пусть функция <р(х) обладает следующими свойствами: р(х)<=С{т)(Ех),(р(х)>Ъ, <р(х)<\, <р(х) = <р(-х), supp^(x) = [-l,l], <р{х) = 1

3^1 при |х| < — И 1 - (р{х) = X + —

При X G

16)

17)

2 - v / - ^ 2.

Тогда имеем следующее разложение единицы

00 fx 3 ^ 2> —=1, Vxe£15 р=-со \s Z J при любом s - достаточно малом положительном.

Разложение единицы в п - мерном пространстве имеет вид

Область интегрирования Q разобьем на к частей C0j с тем условием, что

часть границы области Q, попавшая в C0j, может быть записана уравнением, выражающим одну координату через остальные. В формуле (17) сгруппируем в отдельную функцию Фу (х) те слагаемые, носители которых пересекаются с iv., j = 1, 2, ., к. Если слагаемое может попасть в несколько группировок, то отнесем его в какую-нибудь одну из них.

В данной работе используется разложение единицы на плоскости с финитными слагаемыми, составленными из многочленов. В одномерном случае это

0, х < О,

2m^')tm(\-t)mdt, 0<х< 1, (18) т. 0

1, х>1.

Основные результаты диссертации получены благодаря функционально — аналитическому подходу. Это предполагает, во первых, что подынтегральные функции объединены в некоторое банахово пространство, и во вторых, что разность между интегралом и приближающей его комбинацией значений подынтегральной функции и ее производных рассматривается как результат действия некоторого линейного функционала. Этот функционал, называемый

W{x) = функционалом погрешности непрерывен. Знание численного значения его нормы позволяет получать гарантированные оценки точности кубатурной формулы. В этом существенное отличие функционального подхода перед вероятностно-статистическим.[56]

Алгебраический и функциональный подходы порождают отличные друг от друга критерии качества кубатурных формул. В первом случае лучшей считается формула, точная на возможно большем числе полиномов. Во втором предпочтительней та формула, функционал погрешности которой имеет меньшую норму. В книге C.JI. Соболева и B.JI. Васкевича «Кубатурные формулы» [56] подробно исследуется взаимосвязь этих критериев.

Функциональный подход помимо описания конструкций рассматриваемых формул, то есть указания их узлов и коэффициентов либо алгоритмов их нахождения, подразумевает также исследование норм соответствующих функционалов погрешности в выбранном банаховом пространстве. [56]

Диссертация состоит из введения, двух глав, состоящих из шести параграфов, заключения и списка литературы из 80 наименований. Объем работы - 109 машинописных страниц. Формулы отмечены тройной нумерацией: номер главы, номер параграфа и номер формулы, разделенные точкой. Во введении номера формул обозначены одним числом.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Булгатова, Елена Николаевна

Основные результаты диссертационной работы являются новыми.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Ц.Б. Шойнжурову за постоянное внимание и помощь в работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная работа посвящена построению и исследованию весовых кубатурных формул с пограничным слоем в пространстве Соболева W™ (Еп) и кубатурных формул для областей с кусочно-гладкими границами в пространстве Соболева W™(En).

Для решения данной проблемы был использован функционально-аналитический поход. В работе получены следующие результаты: построена и исследована кубатурная формула для областей с гладкой и кусочно-гладкой границей, получен явный вид коэффициентов и доказана асимптотическая оптимальность эрмитовой кубатурной формулы, содержащей первую производную, получена оценка нормы в пространстве W™*(En) функционала погрешности весовой кубатурной формулы с пограничным слоем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Булгатова, Елена Николаевна, 2009 год

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1973. - 631 с.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Гос. изд. физмат. лит-ры, Т.1, 1959. — 464 с.

3. Блинов Н.И. Приближенное вычисление двойных интегралов //Аннот. сб.: Алгоритмы и программы. ВНТИ центр. -1974. №2, 3.

4. Блинов Н.И., Войтишек Л.В. О построении кубатурных формул с регулярным пограничным слоем для рациональных многогранников //Тр. Семинара акад. С.Л. Соболева. 1979. - №1. - С. 5-15.

5. Булгатова Е.Н. Построение квадратурных формул с симметричным пограничным слоем // Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы (ИКВТС-06): Материалы II Всероссийской конф. -Т.1. Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2006. - С. 74-78.

6. Булгатова Е.Н., Инхеева Л.И. Кубатурные формулы для гладких областей // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. VIII семинара-совещ. / Отв. ред. Ц.Б. Шойнжуров. Улан-Удэ, 2005. — С. 3946.

7. Булгатова Е.Н., Санеева Л.И. Кубатурные формулы для гладких и кусочно-гладких криволинейных областей // Вестник ВСГТУ. 2005. -N4.-С. 5-10.

8. Булгатова Е.Н., Санеева Л.И. Экстремальная функция и норма оптимального периодического функционала // Вычислительные технологии. 2006.- Т.11, №4. - С. 113-117.

9. Васкевич В.Л. Кубатурные формулы в гармонических пространствах Бергмана // Кубатурные формулы и их приложения. — Уфа: ИМ ВЦ УНЦ УфО РАН, 1995 С. 241-250.

10. Ю.Васкевич В.Л. Сходимость квадратурных формул на некоторых классах функций: Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.01). / Новосиб. гос. ун-т. -Новосибирск, 1982. 108 с.

11. П.Войтишек А.В. Использование аппроксимационных функциональных базисов в методах Монте-Карло //Кубатурные формулы и их приложения: Докл. VII семинара-совещ. /Отв. ред. М.В. Носков. — Красноярск, 2003-С. 45-53.

12. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. — М.: Наука, 1976.-280 с.

13. Дидур Л.И. Весовые эрмитовы кубатурные формулы на периодических функциях // Тр. Семинара акад. С.Л. Соболева. 1981. - №1. — С. 48-56.

14. Инхеева Л.И., Булгатова Е.Н. Построение квадратурных формул с помощью разложения единицы // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 2005. - Вып.8. - С. 14-20.

15. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1981.-431 с.

16. Корнейчук Н.П. О новых результатах по экстремальной задаче теории квадратур // С.М. Никольский. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1988.-С. 127-253.

17. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы о приближенном анализе. — М.: Наука, 1962.-224 с.

18. Корытов И.В. Построение формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. — Улан-Удэ, 1994. -Вып.1. С. 150-152.

19. Корытов И.В. Эффективный способ вычисления коэффициентов квадратурных формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 1994. — Вып.1.-С. 147-150.

20. Корытов И.В. Норма периодического функционала погрешности в

21. W^ (А) // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинара-совещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа, 1996. - С. 32-36.

22. Корытов И.В. Оценка сверху нормы функционала погрешности срегулярным пограничным слоем в W^(Еп) И Комплексный анализ,дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. V. Численные методы. Уфа, 1996. - С. 71-78.

23. Корытов И.В. Оценка снизу нормы функционала погрешности в

24. W^ {Еп) II Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинарасовещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа, 1996. - С 37-40.

25. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. 2-е изд., доп. -М.: Наука, 1967.-500 с.

26. Кудрявцев Л.Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. 1959. - Т.55. - С. 1-181.

27. Михайлов Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. М.: Наука, 1987.-236 с.

28. Михайлова С.В. О реализации линейных функционалов в весовых пространствах многомерных периодических функций // Вопросы математического анализа: Сб. науч. ст. / Отв. ред. В.И. Половинкин. -Красноярск. 1996. С. 20-25.

29. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. — М: Госуд. Изд-во ф.-м. Литературы, 1962.

30. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. М.: Наука, 1981.-336 с.

31. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1977. — 456 с.

32. Никольский С.М. Квадратурные формулы. — 4-е изд., доп. с добавлением Н.П. Корнейчука. М.: Наука, 1988. - 256 с.31 .Никольский С.М. Курс математического анализа. В 2-х т. 4-е изд., перераб. и доп. -М.: Наука, 1991. - Т.2. - 544 с.

33. Носков М.В. О построении кубатурных формул повышенной тригонометрической точности // Методы вычислений / Под ред. И.П. Мысовских. Л., 1991.-Вып. 16.-С. 16-23.

34. Половинкин В.И. Весовые кубатурные формулы в периодическом случае // Мат. заметки. 1968. - Т.З, №3. - С. 319-326.

35. Половинкин В.И. Весовые кубатурные формулы // Докл. АНССР 1968. - Т. 179, №4. - С. 542-544.

36. Половинкин В.И. Некоторые вопросы теории весовых кубатурных формул // Сиб. мат. журн. 1971. - Т. 12, №1. - С. 177-196.

37. Половинкин В.И. Последовательность функционалов с пограничным слоем // Сиб. мат. журн. 1974. - Т.15, №2. - С. 413-429.

38. Половинкин В.И. Об асимптотически наилучших весовых квадратурных формулах // Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики: Сборник научных трудов. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1987. - С. 165-167.

39. Половинкин В.И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем: Автореф. Дис.докт. Физ.-мат. наук (01.01.01)/ ЛГУ. Л., 1979. - 18 с.

40. Половинкин В.И. Асимптотически наилучшие весовые квадратурные формулы. КПИ. - Красноярск, 1984. - 22 с. - Деп. в ВИНИТИ, №7924 -84.

41. Половинкин В.И. Квадратурные формулы в пространствах функций. — Красноярск: Сиб. федер. ун-т; Политех, ин-т, 2007. -108 с.

42. Половинкин В.И. О реализации финитных функционалов в II

43. Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики. -Новосибирск, 1989.-С. 137-139.

44. Половинкин В.И., Дидур Л.И. Асимптотически оптимальные последовательности эрмитовых кубатурных формул. Сиб. мат. журн. — 1978. - Т. 19, №3. - С. 663-669.

45. Половинкин В.И., Дидур Л.И. О порядке сходимости кубатурных формул // Вопросы вычислительной и прикладной математики. — Ташкент: Изд. Ин-та кибернетики и ВЦ АН УзССР, 1975.- вып. 34. С. 3-14.

46. Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. -Уфа: Изд-во Башкир, ун-та, 1973. 174 с.

47. Рамазанов М.Д. Асимптотическая оптимальность решетчатых кубатурных формул на гильбертовых пространствах // Докл. АН СССР. 1974. - Т. 126, №1. - С. 44-45.

48. Рамазанов М.Д. Универсальная оптимальность решетчатых кубатурных формул // Докл. РАН 1992. - Т.324, №5. - С. 933-937.

49. Рамазанов М.Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным. Задачи теории кубатурных формул. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 2007. - 18 с.

50. Рахматуллин Д.Я. Интегрирование функций по выпуклым областям решетчатыми кубатурными формулами на многопроцессорных вычислительных системах: Дис.канд. физ.-мат. наук. — Уфа, 2006. — 114 с.

51. Соболев C.JI. Введение в теорию кубатурных формул. — М.: Наука, 1974.-808 с.

52. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. JL: Изд-во ЛГУ, 1950. - 255 с.

53. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / Под ред. О.А Олейник. — 3-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1988. - 336 с.

54. Соболев С.Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. М.: Наука, 1989. - 254 с.

55. Соболев С.Л. Избранные труды.Т.1. Уравнения математической физики. Вычислительная математика и кубатурные формулы. Новосибирск:

56. Изд-во Ин-та математики, Филиал «Гео» Изд-ва СО РАН, 2003. -692 с.

57. Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. - 484 с.

58. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973. -311с.

59. Умарханов И. Построение и обоснование решетчатых кубатурных формул для областей с кусочно-гладкими границами: Дис. . канд. физ.-мат. наук Ташкент: ТашГУ, 1986. - 173 с.

60. Урбаханов А.В., Шойнжуров Ц.Б. Общий вид финитных функционалов погрешности кубатурных формул в пространстве Соболева // Журнал Вычислительные технологии.- 2004 — Т.9.-С. 133-138.

61. Урбаханов А.В. Построение кубатурных формул общего вида //Математика, её приложения и математическое образование: Материалы международной конференции. 4.2 (24-28 июня 2002г., г. Улан-Удэ),- Улан-Удэ: ВСГТУ, 2002.- с.81-84.

62. Францев Г.Л. Оценка сверху функционала погрешности с регулярным пограничным слоем в пространстве С.Л. Соболева с весом // Abstracts of the International Conferense of Mathematics. Ulaanbaatar, 2001. - C. 14.

63. Францев Г.Л. Оценка погрешности кубатурных формул с пограничным слоем и узлами на решетке в весовом пространстве Соболева: Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.07) / Вост.-Сиб. технолог, ун-т. Улан-Удэ, 2001.-99 с.

64. Функциональный анализ / М.Ш. Бирман, Н.Я. Виленкин и др.; под ред. С.Г. Крейна. М.: Наука, 1964. - 424 с.

65. Хаитов Т.И. Кубатурные формулы с заданием производных // Докл. АН ТаджССР. 1969. - Т.12, №10. - С. 3-6.

66. Хаитов Т.И. Оптимальные и близкие к ним периодические кубатурные формулы с кратными узлами // Вопр. вычисл. и прикл. матем — Ташкент 1975. — вып.32 С. 168-173.

67. Цыренжапов Н.Б. Оценка погрешности кубатурных формул с пограничным слоем и узлами на решетке в пространстве Соболева L™(En) : Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.07) / Вост.-Сиб. технолог, унт. Улан-Удэ, 2004. - 102 с.

68. Шатохина Л.В. Оптимизация квадратурных формул типа Грегори дляпространств а,Ъ. I/ Кубатурные формулы и их приложения:

69. Материалы V международного семинара-совещания / Отв. за выпуск М.Д. Рамазанов; ИМВЦ УфНЦ РАН, БГПУ. Уфа, 2001. -С. 156-158.

70. Шойнжуров Ц.Б. Оценка функционалов погрешности кубатурной формулы в пространстве с нормой, зависящей от младших производных: Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.07) / Ин-т математики СО АН СССР. Новосибирск, 1967. - 83 с.

71. Шойнжуров Ц.Б. О приближенном интегрировании функций в Jvjm^(Q)

72. Применение функциональных методов к краевым задачам математической физики: Материалы III Советско-Чехословацкого совещ. Новосибирск, 1972. - С. 255-256.

73. Шойнжуров Ц.Б. Весовые кубатурные формулы в пространстве С.Л. Соболева // Теория кубатурных формул и приложения функциональногоанализа к некоторым задачам математической физики. — Новосибирск, 1973.-С. 41-45.

74. Шойнжуров Ц.Б. Теория кубатурных формул в функциональных пространствах с нормой, зависящей от функции и ее производных: Дис.докт. физ-мат. наук (01.01.01, 01.01.07) / Вост.-Сиб. технолог, инт Улан-Удэ, 1980. - 235 с.

75. Шойнжуров Ц.Б. Асимптотически оптимальные квадратурные и кубатурные формулы. Новосибирск, 1979. - С. 28. - (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-е. ин-т математики; №55).

76. Шойнжуров Ц.Б. Норма функционала погрешности в пространстве

77. W^ (Еп) // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинарасовещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа, 1996. - С. 123-127.

78. Шойнжуров Ц.Б. Кубатурные формулы в пространстве С.Л.Соболева Wр . Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2002. - 222 с.

79. Шойнжуров Ц.Б. Оценка нормы функционала погрешности кубатурных формул в различных функциональных пространствах. Улан-Удэ: Изд-во Бурятского научного центра СО РАН, 2005. - 247 с.

80. Шойнжуров Ц.Б., Санеева Л.И., Булгатова Е.Н. Вычисление определенного интеграла с помощью кубатурных формул, содержащих значения функции и её производных, с коэффициентами, зависящими от уравнения границы // Вестник ВСГТУ. -2006. — С.5-12.

81. Шойнжуров Ц.Б., Булгатова Е.Н. Вычисление несобственных интегралов // Математика, её приложения и математическое образование: Материалы III Всероссийской конференции с международным участием. ЧII—Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2008. -273с.