Приближенный синтез логико-динамических систем на основе необходимых и достаточных условий оптимальности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Пегачкова, Елена Александровна

• Пегачкова, Елена Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пегачкова, Елена Александровна

Введение.

1. Синтез оптимального управления движением спутника на основе необходимых условий оптимальности логико-динамических систем.

1.1. Необходимые условия оптимальности логико-динамических систем.

1.1.1. Постановка задачи.

1.1.2. Необходимые условия оптимальности.

1.1.3. Алгоритм применения необходимых условий оптимальности ЛДС.

1.2. Активная стабилизация спутника с учетом неэффективных затрат топлива.

1.2.1. Постановка задачи в классе непрерывных систем.

1.2.2. Применение принципа максимума. Результаты расчетов.

1.2.3. Постановка задачи в классе ЛДС.

1.2.4. Применение необходимых условий оптимальности ЛДС. Результаты расчетов.

1.3. Вывод спутника на геостационарную орбиту с учетом неэффективных затрат топлива.

1.3.1. Постановка задачи в классе непрерывных систем.

1.3.2. Применение принципа максимума.

1.3.3. Методика приближенного решения задачи.

1.3.4. Результаты приближенного решения задачи для непрерывной системы.

1.3.5 Постановка задачи в классе ЛДС.

1.3.6. Применение необходимых условий оптимальности ЛДС.

1.3.7. Результаты приближенного решения задачи для ЛДС.

1.4. Выводы.

2. Синтез оптимального управления линейными ЛДС с квадратичным функционалом качества.

2.1. Постановки задач.

2.1.1. Задача синтеза оптимального программного управления.

2.1.2. Оптимальные процессы с мгновенными многократными переключениями логической части ЛДС.

2.1.3. Задача синтеза оптимального позиционного управления.

2.2. Достаточные условия оптимальности.

2.3. Алгоритм синтеза субоптимального управления.

2.4. Пример.

2.5. Выводы.

3. Синтез оптимальных систем автоматного типа.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Синтез оптимальной позиционной конструкции системы.

3.3. Алгоритм синтеза субоптимальной позиционной конструкции системы.

3.4. Синтез оптимальной системы с квадратичным критерием качества.

3.5. Пример.

3.6. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближенный синтез логико-динамических систем на основе необходимых и достаточных условий оптимальности»

Математическая теория оптимального управления начинает свое развитие в начале 50-х годов 20 века благодаря появлению практических задач, для которых классические методы вариационного исчисления были неприменимы. Особенно много таких задач было и остается в области авиационной и космической техники. При создании систем управления (СУ) летательными аппаратами (ЛА) исследуются возможности реализации наилучшего (оптимального) в том или ином смысле управления движением. Каждый этап полета современных ЛА поддерживается системами автоматизированного управления, либо осуществляется в автоматическом режиме. Качество управления оценивается различными критериями, выражающими разнообразные и многочисленные требования к функционированию СУ. Например, требования безопасности, экономичности, точности, быстродействия и т.п. При этом технические возможности и ресурсы используемых устройств и механизмов не беспредельны, а условия полета ограничены. Как правило, ограничения точно указаны в технических характеристиках и правилах эксплуатации. Примерами могут служить ограничения тяги двигателя, отклонения воздушных рулей, углов атаки и т.п.

Математической моделью движения ЛА служит управляемый динамический процесс [95], который может быть описан, как правило, при помощи дифференциальных и разностных уравнений, содержащих функции, выражающие управляющие воздействия. Качество управления задается функционалом, подлежащим оптимизации. Выбор оптимального управления, минимизирующего функционал качества, ограничен требованиями, отражающими технические характеристики устройств и условия эксплуатации. В отличие от вариационного исчисления [59,111] в задачах оптимального управления, как правило, имеются ограничения на значения управления (так называемые геометрические ограничения на управление). Это обстоятельство существенно усложняет процесс решения задач оптимального управления, делая их наиболее трудными задачами оптимизации. Дело в том, что поиск оптимальных управлений приходится вести среди разрывных функций, а в классическом вариационном исчислении управление (производная от искомой функции, задающей варьируемую кривую), как правило, непрерывная (даже гладкая) функция. Поэтому класс рассматриваемых управлений - это кусочно-непрерывные или кусочно-постоянные функции. К последним относятся и так называемые релейные управления.

Точное аналитическое решение можно получить для достаточно узкого круга задач оптимального управления. В основном это объекты управления, описываемые линейными дифференциальными уравнениями. Большинство же задач не имеют аналитического решения, поэтому для них применяются различные численные методы приближенного решения. Рассмотрим основные идеи и методики приметаемых алгоритмов.

Большинство приближенных методов можно разбить на три группы (см. рис.В.1). Первая группа - это методы, основанные на необходимых условиях оптимальности. Вторая группа - это методы, в которых применяются достаточные условия оптимальности. Третья группа - это методы, в которых задача оптимального управления аппроксимируется задачей конечномерной минимизации.

Рис.В.1

Рассмотрим эти группы методов применительно к классической постановке задачи оптимального управления [63,95]: x(t) = f{t,x(t),u(t)), u(t)eU, tQ

Г(х(*0),*(*!)) = О, (В.1) h

I = J f® (t,x(t\u(t))dt + F{x{tj)) min . 'o

Подробное функционально-множественное описание элементов задачи во введении опущено. Заметим только, что все предположения в задаче (В.1) обычные для теории оптимального управления детерминированными непрерывными системами.

Применение принципа максимума Понтрягина сводит решение задачи оптимального управления к решению двухточечной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений (так называемая П - система или система Понтрягина) x(t) = f(t,x(t),u(t)), y(t) = -Hx(W)J,x(t)Mt)), (В.2) u(t) = argmaxH(\\f(t)J,x(t),u), ueU т о где H(\\j,t,x,n) = \\i f(t,x,u)-f (t,x,u) - гамильтониан для задачи (В.1). Краевые условия Г(х(/д),х(7])) = 0 для системы (В.2) дополняются недостающими уравнениями вида A(jc(i0),x(i1),\|/(i0),\|/(i1)) = 0, полученными из условий трансверсальности. Приближенному решению этой краевой задачи посвящено много работ [76,95]. Одним из первых был разработан метод последовательных приближений Ф.Л.Черноусько, И.А. Крылова [64]. Этот метод особенно эффективен при решении задач с фиксированным левым и свободным правым концами траектории. Краевое условие = 0 в (В.1) при этом заменяется равенством x(/q) = Xq . В этом случае для уравнений движения имеются начальные условия, а для уравнений сопряженной системы - конечные. Иногда [23,25] одна итерация этого метода может использоваться для проверки оптимальности полученного управления.

Процедура улучшения опорного управления u(t) состоит в следующем. Сначала решается задача Коши для системы уравнений движения с известным опорным управлением

0 = fit, 40), *(*о) = хо •

Получив конечное состояние Xj = х(^), вычисляем конечные значения вспомогательных переменных \j/j = ~F'X (xj). Затем решаем задачу Коши для системы i1) = \|/1, x(tl) = xl. Система (В.З) интегрируется от конечного момента времени ij к начальному Iq . В процессе интегрирования находим управление u{t) = ъщт&хН (\y(t),t,x(t),u), ueU которое берем в качестве нового опорного управления.

Метод последовательных приближений имеет многочисленные модификации, отличающиеся процедурами варьирования управления [37,72]. В частности, если имеются подозрения на скользящий режим, нужно использовать более сложные процедуры получения нового опорного управления [37]. При вырождении принципа максимума, когда оптимальным является особое управление, в итерационной процедуре учитываются необходимые условия второго порядка [36].

К первой группе относятся также методы стрельбы, которые сводят решение краевой задачи для системы дифференциальных уравнений к решению системы алгебраических уравнений G(B,) = 0 относительно начальных условий £, = (x(iQ),i|/(ig)) для системы (В.2). Среди методов численного решения возникающих при таком подходе систем алгебраических уравнений хороших результатов достигают при использовании различных модификаций метода Ньютона [61,65,66]. Как обычно, успех применения метода Ньютона существенно зависит от качества начального приближения, как правило, в задаче оптимального управления хорошее начальное приближение можно найти для траектории х(-), но не для управления //(■) и вспомогательных переменных \|/(/0). Заметим, что нахождение матрицы (с,) частных производных численное, поскольку функция Сг(£) задана "неявно". Это требует многократного решения задачи Коши для системы (В.З) при различных начальных условиях. Может оказаться, что отображение В, —» (?(£,) не является взаимно однозначным. В этом случае метод Ньютона "застревает", поскольку не существует обратной матрицы Эту трудность преодолевают при помощи регуляризации или псевдообращения. Еще одна неприятная особенностью системы (В.2) следующая. Подставляя в уравнения (В.2) управление аг§тахН(цг^,х,и), (В.4) иеи получаем систему х(0 = /& х(0,■»>(*, х(0М0)), \К0 = -ях(у(0,*,х(0М*,х(0М0)), для которой может утратиться не только единственность, но и существование решения задачи Коши. Дело в том, что функция (В.4) при некоторых /, х, \|/ может не удовлетворять условию Липшица. Чтобы "вернуть" единственность применяют такие аппроксимации множества и допустимых управлений, чтобы функция (В.4) оказалась липшицевой. Кроме того, вместо начальных условий £ = (х(^), в качестве искомых параметров выбирают другие, связанные с физической сущностью задачи, при этом удается параметризовать неоднозначные решения задачи Коши [103].

При создании методов, основанных на достаточных условиях оптимальности, разработчики могут преследовать разные цели, а именно:

- получить приближенное решение уравнения Беллмана;

- найти приближенно функцию Беллмана (или функцию Кротова);

- улучшить имеющееся позиционное управление.

Рассмотрим типичные приемы, применяемые для достижения указанных целей. Для приближенного решения уравнения Беллмана можно использовать метод характеристик [103]. Проще и эффективнее такой подход реализуется в тех задачах, в которых оптимальное управление у(7,х,фх) = аг§тах#(фх,?,х,г<) (В.5) неи можно выразить аналитически через фазовые координаты и производные функции Беллмана. Как правило, в задачах управления ЛА такое выражение для управления получить можно. Не редки ситуации, когда управление, например тяга двигателя, входит в уравнения движения, а следовательно, и в уравнение Беллмана линейно. В этом случае минимизация по управлению выполняется без труда и приводит к релейному закону. Подставив найденный закон управления в уравнение Беллмана, получаем задачу Коши для дифференциального уравнения с частными производными первого порядка, которое решается методом характеристик. Обычно, выделяются несколько характеристических полос, выходящих из заданных точек, а в остальных точках функцию Беллмана интерполируют или аппроксимируют.

Наиболее естественный подход для решения уравнений с частными производными - это сеточные методы. Сетка вводится по времени и состоянию, а уравнение Беллмана заменяется его дискретным аналогом. При выборе шагов сетки должны выполняться определенные рекомендации. В частности, шаг сетки по состоянию меньше (на порядок) шага сетки по времени. Дискретная аппроксимация уравнения Беллмана предъявляет высокие требования к объему памяти и быстродействию компьютера, необходимыми для решения задачи. Эти обстоятельства, затрудняющие реализацию метода, в литературе называют "проклятием размерности". Как правило, дискретной аппроксимацией пользуются, если имеются жесткие фазовые ограничения, при этом количество узлов сетки уменьшается.

Для аппроксимации функции Беллмана можно использовать ряды Фурье [30,80]. Подставляя ряд в уравнение Беллмана и находя проекции на базисные функции, получаем либо систему дифференциальных, либо алгебраических уравнений относительно коэффициентов ряда. Другая идея получения такой системы уравнений реализуется в методе Букреева В.З. Вместо равенства проекций, требуется выполнение уравнения Беллмана на специально выбранных кривых, например, на некоторых прямых, параллельных координатным осям. Большого опыта использования таких методов нет. Системы получаемых уравнений, обычно, решаются плохо [103].

Идея итерационного, локального улучшения управления [63,103] состоит в следующем.

Для задачи терминального управления (/° = 0) известный опорный процесс (х(7),г/(7)) локально улучшается. Для этого ставится задача минимизации вспомогательного функционала, который помимо терминального члена /•'(-*"(7] )) исходного функционала содержит дополнительные слагаемые, квадратичные по вариациям управления и траектории н

Параметр а > 0 используется для регулировки величины вариации Ьи и для вогнутости га

1 т1 мильтониана Н = \|// -^-абм М5г/. Уравнение для функции Кротова в окрестности опорного режима разлагается в ряд по фазовым координатам с учетом членов второго порядка. В результате получается система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно значений функции Кротова и ее производных по х первой и второй степени на опорном режиме. Интегрируя эту систему от конечного момента времени к начальному, находится позиционное управление, которое затем используется при интегрировании уравнений движения от начального момента времени к конечному с нахождением нового опорного процесса.

В работах [4,5] разработан метод последовательного улучшения управления на основе достаточных условий оптимальности, являющихся аналогом условий Кротова. Построены вычислительные алгоритмы первого и второго порядков.

Методы, основанные на дискретной аппроксимации задачи оптимального управления, используют различные разностные схемы для замены дифференциальных уравнений рекуррентными. Процесс управления (х(/), u(t)), /q < / < /], заменяется конечной последовательностью значений (хх, ит) в узлах т сетки. Задача (В.1) минимизации в функциональном пространстве становится задачей конечномерной минимизации, для решения которой используются различные численные методы [34,76,93,94]. Здесь нашли применение прямые методы спуска в пространстве управлений [28], методы вариации в фазовом пространстве [76], методы условного градиента и проекции градиента [29,76,103,112], методы нелинейного программирования [52,76,96]. Эти методы не связаны непосредственно с необходимыми или достаточными условиями оптимальности управления, поэтому в диссертации подробно не рассматриваются.

Перечисленные выше численные методы предназначены для решения задач оптимального управления непрерывными системами. Ряд методов можно применить к оптимизации дискретных систем. Например, все алгоритмы, использующие разностную аппроксимацию дифференциальных уравнений. Однако, как будет показано ниже, даже эту естественную аппроксимацию нельзя непосредственно применить к логико-динамическим системам (ЛДС). Поэтому возникает проблема разработки новых численных методов оптимизации ЛДС. Разумеется, при этом надо использовать идеи и приемы, эффективно применяемые для приближенного решения задачи оптимального управления непрерывными или дискретными системами.

В ЛДС управления протекают процессы, которые реализуются непрерывными и дискретными сигналами. Это обстоятельство относит ЛДС к классу гибридных систем (hybrid systems). В настоящее время термин "гибридные системы" перегружен. Первоначально [117,

121-123,126,130] модели таких систем включали непрерывные и дискретные (или логические) переменные (компоненты вектора состояния), причем непрерывные служили для описания, как правило, физических законов и принципов, а дискретные - для описания логических устройств, коммутаторов, цифровых автоматов и т.п. В настоящее время термин гибридные системы используется значительно шире, включая вопросы преобразования и обработки сигналов, хранения и передачи информации, а также вопросы формирования программного обеспечения.

В первоначальных моделях ЛДС дискретная (логическая) часть описывается логическими переменными [55,101-104], а именно логическая часть системы представляет собой автомат с памятью, управляющий динамической частью. Именно в таком смысле понимается рассматриваемая в диссертации модель логико-динамической системы. Многие работы, относящиеся к гибридным системам, посвящены разработке именно "логической составляющей" этого автомата: представление знаний, системы вывода теорем и т.п., вплоть до создания интеллектных компонентов системы управления (см. например, International Journal of Hybrid Intelligent Systems, материалы [127] Конгресса IF AC (Иркутск, 2003), а также [33]). В диссертации термин "логическая часть" ЛДС используется в "автоматном" смысле, а именно: ЛДС - это динамическая система с автоматной частью (это название используют для классификации рассматриваемых систем акад. С.Н. Васильев, акад. А.Б. Куржанский). Причем переменные, описывающие состояние автоматной части будут необязательно булевы. Как правило, рассматриваются два случая: целочисленные переменные, либо переменные, принимающие действительные значения.

Для описания широкого класса дискретно-непрерывных систем (ДНС) используются динамические системы с импульсными управлениями [56,67,75,110]. Основой этого служат дифференциальные уравнения с мерами. Они задают универсальную форму описания траекторий как непрерывной, так и дискретной компонент системы. Наиболее полное отражение работ в этом направлении представлено в [75], где помимо необходимых и достаточных условий оптимальности рассмотрен также ряд других вопросов, например, существование решений и их устойчивости. Дискретная, импульсная составляющая ДНС описывает "сильные" воздействия на динамическую часть системы, приводящие к разрыву траектории движения. Напротив, логическая, автоматная часть ЛДС описывает работу бортового компьютера, управляющие сигналы которого оказывают "слабое" воздействие на динамическую часть, оставляя ее траекторию непрерывной. Траектории логической части - кусочно-постоянные. Конечно, для их описания можно применять дифференциальные уравнения с мерой. Однако это вряд ли целесообразно. Помимо усложнения математического аппарата для представления решений и вывода необходимых условий, из-за расширения класса управлений возникают проблемы существования и корректности решения оптимизационной задачи [75].

Важной составляющей гибридных систем являются переключательные системы (switched systems), в частности, системы с переменной структурой [53]. В работах [115,124, 125] рассматриваются разные задачи стабилизации таких систем. Движение динамической части задается системой линейных дифференциальных уравнений, матрица коэффициентов которой зависит от дискретного параметра. Придавая различные значения этому параметру в зависимости от текущего состояния объекта управления, получаем разные системы уравнений и, следовательно, разные траектории движения объекта. Статья [98], видимо, была первой работой, в которой рассматривалась задача оптимального управления переключательной системой. Объект управления описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, а логическая часть определяет ее правую часть, причем правая часть выбирается из некоторого конечного множества. Другими словами, автомат управляет движением объекта, выбирая ту или иную траекторию из конечного множества допустимых типовых траекторий. При этом оптимальная траектория составляется по кусочкам из набора типовых траекторий. Полученные в [98] достаточные условия оптимальности в диссертации уточняются и обобщаются. Однако, понимание логической части как модели автомата с памятью остается тем же самым [99-101]. В отличие от логико-динамической системы [98] движение системы с переменной структурой [57] описывается автоматом без памяти.

Разработанная в [12-17,20,21,23] математическая модель ЛДС применима для описания широкого круга многорежимных систем автоматического управления техническими комплексами, технологическими и экономическими процессами, а также бортовых оперативно-советующих систем управления движением летательных аппаратов [8,12-27,33,53,55,57,69, 74,75,101-104,107]. Поведение динамической части ЛДС описывается дифференциальными уравнениями, а работа логической части, моделирующей автомат с памятью, - рекуррентными включениями или уравнениями. Логическая (автоматная) часть ЛДС характеризует операционную ситуацию, в которой происходит управляемое движение динамической части ЛДС, и может меняться дискретным образом в рамках одной операционной ситуации, либо изменять саму операционную ситуацию. В частности, такими соотношениями описывается движение летательных аппаратов, управляемых с помощью бортовых вычислительных комплексов [8,105]. Сформулируем кратко математическую постановку задачи [12] и укажем особенности, которые необходимо учитывать при разработке численных методов решения.

Поведение модели объекта управления описывается соотношениями

Щ = f(t,x(t),y(t\u(i)), y(t)zY(t,x(t\y(t- 0)),

В. 6) (В.7) где х - вектор состояния динамической части системы, хеЕ"; у - вектор состояния логической (автоматной) части, у е М."' (или у е Ът в зависимости от модели автомата); и вектор управления, и е и а Е^1; £ - время, / = - промежуток времени функционирования системы. Для краткости изложения ограничения, накладываемые на уравнения (В.6),(В.7), а также некоторые дополнительные предположения во введении опускаются. Отметим только, что эти условия типичны для задач оптимального управления. В системе (В.6),(В.7): управление м(-) - измеримая ограниченная функция, траектория х(-) динамической части - абсолютно непрерывная, а траектория у(-) логической (автоматной) части - кусочно-постоянная, непрерывная справа функция, точки разрыва которой образуют конечное множество £ тактовых моментов времени. Начальное состояние системы определяется условиями о) = *СЬ У(Ь-0) = у0. (В.8)

На траекториях системы задан функционал к

1 = \ /°М(0,№"«))*+ X /(т.хСхХХт-ОХМ^ + ^Сх^),^!)). (В.9) о хе9Г

Суммирование в выражении (В.9) производится по всем точкам те? разрыва функции (это множество У конечное).

Требуется найти минимальное значение функционала (В.9) и оптимальный процесс сС = (х*(-), .у* (•),«*(•)), на котором это наименьшее значение достигается: = гшп / . (В. 10)

Если оптимального процесса сС не существует, то ставится задача нахождения минимизирующей последовательности с!1 = (х, (•),>', (■),//,(■)):

Шп 1(с11) = Ы I. (В.11) г—> со

В задаче (В.б)-(В.Ю) логическая часть системы описывает работу автомата с памятью. Множество состояний автомата может быть неограниченно. Сигналы, протекающие в логической части системы, на самом деле, могут не иметь логической природы. Они необязательно описываются булевыми переменными. Поэтому логическую часть системы будем называть также автоматной частью (как в [33]), что точнее, а модель (В.6)-(В.7) - динамической системой с автоматной частью.

По сравнению с классической задачей оптимального управления непрерывными системами [78,94], здесь имеется дополнительное кусочно-постоянное управление у(-), которое удовлетворяет рекуррентному включению. Если в правой части (В.7) отбросить зависимость от^-0): у«)е¥«,х(*У), (В-12) то получим обычное геометрическое ограничение на допустимые значения управления. Заметим, что включение (В. 12) служит описанием автомата без памяти. Такая модель автомата соответствует системам управления с переменной структурой [53,55] и гибридным системам в работах [120-122,130].

Функционал (В.9) качества управления отличается от классического функционала Боль-ца наличием суммы по точкам т разрыва функции у(-). В частности, это могут быть скачки g0(т, х(т), у(т - 0),у(т)) = | у(т) - у(х - 0) | функции у(-). Эту величину можно рассматривать как "штраф" за переключение автоматной части. Если не учитывать эти штрафы, положив в (В.9) g() = 0, получим обычный функционал качества [2,10,28,39,58,62,63,70,71,78,94].

Таким образом, задача (В.б)-(В.Ю) будет совпадать с классической задачей оптимального управления [94], если в (В.7) исключить зависимость от предшествующего состояния — 0) логической части, т.е. использовать ограничение (В. 12), соответствующее модели автомата без памяти, а в функционале (В.9) опустить сумму штрафов за переключение автоматной части.

Представляет интерес случай, когда в уравнении движения (В.6) отсутствует управление и(0: х(0 = /М0 ,Х0). (в .13)

В этом случае управление динамической частью осуществляется исключительно выбором состояния у(!) автоматной части. Заметим, что уже в [94] класс кусочно-постоянных управлений отмечался как вполне приемлемый. Действительно, задачу (В. 11) поиска минимизирующей последовательности достаточно решать в классе кусочно-постоянных функций, поскольку любую измеримую функцию можно представить как предел последовательности кусочно-постоянных. Поэтому задача (В.13),(В.7)-(В.9),(В.11) также является обобщением классической задачи [94] из-за наличия рекуррентного ограничения на управление (если управлением считать у(-)), а также из-за учета в функционале штрафов за переключение управления.

Уравнение (В. 13) в случае конечного множества состояний автоматной части: у(?) е {1,2,.,^} используется для описания переключательных систем. Поведение такой системы определяется выбором правой части уравнения движения. В задачах устойчивости и стабилизации, как правило, пространство состояний динамической части разбивается на N областей, в каждой из которых правая часть фиксирована. Во многих работах (например, в [123,125,131]) правая часть линейна, и поэтому каждой области фактически соответствует своя матрица коэффициентов системы уравнений. Применяются разные способы разбиения, отражающие техническую постановку задачи, например, при помощи линейных неравенств [131]. В [130] рассматриваются задачи робастного управления и стабилизации линейными переключательными системами.

Для описания автоматной части ЛДС вместо включения (В.7) можно использовать рекуррентное уравнение вида

В. 14) где V - вектор управления автоматной частью, уеГс!9. Штраф ОХу(г')) в функционале (В.9) также зависит от управления V. Полагаем, что управление почти всюду равно нейтральному элементу ( у(^) = о ) и отлично от него только в точках разрыва функции

ХО (т.е. на ¿Г), при этом g(t,x,y,o)-у, g()(t,x,y,o) = 0 . Модель (В.6), (В. 14) эквивалентна модели (В.6),(В.7), а ее части становятся "симметричными": динамическая и логическая части имеют входные сигналы (управления и(-) и у(-)) и выходные сигналы (траектории х(-) и у(-) ), которые действуют на соответствующие блоки. Функциональная схема такой системы изображена на рис.В.2: непрерывные сигналы изображены сплошными линиями (стрелками), дискретные - штриховыми, элемент "ключ" замкнут только в тактовые моменты времени теГ).

Рис.В.2.

Заметим, что включение (В.7) определяет только возможные выходные сигналы автоматной части, не определяя самого автомата, а уравнение (В. 14) кроме выходных сигналов фиксирует также и некоторую конструкцию автоматной части. На практике нужны обе модели в зависимости от наличия исходных данных об автоматной части.

Постановка задачи (В.6),(В.14),(В.8)-(В.10) похожа на задачу оптимального управления непрерывно-дискретной системой [19]. Однако, в отличие от непрерывно-дискретных систем, изменение состояний дискретной части которых происходит в заранее заданные {тактовые) моменты времени, переключения логической (автоматной) части ЛДС могут быть в произвольные моменты времени. Более того, выбор моментов, когда переключается автоматная часть, считается ресурсом управления и подлежит оптимизации. Если же в задаче управления ЛДС тактовые моменты зафиксировать, то получим задачу управления непрерывно-дискретной системой.

Наличие положительного штрафа за переключение автоматной части является регуляри-зирующим фактором в задаче управления. Например, при фиксированной положительной величине штрафа последовательности допустимых процессов, приводящие к бесконечному количеству переключений автоматной части, являются неоптимальными. В частности, при наличии такого штрафа за переключение релейного управления невозможно появление скользящих режимов [2,46,47,63,103].

Кроме регуляризирующего влияния учет штрафа за переключение релейного управления делает классические решения ряда задач управления более практичными. Рассмотрим, например, задачу активной стабилизации спутника с минимальным расходом топлива [46]. Классическое решение поставленной задачи, полученное в [46], приводит к последовательности режимов торможения в окрестности положения равновесия, где угловая скорость максимальная. Торможение производится с максимальной тягой двигателя. Чем короче промежуток работы двигателя при каждом включении, тем больше таких включений необходимо сделать для гашения колебаний. Однако общие затраты топлива при этом уменьшаются. В пределе получаем бесконечную последовательность импульсных включений (на бесконечно малое время) двигателя с максимальной тягой, при этом общее время стабилизации неограниченно возрастает. Разумеется, что это управление, практически не реализуемое, является абстрактным, идеальным решением, показывающим предельные возможности (экономии топлива) данной математической модели.

Эту задачу можно рассматривать в классе ЛДС [23], учитывая, что каждое включение реактивного двигателя от его запуска до достижения максимальной тяги сопровождается расходом топлива и представляет собой немгновенный переходный процесс (как и выключение двигателя). Добавляя в критерий качества соответствующие штрафные слагаемые за включение (и выключение) двигателя, получаем задачу, в которой определяется оптимальное (конечное) количество запусков двигателя, а процессы, требующие бесконечного числа включений, отбрасываются как неоптимальные. Такая постановка задачи ближе к практике, чем классический вариант. Кроме расхода топлива в переходных процессах включения и выключения двигателя имеются и другие недостатки классического решения. Во-первых, в силу конструктивных особенностей реактивных двигателей малая продолжительность их работы приводит, как правило, к уменьшению точности коррекции траектории. Поэтому длительные промежутки работы двигателя обеспечивают меньшую погрешность, чем частые "мгновенные" включения/выключения двигателя. Значит, "импульсный" режим не годится из-за больших погрешностей при его реализации. Во-вторых, при каждом выключении химического реактивного двигателя часть топлива (горючего и окислителя) выбрасывается в пространство не полностью "сгоревшим". Эти остатки (как правило, активные химические вещества) затем оседают на солнечных батареях, снижая их производительность. Чем больше выключений двигателей, тем больше "загрязнение". Конечно, эти негативные явления трудно выразить в виде числовых характеристик (штрафов), чтобы учитывать в критерии качества.

Многие практические задачи оптимального управления приводят к релейным управлениям с конечным или бесконечным количеством переключений (например, задачи управления космическими и летательными аппаратами [44,45,63,103], задачи с эффектом Фуллера [63,105] и др.). Эти задачи лучше рассматривать в классе ДЦС, учитывая при помощи штрафных слагаемых, что любое переключение управления требует некоторых затрат. При этом задача регуляризируется, и ее решение становится более практичным.

Таким образом, задача (В.6)-(В.11) оптимального управления ЛДС, поставленная в 1992 г. в [12], была новой в теории оптимального управления. К настоящему времени достигнуты вполне исчерпывающие теоретические результаты: получены необходимые и достаточные условия оптимальности. Однако, приближенные методы решения задачи оптимального управления ЛДС практически отсутствуют. Поэтому разработка численных методов решения задачи оптимального управления ЛДС является актуальной.

В диссертации рассматриваются методы, основанные на необходимых и достаточных условиях оптимальности ЛДС. Для нахождения оптимального программного управления ЛДС предлагается модифицировать метод последовательного приближения [109]. Заметим, что вывод необходимых условий оптимальности ЛДС имеет отличия от обычно применяемых подходов [2,10,28,39,58,94,103]. Конечно, эти отличия касаются только вариаций траекторий у(-) автоматной части (для управления и(-) динамической части применяются обычные игольчатые вариации). Дело в том, что малые вариации траекторий автоматной части системы недопустимы для систем, в которых множество состояний автоматной части несвязно. Например, если состояние автоматной части описывается вектором с логическими булевыми) или целочисленными компонентами (уе2т), то малых вариаций таких векторов просто не может быть. К такому же выводу приходим в случае переключательных систем, "пространство состояний" автоматной части которых - конечное множество {1,2, номеров типовых траекторий движения. Если же пространство состояний автоматной части связно (например, у е К'"), то малые кусочно-постоянные вариации траекторий автоматной части оказываются допустимыми.

Игольчатые вариации траекторий автоматной части (т.е. конечные изменения состояний автоматной части системы на множестве малой меры) тоже не всегда допустимы. Эти вариации, как и в случае непрерывных систем, приводят к малым вариациям траектории динамической части системы. Однако, вариация функционала (В.9) оказывается конечной при наличии штрафов за переключения (т.е. при ^0). Поэтому в общем случае в задаче (В.6)-(В.9) допустимы только вариации моментов переключения автоматной части, а также малые кусочно-постоянные вариации траекторий автоматной части в случае, когда у е М.т . При отсутствии штрафов (т.е. при =0) можно использовать игольчатые вариации траекторий автоматной части.

На рис.В.З изображены допустимые вариации траектории логической части системы. Полужирными линиями обозначена оптимальная траектория у*(?), t е Г, а светлыми - возмущенная траектория + /еГ. Вариации 5х1; 5x2 ДВУХ моментов переключения автоматной части указаны на рис.В.З,а, малые кусочно-постоянные вариации 8у(0> / е 7', изображены на рис.В.З,б. У

5т1 !<- — ->»

8тп У

Ч Т1 Т^+бТ! Т2Т2+5Т2 Ч 1 '0 а

Рис.В.З

5у(0 г б н

Если множество состояний логической части системы является дискретным (несвязным), например, когда компоненты вектора у являются целочисленными переменными у € Ът), то малые кусочно-постоянные вариации ду(-) недопустимы. В этом случае остаются только вариации моментов переключения, которые приводят к слабым (неполным) необходимым условиям. Напомним, что принцип максимума представляет собой "полную си

17 стему соотношений" [94], позволяющих выделить из множества допустимых решений отдельные, вообще говоря, "изолированные" решения, удовлетворяющие всем сформулированным условиям. Применение только вариаций моментов переключения недостаточно для получения "полной системы соотношений". Как показывают примеры, выделяется множество подозрительных на оптимальность процессов, но это множество может быть бесконечным (например, счетным). Поиск оптимального процесса в этом множестве уже продолжается другими методами [34].

Большой интерес представляет исследование минимизирующих последовательностей в классе ЛДС. Минимизирующие последовательности (скользящие режимы) в классических задачах оптимального управления и вариационного исчисления приводят к счетному множеству переключений управления, которые происходят в разные, хотя и бесконечно близкие, моменты времени. Исследования [11-13,15-17,20-21,23-26] показали, что оптимальные процессы в классе л о гико-динамических систем могут иметь новые, ранее не встречавшиеся, режимы с конечным или счетным числом мгновенных (т.е. происходящих в один и тот же момент времени) переключений автоматной части при фиксированном состоянии динамической части системы. Поясним, о чем идет речь. Процесс с мгновенными многократными переключениями можно получить как предел последовательности {dj^J-i допустимых процессов dj = (xj(-),yj(-),uу(0), в которых траектории yj (•) автоматной части имеют, напри

12 К мер, К точек разрыва т j

-> оо ний: у' = у j (x'j ), /' = 1,.,К, при этом точку т будем называть точкой многозначного разрыва. Например, на рис.В.4,а изображена кусочно-постоянная функция стремя разрывами в о I ? точках т - 2s, т-s, т и значениями у = у(х-2в - 0), у = у{х- 2s), у - у(х-s),

У = У(х) ■ При е->+0 получаем кусочно-постоянную функцию с трехзначным разрывом в точке х (рис.В.4,б).

Автоматная часть в точке многозначного разрыва совершает К переключений, принимая последовательно состояния которые удовлетворяют рекуррентному включению (В.7):

У g7(t,x(x),>'/^1) , i = \,2,.,K .

В функционале качества (В.9) такому разрыву соответствует сумма т,х(т /•=1

К многозначным разрывам следует отнести также и случай с бесконечным количеством переключений, который получается при К ^ со, если последовательность у' сходится. В этом случае полагаем, что >'(т) = у'° = Нш у1 (рис.В.4,е). Предполагаем, что допустимая оо траектория у(-) автоматной части имеет конечное число точек многозначных разрывов. Заметим, что все эти мгновенные многократные переключения совершенно не влияют на траекторию динамической части системы, поскольку они происходят одновременно (на множестве меры нуль).

V У3

VI У1 У

У У3 .У2 у У

-« А I А У а У у: 5 т-2в т-е х а А I А б в Рис.В.4

Такие процессы, как показывают примеры, не являются исключениями, встречающимися только в специальных системах. Наоборот, они появляются в совершенно обычных задачах, в частности, в задаче управления линейными ЛДС с квадратичным критерием качества [13,17,21,84,85]. Эта задача аналогична хорошо изученной проблеме аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) А.М.Летова [70]. Заметим, что процессы с мгновенными многократными переключениями в задачах управления непрерывно-дискретными (или дискретными) системами не могут возникнуть, поскольку тактовые моменты времени в этих системах фиксированы.

Наличие оптимальных процессов с мгновенными многократными переключениями логической части ЛДС накладывает определенные требования к численной процедуре их поиска. Обычное применение разностной аппроксимации дифференциальных уравнений здесь не годится, поскольку в получаемой дискретной системе мгновенные многократные переключения невозможны. Поэтому в методике численного решения задачи необходимо предусмотреть возникновение таких режимов.

Для нахождения оптимального позиционного управления линейными ЛДС с квадратичным критерием качества выведены уравнения для нахождения функции цены (функции БелI I лмана). Разработана методика решения этих уравнений с учетом мгновенных многократных переключений логической части, а также комплекс программ, реализующий эту методику для ЛДС первого и второго порядков.

Самостоятельный интерес с теоретической и практической точки зрения представляют собой так называемые [22,24,91,129] системы автоматного типа (CAT), динамика которых описывается рекуррентным включением y(t)eY(t,y(t-0)), (В.15) а функционал качества h

I = F{y{tl))+ \fQ(t,y(t))dt+ 2>V'.Ht-0),Xt)). (В. 16) теГ

CAT являются частным случаем ЛДС, а задача минимизации (В. 16) - частный случай задачи (В.6)-(В.9). Упрощение динамики системы приводит к упрощению условий оптимальности, что, в свою очередь, облегчает разработку методики и алгоритма приближенного решения. Апробацию и отладку программного обеспечения также удобнее проводить для задачи (В.15)-(В.16).

Таким образом, в диссертации разработаны методы приближенного решения задачи (В.б)-(В.Ю) оптимального управления ЛДС, которая имеет важное теоретическое в области оптимального управления. Полученные результаты имеют практическую направленность и могут быть использованы при создании систем автоматического управления.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1) доказаны достаточные условия оптимальности позиционного управления линейными логико-динамическими системами с квадратичным критерием качества, выведены уравнения для нахождения оптимального управления, разработан алгоритм приближенного решения этих уравнений;

2) доказаны достаточные условия оптимальности позиционной конструкции системы автоматного типа, выведены уравнения для нахождения оптимальной конструкции, разработан алгоритм приближенного решения этих уравнений;

3) доказаны достаточные условия оптимальности систем автоматного типа с квадратичным критерием качества, получены уравнения для синтеза оптимального регулятора в классе систем автоматного типа;

4) разработан алгоритм применения необходимых условий оптимальности логико-динамических систем при неограниченных вариациях состояний логической части системы;

5) получено приближенное решение задачи активной стабилизации колебаний спутника с учетом неэффективных затрат топлива при включении и выключении реактивного двигателя;

6) получено приближенное решение задачи оптимального вывода спутника на геостационарную орбиту с учетом неэффективных затрат топлива при включении и выключении реактивного двигателя.

Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов основной части, заключения, списка использованных источников.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Пегачкова, Елена Александровна

3.6. ВЫВОДЫ

1. Получены достаточные условия оптимальности позиционной конструкции систем автоматного типа.

2. На основе достаточных условий оптимальности разработан алгоритм численного решения задачи синтеза оптимальной позиционной конструкции.

3. Выведены уравнения для нахождения оптимальной позиционной конструкции систем автоматного типа с квадратичным критерием качества. Применение этих уравнений для синтеза оптимальной конструкции показано на модельном примере.

4. Разработано программное средство приближенного решения задачи синтеза оптимальной позиционной конструкции для систем автоматного типа не выше второго порядка с квадратичным критерием качества. Работоспособность программного средства продемонстрирована на модельном примере.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основным итогом диссертационной работы является создание методов приближенного решения задач оптимального управления логико-динамическими системами и их применения в актуальных приложениях в области авиационной и ракетно-космической техники, выразившееся в следующих научных результатах:

1. Доказаны достаточные условия оптимальности позиционного управления линейными логико-динамическими системами с квадратичным критерием качества, выведены уравнения для нахождения оптимального управления, разработан алгоритм приближенного решения этих уравнений.

2. Доказаны достаточные условия оптимальности позиционной конструкции системы автоматного типа, выведены уравнения для нахождения оптимальной конструкции, разработан алгоритм приближенного решения этих уравнений.

3. Доказаны достаточные условия оптимальности систем автоматного типа с квадратичным критерием качества, получены уравнения для синтеза оптимального регулятора в классе систем автоматного типа.

4. Разработан алгоритм применения необходимых условий оптимальности логико-динамических систем при неограниченных вариациях состояний логической части системы.

5. Получено приближенное решение задачи активной стабилизации колебаний спутника с учетом неэффективных затрат топлива при включении и выключении реактивного двигателя.

6. Получено приближенное решение задачи оптимального вывода спутника на геостационарную орбиту с учетом неэффективных затрат топлива при включении и выключении реактивного двигателя.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пегачкова, Елена Александровна, 2012 год

1. Аграчев A.A., Сачков Ю. Л. Геометрическая теория управления. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2005.-392 с.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М, Фомин C.B. Оптимальное управление. -М.: Наука, 1979. -432 с.

3. Арутюнов A.B., Магарил-Илъяев Г.Г., Тихомиров В.М. Принцип максимума Понт-рягина: Доказательство и приложения. М.: Факториал, 2006. 144 с.

4. Батурин В.А., Гончарова Е.В., Малтугуева Н.С. Итеративные методы решения задач оптимального управления логико-динамическими системами // Изв. РАН. ТиСУ. 2010. №5. С. 51-59.

5. Батурин В.А., Гончарова Е.В., Малтугуева Н.С. Метод слабого улучшения первого порядка для задач оптимального управления логико-динамическими системами // Известия Иркутского государственного университета, серия «Математика», №1, 2009, с. 83-93.

6. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1975.-416 с.

7. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960. - 400 с.

8. Болдырев В.И. Метод кусочно-линейной аппроксимации для решения задач оптимального управления // Дифференциальные уравнения и процессы управления. Электронный журнал №1, 2004, http : //www, math. spbu .ru/diff. ournal/

9. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.-408 с.

10. Бортаковский A.C. Оптимальное управление логико-динамическими системами. Диссертация на соискание ученой степени докт. физ.-мат. наук. М.: 2010. - 167 с.

11. Бортаковский A.C. Достаточные условия оптимальности управления детерминированными логико-динамическими системами. // Информатика. Сер. Автоматизация проектирования. -М.: ВНИИМИ, 1992. Вып. 2-3. - С.72-79.

12. Бортаковский A.C. Достаточные условия оптимальности автоматной части логико-динамической системы // Известия РАН. Теория и системы управления, 2006, №6. С.77-92.

13. Бортаковский A.C. Субоптимальное управление логико-динамическими системами в условиях параметрической неопределенности // Автоматика и телемеханика. -2007. -№11. С.105-121.

14. Бортаковский A.C. Необходимые условия оптимальности управления логико-динамическими системами // Известия РАН. Теория и системы управления, 2007, №6. С. 16-33.

15. Бортаковский A.C. Необходимые условия оптимальности автоматной части логико-динамической системы// Тр. МИАН. 2008. - Т.262. - С.50-63.

16. Бортаковский A.C. Синтез логико-динамических систем на основе достаточных условий оптимальности // Известия РАН. Теория и системы управления. 2010,-№2,-С.54-68.

17. Бортаковский A.C. Необходимые условия оптимальности непрерывно-дискретных систем с мгновенными многократными переключениями дискретной части // Известия РАН. Теория и системы управления, 2011, №4. С. 73-85.

18. Бортаковский A.C., Пантелеев A.B. Достаточные условия оптимальности управления непрерывно-дискретными системами // Автоматика и телемеханика. 1987. -№7.-С.57-66.

19. Бортаковский A.C., Пегачкова Е.А. Синтез оптимального управления линейными логико-динамическими системами // Электронный журнал "Труды МАИ", 2007. №27- http://www.mai.ru/science/tmdy/published.php (25.04.2007).

20. Бортаковский A.C., Пегачкова Е.А. Синтез оптимальных детерминированных систем автоматного типа // Международная конференция по математической теории управления и механике, г. Суздаль, 2007. Тезисы докладов. - Владимир: ВГУ, 2007.-С. 18.

21. Бортаковский A.C., Пегачкова Е.А. Синтез управления активной стабилизацией спутника на основе необходимых условий оптимальности логико-динамических систем // Вестник Московского авиационного института. 2008. - Т. 15. - № 2. -С.28-35.

22. Бортаковский A.C., Пегачкова Е.А. Синтез оптимальных детерминированных систем автоматного типа // Межвуз. сб. науч. трудов "Теоретические вопросы вычислительной техники и программного обеспечения". М.: Изд-во МИРЭА, 2008. -С. 102-107.

23. Бортаковский A.C., Пегачкова Е.А. Синтез оптимального управления линейными логико-динамическими системами при мгновенных многократных переключениях автоматной части. // Современная математика. Фундаментальные направления. 2011, №42,-С.36-47.

24. Бортаковский A.C., Семенов В.В. Оптимальное конструирование траекторий детерминированных логико-динамических систем / Междувед. сб. науч. тр. "Проблемы математики в физико-технических и экономических задачах". М.: Изд-во МФТИ, 1993.-С.4-10.

25. Брайсон А., Хо-Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972. - 544 с.

26. Будак Б.М., Беркович Е.М., Голубцов Е.Е. О методе штрафных функций для решения задач оптимального управления // Сб. Вычислительные методы и программирование, Вып.№12, Изд-во Моск. университета, 1969, С. 143-150.

27. Букреев В.З., Кротов В. Ф., Гурман В.И. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета//М. Машиностроение 1969г. 288 с.

28. Бутковский А.Г. Необходимые и достаточные условия оптимальности для дискретных автоматических систем //Автоматика и телемеханика, 1963, № 8, С. 10561064.

29. Ваннер Г., Нерсетт С., Хайнер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: "Мир" 1990 г. 512 с.

30. Васильев С.Н., Жерлов А.К., Федосов Е.А., Федунов ЕЕ. Интеллектное управление динамическими системами. М.: Физматлит, 2000. 352 с.

31. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. - 400 с.

32. Васильев О.В., Терлецкий В.А. Оптимальное управление краевой задачей // Труды Математического института им. В.А. СтекловаРАН. 1995. Т. 211. С. 121-130.

33. Васильев О.В., Тятюшкин А.И. Опыт в решении задач оптимального управленияна основе необходимых условий для оптимальности типа принципа максимума //99

34. Вопросы устойчивости и оптимизация динамических систем. Иркутск: Изд-во Иркутского университета, 1983, С.43-64.

35. Величенко В.В. К задаче о минимуме максимальной перегрузки // Космические исследования, 1972, т. 10, № 5, С.700-710.

36. Вязгин В.А. К обоснованию достаточных условий оптимальности в методах Вей-ерштрасса и Гамильтона Якоби - Беллмана // Автоматика и телемеханика. -1984.-№4.-С.31-38.

37. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск, Наука и техника, 1974. - 272 с.

38. Гелъфанд И.М., Фомин C.B. Вариационное исчисление. М., Наука, 1969. - 228 с.

39. Государственный космический научно-производственный центр имени М. В. Хруничева http://www.khrunichev.ru/main.php

40. Грачев Н.И., Евтушенко Ю.Г. Библиотека программ для решения задач оптимального управления II Ж-л вычислит, математика и матем. физики. 1979. - Т. 10. -№2. - С.367-387.

41. Гроссман К, Каллан A.A. Нелинейное программирование на основе безусловной минимизации. Новосибирск: Наука, 1981. 184с.

42. Гурман В.И. Об оптимальных траекториях реактивного аппарата в центральном поле. // Космические исследования. 1965. - T.III. - Вып.З. - С.368-373.

43. Гурман В.И. Об оптимальных переходах между компланарными эллиптическими орбитами в центральном поле // Космические исследования. 1966. - T.IV. -Вып.1. - С.26-39.

44. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления. М.: Наука, 1977. -304 с.

45. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. М.: Наука, 1985 - 288с.

46. Гурман В.И. Модели и условия оптимальности для гибридных управляемых систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 2004.-№4,- С.70-75.

47. Гурман В.И., Ни Минь Кань Представление импульсных режимов обобщенных решений управляемых дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. №3. С. 51-59.

48. Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2000. - 256 с.

49. Евдокименков В.Н., Динеев В.Г., Карп К.А. Инженерные методы вероятностного анализа авиационных и космических систем // М. : Физматлит, 2010. - 317 с.100

50. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М. : Наука, 1982.

51. Емельянов C.B. Системы автоматического управления с переменной структурой. -М.: Наука, 1967. -336 с.

52. Ермольев Ю.М., Гуленко В.П. О численных методах решения задач оптимального управления //Кибернетика. 1966. №1-С.72-78.

53. Жук К.Д., Тимченко A.A., Даленко Т.И. Исследование структур и моделирование логико-динамических систем. Киев: Наукова думка, 1975. - 199 с.

54. Завалищин С. Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991.-256 с.

55. Иванов В.А., Ющенко A.C. Теория дискретных систем автоматического управления. -М.: Наука, 1983. 336 с.

56. Иоффе АД., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука,1974 480с.

57. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.

58. Красильщиков М.Н., Себряков F.F. Управление и наведение беспилотных маневренных летательных аппаратов на основе современных информационных технологий, М. : Физматлит, 2005 280 с.

59. Красников С.Д., Кузнецов Е.Б. Параметризация численного решения нелинейных краевых задач. // Матем. моделирование, 2006, С.3-16

60. Краснощеченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. -М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2005. 520 с.

61. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973.-446 с.

62. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Алгоритм метода последовательных приближений для задач оптимального управления. // Ж. вычисл. математики и математ. физики. 1972. №1,-С. 14-34.

63. Кузнецов Е.Б. Многомерная параметризация и численное решение систем нелинейных уравнений. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2010, С. 255-267.

64. Кузнецов Е.Б. О наилучшей параметризации. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2008, С.2129-2140

65. Куржанский А.Б. Оптимальные системы с импульсными управлениями // Дифференциальные игры и задачи управления. УНЦ АН СССР.-1975. С. 131-156.

66. Куржанский А.Б., Точилин П.А. Импульсное управление в моделях гибридных систем//Дифференц. уравнения. 2009. Т.45. №3. С.716-727.

67. Лебедев A.A., Красильщиков М.Н., Малышев B.B. Оптимальное управление движением космических летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1974. - 292с.

68. Jlemoe A.M. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1973. - 390 с.

69. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. -576 с.

70. Любушкин A.A., Черноусъко Ф.Л. Метод последовательных приближений для расчета оптимального управления // Известия АН СССР. Сер. техническая кибернетика. 1983. №2. С. 83-96.

71. Малтугуева Н.С. Достаточные условия оптимальности для задач оптимального управления логико-динамическими системами // Программные системы: теория и приложения: электронный журнал 2011. №1(5), с.63-70. URL: http://psta.psiras.ru/read/psta2011l63-70.pdf

72. Малышев В.В., Кибзун А.И. Анализ и синтез высокоточного управления летательными аппаратами. -М.: Машиностроение, 1987. 302 с.

73. Миллер Б.М., Рубинович Е.Я. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями. -М. Наука, 2004. 493 с.

74. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука. 1971. - 424 с.

75. Охоцимский Д.Е., Энеев Т.М. Некоторые вариационные задачи, связанные с запуском искусственного спутника Земли // Успехи физических наук. 1957. Т.63. №1а. С. 36-51.

76. Пантелеев A.B., Бортаковский A.C. Теория управления в примерах и задачах. -М.: Высшая школа, 2003. 583 с.

77. Пантелеев A.B. Метаэвристические алгоритмы поиска глобального экстремумаМ.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2009,- 160 с.

78. Пантелеев A.B., Рыбаков К.А. Синтез оптимальных нелинейных стохастических систем управления спектральным методом. // Информ. и ее примен., 5.2, 2011, С.69-81.

79. Пегачкова Е.А. Методика приближенного синтеза оптимальных линейных логико-динамических систем // Вестник Московского Авиационного Института, 2010 г., т. 17, № 3 С.222-225.

80. Пегачкова Е.А. Оптимальный переход спутника с одной орбиты на другую с учетом неэффективных затрат топлива // 10-ая Международная конференция "Авиация и космонавтика-2011". Москва, ноябрь 2011: Тезисы докладов СПб.: Мастерская печати, 2011 - С. 94-95.

81. Пегачкова Е.А. Синтез автоматной части логико-динамической системы на основе необходимых и достаточных условий оптимальности // Междунар. конф. по математической теории управления и механике, Суздаль, 2009: Тез. докл. М: МИАН, 2009. - С.130.

82. Пегачкова Е.А. Оптимальный вывод спутника на геостационарную орбиту с учётом неэффективных затрат топлива при включении и выключении двигателя // Электронный журнал "Труды МАИ", 2011. №47. (20.10.2011)http : //mai. ru/sci епсе/trudy/pub 1 i shed. php

83. Пегачкова Е.А. Приближенный синтез оптимальных систем автоматного типа // Электронный журнал "Труды МАИ", 2011. №. 49 (27.12.2011) -http://mai.ru/science/trudy/published.php

84. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию М.: Наука. 1983. - 384 с.

85. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир. 1974.

86. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. -М.: Физматлит, 1961. 392 с.

87. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных систем. М.: Наука, 1973. -256 с.

88. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. 320с.

89. Семенов В.В. Динамическое программирование в синтезе логико-динамических систем // Приборостроение. 1984. №9. - С.71-77.

90. Семенов В.В., Бортаковский A.C. Оптимальное управление детерминированными логико-динамическими системами // Междувед. сб. науч. трудов "Проблемы математики в задачах физики и техники". М.: Изд-во МФТИ, 1992. - С. 135-140.

91. Семенов В.В. Пантелеев A.B., Руденко Е.А., Бортаковский A.C. Методы описания, анализа и синтеза нелинейных систем управления / Учебное пособие. М. : Изд-во МАИ, 1993.-312 с.

92. Семенов В.В., Репин В.М., Журила Н.Э. Алгоритмизация процессов управления летательными аппаратами в классе логико-динамических систем. М.: МАИ, 1987. -50 с.

93. Тихонов А.Н., Галкин В.Я., Заикин П.Н. О прямых методах решения задач оптимального управления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1967. Т. 7. №2. С.416-423.

94. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.-488 с.

95. Федунов Б.Е. Проблемы разработки бортовых оперативно-советующих систем для антропоцентрических объектов // Известия РАН. ТиСУ. 1996. - №5. - С. 147-160.

96. Фуллер А.Т. Оптимизация релейных систем регулирования по различным критериям качества // Труды I Международного конгресса IF АС. М.: Изд-во АН СССР. -1961.-С.584-605.

97. Хрусталев М.М. Точное описание множеств достижимости и условия глобальной оптимальности динамических систем. 4.2. Условия глобальной оптимальности // Автоматика и телемеханика, № 7, 1988.

98. Черноусъко Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. -М.: Наука, 1973.-238 с.

99. Черноусъко Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления. Итоги науки и техники, Сер. Математический анализ. - 1977. - Т.14. - С.101-166.

100. Цыпкин ЯЗ., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973.-414 с.

101. Эльсголъц Н.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление// М.: Наука, 1969-424 с.

102. Энеев Т.М. О применении градиентного метода в задачах оптимального управления //Космические исследования. 1966. Т. 4. №5. С. 651-669.

103. Agrachev A.A, Liberzon D. Lie-algebraic stability for switched systems // SIAM J. Control Optim. 2001. - v.40. - p.253-270.

104. AxelssonH., Boccadoro M., Egerstedt M., Valigi P., Wardi Y Optimal Mode-Switching for Hybrid Systems with Varying Initial States // Journal of Nonlinear Analysis: Hybrid Systems and Applications. 2008. - Vol.2. -No.3. pp.765-772.

105. AxelssonH., Wardi Y., EgerstedtM., VemestE. Gradient Descent Approach to Optimal Mode Scheduling in Hybrid Dynamical Systems // Journal of Optimization Theory and Applications. -2008. Vol.136. -No.2. pp. 167-186.

106. Bortakovskii A.S., Pegachkova E.A. Optimal automaton component synthesis of logic-dynamical system // Междунар. конф. по диффер. уравнениям и динамическим системам, г.Суздаль, 2008: Тезисы докладов. Владимир, изд-во ВГУ, 2008. - С.277.

107. Brockett R.W. Hybrid models for motion control systems // Perspectives in the Theory and its Applications. Boston, Birkhauser, 1993. - p.29-53.

108. Cassandras C.G., Pepyne D.L., Wardi Y. Optimal control of a class of hybrid systems // IEEE Trans. Aut. Con. 2001. v.46. -N 3, P. 398-415.

109. Engell S., Frehse G., Schnieder E. Modeling, analysis and design of hybrid systems. -Springer, 2002. 504 p.

110. Hedlund S., Rantzer A. Optimal control of hybrid systems // Proceedings of the 38th ШЕЕ Conference on Decision and Control (Phoenix, AZ). 1999. - p.3972-3977.

111. Hybrid Systems / Ed. by RL.Grossman, A.Nerode, A.P.Ravn, H.Rischel. Berlin, Springer, 1993. (Lect. Notes in Computer Science. - v.736).

112. Hybrid Systems. III. / Ed. by R.Alur, T.A.Henzinger, E.D.Sontag. Berlin, Springer, 1996. (Lect. Notes in Computer Science, - v. 1066).

113. Hybrid Systems. V. / Ed. by P.Ahtsaklis, W.Kohn, M.Lemmon, A.Nerode, S.Sastry. -Berlin, Springer, 1999. (Lect. Notes in Computer Science, v. 1567).

114. Li Z., Soh Y., Wen C. Switched and impulsive systems: Analysis, design and applications. Berlin: Springer, 2005. - 271 p.

115. LiberzonD. Switching in Systems and Control. Berlin: Springer, 2003. - 252 p.

116. Matveev A.S., Savkin A.V. Qualitative theory of hybrid dynamical systems. Boston: Birkhauser, 2000. 364 p.

117. Modelling and Analysis of Logic Controlled Dynamic Systems: IF AC Workshop. Irkutsk: Inst. Syst. Dyn. and Control Theory. Sib. Branch RAS, 2003.

118. Pegachkova E.A. Approximate synthesis of optimal systems of automate type // Международная конференция по математической теории управления и механике, Суздаль, 2011. Тезисы докладов. - М: МИАН, 2011. - С.243-244.

119. Savkin А. V., Evans R.J. Hybrid dynamical systems: Controller and sensor switching problems. Boston: Birkhauser, 2002. - 364 p.

120. Xu X., Antsaklis P.J. On time optimal control of integrator switched systems with state constrains // J. of Nonlinear Analysis, Special Issue on Hybrid Systems. 2005. - v.62. - p.1453-1465.