Преобразование Фурье-Лапласа функционалов на пространствах функций на многомерной выпуклой области тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Постовалова Анастасия Владимировна

• Постовалова Анастасия Владимировна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Постовалова Анастасия Владимировна

Введение

Глава 1. Преобразование Фурье-Лапласа функционалов на подпространствах бесконечно дифференцируемых функций

1.1. Предварительные сведения и обозначения

1.2. Вспомогательные утверждения

1.3. Описание сопряженного пространства к и Срг(В,

Глава 2. Преобразование Лапласа аналитических функционалов

2.1. Предварительные сведения и обозначения

2.2. Вспомогательные утверждения

2.3. Описание сопряженного пространства к Н[П^(В, 2) и Нрг(П, 2)

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Преобразование Фурье-Лапласа функционалов на пространствах функций на многомерной выпуклой области»

Введение

Пусть Е(X) — некоторое линейное топологическое пространство функций, определенных на множестве X с Rp. Через Е* обозначим сильно сопряженное

пространство. Для векторов w = (W\,...,wn), z = (z\, ...,zn) положим

p

<w,z >=^2 WkZk. k=i

Если семейство экспонент Exp = {e-l<x,z>, z g Cp} полно в пространстве E(X), то преобрзование Фурье - Лапласа, которое каждому линейному непрерывному функционалу S G E*(Х) ставит в соответсвие функцию

S(z) = Sx (e-i<x'z>) , z G Cp,

линейно взаимно однозначно отображает E*(Х) на некоторое пространство Е(Х) функций на С. Описание сопряженных пространств в терминах преобразований Фурье-Лапласа предполагает определение этого класса Е(Х) и описание наведенной из Е* (X) топологии с помощью интегральных или равномерных полунорм.

Если X — область в Cp и E(X) — некоторое линейное топологическое пространство функций, определенных и голоморфных на этой области, то вместо преобразований Фурье - Лапласа естественно рассматривать преобразование Лапласа:

S(z) = Sx (e<x>z>) , z G Cp,

Важность задачи описания сопряженных пространств в терминах преобразований Фурье-Лапласа и Лапласа связана с тем, что наличие такого описания позволяет получить двойственные постановки задач в пространстве E (X ). Например, если D с C и E(D) — некоторое нормированное пространство голоморфных на области D функций, то задача о представлении рядами экспонент в E(D) двойственна к задаче интерполяции в пространстве E(D). Если E(D) — гильбертово пространство, то эта же задача о представлении рядами экспонент может быть переформулирована как задача о представлении рядами из воспроизводящих ядер. Проблема представления рядами экспонент в одномерном случае подробно рассмотрена в работе [1].

Диссертация посвящена описанию сопряженных пространств в терминах преобразований Фурье - Лапласа к некоторым пространствам бесконечно дифференцируемых функций на ограниченной выпуклой области многомерного вещественного пространства. Рассматривается также задача описания сопряженных пространств к некоторым пространствам голоморфных функций на ограниченной выпуклой области многомерного комплексного пространства в терминах преобразований Лапласа.

Классическая теорема Винера - Пэли (см. [2], [3]) может быть сформулирована следующим образом.

Теорема (Винер-Пэли) (см. [2], Теорема 3.4.1.)

Пространство преобразований Фурье - Лапласа Ь2(-1; 1) функционалов на пространстве Ь2(-1; 1) изоморфно пространству целых функций Г экспоненциального типа, для которых конечна норма

В случае многих переменных верна теорема Планшереля - Полиа ([4]): Теорема (Планшерель — Полиа ), ([2], Теорема 3.4.2) Пусть И — ограниченная выпуклая область в и

— ее опорная функция. Тогда пространство Ь2(В) изоморфно пространству целых функций Г в С, удовлетворяющих оценке

Теоремы типа Винера - Пэли доказаны и для пространств голоморфных функций.

Пусть D — ограниченная выпуклая область на плоскости и

HCD(z) = max Re Xz, z G C,

agd

HD (x) = sup {x, у)

yGD

\F(z)\ < CeHD(Imz), z G Cp,

для которых конечна норма

— опорная функция (в комплексном смысле) этой области.

Пространством Бергмана В2(П) на области И С С называют пространство аналитических функций на И, для которых конечна норма

II/II = / I/(^т(Х),

^ Б

где ¿т(\) — плоская мера Лебега.

В работе [5] доказано, что пространство В2(И) преобразований Лапласа функционалов на пространстве В2(В) изоморфно пространству целых функций В, для которых конечна норма

" ■=а: I, >(-»2 ш)

где

Н(у) = г-1Нсв (гег1р),

1>ср

А(<р) = Ь!(ф) + Н(в)(Ю,

и

к (г) = Ц|2 = у еШеСЧт((), г е С.

В случае многих переменных описание сопряженного пространства В2(В) (И — ограниченная выпуклая область в Ср) получено в работе [6].

Много исследований посвящено описанию сопряженных пространств к проективным и индуктивным пределам нормированных пространств (см., например, [7] -[16]).

Последовательность положительных чисел Мп, п е Ми{0}, называется логарифмически выпуклой, если выполняется соотношение

Мп-хМп+1 > мп2, п е N. Функция следа последовательности определяется по формуле

грп

Т(г) = йир——, г > 0.

п М-п

По теореме Данжуа-Карлемана (см. [17]) условие

к=0 к+

2

00

Ш 1 \т¡иг

< сю.

равносильно условию на функцию следа

In Т (r)dr

J-ж г2

С каждой последовательностью M = (Мп)Ж=0 свяжем нормированное пространство

Н(D, M) = {f е Н(D) : \\f || = supsup \f (n)(z)|}.

n IVln zeD

Пусть ) — непрерывная функция на плоскости. Положим

Н(C,<p) = {F е Н(C) : \\F\\ = sup\F(z)\e-^(z) < ж}.

zeC

В работе [8] доказаны следующие теоремы.

Теорема A Пусть Мк = {мПк^}Ж=0, к е N, — неубывающие логарифмически выпуклые последовательности положительных чисел, удовлетворяющие условию

лЛк+1) ,„,

— 1У1п+1,

мПк+1) — м(п%, п е N и {0}, к е N.

Обозначим через Тк(г) = йирп>, г > 0, функцию следа последовательности Мк и пусть

фк(X) = НЪ(\) + ЫТк(|Л|), к е N.

Предположим, что каждая из последовательностей удовлетворяет условию неквазианалитичности (0.1). Тогда

1) преобразование Лапласа устанавливает топологический изоморфизм между сильно сопряженным пространством к индуктивному пределу пространств Н(И, Мк), к е N и проективным пределом пространств Н(С,фк), к е N

2) преобразование Лапласа устанавливает топологический изоморфизм между сильно сопряженным пространством к проективному пределу пространств Н(С,фк), к е N и индуктивным пределом пространств Н(И, Жк), к е N.

Теорема В Пусть Мк = {М1к)}™=

0, к е N, — неубывающие логарифмически выпуклые последовательности положительных чисел, удовлетворяющие условию

М^к+1) < М{пк}1, П е N к е N.

Предположим, что каждая из последовательностей удовлетворяет условию (0.1). Тогда

1) преобразование Лапласа устанавливает топологический изоморфизм между сильно сопряженным пространством к проективному пределу пространств Н(D, Mk), к € N, и индуктивным пределом пространств Н(C,ipk), к € N;

2) преобразование Лапласа устанавливает топологический изоморфизм между сильно сопряженным пространством к индуктивному пределу пространств Н(C,ifjk), к € N, и проективным пределом пространств Н(D, Mk), к € N.

Аналог этой теоремы для преобразований Фурье - Лапласа функционалов на пространствах гладких функций многих переменных доказан в работе [12]

Пусть D С R — выпуклая ограниченная область. Через С(D) обозначим пространство непрерывных функций на D с нормой

||/1| = max |/(ж)|.

x€d

Для натурального числа т через Cm(D) будем обозначать пространство функций f на D, для которых все производные Dnf, где

д|n| f (г)

Dnf(х) = ^Щгг= (п1,...,п„) € Z+,

при 1п\ = щ +... + пр < т принадлежат С(D). В Cm(D) рассматривается норма

\\ f\\cm(D) = sup \\Dnf1 c(D).

|n|<m

Для произвольной последовательности положительных чисел M = (Mn), п € Z++, через С(D, M) обозначим линейное нормированное пространство функций f € С^(D), для которых конечна норма

\\/\\c(D,M) = sup -1-\\Dnf(X)\c(D).

nG Mn

Для семейства 2 последовательностей Мп = {(М^), к £ п £

М, в предположении непрерывности вложений С (И, Мп+1) С С (И, Мп) через Ср1(И, 2) обозначим проективный предел пространств С (И, Мп) относительно вложений:

СРг(И, 2) = р|С(И, Мп).

Пусть ip(z) — положительная функция на Cp. Через Р(Cp,(p) обозначим линейное нормированное пространство целых функций F(z) с нормой

\\F\\ = sup \F(z)\e-^z).

геСР

Для последовательности Ф положительных функций cpj, j е N, в предположении, что supz ^ ^ < ж, через Hmd(Ф) обозначим индуктивный предел пространств Р(Cp, (fj) оносительно непрерывных вложений Р(Cp, cpj) —> Р(Cp, ifj+1), j е N:

НШ(Ф) = U Р (CP,<Pj).

Далее, пусть

Hd(у) = sup <х,у>, у е Rp,

xeD

— опорная функция области Р. Последовательность М = (Мк), к е Z+, будем называть логарифмически выпуклой, если Мк — е1г(к">, к е Zр_, для некоторой радиальной по каждой переменной выпуклой функции Н : Кр —> К, к (х 1,..., х р) — Нь (| х 11,..., I х р I).

Для семейства 2 последовательностей Мп — {(М^ — еНп(к)), к е Ърр}, п е N, через Ф обозначим последовательность функций

(рп(х) — НЪ (1т г)+ кп(1п \г1\,..., 1п ^р\), г е Ср, п е N,

где

К(х) — вир ((ж, у) к Нп(у)), X е Кр,

— сопряженная по Юнгу к фунции hn. В упомянутой работе [12] доказано, что при некоторых условиях на семейство последовательностей Е преобразование Фурье - Лапласа устанавливает изоморфизм сильно сопряженного к проективному пределу CpT(D, Е) и пространства Н^(Ф).

В диссертации получено описание в терминах преобразования Фурье - Лапласа сопряженного пространства к индуктивному пределу пространств С(D, Mn) при некоторых ограничениях на семейство Е.

Получено также описание в терминах преобразований Лапласа сопряженного к индуктивному и проективному пределам пространств

Н(D,M) = {} е Н(D) : sup ^ < ж},

kez+ мк

где

р;т = вум

Изложим план диссертации. В первом параграфе первой главы приведены используемые в диссертации обозначения и необходимые сведения из теории

- выпуклых множеств и функций;

- субгармонических и плюрисубгармонических функций;

- локально выпуклых пространств.

Во втором параграфе первой главы доказаны подготовительные утверждения и теоремы. Следующее утверждение по существу используется при доказательстве полноты систем экспонент в проективных и индуктивных пределах пространств С(Р, Мп).

Утверждение 1.2.4.

Для любого линейного непрерывного функционала Б на С(Р, М) существует последовательность функционалов Бп £ С*(Р), п £ Ър+, такая, что

Б(Л= ^Бп(Рп/), /£Со(Р, М),

причем,

11 Бп Н С * — М~ \\Б\\c*(D,M), п £ Щ-.

Доказано также утверждение о том, что преобразование Фурье-Лапласа линейного непрерывного функционала на С(Р, М) является целой функцией. Утверждение 1.2.5.

Пусть последовательность М = ( Мк), к £ такая, что пространство С(Р, М) содержит все экспоненты е-^х £ С, и Б — линейный непрерывный функционал на пространстве С(Р, М). Тогда преобразование Фурье -Лапласа Б (г) = Бх(е-г^x, ^), г £ С, является целой функцией. Пусть функция

к*(у) = вир(< к, у > -к(к)),

кеЪр+

целочисленно сопряженная по Юнгу.

Как известно, функция Н*(1п |г\\,..., 1п |гр\) будет плюрисубгармоничной в Ср. Поскольку функция 1п(1 + \х\) плюрисубгармонична, то для любого I > 0 функция к*(1п \ Х\\,..., 1п \ гр\)+Ип(1 + \х\) также будет плюрисубгармоничной, а

функция Н*(х)+Ип(1 + ех1 +... + еХр) будет выпуклой функцией на Кр. Функцию к (у) будем называть £ - сдвигом функции Н, а именно сопряженную по Юнгу к функции Н*(х) + Ип(1 + еХ1 + ... + еХр):

Ы(х) — Н*(х) + Ип(1 + еХ1 + ... + еХр),, х е Кр.

Последовательность

Мг,к — еы(к), к е Zр,

соответственно будет называться £ — сдвигом последовательности М.

В диссертации по существу будет использовано утверждение из [12], а именно, частный случай леммы 6.4 в этой работе, сформулируем его в виде отдельной теоремы.

Теорема С

Пусть О — область голоморфности в Ср и Н — плюрисубгармоническая функция на ней, а ( — плюрисубгаромническая функция на Ср, удовлетворяющая условию: для некоторого в > 0

\((х) к ((ы)\ < С, к < (1 + \М)к, г е Ср.

Тогда найдется некоторое число Ь > 0, такое, что любая целая функция Б (г, w), удовлетворяющая оценке

(г< е^(г)+к(ю), х е Ср, w е О,

и Б(и),и)) = 0, w е О, может быть представлена в виде

р

Б (г, w ) — (г 1и))(и)3 - ), (е Ср х О,

3=1

с функциями Бз(г^) е Н(Ср х О), для которых верна оценка

/ (г^)\2екШг)рНг»)+ъЧ1р\{^)\) < ^ — 1,..,р,

./Сж О

где дХ2р — лебегова мера на С2р

В ходе применения этой теоремы в диссертации потребовалось конкретизировать число Ь. В утверждении 1.2.7 доказан вариант этой теоремы. Утверждение 1.2.7

Пусть h — плюрисубгармоническая функция на C, p — плюрисубгаром-ническая функция на Cp, удовлетворяющая условию

( х) — ((м)| < С, \\х — м\\ < 1, £ целая функция С(г,т) удовлетворяет условиям С(г, г) = 0, м £ Ср, и

1С(г,и))1 < ег£ Ср, м £ Ср. Тогда найдутся целые функции Ск(гк = 1,...,р, такие что

С(г= (х,м)(гк — мк), £ Ср х

/ 1Ск(г,м)|2е—2(Ф)+Н™)+трЧ^+ИМ^лХр^х^) < к = 1,...,р, JcPхCP

где тр = Ър — 2.

По существу используя утверждение 1.2.4 доказана теорема 1.2.1, являющаяся подготовительной для доказательства полноты семейства экспонент в проективном и индуктивном пределах.

Теорема 1.2.1. Пусть логарифмически выпуклые последовательности М = (Мк = ет)к£Ж , N =(Ык = ew(k))k£Z+ таковы, что

keZ+

Nk_ Мк

При этом выпуклая раздельно радиальная функция v : Rp —> R удовлетворяет условию

„ h(x) — |Ы| ln(1 + |Ы|) inf^^-^^-> -то (0.2)

x INI

и г>(0) = 0. Тогда, если для некоторой логарифмически выпуклой последовательности M' = (М'к), к £ Z+, выполнено условие

V^ max|g|<6p-1 M>k+S < k£Z Pp NP2+5P ^ ^

то замыкание линейной оболочки семейства экспонент Exp = {е-г<x,z>, z £ Cp} в пространстве С(D, M) содержит пространство С(D, M').

Базовым для доказательства сюръективности преобразования Фурье-Лапласа является теорема 1.2.2.

Теорема 1.2.2

Пусть М — (е}г(к")), к е 1+, — логарифмически выпуклая последовательность с раздельно радиальной функцией Н, удовлетворяющей условию (0.2). Если некоторая логарифмически выпуклая последовательность М' — ( М'к), к е 1+, удовлетворяет условию

^ тах\3\<4рМ'к+3 > ——и-— < то

к£!?+ Мр2+4р+1,к то каждая целая функция Г, удовлетворяющая условию

\Г (г)\ < N (Г) еи° (г)+к*(1п ^\'-.'1п\гр\), г е Ср,

является преобразованием Фурье - Лапласа некоторого линейного непрерывного функционала Я на пространстве С (И, М'), причем

\\Щ\с*(о,М') < ^(Г).

Третий параграф первой главы посвящен доказательству теорем, описывающих образ преобразования Фурье-Лапласа функционалов на проективных и индуктивных пределах.

Сначала сформулирована теорема с внешне более слабыми условиями на последовательности ( Мп), п е N.

Теорема 1.3.^

Пусть Е — {Мп — (М(пу), к е 1++}, п е N — семейство логарифмически выпуклых последовательностей положительных чисел, причем М^ — 1, п е N. Пусть, далее, Нп(х) — выпуклые раздельно радиальные функции на

Г^, к е 1+.

Кр, такие, что Нп(к) — 1иМ(п), к е 1+. Предположим, что каждая функция

удовлетворяет условию:

. Нп(х) - \\ж\\ 1п(\\х\\ + 1)

т£ ——- , ,, -- > -то, (0.2)

х€Ш+ \\х\\

а все семейство удовлетворяет двум условиям: 1. Для любого п е N

Ми]

тах—тт" < то. (0.3)

к М^1

2. Для каждого ] е N найдется номер п — п(]) е N такой, что

а)

у < то. (0.4)

г м<"> [ '

Через Ф обозначим последовательность функций

^п(х) — Нв (1т г) + нп(1п \ г^,..., 1п \ Хр\), хе Ср, п е N.

Тогда преобразование Фурье - Лапласа Б —> Бх(е-г<х,г>) устанавливает линейный топологический изоморфизм сильно сопряженного пространства Е) на пространство Нрг(Ф).

Затем мы переходим к равносильной теореме с более компактным набором условий.

Теорема 1.3.1.

Пусть Е — {Мп — (Мкп)), к е 1+, п е т е N, — семейство логарифмически выпуклых последовательностей положительных чисел, причем М— 1, п е N. Пусть, далее, Нп(х) — выпуклые раздельно радиальные функции на Кр, такие, что Нп(к) — 1пМкп), к е 1+. Предположим, что каждая последовательность удовлетворяет условию

ш кп(х) ЧИКЬ \\х\\ + 1) > кто, (0.2)

а все семейство удовлетворяет условию

V < то, ]е м, (0.5)

Через Ф обозначим последовательность функций

^п(х) — Нв (1т х) + Нп(1п \ г1\,..., 1п \ гр\), ге Ср, п е N.

Тогда преобразование Фурье - Лапласа Б —> Бх(е-г<х,г>) устанавливает линейный топологический изоморфизм сильно сопряженного пространства С*пА(В, Е) на пространство Нрг(Ф).

Первую главу завершают теоремы об описании сопряженных пространств к проективным пределам в несколько более слабых условиях, чем в работе [12]. Сформулированы и доказаны две равносильные теоремы.

Теорема 1.3.2a

),к £ ~+

Пусть 2 = {Мп = (М(п)), к £ }, п £ М, — семейство логарифмически

(п)

выпуклых последовательностей положительных чисел, причем М0 = 1, п £ N. Пусть, далее, Нп(х) — выпуклые раздельно радиальные функции на Кр, такие, что Нп(к) = 1пМ(кп\ к £ Предположим, что каждая последовательность удовлетворяет условию (С), а все семейство удовлетворяет двум условиям:

1. Для любого п £ N

м1п+1)

тах—кТ— < ж. (0.6)

к М(П)

2. Для каждого ] £ N найдется номер п = п(]) £ М, такой, что

V < ж. (0.7)

V М? { '

Через Ф обозначим последовательность функций

(п(г) = Нп (1т г) + НП (1п | г^,..., 1п | Хр), х£ Ср, п £ N.

Тогда преобразование Фурье - Лапласа Б —> Бх(е—г<х,г>) устанавливает линейный топологический изоморфизм сильно сопряженного пространства СР*Т(П, 2) и индуктивного предела пространств

Ны(Ф) = и^ (Ср ,(п)

Теорема 1.3.2

), к £

Пусть 2 = {Мп = (м(пУ), к £ Жр+}, п £ N — семейство логарифмически

( п)

выпуклых последовательностей положительных чисел, причем М0 = 1, п £ N. Пусть, далее, Нп(х) — выпуклые раздельно радиальные функции на Кр, такие, что Нп(к) = 1пМ(кп), к £ . Предположим, что каждая последовательность удовлетворяет условию (0.2), а все семейство удовлетворяет условию:

Етахы <1 Мг+е

- <М) < ж, Э£ N. (0.8)

(3+1)

к Мк

Через Ф обозначим последовательность функций

(п(х) = Нв (1т г) + К*п (1п | г^,..., 1п | гг,\), г£ Ср, п £ N.

Тогда преобразование Фурье - Лапласа $ —> е<х,х>) устанавливает линейный топологический изоморфизм сильно сопряженного пространства СР*Т(П, Е) и индуктивного предела пространств

н^(ф) = ир (с ,^п)

Результаты, изложенные в первой главе, опубликованы в работах [18]-[20]. Вторая глава посвящена описанию преобразований Лапласа аналитических функционалов.

Для последовательности положительных чисел М = ( Мк)кеър+ через Н(И, М) обозначим линейно нормированное пространство функций , голоморфных в области И и удовлетворяющих оценкам

II/\\ = вир -^ъир\Ик/(г)\ < ж,

kеZ+ Мк геВ

где

Пк т= ИЩ.

Для семейства Е последовательностей Мп = {(М^), к е Ър+}, п е М, в предположении непрерывности вложений Н(И, Мп+1) С Н(И, Мп) через Нрг(П, Е) обозначим проективный предел пространств Н(И, Мп):

Нрг(И, Е) = [)Н (И, Мп).

п

В предположении непрерывности вложений Н(И, Мп) С Н(И, Мп+1) через Нта(И, Е) обозначим индуктивный предел пространств Н(И, Мп):

нш(И, Е) = уН (И, Мп).

п

В первом параграфе второй главы доказаны две подготовительные теоремы.

Теорема 2.1.1.

Пусть логарифмически выпуклые последовательности М = (Мк = ен(кк>)кеЩ, N = (Ик = еkеz+ таковы, что

т

Мк

ке Z+

При этом выпуклая функция v : Rp —> R удовлетворяет условию (0.2) и г>(0) = 0. Тогда, если для некоторой логарифмически выпуклой последовательности M' = (Мк), к £ Z+, выполнено условие

„ maxlsl<9pM'k+s > -—LJ-— < <Х),

k£Z+p Np'+5p-2,k

то замыкание линейной оболочки семейства экспонент Exp = {е<x,z>, z £ Cp} в пространстве Н(D, M) содержит пространство Н(D, M'). Теорема 2.1.2

Пусть M = eh(k\ к £ 1+ — логарифмически последовательность c выпуклой раздельно радиальной функцией h, удовлетворяющей условию (0.2). Если некоторая логарифмически выпуклая последовательность M' = (М'к), к £ Z+, удовлетворяет условию

Е

max|s|<7p+1 K+s

keif Mp2+4p,k

<

то каждая целая функция Г, удовлетворяющая оценке

\Г (г)\ < N (Г) ен°в (*)+ь-*(1п \^I гр\), г £

где Нсп(г) = йирЛ€д Яе (г,Х) — комплексная опорная функция области И, является преобразованием Лапласа некоторого линейного непрерывного функционала Ф на пространстве Н(И, М'), причем

\\Ф\\я*(АМ') < BoN(Г).

Во втором параграфе второй главы доказаны следующие две теоремы. Теорема 2.2.1.

Пусть 2 = {Мп = (М(п)), к £ Z+, п £ — семейство логарифмически

( п)

выпуклых последовательностей положительных чисел, причем М0 = 1, п £ N. Пусть, далее, Нп(х) — выпуклые раздельно радиальные функции на Кр, такие, что Нп(к) = 1пМ(кп\ к £ Z+. Предположим, что каждая последовательность удовлетворяет условию

. Нп(х) — \\х\\(1п \\х\\ + 1)

——- , ,, -- > —ж, (0.2)

х€М+ \\Х\\

а все семейство удовлетворяет условию

Аз)

Е < ж, ¡е N. (0.5)

к мк!+1)

Через Ф обозначим последовательность функций

^п(г) = НВ(г) + ВДп \..., 1п \гр\), ге £р, п е N.

Тогда преобразование Лапласа $ —> е<х,г>) устанавливает линейный топологический изоморфизм сильно сопряженного пространства Н*пА(И, Е) на пространство Нрг(Ф). Теорема 2.2.2

Пусть Е = {Мп = (Мкп)), к е Ърр, п е М}, — семейство логарифмически

(п)

выпуклых последовательностей положительных чисел, причем М0 = 1, п е N. Пусть, далее, Нп(х) — выпуклые раздельно радиальные функции на М.р, такие, что К(к) = 1пМ(кп), к е Zр. Предположим, что каждая последовательность удовлетворяет условию (0.2), а все семейство удовлетворяет условию:

Е тахн^М^1 < ж, зе N. (0.8)

Г М? '' ( )

Через Ф обозначим последовательность функций

рт(г) = НВ (г) + кп(1п \ г1\,..., 1п \ гр), ге Ср, п е N.

Тогда преобразование Лапласа $ —> 3\(е<х,г>) устанавливает линейный топологический изоморфизм сильно сопряженного пространства Н*Т(Р, Е) и индуктивного предела Н[п^(Ф) пространств Р(Ср,^п):

Нш(Ф) = УР (с ,^п)

Результаты второй главы опубликованы в работах [20]-[22].

Глава 1

Преобразование Фурье-Лапласа функционалов на подпространствах бесконечно дифференцируемых функций

Несложно убедиться в том, что семейство экспонент Exp = {е-г<x,z>, z £ Cp}, будет лежать в пространстве С(D, M) только для тех последовательностей M, для которых

г lnMn ,1П1,

= (1.0.1)

Это условие мы будем считать всегда выполненным, поэтому преобразование Фурье - Лапласа функционалов на этих пространствах корректно определено.

В этой главе будет дано решение задачи описания преобразования Фурье -Лапласа функционалов на индуктивном и проективном пределах пространств С(D, ) при некоторых условиях на семейство последовательностей .

В первом параграфе будут приведены необходимые сведения и используемые обозначения, во втором — доказаны некоторые вспомогательные факты. Основные теоремы (теорема 1.3.1 и 1.3.2) будут доказаны в третьем параграфе.

1.1. Предварительные сведения и обозначения

Будем пользоваться следующими обозначениями. Для векторов z = (z1,..., zp) через ||z|| будем обозначать эвклидову норму, а через jzj — длину |z1\ + ... + |zp\, R+ = {(х]^, ...,xp) £ Rp, Xj > 0}, аналогичный смысл имеет i+. Для z,w £ Cp < z,w >= z1w1 + ...zpwp и xr = хЦ1 ...xrpp, если x,r £ R+. Для n = (n1, ...,np) £ положим n! = n1!...np!.

Через Н(Q) будем обозначать пространство функций, голоморфных в области Q с Cp. В пространстве Н(Q) рассматривается топология равномерной сходимости на компактах из D.

1) Нам потребуются некоторые сведения из теории выпуклых множеств, функций и последовательностей. Все эти определения и утверждения можно найти в монографии [23].

Множество М с Rp называется выпуклым, если оно с каждой парой своих точек содержит и отрезок, соединяющий эти точки. Функция f : Rp —> RU{+ж} называется выпуклой, если ее надграфик {(х, у) £ Rp хR : у > f(x)} — выпуклое множество в Rp+1. Таким образом, выпуклая функция определена на всем пространстве Rp, но может принимать значение При этом множество, на котором выпуклая функция принимает конечные значения, так называемое эффективное множество

domf = {x £ Rp : f(x) < ж},

является выпуклым множеством. В относительной внутренности своего эффективного множества выпуклая функция будет непрерывной (см. [23], стр. 99). В частности, выпуклая функция, конечная во всем пространстве, будет непрерывной функцией.

Опорной функцией выпуклого множества D с Rp называется функция

HD(у) = sup{(x, у) : x £ D}, у£ Rp.

Если множество D ограниченное, то функция Hd(у) конечна на всем пространстве, выпукла и однородна, то есть HD (tx) = tHD (x), x £ Rp, t £ R+. Кроме того, в этом случае опорная функция липшицева:

\Hd(ш) - Hd(У2)\ < sup ||x|| • ||ш - у2Ц, Ш,У2 £ Wp. (1.1.1)

x£D

В самом деле, для любого £ > 0 найдется xo £ D такой, что

hd Ы < (V1,xo) + £, и по определению - HD(у2) < - (y2,x0), значит,

Hd(ш) - Hd(У2) < (У1 - y2,xo) +£ < ||xo||У1 - у2Ц + е.

Остается устремить к нулю и провести эти же рассуждения, поменяв местами Уъ У2.

Для ограниченной выпуклой области D с Cp опорную функцию удобнее записывать в комплексных числах: имея в виду отождествление (z1,..., zp) £ Cp <—> (Re Z1,..., Re Zp, Im zh..., Im Zp) £ R2p

HD (z) = sup Re (X,z),X e Cp,

XeD

где Л = (Xi, ...,XP).

Во второй главе употребляется опорная функция в комплексном смысле:

HD (z) = sup Re (Л, z) ,z e Cp.

XeD

Связь между опорными функциями в комплексном и вещественном смыслах выражается соотношением

HD(z) = hdc(z), ze Cp,

где Dc = {(Л1,..., Xp), X e D} — комплексно сопряженное множество. Если множество D С W — ограниченная выпуклая область, то

D = П {x e W : (ж, у) <hd(у)}.

yeRp

Если D — ограниченная выпуклая область в C, то

D = р| {z e Cp : Re (z,X) < hd(Л)}.

XeCp

Функция

f(y) = sup ((x, y)-f(x)), ye W,

xedomf

называется сопряженной по Юнгу функцией к /. Известно, что если f — выпуклая, то

f(x) = f(x), x e W,

и операция сопряжения переворачивает неравенства: если f\, f2 выпуклые функции и fi(x) > f2(x), x e W, то fi(y) < f2(y), у e W ([23], стр. 121).

Для выпуклых функций имеет место принцип максимума (см. [23], стр. 356): если функция f нерпрерывна на выпуклой области и выпукла, то она достигает свое максимальное значение на границе области.

2) Приводимые ниже сведения о субгармонических и плюрисубгармониче-ских функциях можно найти в монографиях [2], [24], [25], [26].

Пусть С С С — область. Полунепрерывная сверху функция и : С —> [-ж; ж) называется субгармонической, если для любой точки ^ £ С и для всех достаточно малых г > 0 выполяется неравенство

1 Г277 и(г) < — и(х + гег(р

]о

Если С С С, то полунепрерывная сверху функция / : С —> [-ж; ж) называется плюрисубгармонической, если для всех а,Ь £ С функция и(г) = /(аг + Ь) является субгармонической в области {г : аг + Ь £ С}. Например, если д — аналитическая функция в области С, то каждая из функций 1п |д|, Яе д, Яе д, 1д1а, (а > 0) является плюрисубгармонической в С. Мы будем пользоваться тем, что если функции иа(х) плюрисубгармоничны в области С и функция

и(г) = 8ириа(;?)

а

полунепрерывна сверху в G, то u(z) плюрисубгаромнична в G. Если функция u(z) плюрисубгармонична на С, то функции

М(г) = sup u(z), г £ R+,

1 Zihr 1,...,| Zp^r р

1

Т (г) = ... и(г 1 еггрхГре^ )й^р1...(крр, г £ М+,

являются выпуклыми относительно (1пг\,..., 1пгр), то есть функции М(ех1,..., еХр), Т(еХ1,..., еХр) выпуклы на Кр.

3) Приведем еще некоторые базовые сведения из теории локально выпуклых простанств. Все эти определения и утверждения можно найти в монографиях [27] и [28].

Линейным топологическим пространством называется линейное пространство, оснащенное топологией, в которой линейные операции сложения и умножения на число являются непрерывными отображениями.

Линейное топологическое пространство, в котором есть базис окрестностей нуля из выпуклых окрестностей, называется локально выпуклым пространством.

Пусть Е — некоторое линейное пространство и /а — линейные отображения из ^ в некоторые линейно выпуклые топологические пространства Еа,

а е А, причем

П ^-1)(0) =

аеА

Тогда в Е существует слабейшая топология, в которой все отображения /а непрерывны. Пространство Е, наделенное этой топологией, является локально выпуклым топологическим пространством и называется проективным пределом пространств Еа относительно отображений /а. В диссертации рассматриваются топологии проективного предела в пересечении Е = Р|п Еп линейных нормированных пространств Еп, Епр1 С Еп, п е N, относительно отображений вложения Е —> Еп.

Пусть Еа, а е А, — некоторые линейно выпуклые топологические пространства и Е — некоторое линейное пространство, /а — линейные отображения из Еа в Е , причем

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Постовалова Анастасия Владимировна, 2025 год

Список литературы

1. Исаев, К. П. Представление функций рядами экспонент. / К.П. Исаев : дис. док. физ-мат. наук: 01.01.01. — Уфа, 2023. — 276 с.

2. Ронкин, Л. И. Введение в теорию целых функций многих переменных. / Л.И. Ронкин — М: Изд-во "Наука". Гл.редакция физ.-мат. лит. — 1971. — 430 с.

3. Левин, Б. Я. Распределение корней целых функций / Б. Я. Левин — М.: Гостехиздат. — 1956. — 632 с.

4. Plancherel, М. Fonctions entières et intégrales de Fourier multiples / М. Plancherel , G. Polya // Commentarii Mathematici Helvetici. —1937. — Volume 9. — P. 224-248.

5. Исаев, К.П. Преобразования Лапласа функционалов на пространствах Бергмана /К.П. Исаев, Р.С. Юлмухаметов // Известия Российской академии наук. Серия математическая. — 2004. — 68:1. — С. 5-42.

6. Hedenmalm, H. The dual of a Bergman space on simply connected domains / H. Hedenmalm // Journal d'Analyse Mathematique. — 2002. — 8:1. — С. 311-335.

7. Варзиев, В. А. О сопряженном к пространству аналитических функций полиномиального роста вблизи границы / В. А. Варзиев, С. Н. Мелихов // Владикавк. матем. журн. — 2008. — 10:4. — C. 17-22.

8. Исаев, К. П. Представляющие системы экспонент в пространствах аналитических функций /К.П. Исаев // Итоги науки и техники. Серия «Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры». — 2019. — № 161. — C. 3-64.

9. Исаев, К.П. Представляющие системы экспонент в проективных пределах весовых подпространств A(D) / К.П.Исаев // Изв. вузов. Матем. — 2019. — № 1. — C. 29-41.

10. Юлмухаметов, Р.С. Квазианалитические классы функций в выпуклых областях / Р.С. Юлмухаметов // Матем. сб. — 1986. — 130:4. — C. 500-519.

11. Musin, I.Kh. Spaces of functions holomorphic in convex bounded domains of and smooth up to the boundary / I.Kh. Musin // Advances in Mathematics Research, Nova Science Publishers, New York. — 2002. — P. 63-74.

12. Musin, Il'dar Kh. On the Fourier - Laplace transform of functionals on a space of infinitely differentiable functions on a convex compact / Il'dar Kh. Musin //J. Math. Anal. Appl. — 2022. — 505:2 — P. 15.

13. Мусин, И.Х. О пространстве функций, голоморфных в ограниченной выпуклой области и гладких вплоть до границы, и его сопряженном / И.Х. Мусин // Владикавк. матем. журн. — 2020. — 122:3. — C. 100-111.

14. Трунов, К.В. Квазианалитические классы Карлемана на ограниченных областях / К.В. Трунов, Р.С. Юлмухаметов // Алгебра и анализ. — 2008. — 20:2. —C. 178-217.

15. Абанин, А. В. Аналитическое описание сопряженных с пространствами голоморфных функций заданного роста в областях Каратеодори / А.В. Абанин, Т.М. Андреева. // Матем. заметки. — 2018. — 104:3. — C. 323-335.

16. Abanin, A.V. Analytic implementation of the duals of some spaces of infinitely differentiable functions / A.V. Abanin, I.A. Filip'ev. // Sib. Mat. Zh. — 2006. — 47(3). — P. 485-500.

17. Mandelbrojt S., Series adherentes, regularisation des suites, applications / S. Mandelbrojt // Paris, Gauthier-Villars. — 1952. — 291 p.

18. Lutsenko, A. V. Description of the Duals of Subspaces of Infinitely Differentiable Functions / A.V. Lutsenko, I. Kh. Musin, R. S. Yulmukhametov // Journal of Mathematical Sciences. — 279:4. — 2024. — C. 478-492.

19. Луценко, А. В. О классе периодических функций в Rn / А.В. Луценко, И. Х. Мусин, Р. С. Юлмухаметов // Уфимск. матем. журн. — 14:4. — 2022. — С. 73-79.

20. Postovalova, A.V. Descriptions of spaces strongly dual to inductive limits of subspaces of H(D) / A.V. Postovalova // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2024. — Volume 45. — Issue 6. — P. 2759 - 2769.

21. Луценко, А. В. О пространствах Гельфанда-Шилова / И. Х. Мусин, Р. С. Юлмухаметов // Уфимск. матем. журн. — 15:3. — 2023. — C. 91-99.

22. Луценко, А. В. О пространстве голоморфных функций с граничной гладкостью и его сопряженном / И. Х. Мусин // Уфимск. матем. журн. — 13:3. — 2021. — C. 82-96.

23. Рокафеллар, Р. Выпуклый анализ. / Р. Рокафеллар // М.: Изд-во "Мир", 1973. — 465 с.

24. Хейман, У. Субгармонические функции 1 том. / У. Хейман, П. Кеннеди — М. : Мир, 1980. — 231 с.

25. Шабат, Б. В. Введение в комплексный анализ. Часть I. / Б.В. Шабат. — М.: Изд-во "Наука", Главная редакция физ.- мат. литературы, 1976. — 400 с.

26. Шабат, Б. В. Введение в комплексный анализ. Часть II / Б.В. Шабат. — М.: Изд-во "Наука", Главная редакция физ.- мат. литературы, 1976. — 320 с.

27. Робертсон, А. П. Топологические векторные пространства / А.П. Роберт-сон, В.Дж. Робертосон. — М.: Изд-во "Мир". — 1967. — 257 с.

28. Себаштьян-и-Силва, Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях. / Ж. Себаштьян-и-Силва // Математика. — 1957. —№ 1. — С.60-77.

29. Taylor, B. A. Analytically uniform spaces of infinitely differentiable functions. / В.А. Taylor // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1971. — Vol.24 — I.1 — С. 39-51.

30. Musin, I. Kh. On a space of smooth functions on a convex unbounded set in Rn admitting holomorphic extension in Cn / I.Kh. Musin, P. V. Yakovleva // Central European Journal of Mathematics. — 10:2 — 2012. — C. 665-692.

31. Хёрмандер, Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т.1. Теория распределений и анализ Фурье. / Л. Хёрмандер — М.: Изд-во "Мир". — 1986. — 463 с.

32. Hermander, L. An Introduction to Complex Analysis in Several Variables / L.Hermander — D. Van Nostrand. — 1973. — 213 p.