Поведение решений системы типа Брио-Буке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Джасим Анмар Хашим Джасим

• Джасим Анмар Хашим Джасим
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Джасим Анмар Хашим Джасим

Глава 3

Поведение траекторий обобщённо-однородних систем и близких к ним

§3.1 Классификация особых точек. 71

§3.2 Классификация типологически устойчивых точек. 73

§3.3 Потенциальны системы. 74

§3.4 Поведение траекторий системы и их грубость. 79

§3.5 Частный случай и пример. 85 Литература 87

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Поведение решений системы типа Брио-Буке»

Введение

Общеизвестно, сколь важны исследования, посвященные по созданию новых классов функций, дифференциальных уравнений, динамических систем, изучение поведения их траекторий и т.д.

Постоянный интерес представляют новые результаты по устойчивости движения, обобщёние классических результатов А. Пуанкаре, А.М.Ляпунова, Дж.Бирюкова, А.А.Анурова, Э.Хонфа и др.

Несмотря на большие результаты по исследованию систем дифференциальных уравнений, недостаточно изучено случай параметрического возмущения динамических систем, рассмотрения вблизи вырожденного состояния покоя при наличии сильных резонансов. Задача на приведения произвольных динамических систем к стандартному виду, вообще говоря, не тривиальна. В настоящее время нет универсальных алгоритмов решения. И даже для систем стандартного вида трудно признать полностью завершенной конструктивную теорию периодических колебаний, представленные в диссертации численно-аналитические схемы исследования стационарных точек, О — устойчивых и неустойчивых кривых, параболических, гиперболических и эллиптических траекторий, основных на методах качественного анализа динамических систем, развитого в трудах В.В.Немыцкого, Н.Н. Красовского, А.А.Шестакова и др. В работе приводится критерий, являющийся обобщением формулы Эйлера для однородных функций, и во второй главе приводится доказательств нулевого порядка, являющейся правой стороной уравнения, являющегося обобщением уравнения Брио-Буке.

В работе исследуются потенциальные системы, которые часто встречаются в приложениях.

Актуальность темы: Известно, что многие задачи небесной механики

автоматически телемеханики и теории колебаний приводится и

4

рассматривается существенно нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Однако общих методов исследования устанавливающих полную качественную картину расположения траектории системы дифференциальных уравнений, не существует. В связи с этим приходится выделять различные классы линейных систем дифференциальных уравнений, которые удается исследовать различными качественными методами.

Самым распространённым и по видимому наиболее изученным к настоящему времени является нелинейные системы вида

— = ...,хп), I = 1,...,п, (1)

где ^(х1,... ,хп), ¿ = 1,...,п, подчиняется различным условиям однородности.

Наиболее трудные при изучении поведения близкие особой точки траектории системы (1) является случай, когда правые части не содержат линейны члены. Такие системы в предположении, что функции ^(х1,...,хп), ¿ = 1,...,п, является однородными или разлагающийся в степенные ряды, изучались в работах [5-13]

В работах А. Барбашина [24] даны достаточные условия устойчивости нулевого решения системы (1 ) в целом выражены через свойства функции Ляпунова.

Качественно новые обобщения однородности являлось введение понятия обобщенно-однородных функций порядка р класса переменной матрицы

А(хг, ...,хп,с),= \\а1](х1, ...,хп,с) || , Ь,] = 1,...,п, [5], [6] и [7]

А.Р.Эфендиев [10] изучил вопрос о структуре семейства интегральных кривых системы (1) в окрестности особых точек высшего порядка в случае, когда правые части являются обобщенно-однородными функциями порядка р-класса матрицы

\\8уац(х0с)\\, ¿,7 = 1 ,...п,

где элементы матрицы от одной переменной. Нами решен вопрос о структуре семейства интегральных кривых системы (1 ) в окрестности особых точек высшего порядка, в предположении, что правые части системы (1) являются обобщенно-однородными функциями порядка р-класса переменной матрицы ... ,хп, с)\\, ¿,7 = 1, ...п .

Представленные в диссертации схемы исследование свойств решении дифференциальных уравнений основаны на методах качественного исследования динамических систем развитого в трудах В.В.Немыцкого, Е.А.Барбашина, Н.Н.Красовского, Ю.И.Сапронова, А.А.Шестикова, А.Д.Мышкиса, Л.Э.Эльегольца, Г.А.Каменского, М.В.Келдинса, Ю.В.Покорного, В.И.Зубов и др.

Цель данной работы. Описание поведения решений системы дифференциальных уравнений, получение условий существования О-кривых, устойчивости тривиального решения системы (1 ), установление параболичности, гиперболичности и эллиптичности траекторий системы дифференциальных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями, их грубость.

Рассматривая потенциальные системы по В.В.Немыцкому [11], их грубость. Мы доказываем необходимость и достаточность их обобщенной-однородности. Рассматривая систему дифференциальных уравнений, правые части которых является обобщенно-однородными функциями нулевого порядка типа Брио-Буке строим систему дифференциальных уравнений,

правые части которых является обобщенно-однородными функциями порядка Р класса той матрицы А(х,с) на основании которой мы построим систему дифференциальных уравнений .

Научная новизна. Все результаты включенные, в диссертацию, являются новыми. Наиболее значительные из них перечислены в следующем ниже списке.

1. Новые условия существования асимптотической устойчивости точки покоя.

2. Новые условия параболичности, гиперболичности и эллиптичности траекторий системы дифференциальных уравнений.

3. Новые условия существования О — кривых у системы дифференциальных уравнений.

4. Описание обобщенно-однородных функций, форм.

5. Описание специальных решений системы дифференциальных уравнений.

Методы исследования. В работе использованы качественные методы (Пуанкаре, Ляпунов, Немыцкий, Барбашин, Красовский, Шестаков, Зубов, Эфендиев и др.) анализа особых точек динамических систем.

Использовалась методика построения функций Ляпунова -Красовского.

Теоритическая и практическая ценность. Настоящая работа в целом носит теоритический характер, но представленные в ней результаты могут быть использованы при изучении конкретных динамических систем.

Апробация работы. Результаты диссертации были должны на VI Международной конференции ФДУ и их приложении, 23-26 сентября 2013, на VII Международной научной конференции, 21-24 сентября 2015г.

Межвузовский научный семинар в ДТУ «Актуальные проблемы математика и смежные вопросы», Махачкала, 2015г.

Публикация работы. Результаты диссертации опубликованы в 5-ти работах три работы из них соответствует списку ВАК. Из совместных в диссертацию вошли только то, что принадлежит диссертанту.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав разбитых на разделы (параграфы) и списка литературы из 56 наименований. Общий объём диссертации 92 стр.

Содержание диссертации. Введение состоит из краткого описания результатов диссертации и близкие результаты других авторов.

Первая глава, состоящая из 5 параграфов посвященных рассмотрению системы дифференциальных уравнений типа Брио-Бука.

В § 1.1. Излагается обыкновенное дифференциальное уравнение Брио-Буке хту' = /(х,у), (2)

где т-целое положительное число, функция А(х,у) аналогична при х = у

= 0, £у(0,0) ф 0, Г(0,0) = 0.

Когда f и у векторные функции, обладающие свойством обобщенной-однородности мы назвали системой типа Брио-Буке.

В § 1.2. Мы даём

Определение 1.1. Вещественную вектор-функцию f (х), определенную и непрерывные в области , будем называть обобщенно-однородной

порядка к

р = ——- класса матрицы А(х, с), где с Е (—1 — Ь, 1 + Ь), Ь > 0 21 I 1

если выполнено соотношение

Г(г) = с?д(г,хЖх), (3)

где 2 = А(х, с)х; 3(г, х) матрица Якоби,

В §1.3. С помощью формулы

3(Г,х)<р(х) = [рЕ + ШхШх), (5)

где 3^,х),Д(ф,х) — матрицы Якоби, Е — единичная матрица, р-порядок обобщённо-однородной функции £ устанавливается критерий обобщенной-однородности функций £Х) и доказывается следующая теорема

Теорема 1.2. Функция ф(г), определённая равенством (4) является обобщённо-однородной функцией нулевого порядка р-класса матрицы А(х, с), где 1 = А(х, с), х = (х1,..., хп), г = (г1,..., гп), ф = (фъ ..., <рп).

Полагая в равенстве (5) р = 0 , мы получим f(x) = ф(х) , так как

по предположению. Здесь 3([,х), <0(ф,х)— матрицы Якоби. Во второй главе эта же теорема доказывается оригинально.

В § 1.4. Рассматривается некоторые свойства обобщённо-однородных функций.

Теорема 1.5. [3] Если /(х), х Е Ет и д(у),у Е Ек обобщённо-однородные функции соответственно порядка р и ц классов А(х, с) и В (у, с),

то Р(х,у) = /(х) + д(у), (х,у) ЕЕт хЕк есть обобщённо-однородная функция порядка г = [р,ц\, где г —наименьшее общее кратное число р и ц класса матрицы

М(х,у,с) =

А(х,у) 0 0 В (у, с)

В § 1.5. Рассматривается гомеоморфизме системы дифференциальных уравнений.

Вторая главе называются обобщенно-однородные системы, состоящая из 8 параграфов, посвящена рассмотрению обобщённо-однородных систем, их свойства, доказываются предложения, которые дают возможность устанавливать устойчивость системы, существование О —кривых.

В § 2.1. Рассматривается особенные случаи в обобщенно-однородных системах.

Теорема 2.1. Если х — х(£) есть решение системы

йх

где х = (х1,.,хп),/ — (/1,.,/п), f(0) = 0 , то

(6)

х — А(х(срЬ),с)х(срЬ) также является решением системы (6), поэтому, если х = х0 Ф 0 —особая точка системы (6), т.е. /(х0) — 0, но ф(х0) Ф 0, то х = х0 Ф 0 не является изолированной особой точкой, ибо особыми точками системы (6) будут х — А(хо, с)хо, причём при с — 1 имеем х — 0.

Например, если

А(х, с) —

•с&

% + (1 — Са«И)Ч1Х?

где 61; —символ Кронекера, то

а, + 1 , N „

— + —Ф&О, 1 — 1,...,п,

=

СР1Х;

р. + (!- с«1Р1)Ч1х?

Ъ =

N

Е!

41

причем ф[(х{) = -а(Р1 ^ 0, и А(х, с) = Е, = хь I = 1, ...,п, т.е. система (6) имеет две особые точки 0(0,... ,0) и

М

а-1

N

Рг Чг

ап

N

Рп Чп

Эти особые точки являются изолированными.

В §2.2. Рассматривается об устойчивости систем типа Брио-Бука. Здесь рассматривается система дифференциальных уравнений

т

т

йт

= д1(г1,.,гп),Ь = 1,...,п,

(7)

где т> 1 — натуральное число, д^ — аналитические функции такие, что дь(0, .,0) = 0, 1 = 1, ...,п,

ддь

ф0, ) = 1,...,п.

Пусть т = 1. Осуществим преобразование г = с 1. Система (7) будет вида

йт

= —д1(г1,.,гп),Ь = 1,...,п

(8)

Теорема 2.4. Если существует обобщённо-однородная функция Ф(гг,..., гп) порядка р класса матрицы А(х, с), обращающаяся в нуль только в начале координат, то нулевое решение системы (8) асимптотически устойчиво при р > 0 и асимптотически неустойчиво при р < 0.

В §2.3. Рассматривается свойствах обобщённо-однородной функций.

а

а

В §2.4. Рассматривается обобщенно-однородной функции переменного класса.

В §2.5. Мы рассматриваем систему (7). Имеет место.

Теорема 2.12. Для всякой системы (7) т — 1 с обобщенно-однородными правыми частями порядка нуль класса матрицы А(х, т), где г — А(х,т)х, х — (х1,.,хп), А(х,1) — Е — единичная матрица, существует система дифференциальных уравнений

бх

— Ъ(Х1,...,Хп), Б — 1,...,П,

(9)

где правые части являются обобщённо-однородными функциями порядка р класса матрицы А(х,т) соответствующей правым частям (7).

Следствие 2.3. Если в (7) выполнены условия:

1) т — еу,ф Е (—от, от);

2) — г3 + ...,гп), где г^ — формы порядка — +1, либо а — —1,5 — 1, ...,п;

3) система (7) имеет ограниченное решение

г5 — г3(<р, а), б — 1, ...,п;

4) система

п

^1 — ^Рз1((Р,а)г3,5 — 1,...,п,

1=1

где р5^((р, а) — 6з1 + а-

дг

(V)

дг1

г1 — г1 ((р, а)

¿п — ¿п( <Р,а)

831 — символ Кронекера

правильная;

5) Среди характеристических чисел /11, ...,^п система(7)имеется

АР <п положительных, то система (7) имеет два семейства решений, каждая из которых зависит от I произвольных постоянных, причем если а — +1, то они 0+ — кривые, если а — —1, О- — кривые. В последнем случае имеет место неустойчивость.

Следствие 2.4. Если — г5,б — 1, ...,п, то правые части системы (9) являются однородными функциями р + 1 класса матрицы Н^^Л , 8^ — символ Кронекера и г5 — тх5, б — 1,..., п.

В §2.6. Устанавливаем Связь между обобщенно-однородными системами и системами типа Брио-Буке. Мы систему (7) называем системой типа Брио-Буке.

Здесь мы будем рассматривать систему

являющуюся частным случаем системы (7), когда т — 0, А(х,т) — А(т), д(г) — Сг,т Е (—от, 0) и (0,от), С — \\с5]\\, б,] — 1, ...,п,/(х) — непрерывно

дифференцируемые в Б.

Пусть постоянная матрица С приведена к Жордановой форме , имеет мнимые характеристические числа А3 — р5 + б — 1,2,... V соответственно кратности щ и действительные характеристические числа Л2у+3 — ру+5, 5 — 1,2,... д соответственно кратности т5, где

2(п11-----1 щ) + т1+-----!ту — п.

Пусть А(т) — матрица нормальной фундаментальной системы решений системы (7), где ц(г) — С г. Тогда имеем

(1п\т\)»-1\ Ц — 1)\ [Х*1-г + (2]1-1) • С05(Я11п\т\) +

]1=к

+*к1-г+2]Г бЫ^Мт^],

щ

(к-11у [-хк1-1+(2]1-1) • зтЫп^) +

л=ч

+Хк1-1+2]Г СОБ^Ы^)], (11)

Ш<;

. — Т^У+Б

1

2ку+г5-1+15 Т 5 /. Г] —1)\ ХкУ+Гз-1+к

л=ч 5 5

где 1 = 1, ...,у; ц = 1,... ,п1; б = 13 = 1,...,т3;

кг = 2п± + —+ 2щ; у3 = т± + —+ тБ•

Теорема 2.13. Выражение (11), хк = шк, к = 1,... ,п,

1

Т = (с0 + р,с0> 0 будут специальными решениями системы (10) тогда и только тогда, когда w = ('№1, ...,№.п) —вещественное решение определяющих уравнений :

Сх + р/(х) = 0. (12)

Указанные решения при рр]- > 0,] = 1,...,у + р, будут О+ — кривыми системы (10).

В §2.7. Издается критерий асимптотической устойчивости нулевого решения системы дифференциальных уравнений.

В §2.8. Мы излагаем приложение обобщённо-однородных функций Х.Э.Стенли [26].

Американский физик Х.Э.Стенли [26] в своей монографии «физика явления, М., наука», 1972, исходил из равенства

С(А.ае.£,Ла».Н) = №С(Е,Н), (13)

являющегося гипотезой подобия, устанавливается, что потенциал Гиббса является обобщенно-однородной функцией. Конечно, (13) является частным случаем

г (г) — сРЯ(г,х)Г(х),

(14)

где 2 — А(х,с)х,3(г,х) —

дхI

— матрица Якоби.

Мы здесь докажем, что гипотеза подобия (1 3) имеет именно такой вид, когда экспериментально установлено, что намагниченность М(£,Н) удовлетворяет условиям:

1

М(£,0) ~ (—£)Р,М(0,Н) ~ Н8,

где р, 8 —критические показатели, выражающиеся через показатели подобия а£иан. Введем обозначения

н — П.а^н) — ^,1!:» ^НИ)-

\Ш 4 ' \а21(£,Н,А) а22(£,Н,А))

Запишем (13) в виде

в(А(А,Н)н) — АРв(н),

(15)

Далее имеем

ХЖ — *(*)' * — А(Х Н)Н, *( ^ ^ — ( I1)

У1(£,Н) —+ у 2(е,Н)- —с (£,Н).

Если а^(А, £, Н) — ац А, то

(Р1(£, Н) — а'^1(1)£ + а^(1)Н, Ф2&, Н) — а'21(1)£ + а'2(1)Н

15

По условию имеем а12 = 0, а21 = 0, а'12 = а'21 = 0 Теперь получим

АрС(а11(Х)£ + а12(Х)Н, а21(Х)£ + а22(Х)Н ) , 21 = а11(Л)£ + а12(Х)Н, г2 = а21(Х)£ + а22(Х)Н Далее имеем

дв дв( г2) дв( г2)

ЛРт= а а12(Х) + а г2 а22

Или

ХРМ(£, Н) = 21, г2)а12(Х) + М( г^ 22^2^)

Пусть Н = 0 а £ ^ 0 с этим случаем связан показатель р . Здесь s -энтропия. Полегая а11(Х)£ = —1, а21(Х) = 0 и считая, что корни уравнения а11(^) = —£-1 являются корнаются а21(Х) = 0 и учитывая, что s(—1,0) = 0 из равенства

ЛрМ(£,0) = ^(а11(Х)е ,а21(Х)е)а12(Х) + М(а11(Х)£ ,а21(Х)£)а22(Х) Получим

М(£, 0) =

1

-р

а-1(—~ ) а22 )

1

£

М(—1,0)

Так как экспериментально установлено, что р.(£, 0)~(—£)@. Далее, после долгих рассуждений передых к формула и

р — ан аи

Р=--—, 8 =

а£ Р — ан

Глава 3: Поведение траекторий обобщенно -однородных систем и близких к ним.

Глава 3 состоит из 5 параграфов. В этой глава рассматриваются системы, когда траекторий их являются параболическими, гиперболический и эллиптическими. Исследования ведём с помощью функции Ляпунова -Красовского, рассматриваются потенциальные системы и близкие к ним.

В §3.1. Проводится классификаци

я особых точек.

В §3.2. Рассматривается классификация топологические устойчивых точек.

В §3.3. Рассматриваются потенциальные системы и близкие к ним.

В § 3.4. Изучается поведение траекторий обобщённо-однородных систем и близких к ним.

Рассмотрим систему

т

^ = ЬьУыьЫь) + ПФГык(ХкОФ(к1!;)Ы >->Х5Щ). (16)

Б=1

т

Хк1к = ЬкуЫк(хЫк) + ПФык(хк1к)ф(к15\хз1> ->х5Пз)

=1

+ Кык(£>х11>. . >хтпт)> (17)

где ^ з=12,...,т, 8кI — символ Кронекера, Ьк — действительное число,

фЫ

дф5

при к = Б

дх^ , (18)

чф5 при к ф Б

<Рк1к(хк1к) — непрерывные дифференцируемые функции, определенные для всех значений, , а показатель степени у можно брать такой, чтобы

при всех xkik функции Ф^ (xkik) принимала действительные значения.

Функции ф5 (s=1,...,m) являются обобщенно-однородными класса матрицы [17]

IISisasisjs(xsis,c)II,isJs = !'-'Пз,С е

Прядка ps и имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам .

Определение 3.3. Траектория Lq системы (16), проходятся через точу q е U(0) при t = 0 называется параболической или лучом, если lim f(q,t) = 0 (lim f(q,t) = 0) и f(q,t) покидает область U(0)

соответвенно при некотором t < 0 (t > 0).

Траектория Lq системы (16) называется гиперболической, если точка f(q, t) описывающая её, покидает окрестность U(0) как при возрастании, так и при убывании t соответственно при некотором t1 > 0(t2 < 0).

Траектория Lq системы (16), вся лежащая в U(0) называется эллиптической если

lim f(q, t) = lim f(q, t).

Теорема 3.2. Если

а) vi-?(xkik)xkik > 0 для xkik Ф 0 и у < 1,

б)П™=1 Фк Tjh Pj > 0 (соответствонно Uf=i Фк Tjh Pj < 0) при

т пк

11

к=11к=1

X

Ык

Ф 0,

2

в)Ьк >0 (к = 1, ...,т) соотственно Ьк(0), то все траектории системы (16), кроме особой точки О, являются О- ( соответственно О+)кривыми, то система (16) параболическая по В.В. Немецкому [18].

В §3.5 рассматривается частный случай предыдущей системы и пример.

Пример 3.3. рассмотрим систему

ё.х1 ЗФ & дх1

23 .11

12 11 11 ^ 3

13 10 .11 „ 3

= 34а1х11 + 69а2 х^1 х* + 73а3 х^1 х.

(19)

ах2 _дФ 23 8 24

& дхп

= 121а2 + 110а3 х^1 х3 + 34а4 х\

3

7

34 23 11 24 10 3

Ф(х1,х2) = Иа-^хЦ + 33а2 х" х23 + 33а3 х" х23 + 3а4х3 обобщённо -однородная функция Класса матрицы

с11 0

0 с3

порядка 34.

Возьмём функцию Ляпунова

2у(х1,х2) = 11x1 + 3х2

Первая и вторая полные производные функции У(х1, х2) пот в силу системы (19) имеет соответственно вид

ау а2у /дФ\2 /дФ2

— ^ 34Ф , ¥2 =

&г ' 2 <хг2

_341 341 ' I

Кдх-^) \дх2)

Теперь ясно что система (19) гиперболическая, обо всегда можно выбрать числа а1, а2, а3, а4 так, чтобы кривая Ф(х1, х2) = 0 делила достаточно малую окрестность точки 0(0,0) на конечное число нормальных областей и чтобы особая точка 0(0,0) системы (19) в этой окрестности была единственной.

Глава I

Система типа Брио-Буке

В этой главе изучается система типа Брио-Буке, рассматриваются различные случаи перехода к данному типу.

§ 1.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения Брио-Буке [1]

Уравнения вида

хту'= Г (х, у), (1.1)

где т —целое, положительное число, функция f аналитическая при х = у = 0; %(0,0) ф 0^(0,0) = 0. В [1] показано, что уравнение вида

где а(0,0) = Р(0,0) = 0 и а и р аналитические в начале, с помощью специальных локальных замен переменных может быть сведено к некоторому числу уравнений вида (1.1). Уравнение (1.1) всегда (кроме случаев т = 1,^(0,0) есть натуральное число) единственное решение в виде формального степенного ряда

У = *(х) = + &х2 + (з*3 + -, (12)

Который сходится для достаточно малых 1x1 , если т = 1 , и может расходится для всех х ф 0, если т > 1. Пусть в (1.1)

Г = Ъ(Х)+к(Х)у.

Тогда для сходимости ряда (1.2) необходимо и достаточно выполнения т — 1 условий на коэффициенты рядов Тейлора функций ^ и ^, причем в эти условия входят все коэффициенты, так что наличие или отсутствие аналитического решения у = %(х) уравнения (11) не может быть

определено ни по какому конечному отрезку ряда Тейлора функции f. Поэтому иногда Брио-Буке уравнением называется уравнение (1.1) с т> 1.

§1.2. Уравнение типа Брио-Буке.

Уравнение

dy

хт^ = ГЛх,у1.....Уп) (13)

б = 1,п, где т> 1 — рациональна число 3(0,0) Ф 0 — матрица Якоби, f(x,0, .,0) —единственное обращенное в нуль. Мы будем исследовать (1.3) систему типа Брио-Буке и рассмотреть случай, когда правые части (1.3) станут обобщенно-однородными функциями.

Определение 1.1. Вещественную вектор-функцию f(x), определенную и

непрерывную в области Б с Еп, будем называть обобщенно-однородной к

порядка р = класса матрицы А(х, с), где с Е (—1 — Ь,1 + Ь),Ь > 0 если выполнено соотношение

Г(г) = сРд(г,х)Г(х), (1.4)

где 2 = А(х, с)х; 3(г, х) матрица Якоби,

§1.3. Критерий обобщённой-однородности функций

Теорема 1.1. Для того чтобы вектор-функция f(x), определенная и непрерывно дифференцируемая в 0, была обобщенно однородной порядка р

класса заданной матрицы А(х, с) необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла системе уравнений в частных производных

№,х)ф(х) = [рЕ + 0((р,х)]Г(х),

(1.6)

где Е —единичная матрица,

3(f,x) =

dfi

dXj

3(%х) =

dVi

dXj

ф(х) = со1оп[ф1(х), ...,<pn(x)], f(x) = colon[f1(x), ...,fn(x)].

Доказательство. Необходимость. Пусть вектор-функция f(x) обобщенно-однородная порядка р класса матрицы А(х,с). Тогда по определению 1.1. справедливо равенство (1.6). Дифференцируя его по параметру с имеем:

dfi(z)

dZj

dz

= рсР-1

dc

dzt

dXj

f(x) + c?

d2zt

dXjdc

f(x).

(1.7)

Учитывая равенство (1.5), имеем:

d2Zi дщ -= с 1-.

dXjdc dXj

Тогда равенство (1.7) перепишется в виде:

dz

3(f(x),z)-^ = рс*-1 J(z,x)f(x)+J(y(z),x)f(x).

(18)

Умножая обе части равенства (1.8) на с, воспользовавшись соотношениями (1.5) и (1.4), получим

J(f(z),z)y(z) = pf(z) + crj(v(z),x)f(x).

(19)

Из условия А(х,1) = Е , наложенного на матрицу f(x,c) , следует, что zilc=1 = xi>i = 1,2,,...п. Тогда, положив в равенстве (1.9) с = 1, получим требуемое (1.6).

Достаточность. Пусть задано уравнение (1.6). Покажем, что тогда вектор-функция f(x) является обобщенно-однородной порядка р класса матрицы А(х, с), т.е. выполняется соответственно (1.4). Для этого перепишем равенство (1.8) в виде

3(Т(г),г)ф) — рГ(г) — сРЗ(<р(г),г)Г(г) = 0 (1.10)

Зафиксируем вектор х и введем в рассмотрение новую неизвестную вектор-функцию ф(х, с) = со1оп[ф1(х, с),..., фп(х, с)] по формуле

ф(х, с) = Г (г) — с? 3(г, х)Г(х). (1.11)

Дифференцируя равенство (1.11) по параметру с, затем умножив обе части на с, получим следующую систему дифференциальных уравнений для вектор-функции ф(х, с) :

с = 3(Т(г), г)ф) — рср 3(2, с)Г(х) — с? 3(ф), 2)3(2, х)Г(х). Учитывая равенства (1.10) и (1.11) последнее перепишется в виде

с — = рф(х, с) + 3(ф(г),2)ф(х, с). (1.12)

Выберем начальные условия для (1.12):

ф(х,1) = 0. (1.13)

В силу теоремы единственности линейная задача Коши (1.12) и (1.13) имеет единственное нулевое решение ф(х,с) = 0. С другой стороны, решением задачи Коши (1.12), (1.13) является вектор-функция, определенная формулой (1.11). В самом деле, ф(х, с) из (1.11) удовлетворяет уравнению (1.12), и при с = 1:

ф(х, 1) = /(х) — Е/(х) = 0,

т.е. из (1.11) имеем (1.4).

Следствие 1.1. Имеет место

А(А(х, с2), с1)А(х, с2)х = А(х, с1, с2)х.

Следствие 1.2. Если f(x), ф(х) дважды непрерывно дифференцируемы в D, то имеет место

j(j(f,x)y(x))y = [р2Е + 2pJ(%x)+J(J(%x)v,x)]f(x),

где Е- единичная матрица, J(f,x),J(<p,x)- матрицы Якоби, р — порядок обобщенности вектор - функции f(x).

Следствие 1.3. Семейство [А(с)} образует однопараметрическую группу преобразований пространства R1

т

Пример. Рассмотрим матрицу

5,

ч

гЧ а-

JPi+(1 — ckiPi)qixil

(1.14)

где Sij — символ Кронекера, pt =

ki

к

2lt + 1'P 21 + 1

■,ai, ki, li'k и I —

натуральные числа, причем р^ > > 0. Очевидно, что элементы матрицы (1.14) непрерывны и непрерывно-дифференцируемы в области (-г, г) при

С Е (2 аРшах , 2аРтах

где

Г =

1<i<n

f —Л

ai Pi -

я 4i

У

> ,а =

max[ai},pmax 1<1<п

max[pt}.

1<1<п

1

1

Из (1.14) видно, что для достаточно малых 1x11, I = 1, ...,п параметр с может быть сколько угодно большим, но конечным. Например, функция

К(Х±,...,хп) = (р1+я1ха^) <Ч ^аа^х^ • (рг + д^1) а1,...,

л,

Л а -

*пП ш(Рп + ЧпХпП) ап,

(1.15)

где щ > 0 —четные числа, р^ и qi те же, что и в (1.14), а знак X должен быть распространен на все решения в целых и положительных числах уравнений

п

(А.1к — 8ш)рк = р,1 = 1,... ,п,81к — символ Кронекера.

к=1

Функция (1.4) является обобщенно-однородной класса (1.14) порядка р. Пусть теперь матрица А(х, с) имеет вид:

А(х, с) =

V*

11 — ЩХ? £латЯ1(21,

(1.16)

где &1к — символ Кронекера, Р1 =

211 + 1

, щ, к1,11 — целые неотрицательные

числа, Ц^ъ .■■ ,^1-1) — заданные функции своих аргументов, дифференцируемых по ..., под знаком интеграла, причем ... ,0) > 0, I = 1, ...,п и ^ > 0, а функции г,1 = 1, ...,п определены по рекуррентной формуле

СР1Х;

Ъ =

(1.17)

1 — ^х? ¡[ч^ч&ь .,21-1)(1т]

а

а

и а^1 ... < 1. Нетрудно видеть, что матрица А ,

определенная формулой (1.16) удовлетворяет перечисленным выше условиям и (1.7) имеет вид

= +Ч1(г1,.,г1-1)г11 = р1(2х,...,21-1), 1 = 1,., п. (1.18)

При наложенных выше условиях система (1.18) имеет единственную особую точку 0(0, .,0). В дальнейших наших рассуждениях, если не оговорено иное, под матрицей А мы будем понимать именно матрицу (1.16).

Имеет место теорема.

Теорема 1.2. Функция <р(г) определенная равенством (1.5) является обобщённо-однородной функцией нулевого порядка класса заданной матрицы А(х, с) , где 1 = А(х, с)х,Х = (х1,..., хп), 7= (г1,..., гп), ф =

(Ф1,...,ФпУ

Эта теорема является частным случаем теоремы 1.1. Полагая в равенстве (1.6) р = 0, мы получим /(х) = <р(х), так как (/, х) Ф 0, йе13(ф, х) Ф 0 по предположению. Здесь 3^, х), 3(ф, х) —матрицы Якоби. Во второй главе эта теорема доказывается оригинально.

§1.4. Некоторые свойства обобщенно-однородных форм.

Теорема 1.3. [2] Для класса матрицы А(х, с) имеет место равенство

А(А(х, с2)х, с1)А(х, с2)х = А(х, с1с2)х. (1.19)

Доказательство теоремы следует из того, что ф(х) есть обобщенно-однородная вектор функция класса А(х, с) порядка нуль.

Следствие 1.2. Семейства [А(с)} образуют однопараметрическую группу преобразований пространства Еп.

Теорема 1.4. [3] Если f(x) и ф(х) дважды непрерывно дифференцируемы функции в D, то имеет место равенство

jm,x)v,x)v(x) = [р2Е + 2pJ(%x)+J(J(%x)%x)]f(x), (1.20)

где J(f,x) —матрица Якоби, Е —единичная матрица.

Доказательство (1.20) следует из (1.6) дифференцированием и некоторым преобразованием.

Теорема 1.5. [3] Если f(x), х Е Ет и д(у),у Е Ек обобщенно-однородные функции соответственно порядка р и q классов А(х, с) и В (у, с),

то F(x,y) = f(x) + д(у), (х,у) Е Ет X Ек обобщенно-однородная функция порядка г = [р, q], где г —наименьшее общее кратное число р и q класса матрицы

М(х,у,с) =

А(х,у) 0 0 В (у, с)

из соотношения [(г) = ср3(г, x)f(x) путем некоторых математических выкладок следует, что каждый элемент матрицы Якоби [3] 3^, х) является обобщенно-однородной функцией класса матрицы А(х, с).

Если А(х, с) = ||5^-ср'||, Ь,] = 1,2,... ,п, где 8^ — символ Кронекера, р^ —рациональное число с нечетным знаменателем [3]

Г(сР1Х1,...,сГпХп) = СРГ(Х1,...,Хп). (1.21)

Если [(х^^,..., хп) дифференцируемо, то имеет место равенство [3]

п к

дХ;

= Р/

(1.22)

1к

Пример. Скалярная функция

.....ьпх111 (рг + ЯгХ*1) а1 ... х"^(рп + дпх"п) 1

1л, \

где а5, р5(б = 1, п) известные натуральные числа и р5 > > 0, а знак X должен быть распространен на все решения в целых и положительных числах уравнения р511 + р2Ь + —+Рп^п = Р,Р Ф рб, является обобщенно-однородной класса матрицы

8^

1+х(*1 — (1 — са^) 1 Р1

1

'аI

где ¿,у = 1,п порядка р, 8^ —символ Кронекера. Пусть

бХ1

ст— = д1(х1,...,хп), 1 = 1.....п

(1.23)

I = 1, п, п> 1 натуральные числа, а аналитическая функция такая, что

д(0,...,0) = 0,1 = 1 , п &ег

дд

дг

Ф 0.

Пусть т = 1 и г = е1 тогда (1.23) будет

бх

= -д^.-.г^Л = 1, п

(1.24)

Тогда имеет место

Теорема 1.6 [4] Если существует обобщенно-однородная функция Ф(гъ ... гп) порядка р класса матрицы А(г, с) обращающаяся в нуль только в начале координат, то нулевое решение системы (1.24) асимптотически устойчив при р > 0 и асимптотически неустойчиво при р < 0.

29

§1.5. О гомеоморфизме системы дифференциальных уравнение.

Из наших исследований следует то, что каждой системе обобщенно-однородных функций нулевого порядка, относящегося к типу Брио-Буке, соответствует обобщенно-однородная функция порядка р класса матрицы А(х, с). Если одна из фраза задаче функций линейные, то есть сходство со с.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Джасим Анмар Хашим Джасим, 2016 год

Литература

1. Математическая энциклопедия, Т.1, 1977-518 с.

2. А.Х.Д.Джасим, О свойства обобщенно однородных функций, Успехи современной науки ,2016, N0.4, Тот 3, с. 136-139.

3. Д.М.Гробман, топологическая классификация окрестностей особой точки в п-мерных пространствах, матем.сб.,56(98) (1962),77-94.

4. Д.М.Гробман, "Топологическая эквивалентность в целом систем дифференциальных уравнений", Матем. сб., 73(115):4 (1967), 600609.

5. А Р.Эфендиев, системы дифференциальных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями, ученые запискиДГПИ, стр. 134-143., Дагучпедгиз, 1966г.

6. А.А.Шестаков об асимптотическом поведении многомерных систем дифференциальных уравнений // Уч записки ВЗИИЖТ.-1961.-Вып. 7.-с.3-105.

7. А.Х.Д. Джасим, Об устойчивости системы типа Брию-Буке, Актуальные проблемы математики и смежные вопросы, Сборник научных трудов межвузовского семинара, Махачкала, 2015 с.39-40.

8. А.Р.Эфендиев, Особенные случаи в обобшенно-однородных системах, Межвузовский научно-тематический сборник, ФДУ и их приложения, вып 3, ДГУ, Махачкала, 1997, с.241-245.

9. И.Г.Малкин, Теория устойчивости движения, М., 1966г.

10.А.Р.Эфендиев, Э.А.Эфендиева, об области влияния особой точки нелинейной системы, Материалы Второй Международной научной конференции, ФДУ и их приложения, ДГУ, Махачкала, 2005, с.177-181.

11. В.В.Немнцкий, Топологическая классификация особых точек, диф. уравнения, 1967г. т. 3, стр. 361-370.

12.А. Х. Катхим, А. Р. Эфендиев, Об одном приложении обобщенно -однородных функций к исследованию гипотезы подобия. Вестник Дагестанского научного центра 2013, № 48, с. 5 - 9.

13.В.И.Зубов, устойчивость двежения, м,1973-189с.

14.С.Вг^ , T.Bouquet Есок po'lytechnique -1956.-У.21.Р. 85-132.

15.В.В.Немыцкий и В. В.Степанов, Качественная теория дифференциальных уравнений, М-Л, 1949.

16.А.Р.Эфендиев, Программа и методические указания к спецкурсу «Избранные главы качественной теории дифференциальных уравнений», Махачкала, 1983.

17.А.Р.Эфендиев, Об области влияния особой точки одной системы дифференциальных уравнений, Всесоюзной конференции по асимптотическим методам в теории сингулярное возмущённых уравнений , Наука Алма-Ата Казахской ССР, 1979,т.2, с.41-42

18.М.Б.Кудаев, А.Р.Эфендиев, "Об области влияния особой точки высшего порядка систем дифференциальных уравнений собобщенно-однородными правыми частями", УМН, 19:1(115) (1964),с.203-205.

19. В.В.Немыцкий, Некоторые методы исследования в целом характеристик уравнения// Вестник МГУ, №5, 1961, с. 25-43.

20. П.Н.Папуш. Изучение расположения интегральных кривых, заполняющих область, содержащую одну особую точку., ма. Сб., т. 38(30). 3, 1986г.

21. М.Д.Джасим, А.Р.Эфендиев Об области влияния особой точки нелинейной системы дифференциальных уравнений специального вида, Вестник ДГУ,// естественные науки, вып. 1, 2012 с. 54-63.

22. А. Р.Эфендиев, Кандидатская диссертация, МГУ, 1963г.

23. В.В.Хоменюк, О системах обыкновенных дифференциальных уравнений с обобщенно - однородными правыми частями. Известия вузов, №3, 1961, с.157-165.

24. Е.А.Барбашин, Н.Н. Красовский, О существовании функций Ляпунова в случае асимптотической устойчивости в целом //ПММ.-1954.- Т. 18, N 3.- С. 345-350.

25.В.И.Зубов, О системах обыкновенных дифференциальных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями // Изв. вузов. Математика— Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1958.— № 1.— С.80-88.

26. Х.Э. Стенли Фазовые явления М., Наука, 1972 .

27. А. Р. Эфендиев, О гипотезе подобия // Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения: межвуз. сб. Махачкала: ДГУ, 1991. С. 144-148.

28. А. Р. Эфендиев, Некоторые свойства обобщенно однородных функций иуравнений, Межвуз.сб.3 ч.1, Махачкала, ДГУ 1976 с. 162168.

29.Б. Ф. Былов, Р.Э.Виноград, Д.М.Гробман, В.В.Немыцкий, Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости, М.: Наука, 1966, 576 с.

30. А. Р. Эфендиев, О поведении решений системы дифференциальных уравнений // дифференциальные уравнения и их приложения. Тезисы докладов респу. конской научной конференции (14-15 сентября 1989 г.), фрунзе - 1989, с.87-88.

31. А. Х.Д.Джасим, Б. Д. Д.Аль - Асади ,Об одной системе типа Брио -Буке, ДГУ, Материалы VI Межд. научной конференции «ФДУ и их приложения», 2013, с. 121 - 123

32.Б. Д. Д.Аль - Асади, А. Х. Д.Джасим, А. Р.Эфендиев, Об обобщенно -однородных системах дифференциальных уравнений//Вестник ДГУ, 2014, Вып.1, с. 68-72

33. А. Х. Д.Джасим, Об обобщённо - однородной системе типа Брию-Буке .//Вестник ДГУ, 2015, Вып.6,Т.30, с. 135-138.

34. А. Х. Д. Джасим, Об обобщённо - однородной системе типа Брию-Буке// «ФДУ и их приложения»: Материалы VI международной

89

научной конференции посвященной 80-летию профессора Г.А. Магомедова, Махачкала, ДГУ. 21-24 сентября ,2015, с.60-61.

35.А.Х.Катхим, А.Р.Эфендиев, Об одном приложении обобщенно -однородных функций к исследованию гипотезы подобия. Вестник Дагестанского научного центра 2013, № 48, с. 5 - 9.

36.М.Д.Джасим, А.Р.Эфендиев , Об области влияния особой точки нелинейной системы дифференциальных уравнений специального вида // Вестник ДГУ, вып.6. 2010. - С.55-63.

37.М.Д.Джасим, А.Р.Эфендиев, О первых интегральных нелинейной системы дифференциальных уравнений // Материалы 5 международной конференции «ФДУ и их приложения». Махачкала, ДГУ. 26-29 сентября 2010. С. 96-102.

38.А.П.Карпова, Бифуркации решений в резонансной особой точке фредгольмова уравнения с круговой симметрией // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения 2007. -СПб. 2007. С.65-72.

39. А.П.Афанасьев, Устойчивость по Пуассону в динамических и непрерывных периодических системах, С.М.Дзюба //- М.: ЛКИ. 2007. 240 с.

40. А.Р.Эфендиев, О свойствах одной обобщенно-однородной системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом ФДУ и их приложения // Меж вуз. Н.- тех. ст, ДГУ 2009, вып.5, с. 116-119

41. А.Р.Эфендиев , Об одной разностной системе // Актуальные проблемы математики и смежные вопросы. Труды межвузовского семинара, Махачкала, 2015, с.92-93

42.М.Д.Джасим, А.Р.Эфендиев, О первых интегралах нелинейной системы дифференциальных уравнений. Материалы VI Международной конференции ФДУ и их приложения, Махачкала, ДГУ, 2011, с.96-102

43.Е.М.Виноградов, Математическая энциклопедия, Советская энциклопедия, т.1., с.548, 1977.

44.А.Х.Катхим, А.Р.Эфендиев, Существование и единственность решения интегро-дифференнциальной системы // Вестник ДГУ-2013-Вып.1 с. 91-102.

45.A. Elbert. Asymptotic behavior of the solutions of differential équation

, 1

y(t) + tvy(qt) = 0, (0<g <1),// Periodica Mathematica Hyngarica Vol. 1(3) (1971),pp. 229-241.

46.А.Р.Эфендиев, Э.А.Эфендиева, Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных и разностных уравнений, ФДУ и их приложения, Материалы третьей Международной научной конференции,24-27 сентября, Махачкала, ДГУ,2007, с.218-222.

47.Т.С.Кречетов, Поведение решений одного дифференциального уравнения первого порядка// диф. уравнения ,Т. VII, №8,1971, с.1528-1530.

48.В.В.Немынский, В.В.Степанов, Качественная теория дифференциальных уравнений// М.-Л., 1949.

49.В.И.Арнольд, "Алгебраическая неразрешимость проблемы устойчивости и проблемы топологической классификации особых точек аналитических систем дифференциальных уравнений", УМН, 25:2(152) (1970), с. 265-266

50.Ю.С.Ильяшенко, "Аналитическая неразрешимость проблемы устойчивости и проблемы топологической классификации особых точек аналитических систем дифференциальных уравнений", Матем. сб., 99(141):2 (1976), с. 162-175

51.В.И.Арнольд, "Алгебраическая неразрешимость проблемы устойчивости по Ляпунову и проблемы топологической классификации особых точек аналитической системы

дифференциальных уравнений", Функц. анализ и его прил., 4:3 (1970),с. 1-9

52.А.Х.Катхим, А.Р.Эфендиев, Краевая задача системы интегро-дифференциальных уравнений. Моделирование производственных процессов и развитие инфосистем// Сборник научных статей по материалам IV-й Международной научно-практической конференции, г. Ставрополь, СГАУ, 28-29 сент. 2012г., с. 152-160.

53.А.Х.Катхим, С.А.Аль-Джоуфи, М.Д.Джасим, А.РЭфенедиев, О свойствах одной нелинейной системы //Материалы Международной конференции «Мухтаровские чтения», «Актуальные проблемы математики и смежные вопросы», Махачкала, ДГТУ, 2012, с. 100-104.

54. С.А.Аль-Джоуфи, О нетривиальных решениях многоточечной однородной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения. // Вестник ДГУ. Вып. 1, 2012, С. 87-92.

55.С.А.Аль-Джоуфи, М.Д.Джасим, А.Х.Катхим Законы распределения нулей решений краевой задачи Вале Пуссена для линейного дифференциального уравнения пятого порядка. //Современные методы краевых задач (материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XXIII»). 2012. Воронеж, с. 6-9.

56.А.Д.Брюно, аналитическая форма дифференциальных уравнений, труды московского математического общества, 1971, Т.25, с.120-259.