Приближение дифференцируемых в смысле Вейля функций и значение поперечников некоторых функциональных классов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Темурбекова, София Давронбековна

• Темурбекова, София Давронбековна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Темурбекова, София Давронбековна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава I. Наилучшее полиномиальное приближение дифференцируемых периодических функций из 1/2

§1.1. Обозначения и предварительные факты, используемые в дальнейшем

§1.2. Наилучшее полиномиальное приближение функций, дифференцируемых в смысле Вейля

§1.3. Неравенство Колмогорова для дробных производных и некоторые его применения

§1.4. Вычисление верхних гранов наилучших приближений тригонометрическими полиномами некоторых классов функций в пространстве Ь 2

Глава II. Точные значения п-поперечников некоторых классов функций в пространстве 1/2

§2.1. Определение п-поперечников и классов функций

§2.2. Об отыскании наименьшей константы в обобщённом неравенстве Джексона - Стечкина

§2.3. Решение задачи С.Б.Стечкина для класса функций \¥ка)Н"т

§2.4. Точные значения п-поперечников классов функции

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближение дифференцируемых в смысле Вейля функций и значение поперечников некоторых функциональных классов»

Введение

Теория приближения функций - одна из наиболее интенсивно развивающихся областей современной математики. Особое место в теории приближения занимают экстремальные задачи оптимизационного содержания. Наиболее существенные результаты окончательного характера в этом направлении получены в задачах наилучшего полиномиального приближения дифференцируемых периодических функций.

Хорошо известно, что основным объектом теории приближения функций являются задачи, связанные с необходимостью заменить сложные функции линейными суммами конечного числа более простых функций, так чтобы возникающая при этом погрешность была наименьшей. Если о функции нам известны лишь некоторые общие свойства, то целесообразно рассматривать задачу приближения класса таких функций. Как правило, при приближении классов функций предпочтение отдавалось алгебраическим или тригономет-. рическим полиномам.

В 1936 году А.Н.Колмогоров сформулировал задачу о поперечниках, в которой впервые выбор аппарата приближения был поставлен в зависимость от цели приближения. С этого времени задача приближения классов функций подвергалась изучению с новой точки зрения. Следует отметить, что вопро-; сы наилучшего равномерного приближения периодических дифференцируемых функций рассматривались А.Н.Колмогоровым [18], Ж.Фаваром [48,49], Н.И.Ахиезером и М.Г.Крейном [3], С.М.Никольским [28,29], С.Б.Стечкиным [34], Н.П.Корнейчуком [20,21], Б.Надом [27], А.В.Ефимовым [16], Н.И.Черных [51, 52], В.П.Моторным [26], Л.В.Тайковым [37, 39], В.И.Ивановым [17], С.Б.Вакарчуком [6-11], М.Ш.Шабозовым [54,55] и многими другими.

Вопросами наилучшего равномерного приближения периодических дифференцируемых в смысле Вейля функций в разное время занимались

B.^у [27], В.К.Дзядык [13, 14], С.Б.Стечкин [34], Сунь Юн-шен [36],

C.А.Теляковский [40], В.Н.Малоземов [24] и другие.

В данной работе рассматриваются экстремальные задачи на конкретных классах функций периодических дифференцируемых в смысле Вейля функ-

ций, принадлежащих гильбертову пространству -= ^[0,27т]. Специфика гильбертова пространства обеспечивает возможность получить более полные результаты по сравнению с другими банаховыми пространствами.

Приводим краткое содержание диссертационной работы.

В первом параграфе первой главы приводятся необходимые обозначения и определения, нужные для дальнейшего, а также излагаются история вопроса и известные результаты. Всюду далее, мы придерживаемся следующими обозначениями: М - множество всех действительных чисел; М+ - множество положительных чисел, N - множество натуральных чисел; Z+ := N и {0}.

Через Ьр := Ьр[0, 27т], 1 < р < оо обозначим множество 27Г-периодичес-ких суммируемых в р-й степени функций / с конечной нормой

:= ||/|Ьр[0,2тг] = <

( 2тг \ VP

— J \f(x)\p dx J < со, если 1 < р < оо \ о /

^ ess sup {|/(ж)| : 0 < х < 27т} < оо, если р — оо.

Через ¿2 := 27т] обозначим множество 27г-периодических суммируемых с квадратом в смысле Лебега действительных функций f(x) с конечной нормой

/ 2тг \ 1/2

l2

11 I'WI

2 dx I < оо.

я" ^ \ 0

Под L^ :— lif^O, 27т] (г G Z = Ь2) будем понимать множество

27г-периодических функций / € Ь2, у которых производные (г — 1)-го порядка /(г-1) (г 6 N) абсолютно непрерывны, а производные r-го порядка /^ принадлежат пространству Ь2. Множество всевозможных тригонометри-

п-1

ческих полиномов Tn-i(x) = ^ + ^^ cos кх + /3^ sin /err) порядка п — 1

fc=0

обозначим Т2п~\- Известно, что для произвольной функции / € L2, имеющей разложение в ряд Фурье

/(®) - ^ + ¿ Ы/) cos /ся + Ь*(/) sin кх), (0.0.1)

Л=1

величина её наилучшего приближения в метрике Ь2 подпространством 72n-i равна

En-i(f) inf{||/ - T„_i|| : Tn_x € T2n-i} =

{00 ^ 1/2

k=n J

где

Sn-i(f, x) := —p- + ¿ (ajfc(/) cos kx + bfc(/) sin fea;)

fc=i

- п-я частная сумма ряда Фурье функции / е Ь2, — «К/) +

В соответствии с введёнными обозначениями, всюду далее под Ь^ (о; 6 М+) будем понимать множество функций / е Ь2, у которых существует производная в смысле Вейля /(а) € Ь2, определяемая равенством [40]

оо

~ $>а 003 (кх + т)+ Ък{1) 8[п (кх + т)) • (0-°-2)

к=1

Пусть И7^ := 27г] - класс непрерывных 27г-периодических функ-

ций /(х), имеющих ск-ю производную в смысле Вейля, удовлетворяющую условию ебзвир {1/^(^)1 : 0 < я; < 27г} < 1, а ЦГ^ (о: > 0) - класс непрерывных 27г-периодических функций /(ж), для которых еззвир ||/(а)(^)| : 0 < х < 2тг| < 1, где

оо

f(x) ~ X] (_а*(Л sin кх + Ь*(/) C0S кх)

к—1

- функция, тригонометрически сопряжённая с f(x).

Хорошо известно [34], что функция f(x) 6 W^ в том и только том

случае, если она представляется в виде

2тг

f(x) = Ц + \ f Ka(t- х)фЩ

где

оо

Ka(t)= X к~а COS (fc*-^),

а функция cp(t) удовлетворяет условиям

2тг

ess sup {|y>(i)| : 0 < t < 2тг} < 1, J ip(t)dt = 0.

о

Аналогичным образом будем говорить, что f{x) принадлежит классу если она представляется в виде

2тг

/(*) = 1J к^ ~ *Mt)dt,

где

оо

Ka{t) = Y,k~asin (fci-^),

fc=i

2тг

ess sup : 0 < i < 2тг} < 1, J (p(t)dt = 0.

о

Задача о нахождение точного значения величины

Sn-i{W^)c[oM = sup {д„_1(/)с : / G Ж<а>} , (0.0.3)

где

£»-i(/)c = inf {||/ - Tn^\\c[QM : Tn_! € Ъп-1}

впервые рассматривалась Ж.Фаваром в 1936 г. при целом а £ N. Ж.Фавар [48,49] доказал, что

Sn-i(W^)c[oM = sup {\\f\\c : / G W(°\ f ± Tn_!} = ^ (n = 1,2,3, ...,Q! = 1,2,3,...), где / _L Tn_i означает, что

2тг

ИЙК» (^ = 0,1,2,...^-!),

о

а константа Ка определяется равенством

- (_1).

причём при целых а нетрудно подсчитать, что

/Со = 1, Ki = тг/2, /С2 = тг2/8, /Сз = 7г3/24, ...

1 = /С0 < К2 < ■ • ■ < 4/тг < • • • /С3 < /Сх = тг/2.

Ж.Фаваром [49] и независимо от него Н.И.Ахиезером и М.Г.Крейном [3] было также найдено точное значение величины

CiW(a))C[0>] = sup : / е iy(a)} (0.0.4)

при целом а. Эти исследования были продолжены Б.Надем [27], С.М.Никольским [28,29], В.К.Дзядыком [13,14], С.Б.Стечкиным [33-35], Сунь Юн-шеном [36], С.А.Теляковским [40], В.Н.Молоземовым [24,25] и др. Первый результат, относящийся к задаче (0.0.3) при дробном а (0 < а < 1) принадлежит В.К.Дзядыку [13], который доказал, что если / 6 W^ (0 < а < 1), то

Sn-i{W^)cm = sup {\\f\\c[0M : / € f J_ Tn_x] = - -En^(Ka)L

где

2тг

En-i(Ka)L = inf [ IKa(t) - Tn_i(i)|di,

а константа

со л . 7Г а \—v I /Са = sm —- > 7---г—— (0 < а < 1).

Объединяя оба случая (0.0.3) и (0.0.4), С.Б.Стечкин [34] ввел в рассмотрение

класс W^r\a) всех непрерывных периодических функций /, представимых в виде

2тг

f(x) = Ц + \ / K(t- x)<p(t)dt,

где

оо

K(t) = Y, k~r cos (kt -к=1

г > 0, о; - любое вещественное число, a (p(t) - существенно ограниченная измеримая функция, удовлетворяющая тем же самым условиям:

2тг

esssup{|^(t)| : 0 < t < 2тг} < 1, J ip(t)dt = 0.

о

Легко видеть, что W^r\r) = a W^r\r + 1) = W^.

Рассматривая случай 0<r<a<2 — г, где 0 < г < 1, С.Б.Стечкин доказал, что

,2тг] — SUp |£?n-l(/)c[0,27r]

= sup {\\f\\c[0M ■ f G И^(а), / _L Tn_i} = =

4 ^ (n = 1,2,3,...; 0 < r < 1, 0<r<a<2-r),

7Г пг

где

oo

_ . ira v-^ 1

/Lr a = sm —- • > 7--

r'a 9 Г97У -U

2 ^(2^ + 1)^1-

Некоторые точные результаты наилучших приближений дифференцируемых в смысле Вейля периодических функций тригонометрическими полиномами Тп-1 е 72п-1 в пространстве ¿2 получены М.Г.Есмаганбетовым [15]. Воспользуясь соотношением (0.0.2), при помощи равенства Парсеваля в силу

свойств ортогональности тригонометрической системы легко получить равенство [15]

= ш£{||/<а>-Гп_1|| :ТП_! еГ2п_1} =

/00 \ 1/2 = 11/(а) - ¿и(/<а))|| = **т£(/) , . (0.0.5)

\Л=п /

где а € и р|(/) = к > п. При изучении экстремальных задач

теории полиномиальной аппроксимации функций / £ Ь2 на протяжении всей диссертации результат (0.0.5) является нашим основным инструментом.

Всюду далее для характеризации структурных свойств функции / £ Ь2, мы пользуемся понятием модуля непрерывности порядка т. Равенством

(0.0.6)

где

т

т

/м = [к)Пх + (т~ к)н)

- конечная разность га-го порядка функции / в точке х с шагом к, определим модуль непрерывности порядка т функции /6 Ь2. Воспользуясь разложением (0.0.1) и равенством Парсеваля, легко доказать, что для нормы разности порядка т справедливо равенство

771

к=0

"" / 7,7 \ ¿771 СЮ

£=1 ^ ' /г=1

Отсюда, учитывая определение (0.0.6) модуля непрерывности, получаем

^(/;г) = зир{||д;гд.)||2: |А|<*} =

{оо

5^(/)(l-cosfc/0m: \h\<t k=1

Во втором параграфе первой главы решена задача о нахождении точных неравенств типа Джексона - Стечкина между наилучшими приближениями периодических дифференцируемых в смысле Вейля функций тригонометрическими полиномами посредством модулей непрерывности m-го порядка Um{f(a)-,t) в пространстве Гильберта L2 и даны некоторые её приложения.

Напомним, что под неравенствами Джексона - Стечкина в пространстве L2 понимают соотношения вида

Я„_1(/) < Хп-Гшт (/М 1) , / е 4r), г Е Z+, 7 > О,

в которых погрешность приближения индивидуальной функции / оценивается через модуль непрерывности га-го порядка самой приближаемой функции или некоторой её производной, а константа х зависит от г и га, но не зависит от п и функции /. Исследуя задачу отыскания точных значений константы X в неравенстве Джексона - Стечкина, Н.И.Черных [51] отметил, что для характеристики величины наилучшего приближения En-i(f) более естественным является не джексоновский функционал 7г/п)2, а функционал

г ./» 1 1/2

<Ы/(Г); т/п) = r~J 42„(/!'V) Sin nidi I ,

поскольку для этого функционала выполняется соотношение

Г ф }1/2

Фш(/(г); тг/п) = | | J i) siimfdi I <

Г тг/п ^

< |^-^(/(г);тг/п). J sin ntdt I ' =

= {f • ^(/W^/n)= Wm(/W; тг/п).

Таким образом, функционал Фт(/(г); тг/n) предпочтительнее джексонов-ского функционала 7г/п). Поэтому с целью оптимизации констант в

неравенствах Джексона - Стечкина, как правило, вводят в рассмотрение различные аппроксимационные характеристики, содержащие усреднённые значения с некоторым весом модулей непрерывности га-го порядка. Докажем

2

одно утверждение, в котором появление весовой функции (p(t) := ~ro(h — t),

hz

О < t < h в усреднённом значении модуля непрерывности га-го порядка, от производной является неизбежным.

Теорема 1.2.1. Пусть га, п £ N, а £ М+. Тогда для любого числа h, удовлетворяющего условию 0 < h < 7г/п, справедливо равенство

f 0\ —mil

_2mnaEn^(f) _ J /2 . n/ix 2 '

sup -—-777 = <1- — Sin —-

P • ^ m/2 1 V nh 2

U%m(fta\t)dt

/

Основным результатом второго параграфа является

Теорема 1.2.2. Пусть а £ М+; га, п £ N; 0 < р < 2; <£>(£) > 0 - произвольная суммируемая на отрезке [0, h] (0 < h < 7г/п) функция. Если при некотором а > 1,1/а < р < 2 при всех t £ [0, h] выполняется дифференциальное неравенство

(ар - 1 )<p(t) - tip (t) > 0, (0.0.7)

то справедливо экстремальное равенство

J ^m(f{a\tMt)dt

Существует функция fo{x) £ fo*\x) const, которая реализует верхнюю грань в (0.0.8).

Отметим, что равенство (0.0.8) в разное время при различных значениях указанных в нём параметров изучали многие математики, наиболее важные результаты которых перечислим в следующем порядке:

1) Н.И.Черных [51]:

а) при то = 1, р = 2, a G N, h = 7г/га, n6N, (p(t) = sin raí;

б) то G N, ra G N, p = 2, a = O, h = тг/(2ra), y>(£) = sin(ní/2) + (sinra£)/2;

2) Л.В.Тайков [37-39]:

а) то = 1, ra G N, r G Z+, p = 2, </?(¿) = 1, 0 < í < тг/(2га);

б) то = 1, ra € N, a: G Z+, p = 1, h = 7r/ra, <p(t) = 1,

в) то, ra G N, r G Z+, p = 2, </?(£) = 1, 0 < t < 7r/ra;

3) A.A. Лигун [23]:

а) то, ra G N, a G Z+, p = 2, y?(í) >0, 0<t</¿,0</i< 7r/ra;

4) H. Айнуллоев [1]: ip(t) = sin7/3¿; 0 < í < /i; 0 < 7 < 2r - 1, a G N, ß > 0, 0 < ßh < тг; p = 2;

4) B.B. Шалаев [57]: = sin raí, то, ra G N, a G Z+, p = 2/то, 0 < í < 7r/ra;

5) X. Юссеф [58]: то = 1, ra G N, a G Z+, p = 2, <¿>(í) = sin(7rí/ü); 0 < ¿ < h\ 0 < h < Tv/n;

6) М.Ш. Шабозов [54]: то, ra G N, a G Z+; 0 < p < 2; <p(t) = 1, 0 < t < h]

0 <h< 7r/ra;

7) М.Ш. Шабозов, О.Ш. Шабозов [53]:

(fi(t) = sin7(7Tt/h), a:, то, ra G N, 1/a < p < 2, 0 < 7 < ap — 1;

8) С.Б. Вакарчук [8]: то, ra G N, a G Z+, p = 2/то, </?(í) = 1, 0 < t < тг/(2ra);

9) М.Г. Есмаганбетов [15]: toGZ+, ra G N, 0 < p < 2, 0 < < тг; 0 < 7 < сф — 1; <p(í) = sin7(/3¿/¿), 0 < t < тг/га;

10) М.Ш. Шабозов, Г.А. Юсупов [55]: а, то, ra G N, 1/а < р < 2, y>(í) > 0, 0<t<h, 0 <h< тг/га.

Из доказанной теоремы 1.2.2 вытекает ряд следствий. Следствие 1.2.1. Пусть ip(t) — sin 1(ßt/h), 0 < ß < ir, 0 < t < h, 0 < h < 7r/ra, 0 < 7 < ар — 1, 1/а < p < 2, a G M+, a: > 1. Тогда имеет место соотношение

sur»

2mnaEn-i(f)

н тр \ -ур

вту^вшТ^Л ) . (0.0.9)

Равенство (0.0.9) ранее другим путём получено в работе [15]. Следствие 1.2.2. Пусть = 1, 0 < £ < /г, 0 < Н < 7т/п, 0 < р < 2, а е М+. Тогда имеет место равенство

7т^^-Ш-Г-Г. <«».»)

^фсвПзЬ

>0

5 частности, из (0.0.10) при к — тг/п следует равенство

^ -у7^Ч/К> *

^фсолЛ Г

/

1 Ш^)

1 /Р

где Г (и) известная гамма-функция Эйлера.

Отметим, что равенство (0.0.10) при целых а ранее получено в работе М.Ш.Шабозова [54]. Указанное равенство при р = 2, а Е N ещё ранее было установлено Н.Айнуллоевым [2].

Следствие 1.2.3. Пусть выполнены все условия следствия 1.2.2. Тогда при р = 1/т справедливо равенство

22тпа-тЕп-1и) ( пК

8иР —Г~ъ-= 1 ~ 008 ^Г

( " 4 У 2

—т

/Ы&тл (у

Из этого равенства, в частности при Н — -к /п, имеем

П«-тЕп-!(/) 1

вир

¡^фсопзЬ

т

4 тп'

I шУги^аь

Следствие 1.2.4. Пусть </?(£) = £, 0<£</г,0</ь< 7г/?г, 2/а < р < 2, а £ а > 2. Тогда справедливо равенство

( пН тр 4

1/р = |/*(вЬ9 Л

вир

2шпа-2 /РЕ^Ц)

Отсюда, в частности полагая /1 = тг/гг, р = 1/ш, т £ М, получаем

вир -у—

(а) / ТГ/71

па~2т

^фсопвь

\

ТП

8 т-

1*а#т(/<«>;*)<й \° /

В третьем параграфе первой главы доказывается неравенство Колмогорова для дробных производных и даются некоторые его применения.

В 1939 г. А.Н.Колмогоров [19] сформулировал и решил следующую задачу: даны положительные числа Ао и Д., требуется найти точную верхнюю грань норм ||/<*>||с(1 < А; < г — 1) по всем функциям / € оо, +оо), для

которых выполняются неравенства

(-00,+оо) < А), ||/(г)||оо := И/^Иад-оо.+оо) < Л-

с := 1Ш1с(

Решение сформулированной задачи даёт

Теорема Колмогорова [19]. Для любой функции / € оо,-Ьоо)

(г = 2, 3,...), у которой норма ||/||с конечна, при каждом к = 1,2,..., г — 1 выполняется неравенство

||/(/с)||с<^||/||^/г||/(г)||^/г,

(0.0.11)

°° ( 1)

Crk = Kr-k/Ki-V*, = ^ Е (2i/ + 1)«и-1

- константы Фавара. Неравенство (0.0.11) обращается в равенство для функции

sin [(2v + l)A(t + a) — 7гг/2] (2i/+ 1)4-1

где о, 7 - любые числа, а А - любое положительное число.

В пространстве оо, +оо) (г = 2,3,...) неулучшаемый аналог нера-

венства (0.0.11) доказал Е.М.Стейн [31]

ll/<fc)|U,[0.2»] < ^ll/ll^ll/WlliV,,

к — 1,2...,г — 1, где Crk определена в (0.0.11), СТ^ = Kr-k/.

В диссертационной работе аналогичное неравенство доказано для произвольной функции / G 1>2*\ а € М+, с точной константой Cak = 1.

Теорема 1.3.1. Пусть функция f 6 a £ Ж+ и пусть 7 > 0 -

произвольное число, удовлетворяющее условию 0 < 7 < а. Тогда имеет место неравенство

||/(7)||2<||/||2"7/a||/(a)|g/a (0.0.12)

Знак равенства здесь имеет место для функций вида f(t) = Ъcosn(t + a). Непосредственным вычислением проверяется, что для функции

f(t) = bcosn(t + a), п е N, a,feel

в (0.0.12) имеет место знак равенства. Из теоремы 1.3.1 вытекает

Следствие 1.3.1. Для произв а, 7 6 справедливо неравенство

Следствие 1.3.1. Для произвольной функции / 6 L^ при 0 < 7 < а,

^n-i(/(7))x2 < (д„_ i(/))i;7/Q (^n-i(/(e)))^. (о.о.1з)

Дадим некоторые применения доказанных неравенств (0.0.12) и (0.0.ГЗ). Так как для функции / € Ь^ (а £ М+) все дробные производные

(О < 7 < а) или < 7 < а) принадлежать согласно неравенству

(0.0.13) пространству 1/2, то представляет несомненный интерес изучение поведения величины Еп- на классе Заметим, что если в неравенстве (0.0.13) число 7 поменять на а — 7, то мы получим

Еп-< (Еп-х(/))1^ №-1(/а))1;7/а (0.0.13)'

С использованием неравенства (0.0.13)' легко доказывается

Теорема 1.3.2. Пусть т,п бн; 0 <р < 2; 0 < /1 < 7г/п;7, а € 0 < 7 < а, <р - неотрицательная суммируемая на отрезке [0, /г] функция, удовлетворяющая условию (0.0.7). Тогда имеют место равенства

а) если, в частности, т, п € м, р = 1/т, 0 < /г < 7г/п, 7, а 6 м+, 0 < 7 < о; и 1р(£) = 1, то

—т

тЕп- 1(/(*-т>) /2 . 2п/Г. Т^-= 1п81П Т I • (аол5)

^сопзг | J

,0

В частности,

п^Еп^а^)

вир -7—-^ = 1;

[ ж/гп х

\° /

еа/ш т, п € М, р = 2/т, 0 < /г < 7г/п, 7, а: € 0 < 7 < о: и

= 1, то

т

зир —-—ш = < —г-:-г } ■ (0.0.16)

, Т (а) I \ \ I па — эт па 1

В частности,

n^En-tif^)

SUP / / X m

/eí4Q) ' 7Г'П * 7r

fW ¿const

J b%m(fia\t)dt

Vo

Равенства (0.0.15) и (0.0.16) из правой части (0.0.14) получаются непосредственным вычислением при р = 1/т, р = 2/га (ra G N) и = 1. Аналогичные результаты имеют место при р = 1/га, р = 2/га (ra G N) и = t.

Следует отметить, что из равенства (0.0.14), в частности, вытекают результаты М.Ш.Шабозова [54], М.Ш.Шабозова и Г.А.Юсупова [55] в случае а = 7 G N и с произвольным неотрицательным суммируемым весом (p(t), 0<t<h(0<h< 7г/п). Равенство (0.0.16) является своеобразным обобщением результата С.Б.Вакарчука [7], ранее доказанном для множества функций / G L^ и значений о: £ N.

Четвёртый завершающий параграф первой главы посвящён вычислению верхних граней наилучших полиномиальных приближений некоторых классов дифференцируемых в смысле Вейля функций в пространстве Ь2.

В экстремальных задачах теории приближения периодических функций / G ь2 с заданным классом функций ШТ = {/} С ь2 часто связывают следующие его характеристики аппроксимации:

Еп^(Ш)Ь2 := Е(Ш- T2n-i) = sup inf ||/ - Tn_x|U2 (0.0.17)

feSftTn-i£/2n-i

— наилучшее приближение класса Ш1 множеством Т2п-\ тригонометрических полиномов Tn_i порядка п — 1;

7n-i(W)l2 = sup {||/||i2 : / G 9Л£} , (0.0.18)

где ffl^ — множество функций / G Ш таких, что

2тг

Помимо величин (0.0.17) и (0.0.18), часто будет полезным отыскание величины

i(3JT)i2 = inf sup ||/ - Af |U2, (0.0.19)

fem

где - совокупность всех линейных операторов, переводящих функции / £ Z/2 в тригонометрические полиномы порядка п — 1.

Из приведённых выше аппроксимационных величин сразу следует, что

En-i{m)L2 < ViMi2 < €n-i№).

Задача состоит в отыскании значения величин (0.0.17) - (0.0.19) для некоторых классов функций, естественно возникающих из утверждения теорем и их следствий в предыдущем параграфе 1.2.

Пусть Ф(£), 0 < t < оо — непрерывная неубывающая положительная функция такая, что Ф(0) = 0. Для г £ Z+, га £ N, 0 < р < 2, а > 0 и 0 < h < 2тг. Введём в рассмотрение следующие классы функций:

1 /р

< 1

И= I / £ 4а) = <(f(a),t)i,dtj

^¿ЦК Ф) = I / е 4а) = ^ I ^(f^t^dtj < Ф(Л) I,

W<&(h) =ife : I tu;rm(f(«\t)L2dt\ < 1 > ,

1/р

Ф) = 1 f £ : ^ ItüJpm(f^\t)L2dt < Ф(Л) I ,

Й&'СО = | / 6 4"' : ( | /(А - «)£,Л

т/2

< 1

Й1в)(Л,Ф)= /еь

(а)

(

т/2

.л».

\ О

Имеет место следующая общая

Теорема 1.4.1 Пусть т Е М, г € а>0и0<р<2. Тогда при любом К Е (0,7г/п] справедливы равенства

Е„-1 (Й/<Г)(Л,Ф))£_ = 7-1 Ф))

2 . пк 2

-т/2

Ф(Л).

Я.-1 (и!«)(/г, Ф))^ = 'Уп—1 Ф))^ =

/ пК т \ ~1/Р

= (Л, Ф)) ^ = 2-п- I (*п |) тР А Ф(Л)

= 2-т-1/Рп-а

( пЛ/ 2

V 0

\

-1/Р

/

— £п-1

п/г

2~тп~а

(пК)<

£ I эт ^ ) сИ

-1/р

Ф(Л) =

= 2-т-2/Рп-а

( пН/2

2

\ -1 /р

\

(пЛ)1

!

/

Из утверждения теоремы 1.4.1 немедленно следует Следствие 1.4.1. При выполнении всех условий теоремы 1.4.1 имеют место равенства

(Ж&•))*-

~тгГа-к1/2р ' ^ 2

1/р

тр + 1

Ф

п/

где Т(и) - гамма-функция Эйлера. Аналогичным образом имеем

{8 ( . пН пН пН\ Л ~т , ч л

(^Гт-уотт]| Ф(Л), о<пЛ<

В частности, при Н = тг/п имеем

3.-1 «!/*>/». Ф))£ =Тп-1«1/га(т/™,Ф))х =

Напомним, что в 1910 году А.Лебегом [22] было впервые дано понятие модуля непрерывности ш для функций / 6 С[0, 27г] и в терминах указанной характеристики гладкости получены оценки коэффициентов Фурье := а и Ь* :=&*(/), /с = 0,1, 2,----

В дальнейшем вопросы вычисления точных верхних граней модулей коэффициентов Фурье на различных классах функций в различных пространствах рассматривались в работах многих математиков (см., например, [32] и приведённую там литературу). Для классов функций, введённых в четвёртом параграфе, данный вопрос также представляет определённый интерес. В самом деле, из утверждения теоремы 1.4.1 сразу получаем

Следствие 1.4.2 Если выполнены все условия теоремы 1-4-1, то для любого п Е N имеют место равенства

вир{М/)|: /€И1в](Л>Ф)}=вир{|Ьп(/)|: /еИ^(Л,Ф)} =

/ nh

2_mn_a ¿/н

-1 /р

тр

dt

(0.0.20)

sup {М/)| : / е W£l(h, Ф)} = sup {|6n(/)| : / Е W^h, Ф)} =

nh тр \ ~1/Р

Ф(Л),

(0.0.21)

где an(f) и bn(f) - соответственно косинус- и синус-коэффициенты Фурье функции /. В частности, при h = 7г/п из (0.0.20) и (0.0.21) вытекают равенства

sup {Ы/)| : / Е И^тг/п, ф)} = sup [\bn(f)\ : / Е И^(тг/п, Ф)} =

л 1 /р

.я.

_ I тр + 1 \ \nJ

= 2~'"п "тг1/(ад <

sup {МЛI = I 6 ^/тЫп,Ф)} = (¿^f* (I)

Вторая глава диссертационной работы посвящена отысканию точных значений n-поперечников некоторых классов функций, принадлежащих Ь2-

В первом параграфе приводятся необходимые определения и факты, нужные нам в последующем изложения дальнейших результатов.

Пусть X - банахово пространство, S - единичный шар в нём, Ш - некоторое выпуклое центрально-симметричное подмножество в X, Ln С X - п-мерное линейное подпространство, Ln С X - подпространство коразмерности n, Л : X —> Ln - линейный непрерывный оператор, отображающий X в Ln, А1- : X —> Ьп - непрерывный оператор линейного проектирования X на подпространство Ьп. Приближение фиксированного множества ШТ С X фиксированным подпространством Ьп этого же пространства X определяется величиной

Е(Ш,Ьп)х вир {ш£ {\\f - (р\\х : / € Шг}.

Величина

£(<Ж, Ьп)х = inf { sup {||/ - Л(/)||х : f еш] : АХ С Ln| (0.0.22)

характеризует наилучшее линейное приближение множества Ш элементами подпространства Ьп С X. Линейный оператор А*, А*Х С Ln, если он суще- ; ствует, реализующий в (0.0.22) точную нижнюю грань, то есть такой, что

£(Ш, Ln)x = sup 11|/ — A*(/)||x : / € Ott}, является наилучшим для Ш1 линейным методом приближения. Величины bn{m, X) = sup {sup {е >0; eS П Ln+1 С ШТ} : Ln+1 С X} ,

dn{m, X) = inf {Е{Ш, Ln) : Ln С X} ,

сГ(ШТ, X) = inf {sup {||/1| х : femnLn}: Ln С X} ,

5n(Wt, X) = inf {S(an, Ln)x : Ln С X} ,

ПП(Ш1, X) = inf {е±{Ш, Ln)x : LncX}

называют соответсвенно бернштейновским, колмогоровским, гельфандов-ским, линейным и проекционным п-поперечниками.

Указанные аппроксимационные величины монотонно убывают по п и между ними в пространстве Ь2 выполняются соотношения [21,30]:

Ъп(Щ Ь2) < Ь2) < с1п{Ш; Ь2) = 6п(Ж; Ь2) = ПП(ШТ; Ь2).

Полученные во втором и четвёртом параграфах первой главы результаты обеспечивают возможность вычисления точных значений всех перечисленных выше п-поперечников для классов функций \vt\h), и И4а](л).

Во втором параграфе второй главы рассматривается задача об отыскании точной константы в обобщённом неравенсве Джексона - Стечкина.

Пусть </?(£) - неотрицательная суммируемая на отрезке [0, к] функция. Через <£>; к)р, где тЕМ, а,р £ М+, 0 < к < ж, обозначим среднее в

р-ой степени значение модуля непрерывности :=

порядка т от дробной производной /(а\х), а £ с неотрицательным суммируемым весом (р(£) :

/к \1/Р / 11 \ ~1/Р

= ¡1 <(/<«>; П . (0.0.23)

При решении экстремальных задач теории аппроксимации в пространстве 1/2, связанных с нахождением точных констант в неравенствах типа Джексона - Стечкина

Еп-!(/) < Хп-аит{&\г1п), (0.0.24)

где £ > 0, / £ т £ N1 = /, а £ многими математиками

в разное время рассматривались различные экстремальные характеристики, способствовавшие уточнению оценок сверху констант х ПРИ о; 6 N и {0} (см., например, [1,2,4-12,15,17,23,38,39,51-55,57,58]) и приведенную там литературу.

В связи с отысканием точной константы в неравенстве Джексона - Стечкина (0.0.24), следуя замечаниям Н.И.Черных [51], отметим, что поскольку функционал (0.0.23) меньше джексоновского функционала £), то есть

/к \1/Р / 11 \ ~1/Р . жт(1{а); <р, ь)р = 11<(/<«>; г)ч>{ь)& I ^#>(*)<й <

/ h \ Vp / h x -i/p

< I <(/<«); Л) У J I J4>{t)db J = wm(/(a)5 Л), (0.0.25)

то, по-видимому, для оценки экстремальных аппроксимационных характеристик, вводимых нами далее, и для выявления структурных величин наилучших полиномиальных приближений En-i(f) периодических функций / в Ь2 функционал (0.0.23) более естественен. Так, например, в работах [1,15,55] в подтверждение гипотезы Черных в качестве веса была рассмотрена функция

<p(t) = sin7 j-t (0 < ß < тг; 0 < h < тг/n, п € N; 0 < 7 < ар - 1; а,р е К+, Í ь

ар > 1) и осреднённая экстремальная характеристика использовалась для получения точных констант в неравенстве Джексона - Стечкина. Различные весовые функции также рассматривались в работах [2,6,8,11,12,23,55,57,58].

Таким образом, осреднённый в р-й степени модуль непрерывности га-го порядка (0.0.23) является наиболее общим функционалом при отыскании точной константы в неравенстве Джексона - Стечкина (0.0.24). Всюду далее в этом параграфе L^ (ra, р, h\ ф) - множество функций / £ L^, для которых выполняется неравенство Wm(f ip, h)p < 1.

Очевидно, что в силу свойства монотонности модуля непрерывности га-го порядка üjm(f^;t) для произвольной суммируемой весовой функции <p(t) >0, 0 < t < h с учётом (0.0.25) из (0.0.23) вытекает неравенство

Сшт(/<*>; К) < Wm(f{(x); <Р, h)p < wm(/<e>; h),

где С = С(т, а,р, h) - положительная константа, которая зависит только от значений указанных параметров в скобке.

Отыскание наименьшей константы в неравенстве Джексона - Стечкина (0.0.24) равносильно задаче вычисления точной верхней грани

(4-U,ъ) = ■ f е 4°} ■ (0.0.26)

Приведём решение задачи о минимизации величины (0.0.26) по всем подпространствам Tn размерности N, то есть вычислим значения инфимума величины (0.0.26) относительно всего множества приближающихся подпространств Tn С Ь2 размерности N :

XN,m,a,p,h £2) = inf I Xm,a,p,h (-^J L2, 7jv) : Tn С L2| =

Положим также

EN-i = sup |||/ — 5j\r-i(/)|| : / е L^\m,p, h\ .

Имеет место следующая

Теорема 2.2.1. Пусть h,p Е R+, а > О, m G NU {0}, п £ N. Тогда имеет место равенство

Xm,n,a,p,h [l{2\ L2) = dn h; L2) •

Теорема 2.2.2 Пусть весовая функция <р, заданная на отрезке [0,/г.], является неотрицательной и непрерывно дифференцируемой. Если при некоторых ск>1, 1/а < р <2 и любых t £ [0, h] выполнено неравенство

(ар - 1 )<p(t) - VW > 0, то при всех т,п £ N и 0 < h < тт/п справедливы равенства

X2n,m,a,p,h (L^i1^) = X2n-l,m,a,p,h L2) = En (L%*\m,p, h\ ф), L2) =

= A2n (4a)(z4a)(m,p, h\ ip)L2^j = A2n-1 (l^ (m, p, h; <p), L^j =

f h V,p ( h

где An(-) - любой из вышеперечисленных п-поперечников bn(•), dn(*), cZn(-), ¿)n(-) и Пп(-). Все п-поперечники реализуются частными суммами Фурье Sn-i (/; t).

Из теоремы 2.2.2 в качестве следствия получаем ряд утверждений.

Следствие 2.2.1. Пусть (p(t) = sin7^£; 0 < 7 < ар — 1, а > 1,

h

1/а < р <2. Тогда имеют место равенства [15]

X2n,m,a,p,h {L2 \ L>2^ = X2n-l,m,a,p,h L^j =

ip(t)dt

= Л2„ И) (р), Ь2) = \2п-1 {ь{2\т,р, /г; </?), Ь2) =

л \ -1/Р

= 2~тп~а | | / ^эш ^

где Ад;(-) - любой из вышеперечисленных к-поперечников.

В третьем параграфе второй главы приведено решение задачи С.Б.Стечкина для класса функций И^¿Н^.

Пусть УУ^Н^ - множество функций / £ Ь^ таких, что для произвольной неотрицательной весовой функции ) (0 <£</&, 0 < К < тт/п) выполнялось условие

¡к \ 1/Р / к \

<р, Л)р = П <(/("); I I <рУ)М <

где - заданный модуль непрерывности, то есть неотрицательная неубывающая полуаддитивная на [0,7г] функция такая, что о;(0) = 0. Очевидно, что существует константа С = С(ш, зависящая от указанных в скобке чисел то, а, р такая, что

Си^м-, К) < шт(1[а); <л н)р < М/Ч- К).

Последнее неравенство лишь указывает на то, что выше введенный класс ^рк^-т отличается от класса

= {/ е 4°: А) < «(*)}

только на некоторое постоянное число, а потому функционал (р, К)р

в экстремальных задачах теории приближений более предпочтительнее для характеристики наилучших приближений функций.

Задача о вычислении поперечников класса И^¿Н^ была поставлена С.Б.Стечкиным на Международной конференции по теории приближений функций в 1975 г. в городе Калуге (см. Труды Международной конференции

по теории приближения функций. Калуга, 24-28 июля 1975 г. Из-во "Наука". М.:Наука, 1977, стр.431).

В следующей теореме приводится решение задачи С.Б.Стечкина для модуля непрерывности üü(f(a\t)2 в Ьр - норме (1/qí < р < 2, а € М+).

Теорема 2.3.1 Пусть т е N, а е М+, 1/а < р < 2, 0 < h < 7г/п, N = 2п — I или N = 2п. Тогда справедливы равенства

-Wi = Л2„ (И^Я-: 12) =

п

J ip(t)dt

\

1/р

\0

Г ( . пЛтр ,4J / V~2J ^

/

Ц/i),

где Лп(-) - любой из п-поперечников Бернштейна Ьп(-), Гельфанда dn(•), Колмогорова dn(•), линейного 6п(-), проекционного Пп(-). Из теоремы 2.3.1 в качестве следствия можно вывести ряд утверждений. Следствие 2.3.1 Пусть tp(t) = sin7 0 < t < h, 0 < h < тг/п, п G N,

I V

а > 1, 1/а < р < 2. Тогда имеют место равенства

Л2п-1 (w^H^ ь2) = х2п ь2) =

í h M'

1

2 mna

-tdt

o

sin — sm' — tdt 2 h

\o

uj{h). (0.0.27)

В частности, из (0.0.27) при h = тг/п, ¡3 = 7Г имеем:

= А2„ «^„Я-;^) =

— W (Ш— ^

- -С/п-1 уУр^/п-Птп) — 2тппа

ж/п

1 /р

sin7 ntdt

о

7Г/п

\0

ntYP • 7 sm — I sm7 пш£

6Ü

о-

/

2тппа

fr(l±i)r(f + 7 + i)

\

1/р

\

Г(7 + 1)Г

'mp + 7 + 1

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Темурбекова, София Давронбековна, 2015 год

Список литературы

1. Айнуллоев Н. О поперечниках дифференцируемых функций в Ь2 // Доклады АН ТаджССР. 1985. Т.28, №6. С.309-313.

2. Айнуллоев Н. Наилучшее приближение некоторых классов дифференцируемых функций в L2 // Применение функционального анализа в теории приближений. Сборник научных трудов: Калининский госуниверситет. 1986. С.3-10.

3. Ахиезер Н.И., Крейн М.Г. О наилучшем приближении тригонометрическими суммами дифференцируемых периодических функций // ДАН СССР. 1937. Т. 15. С.107-112.

4. Вакарчук С.Б. О наилучших полиномиальных приближениях в Ь2 некоторых классов 27г-периодических функций и точных значениях их п-поперечников // Мат. заметки. 2001. Т.70, №3. С.334-345.

5. Vakarchuk S.B. Exact constant in an inequality of Jackson type for L2 approximation on the line and exact values of mean widths of functional classes // East Journal on Approx. 2004. V.10, №1-2, Pp.27-39.

6. Вакарчук С.Б., Щитов А.Н. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 и поперечники некоторых классов функций // Укр. матем. журнал. 2004. Т.56, №11. С. 1458-1466.

7. Вакарчук С.Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников функциональных классов из Ь2 // Мат. заметки. 2005. Т.78, №5. С.792-796.

8. Вакарчук С.Б. Неравенства типа Джексона и поперечники классов функций в Ь2 // Мат. заметки. 2006. Т.80, №1. С.11-19.

9. Vakarchuk S.B., Zabutna V.I. Widths of function classes from L2 and exact constants in Jackson type inequalities // East Journal on Approximation. Bulgarian Academy of Sciences: Sofia. 2008. V.14, №4. P.29-39.

10. Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Точное неравенство типа Джексона-Стеч-кина в L2 и поперечники функциональных классов // Матем. заметки. 2009. Т.86, т. С.328-336.

11. Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Неравенства типа Джексона-Стечкина для специальных модулей непрерывности и поперечники функциональных классов в пространстве Ь2 // Матем. заметки. 2012. Т.92, №4. С.497-514.

12. Васильев С.Н. Точное неравенство Джексона-Стечкина в Ь2 с модулем непрерывности, порожденным произвольным конечноразностным оператором с постоянными коэффициентами // Докл. РАН. 2002. Т.385, №1. С.11-14.

*

13. Дзядык В.К. О наилучшем приближении на классе периодических функций, имеющих ограниченную s-ю производную (0 < s < 1) // Известия АН СССР. Сер. мат. 1953. Т. 17. С. 135-162.

14. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука. 1977, 511 с.

15. Есмаганбетов М.Г. Поперечники классов из Ь2[0, 27т] и минимизация точных констант в неравенствах типа Джексона // Мат. заметки. 1999. Т.65, №6. С.816-820.

16. Ефимов A.B. Приближение непрерывных периодических функций суммами Фурье // Изв. АН СССР, сер. матем. 1960. Т.24, №2. С.243-296.

17. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. Тула: ТулГУ. 1995, 192 с.

18. Kolmogoroff A.N. Uber die besste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionklassen // Ann. of Math. 1936. V.37; P.107-110.

19. Колмогоров A.H. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале // Учёные записки МГУ, сер. матем. 1939. Т.З, вып.30. С.3-13.

20. Корнейчук И.П. Экстремальные задачи теории приближения. - М.: Наука. 1976, 320 с.

21. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. - М.: Наука. 1987, 424 с.

22. Lebesgue Н. Sur la representation trigonometrique äpprochyee des fonctions satisfaisant a une condition de Lipschitz // Bull. S.V.F., 1910. V.38. Pp.184210.

23. Лигун A.A. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве Ь2 // Матем. заметки, 1978. Т.24, №6. С.785-792.

24. Малоземов В.Н. Обобщённое дифференцирование периодических функций // Вестник ЛГУ, 7. Серия матем. 1965, №2. С.164-167.

25. Малоземов В.Н. О совместном приближении функции и её производных алгебраическими многочленами // ДАН СССР. 1966. Т. 170, №4. С.773-775.

26. Моторный В.П. Приближение периодических функций тригонометрическими многочленами в среднем // Мат. заметки. 1974. Т.16, №1. С.15-26.

27. Nagy В. Uber gewisse Extremalfragen bei transformierten trigonometrischen Entwicklungen, I. // Peridischer Fall. Berichte der meth.-phys. Kl. Akad. d. Wiss. zu Leipzig. 1938. V.90, 103-134p.

28. Никольский C.M. Приближение периодических функций тригонометрическими многочленами // Тр. МИАН СССР. 1945. Т.15. С. 1-76.

29. Никольский С.М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв. АН СССР, сер. матем. 1946. Т. 10. С.295-332.

30. Pinkus А. n-Widths in Approximation Theory. - Berlin: Springer-Verlag, Heidelberg, New York, Tokyo. 1985, 252 p.

31. Стейн E.M. (Stein E.M.). Functions of exponential type // Annalen Math. 1957. V.65, №3. P.582-592.

32. Степанец А.И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. - Киев: Наукова думка. 1981, 340 с.

33. Стечкин С.Б. О наилучшем приближении заданных классов функций любыми полиномами // УМЫ,. 1954. Т.9, М. С.133-134.

34. Стечкин С.Б. О наилучшем приближении некоторых классов периодических функций тригонометрическими полиномами // Изв. АН СССР, сер. матем. 1956. Т.20. С.643-648.

35. Стечкин С.Б. О приближении периодических функций суммами Фавара // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1971. Т.109. С.26-34.

36. Сунь Юн-шен. О наилучшем приближении периодических дифференцируемых функций тригонометрическими полномами // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1959. Т.23, №1. С.67-92.

37. Тайков Л.В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывнострг функций из Ь2 // Мат. заметки. 1976. Т.20, №3. С.433-438.

38. Тайков Л.В. Наилучшие приближения дифференцируемых функций в метрике пространства Ь2 // Мат. заметки. 1977. Т.22, №4. С.535-542.

39. Тайков Л.В. Структурные и конструктивные характеристики функций из Ь2 // Мат. заметки. 1979. Т.25, №2. С.217-223.

40. Теляковский С.А. Приближение функций, дифференцируемых в смысле Вейла, суммами Валле-Пуссена // ДАН СССР. 1960. Т.131, №2. С.259-262.

41. Темурбекова С.Д. Минимизация точных констант в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников некоторых классов функций // ДАН РТ. 2012. Т.55, №4. С. 281-285.

42. Темурбекова С.Д. О значениях поперечников функциональных классов в пространстве Ь2 // ДАН РТ. 2012. Т.55, №11. С. 853-858.

43. Темурбекова С.Д. Неравенство типа Джексона-Стечкина для обобщённых модулей непрерывности и поперечники некоторых функциональных классов функций в пространстве Ь2 // ДАН РТ. 2013. Т.56, №4. С. 273278.

44. Темурбекова С.Д. Верхние грани наилучших приближений некоторых классов периодических дифференцируемых в смысле Вейля функций в Ь2 // ДАН РТ. 2014. Т.57, №2. С. 103-108.

45. Темурбекова С.Д. Минимизация точных констант в неравенствах типа Джексона для некоторых классов периодических функций в Ь2 // Материалы международной научной конференции „Современные проблемы математического анализа и теории функций", 29-30 июня 2012. - Душанбе: Изд-во „Дониш". 2012. С. 151-154.

46. Темурбекова С.Д. Точные верхние грани наилучших приближений некоторых классов дифференцируемых в смысле Вейля функций в пространстве ¿2[0, 27г] / Материалы международной научной конференции „Современные проблемы математики и её преподавания" - посвящёниой 20-летию Конституции Республики Таджикистан, 28-29 июня 2014. - Худ-жанд: Изд-во „Меъроч". 2014. С. 75-78.

47. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.: МГУ. 1976, 325 с.

48. Favard J. Application de la formule sommatoire d'Euler a la démonstration de quelques propriétés extrémales des intégrales des function périodiques ou presquepériodiques // Matematisk Tidskrift К 0 benhavn. B.H. 1936. V.4, 81-94p.

49. Favard J. Sur les meilleurs prosedes d'approximation de certains classes de functions par des polynomes trigonometriques // Bull Sci. Math. 1937. V.61, 209-224, 243-256.

50. Hardy G.G., Littlewood J.E., Polya G. Inequality. 2nd ed. Cambridge: Cambridge University Press. 1952. 346 p.

51. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в Ь2 / / Мат. заметки. 1967. Т. 2, №5. С. 513-522.

52. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в Ь2 // Приближение функций в среднем. Сборник работ, Тр. МИАН СССР. 1967. Т.88. С.71-74.

*

53. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. О поперечниках классов периодических функций в пространстве Ь2[0, 2тг] // ДАН РТ. 2006. Т.49, №2. С.111-115.

54. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов периодических дифференцируемых функций в пространстве [0, 2п] // Матем. заметки. 2010. Т.87, №4. С.616-623.

55. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в Ь2 некоторых классов 27г-периодических функций и точные значения их поперечников // Матем. заметки. 2011. Т.90, №5. С.764-775.

56. Шабозов М.Ш., Темурбекова С.Д. Значения поперечников классов функций из Ь2[0,2-7г] и минимизация точных констант в неравенствах типа Джексона // Известия ТулГУ. 2012. Вып.З. С. 60-68.

57. Шалаев В.В. О поперечниках в Ь2 классов дифференцируемых функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков // Укр.

. матем. журнал. 1991. Т.43, №1. С.125-129.

58. Юссеф X. О наилучших приближениях функций и значениях поперечников классов функций в Ь2 // Применение функционального анализа в теории приближений. Сб. научн. трудов. Калининский гос. ун-т, Калинин. 1988. С.100-114.

/

© Г)