Применение метода сумматорных уравнений для расчета собственных частот цилиндрических щелевых резонаторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Котик, Ульяна Владимировна

• Котик, Ульяна Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Котик, Ульяна Владимировна

Введение.

1 Метод оператор-функций в спектральных задачах для экранированных щелевых резонаторов

1.1 Семейства областей, образующих сечения цилиндрических щелевых резонаторов

1.2 Постановка спектральных задач.

1.3 Обобщенные потенциалы

1.4 Свойства функций Грина.

1.5 Основные понятия и положения теории оператор-функций

1.6 Элементы спектральной теории интегральных оператор-функций с логарифмической особенностью ядра.

1.7 Сведение задачи определения собственных частот к интегральному уравнению Фредгольма.

2 Численно-аналитические методы расчета собственных частот прямоугольного щелевого резонатора

2.1 Постановка задачи Н для прямоугольного щелевого резонатора

2.2 Интегральное уравнение задачи.

2.3 Свойства ^(А) как функции комплексного параметра А

2.4 Метод малого параметра

2.5 Свойства сумматорных операторов.

2.6 Сумматорное уравнение задачи Н.

3 Алгоритмы вычислений и анализ результатов

3.1 Элементы теории дискретной сходимости

3.2 Вычисление приближенных характеристических чисел сум-маторной оператор-функции.

3.3 Вычисление коэффициентов и структура матриц конечномерных операторов

3.4 Описание пакета программ.

3.5 Результаты расчетов собственных частот и полей прямоугольных резонаторов.

3.6 Применение результатов работы для моделирования СВЧ-печей

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение метода сумматорных уравнений для расчета собственных частот цилиндрических щелевых резонаторов»

Настоящая работа представляет собой исследование по применению спектральной теории и численно-аналитических методов в задачах о собственных колебаниях цилиндрических щелевых резонаторов.

Источники СВЧ-энергии широко используются в научных исследованиях для ускорения заряженных частиц и разогрева плазмы в токомаках. Устройства СВЧ-колебаний применяются в радиоастрономии, радиоспектроскопии, в эталонах точного времени и т.д.

СВЧ-резонаторы являются одной из важнейших составляющих техники СВЧ. Резонаторы используются во многих устройствах СВЧ (генераторах, усилителях, волномерах и др.). Основной задачей изучения резонаторов является описание их резонансных характеристик и определение условий существования собственных колебаний.

В последнее время большое внимание привлекают резонансные системы со сложной формой поперечного сечения, к которым можно отнести резонансные системы П-, Н-, Г-, Т-, прямоугольных и других сечений. Благодаря комплексу определенных преимуществ, резонансные системы сложных сечений позволяют создавать СВЧ элементы и узлы, работающие в разных частотных диапазонах, от дециметровых до субмиллиметровых, отвечающие современным требованиям и превосходящие по своим параметрам их аналоги на традиционных прямоугольных и круглых волноводах и резонаторах. Развитие прикладной электродинамики связано с постоянно возрастающими требованиями к параметрам СВЧ аппаратуры, освоением новых частотных диапазонов и расширением функциональной возможности аппаратуры, особенно при работе в нестационарных, в частности, в космических условиях. Удовлетворение этих требований приводит к усложнению элементной базы аппаратуры и созданию новых волноводных и резонансных систем, характеризующихся более сложной геометрией границ. Отсутствие решений задач для сложных волноведущих структур создает новые проблемы, связанные с созданием адекватных математических моделей краевых задач, разработкой более точных аналитических, численно-аналитических и численных методов их решений.

Современная экспериментальная отработка СВЧ узлов на волноведущих и резонансных системах сложных сечений является дорогостоящей, трудоемкой, требует наличия аппаратуры для автоматизации эксперимента и значительного времени на его выполнение, а в диапазоне миллиметровых волн и малоэффективной. В некоторых случаях она просто принципиально не может обеспечить заданную точность результата. Поэтому наличие достаточно точных расчетных формул и алгоритмов не только упрощает разработку СВЧ элементов и узлов, но и часто является определяющим при их проектировании и изготовлении. Эффективная замена натурного эксперимента моделированием на ЭВМ возможна только в случае применения строгих электродинамических моделей и мощных методов вычислительной математики. В этом случае адекватность модели реальному радиотехническому устройству позволяет проводить строгие исследования на качественно более высоком уровне, глубже понять природу радиотехнических явлений и обнаружить новые эффекты в рамках используемой модели.

Успешное создание САПР СВЧ устройств на волноведущих и резонансных системах сложного поперечного сечения, моделирование и визуализация электромагнитных полей и волновых процессов невозможны без разработки эффективных алгоритмов расчета на ЭВМ базовых элементов, к которым можно отнести продольно-регулярные резонаторы с однородным и слоистым диэлектрическим заполнением.

Таким образом вопрос о разработке методов и алгоритмов решения краевых электродинамических задач, методов моделирования и визуализации электромагнитных полей для сложных волноводных структур с диэлектрическими неоднородностями и проведение исследований параметров перспективных СВЧ элементов является важным и актуальным.

Проанализируем ряд особенностей математического моделирования колебательных процессов в экранированных колебательных структурах. Части пространства, ограниченные экранированными цилиндрическими поверхностями, при определенных условиях становятся колебательными структурами — структурами, способными поддерживать установившиеся колебания. Резонатор представляет собой цилиндрическую область D, ограниченную идеально проводящей поверхностью Е с неоднородным диэлектрическим заполнением. Сечение области D плоскостью х3 = const (в декартовой системе координат (xi,x2,x3)) образовано двумерной областью S, ограниченной гладким (или кусочно-гладким) контуром OS.

Колебания электромагнитного поля в изотропной среде описываются однородной системой уравнений Максвелла rotS = —icofiH, rot Н = icoeE, где ей ¡j, — диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, не изменяющиеся вдоль координаты ж3. При рассмотрении резонаторов мы добавим к системе уравнений Максвелла краевые условия для векторов Е и Н напряженностей электрического и магнитного полей на идеально проводящих поверхностях и краевые условия на границе раздела сред, заключающиеся в требовании непрерывности тангенциальных составляющих векторов Е, Н.

Если граничные поверхности структуры имеют особые точки (изломы, острые ребра), то условия непрерывности тангенциальной составляющей в этих точках теряют смысл, так как в них не определен оператор нормальной производной к поверхности. Особый случай представляет наличие многосвязных участков границы внутри сечения структуры в виде двусторонних поверхностей (ребер). В связи с этим требуется изменить исходную (электродинамическую) постановку задачи и сформулировать дополнительные условия, определяющие качественный характер поведения поля в окрестности особых точек (эти условия часто называют «условиями на ребре»). С физической точки зрения, такие условия состоят в требовании конечности энергии поля в любой замкнутой ограниченной области, содержащей особую точку. С математической точки зрения, краевая задача в области, граница которой содержит острые ребра, не допускает классической постановки (то есть решение не может быть с сохранением гладкости продолжено на всю замкнутую область), и тем самым к оператору этой задачи не применимы результаты классической спектральной теории. Такие краевые задачи необходимо ставить в обобщенном смысле [24, 34, 88], обуславливая наличие негладких в окрестности ребер решений и вводя подходящие функциональные пространства.

В цилиндрических структурах (с образующими, направленными вдоль оси жз в декартовой системе координат) решения уравнений Максвелла, имеющие вид

Е,Н = Е,Н(г)е^3, где 7 рассматривается в качестве спектрального параметра, называются нормальными (собственными) волнами. При 7 = 0 получается специальная задача определения решений, которые не зависят от х3 и соответствуют определенным комплексным значениям спектрального параметра со (частоты электромагнитного поля), который мы будем называть собственной частотой. Определение собственных колебаний таким образом состоит в отыскании нетривиальных решений однородной системы уравнений Максвелла, которые не зависят от продольной координаты. Спектральным параметром здесь является частота со электромагнитного поля. При определенных значениях частоты в резонаторах возможны высокодобротные колебания.

Изучению цилиндрических щелевых структур посвящено большое количество отечественных и зарубежных исследований, начиная с классических работ [28, 38, 45, 53]. Детальное рассмотрение моделей, связанных с дифракцией электромагнитных волн, можно найти в фундаментальной монографии [54].

За последние десятилетия был создан ряд математических моделей, методов и алгоритмов расчета собственных частот и полей в цилиндрических щелевых структурах. Эффективный метод определения собственных частот и собственных волн регулярных волноводов со сложной формой поперечного сечения был предложен в работах [8, 9, 27]. Метод основан на сведении краевых задач к интегральным уравнениям Вольтер-ра 1-го или 2-го рода в комплексной плоскости. Собственные частоты и структура полей определяются в результате решения полученных уравнений. Метод решения интегрального уравнения основан на разбиении контура рассматриваемой области на N участков и полигональной аппроксимации искомой функции на них. В результате интегральное уравнение сводится к системе алгебраических уравнений. Собственные частоты волноводов ищутся как корни трансцендентных уравнений. Предложенный метод расчета обладает высокой точностью, но ввиду сложности, его применение оправдано лишь в случае волноводов, поперечное сечение которых невозможно представить в виде простых частичных областей.

В последние годы получили развитие, так называемый, спектральный метод [20] и различные его модификации — метод частичных областей [6] и другие. Суть этого метода состоит в замене оператора исходной краевой задачи каким-либо другим оператором А путем спектрального представления решения в виде интеграла или ряда Фурье по какой-либо полной системе функций. Метод частичных областей является эффективным и широко применяется при решении многих электродинамических задач, связанных с определением собственных частот и полей волноводов и волноводных систем со сложной формой поперечного сечения. Однако практически он не всегда обеспечивает необходимую точность результатов.

Для улучшения сходимости метода частичных областей применительно к задачам о расчете полей и собственных частот волноводов с произвольной формой поперечного сечения, для которых характерно наличие острых углов, поля на границе сшивания аппроксимируются функциями, учитывающими имеющиеся особенности. Данный подход применяется в работе [18], где поле на границе сшивания представляется в виде разложения по ортогональным полиномам с весом, отвечающим характеру особенности.

Исследование существования собственных колебаний в строгой математической постановке приводит к задачам на собственные значения для уравнения Гельмгольца с разрывным коэффициентом. В связи с этим актуальным является создание специфически ориентированных математических моделей описанных колебательных процессов. Построение математических моделей предполагает разработку основ теории специального класса задач для уравнений с разрывными коэффициентами в областях с многосвязными участками границы, содержащими ребра. Эта теория должна включать строгие методы решения задач о свойствах собственных колебаний, обоснованные численные методы для нового класса спектральных задач, эффективные вычислительные алгоритмы и на их основе математическое обеспечение.

Определение резонансных характеристик волновых полей различной природы (электромагнитных, акустических), также как и моделирование экранированных резонаторов, являются классическими направлениями в современной математической физике, которые развиваются с начала столетия. Тем не менее, остается много проблем и в теории и в построении надежных методов для эффективного решения различных прикладных задач. С математической точки зрения, спектральные характеристики волновых полей непосредственно связаны с собственными значениями определенных краевых задач. Здесь неизбежно возникает вопрос, касающийся существования этих собственных значений и их свойств как функций различных параметров, а также возможность их эффективного вычисления. Появление новых классов сложных нелинейных спектральных задач математической физики требует разработки новых универсальных методов их решения, к которым относится метод оператор-функций одной или многих комплексных переменных.

Исследования спектральных задач электродинамики [49, 52], проведенные путем изучения свойств решения в зависимости от одного или нескольких спектральных параметров, в том числе на основе метода оператор-функций, показали его эффективность и позволили получить принципиально новые результаты для широкого класса задач.

Метод оператор-функций позволяет определить области локализации спектра и резольвентного множества операторов, то есть доказывать теоремы существования и единственности решения. Этот метод впервые был предложен в [60, 61] для задач определения нормальных волн в линиях передачи и развит в [25, 30, 39, 40, 42, 59] для определения собственных частот открытых волноведущих резонаторов (независимо с результатами [1, 7]). Сущность метода состоит в сведении исходной краевой задачи для системы уравнений Максвелла (с помощью методов задачи Римана-Гильберта, граничных интегральных уравнений [1, 39, 60, 61, 75, 83], разделения переменных в локальных координатах с эквивалентной регуляризацией [39, 59] или операторных пучков [25, 50]) к исследованию некоторых фредгольмовых оператор-функций, связанных с различными видами граничных операторов. Интегральные операторы в основном рассматриваются как функции комплексного параметра. Особое внимание уделяется мероморфным зависимостям и соответствующим конечноме-роморфным оператор-функциям, к которым применяются результаты [82, 63] для доказательства существования характеристических чисел и вывода явных формул их вычисления для абстрактных полюсных пучков и конечномероморфных оператор-функций с логарифмической особенностью ядра.

Разработка в [58, 59] и [25] подхода, отличного от предложенного в [49] вызвана, в частности, необходимостью рассматривать двумерные задачи дифракции в неограниченных областях, где для того, чтобы определить комплексное собственное значение, было необходимо построить аналитическое продолжение граничных интегральных операторов и фундаментальных решений уравнения Гельмгольца на соответствующее риманово многообразие, учитывая тот факт, что фундаментальное решение более не является аналитической функцией со.

В случае спектральных (однородных) задач понятие единственности теряет смысл, и понятие эквивалентности однородного операторного уравнения исходной краевой задаче играет ключевую роль. Как уже упоминалось, спектральные характеристики (или спектральные данные) волновых полей в резонансных структурах, такие как собственные частоты, непосредственно связаны с собственными значениями определенных краевых задач. В спектральной теории эквивалентность означает, что множество корней обобщенного дисперсионного уравнения (или характеристические числа соответствующей оператор-функции) совпадает с множеством собственных значений исходной спектральной задачи.

Основная идея подхода, развиваемого в последнее время в ряде публикаций [25, 49, 60, 82], состоит в нахождении спектральных данных резонаторов с помощью решения краевых задач определения спектра собственных частот. Они сводятся к операторной задаче на собственные значения, нелинейной относительно спектрального параметра г = ш, где ш — частота электромагнитного поля, в наиболее общей форме представляющей собой задачу на характеристические числа (обобщенное дисперсионное уравнение)

К(г,у)ф = 0, где К (г, V) : X —> У суть многопараметрическая оператор-функция, описывающая математически свойства рассматриваемой структуры, действующая в общем случае на паре банаховых пространств X, У, v = (уо,.,уп) — вектор неспектральных параметров, и это однородное операторное уравнение определяет г = г (у) явно. Полученные таким образом спектральные данные позволяют восстановить все наиболее важные характеристики рассматриваемого объекта.

Свойство фредгольмовости и существование обобщенных и классических решений соответствующих неоднородных задач доказано в [34]. Однако, мы докажем этот факт независимо, сводя задачу к граничным интегральным уравнениям с логарифмической особенностью ядра. То есть, мы докажем, что К ----- фредгольмов оператор и, следовательно, множество его характеристических чисел образует счетное множество (вообще говоря, комплексных) точек. Следовательно, мы можем получить достаточное количество спектральных данных в виде занумерованных семейств явных функций — так называемых обобщенных дисперсионных кривых. В большинстве случаев достаточно изменять только один неспектральный параметр. В частности, одна из компонент вектора v — г>о может рассматриваться в качестве малого параметра (например, в качестве г>о может быть выбран диаметр щели), и спектральные данные могут быть получены как асимптотические ряды по параметру Типичным примером здесь является случай, когда К является скалярной или матричной оператор-функцией

К(г,ьо)ф= j з)ф(з)с18 = О, Ь е Ь, ь где ядро К{х,узависит от спектрального параметра и вектора неспектральных параметров, состоящего из одной компоненты у0 = сЦатЬ. Другим хорошо известным случаем является ситуация, когда К действует в гильбертовом пространстве 12 бесконечных комплексных последовательностей и определяется бесконечной матрицей \\кпт(г,у)||тП=1. Главное преимущество представленного аналитического метода определения г = состоит в следующем:

• он дает результат в областях изменения параметров, где не могут быть использованы численные методы, и в этих случаях результаты, полученные с помощью аналитических приближенных формул, дополняют численные данные;

• он позволяет получить надежные результаты в виде явных формул, применимых непосредственно к инженерным вычислениям, с гарантированной точностью в заданной области изменения параметров.

Метод сумматорных уравнений состоит в сведении интегральных уравнений к операторным уравнениям в пространствах суммируемых числовых последовательностей, порожденных бесконечной системой уравнений. Применительно к задачам дифракции и распространения волн, этот метод получил развитие в ряде монографий [79], где использовался тригонометрический базис, который является эффективным, прежде всего, для задач с круговой симметрией, допускающих разделение переменных в полярной системе координат. Отметим, что метод сумматорных уравнений является разновидностью широко известного метода моментов [26].

Обобщенные дисперсионные уравнения, к которым сводятся щелевые краевые задачи для двумерного уравнения Гельмгольца, представляют собой однородные граничные интегральные уравнения, ядра которых допускают выделение логарифмической особенности при совпадении аргументов.

Приведем здесь краткий обзор литературы, посвященной сингулярным и слабо сингулярным (в том числе и логарифмическим) уравнениям.

Сингулярные интегральные операторы всесторонне изучены в [36], а также, например, в [48] (с точки зрения понятий гиперсингулярных операторов). Краевым задачам теории аналитических функций, дифференциальным уравнениям эллиптического типа и их приложениям к сингулярным интегральным уравнениям (с ядром Коши) посвящена монография [13].

Теория нелинейных сингулярных интегральных уравнений систематически изложена в [17], где дан обстоятельный обзор результатов по нелинейным граничным задачам и нелинейным одномерным сингулярным интегральным уравнениям, а также исследованы свойства линейных и нелинейных одномерных сингулярных операторов и разрешимость нелинейных интегральных уравнений в различных функциональных пространствах.

В работах [11], [12] излагаются основные аппроксимативные методы решения различных классов сингулярных и интегро-дифференциальных уравнений 1-го рода, являющихся математическими моделями многочисленных прикладных задач, а также слабо сингулярные уравнения с разностными, в том числе и логарифмическими ядрами в главной части интегральных операторов. В этих работах предложено теоретико-функциональное обоснование полиномиальных и сплайновых прямых и проекционных методов, приведена обширная литература, относящаяся к рассматриваемому кругу вопросов.

Элементы теории потенциала (в частности, потенциала Грина), позволяющие выделить особенности следов функций Грина, были развиты в [63, 78]. Вопросы теории (обобщенного) потенциала рассматриваются также в [35]. Там же приведены формулы для вычисления значений сингулярных интегралов и рассмотрены методы численного решения сингулярных интегральных уравнений первого рода. В частности, предложен метод типа дискретных вихрей, основанный на прменении к сингулярному интегралу специальных квадратурных формул типа прямоугольников, а также интерполяционные методы, основанные на сведении сингулярного интегрального уравнения с системе линейных алгебраических уравнений для коэффициентов решения приближенного уравнения, оператор которого получается из ядра точного уравнения аппроксимацией его обобщенными полиномами.

Вопросы теории индекса сингулярных (операторов Коши) и логарифмических операторов рассмотрены в [2, 13] и [68]. Слабо сингулярные операторы в пространствах Ьр рассматриваются в [31].

В работах [65, 66, 70] и [90] детально изучены теоремы о следе в пространствах Соболева Нх(0) для двумерных областей Липшица и теория потенциала в пространствах Н±1/2(5П) ([85]). В работах [66, 77] изучены краевые задачи для операторов Лапласа, Гельмгольца и других эллиптических операторов в двумерных областях Липшица, а также их сведение к граничным интегральным уравнениям с логарифмической особенностью ядра.

В [89] граничные интегральные уравнения на замкнутой кривой сводятся к так называемым периодическим интегральным уравнениям, рассматриваемым в пространстве Соболева периодических функций.

Интегральные операторы с логарифмической особенностью ядра, рассматриваемые на конечном интервале (—а,а) в пространстве Соболева, возникают в так называемых «щелевых» задачах, исследовавшихся в целом ряде работ. В этой связи нужно отметить работы [86, 87], где изучались смешанные краевые задачи («задачи на экранах») для уравнений Максвелла и Гельмгольца, а также, посвященные исследованиям тех же задач, работы [67, 91, 71], в которых эти задачи сводились к сумматор-ным уравнениям с бесконечно-матричными операторами.

Обзор результатов, связанных с исследованиями интегральных уравнений с логарифмической особенностью ядра, можно найти в работе [81]. В отличие от подходов, предложенных в [65, 66, 90], где граничные интегральные уравнения рассматривались в пространствах Соболева с дробным индексом, здесь, помимо всего прочего, рассматриваются интегральные операторы с логарифмической особенностью ядра в весовых пространствах Гёльдера, которые естественным образом возникают в связи с условиями на ребре. Такой выбор функциональных пространств позволяет точнее описать свойства логарифмических операторов, а именно: установить свойство фредгольмовости и точно выделить особенности решения вблизи ребер. Пространства Гёльдера подробно изучены в [17].

Общие методы спектральной теории оператор-функций, разработанные в [16, 49], были развиты в [81] для интегральных оператор-функций. Отметим, что методы [49] были разработаны для трехмерных задач, где фундаментальное решение уравнений с оператором Гельмгольца является аналитической функцией спектрального параметра со (частоты).

Принципиальное отличие описанного подхода к исследованию задач на характеристические числа для логарифмических интегральных уравнений с ядром, зависящим от комплексного параметра, состоит в рассмотрении операторов этих уравнений как оператор-функций соответствующего комплексного спектрального параметра (параметров). Этот метод дополняет известные классические подходы к изучению краевых задач математической физики. Соответствующие операторные уравнения естественно связаны в первую очередь с краевыми задачами на собственные значения для двумерного оператора Гельмгольца, где спектральный параметр нелинейно входит в краевые условия. Эти проблемы впервые были сформулированы, в работах [39] и [60], а затем обобщены в монографиях [25, 59] и [81] (отметим также важный вклад, внесенный работами [22] и [72]) в связи с моделированием распространения и дифракции электромагнитных волн, а также явления резонанса в открытых цилиндрических волноводах и резонаторах.

Кроме перечисленных работ необходимо упомянуть монографию [59], а также некоторые недавние публикации [39] и [81]. В этих работах развивается подход, в котором граничные интегральные уравнения сводятся с помощью техники полуобращения, основанной, в частности, на методе задачи Римана-Гильберта, к парным уравнениям и к уравнениям с бесконечно-матричными (каноническими фредгольмовыми) операторами с тригонометрическими [58] или другого типа бесконечно-матричными ядрами, действующими в весовых пространствах 12 последовательностей коэффициентов Фурье.

Особо следует отметить результаты, полученные в [52], где доказана однозначная разрешимость интегрального уравнения с ядром в виде функции Ханкеля, которое соответствует классической задаче дифракции плоской электромагнитной волны на тонком экране.

Техника решения интегральных уравнений с логарифмическим ядром развивается в целом ряде работ, например [10, 37, 69]. Среди исследований, посвященных различным приложениям граничных интегральных уравнений с логарифмическим ядром или ядром Коши, отметим монографию [10], касающуюся задач теории упругости и [37], где рассматривались задачи дифракции волн на разомкнутых цилиндрических экранах.

В работах [13, 36] получены формулы для обратных логарифмических операторов, а в [5, 23, 32, 50, 51, 55, 63, 79, 82] — оценки для резольвенты интегральных операторов в норме весового пространства Гёльдера, позволяющие установить однозначную разрешимость соответствующих интегральных уравнений в весовых пространствах Гёльдера и Соболева.

Для решения интегральных уравнений с логарифмической особенностью ядра широко применяется также система полиномов Чебышева [51]. В последние годы этот подход, который хорошо приспособлен для использования в декартовой системе координат, использовался в работах [23] для решения двумерных задач дифракции.

Методы теории возмущения и малого параметра применяются для решения краевых задач с малыми нерегулярными возмущениями границы в виде «отверстий» или «щелей» [1, 19, 76, 41]. В [41] получены асимптотические формулы для решений, использующие характерный (логарифмический) малый параметр. Свое отражение эти методы нашли в качественных результатах для описания собственных частот открытых резонаторов с малыми отверстиями [7]. В работе [18] также использовалась система полиномов Чебышева, с помощью которой представлялись решения задач для связанных несимметричных полосковых линий с воздушным заполнением, а также применялась разновидность метода сум-маторных уравнений для расчета волноводно-щелевых линий. При этом элементы матриц алгебраических задач, к которым сводились исходные задачи, вычислялись при помощи двойных рядов, содержащих функции Бесселя.

В последние годы развит численно-аналитический метод малого параметра [56] применительно к вычислению характеристических чисел интегральной оператор-функции с логарифмической особенностью ядра. В качестве малого параметра выбирается диаметр контура интегрирования или его логарифм. Полученные результаты применяются для вычисления собственных частот и полей щелевых резонаторов.

Ряд вопросов, тем не менее, остается открытым. Среди них мы можем выделить следующие:

1) полное выделение (логарифмической) особенности функций Грина на границе областей;

2) определение областей локализации собственных частот для конкретных типов резонаторов;

3) обоснование сведения задачи к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов Фурье решений, включая доказательство существования определителей бесконечных матриц, основанное на исследовании скорости сходимости матричных элементов;

4) использование метода малого параметра и совмещение его с численным алгоритмом.

В настоящей работе предложен численно-аналитический метод, сочетающий разложения в ряды по малому параметру задачи (с оценкой погрешности) с численными расчетами в области, где эти разложения не применимы.

Подход, применяемый в работе следует приведенной выше схеме. Отметим, что похожий подход применялся в [73] для решения задачи дифракции на решетке из анизотропных проводящих лент.

Первая глава содержит описание семейств областей, которые образуют сечения резонаторов плоскостью х3 = 0. Для резонаторов, сечения которых принадлежат описанным семействам, сформулированы спектральные задачи. Даны основные определения, связанные с обобщенными потенциалами, потенциалами Грина и спектральной теорией оператор-функций, получены интегральные уравнения задач Е и Н определения собственных частот соответственно Е- и Н- типа, доказана фред-гольмовость соответствующих интегральных операторов, основанная на возможности полного выделения особенности соответствующих функций Грина на границе рассматриваемой области. Доказана эквивалентность задач на характеристические числа для полученных интегральных уравнений исходным задачам на собственные значения.

Во второй главе исследуется задача определения собственных частот Н-типа для цилиндрического щелевого резонатора, сечение которого образовано комбинацией прямоугольных областей. Доказана дискретность множества собственных значений задачи, исследована его локализация.

Получены явные формулы расчета собственных частот и полей для прямоугольного резонатора в виде отрезков асимптотических рядов по малому параметру задачи с оценкой остаточного члена, которые могут использоваться для инженерных расчетов. Разработан метод сумматорных уравнений для расчета собственных частот для резонаторов с произвольным диаметром щели (где явные формулы не применимы).

В третьей главе представлены алгоритмы и результаты расчетов собственных частот и полей по явным формулам и с помощью метода сумматорных уравнений. Приведены графики зависимостей поведения собственных частот и распределения полей внутри резонатора от различных параметров задачи (линейных размеров резонатора, положения и диаметра щели, диэлектрической проницаемости). Рассмотрено применение результатов работы для моделирования реальных радиотехнических устройств, в частности, СВЧ-печей.

Основные результаты

1. Построена математическая модель для определения собственных частот экранированных цилиндрических щелевых резонаторов.

2. Доказана дискретность множества собственных частот цилиндрического щелевого резонатора, в том числе вещественность собственных частот цилиндрических щелевых резонаторов прямоугольного поперечного сечения и определены области их локализации. Получены приближенные формулы для расчета собственных частот и полей в цилиндрических щелевых резонаторах с узкими щелями в виде отрезков асимптотических рядов с оценкой остаточного члена.

3. Разработан метод сумматорных уравнений, алгоритмы и программы расчета собственных частот и полей цилиндрических щелевых резонаторов прямоугольного поперечного сечения на основе этого метода.

4. Проведены расчеты собственных частот и полей цилиндрических щелевых резонаторов с произвольной конфигурацией прямоугольных областей и расположением щели. Исследовано влияние расположения щели и изменения конфигурации частичных прямоугольных областей прямоугольных щелевых резонаторов на их резонансные свойства.

5. Рассмотрено применение результатов работы для моделирования реальных радиотехнических устройств (СВЧ-печей).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Котик, Ульяна Владимировна, 2000 год

1. А р с е н ь е в А. А. О существовании резонансных полюсов и резонансов для рассеяния в случае краевых условий второго и третьего рода // ЖВМ и МФ. 1976. Т.16, с.718-724.

2. В а й н б е р г Б. Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. — М.: Изд-во. Моск. ун-та, 1977.

3. В а й н и к ко Г. М., Карма О. О. О сходимости приближенных методов решения линейиых и нелинейных операторных уравнений // ЖВМиМФ. 1974. Т. 14. №4, е.828-837.

4. Вайникко Г. М., Карма О.О. О быстроте сходимости приближенных методов в проблеме собственных значений с нелинейным вхождением параметра // ЖВМиМФ. 1974. Т.14. №6, с.1393-1408.

5. Вайникко Г. М., Педас А., Уба П. Методы решения слабо сингулярных интегральных уравнений. — Тарту, 1984.

6. Веселов Г.И., Темпов, В.М. Метод частичных областей для задач с некоординатными границами // Радиотехника. 1982. Т.37, №8, с.71-74.

7. Войтович Н.Н.,Каценеленбаум Б. 3., СивовА. Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории диффракции. — М.: Наука, 1977. — 416с.

8. Вольман В.И. Метод определения критических частот и собственных волн металлических волноводов со сложной формой поперечного сечения // Радиотехника и электроника. 1974. Т.19, №7, с.1368.

9. Во л ь м ан В. И., Кат о к В. Б., Пампу Ю.А. Эффективный метод для решения плоских задач электродинамики. — в книге: Аннотации и тезисыдокладов XXXI Всесоюзной научной сессии НТО РЭС им. А.С.Попова, М.1976.

10. Ворович И.И., Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. — М.: Наука, 1974. — 455с.

11. Г а б д у л х а е в Б. Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода. — Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1994

12. Габдулхаев Б. Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. — Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1995

13. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. — М.: Физматгиз, 1958. — 543с.

14. Гохберг И.Ц., Крейн М. Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов // Усп. мат. наук. 1957. Т.12, вып.2, с.44-118.

15. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. — М.: Наука, 1965.

16. Гохберг И. Ц., Сигал Е. И. Операторное обобщение теоремы о логарифмическом вычете и теоремы Руше. // Математический сборник. 1971. Т.84, с.607-629.

17. Гусейнов А.И., МухтаровХ. Ш. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений. — М.: Наука, 1980.

18. Заргано Г.Ф., Jlepep А. М., Ляпин В.П., Синявский Г. П. Линии передачи сложных сечений. — Ростов: Изд-во. Рост, ун-та. 1983. — 319с.

19. И л ь и н А. М. Краевые задачи для эллиптического уравнения второго рода в областях с узкой щелью. // Матем. сборник. 1976. Т.99(141), №4.

20. Ильинский A.C., Слепян Г. Е. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. — 232с.

21. Ильинский А. С., Смирнов Ю. Г. Математическое моделирование процесса распространения электромагнитных колебаний в щелевой линии передачи // ЖВМ и МФ. 1987. Т.25, №2, С.252-261.

22. Ильинский A.C., Смирнов Ю.Г. Диффракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах.— М.: Изд. предпр. ред. журн. "Радиотехника", 1996.

23. Ильинский А. С., ШестопаловЮ.В. Математическая модель для задачи распространения волн в микрополосковых устройствах // Вычисл. методы и программирование. Вып.32 — М.: Изд-во Моск. ун-та. 1988, с.85-103.

24. Ильинский, A.C., Шестопалов Ю. В. Применение методов спектральной теории в задачах распростронения волн. — М.: Изд-во. Моск. ун-та, 1989.

25. Канторович JI.В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. — М. : Физматгиз. 1962. — 708с.

26. Каток В. В., Вольман В. И. Определение критических частот и структ-ры полей в регулярных волноводах с произвольной формой поперечного сечения // Радиотехника. 1976. Т.31, №4, с.89.

27. Кисунько Г. В. Электродинамика полых систем. — Ленинград. Изд-во ВКАС. 1949. — 426с.

28. А. Н. Колмогоров, С. В.Ф омии Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1989. — 624с.

29. Кошпаренок В.Н., Мел еж и к П. Н., Поединчук А.Е., Шестопалов В. П. Спектральная теория открытых двумерных резонаторов с диэлектрическими включениями // ЖВМ и МФ. 1985. Т.25, с.562-573.

30. Красносельский М.С.и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций — М.: Наука, 1969. — 499с.

31. Краснушкин П. Е. Метод нормальных волн в применении к плоскослоистым средам // Доклады АН СССР 1947г. Т.56, №7, с.687-690.

32. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырский П. И. Вычислительные методы, I. — М.: Наука, 1976. — 304с.

33. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука. 1973. — 407с.

34. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. — М.: ТОО "Янус". 1995. — 520с.

35. Мусхелишвили H.H. Сингулярные интегральные уравнения — М.: Физматгиз, 1962. — 600с.

36. Назарчук 3.Т. Численное исследование дифракции волн на цилиндрических структурах. — Киев: Наукова думка, 1989.

37. Никольский В. В., Дружинин A.B. Собственные волны компланарной, щелевой, высокодобротной и других полосковых линий при конечной толщине проводников // Радиотехника и электроника. 1977. Т.22, №11, с.2284-2290.

38. ПоединчукА.Е. К спектральной теории открытых двумерных резонаторов с диэлектрическими включениями // Докл. АН УССР, 1983. Сер.А: Физ-мат. техн. науки, №8, с.46-48.

39. Поединчук А. Е., Шестопалов В. П., Яшина Н.П. К спектральной теории коаксиально волноведущих резонаторов // ЖВМ и МФ. 1986. Т.26, с.552-562.

40. Попов И.Ю. Обоснование моделей щелей нулевой ширины для задачи Дирихле // Сибирск. мат. журнал. 1989. Т.30, №3, с.103-108.

41. Почанина И.Е., Шестопалов В.П., Яшина Н.П. Колебания открытых волноведущих резонаторов // Изв. вузов. Радиофизика. 1989. Т.32, с. 1000-1008.

42. Прудников А.П., Брычков Б. А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. — М.: Наука, 1981. — 798с.

43. П р у д н и к о в А. П., Б р ы ч к о в Б. А., М а р и че в О. И. Интегралы и ряды. Специальные функциии. — М.: Наука, 1983. — 750с.

44. Р е п и н В. М. Диффракция электромагнитных полей на системе щелей // Вычисл. методы и программирование. В.16. — М.: Изд. Моск. ун-та. 1971, с.35-48.

45. Садовничий В. А. Теория операторов. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979.296с.

46. Самарский A.A., Тихонов А. Н. О представлении поля в волноводах в виде суммы полей ТЕ и ТМ // ЖТФ. 1947. Т.18, №10, с.959-963.

47. Самко С. Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения. — Ростов: Изд. Рост, ун-та, 1984.

48. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. — М.: Мир, 1984.

49. Смирнов Ю.Г. Применение метода операторных пучков в задачах нормальных волн в частично заполненном волноводе // Докл. АН СССР. 1990. Т.312, с.597-599.

50. С м и р н о в Ю. Г. Применение многочленов Чебышева к решению одномерных интегральных уравнений типа потенциала. — Пенза: Изд-во. Пенз. гос. техн. ун-та, 1994. — 20с.

51. Сологуб В. Г. О решении одного интегрального уравнения типа свертки с конечными пределами интегрирования // ЖВМиМФ. 1971. Т.41, №4, с.837-854.

52. Тихонов А.Н, Самарский A.A. Уравнения математической физики,— М.Наука, 1972. — 736с.

53. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. — М.: Мир, 1964.428с.

54. ЧернокожинЕ.В.,ШестопаловЮ.В. О фредгольмовости интегрального оператора с ядром, имеющим слабую особенность // Вестник Моск. ун-та. Сер.15. Вычисл. мат. и кибернетика. 1982. №1, с.23-28.

55. Чернокожин Е. В., Шестопалов Ю.В. О разрешимости краевых задач для уравнения Гельмгольца в неограниченной области с некомпактной границей // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34, №4, с.546-553.

56. Шестопалов В. П. Метод задачи Римана-Гильберта в теории дифракции и распространения элентромагнитных волн. — Харьков: Изд-во Харь-ковск. ун-та, 1971.

57. Шестопалов В. П. Сумматорные уравнения в современной теории дифракции. — Киев: Наукова думка, 1983.

58. Шестопалов В. П. Спектральная теория и возбуждение в открытых структурах. — Киев: Наукова думка, 1987.

59. Шестопалов Ю.В. К обоснованию спектрального метода расчета собственных волн микрополосковых линий // Дифференц. уравнения. 1980. Т.16, №8, с. 1504-1512.

60. Шестопалов Ю.В. Свойства спектра класса несамосопряженных краевых задач для систем уравнений Гельмгольца // Докл. АН СССР. 1980.Т.252, №5, с.1108-1111.

61. Шестопалов Ю.В. Метод нормальных волн в теории колебаний. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985. — 80с.

62. Шестопалов Ю.В. Применение метода обобщенных потенциалов в некоторых задачах распространения волн и дифракции // ЖВМ и МФ. 1990. Т.30, с.1081-1092.

63. Шестопалов Ю.В., КотикУ.В. Собственные колебания цилиндрических резонаторов прямоугольного поперечного сечения. // Вестник Моск. ун-та. Сер. 15. 1999. №4, с. 19-23.

64. Со st ab el М., Boundary integral operators of Lipschitz domains: elementry results // SIAM J. Math. Anal. 1988, 19, pp.613-626.

65. С o s t a b e 1M. and StephanE. A direct boundary integral equation method for transmission problems // J. Math. An. Appl., 1985, 106, pp.367-413.

66. D u r a ii d M. Layer potentials and boundary-value problems for the Helmholtz equation in the complement of a thin obstacle // Math. Meth. Appl. Sc. 1983, 5, pp. 389-421.

67. Gohberg I. and Krupnik N. One-dimentional linear singular integral equations. — Birkhàser, Basel, 1992.

68. G o 1 b e r g M. Numerical solution to integral equations. — Plenum Press, New York, 1990.

69. Hsiao G. C. and WendlandW. A finite element method for some integral equations of the first kind // J. Math. An. Appl. 1977, 58, pp.449-481.

70. H u r d R. A. H a y a s h i Y. Low-frequency scattering by a slot in a conducting plane // Radio Sc. 1980, 15, pp.1171-1178.

71. Ilyinsky A. S., Slepyan G.Ya., and Slepyan A.Ya. Propagation, scattering and dissipation of electromagnetic waves. — Peter Peregrinus Ltd., 1993.

72. Korshunova E.N., Sivov A.N. and Shatrov A.D. Plane Wave Diffraction on a Grating of Anisotropic Conducting Strips // J. Comm. Tech. El. 1993. Vol. 43, 2, pp. 142-145.

73. Kotik U. V. Oscillations in Rectangular Cylindrycal Slotted Resonators // The Far-Eastern school-seminar on mathematical modeling and numerical analysis. Khabarovsk. 1999, p.159

74. Lozhechko V.V. and Shestopalov Yu.V, Methods of Solution to the Problems of Dirichlet and Inverse Scattering by a Family of Open Domains, // Proc.1994 Journées Internationales de Nice sur les Antennes. Nice. 1994, pp.22-26.

75. Popov I.Y u. Extension Theory and Localization of Resonances for Domains of Trap Type // Math. USSR Sbornik. 1992. 71, №1, pp.209-234.

76. Poyedinchuk A. Ye. TuchkinYu. A. Shestopalov V. P. Diffraction on Curved Strips // T. IEE. Japan. 1993, 113-A, №3, pp.139-146.

77. Reed M. and Simon B. Methods of modern mathematical physics // 1978, 2, Academic Press. New York.

78. Shestopalov V.P. and Shestopalov Yu.V. Spectral Theory and Excitation of Open Structures.— London. Peter Peregrinus. 1996.

79. Shestopalov Yu. V. On the Theory of Cylindrical Resonators // Math. Meth. Appl. Sci. 1991, 14, pp 335-375.

80. ShestopalovYu. V. Nonlinear eigenvalue problems in electrodynamics // Electromagnetics, 1993, 13, №2, pp.5-18.

81. S t e p h a n E. Bounary integral equations for mixed boundary-value problems // Math. Nachr. 1987, 131, pp.167-199.

82. StephanE. Bounary integral equations for screen problems in R3. J. Integr. Eq. Oper. Th., 1987, 10, pp.236-257.

83. TamarKinl.D. On Fredholm Integral Iquations whose Kernels are analytic on a parameter // Ann. Math. 1927, 28, p. 127-152.

84. V a i n i k ko G. Pereodic Integral and Pseudodifferental Equations. — Helsinki University of Technology Institute of Mathematics Research Report. C13. 1996.

85. Wendland W., Stephan E. and Hsiao G.C. On the integral equation method for the plane mixed boundary-value problem of the Laplacian // Math. Meth. Appl. Sci., 1979, 1, pp.265-321.

86. Wolfe P. On the inverse of an integral operator // Proc. Am. Math. Soc. 1970, 25, pp.443-448.