Применение метода граничных интегральных уравнений к исследованию колебаний пространственных трубчатых конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат технических наук Крылова, Ольга Валерьевна

• Крылова, Ольга Валерьевна
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Крылова, Ольга Валерьевна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1. Современные методы расчета вибрации трубопроводов

1.2. Методы исследования потоков энергии

1.3. Основные преимущества МГУ

1.4. Обоснование структуры работы

2. МЕТОД ГРАНИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ СТАЦИОНАРНОЙ ДИНАМИКИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

2.1. Пространственная полубесконечная стержневая конструкция

2.2. Граничные уравнения для всех типов колебаний стержневого элемента

2.3. Граничные условия

2.4. Условия стыковок стержневых элементов пространственных конструкций. Типичные соединения стержней

2.5. Алгоритм формирования СЛАУ

2.6. Влияние протекающей жидкости на решение задач распространения колебательной энергии в стержневых конструкциях

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение метода граничных интегральных уравнений к исследованию колебаний пространственных трубчатых конструкций»

Вибрации деформируемых твердых тел, вызванные действием внешней возмущающей нагрузки, неблагоприятно влияют на прочность и долговечность конструкций и приводят к излучению звука (механическому шуму), оказывающему вредное воздействие на здоровье человека [62]. Поэтому при анализе этих колебаний особое внимание следует уделять не только возможности максимального предотвращения возникновения вибраций (что часто сделать затруднительно), но и ослаблению интенсивности колебаний тех или иных типов, а также снижению звукоизлучения в заданных диапазонах частот за счет конструктивных мер, применяемых на стадии проектирования и эксплуатации различных конструкции. Для этого необходимо изучить специфику волновых процессов, происходящих в рассматриваемых механических системах, и уметь правильно с ними бороться. Разработка эффективных методов расчета распространения колебательной энергии по сложным конструкциям представляет собой важную практическую задачу, что и определяет актуальность данного диссертационного исследования в рамках теории стержней. К упомянутым сложным конструкциям относятся, в частности, трубопроводные системы.

Цель диссертационной работы состоит в разработке метода граничных интегральных уравнений (МГИУ) и демонстрации эффективности его применения к детальному анализу свободных и вынужденных гармонических колебаний одномерных пространственных конструкций, состоящих из прямых трубчатых стержневых элементов - волноводов (трубопроводы пространственной конфигурации с ветвлениями).

Поскольку в диссертационной работе рассматриваются одномерные конструкции, а граничные уравнения формулируются в граничных точках каждой балочной подструктуры, на которые разбивается рассматриваемая конструкция, то применения интегралов, как в МГИУ, не требуется. Тогда формулировку данного метода можно упростить, назвав его методом граничных уравнений (МГУ). Постановка задач, которые решены в данной диссертационной работе упомянутым методом предполагает выполнение следующих расчетов: 1) определение амплитуд вынужденных колебаний стержневых элементов рассматриваемых конструкций; 2) количественная оценка потоков энергии по каждой компоненте деформации и суммарных потоков энергии, распространяющихся по стержневым элементам при заданной частоте возмущения и в диапазоне частот; 3) поиск типов доминирующих деформаций в переносе энергии на каждом из стержневых элементов конструкции; 4) исследование возможности контроля переноса энергии изгибными в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, крутильными и продольными бегущими упругими волнами, распространяющимися по стержневым элементам и между ними в точках стыковок и ветвлений при заданных условиях возмущения, в частности, посредством изменения геометрических и жесткостных характеристик ее элементов.

МГУ широко известен в задачах излучения и отражения звука, но не получил должного развития в теории колебаний таких конструкций. Вероятно, причиной этого является сравнительная сложность математического аппарата, на котором он основан. Универсальность МГУ заключается в том, что он одинаково пригоден для анализа стоячих волн в конструкциях конечной протяженности и для анализа распространения волн в полубесконечных конструкциях с единых позиций. Область применения этого метода определяется допустимостью стержневой аппроксимации элементов трубопровода.

Научная новизна работы заключается в следующих результатах, выносимых на защиту:

• разработана общая формулировка метода граничных уравнений для расчета свободных и вынужденных колебаний пространственных конструкций, состоящих из прямых тонкостенных стержней трубчатого поперечного сечения, позволяющая получить точное решение задачи как в случае конструкции конечной протяженности, так и для «открытых» (полубесконечных) конструкций;

• получены решения модельных задач о распространении вибрации по пространственным полубесконечным стержневым системам;

• проведено параметрическое исследование зависимости особенностей переноса энергии от характеристик геометрии и материала элементов рассмотренных стержневых конструкций.

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты представляют собой серьезный вклад в теорию граничных интегральных уравнений и в теорию линейной динамики стержневых конструкций. Разработанные алгоритмы и программы, обеспечивая необходимую точность получаемых результатов, легко могут быть применены для вибрационных расчетов пространственных стержневых конструкций любых конфигураций.

Достоверность результатов, полученных МГИУ для тестовых задач, определяется их совпадением с численными решениями, найденными при помощи стандартных пакетов конечно-элементного анализа ANSYS, COSMOS/M.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались:

• на XXI-ой международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (BEM-FEM-2005, СПб, 2005);

• семинаре по механике СПбГМТУ (СПб, 2004);

• научно-технической конференции по строительной механике корабля «Бубновские чтения» (СПб (СПбГМТУ), 2004);

• международной конференции «Advanced Problems in Mechanics -2004» (СПб (Репино), 2004);

• конференции «Кораблестроительная наука и образование» (СПбГМТУ, 2003).

Материалы диссертационной работы были представлены на международной конференции «Бубновские чтения», посвященной 100-летию кафедры строительной механики корабля СПбГМТУ (г. Санкт-Петербург, 1819 ноября 2004 г.).

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

В данной главе п. 1.1 содержится описание существующих методов расчета вибрации трубопроводов, в п. 1.2 представлен обзор литературы, относящийся к предмету и различным методам исследования колебаний подобных конструкций, в п. 1.3 кратко изложены преимущества применения МГУ к расчету таких конструкций, п. 1.4 - структура данной диссертационной работы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Крылова, Ольга Валерьевна

4.5. Основные выводы по главе 4

По результатам, полученным в данной главе, можно сделать следующие выводы:

• количественная оценка потоков энергии для рассматриваемых конструкций в точках ветвлений показала особенности распределения потоков энергии как между стержнями, образующими ветвления, так и между перечисленными типами распространяющихся волн. Характер таких перераспределений зависит и от конфигурации конструкции, и от рассматриваемого способа возбуждения колебаний (направления действующей нагрузки);

• в конструкции со сложным пространственным ветвлением обнаружены эффекты локализации волнового движения;

• выявлены закономерности распределения потоков энергии от частоты возбуждения колебаний. На всех стержневых элементах наблюдается значительное увеличение суммарных потоков энергии при определенных значениях частот. Для конструкции с плоским ветвлением найденный спектр соответствует спектру средних значений собственных частот отдельно взятого стержня 1 в предположении, что его правая граница или жестко заделана, или свободна. Именно между соответствующими средними значениями частот собственных колебаний одинаковых номеров, присущих такому стержню, и наблюдаются максимумы суммарных потоков энергии на каждом стержне данной конструкции. Конструкция со сложным пространственным ветвлением при той же нагрузке в отличие от конструкции с плоским ветвлением имеет гораздо больше изолированных резонансных пиков. Значения полученного спектра присущи частотам собственных колебаний длинного стержня в виде стыковки стержней 1 и 3, подкрепленного уже двумя упругими опорами;

• с помощью МГУ проведено параметрическое исследование полубесконечной конструкции с плоским ветвлением. Задачи формулируются следующим образом: какое влияние оказывают характеристики геометрии и материала стержневых элементов конструкции, образующих ветвления, на распространение потоков энергии в ней, создаваемых изгибно-крутильно-продольными упругими волнами при выбранных типичных условиях возбуждения. Показано, что жесткости одинаково зависят от модуля упругости, но по-разному от диаметров. С помощью подбора стержневых элементов с необходимыми характеристиками можно управлять распространением потоков энергии в ней. • при исследовании особенностей распространения колебательной энергии по полубесконечной конструкции со сложным пространственным ветвлением, два стержневых элемента которой подкреплены пружинами выяснилось, что чем выше частота действующей нагрузки, тем больше диапазон коэффициента жесткости пружины, при котором в конструкции проявляются резонансные эффекты.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе предлагается общий алгоритм МГУ применительно к задачам теории колебаний стержней. Эффективность метода для вибрационных расчетов продемонстрирована при детальном анализе свободных и вынужденных гармонических колебаний одномерных пространственных конструкций, состоящих из упругих прямых трубчатых стержневых элементов - волноводов (трубопроводы пространственной конфигурации с ветвлениями). Результаты выполненного исследования позволяют сделать следующие выводы:

• сформулирован общий алгоритм МГУ, который одинаково пригоден для анализа стоячих волн в пространственных составных стержневых конструкциях конечной длины и для анализа распространения волн в полубесконечных составных и бесконечно длинных пространственных стержневых конструкциях с единых позиций;

• МГУ при изучении колебаний пространственных стержневых конструкций позволяет исследовать изгибно-крутильно-продольные волны упругих деформаций одновременно;

• проведена верификация МГУ. Найдены значения собственных частот трех низших тонов для тестовой пространственной составной стержневой конструкции конечной длины без ветвлений с помощью МГУ, классического МКЭ и приближенного аналитического решения. Все полученные результаты согласуются;

• для полного описания волновых процессов МГУ позволяет проанализировать на каждом стержневом элементе при их произвольном соединении и при произвольных краевых условиях конструкции: при действии выбранной нагрузки с заданной частотой формы вынужденных колебаний, потоки энергии для соответствующих типов колебаний и суммарные потоки энергии, а также в зависимости от частоты возмущения потоки энергии и суммарные потоки энергии. При возбуждении конструкции одной единственной гармонической силой, действующей в выбранном направлении, колебания конструкции заданной конфигурации могут происходить как в плоскости нагрузки, так и в пространственной форме. Это зависит от конфигурации стержневых элементов конструкции; наличие стационарного течения невязкой сжимаемой жидкости в рассматриваемых конструкциях характер распространения колебательной энергии в них не меняет. В рассматриваемом диапазоне частот допустимо пренебрегать сжимаемостью жидкости. Жидкость учитывается в качестве малой присоединенной массы и на жесткость конструкции никакого влияния не оказывает; в результате анализа распространения колебательной энергии при исследовании вынужденных колебаний трех типовых полубесконечных составных конструкций (с плоским ветвлением, с пространственным ветвлением и сложным пространственным ветвлением) показано, что в точках ветвлений происходит перераспределение потоков энергии как между стержнями, образующими ветвления, так и между перечисленными типами распространяющихся волн. Характер таких перераспределений зависит и от конфигурации конструкции, и от рассматриваемого способа возбуждения колебаний (направления действующей нагрузки); в составной полубесконечной стержневой конструкции ответвление может играть роль упругой заделки. Это объясняет наличие пиков резонансных эффектов при построении кривых суммарных потоков энергии всех типов колебаний на каждом стержневом элементе в фиксированных сечениях при действии выбранной возмущающей нагрузки в заданном диапазоне частот; на участках стержневых элементов между точками стыковок в полубесконечных конструкциях обнаружены эффекты локализации волнового движения, возникновение которых объяснено при помощи анализа потоков энергии. По модам определенных типов колебаний потоки энергии идут в обратную сторону (ловушечные моды), в результате на некоторых участках конструкции возникают достаточно интенсивные вибрации соответствующих видов; получив полную информацию о распространении колебательной энергии, МГУ легко осуществить исследование влияния характеристик геометрии и материала стержневых элементов конструкции на распределение в ней суммарных потоков энергии с целью подбора параметров конструкции, при которых поток энергии, распространяющийся к ее удаленным частям, будет минимальным. Установлено, что роль характеристик геометрии более существенна, чем материала;

• проведено исследование особенностей возникновения резонансных явлений при изменяющейся безразмерной величине жесткости пружины, соединяющей элементы полубесконечной конструкции. Выяснилось, что чем выше частота действующей нагрузки, тем больше диапазон коэффициента жесткости пружины, при котором в конструкции проявляются резонансные эффекты - это определяет чувствительность такой конструкции к изменению рассматриваемого параметра;

• разработан комплекс алгоритмов и программ для расчетов свободных и вынужденных колебаний пространственных стержневых конструкций различных конфигураций с любыми характеристиками геометрии и материала их элементов при воздействии произвольных нагрузок. На основе полученных результатов можно перейти к решению задач виброизоляции удаленных участков таких конструкций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Крылова, Ольга Валерьевна, 2006 год

1. Абрамян А.К., Индейцев ДА. Ловушечные моды колебаний в мембране с неоднородностью // Акустический журнал. 1998. Т.44. №4. С.437-442.

2. Акулаев B.C. Исследование физической природы рассеяния энергии при вибрации корпуса судна: Тр. ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова. Л., 1962.-Вып. 186.

3. Анурьев В.И. Справочник конструктора-машиностроителя. Т.З. М.: Машиностроение, 2001.

4. Артоболевский И.И., Бобровницкий Ю.И., Генкин М.Д. Введение в акустическую динамику машин. М.: Наука, 1979.

5. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1972.

6. Бишоп Р. Колебания. М.: Наука, 1986.

7. Ю.Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Изд. ф. «Физ.-мат. лит-ра» ВО «Наука», 1994.

8. И.Бобровницкий Ю.И., Генкин М.Д., Маслов В.П., Римский-Корсаков А.В. Распространение волн в конструкциях из тонких стержней и пластин. -М.: Наука, 1974.

9. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973.

10. Бычков Д.В. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций. М.: Госстойиздат, 1962.

11. Вишневский B.C., Генкин М.Д., Тарханов Г.В. Определение параметров энергетически эквивалентной балки: Сб. ст. «Виброакустические процессы в машинах и присоединенных конструкциях». М.: Наука, 1974.

12. Вороненок Е.Я., Палий О.М., Сочинский С.В. Метод редуцированных элементов для расчета конструкций, 1990.

13. Гладких П.А. Борьба с шумом и вибрацией в судостроении. М.: Машгиз, 1971.

14. Гладких П.А., Хачатурян С.А. Вибрации в трубопроводах и методы их устранения. М.: Машгиз, 1959.

15. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Оптимизация стержней по спектру собственных значений. Киев: Наукова думка, 1979.

16. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка, 1981.

17. Гуло Д.Д., Умов Н.А. 1846 1914. - М.: Наука, 1971.

18. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. М.: Наука, 1982.

19. Изак Т.Д., Гомзиков Э.А. Шум на судах и методы его уменьшения. М.: Транспорт, 1987.

20. Индейцев Д.А., Сергеев А.Д., Литвин С.С. Особенности резонансных колебаний упругих волноводов с инерционными включениями // ЖТФ. 2000. Т.70. Вып.8. С.8-15.

21. Исакович М.А. Общая акустика. М: Наука, 1973.

22. Кайно Г. Акустические волны. М.: Мир, 1990.

23. Капустина Т.В. Компьютерная система Mathematica 3.0 для пользователей: Справ, пособие. М.: СОЛОН-Р, 1999.

24. Ким Я.А. Расчетно-экспериментальный метод определения акустических сопротивлений упругих элементов трубопроводов // Эл. Ж. Техническая акустика. 2001. Т.2. С.1-5.

25. Клюкин И.И. Борьба с шумом и звуковой вибрацией на судах. Л.: Судостроение, 1971.

26. Колебания, излучения и демпфирование упругих структур: Сб. статей. -М.: Наука, 1973.

27. Колесников А.Е. Шум и вибрация. Л.: Судостроение, 1988.

28. Кузнецов Н.А., Попков В.И., Попков С.В. Колебания системтрубопроводов, содержащих упругие неоднородности: Тр. Ill Межд. конф. «Военно-Морской флот и судостроение в современных условиях». СПб.: ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова. 2003. С.329-336.

29. Ландау Л., Лифшиц Е. Гидродинамика. М: Наука, 1986.

30. Лапин А.Д. Резонатор монопольно-дипольного типа для изгибных волн в стержне//Акустический журнал. 2004. Т. 50. №1. С. 90-93.

31. Магнус К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем. -М.: Мир, 1982.

32. Макарьянц Г.М., Прокофьев А.Б., Шахматов Е.В. Моделирование виброакустических характеристик трубопровода с использованием метода конечных элементов // Известия Самарского научного центра РАН. 2002. Т.4, №2. С.327-333.

33. Миркин А.З., Усиныш В.В. Трубопроводные системы. М.: Химия, 1991.

34. Пальмов В.А. Колебания упруго-пластических тел. М.: Наука, 1976.

35. Пальмов В.А. Описание высокочастотной вибрации сложных динамических систем методами теории теплопроводности // Избранные проблемы прикладной механики: Сб., посвященный 60-летию В. Н. Челомея. М.: ВИНИТИ, 1974.

36. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М: Наука, 1991.

37. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. П.: Политехника, 1990.

38. Пейн Г. Физика колебаний и волн. М.: Мир, 1979.

39. Писаренко Г.С., Богинич О.Е. Колебания кинематически возбуждаемых механических систем с учетом диссипации энергии. Киев: Наукова думка, 1981.

40. Постнов В.А. Динамические матрицы жесткости балочных элементов и их использование в конечно-элементных процедурах: Тр. МТУ им. Н.Э. Баумана, серия «Прикладная механика». 2005. №1. С.56-65.

41. Постнов В.А. Механика и прочность судовых конструкций: Тр. ЛКИ. — Л.: ЛКИ, 1980.

42. Постнов В.А. Численные методы в расчете прочности и вибрации транспортных судов и плавучих сооружений. Л.: Судостроение, 1991.

43. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974.

44. Постнов В.А. Численные методы решения задач строительной механики: материалы научного семинара «Применение численных методов к расчету прочности корпусных конструкций». Л.: Судостроение, 1979.

45. Постнов В.А., Дмитриев С.А., Елтышев Б.К., Родионов А.А. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений. Л.: Судостроение, 1979.

46. Постнов В.А., Калинин B.C., Ростовцев Д.М. Вибрация корабля. Л.: Судостроение, 1983.

47. Постнов В.А., Перцев А.К. Динамика и прочность судовых конструкций. -Л.: Изд. ЛКИ, 1986.

48. Постнов В.А., Суслов В.П. Строительная механика корабля и теория упругости.-Л.: Судостроение, 1987.

49. Постнов В.А., Тарануха Н.А. Метод модуль-элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1990.

50. Постнов В.А., Тумашик Г.А. Использование динамической матрицы жесткости при исследовании устойчивости трубопровода при протекании по нему жидкости: Тезисы докладов XX Межд. Конф.

51. Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов». 2003. С.149-151.

52. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. П.: Судостроение, 1974.

53. Прокофьев А.Б. Расчет собственных частот и форм колебаний трубопроводов с помощью программного комплекса // Известия Самарского научного центра РАН. 1999. Т.1. №2. С.335-342.

54. Скучик Е. Основы акустики. М.: Мир, 1976.

55. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы. М.: Мир, 1971.

56. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. Л.: Судостроение, 1972.

57. Слепян Л.И., Царева О.В., Поташников И.А. Резонансные волны в упругих волноводах / Сб. науч. тр. «Волновая динамика машин». М.: Наука, 1991.

58. Справочник по технической акустике: Пер. с нем. / Под ред. Хекла М. и Мюллера Х.А. Л.: Судостроение, 1980.

59. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Физматгиз, 1964.

60. Умов Н.А. Избранные сочинения / Умов Н.А.; Под ред. Предводителева А.С. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

61. Чувиковский B.C. Численные методы расчета в строительной механике корабля. Л.: Судостроение, 1976.бб.Чувиковский B.C., Постнов В.А. Развитие идей А.Н. Крылова в области вибрации судов // Судостроение. 1963. №8. С.21.

62. Шаров Я.Ф. Колебания и излучения корпусных конструкций. Конспект лекций, ч. 1-2. ЛКИ, 1976.

63. Шиманский Ю.А. Динамический расчет судовых конструкций. Л.: Судпромгиз, 1963.

64. Шиманский Ю.А. Справочник по строительной механике корабля. Л.: Изд-во судостроительной промышленности, 1958.

65. Abu-Hilal M. Forced vibration of Euler-Bernoulli beams by means of dynamic Green functions//Journal of Sound and Vibration. 2003. V.267. Pp.191-207.

66. Ahmida K.M., Arruda J.R.F. On the relation between complex modes and wave propagation phenomena // Journal of Sound and Vibration. 2002. V.255. N.4. Pp.663-684.

67. Ahmida K.M., Arruda J.R.F. Spectral element based prediction of active power flow in Timoshenko beams // Journal of Sound and Vibration. 2001. V.38. Pp. 1669-1679.

68. Antes H., Schanz M., Alvermann S. Dynamic analyses of plane frames by integral equations for bars and Timoshenko beams // Journal of Sound and Vibration. 2004. V.276. Pp.807-836.

69. Chen Y.-H., Sheu J.-T. Beam length and dynamic stiffness // Computational Methods of applied Mechanics in Engineering. 1996. V.129. Pp.311-318.

70. Cho P.E., Bernhard R.J. Energy flow analysis of coupled beams // Journal of Sound and Vibration. 1998. V.211. N.4. Pp.593-605.

71. Clough R.W., Penzien J. Dynamics of structures International Editions, McGraw, Inc. 1993. Pp.738.

72. Dowell E.H. Comment on energy flow predictions in a structure of rigidly joined beams using receptance theory // Journal of Sound and Vibration.1996. V.194. N3. Pp.445-447.

73. Doyle J.F. Wave Propagation in Structures // New York: Springer-Verlag,1997.

74. Eisenberger M. Exact vibration frequencies and modes of beam with internal releases // International Journal of structural Stability and Dynamics. 2002. V.2, N.1. Pp.63-75.

75. Eslimy-lsfahany S.H.R., Banergee J.R. Use of generalized mass in the interpretation of dynamic response of bending-torsion coupled beams // Journal of Sound and Vibration. 2000. V.238, N.2. Pp.295-308.

76. Eslimy-lsfahany S.H.R., Banergee J.R., Sobey A.J. Response of a bending-torsion coupled beam to deterministic and random loads // Journal of Sound and Vibration. 1996. V.195, N.2. Pp.267-283.

77. Finnveden S. Evaluation of modal density and group velocity by a finite element method // Journal of Sound and Vibration, Stockholm. 2004. -V.273. - Pp. 51-75.

78. Finnveden S. Spectral finite element analysis of vibration of straight fluid-filled pipes connected with flanges // Journal of Sound and Vibration. 1997. V.199. N.1. Pp.125-154.

79. Kolousek V. Dynamics in engineering structures. Butterworths: London, 1973.

80. Langley R.S., Smith J.R.D., Fahy F.J. Statistical energy analysis of periodically stiffened damped plate structures // Journal of Sound and Vibration. 1997. V.208. N.3 Pp.407-426.

81. Langley R.S., Shorter P.J. Vibro-acoustic analysis of complex systems // Journal of Sound and Vibration. 2005. V.288. N.3 Pp.669-699.

82. Shankar K., Keane A.J. A study of the vibrational energies of two coupled beams by finite element and Green function (receptance) methods // Journal of Sound and Vibration. 1995. V.181. N.5. Pp.801-838.

83. Shankar K., Keane A.J. Energy flow predictions in a structure of rigidly joined beams using receptance theory // Journal of Sound and Vibration. 1995. V.185. Pp.867-890.

84. Shankar K., Keane A.J. Vibrational energy flow analysis using a substructure approach: the application of receptance theory to FEA and SEA // Journal of Sound and Vibration. 1997. V.201. N.4. Pp.491-513.

85. Sorokin S.V. Asymptotic analysis and numerical solution of the two-level boundary equations of a plane problem of stationary hydroelasticity // J. Appl. Math. & Mech. 1993. V.57(1). Pp.105-115.

86. Sorokin S.V., Nielsen J.В., Olhoff N. Analysis and optimization of energy flows in structures composed of beam elements Part I: problem formulation and solution technique // Springer-Verlag. 2001. V.22. Pp.3-11.

87. Sorokin S.V., Nielsen J.В., Olhoff N. Analysis and optimization of energy flows in structures composed of beam elements Part II: examples and discussion //Springer-Verlag. 2001. V.22. Pp. 12-23.

88. Thanoon W.A., Paul D.K., Jaafar M.S., Trikha D.N. Influence of torsion on the inelastic response of three-dimensional r.c. frames // Journal of Sound and Vibration. 2004. V.40. Pp.611-628.

89. Wu S.R. Classical solutions of forced vibration of rod and beam driven by displacement boundary conditions // Journal of Sound and Vibration. 2005. V.279. Pp.481-486.

90. Yan Yong. Response of pipeline structure subjected to ground motion excitation //Engineering Structures. 1997. V.19. Pp.679-684.